На цьому уроці докладно розглянуто порядок виконання арифметичних дій у виразах без дужок та з дужками. Учням надається можливість у ході виконання завдань визначити, чи залежить значення виразів від порядку виконання арифметичних дій, дізнатися чи відрізняється порядок арифметичних дій у виразах без дужок та з дужками, потренуватися у застосуванні вивченого правила, знайти та виправити помилки, допущені щодо порядку дій.

У житті ми постійно виконуємо якісь дії: гуляємо, вчимося, читаємо, пишемо, вважаємо, усміхаємося, сваримося і миримося. Ці дії ми виконуємо в різному порядку. Іноді їх можна поміняти місцями, інколи ж ні. Наприклад, збираючись вранці до школи, можна спочатку зробити зарядку, потім заправити ліжко, а навпаки. Але не можна спочатку піти до школи, а потім одягти одяг.

А чи в математиці обов'язково виконувати арифметичні дії в певному порядку?

Давайте перевіримо

Порівняємо вирази:
8-3+4 та 8-3+4

Бачимо, що обидва вирази абсолютно однакові.

Виконаємо дії в одному виразі зліва направо, а в іншому справа наліво. Числами можна встановити порядок виконання дій (рис. 1).

Рис. 1. Порядок дій

У першому виразі ми спочатку виконаємо дію віднімання, а потім до результату додамо число 4.

У другому виразі спочатку знайдемо значення суми, а потім з 8 віднімемо отриманий результат 7.

Бачимо, що значення виразів виходять різні.

Зробимо висновок: порядок виконання арифметичних дій міняти не можна.

Дізнаємося правило виконання арифметичних дій у виразах без дужок.

Якщо вираз без дужок входять лише додавання і віднімання чи лише множення і розподіл, то дії виконують у порядку, у якому написані.

Потренуємося.

Розглянемо вираз

У цьому вираженні є лише дії додавання та віднімання. Ці дії називають діями першого ступеня.

Виконуємо дії зліва направо по порядку (рис. 2).

Рис. 2. Порядок дій

Розглянемо другий вираз

У цьому вираженні є лише дії множення та поділу - це дії другого ступеня.

Виконуємо дії зліва направо по порядку (рис. 3).

Рис. 3. Порядок дій

У якому порядку виконуються арифметичні дії, якщо у вираженні є не тільки дії додавання та віднімання, але й множення та поділу?

Якщо вираз без дужок входять як дії складання і віднімання, а й множення і ділення, чи обидві цих дії, спочатку виконують по порядку (зліва направо) множення і розподіл, та був додавання і віднімання.

Розглянемо вираз.

Міркуємо так. У цьому вираженні є дії додавання та віднімання, множення та поділу. Діємо за правилом. Спочатку виконуємо по порядку (зліва направо) множення та розподіл, а потім додавання та віднімання. Розставимо порядок дій.

Обчислимо значення виразу.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

В якому порядку виконуються арифметичні дії, якщо вираз має дужки?

Якщо у виразі є дужки, то спочатку обчислюють значення виразів у дужках.

Розглянемо вираз.

30 + 6 * (13 - 9)

Ми бачимо, що в цьому вираженні є дія в дужках, отже, цю дію виконаємо першою, потім по порядку множення та додавання. Розставимо порядок дій.

30 + 6 * (13 - 9)

Обчислимо значення виразу.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Як слід міркувати, щоб правильно встановити порядок арифметичних дій у числовому вираженні?

Перш ніж приступити до обчислень, треба розглянути вираз (з'ясувати, чи є в ньому дужки, які дії є) і тільки після цього виконувати дії в наступному порядку:

1. події, записані в дужках;

2. множення та розподіл;

3. складання та віднімання.

Схема допоможе запам'ятати це нескладне правило(Рис. 4).

Рис. 4. Порядок дій

Потренуємося.

Розглянемо висловлювання, встановимо порядок дій та здійснимо обчислення.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

Діятимемо за правилом. У виразі 43 - (20 - 7) +15 є дії у дужках, а також дії додавання та віднімання. Встановимо порядок дій. Першим дією виконаємо дію в дужках, а потім по порядку зліва направо віднімання та додавання.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

У виразі 32 + 9 * (19 – 16) є дії у дужках, а також дії множення та додавання. За правилом першим виконаємо дію в дужках, потім множення (число 9 множимо на результат, отриманий при відніманні) та додавання.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

У виразі 2*9-18:3 відсутні дужки, зате є дії множення, поділу та віднімання. Діємо за правилом. Спочатку виконаємо зліва направо множення та розподіл, а потім від результату, отриманого при множенні, віднімемо результат, отриманий при розподілі. Тобто перше дію - множення, друге - розподіл, третє - віднімання.

2*9-18:3=18-6=12

Дізнаємось, чи правильно визначено порядок дій у наступних виразах.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

Міркуємо так.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

У цьому виразі дужки відсутні, значить, спочатку виконуємо зліва направо множення або поділ, потім додавання або віднімання. У цьому вираженні перша дія - розподіл, друга - множення. Третя дія має бути складання, четверта - віднімання. Висновок: порядок дій визначено правильно.

Знайдемо значення цього виразу.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Продовжуємо розмірковувати.

У другому виразі є дужки, значить, спочатку виконуємо дію в дужках, потім зліва направо множення або поділ, додавання або віднімання. Перевіряємо: перша дія - у дужках, друга - поділ, третя - додавання. Висновок: порядок дій визначено неправильно. Виправимо помилки, знайдемо значення виразу.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

У цьому виразі також є дужки, отже, спочатку виконуємо дію в дужках, потім зліва направо множення або розподіл, додавання або віднімання. Перевіряємо: перша дія - у дужках, друга - множення, третя - віднімання. Висновок: порядок дій визначено неправильно. Виправимо помилки, знайдемо значення виразу.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Виконаємо завдання.

Розставимо порядок дій у виразі, використовуючи вивчене правило (рис. 5).

Рис. 5. Порядок дій

Ми не бачимо числових значень, тому не зможемо знайти значення виразів, проте потренуємось застосовувати вивчене правило.

Діємо за алгоритмом.

У першому вираженні є дужки, отже, перша дія в дужках. Потім зліва направо множення і поділ, потім зліва направо віднімання та додавання.

У другому вираженні також є дужки, отже, першу дію виконуємо у дужках. Після цього ліворуч праворуч множення і розподіл, після цього - віднімання.

Перевіримо себе (рис. 6).

Рис. 6. Порядок дій

Сьогодні на уроці ми познайомилися з правилом порядку виконання дій у виразах без дужок та з дужками.

Список літератури

1. М.І. Моро, М.А. Бантова та ін. Математика: Підручник. 3 клас: у 2-х частинах, частина 1. – М.: «Освіта», 2012.
2. М.І. Моро, М.А. Бантова та ін. Математика: Підручник. 3 клас: у 2-х частинах, частина 2. – М.: «Освіта», 2012.
3. М.І. Море. Уроки математики: Методичні рекомендаціїдля вчителя. 3 клас. - М: Просвітництво, 2012.
4. Нормативно-правовий документ. Контроль та оцінка результатів навчання. - М: «Освіта», 2011.
5. "Школа Росії": Програми для початкової школи. - М: «Освіта», 2011.
6. С.І. Волкова. Математика: Перевірочні роботи. 3 клас. - М: Просвітництво, 2012.
7. В.М. Рудницька. Тести. - М: «Іспит», 2012.

