Знайти найбільше ціле рішення нерівності онлайн. Дробно-раціональні нерівності. Тотожні перетворення нерівностей

Для початку — трохи лірики, щоби відчути проблему, яку вирішує метод інтервалів. Припустимо, нам треба вирішити таку нерівність:

(x − 5)(x + 3) > 0

Які є варіанти? Перше, що спадає на думку більшості учнів — це правила «плюс на плюс дає плюс» та «мінус на мінус дає плюс». Тому достатньо розглянути випадок, коли обидві дужки позитивні: x − 5 > 0 та x + 3 > 0. Потім також розглянемо випадок, коли обидві дужки негативні: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Більш просунуті учні згадають (можливо), що зліва стоїть квадратична функція, графік якої парабола. Причому ця парабола перетинає вісь OX у точках x = 5 та x = −3. Для подальшої роботи слід розкрити дужки. Маємо:

x 2 − 2x − 15 > 0

Тепер відомо, що гілки параболи спрямовані вгору, т.к. коефіцієнт a = 1 > 0. Спробуємо намалювати схему цієї параболи:

Функція більша за нуль там, де вона проходить вище осі OX . У нашому випадку це інтервали (−∞−3) та (5; +∞) – це і є відповідь.

Зверніть увагу: на малюнку зображено саме схема функції, а чи не її графік. Тому що для справжнього графіка треба рахувати координати, розраховувати усунення та іншу хрень, яка нам зараз зовсім ні до чого.

Чому ці методи є неефективними?

Отже, ми розглянули два рішення однієї й тієї ж нерівності. Обидва вони виявилися дуже громіздкими. У першому рішенні виникає – ви тільки вдумайтесь! - Сукупність систем нерівностей. Друге рішення теж не дуже легке: треба пам'ятати графік параболи і ще купу дрібних фактів.

Це була дуже проста нерівність. У ньому всього 2 множники. А тепер уявіть, що множників буде не 2, а хоча б 4. Наприклад:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Як вирішувати таку нерівність? Перебирати всі можливі комбінації плюсів та мінусів? Та ми заснемо швидше, ніж знайдемо рішення. Малювати графік - теж не варіант, оскільки незрозуміло, як поводиться така функція на координатній площині.

Для таких нерівностей потрібен спеціальний алгоритм розв'язання, який ми сьогодні розглянемо.

Що таке метод інтервалів

Метод інтервалів - це спеціальний алгоритм, призначений для розв'язання складних нерівностей виду f(x) > 0 та f(x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Розв'язати рівняння f(x) = 0. Таким чином, замість нерівності отримуємо рівняння, яке вирішується набагато простіше;
2. Відзначити всі отримані корені на координатній прямій. Отже, пряма розділиться кілька інтервалів;
3. З'ясувати знак (плюс або мінус) функції f (x) на правому інтервалі. Для цього достатньо підставити в f (x ) будь-яке число, яке буде правіше всіх відзначених коренів;
4. Відзначити знаки інших інтервалах. Для цього достатньо запам'ятати, що при переході через кожний корінь знак змінюється.

От і все! Після цього залишиться лише виписати інтервали, які нас цікавлять. Вони позначені знаком «+», якщо нерівність мала вигляд f(x) > 0, або знаком «−», якщо нерівність має вигляд f(x)< 0.

На перший погляд може здатися, що метод інтервалів — якась жерсть. Але практично все буде дуже просто. Варто трохи потренуватися - і все стане зрозумілим. Погляньте на приклади і переконайтеся в цьому самі:

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

(x − 2)(x + 7)< 0

Працюємо за методом інтервалів. Крок 1: замінюємо нерівність рівнянням та вирішуємо його:

(x − 2)(x + 7) = 0

Твір дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Одержали два корені. Переходимо до кроку 2: відзначаємо це коріння на координатній прямій. Маємо:

Тепер крок 3: знаходимо знак функції на правому інтервалі (правіше зазначеної точки x = 2). Для цього треба взяти будь-яке число, яке більше за число x = 2. Наприклад, візьмемо x = 3 (але ніхто не забороняє взяти x = 4, x = 10 і навіть x = 10 000). Отримаємо:

f(x) = (x−2)(x + 7);
x = 3;
f(3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 · 10 = 10;

Отримуємо, що f(3) = 10 > 0, тому в правому інтервалі ставимо знак плюс.

Переходимо до останнього пункту - треба відзначити знаки на інших інтервалах. Пам'ятаємо, що при переході через кожен корінь знак має змінюватись. Наприклад, праворуч від кореня x = 2 стоїть плюс (ми переконалися у цьому попередньому кроці), тому ліворуч повинен стояти мінус.

Цей мінус поширюється на весь інтервал (-7; 2), тому праворуч від кореня x = -7 стоїть мінус. Отже, ліворуч від кореня x = −7 стоїть плюс. Залишилось відзначити ці знаки на координатній осі. Маємо:

Повернемося до вихідної нерівності, яка мала вигляд:

(x − 2)(x + 7)< 0

Отже, функція має бути меншою за нуль. Отже, нас цікавить знак мінус, що виникає лише одному інтервалі: (−7; 2). Це буде відповідь.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Крок 1: прирівнюємо ліву частину до нуля:

(x + 9) (x - 3) (1 - x) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Пам'ятайте: добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Саме тому ми маємо право прирівняти до нуля кожну окрему дужку.

Крок 2: відзначаємо всі коріння на координатній прямій:

Крок 3: з'ясовуємо знак правого проміжку. Беремо будь-яке число, яке більше, ніж x = 1. Наприклад, можна взяти x = 10. Маємо:

f(x) = (x + 9)(x − 3)(1 − x );
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = −1197< 0.

Крок 4: розставляємо решту знаків. Пам'ятаємо, що під час переходу через кожен корінь знак змінюється. У результаті наша картинка буде виглядати так:

От і все. Залишилося лише виписати відповідь. Погляньте ще раз на вихідну нерівність:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Це нерівність виду f(x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Це є відповідь.

Зауваження щодо знаків функції

Практика показує, що найбільші труднощі у методі інтервалів виникають останніх двох кроках, тобто. при розміщенні знаків. Багато учнів починає плутатися: які треба брати числа і де ставити знаки.

Щоб остаточно розібратися у методі інтервалів, розглянемо два зауваження, на яких він побудований:

1. Безперервна функція змінює знак лише у тих точках, де вона дорівнює нулю. Такі точки розбивають координатну вісь на шматки, у яких знак функції будь-коли змінюється. Ось навіщо ми вирішуємо рівняння f(x) = 0 і відзначаємо знайдене коріння на прямій. Знайдені числа - це "прикордонні" точки, що відокремлюють плюси від мінусів.
2. Щоб з'ясувати знак функції на якомусь інтервалі, достатньо підставити в функцію будь-яке число цього інтервалу. Наприклад, для інтервалу (−5; 6) ми маємо право брати x = −4, x = 0, x = 4 і навіть x = 1,29374, якщо нам захочеться. Чому це важливо? Та тому, що багатьох учнів починають гризти сумніви. Мовляв, якщо для x = −4 ми отримаємо плюс, а для x = 0 — мінус? А нічого такого ніколи не буде. Всі точки на одному інтервалі дають один і той самий знак. Пам'ятайте про це.

Ось і все, що потрібно знати про спосіб інтервалів. Звичайно, ми розібрали його у найпростішому варіанті. Існують складніші нерівності — нестрогі, дробові і з корінням, що повторюється. Їх теж можна застосовувати метод інтервалів, але це тема для окремого великого уроку.

Тепер хотів би розібрати просунутий прийом, який різко полегшує метод інтервалів. Точніше, спрощення торкається лише третього кроку — обчислення знака на правому шматку прямої. З якихось причин цей прийом не проходять у школах (принаймні мені ніхто такого не пояснював). А дарма, адже насправді цей алгоритм дуже простий.

Отже, знак функції правому шматку числової осі. Цей шматок має вигляд (a ; +∞), де a — найбільший корінь рівняння f (x ) = 0. Щоб не підривати мозок, розглянемо конкретний приклад:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) = (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x - 1) (2 + x) (7 - x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = -2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Ми отримали 3 корені. Перерахуємо їх у порядку зростання: x = −2, x = 1 та x = 7. Очевидно, що найбільший корінь – це x = 7.

Для тих, кому легше міркувати графічно, я відзначу це коріння на координатній прямій. Подивимось що вийде:

Потрібно визначити знак функції f (x ) на правому інтервалі, тобто. на (7; +∞). Але, як ми вже зазначали, для визначення знака можна взяти будь-яке число з цього інтервалу. Наприклад, можна взяти х = 8, х = 150 і т.д. А тепер - той самий прийом, який не проходять у школах: давайте в якості числа візьмемо нескінченність. Точніше, плюс нескінченність, тобто. +∞.

«Ти че, обкурився? Як можна підставити в функцію нескінченність? - Можливо, спитайте ви. Але задумайтеся: адже нам не потрібно саме значення функції, нам потрібен тільки знак. Тому, наприклад, значення f(x) = −1 і f(x) = −938 740 576 215 означають те саме: функція на даному інтервалі негативна. Тому все, що від вас вимагається – знайти знак, який виникає на нескінченності, а не значення функції.

Насправді підставляти нескінченність дуже просто. Повернемося до нашої функції:

f (x ) = (x − 1)(2 + x )(7 − x )

Уявіть, що x це дуже велике число. Мільярд або навіть трильйон. Тепер подивимося, що відбуватиметься у кожній дужці.

Перша дужка: (x − 1). Що буде, якщо з мільярда відняти одиницю? Вийде число, що не особливо відрізняється від мільярда, і це число буде позитивним. Аналогічно з другою дужкою: (2+x). Якщо до двійки додати мільярд, отримаємо мільярд із копійками — це позитивне число. Нарешті, третя дужка: (7 - x). Тут буде мінус мільярд, від якого «відгризли» жалюгідний шматочок у вигляді сімки. Тобто. отримане число мало чим відрізнятиметься від мінус мільярда — воно буде негативним.

Залишилося знайти знак всього твору. Оскільки в перших дужках у нас був плюс, а в останній мінус, отримуємо наступну конструкцію:

(+) · (+) · (−) = (−)

Підсумковий знак – мінус! І не має значення, чому дорівнює значення самої функції. Головне, що це — негативне, тобто. на правому інтервалі стоїть знак мінус. Залишилося виконати четвертий крок способу інтервалів: розставити всі знаки. Маємо:

Вихідна нерівність мала вигляд:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Отже, нас цікавлять інтервали, позначені знаком мінус. Виписуємо відповідь:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Ось і весь прийом, який я хотів розповісти. Насамкінець — ще одна нерівність, яка вирішується методом інтервалів із залученням нескінченності. Щоб візуально скоротити рішення, я не писатиму номери кроків та розгорнуті коментарі. Напишу тільки те, що дійсно треба писати під час вирішення реальних завдань:

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Замінюємо нерівність рівнянням і вирішуємо його:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Відзначаємо всі три корені на координатній прямій (відразу зі знаками):

Справа на координатній осі стоїть плюс, т.к. функція має вигляд:

f (x ) = x (2x + 8)(x − 3)

А якщо підставити нескінченність (наприклад, мільярд), отримаємо три позитивні дужки. Оскільки вихідний вираз має бути більшим за нуль, нас цікавлять лише плюси. Залишилось виписати відповідь:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Вирішення нерівностей онлайн

Перед тим як вирішувати нерівності, необхідно добре засвоїти, як вирішуються рівняння .

Не важливо якою є нерівність – строга () або нестрога (≤, ≥), насамперед приступають до вирішення рівняння, замінивши знак нерівності на рівність (=).

Пояснимо, що означає вирішити нерівність?

Після вивчення рівнянь у голові у школяра складається така картина: необхідно визначити такі значення змінної, у яких обидві частини рівняння набувають однакових значень. Іншими словами, знайти всі точки, у яких виконується рівність. Все правильно!

Коли говорять про нерівності, мають на увазі знаходження інтервалів (відрізків), на яких виконується нерівність. Якщо в нерівності дві змінні, то рішенням будуть не інтервали, а якісь площі на площині. Здогадайтеся самі, що буде розв'язанням нерівності від трьох змінних?

Як вирішувати нерівності?

Універсальним способом вирішення нерівностей вважають метод інтервалів (він же метод проміжків), який полягає у визначенні всіх інтервалів, у межах яких виконуватиметься задана нерівність.

Не вдаючись у тип нерівності, у разі це суть, потрібно вирішити відповідне рівняння і його коріння з наступним позначенням цих рішень на числової осі.

Як правильно записувати розв'язання нерівності?

Коли ви визначили інтервали розв'язків нерівності, потрібно грамотно виписати саме рішення. Є важливий нюанс – чи входять межі інтервалів до вирішення?

Тут усе просто. Якщо рішення рівняння задовольняє ОДЗ і нерівність є нестрогим, межа інтервалу входить у рішення нерівності. Інакше – ні.

Розглядаючи кожен інтервал, розв'язанням нерівності може бути сам інтервал, або напівінтервал (коли одна з його меж задовольняє нерівності), або відрізок – інтервал разом із його межами.

Важливий момент

Не думайте, що розв'язанням нерівності можуть бути лише інтервали, напівінтервали та відрізки. Ні, у рішення можуть входити і окремі точки.

Наприклад, у нерівності |x|≤0 лише одне рішення – це точка 0.

А в нерівності | x |

Навіщо потрібен калькулятор нерівностей?

Калькулятор нерівностей видає правильну підсумкову відповідь. При цьому здебільшого наводиться ілюстрація числової осі або площини. Видно, чи входять межі інтервалів у розв'язання чи ні – точки відображаються зафарбованими чи проколотими.

Завдяки онлайн калькулятору нерівностей можна перевірити, чи правильно ви знайшли корені рівняння, позначили їх на числовій осі та перевірили на інтервалах (і межах) виконання умови нерівності?

Якщо ваша відповідь розходиться з відповіддю калькулятора, то однозначно потрібно перевірити ще раз своє рішення і виявити припущену помилку.

А сьогодні раціональні нерівності в повному обсязі можуть вирішувати. Точніше, вирішувати можуть не тільки всі. Мало хто це може робити.
Кличко

Цей урок буде жорстким. Настільки жорстким, що до кінця його дійдуть лише Вибрані. Тому перед початком читання рекомендую прибрати від екранів жінок, кішок, вагітних дітей та...

Та гаразд, насправді все просто. Допустимо, ви освоїли метод інтервалів (якщо не освоїли - рекомендую повернутися і прочитати) і навчилися вирішувати нерівності виду $P\left(x \right) \gt 0$, де $P\left(x \right)$ - який-небудь багаточлен або добуток багаточленів.

Вважаю, що для вас не важко вирішити, наприклад, ось таку дичину (до речі, спробуйте для розминки):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Тепер трохи ускладнимо завдання і розглянемо не просто багаточлени, а так звані раціональні дроби виду:

де $P\left(x \right)$ і $Q\left(x \right)$ — ті самі багаточлени виду $((a)_(n))((x)^(n))+(( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, або твір таких багаточленів.

Це і буде раціональна нерівність. Важливим моментом є наявність змінної $x$ у знаменнику. Наприклад, ось це раціональні нерівності:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\\end(align)\]

А це — не раціональна, а звичайнісінька нерівність, яка вирішується методом інтервалів:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Забігаючи вперед, відразу скажу: існує як мінімум два способи вирішення раціональних нерівностей, але вони так чи інакше зводяться до вже відомого нам методу інтервалів. Тому перш ніж розбирати ці способи, давайте згадаємо старі факти, інакше толку від нового матеріалу не буде жодного.

Що вже треба знати

Важливих фактів немає багато. Справді знадобиться нам лише чотири.

Формули скороченого множення

Так, так: вони будуть переслідувати нас протягом усієї шкільної програми математики. І в університеті також. Цих формул досить багато, але нам знадобляться лише такі:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2)) \right); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2)) \right). \\ \end(align)\]

Зверніть увагу на останні дві формули – це сума та різниця кубів (а не куб суми чи різниці!). Їх легко запам'ятати, якщо помітити, що знак у першій дужці збігається зі знаком у вихідному виразі, а у другій - протилежний знаку вихідного виразу.

Лінійні рівняння

Це найпростіші рівняння виду $ax+b=0$, де $a$ і $b$ — це звичайні числа, причому $a\ne 0$. Таке рівняння вирішується просто:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\&ax=-b; \ & x = - \ frac (b) (a). \\ \end(align)\]

Зазначу, що маємо право ділити на коефіцієнт $a$, адже $a\ne 0$. Ця вимога цілком логічна, оскільки за $a=0$ ми отримаємо ось що:

По-перше, у цьому рівнянні немає змінної $x$. Це, взагалі кажучи, не повинно нас бентежити (таке трапляється, скажімо, в геометрії, причому досить часто), але все ж таки перед нами вже не лінійне рівняння.

По-друге, розв'язання цього рівняння залежить лише від коефіцієнта $b$. Якщо $b$ теж нуль, то наше рівняння має вигляд $0=0$. Ця рівність вірна завжди; отже, $x$ — будь-яке число (зазвичай це записується так: $x\in \mathbb(R)$). Якщо коефіцієнт $b$ не дорівнює нулю, то рівність $b=0$ будь-коли виконується, тобто. відповідей немає (записується $x\in \varnothing$ і читається "безліч рішень порожньо").

Щоб уникнути всіх цих складнощів, просто вважають $a\ne 0$, що анітрохи не обмежує нас у подальших роздумах.