1. Festival.1september.ru ().
2. Соносовоборськ-субчества.ру ().
3. Openclass.ru().

Домашнє завдання

1. Визнач порядок дій у даних висловлюваннях. Знайди значення виразів.

2. Визнач, у якому вираженні такий порядок виконання дій:

1. множення; 2. розподіл;. 3. додавання; 4. віднімання; 5. додавання. Знайди значення цього виразу.

3. Склади три вирази, у яких такий порядок виконання дій:

1. множення; 2. додавання; 3. віднімання

1. додавання; 2. віднімання; 3. додавання

1. множення; 2. розподіл; 3. додавання

Знайди значення цих виразів.

І обчисленні значень виразів дії виконуються у певній черговості, іншими словами, потрібно дотримуватися порядок виконання дій.

У цій статті ми розберемося, які дії слід виконувати спочатку, а які слідом за ними. Почнемо з найпростіших випадків, коли вираз містить лише числа чи змінні, з'єднані знаками плюс, мінус, помножити та розділити. Далі роз'яснимо, якого порядку виконання дій слід дотримуватись у виразах із дужками. Нарешті, розглянемо, у якій послідовності виконуються дії у виразах, що містять ступеня, коріння та інші функції.

Навігація на сторінці.

Спочатку множення та розподіл, потім складання та віднімання

У школі дається таке правило, що визначає порядок виконання дій у виразах без дужок:

• дії виконуються по порядку зліва направо,
• причому спочатку виконується множення та розподіл, а потім – додавання та віднімання.

Озвучене правило сприймається досить природно. Виконання дій з порядку зліва направо пояснюється лише тим, що ми прийнято вести записи зліва направо. А те, що множення та розподіл виконується перед складанням та відніманням пояснюється змістом, який у собі несуть ці дії.

Розглянемо кілька прикладів застосування цього правила. Для прикладів братимемо найпростіші числові виразищоб не відволікатися на обчислення, а зосередитися саме на порядку виконання дій.

приклад.

Виконайте дії 7-3+6.

Рішення.

Вихідний вираз не містить дужок, а також він не містить множення та поділу. Тому нам слід виконати всі дії по порядку зліва направо, тобто спочатку ми від 7 віднімаємо 3 , отримуємо 4 , після чого до отриманої різниці 4 додаємо 6 , отримуємо 10 .

Коротко рішення можна записати так: 7-3+6=4+6=10.

Відповідь:

7−3+6=10 .

приклад.

Вкажіть порядок виконання дій у виразі 6:2 · 8:3.

Рішення.

Щоб відповісти на питання задачі, звернемося до правила, що вказує порядок виконання дій у виразі без дужок. У вихідному вираженні містяться лише дії множення та розподілу, а згідно з правилом, їх потрібно виконувати по порядку зліва направо.

Відповідь:

Спочатку 6 ділимо на 2, це приватне множимо на 8, нарешті, отриманий результат ділимо на 3.

приклад.

Обчисліть значення виразу 17−5·6:3−2+4:2.

Рішення.

Спочатку визначимо, у порядку слід виконувати дії у вихідному вираженні. Воно містить і множення з поділом, і додавання з відніманням. Спочатку зліва направо потрібно виконати множення та розподіл. Так 5 множимо на 6, отримуємо 30, це число ділимо на 3, отримуємо 10. Тепер 4 ділимо на 2, отримуємо 2. Підставляємо у вихідний вираз замість 5·6:3 знайдене значення 10 а замість 4:2 - значення 2 маємо 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2.

В отриманому вираженні вже немає множення і поділу, тому залишається по порядку зліва направо виконати дії, що залишилися: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

Відповідь:

17−5·6:3−2+4:2=7.

Спочатку, щоб не переплутати порядок виконання дій при обчисленні значення виразу, зручно над знаками дій розставити цифри, що відповідають порядку їх виконання. Для попереднього прикладу це було б так: .

Цього ж порядку виконання дій – спочатку множення та розподіл, потім додавання та віднімання – слід дотримуватися і при роботі з літерними виразами.

Події першого та другого ступеня

У деяких підручниках з математики зустрічається поділ арифметичних дій на дії першого та другого ступенів. Розберемося із цим.

Визначення.

Дії першого ступеняназивають додавання та віднімання, а множення та поділ називають діями другого ступеня.

У цих термінах правило з попереднього пункту, що визначає порядок виконання дій, запишеться так: якщо вираз не містить дужок, то по порядку зліва направо спочатку виконуються дії другого ступеня (множення та розподіл), потім – дії першого ступеня (складання та віднімання).

Порядок виконання арифметичних дій у виразах із дужками

Вирази часто містять дужки, що вказують порядок виконання дій. В цьому випадку правило, що задає порядок виконання дій у виразах з дужками, формулюється так: спочатку виконуються дії в дужках, при цьому також по порядку зліва направо виконується множення та розподіл, потім – додавання та віднімання.

Отже, висловлювання у дужках розглядаються як складові частини вихідного висловлювання, й у них зберігається вже відомий нам порядок виконання дій. Розглянемо рішення прикладів для більшої ясності.

приклад.

Виконайте вказані дії 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Рішення.

Вираз містить дужки, тому спочатку виконаємо дії у виразах, укладених у ці дужки. Почнемо з виразу 7-2·3. У ньому потрібно спочатку виконати множення, і тільки потім віднімання, маємо 7-2 · 3 = 7-6 = 1 . Переходимо до другого виразу в дужках 6-4. Тут лише одне дію – віднімання, виконуємо його 6−4=2 .

Підставляємо отримані значення у вихідний вираз: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2. В отриманому виразі спочатку виконуємо зліва направо множення та розподіл, потім – віднімання, отримуємо 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6 . На цьому всі дії виконані, ми дотримувалися такого порядку виконання: 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Запишемо коротке рішення: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6.

Відповідь:

5 + (7-2 · 3) · (6-4): 2 = 6 .

Буває, що вираз містить дужки у дужках. Цього боятися не варто, потрібно лише послідовно застосовувати озвучене правило виконання дій у виразах із дужками. Покажемо рішення прикладу.

приклад.

Виконайте дії у виразі 4+(3+1+4·(2+3)) .

Рішення.

Це вираз із дужками, це означає, що виконання дій потрібно починати з виразу в дужках, тобто з 3+1+4·(2+3) . Цей вираз також містить дужки, тому потрібно спочатку виконати події в них. Зробимо це: 2+3=5. Підставивши знайдене значення, отримуємо 3+1+4·5. У цьому вся виразі спочатку виконуємо множення, потім – додавання, маємо 3+1+4·5=3+1+20=24 . Вихідне значення, після підстановки цього значення, набирає вигляду 4+24 , і залишається лише закінчити виконання дій: 4+24=28 .

Відповідь:

4+(3+1+4·(2+3))=28 .