Квадратні рівняння

Нагадаю, що квадратним рівнянням називається ось це:

Тут зліва многочлен другого ступеня, причому знову $a\ne 0$ (інакше замість квадратного рівняння отримаємо лінійне). Вирішуються такі рівняння через дискримінант:

1. Якщо $D \gt 0$, ми отримаємо два різні корені;
2. Якщо $ D = 0 $, то корінь буде один, але другий кратності (що це за кратність і як її враховувати про це трохи пізніше). Або можна сказати, що рівняння має два однакові корені;
3. При $D \lt 0$ коріння взагалі немає, а знак багаточлена $a((x)^(2))+bx+c$ за будь-якого $x$ збігається зі знаком коефіцієнта $a$. Це, до речі, дуже корисний факт, про який чомусь забувають розповісти під час уроків алгебри.

Саме коріння вважається за всією відомою формулою:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Звідси, до речі, обмеження на дискримінант. Адже квадратний корінь із негативного числа не існує. З приводу коріння у багатьох учнів моторошна каша в голові, тому я спеціально записав цілий урок: що таке корінь в алгебрі і як його рахувати — дуже рекомендую почитати.

Події з раціональними дробами

Все, що було написано вище, ви знаєте, якщо вивчали метод інтервалів. А ось те, що ми розберемо зараз, не має аналогів у минулому, — це абсолютно новий факт.

Визначення. Раціональний дріб - це вираз виду

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

де $P\left(x \right)$ і $Q\left(x \right)$ - багаточлени.

Очевидно, що з такого дробу легко отримати нерівність — достатньо лише приписати знак «більше» або «менше» праворуч. І трохи далі ми виявимо, що вирішувати такі завдання – одне задоволення, там усе дуже просто.

Проблеми починаються тоді, як у одному вираженні кілька таких дробів. Їх доводиться приводити до спільного знаменника - і саме в цей момент припускається велика кількість образливих помилок.

Тому для успішного вирішення раціональних рівнянь необхідно твердо засвоїти дві навички:

1. Розкладання багаточлена $P\left(x \right)$ на множники;
2. Власне, приведення дробів до спільного знаменника.

Як розкласти багаточлени на множники? Дуже просто. Нехай у нас є багаточлена виду

Прирівнюємо його до нуля. Отримаємо рівняння $n$-го ступеня:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Припустимо, ми вирішили це рівняння і отримали коріння $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (не лякайтеся: у більшості випадків цього коріння буде не більше двох) . У такому разі наш вихідний багаточлен можна переписати так:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(align)\]

От і все! Зверніть увагу: старший коефіцієнт $((a)_(n))$ нікуди не зник - він буде окремим множником перед дужками, і при необхідності його можна внести в будь-яку з цих дужок (практика показує, що при $((a)_ (n))\ne \pm 1$ серед коріння майже завжди є дроби).

Завдання. Спростіть вираз:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Рішення. Спочатку подивимося на знаменники: всі вони — лінійні двочлени, і розкладати на множники тут нічого. Тому давайте розкладемо на множники чисельники:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3 \right)\left(x-1 \right); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \right)\left(2-5x \right). \\end(align)\]

Зверніть увагу: у другому багаточлені старший коефіцієнт «2» у повній відповідності до нашої схеми спочатку опинився перед дужкою, а потім був внесений до першої дужки, оскільки там виліз дріб.

Те саме сталося і в третьому багаточлені, тільки там ще й порядок складених переплутаний. Однак коефіцієнт «−5» в результаті виявився внесений в другу дужку (пам'ятаєте: вносити множник можна в одну і тільки в одну дужку!), що позбавило нас незручностей, пов'язаних з дробовим корінням.

Щодо першого багаточлена, там все просто: його коріння шукається або стандартно через дискримінант, або за теорією Вієта.

Повернемося до вихідного виразу та перепишемо його з розкладеними на множники чисельниками:

\[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matrix)\]

Відповідь: $5x+4$.

Як бачите, нічого складного. Небагато математики 7-8 класу - і все. Сенс всіх перетворень у тому й полягає, щоб отримати зі складного та страшного висловлювання щось просте, з чим легко працювати.

Але так буде не завжди. Тому зараз ми розглянемо більш серйозне завдання.

Але спочатку розберемося з тим, як привести два дроби до спільного знаменника. Алгоритм гранично простий:

1. Розкласти на множники обидва знаменники;
2. Розглянути перший знаменник і додати до нього множники, що є у другому знаменнику, проте відсутні у першому. Отриманий твір буде спільним знаменником;
3. З'ясувати, яких множників не вистачає кожного з вихідних дробів, щоб знаменники стали рівними загальному.

Можливо, цей алгоритм вам здасться просто текстом, в якому багато літер. Тому розберемо все на конкретному прикладі.

Завдання. Спростіть вираз:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Рішення. Такі об'ємні завдання краще вирішувати частинами. Випишемо те, що стоїть у першій дужці:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

На відміну від попереднього завдання, тут із знаменниками все не так просто. Розкладемо на множники кожен із них.

Квадратний тричлен $((x)^(2))+2x+4$ на множники не розкладається, оскільки рівняння $((x)^(2))+2x+4=0$ не має коріння (дискримінант негативний). Залишаємо його без змін.

Другий знаменник – кубічний багаточлен $((x)^(3))-8$ – при уважному розгляді є різницею кубів і легко розкладається за формулами скороченого множення:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \right)\]

Більше нічого розкласти на множники не можна, оскільки в першій дужці стоїть лінійний двочлен, а в другій — вже знайома нам конструкція, яка не має дійсних коренів.

Нарешті, третій знаменник є лінійний двочлен, який не можна розкласти. Таким чином, наше рівняння набуде вигляду:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]

Цілком очевидно, що спільним знаменником буде саме $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$, і для приведення до нього всіх дробів необхідно перший дроб домножити на $\left(x-2 \right)$, а останню - на $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Потім залишиться лише навести такі:

\[\begin(matrix) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ right))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ left(((x)^(2))+2x+4 \right)). \\ \end(matrix)\]

Зверніть увагу другий рядок: коли знаменник вже загальний, тобто. замість трьох окремих дробів ми написали один великий, не варто відразу позбавлятися дужок. Краще напишіть зайвий рядок і відзначте, що, скажімо, перед третім дробом стояв мінус — і він нікуди не подінеться, а «висітиме» в чисельнику перед дужкою. Це позбавить вас безлічі помилок.

Ну і в останньому рядку корисно розкласти на множники чисельник. Тим більше, що це точний квадрат, і нам на допомогу знову приходять формули скороченого множення. Маємо:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Тепер так само розберемося з другою дужкою. Тут я просто напишу ланцюжок рівностей:

\[\begin(matrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(matrix)\]

Повертаємося до вихідного завдання та дивимося на твір:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Відповідь: \[\frac(1)(x+2)\].

Сенс цього завдання такий самий, як і в попередньої: показати, наскільки можуть спрощуватися раціональні висловлювання, якщо підійти до їхнього перетворення з розумом.

І ось тепер, коли ви все це знаєте, давайте перейдемо до основної теми сьогоднішнього уроку — вирішення дробових раціональних нерівностей. Тим більше, що після такої підготовки самі нерівності ви будете клацати як горішки.

Основний спосіб вирішення раціональних нерівностей

Існує як мінімум два підходи до розв'язання раціональних нерівностей. Зараз ми розглянемо один із них — той, який є загальноприйнятим у шкільному курсі математики.

Але спочатку відзначимо важливу деталь. Усі нерівності поділяються на два типи:

1. Суворі: $f\left(x \right) \gt 0$ або $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Нестрогі: $f\left(x\right)\ge 0$ або $f\left(x \right)\le 0$.

Нерівності другого типу легко зводяться до першого, а також рівняння:

Це невелике «доповнення» $f\left(x \right)=0$ призводить до такої неприємної штуки, як зафарбовані точки - ми познайомилися з ними ще в методі інтервалів. В іншому ніяких відмінностей між строгими та нестрогими нерівностями немає, тому давайте розберемо універсальний алгоритм:

1. Зібрати всі ненульові елементи з одного боку від нерівності. Наприклад, ліворуч;
2. Привести всі дроби до спільного знаменника (якщо таких дробів виявиться кілька), навести подібні. Потім по можливості розкласти на чисельник та знаменник на множники. Так чи інакше ми отримаємо нерівність виду $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, де "галочка" - знак нерівності.
3. Прирівнюємо чисельник до нуля: $ P \ left (x \ right) = 0 $. Вирішуємо це рівняння і отримуємо коріння $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Потім вимагаємо, щоб знаменник дорівнював нулю: $Q\left(x \right)\ne 0$. Зрозуміло, насправді доводиться вирішити рівняння $Q\left(x \right)=0$, і ми отримаємо коріння $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*)$, $x_(3 )^(*)$, ... (в справжніх завданнях такого коріння навряд чи буде більше трьох).
4. Відзначаємо все це коріння (і зі зірочками, і без) на єдиній числовій прямій, причому коріння без зірок зафарбоване, а зі зірками — виколоте.
5. Розставляємо знаки «плюс» та «мінус», вибираємо ті інтервали, які нам потрібні. Якщо нерівність має вигляд $f\left(x \right) \gt 0$, то відповідь підуть інтервали, відзначені «плюсом». Якщо $f\left(x \right) \lt 0$, то дивимося на інтервали з мінусами.