Взагалі, коли у вираженні присутні дужки у дужках, то часто буває зручно виконання дій починати з внутрішніх дужок та просуватися до зовнішніх.

Наприклад, нехай нам потрібно виконати дії у виразі (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Спочатку виконуємо дії у внутрішніх дужках, так як 4−6:2=4−3=1 , то після цього вихідний вираз набуде вигляду (4+(4+1)−1)−1 . Знову виконуємо дію у внутрішніх дужках, так як 4 +1 = 5, то приходимо до наступного виразу (4 +5-1)-1. Знову виконуємо дії в дужках: 4+5−1=8 , у своїй приходимо до різниці 8−1 , що дорівнює 7 .

У цьому відео ми розберемо цілий комплект лінійних рівнянь, які вирішуються по тому самому алгоритму — тому й вони і називаються найпростішими.

Для початку визначимося: що таке лінійне рівняння і яке їх називати найпростішим?

Лінійне рівняння — таке, в якому є лише одна змінна, причому виключно в першому ступені.

Під найпростішим рівнянням мається на увазі конструкція:

Всі решта лінійні рівняннязводяться до найпростіших за допомогою алгоритму:

1. Розкрити дужки, якщо вони є;
2. Перенести доданки, що містять змінну, в один бік від знаку рівності, а доданки без змінної - в інший;
3. Привести подібні доданки ліворуч і праворуч від знаку рівності;
4. Розділити отримане рівняння на коефіцієнт при змінній $x$.

Зрозуміло, цей алгоритм допомагає який завжди. Справа в тому, що іноді після всіх цих махінацій коефіцієнт при змінній $x$ виявляється нульовим. В цьому випадку можливі два варіанти:

1. Рівняння взагалі немає рішень. Наприклад, коли виходить щось на кшталт $0\cdot x=8$, тобто. ліворуч стоїть нуль, а праворуч — число, відмінне від нуля. У відео нижче ми розглянемо відразу кілька причин, через які можлива така ситуація.
2. Рішення – усі числа. Єдиний випадок, коли таке можливе – рівняння звелося до конструкції $0\cdot x=0$. Цілком логічно, що який би $x$ ми підставили, однаково вийде «нуль дорівнює нулю», тобто. правильне числове рівність.

А тепер давайте подивимося, як це все працює на прикладі реальних завдань.

Приклади розв'язування рівнянь

Сьогодні ми займаємось лінійними рівняннями, причому лише найпростішими. Взагалі, під лінійним рівнянням мається на увазі всяка рівність, що містить у собі рівно одну змінну, і вона йде лише першою мірою.

Вирішуються такі конструкції приблизно однаково:

1. Насамперед необхідно розкрити дужки, якщо вони є (як у нашому останньому прикладі);
2. Потім звести такі
3. Нарешті, усамітнити змінну, тобто. все, що пов'язано зі змінною - доданки, в яких вона міститься - перенести в один бік, а все, що залишиться без неї, перенести в інший бік.

Потім, як правило, потрібно навести подібні з кожної сторони отриманої рівності, а після цього залишиться лише розділити на коефіцієнт при «ікс», і ми отримаємо остаточну відповідь.

Теоретично це виглядає красиво і просто, проте практично навіть досвідчені учні старших класів можуть припускатися образливі помилки в досить простих лінійних рівняннях. Зазвичай помилки допускаються або під час розкриття дужок, або підрахунку «плюсів» і «мінусів».

Крім того, буває так, що лінійне рівняння взагалі не має рішень, або так, що рішенням є вся числова пряма, тобто. будь-яке число. Ці тонкощі ми й розберемо на сьогоднішньому уроці. Але почнемо ми, як ви вже зрозуміли, із найпростіших завдань.

Схема вирішення найпростіших лінійних рівнянь

Для початку давайте ще раз напишу всю схему вирішення найпростіших лінійних рівнянь:

1. Розкриваємо дужки, якщо вони є.
2. Усамітнюємо змінні, тобто. все, що містить "ікси" переносимо в один бік, а без "іксів" - в інший.
3. Наводимо подібні доданки.
4. Поділяємо все на коефіцієнт при «ікс».

Зрозуміло, ця схема працює не завжди, в ній є певні тонкощі та хитрощі, і зараз ми з ними познайомимося.

Вирішуємо реальні приклади простих лінійних рівнянь

Завдання №1

На першому кроці від нас потрібно розкрити дужки. Але їх у цьому прикладі немає, тому пропускаємо даний етап. На другому етапі нам потрібно усамітнити змінні. Зверніть увагу: йдеться лише про окремі доданки. Давайте запишемо:

Наводимо подібні доданки ліворуч і праворуч, але тут це вже зроблено. Тому переходимо до четвертого кроку: розділити на коефіцієнт:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Ось ми й отримали відповідь.

Завдання №2

У цьому завдання ми можемо спостерігати дужки, тому давайте розкриємо їх:

І ліворуч і праворуч бачимо приблизно ту саму конструкцію, але давайте діяти за алгоритмом, тобто. усамітнюємо змінні:

Наведемо такі:

При якому корінні це виконується. Відповідь: за будь-яких. Отже, можна записати, що $x$ - будь-яке число.

Завдання №3

Третє лінійне рівняння вже цікавіше:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тут є кілька дужок, проте вони ні на що не множаться, просто перед ними стоять різні знаки. Давайте розкриємо їх:

Виконуємо другий вже відомий нам крок:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Порахуємо:

Виконуємо останній крок - ділимо все на коефіцієнт при "ікс":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Що необхідно пам'ятати при вирішенні лінійних рівнянь

Якщо відволіктися від дуже простих завдань, то я хотів би сказати таке:

• Як я говорив вище, далеко не кожне лінійне рівняння має рішення - іноді коріння просто немає;
• Навіть якщо коріння є, серед них може затесатися нуль — нічого страшного в цьому немає.

Нуль — таке ж число, як і інші, не варто його дискримінувати або вважати, що якщо у вас вийшов нуль, то ви щось зробили неправильно.

Ще одна особливість пов'язана із розкриттям дужок. Зверніть увагу: коли перед ними стоїть "мінус", то ми його прибираємо, проте у дужках знаки міняємо на протилежні. А далі ми можемо розкривати її за стандартними алгоритмами: ми отримаємо те, що бачили у викладках вище.

Розуміння цього простого фактудозволить вам не припускатися дурних і образливих помилок у старших класах, коли виконання подібних дій вважається самим собою зрозумілим.

Розв'язання складних лінійних рівнянь

Перейдемо до складніших рівнянь. Тепер конструкції стануть складнішими і при виконанні різних перетворень виникне квадратична функція. Однак не варто цього боятися, тому що якщо за задумом автора ми вирішуємо лінійне рівняння, то у процесі перетворення всі одночлени, що містять квадратичну функцію, обов'язково скоротяться.

Приклад №1

Очевидно, що насамперед потрібно розкрити дужки. Давайте це зробимо дуже акуратно:

Тепер займемося усамітненням:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Наводимо такі:

Очевидно, що дане рівняння рішень немає, тому у відповіді так і запишемо:

\[\varnothing\]

або коріння немає.

Приклад №2

Виконуємо самі дії. Перший крок:

Перенесемо все, що зі змінною, вліво, а без неї вправо:

Наводимо такі:

Очевидно, що дане лінійне рівняння не має рішення, тому так і запишемо:

\[\varnothing\],

або коріння немає.

Нюанси вирішення

Обидва рівняння повністю вирішені. На прикладі цих двох виразів ми ще раз переконалися, що навіть у найпростіших лінійних рівняннях все може бути не так просто: коріння може бути або одне, або жодне, або нескінченно багато. У нашому випадку ми розглянули два рівняння, в обох коренів просто немає.

Але я хотів би звернути вашу увагу на інший факт: як працювати з дужками і як їх розкривати, якщо перед ними стоїть знак «мінус». Розглянемо цей вираз:

Перш ніж розкривати, потрібно все перемножити на «ікс». Зверніть увагу: множиться кожне окреме доданок. Усередині стоїть два доданки - відповідно, два доданки і множиться.

І лише після того, коли ці, начебто, елементарні, але дуже важливі та небезпечні перетворення виконані, можна розкривати дужку з погляду того, що після неї стоїть знак «мінус». Так, так: тільки зараз, коли перетворення виконані, ми згадуємо, що перед дужками стоїть знак мінус, а це означає, що все, що в низ, просто змінює знаки. При цьому самі дужки зникають і, що найголовніше, передній мінус теж зникає.

Так само ми чинимо і з другим рівнянням:

Я не випадково звертаю увагу на ці дрібні, начебто, незначні факти. Тому що рішення рівнянь - це завжди послідовність елементарних перетворень, де невміння чітко і грамотно виконувати прості дії призводить до того, що учні старших класів приходять до мене і знову вчаться вирішувати такі прості рівняння.

Зрозуміло, прийде день і ви відточите ці навички до автоматизму. Вам вже не доведеться щоразу виконувати стільки перетворень, ви все писатимете в один рядок. Але поки ви тільки вчитеся, потрібно писати кожну дію окремо.

Вирішення ще складніших лінійних рівнянь

Те, що ми зараз вирішуватимемо, вже складно назвати найпростішими завдання, проте сенс залишається тим самим.

Завдання №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Давайте перемножимо всі елементи у першій частині:

Давайте виконаємо усамітнення:

Наводимо такі:

Виконуємо останній крок:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ось наша остаточна відповідь. І, незважаючи на те, що у нас у процесі вирішення виникали коефіцієнти з квадратичною функцією, проте вони взаємно знищилися, що робить рівняння саме лінійним, а не квадратним.

Завдання №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Давайте акуратно виконаємо перший крок: множимо кожен елемент із першої дужки на кожен елемент із другої. Усього має вийти чотири нових доданків після перетворень:

А тепер акуратно виконаємо множення в кожному доданку:

Перенесемо доданки з «ікс» вліво, а без вправо:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Наводимо такі складові:

Ми знову отримали остаточну відповідь.

Нюанси вирішення

Найважливіше зауваження з приводу цих двох рівнянь полягає в наступному: як тільки ми починаємо множити дужки, в яких знаходиться більш ніж доданок, то виконується це за таким правилом: ми беремо перше доданок з першої і перемножуємо з кожним елементом з другої; потім беремо другий елемент з першої та аналогічно перемножуємо з кожним елементом з другої. У результаті в нас вийде чотири доданки.

Про алгебраїчну суму

На останньому прикладі я хотів би нагадати учням, що таке сума алгебри. У класичній математиці під $1-7$ ми маємо на увазі просту конструкцію: з одиниці віднімаємо сім. У алгебрі ж ми маємо на увазі під цим наступне: до «одиниця» ми додаємо інше число, а саме «мінус сім». Цим сума алгебри відрізняється від звичайної арифметичної.

Як тільки при виконанні всіх перетворень, кожного додавання та множення ви почнете бачити конструкції, аналогічні вищеописаним, жодних проблем в алгебрі при роботі з багаточленами та рівняннями у вас просто не буде.

Насамкінець давайте розглянемо ще пару прикладів, які будуть ще складнішими, ніж ті, які ми щойно розглянули, і для їх вирішення нам доведеться дещо розширити наш стандартний алгоритм.

Розв'язання рівнянь із дробом

Для вирішення подібних завдань до нашого алгоритму доведеться додати ще один крок. Але для початку я нагадаю наш алгоритм:

1. Розкрити дужки.
2. Усамітнити змінні.
3. Навести такі.
4. Розділити на коефіцієнт.

На жаль, цей прекрасний алгоритм при всій його ефективності виявляється не цілком доречним, коли маємо дроби. А в тому, що ми побачимо нижче, у нас і ліворуч, і праворуч в обох рівняннях є дріб.

Як працювати у цьому випадку? Та все дуже просто! Для цього до алгоритму потрібно додати ще один крок, який можна зробити як перед першою дією, так і після нього, а саме позбутися дробів. Таким чином, алгоритм буде наступним:

1. Позбутися дробів.
2. Розкрити дужки.
3. Усамітнити змінні.
4. Навести такі.
5. Розділити на коефіцієнт.

Що означає «позбутися дробів»? І чому це можна виконувати як після, так і перед першим стандартним кроком? Насправді у разі всі дроби є числовими за знаменником, тобто. скрізь у знаменнику стоїть просто число. Отже, якщо ми обидві частини рівняння домножимо на це число, ми позбудемося дробів.

Приклад №1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Давайте позбудемося дробів у цьому рівнянні:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Зверніть увагу: на «чотири» множиться один раз, тобто. якщо у вас дві дужки, це не означає, що кожну з них потрібно множити на чотири. Запишемо:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Тепер розкриємо:

Виконуємо усамітнення змінної:

Виконуємо приведення подібних доданків:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Ми одержали остаточне рішення, переходимо до другого рівняння.

Приклад №2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Тут виконуємо ті самі дії:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Завдання вирішено.

Ось, власне, і все, що я сьогодні хотів розповісти.

Ключові моменти

Ключові висновки такі:

• Знати алгоритм розв'язання лінійних рівнянь.
• Вміння розкривати дужки.
• Не варто переживати, якщо десь у вас з'являються квадратичні функції, швидше за все в процесі подальших перетворень вони скоротяться.
• Коріння в лінійних рівняннях, навіть найпростіших, бувають трьох типів: один єдиний корінь, вся числова пряма є коренем, коріння немає взагалі.

Сподіваюся, цей урок допоможе вам опанувати нескладну, але дуже важливу для подальшого розуміння всієї математики тему. Якщо щось незрозуміло, заходьте на сайт, вирішуйте приклади, представлені там. Залишайтеся з нами, на вас чекає ще багато цікавого!

Для розв'язки лінійних рівняньвикористовують два основних правила (властивості).

Властивість №1
або
правило перенесення

При перенесенні з однієї частини рівняння до іншої член рівняння змінює свій знак на протилежний.

Давайте розберемо правило перенесення з прикладу. Нехай нам потрібно вирішити лінійне рівняння.

Згадаймо, що будь-яке рівняння має ліву і праву частину.