Практика показує, що найбільші труднощі викликають пункти 2 і 4 - грамотні перетворення та правильне розміщення чисел у порядку зростання. Ну, і на останньому кроці будьте дуже уважні: ми завжди розставляємо знаки, спираючись на остання нерівність, записана перед переходом до рівнянь. Це універсальне правило, успадковане ще методу інтервалів.

Отже схема є. Давайте потренуємось.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Рішення. Перед нами суворе нерівність виду $f\left(x \right) \lt 0$. Очевидно, пункти 1 і 2 з нашої схеми вже виконані: всі елементи нерівності зібрані ліворуч, до спільного знаменника нічого не треба приводити. Тому переходимо одразу до третього пункту.

Прирівнюємо до нуля чисельник:

\[\begin(align) & x-3=0; \&x=3. \end(align)\]

І знаменник:

\[\begin(align) & x+7=0; \&((x)^(*))=-7. \\ \end(align)\]

У цьому місці багато хто залипає, адже за ідеєю потрібно записати $x+7\ne 0$, як того вимагає ОДЗ (на нуль ділити не можна, ось це все). Але ж надалі ми виколюватимемо точки, що прийшли зі знаменника, тому зайвий раз ускладнювати свої викладки не варто — скрізь пишіть знак рівності і не парьтесь. Ніхто за це бали не знизить.

Четвертий пункт. Відзначаємо отримане коріння на числовій прямій:

Усі точки виколоті, оскільки нерівність — сувора

Зверніть увагу: всі точки виколоти, оскільки вихідна нерівність сувора. І тут уже неважливо: з чисельника ці точки прийшли чи зі знаменника.

Та й дивимося знаки. Візьмемо будь-яке число $((x)_(0)) \gt 3$. Наприклад, $((x)_(0))=100$ (але з тим самим успіхом можна було взяти $((x)_(0))=3,1$ або $((x)_(0)) = 1 000 000 $). Отримаємо:

Отже, праворуч від усіх коренів у нас позитивна область. А при переході через кожен корінь знак змінюється (так буде не завжди, але це пізніше). Тому переходимо до п'ятого пункту: розставляємо знаки та вибираємо потрібне:

Повертаємося до останньої нерівності, яка була перед розв'язанням рівнянь. Власне, воно збігається з вихідним, адже жодних перетворень у цьому ми не виконували.

Оскільки потрібно вирішити нерівність виду $f\left(x \right) \lt 0$, я заштрихував інтервал $x\in \left(-7;3 \right)$ - він єдиний відзначений знаком "мінус". Це є відповідь.

Відповідь: $x\in \left(-7;3 \right)$

От і все! Хіба складно? Ні, не складно. Правда, і завдання було легке. Зараз трохи ускладнимо місію і розглянемо «наворочені» нерівність. При його вирішенні я вже не даватиму таких докладних викладок — просто позначу ключові моменти. Загалом, оформимо його так, як оформляли б на самостійній роботі чи іспиті.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Рішення. Це не сувора нерівність виду $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $. Всі ненульові елементи зібрані зліва, різних знаменників немає. Переходимо до рівнянь.

Чисельник:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Rightarrow ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(align)\]

Знаменник:

\[\begin(align) & 13x-4=0; \ & 13x=4; \&((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(align)\]

Не знаю, що за збоченець становив це завдання, але коріння вийшло не дуже: їх буде важко розставити на числовій прямій. І якщо з коренем $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ все більш-менш ясно (це єдине позитивне число - воно буде праворуч), то $((x)_(1) ))=-(1)/(7)\;$ і $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ вимагають додаткового дослідження: яке з них більше?

З'ясувати це можна, наприклад, так:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) ))\]

Сподіваюся, не треба пояснювати, чому числовий дріб $-(2)/(14); \gt -(2)/(11)\;$? Якщо потрібно, рекомендую згадати, як виконувати дії з дробами.

А ми відзначаємо всі три корені на числовій прямій:

Крапки з чисельника зафарбовані, зі знаменника - виколоти

Розставляємо знаки. Наприклад, можна взяти $((x)_(0))=1$ і з'ясувати знак у цій точці:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\end(align)\]

Остання нерівність перед рівняннями була $f\left(x \right)\ge 0$, тому нас цікавить знак «плюс».

Отримали дві множини: один — звичайний відрізок, а другий — відкритий промінь на числовій прямій.

Відповідь: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Важливе зауваження щодо чисел, які ми підставляємо для з'ясування знака на правому інтервалі. Абсолютно необов'язково підставляти число, близьке до правого кореня. Можна брати мільярди або навіть «плюс-нескінченність» — у цьому випадку знак багаточлена, що стоїть у дужці, чисельнику або знаменнику, визначається виключно знаком старшого коефіцієнта.

Давайте ще раз подивимося на функцію $f\left(x \right)$ з останньої нерівності:

У її записі присутні три багаточлени:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \& ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \ & Q \ left (x \ right) = 13x-4. \end(align)\]

Всі вони є лінійними двочленами, і всі старші коефіцієнти (числа 7, 11 і 13) позитивні. Отже, при підстановці дуже великих чисел самі багаточлени теж будуть позитивні.

Це може здатися надмірно складним, але спочатку, коли ми розуміємо дуже легкі завдання. У серйозних нерівностях підстановка «плюс-нескінченності» дозволить нам з'ясувати знаки набагато швидше, ніж стандартне $((x)_(0))=100$.

Ми дуже скоро зіткнемося з такими завданнями. Але спочатку розберемо альтернативний спосіб розв'язання дрібно-раціональних нерівностей.

Альтернативний спосіб

Цей прийом мені підказала одна з моїх учениць. Сам я ніколи ним не користувався, проте практика показала, що багатьом учням справді зручніше вирішувати нерівності саме у такий спосіб.

Отже, вихідні дані ті самі. Потрібно вирішити дробово-раціональну нерівність:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Давайте подумаємо: чим багаточлен $Q\left(x \right)$ "гірше" багаточлена $P\left(x \right)$? Через що нам доводиться розглядати окремі групи коренів (зі зірочкою і без), думати про виколоті точки і т.д.? Все просто: у дробу є область визначення, згідно з якою дріб має сенс лише тоді, коли його знаменник відмінний від нуля.

В іншому ніяких відмінностей між чисельником і знаменником не простежується: ми так само прирівнюємо його до нуля, шукаємо коріння, потім відзначаємо їх на числовій прямій. То чому б не замінити дробову межу (фактично - знак розподілу) звичайним множенням, а всі вимоги ОДЗ прописати у вигляді окремої нерівності? Наприклад, так:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Зверніть увагу: такий підхід дозволить звести завдання до методу інтервалів, але при цьому не ускладнить рішення. Адже все одно ми прирівнюватимемо багаточлен $Q\left(x \right)$ до нуля.

Погляньмо, як це працює на реальних завданнях.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Рішення. Отже, переходимо до методу інтервалів:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Перша нерівність вирішується елементарно. Просто прирівнюємо кожну дужку до нуля:

\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \\ & x-11 = 0 \ Rightarrow ((x)_ (2)) = 11. \\ \end(align)\]

З другою нерівністю теж все просто:

Зазначаємо точки $((x)_(1))$ і $((x)_(2))$ на числовій прямій. Усі вони виколоті, оскільки нерівність суворе:

Права крапка виявилася виколотою двічі. Це нормально.

Зверніть увагу на точку $x=11$. Виходить, що вона «двічі виколота»: з одного боку, ми виколюємо її через суворість нерівності, з іншого — через додаткову вимогу ОДЗ.

У будь-якому випадку, це буде просто вибита точка. Тому розставляємо знаки для нерівності $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ — останньої, яку ми бачили перед тим, як почали вирішувати рівняння:

Нас цікавлять позитивні області, оскільки ми вирішуємо нерівність виду $f\left(x \right) \gt 0$ - їх і зафарбуємо. Залишилося лише записати відповідь.

Відповідь. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

На прикладі цього рішення хотів би застерегти вас від поширеної помилки серед учнів-початківців. А саме: ніколи не розкривайте дужки у нерівностях! Навпаки, намагайтеся все розкласти на множники - це спростить рішення і позбавить вас багатьох проблем.

Тепер спробуємо дещо складніше.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Рішення. Це не сувора нерівність виду $ f \ left (x \ right) \ le 0 $, тому тут потрібно уважно стежити за зафарбованими точками.

Переходимо до методу інтервалів:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\\end(align) \right.\]

Переходимо до рівняння:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1)) = 6,5; \ & 12x-9 = 0 \ Rightarrow ((x)_ (2)) = 0,75; \\ & 15x+33=0\Rightarrow ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(align)\]

Враховуємо додаткову вимогу:

Відзначаємо всі отримані корені на числовій прямій:

Якщо точка одночасно і виколота, і зафарбована, вона вважається виколотою

Знову дві точки «накладаються» одна на одну – це нормально, так буде завжди. Важливо лише розуміти, що точка, позначена одночасно виколотий і зафарбованої, насправді виколота. Тобто. «виколювання» — сильніша дія, ніж «зафарбовування».

Це абсолютно логічно, адже виколювання ми відзначаємо точки, які впливають на знак функції, але самі не беруть участі у відповіді. І якщо в якийсь момент число перестає нас влаштовувати (наприклад, не потрапляє до ОДЗ), ми викреслюємо його з розгляду до кінця завдання.

Загалом, вистачить філософствувати. Розставляємо знаки та зафарбовуємо ті інтервали, які позначені знаком «мінус»:

Відповідь. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

І знову хотів звернути вашу увагу на це рівняння:

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

Ще раз: ніколи не розкривайте дужки у таких рівняннях! Ви лише ускладните собі завдання. Пам'ятайте: добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Отже, дане рівняння просто «розвалюється» на кілька дрібніших, які ми вирішували в попередній задачі.

Облік кратності коріння

З попередніх завдань легко помітити, що найбільшу складність становлять саме не суворі нерівності, тому що в них доводиться стежити за крапками.

Але у світі є ще більше зло - це кратне коріння в нерівності. Тут уже доводиться стежити не за якимись там зафарбованими точками - тут знак нерівності може раптово не змінитись при переході через ці точки.

Нічого подібного ми в цьому уроці ще не розглядали (хоча аналогічна проблема часто зустрічалася у методі інтервалів). Тому введемо нове визначення:

Визначення. Корінь рівняння $((\left(x-a \right))^(n))=0$ дорівнює $x=a$ і називається коренем $n$-ї кратності.

Власне, нас не дуже цікавить точне значення кратності. Важливо лише те, парним або непарним є це число $n$. Тому що:

1. Якщо $x=a$ корінь парної кратності, то знак функції при переході через нього не змінюється;
2. І навпаки, якщо $x=a$ — корінь непарної кратності, знак функції зміниться.

Приватним випадком кореня непарної кратності є попередні завдання, розглянуті у цьому уроці: там скрізь кратність дорівнює одиниці.

І ще. Перед тим, як ми почнемо вирішувати завдання, хотів би звернути вашу увагу на одну тонкість, яка здається очевидною для досвідченого учня, але вганяє в ступор багатьох початківців. А саме:

Корінь кратності $n$ виникає тільки в тому випадку, коли в цю ступінь зводиться весь вираз: $((\left(x-a \right))^(n))$, а не $\left(((x)^( n))-a \right)$.

Ще раз: дужка $((\left(x-a \right))^(n))$ дає нам корінь $x=a$ кратності $n$, а ось дужка $\left(((x)^(n)) -a \right)$ або, як часто буває, $(a-((x)^(n)))$ дає нам корінь (або два корені, якщо $n$ — парне) першої кратності незалежно від того, чому і $n$.

Порівняйте:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

Тут все чітко: вся дужка зводилася на п'ятий ступінь, тому на виході ми отримали корінь п'ятого ступеня. А зараз:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Ми отримали два корені, але обидва вони мають першу кратність. Або ось ще:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

І нехай вас не бентежить десятий ступінь. Головне, що 10 - це парне число, тому на виході маємо два корені, і вони знову мають першу кратність.

Загалом будьте уважні: кратність виникає лише тоді, коли ступінь відноситься до всієї дужки, а не лише до змінної.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7) \right))^(5)))\ge 0\]

Рішення. Спробуємо вирішити її альтернативним способом через перехід від приватного до твору:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align ) \right.\]

Розбираємось з першою нерівністю методом інтервалів:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \right))^(5))=0; \& ((x)^(2))=0\Rightarrow x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\&x+4=0\Rightarrow x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \end(align)\]

Додатково вирішуємо другу нерівність. Насправді ми вже вирішували його, але щоб перевіряючі не причепилися до рішення, краще вирішити його ще раз:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Зверніть увагу: жодних кратностей в останній нерівності немає. Справді: яка різниця, скільки разів викреслювати точку $x=-7$ на числовій прямій? Хоч один раз, хоч п'ять — результат буде той самий: виколота точка.

Зазначимо все, що ми отримали, на числовій прямій:

Як я й казав, точка $x=-7$ у результаті буде виколота. Кратності розставлені з вирішення нерівності шляхом інтервалів.

Залишилося розставити знаки:

Оскільки точка $x=0$ є коренем парної кратності, знак під час переходу неї не змінюється. Інші точки мають непарну кратність, і з ними все просто.

Відповідь. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Ще раз зверніть увагу на $x=0$. Через парну кратність виникає цікавий ефект: ліворуч від неї все зафарбовано, праворуч - теж, та й сама точка цілком собі зафарбована.

Як наслідок, її не потрібно відокремлювати під час запису відповіді. Тобто. не треба писати що-небудь на кшталт $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (хоча формально така відповідь теж буде правильною). Натомість відразу пишемо $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Такі ефекти можливі лише при корінні парної кратності. І в наступному завданні ми зіткнемося із зворотним «виявом» цього ефекту. Чи готові?

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Рішення. На цей раз підемо за стандартною схемою. Прирівнюємо до нуля чисельник:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \ & x-4 = 0 \ Rightarrow ((x)_ (2)) = 4. \\ \end(align)\]

І знаменник:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(align)\]

Оскільки ми вирішуємо несувору нерівність виду $f\left(x \right)\ge 0$, коріння зі знаменника (яке зі зірочками) буде виколото, а з чисельника — зафарбовано.

Розставляємо знаки та штрихуємо області, відзначені «плюсом»:

Крапка $x = 3 $ - ізольована. Це частина відповіді

Перед тим, як записати остаточну відповідь, уважно подивимося на картинку:

1. Крапка $x=1$ має парну кратність, але сама виколота. Отже, її доведеться відокремити у відповіді: треба записати $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, а не $x\in \left(-\ infty ;2 \right)$.
2. Крапка $x=3$ теж має парну кратність і при цьому зафарбована. Розставляння знаків свідчить, що сама точка нас влаштовує, але крок ліворуч-право — і ми потрапляємо в область, яка нас точно не влаштовує. Такі точки називаються ізольованими і записуються як $x\in \left\( 3 \right\)$.

Об'єднуємо всі отримані шматочки в загальну кількість і записуємо відповідь.

Відповідь: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Визначення. Вирішити нерівність - значить знайти безліч усіх його рішень, або довести, що це безліч пусто.

Здавалося б: що тут може бути незрозумілим? Та в тому й річ, що безлічі можна ставити по-різному. Давайте ще раз випишемо відповідь до останнього завдання:

Читаємо буквально, що написано. Змінна «ікс» належить нікому множині, що виходить об'єднанням (значок «U») чотирьох окремих множин:

• Інтервал $\left(-\infty ;1 \right)$, який буквально означає "всі числа, менші одиниці, але не сама одиниця";
• Інтервал $ \ left (1; 2 \ right) $, тобто. «Всі числа в межах від 1 до 2, але не самі числа 1 та 2»;
• Безліч $ \ left \ (3 \ right \) $, Що складається з одного-одного числа - трійки;
• Інтервал $ \ left [4; 5 \ right) $, що містить всі числа в межах від 4 до 5, а також саму четвірку, але не п'ятірку.

Інтерес тут є третім пунктом. На відміну від інтервалів, які задають нескінченні набори чисел і лише позначають лише межі цих наборів, безліч $ \ left \ (3 \ right \) $ ставить строго одне число шляхом перерахування.

Щоб зрозуміти, що ми саме перераховуємо конкретні числа, що входять до множини (а не задаємо кордону або ще), використовуються фігурні дужки. Наприклад, запис $ \ left \ (1; 2 \ right \) $ означає саме «множина, що складається з двох чисел: 1 і 2», але ніяк не відрізок від 1 до 2. У жодному разі не плутайте ці поняття.

Правило складання кратностей

Ну і на закінчення сьогоднішнього уроку трохи жерсті від Павла Бердова.

Уважні учні вже напевно поцікавилися: а що буде, якщо в чисельнику і знаменнику виявиться однакове коріння? Так ось, працює таке правило:

Кратності однакового коріння складаються. Завжди. Навіть якщо це коріння зустрічається і в чисельнику, і в знаменнику.

Іноді краще вирішувати, ніж казати. Тому вирішуємо таке завдання:

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \right))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(align)\]

Поки що нічого особливого. Прирівнюємо до нуля знаменник:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Rightarrow x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rightarrow x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(align)\]

Виявлено два однакові корені: $((x)_(1))=-2$ і $x_(4)^(*)=-2$. Обидва мають першу кратність. Отже, замінюємо їх одним коренем $x_(4)^(*)=-2$, але вже з кратністю 1+1=2.

Крім того, є ще однакові корені: $((x)_(2))=-4$ і $x_(2)^(*)=-4$. Вони теж першої кратності, тому залишиться лише $x_(2)^(*)=-4$ кратності 1+1=2.

Зверніть увагу: в обох випадках ми залишили саме виколотий корінь, а зафарбований викинули з розгляду. Тому що ще на початку уроку домовилися: якщо точка одночасно і виколота, і зафарбована, ми все одно вважаємо її виколотою.