Перенесемо число «3» із лівої частини рівняння в праву.

Так як у лівій частині рівняння у числа "3" був знак "+", значить у праву частину рівняння "3" перенесеться зі знаком "-".

Отримане числове значення "x = 2" називають коренем рівняння.

Не забувайте після розв'язання будь-якого рівняння записувати відповідь.

Розглянемо інше рівняння.

За правилом перенесення перенесемо "4x" з лівої частини рівняння в праву, помінявши знак на протилежний.

Незважаючи на те, що перед "4x" не стоїть жодного знака, ми розуміємо, що перед "4x" стоїть знак "+".

Тепер наведемо подібні і розв'яжемо рівняння до кінця.

Властивість №2
або
правило розподілу

У будь-якому рівнянні можна розділити ліву та праву частину на те саме число.

Але ж не можна ділити на невідоме!

Розберемося з прикладу, як використовувати правило розподілу під час вирішення лінійних рівнянь.

Число «4», яке стоїть за «x», називають числовим коефіцієнтом при невідомому.

Між числовим коефіцієнтом та невідомим завжди стоїть дія множення.

Щоб вирішити рівняння, необхідно зробити так, щоб при «x» стояв коефіцієнт «1».

Давайте запитаємо себе: «На що потрібно розділити «4», щоб
отримати «1»?». Відповідь очевидна, потрібно розділити на «4».

Використовуємо правило розподілу та розділимо ліву та праву частини рівняння на «4». Не забудьте, що ділити треба і ліву, і праву частини.

Використовуємо скорочення дробів і розв'яжемо лінійне рівняння до кінця.

Як вирішити рівняння, якщо «x» негативне

Часто в рівняннях зустрічається ситуація, коли при "x" стоїть негативний коефіцієнт. Як, наприклад, у рівнянні нижче.

Щоб вирішити таке рівняння, знову поставимо собі запитання: «На що потрібно розділити «−2», щоб отримати «1»?». Потрібно поділити на “−2”.

Лінійні рівняння. Початковий рівень.

Хочеш перевірити свої сили та дізнатися результат наскільки ти готовий до ЄДІ чи ОДЕ?

1. Лінійне рівняння

Це рівняння алгебри, у якого повна ступінь складових його багаточленів дорівнює.

2. Лінійне рівняння з однією змінноюмає вид:

Де і – будь-які числа;

3. Лінійне рівняння із двома зміннимимає вид:

Де, та – будь-які числа.

4. Тотожні перетворення

Щоб визначити чи є рівняння лінійним чи ні, необхідно зробити тотожні перетворення:

перенести ліворуч/праворуч такі члени, не забувши змінити знак;

помножити/розділити обидві частини рівняння на те саме число.

Що таке «лінійні рівняння»

або в усній формі – трьом друзям дали по яблуках з розрахунку, що є у Васі яблук.

І ось ти вже вирішив лінійне рівняння
Тепер дамо цьому терміну математичне визначення.

Лінійне рівняння – це алгебраїчне рівняння, у якого повний ступінь його багаточленів дорівнює. Воно виглядає так:

Де і – будь-які числа та

Для нашого випадку з Васею та яблуками ми запишемо:

— Якщо Вася роздасть усім трьом друзям однакову кількість яблук, у нього яблук не залишиться.

«Приховані» лінійні рівняння, або важливість тотожних перетворень

Незважаючи на те, що на перший погляд все гранично просто, при вирішенні рівнянь необхідно бути уважним, тому що лінійними рівняннями називаються не тільки рівняння виду, а й будь-які рівняння, які перетвореннями та спрощеннями зводяться до цього виду. Наприклад:

Ми бачимо, що справа стоїть, що, за ідеєю, вже свідчить, що рівняння не лінійне. Мало того, якщо ми розкриємо дужки, то отримаємо ще два доданки, в яких буде, але не треба поспішати з висновками! Перш, ніж судити, чи є рівняння лінійним, необхідно зробити всі перетворення і таким чином спростити вихідний приклад. При цьому перетворення можуть змінювати зовнішній вигляд, але не саму суть рівняння.

Іншими словами дані перетворення мають бути тотожнимиабо рівносильними. Таких перетворень всього два, але вони грають дуже, дуже важливу роль при вирішенні завдань. Розглянемо обидва перетворення на конкретних прикладах.

Перенесення вліво - вправо.

Допустимо, нам необхідно вирішити таке рівняння:

Ще в початковій школінам казали: «з іксами – ліворуч, без іксів – праворуч». Який вираз із іксом стоїть праворуч? Правильно, а не як не. І це важливо, тому що при неправильному розумінні цього, здавалося б простого питання, Виходить неправильна відповідь. А який вираз із іксом стоїть ліворуч? Правильно, .

Тепер, коли ми з цим розібралися, переносимо всі доданки з невідомими в ліву сторону, а все, що відомо – у праву, пам'ятаючи, що якщо перед числом немає жодного знака, наприклад, то число позитивно, тобто перед ним стоїть знак. ».

Переніс? Що в тебе вийшло?

Все, що залишилося зробити – навести подібні доданки. Наводимо:

Отже, перше тотожне перетворення ми успішно розібрали, хоча впевнена, що ти без мене його знав і активно використовував. Головне – не забувай про знаки при числах і змінюй їх на протилежні під час перенесення через знак рівності!

Множення-поділ.

Почнемо відразу з прикладу

Дивимось і розуміємо: що нам не подобається у цьому прикладі? Невідоме все в одній частині, відомі – в іншій, але щось нам заважає… І це щось – четвірка, бо якби її не було, все було б ідеально – ікс дорівнює числу- Саме так, як нам і потрібно!

Як можна її позбутися? Перенести праворуч ми не можемо, тому що тоді нам потрібно переносити весь множник (ми ж не можемо її взяти і відірвати від), а переносити весь множник теж немає сенсу.

Настав час згадати про поділ, у зв'язку з чим розділимо все якраз на! Все це означає і ліву, і праву частину. Так тільки так! Що в нас виходить?

Подивимося тепер інший приклад:

Чи здогадуєшся, що потрібно зробити в цьому випадку? Правильно, помножити ліву та праву частини на! Яку ти отримав відповідь? Правильно. .

Напевно, все про тотожні перетворення ти й так уже знав. Вважай, що ми просто освіжили ці знання у твоїй пам'яті і настав час для чогось більшого — Наприклад, для вирішення нашого великого прикладу:

Як ми вже говорили раніше, дивлячись на нього, не скажеш, що це рівняння є лінійним, але нам необхідно розкрити дужки та здійснити тотожні перетворення. Тож почнемо!

Для початку згадуємо формули скороченого множення, зокрема квадрат суми і квадрат різниці. Якщо ти не пам'ятаєш, що це таке і як розкриваються дужки, рекомендую почитати тему «Формули скороченого множення», тому що ці навички стануть у нагоді тобі при вирішенні практично всіх прикладів, що зустрічаються на іспиті.
Розкрив? Порівнюємо:

Тепер настав час привести подібні доданки. Пам'ятаєш, як нам у тих же початкових класахговорили «не складаємо мухи із котлетами»? Ось нагадую про це. Складаємо все окремо – множники, які мають, множники, які мають й інші множники, у яких немає невідомих. Як приведеш подібні доданки, перенеси всі невідомі вліво, а все, що відомо праворуч. Що в тебе вийшло?