У результаті у нас є чотири корені, причому всі виявилися виколоті:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \& x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \right). \\ \end(align)\]

Зазначаємо їх на числовій прямій з урахуванням кратності:

Розставляємо знаки і зафарбовуємо області, що цікавлять нас:

Усе. Жодних ізольованих точок та інших збочень. Можна записувати відповідь.

Відповідь. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

Правило множення кратностей

Іноді зустрічається ще більш неприємна ситуація: рівняння, що має кратне коріння, саме зводиться в деякий ступінь. При цьому змінюються кратності всіх вихідних коренів.

Таке зустрічається рідко, тому більшість учнів немає досвіду вирішення подібних завдань. А правило тут таке:

При зведенні рівняння ступінь $n$ кратності всіх його коренів теж збільшуються в $n$ разів.

Іншими словами, зведення у ступінь призводить до множення кратностей на той самий ступінь. Розглянемо це правило на прикладі:

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

Рішення. Прирівнюємо до нуля чисельник:

Твір дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. З першим множником зрозуміло: $x=0$. А ось далі починаються проблеми:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \&((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \ & ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(align)\]

Як бачимо, рівняння $((x)^(2))-6x+9=0$ має єдиний корінь другої кратності: $x=3$. Потім усе це рівняння зводиться у квадрат. Отже, кратність кореня становитиме $2\cdot 2=4$, що ми зрештою й записали.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

Зі знаменником теж жодних проблем:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(align)\]

У сумі у нас вийшло п'ять точок: дві виколоті і три зафарбовані. Збігаються коріння в чисельнику і знаменнику не спостерігається, тому просто відзначаємо їх на числовій прямій:

Розставляємо знаки з урахуванням кратностей і зафарбовуємо інтервали, що цікавлять нас:

Знову одна ізольована точка та одна виколота

Через коріння парної кратності знову отримали пару «нестандартних» елементів. Це $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, а не $x\in \left[ 0;2 \right)$, а також ізольована точка $ x\in \left\(3 \right\)$.

Відповідь. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Як бачите, все не так складно. Головне – уважність. Останній розділ цього уроку присвячений перетворенням - тим, які ми обговорювали на самому початку.

Попередні перетворення

Нерівності, які ми розберемо у цьому розділі, не можна назвати складними. Однак, на відміну від попередніх завдань, тут доведеться застосувати навички з теорії раціональних дробів — розкладання на множники та приведення до спільного знаменника.

Ми детально обговорювали це питання на початку сьогоднішнього уроку. Якщо ви не впевнені, що розумієте, про що мова — рекомендую повернутися і повторити. Тому що немає жодного сенсу зубрити методи розв'язання нерівностей, якщо ви «плаваєте» у перетворенні дробів.

У домашній роботі, до речі, також буде багато подібних завдань. Вони винесені до окремого підрозділу. І там на вас чекають дуже нетривіальні приклади. Але це буде в будинку, а зараз давайте розберемо пару таких нерівностей.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Рішення. Переносимо все вліво:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Приводимо до спільного знаменника, розкриваємо дужки, наводимо подібні доданки в чисельнику:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \) right))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Тепер перед нами класична дробно-раціональна нерівність, вирішення якої вже не становить труднощів. Пропоную вирішити його альтернативним методом через метод інтервалів:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \& ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(align)\]

Не забуваємо обмеження, що прийшло зі знаменника:

Відзначаємо всі числа та обмеження на числовій прямій:

Усі коріння мають першу кратність. Ніяких проблем. Просто розставляємо знаки та зафарбовуємо потрібні нам області:

Це все. Можна записувати відповідь.

Відповідь. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Зрозуміло, це був зовсім просто приклад. Тому зараз розглянемо завдання серйозніше. І до речі, рівень цього завдання цілком відповідає самостійним та контрольним роботам з цієї теми у 8 класі.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Рішення. Переносимо все вліво:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Перед тим, як приводити обидва дроби до спільного знаменника, розкладемо ці знаменники на множники. Раптом вилізуть однакові дужки? З першим знаменником легко:

\[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

З другим трохи складніше. Не соромтеся вносити множник-константу в ту дужку, де виявився дріб. Пам'ятайте: вихідний багаточлен мав цілі коефіцієнти, тому велика ймовірність, що і розкладання на множники матиме цілі коефіцієнти (насправді так буде завжди, за винятком випадків, коли дискримінант є ірраціональним).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

Як бачимо, є загальна дужка: $ \ left (x-1 \ right) $. Повертаємося до нерівності і наводимо обидва дроби до спільного знаменника:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(align)\]

Прирівнюємо до нуля знаменник:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( align)\]

Жодних кратностей і збігаються коріння. Зазначаємо чотири числа на прямій:

Розставляємо знаки:

Записуємо відповідь.

Відповідь: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ right) $.

Всі! Лайк тому, то дочитав до цього рядка.

Лінійними називаються нерівностіліва і права частина яких є лінійними функціями щодо невідомої величини. До них відносяться, наприклад, нерівності:

2х-1-х +3; 7х0;

5 >4 - 6x 9- x< x + 5 .

1) Суворі нерівності: ax +b>0або ax + b<0

2) Нестрогі нерівності: ax +b≤0або ax + b≫ 0

Розберемо таке завдання. Одна із сторін паралелограма становить 7см. Якою має бути довжина іншої сторони, щоб периметр паралелограма був більшим за 44 см?

Нехай шукана сторона складе хсм. У такому разі периметр паралелограма буде представлений (14 + 2х) см. Нерівність 14 + 2х > 44 є математичною моделлю задачі про периметр паралелограма. Якщо в цій нерівності замінити змінну хна, наприклад, число 16, то отримаємо правильну числову нерівність 14 + 32 > 44. У такому разі кажуть, що число 16 є розв'язком нерівності 14 + 2х > 44.

Розв'язанням нерівностіназивають значення змінної, яке звертає їх у правильну числову нерівність.

Отже, кожне із чисел 15,1; 20;73 виступають розв'язком нерівності 14 + 2х > 44, а число 10, наприклад, не є його розв'язком.

Вирішити нерівністьозначає встановити всі рішення або довести, що рішень не існує.

Формулювання розв'язання нерівності подібне до формулювання кореня рівняння. І все ж таки не прийнято позначати «корінь нерівності».

Властивості числових рівностей допомагали вирішувати рівняння. Так само властивості числових нерівностей допоможуть вирішувати нерівності.

Вирішуючи рівняння, ми змінюємо його іншим, більш простим рівнянням, але рівнозначним заданому. За такою схемою знаходять відповідь і нерівності. При зміні рівняння на рівнозначне йому рівняння користуються теоремою про перенесення доданків з однієї частини рівняння на протилежну і про множення обох частин рівняння на те саме відмінне від нуля число. При розв'язанні нерівності є істотна відмінність його з рівнянням, яке полягає в тому, що будь-яке рішення рівняння можна перевірити просто підстановкою у вихідне рівняння. У нерівностях такий спосіб відсутня, так як незліченна безліч рішень підставити у вихідну нерівність неможливо. Тому є важливе поняття, ось ці стрілочки<=>- це знак еквівалентних, чи рівносильних, перетворень. Перетворення називаються рівносильними,або еквівалентнимиякщо вони не змінюють безліч рішень.

Подібні правила розв'язання нерівностей.

Якщо яке-небудь доданок перемістити з однієї частини нерівності до іншої, замінивши при цьому його знак на протилежний, то отримаємо нерівність, еквівалентну даному.

Якщо обидві частини нерівності помножити (розділити) на те саме позитивне число, то отримаємо нерівність, еквівалентну даному.

Якщо обидві частини нерівності помножити (розділити) на те саме негативне число, замінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то отримаємо нерівність, еквівалентну даному.

Використовуючи ці правилаобчислимо нижченаведені нерівності.

1) Розберемо нерівність 2x - 5 > 9.

Це лінійна нерівність, знайдемо його рішення та обговоримо основні поняття.

2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 перенесли до лівої частини з протилежним знаком), далі поділили все на 2 і маємо x > 7. Нанесемо багато рішень на вісь x

Нами отримано позитивно спрямований промінь. Зазначимо безліч рішень або як нерівності x > 7, або як інтервалу х(7; ∞). А що є приватним рішенням цієї нерівності? Наприклад, x = 10- це приватне вирішення цієї нерівності, x = 12- це також приватне вирішення цієї нерівності.

Приватних рішень багато, але наше завдання знайти всі рішення. А рішень, як правило, безліч.

Розберемо приклад 2:

2) Вирішити нерівність 4a - 11 > a + 13.

Вирішимо його: аперемістимо в один бік, 11 перемістимо в інший бік, отримаємо 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 нерівність має вигляд a<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>a< 8 .

Теж відобразимо безліч a< 8 , але вже на осі а.

Відповідь або пишемо як нерівності a< 8, либо а(-∞;8), 8 не включається.

Сьогодні, друзі, не буде жодних соплів та сантиментів. Замість них я без зайвих питань відправлю вас у бій з одним із найгрізніших супротивників у курсі алгебри 8-9 класу.