Як ти бачиш, ікси в квадраті зникли, і ми бачимо цілком звичайне лінійне рівняння. Залишилось тільки знайти!

І насамкінець скажу ще одну дуже важливу річпро тотожні перетворення – тотожні перетворення застосовні як для лінійних рівнянь, але й квадратних, дробових раціональних та інших. Просто потрібно запам'ятати, що при перенесенні множників через знак рівності ми змінюємо знак на протилежний, а при розподілі або множенні на якесь число, ми множимо/ділимо обидві частини рівняння на ОДНО і те саме число.

Що ще ти виніс із цього прикладу? Що дивлячись на рівняння не завжди можна прямо і точно визначити, чи воно є лінійним чи ні. Необхідно спочатку повністю спростити вираз, і потім судити, яким воно є.

Лінійні рівняння. приклади.

Ось тобі ще кілька прикладів для самостійного тренування - визнач, чи є рівняння лінійним і якщо так, знайди його коріння:

Відповіді:

1. Є.

2. Не є.

Розкриємо дужки і наведемо такі складові:

Зробимо тотожне перетворення – розділимо ліву та праву частину на:

Ми бачимо, що рівняння не є лінійним, тому шукати його коріння не потрібно.

3. Є.

Зробимо тотожне перетворення - помножимо ліву і праву частину, щоб позбутися знаменника.

Подумай, чому так важливо, щоб? Якщо ти знаєш відповідь на це питання, переходимо до подальшого вирішення рівняння, якщо ні – обов'язково заглянь у тему «ОДЗ», щоб не наробити помилок у більш складних прикладах. До речі, як бачиш, ситуація, коли неможлива. Чому?
Отже, продовжуємо та перетворюємо рівняння:

Якщо ти легко з усім упорався, поговоримо про лінійні рівняння з двома змінними.

Лінійні рівняння із двома змінними

Тепер перейдемо до більш складного — лінійних рівнянь із двома змінними.

Лінійні рівнянняз двома змінними мають вигляд:

Де, і – будь-які числа.

Як ти бачиш, вся різниця лише в тому, що до рівняння додається ще одна змінна. А так все те саме – тут немає іксів у квадраті, немає поділу на змінну і т.д. і т.п.

Який би навести тобі приклад життя. Візьмемо того ж Васю. Припустимо, він вирішив, що кожному з трьох друзів він дасть однакову кількість яблук, а яблука залишить собі. Скільки яблук потрібно купити Васі, якщо кожному другу він дасть по яблуку? А по? А якщо по?

Залежність кількості яблук, яку отримає кожна людина до загальної кількості яблук, яку необхідно придбати, буде виражена рівнянням:

• – кількість яблук, яку отримає людина (або, або);
• – кількість яблук, що Вася візьме собі;
• - скільки всього яблук потрібно купити Васі з урахуванням кількості яблук на людину.

Вирішуючи це завдання, ми отримаємо, якщо одному другу Вася дасть яблуко, йому необхідно купувати штук, якщо дасть яблука – тощо.

І взагалі. У нас дві змінні. Чому б не збудувати цю залежність на графіку? Будуємо та відзначаємо значення наших, тобто точки, з координатами, і!

Як ти бачиш, і залежать один від одного лінійно, звідси і назва рівнянь - лінійні».

Абстрагуємось від яблук і розглянемо графічно різні рівняння. Подивись уважно на два побудовані графіки – прямий та параболи, заданими довільними функціями:

Знайди та познач на обох малюнках точки, відповідні.
Що в тебе вийшло?

Ти бачиш, що на графіку першої функції одномувідповідає один, Тобто і лінійно залежать один від одного, що не скажеш про другу функцію. Звичайно, ти можеш заперечити, що на другому графіку так само відповідає ікс, але це тільки одна точка, тобто окремий випадок, тому що ти все одно можеш знайти такий, якому відповідає не тільки один. Та й збудований графік ніяк не нагадує лінію, а є параболою.

Повторюся, ще раз: графіком лінійного рівняння має бути ПРЯМА лінія.

З тим, що рівняння не буде лінійним, якщо у нас йде якоюсь мірою – це зрозуміло на прикладі параболи, хоча для себе ти можеш побудувати ще кілька простих графіків, наприклад, або. Але я тебе запевняю — жоден з них не являтиме собою ПРЯМУ ЛІНІЮ.

Не віриш? Побудуй, а потім порівняй з тим, що вийшло у мене:

А що буде, якщо ми розділимо щось на, наприклад, якесь число? Чи буде лінійна залежність та? Не будемо міркувати, а будуватимемо! Наприклад, збудуємо графік функції.

Якось не виглядає збудоване прямою лінією… відповідно, рівняння не лінійне.
Підведемо підсумки:

1. Лінійне рівняння -це рівняння алгебри, у якого повна ступінь складових його багаточленів дорівнює.
2. Лінійне рівнянняз однією змінною має вигляд:
   , Де і - будь-які числа;
   Лінійне рівнянняз двома змінними:
   , Де, і - будь-які числа.
3. Не завжди відразу можна визначити, чи є рівняння лінійним чи ні. Іноді, щоб зрозуміти це, необхідно зробити тотожні перетворення перенести вліво/вправо подібні члени, не забувши змінити знак, або помножити/розділити обидві частини рівняння на те саме число.

Коментарі

Поширення матеріалів без погодження допустиме за наявності dofollow-посилання на сторінку-джерело.

Політика конфіденційності

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації будь-коли, коли ви зв'язуєтеся з нами.

Нижче наведено деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

4. Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваші ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

5. Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальних пропозиціях, акціях та інших заходах та найближчих подіях.
6. Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
7. Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
8. Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

9. Якщо необхідно - відповідно до закону, судового порядку, в судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
10. У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників, і суворо стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.

Спасибі за повідомлення!

Ваш коментар прийнято, після модерації він буде опублікований на даній сторінці.

Бажаєте дізнатися що приховано під катом та отримувати ексклюзивні матеріали з підготовки до ОДЕ та ЄДІ? Залишіть e-mail

Рівняння - це рівність, що містить букву, знак якої необхідно визначити. Рішення рівняння - це той набір значень букв, при якому рівняння перетворюється на правильну рівність:

Нагадаємо, що для вирішення рівняннітреба доданки з невідомим перенести в одну частину рівності, а числові доданки в іншу, привести подібні та отримати таку рівність:

З останньої рівності визначимо невідоме за правилом: «один із множників дорівнює приватному, поділеному на другий множник».

Так як раціональні числаа і Ь можуть мати однакові та різні знаки, то знак невідомого визначається за правилами розподілу раціональних чисел.

Порядок розв'язання лінійних рівнянь

Лінійне рівняння необхідно спростити, розкривши дужки та виконавши дії другого ступеня (множення та поділ).