Так, ви все правильно зрозуміли: йдеться про нерівності з модулем. Ми розглянемо чотири основні прийоми, за допомогою яких ви навчитеся вирішувати близько 90% таких завдань. А що з рештою 10%? Що ж, про них ми поговоримо в окремому уроці.

Однак перед тим, як розбирати якісь там прийоми, хотілося б нагадати два факти, які потрібно знати. Інакше ви ризикуєте взагалі зрозуміти матеріал сьогоднішнього уроку.

Що вже треба знати

Очевидність як би натякає, що для вирішення нерівностей з модулем необхідно знати дві речі:

1. Як вирішуються нерівності;
2. Що таке модуль?

Почнемо із другого пункту.

Визначення модуля

Тут усе просто. Є два визначення: алгебраїчне та графічне. Для початку - алгебраїчне:

Визначення. Модуль числа $x$ - це або це число, якщо воно неотрицательно, або число, йому протилежне, якщо вихідний $x$ - все-таки негативний.

Записується це так:

\[\left| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\end(align) \right.\]

Говорячи простою мовою, модуль це «число без мінуса». І саме в цій двоїстості (десь із вихідним числом нічого не треба робити, а десь доведеться прибрати якийсь там мінус) і полягає вся складність для учнів-початківців.

Є ще геометричне визначення. Його теж корисно знати, але звертатися до нього ми будемо лише у складних і якихось спеціальних випадках, де геометричний підхід зручніший за алгебраїчний (спойлер: не сьогодні).

Визначення. Нехай на числовій прямій відзначено точку $a$. Тоді модулем $ \ left | x-a \right|$ називається відстань від точки $x$ до точки $a$ на цій прямій.

Якщо накреслити картинку, то вийде щось на кшталт цього:

Графічне визначення модуля

Так чи інакше, з визначення модуля відразу випливає його ключова властивість: модуль числа завжди є величиною невід'ємною. Цей факт буде червоною ниткою йти через всю нашу сьогоднішню розповідь.

Вирішення нерівностей. Метод інтервалів

Тепер розберемося з нерівністю. Їх існує безліч, але наше завдання зараз — уміти вирішувати хоча б найпростіші з них. Ті, що зводяться до лінійних нерівностей, і навіть методу інтервалів.

На цю тему у мене є два великі уроки (між іншим, дуже, дуже корисних - рекомендую вивчити):

1. Метод інтервалів для нерівностей (особливо перегляньте відео);
2. Дробно-раціональні нерівності - дуже об'ємний урок, але після нього у вас взагалі не залишиться будь-яких питань.

Якщо ви все це знаєте, якщо фраза «перейдемо від нерівності до рівняння» не викликає у вас невиразне бажання убитися об стіну, то ви готові: ласкаво просимо до пекла до основної теми уроку.:)

1. Нерівності виду «Модуль менший за функцію»

Це одне з найпоширеніших завдань з модулями. Потрібно вирішити нерівність виду:

\[\left| f \right| \lt g\]

У ролі функцій $f$ і $g$ може бути будь-що, але зазвичай це многочлены. Приклади таких нерівностей:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \right| \lt x+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\left| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Всі вони вирішуються буквально в один рядок за схемою:

\[\left| f \right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \right.\right)\]

Неважко помітити, що позбавляємося модуля, але натомість отримуємо подвійну нерівність (або, що теж саме, систему з двох нерівностей). Проте цей перехід враховує абсолютно всі можливі проблеми: якщо число під модулем позитивне, метод працює; якщо негативно - все одно працює; і навіть за самої неадекватної функції дома $f$ чи $g$ метод все одно спрацює.

Звичайно, виникає питання: а простіше не можна? На жаль, не можна. У цьому вся фішка модуля.

Втім, вистачить філософствувати. Давайте вирішимо кілька завдань:

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\left| 2x+3 \right| \lt x+7\]

Рішення. Отже, перед нами класична нерівність виду "модуль менший" - навіть перетворювати нічого. Працюємо за алгоритмом:

\[\begin(align) & \left| f \right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \right| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\end(align)\]

Не поспішайте розкривати дужки, перед якими стоїть «мінус»: цілком можливо, що через поспіх ви припуститеся образливої ​​помилки.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Завдання звелося до двох елементарних нерівностей. Зазначимо їх вирішення на паралельних числових прямих:

Перетин множин

Перетином цих множин і буде відповідь.

Відповідь: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Рішення. Це завдання вже трохи складніше. Для початку усамітнимо модуль, перенісши друге доданок вправо:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Очевидно, перед нами знову нерівність виду «модуль менший», тому позбавляємося модуля за вже відомим алгоритмом:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Ось зараз увага: хтось скаже, що я трохи збоченець із усіма цими дужками. Але ще раз нагадаю, що наша ключова мета грамотно вирішити нерівність та отримати відповідь. Пізніше, коли ви досконало освоїте все, що розповідається в цьому уроці, можете самі перекручуватися як хочете: розкривати дужки, вносити мінуси і т.д.

А ми для початку просто позбудемося подвійного мінусу зліва:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\left(x+1 \right)\]

Тепер розкриємо всі дужки у подвійній нерівності:

Переходимо до подвійної нерівності. На цей раз викладки будуть серйознішими:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( align) \right.\]

Обидві нерівності є квадратними і вирішуються методом інтервалів (бо й кажу: якщо не знаєте, що це таке, краще поки не братися за модулі). Переходимо до рівняння у першій нерівності:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \ & x \ left (x +5 \ right) = 0; \&((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\end(align)\]

Як бачимо, на виході вийшло неповне квадратне рівняння, яке вирішується елементарно. Тепер розберемося з другою нерівністю системи. Там доведеться застосувати теорему Вієта:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\end(align)\]

Зазначаємо отримані числа на двох паралельних прямих (окрема для першої нерівності та окрема для другої):

Знову ж таки, оскільки ми вирішуємо систему нерівностей, нас цікавить перетин заштрихованих множин: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Це є відповідь.

Відповідь: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Думаю, після цих прикладів схема рішення гранично зрозуміла:

1. Усамітнити модуль, перенісши всі інші доданки в протилежну частину нерівності. Таким чином, ми отримаємо нерівність виду $\left| f \right| \lt g$.
2. Вирішити цю нерівність, позбавившись модуля за описаною вище схемою. У якийсь момент потрібно перейти від подвійної нерівності до системи з двох самостійних виразів, кожне з яких можна вирішувати окремо.
3. Нарешті, залишиться лише перетнути рішення цих двох самостійних висловів — і все ми отримаємо остаточну відповідь.

Аналогічний алгоритм існує й у нерівностей наступного типу, коли модуль більше функції. Однак там є кілька серйозних «але». Про ці «але» ми зараз і поговоримо.

2. Нерівності виду "Модуль більше функції"

Виглядають вони так:

\[\left| f \right| \gt g\]

Схоже на попереднє? Схоже. Проте вирішуються такі завдання зовсім по-іншому. Формально схема наступна:

\[\left| f \right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\end(align) \right.\]

Іншими словами, ми розглядаємо два випадки:

1. Спочатку просто ігноруємо модуль - вирішуємо нормальну нерівність;
2. Потім по суті розкриваємо модуль зі знаком мінус, а потім множимо обидві частини нерівності на −1, мене при цьому знак.

У цьому варіанти об'єднані квадратною дужкою, тобто. маємо сукупність двох вимог.

Зверніть увагу ще раз: перед нами не система, а сукупність, тому у відповіді безлічі об'єднуються, а не перетинаються. Це важлива відмінність від попереднього пункту!

Взагалі, з об'єднаннями та перетинами у багатьох учнів суцільна плутанина, тому давайте розберемося в цьому питанні раз і назавжди:

• "∪" - це знак об'єднання. По суті, це стилізована літера U, яка прийшла до нас з англійської мови і є абревіатурою від Union, тобто. "Об'єднання".
• "∩" - це знак перетину. Ця хрень звідки не прийшла, а просто виникла як протиставлення до «∪».

Щоб ще простіше було запам'ятати, просто прималюйте до цих знаків ніжки, щоб вийшли келихи (ось тільки не треба зараз звинувачувати мене у пропаганді наркоманії та алкоголізму: якщо ви всерйоз вивчаєте цей урок, то ви вже наркоман):

Різниця між перетином та об'єднанням множин

У перекладі російською це таке: об'єднання (сукупність) включає у собі елементи з обох множин, тому не менше кожного їх; а ось перетин (система) включає лише ті елементи, які одночасно знаходяться і в першій множині, і в другій. Тому перетин множин ніколи не буває більше множин-вихідників.

Так стало зрозуміліше? От і відмінно. Переходимо до практики.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\left| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]

Рішення. Діємо за схемою:

\[\left| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\end(align) \ right.\]

Вирішуємо кожну нерівність сукупності:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Відзначаємо кожну отриману множину на числовій прямій, а потім об'єднуємо їх:

Об'єднання множин

Цілком очевидно, що відповіддю буде $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Відповідь: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

Рішення. Ну що? Та нічого — все те саме. Переходимо від нерівності з модулем до сукупності двох нерівностей:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Вирішуємо кожну нерівність. На жаль, коріння там буде не дуже.