Перенести невідомі в один бік від знака рівності, а числа - в інший бік від знака рівності, отримавши тотожну задану рівність,

Навести подібні ліворуч і праворуч від знака рівності, отримавши рівність виду ax = b.

Обчислити корінь рівняння (знайти невідоме хз рівності x = b : a),

Виконати перевірку, підставивши невідоме задане рівняння.

Якщо отримаємо тотожність у числовому рівністі, то рівняння вирішено правильно.

Особливі випадки розв'язання рівнянь

1. Якщо рівняннязадано твором, рівним 0, то для його вирішення використовуємо властивість множення: «твір дорівнює нулю, якщо один із співмножників або обидва співмножники дорівнюють нулю».

27 (x - 3) = 0
27 не дорівнює 0, значить x - 3 = 0

У другого прикладу два рішення рівняння, оскільки
це рівняння другого ступеня:

Якщо коефіцієнти рівняння є звичайними дробами, то перш за все треба позбавитися знаменників. Для цього:

Знайти спільний знаменник;

Визначити додаткові множники кожного члена рівняння;

Помножити чисельники дробів та цілі числа на додаткові множники та записати всі члени рівняння без знаменників (загальний знаменник можна відкинути);

Перенести доданки з невідомими в одну частину рівняння, а числові доданки - в іншу від знаку рівності, здобувши рівносильну рівність;

Навести таких членів;

Основні властивості рівнянь

У будь-якій частині рівняння можна наводити подібні доданки або розкривати дужку.

Будь-який член рівняння можна переносити з однієї частини рівняння до іншої, змінивши його знак на протилежний.

Обидві частини рівняння можна множити (ділити) на те саме число, крім 0.

У прикладі вище для вирішення рівняння були використані всі його властивості.

Лінійні рівняння. Вирішення лінійних рівнянь. Правило перенесення доданку.

Правило перенесення доданку.

При розв'язанні та перетворенні рівнянь часто виникає необхідність перенесення доданку на інший бік рівняння. Зауважимо, що доданок може мати як знак плюс, так і знак мінус. Відповідно до правила, переносячи доданок в іншу частину рівняння, потрібно змінити знак на протилежний. Крім того, правило працює і для нерівностей.

Прикладиперенесення доданку:

Спочатку переносимо 5x

Зверніть увагу, що знак "+" змінився на "-", а знак "-" на "+". При цьому не має значення, що переноситься доданок чи змінна, або вираз.

Переносимо 1-е доданок в правий бікрівняння. Отримуємо:

Зверніть увагу, що в нашому прикладі доданок - це вираз (−3x 2 (2+7x)). Тому не можна окремо переносити (−3x 2)і (2+7x), оскільки це складові доданку. Саме тому не переносять (−3x 2 ⋅ 2) і (7x). Однак ми модем розкрити дужки та отримати 2 доданки: (−3x‑⋅ 2) і (−3×2⋅ 7x). Ці 2 доданки можна переносити окремо один від одного.

Так само перетворюють нерівності:

Збираємо кожне число з одного боку. Отримуємо:

2 частини рівняння за визначенням однакові, тому можемо віднімати з обох частин рівняння однакові вирази, і рівність буде залишатися вірним. Віднімати треба вираз, який у результаті треба перенести в інший бік. Тоді з одного боку знака «=» воно скоротиться про те, що було. А з іншого боку рівності вираз, який ми відняли, з'явиться зі знаком «-».

Це правило використовується для вирішення лінійних рівнянь. Для вирішення систем лінійних рівнянь застосовуються інші способи.

Основи алгебри/Правило перенесення доданку

Перенесемо перший доданок у правий бік рівняння. Отримаємо:

Перенесемо усі числа в один бік. У результаті маємо:

Приклади, що ілюструють доказ

Для рівнянь

Допустимо, ми хочемо перенести всі ікси з лівої частини рівняння в праву. Віднімемо з обох частин 5 x

Тепер потрібно перевірити, чи збігаються ліва та права частини рівняння. Замінимо невідому змінну результатом, що вийшов:

Тепер можна навести такі складові:

Перенесемо спочатку 5 xз лівої частини рівняння до правої:

Тепер перенесемо число (−6) із правої частини до лівої:

Зауважте, знак плюс помінявся на мінус, а знак мінус – на плюс. Причому неважливо, чи є переносиме доданок числом, змінною або цілим виразом.

Дві частини рівняння за визначенням рівні, тому можна відняти з обох частин рівняння однаковий вираз і рівність залишиться вірним. З одного боку знака «рівно» воно скоротиться з тим, що було. З іншого боку рівності, вираз, який ми відняли, з'явиться зі знаком «мінус».

Правило для рівнянь підтверджено.

Для нерівностей

Отже, 4 – корінь рівняння 5x+2=7x-6. Оскільки йому тотожність доведено, те й нерівностей теж, за визначенням.

Вирішення рівнянь, правило перенесення доданків

Ціль уроку

Освітні завдання уроку:

- Вміти застосовувати правило перенесення доданків при вирішенні рівнянь;

Розвиваючі завдання уроку:

- розвивати самостійну діяльністьучнів;

- розвивати мову (давати повні відповіді грамотною, математичною мовою);

Виховні завдання уроку:

- виховувати вміння правильно робити записи у зошитах та на дошці;

?Обладнання:

11. Мультимедіа
12. Інтерактивна дошка

Перегляд вмісту документа
«Урок Розв'язання рівнянь 6 кл»

УРОК МАТЕМАТИКИ 6 КЛАС

Вчитель: Тимофєєва М. А.

Ціль уроку: вивчення правила перенесення доданків з однієї частини рівняння до іншої.

Освітні завдання уроку:

Вміти застосовувати правило перенесення доданків під час вирішення рівнянь;

Розвиваючі завдання уроку:

розвивати самостійну діяльність учнів;

розвивати мову (давати повні відповіді грамотною, математичною мовою);

Виховні завдання уроку:

виховувати вміння правильно робити записи у зошитах та на дошці;

Основні етапи уроку

1. Оргмомент, повідомлення мети уроку та форми роботи

«Якщо Ви хочете навчитися плавати,

то сміливо входите у воду,

а якщо хочете навчитися вирішувати рівняння,

2. Сьогодні ми починаємо вивчати тему: «Рішення рівнянь» (Слайд 1)

Але ж ви вже вчилися вирішувати рівняння! Тоді що ж ми вивчатимемо?

- Нові способи вирішення рівнянь.

3. Повторимо пройдений матеріал (Усна робота) (Слайд 2)

3). 7m + 8n – 5 m – 3n

4). - 6a + 12 b - 5a - 12b

5). 9x – 0,6y – 14x + 1,2y

Рівняння прийшло,
таємниць чимало принесло

Які вирази є рівняннями?(Слайд 3)

4. Що називається рівнянням?

Рівняння – це рівність, що містить невідоме число. (Слайд 4)

Що означає розв'язати рівняння?

Розв'язати рівняння- значить знайти його коріння або довести, що їх немає.

Вирішимо усно рівняння. (Слайд 5)

Яке правило ми використовуємо під час вирішення?

- Знаходження невідомого множника.

Запишемо кілька рівнянь у зошит і вирішимо їх використовуючи правила знаходження невідомого доданку та зменшуваного: (Слайд 7)

А як розв'язати таке рівняння?

х + 5 = - 2х - 7 (Слайд 8)

Спростити ми не можемо, тому що подібні доданки знаходяться в різних частинахрівняння, отже, необхідно їх перенести.

Горять химерно фарби,
І як не мудра голова,
Ви все-таки вірте у казки
Казка завжди має рацію.

Давним-давно жили-були два королі: чорний і білий. Чорний король жив у Чорному королівстві правому березі річки, а Білий король – у Білому лівому березі. Між королівствами протікала дуже бурхлива та небезпечна річка. Переправитися через цю річку ні водою, ні на човні було неможливо. Потрібен був міст! Будівництво мосту тривало дуже довго, і ось, нарешті, міст збудували. Всім би радіти і спілкуватися один з одним, але біда: Білий король не любив чорний колір, всі жителі його королівства носили світлий одяг, а Чорний король не любив білий колірі жителі його королівства носили одяг темного кольору. Якщо хтось із Чорного королівства переходив у Біле, то відразу потрапляв у немилість Білого короля, а якщо хтось із Білого королівства переходив у Чорне, то потрапляв у немилість Чорного короля. Жителям королівств треба було щось вигадати, щоб не гнівити своїх королів. Як ви вважаєте, що вони вигадали?

Рівняння

Як розв'язувати рівняння?

У цьому розділі ми згадаємо (або вивчимо – кому як) найелементарніші рівняння. Отже, що таке рівняння? Говорячи людською мовою, це якийсь математичний вираз, де є знак рівності та невідоме. Яке, як правило, позначається буквою «х». Розв'язати рівняння- це знайти такі значення ікса, які при підстановці в вихідневираз, дадуть нам вірне тотожність. Нагадаю, що тотожність – це вираз, який не викликає сумніву навіть у людини, абсолютно не обтяженої математичними знаннями. Типу 2 = 2, 0 = 0, ab = ab і т.д. То як вирішувати рівняння?Давайте розберемося.

Рівняння бувають усякі (ось здивував, так?). Але все їхнє нескінченне різноманіття можна розбити всього на чотири типи.

4. Всі решта.)

Усіх інших, зрозуміло, найбільше, так...) Сюди входять і кубічні, і показові, і логарифмічні, і тригонометричні та інші. З ними ми у відповідних розділах щільно попрацюємо.

Відразу скажу, що іноді рівняння перших трьох типів так накрутить, що й не впізнаєш їх… Нічого. Ми навчимося їх розмотувати.

І навіщо нам ці чотири типи? А потім, що лінійні рівняннявирішуються одним способом, квадратнііншим, дробові раціональні - третім,а рештане наважуються зовсім! Ну, не те, щоб зовсім ніяк не вирішуються, це я даремно математику образив.) Просто для них існують свої спеціальні прийоми і методи.

Але для будь-яких (повторюю - для будь-яких!) рівнянь є надійна та безвідмовна основа для вирішення. Працює скрізь і завжди. Ця основа – звучить страшно, але штука дуже проста. І дуже (дуже!)важлива.

Власне, рішення рівняння і складається з цих перетворень. на 99%. Відповідь на запитання: " Як розв'язувати рівняння?" лежить, саме, у цих перетвореннях. Натяк зрозумілий?)

Тотожні перетворення рівнянь.

В будь-яких рівнянняхдля знаходження невідомого треба перетворити та спростити вихідний приклад. Причому так, щоб за зміни зовнішнього вигляду суть рівняння не змінювалася.Такі перетворення називаються тотожнимиабо рівносильними.

Зазначу, що ці перетворення відносяться саме до рівнянь.У математиці ще є тотожні перетворення виразів.Це інша тема.

Зараз ми з вами повторимо всі базові тотожні перетворення рівнянь.

Базові тому, що їх можна застосовувати до будь-якимрівнянням – лінійним, квадратним, дробовим, тригонометричним, показовим, логарифмічним тощо. і т.п.

Перше тотожне перетворення: до обох частин будь-якого рівняння можна додати (забрати) будь-яке(але те саме!) число чи вираз (зокрема і вираз із невідомим!). Суть рівняння від цього змінюється.

Ви, між іншим, постійно користувалися цим перетворенням, тільки думали, що переносите якісь складові з однієї частини рівняння до іншої зі зміною знака. Типу:

Справа знайома, переносимо двійку вправо, і отримуємо:



Насправді ви відібрализ обох частин рівняння двійку. Результат виходить той самий:

х+2 - 2 = 3 - 2

Перенесення доданків вліво-вправо зі зміною знака є просто скороченим варіантом першого тотожного перетворення. І навіщо нам такі глибокі знання? - Запитайте ви. В рівняннях нічого. Переносьте, заради бога. Тільки знак не забувайте міняти. А от у нерівностях звичка до перенесення може і в безвихідь поставити….

Друге тотожне перетворення: обидві частини рівняння можна помножити (розділити) на одне й те саме відмінне від нулячисло чи вираз. Тут вже з'являється зрозуміле обмеження: на нуль множити безглуздо, а ділити взагалі не можна. Це перетворення ви використовуєте, коли вирішуєте щось круте, типу

Зрозуміла справа, х= 2. А як ви його знайшли? Добором? Чи просто осяяло? Щоб не підбирати і не чекати осяяння, потрібно зрозуміти, що ви просто поділили обидві частини рівнянняна 5. При розподілі лівої частини (5х) п'ятірка скоротилася, залишився чистий ікс. Чого нам і потрібно. А при розподілі правої частини (10) на п'ять, вийшла, звісно, ​​двійка.

От і все.

Смішно, але ці два (всього два!) тотожні перетворення лежать в основі рішення всіх рівнянь математики.Ось як! Чи має сенс подивитися на прикладах, що і як, правда?)

Приклади тотожних перетворень рівнянь. Основні проблеми.

Почнемо з першогототожного перетворення. Перенесення вліво-вправо.

Приклад для молодших.)

Допустимо, треба вирішити таке рівняння:

3-2х = 5-3х

Згадуємо заклинання: "з іксами - вліво, без іксів - вправо!"Це заклинання - інструкція із застосування першого тотожного перетворення.) Який вираз із іксом у нас справа? 3х? Відповідь неправильна! Праворуч у нас - 3х! Мінустри ікс! Отже, при перенесенні вліво, символ зміниться на плюс. Вийде:

3-2х+3х=5

Так, ікси зібрали в купку. Займемося числами. Ліворуч стоїть трійка. З яким знаком? Відповідь "з ніякою" не приймається!) Перед трійкою дійсно нічого не намальовано. А це означає, що перед трійкою стоїть плюс.Так уже математики домовились. Нічого не написано, отже, плюс.Отже, у праву частину трійка перенесеться з мінусом.Отримаємо:

-2х +3х = 5-3

Залишилися дрібниці. Зліва – привести подібні, праворуч – порахувати. Відразу виходить відповідь:

У цьому вся прикладі вистачило одного тотожного перетворення. Друге не знадобилося. Ну і добре.)

Приклад для старших.)

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.