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \&((x)^(2))+x-3 \gt 0; \& D=1+12=13; \ & x = \ frac (-1 \ pm \ sqrt (13)) (2). \\end(align)\]

У другій нерівності теж трохи дичини:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \& ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \& D=9+12=21; \ & x = \ frac (-3 \ pm \ sqrt (21)) (2). \\end(align)\]

Тепер треба відзначити ці числа на двох осях - по одній осі для кожної нерівності. Однак відмічати точки потрібно в правильному порядку: чим більше число, тим далі зсув крапку вправо.

І ось тут на нас чекає підстава. Якщо з числами $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ все ясно (доданки в чисельнику першого дробу менше доданків у чисельнику другого) , Тому сума теж менше), з числами $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt(21))(2)$ теж не виникне труднощів (позитивне число свідомо більше негативного), то з останньою парочкою все не так однозначно. Що більше: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ або $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Від відповіді це питання залежатиме розстановка точок на числових прямих і, власне, відповідь.

Тому давайте порівнювати:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

Ми усамітнили корінь, отримали негативні числа з обох сторін нерівності, тому маємо право звести обидві сторони в квадрат:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

Думаю, тут і їжу зрозуміло, що $4\sqrt(13) \gt 3$, тому $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) (2)$, остаточно точки на осях будуть розставлені ось так:

Випадок некрасивого коріння

Нагадаю, ми вирішуємо сукупність, тому у відповідь піде об'єднання, а не перетин заштрихованих множин.

Відповідь: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Як бачите, наша схема чудово працює як для простих задач, так і для жорстких. Єдине «слабке місце» у такому підході — треба грамотно порівнювати ірраціональні числа (і повірте: це не лише коріння). Але питанням порівняння буде присвячено окремий (і дуже серйозний урок). А ми йдемо далі.

3. Нерівності з невід'ємними «хвостами»

От ми й дісталися найцікавішого. Це нерівності виду:

\[\left| f \right| \gt \left| g \right|\]

Взагалі кажучи, алгоритм, про який ми зараз поговоримо, вірний лише для модуля. Він працює у всіх нерівностях, де ліворуч і праворуч стоять гарантовано невід'ємні вирази:

Що робити із цими завданнями? Просто пам'ятайте:

У нерівностях з невід'ємними «хвостами» можна зводити обидві частини у будь-яку натуральну міру. Жодних додаткових обмежень при цьому не виникне.

Насамперед нас цікавитиме зведення в квадрат — він спалює модулі та коріння:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \&((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\end(align)\]

Ось тільки не треба плутати це із вилученням кореня з квадрата:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Безліч помилок було допущено в той момент, коли учень забував ставити модуль! Але це зовсім інша історія (це ніби ірраціональні рівняння), тому не зараз у це заглиблюватимемося. Давайте краще вирішимо кілька завдань:

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\left| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

Рішення. Відразу зауважимо дві речі:

1. Це не сувора нерівність. Крапки на числовій прямій будуть виколоті.
2. Обидві сторони нерівності явно невід'ємні (ця властивість модуля: $ \ left | f \ left (x \ right) \ right | \ ge 0 $).

Отже, можемо звести обидві частини нерівності в квадрат, щоб позбавитися модуля і вирішувати завдання звичайним методом інтервалів:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) ) ^ (2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\end(align)\]

На останньому етапі я трохи схитрував: змінив послідовність доданків, користуючись парністю модуля (насправді, помножив вираз $1-2x$ на -1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \) right) \right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Вирішуємо методом інтервалів. Переходимо від нерівності до рівняння:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \&((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\end(align)\]

Відзначаємо знайдене коріння на числовій прямій. Ще раз: усі крапки зафарбовані, оскільки вихідна нерівність — не сувора!

Звільнення від знаку модуля

Нагадаю для особливо наполегливих: знаки ми беремо з останньої нерівності, яка була записана перед переходом до рівняння. І зафарбовуємо області, які потрібні в тій же нерівності. У нашому випадку це $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Ну от і все. Завдання вирішено.

Відповідь: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\left| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

Рішення. Робимо все те саме. Я не коментуватиму — просто подивіться на послідовність дій.

Зводимо у квадрат:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ right))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Метод інтервалів:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Rightarrow x = -1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing. \\end(align)\]

Всього один корінь на числовій прямій:

Відповідь - цілий інтервал

Відповідь: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.

Невелике зауваження щодо останнього завдання. Як точно зауважив один мій учень, обидва підмодульні вирази в даній нерівності явно позитивні, тому знак модуля можна без шкоди для здоров'я опустити.

Але це вже зовсім інший рівень роздумів та інший підхід його умовно можна назвати методом наслідків. Про нього в окремому уроці. А зараз перейдемо до фінальної частини сьогоднішнього уроку та розглянемо універсальний алгоритм, який працює завжди. Навіть тоді, коли всі попередні підходи виявилися безсилими.

4. Метод перебору варіантів

А якщо всі ці прийоми не допоможуть? Якщо нерівність не зводиться невід'ємним хвостам, якщо усамітнити модуль не виходить, якщо взагалі біль-сумно?

Тоді на сцену виходить важка артилерія всієї математики — метод перебору. Стосовно нерівностей із модулем виглядає він так:

1. Виписати всі підмодульні вирази та прирівняти їх до нуля;
2. Розв'язати отримані рівняння та відзначити знайдені корені на одній числовій прямій;
3. Пряма розіб'ється на кілька ділянок, усередині якого кожен модуль має фіксований знак і тому однозначно розкривається;
4. Вирішити нерівність на кожній такій ділянці (можна окремо розглянути корені-кордони, отримані в пункті 2 для надійності). Результати об'єднати - це і буде відповідь.

Ну як? Слабко? Легко! Тільки довго. Подивимося практично:

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Рішення. Ця хрень не зводиться до нерівностей виду $ \ left | f \right| \lt g$, $\left| f \right| \gt g$ або $\left| f \right| \lt \left| g \right|$, тому діємо напролом.

Виписуємо підмодульні вирази, прирівнюємо їх до нуля і знаходимо коріння:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \& x-1=0\Rightarrow x=1. \\end(align)\]

Разом у нас два корені, які розбивають числову пряму на три ділянки, всередині яких кожен модуль розкривається однозначно:

Розбиття числової прямої нулями підмодульних функцій

Розглянемо кожну ділянку окремо.

1. Нехай $x \lt -2$. Тоді обидва підмодульні вирази негативні, і вихідна нерівність перепишеться так:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1,5 \\ & x \gt 1,5 \\end(align)\]

Здобули досить просте обмеження. Перетнемо його з вихідним припущенням, що $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Очевидно, що змінна $x$ не може одночасно бути меншою за −2, але більше за 1,5. Рішень на цій ділянці немає.

1.1. Окремо розглянемо прикордонний випадок $x=-2$. Просто підставимо це число у вихідну нерівність і перевіримо: чи воно виконується?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \right|-2-1,5; \&0\lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing. \\end(align)\]

Очевидно, що ланцюжок обчислень привів нас до невірної нерівності. Отже, вихідне нерівність теж неправильне, і $x=-2$ не входить у відповідь.

2. Нехай тепер $-2 \lt x \lt 1$. Лівий модуль вже розкриється з плюсом, але правий все ще з мінусом. Маємо:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt -2,5 \\end(align)\]

Знову перетинаємо з вихідною вимогою:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

І знову порожня безліч рішень, оскільки немає таких чисел, які одночасно менші за −2,5, але більші за −2.

2.1. І знову окремий випадок: $ x = 1 $. Підставляємо у вихідну нерівність:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3 \right| \lt \left| 0 \right|+1-1,5; \ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing. \\end(align)\]

Аналогічно попередньому «частковому випадку», число $x=1$ явно не входить у відповідь.

3. Останній шматок прямий: $x \gt 1$. Тут усі модулі розкриваються зі знаком «плюс»:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(align)\]

І знову перетинаємо знайдену множину з вихідним обмеженням:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty) \right)\]

Ну нарешті то! Ми знайшли інтервал, який буде відповіддю.

Відповідь: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Насамкінець - одне зауваження, яке, можливо, убереже вас від дурних помилок при вирішенні реальних завдань:

Вирішення нерівностей з модулями зазвичай є суцільні множини на числовій прямій - інтервали та відрізки. Набагато рідше трапляються ізольовані точки. І ще рідше трапляється так, що меж рішення (кінець відрізка) збігається з межею аналізованого діапазону.

Отже, якщо кордони (ті самі «приватні випадки») не входять у відповідь, то майже, напевно, не увійдуть у відповідь і області зліва-право від цих кордонів. І навпаки: кордон увійшов у відповідь — отже, і якісь області навколо неї теж будуть відповідями.

Пам'ятайте про це, коли ви перевіряєте свої рішення.