На якому ми розібрали найпростіші похідні, а також познайомилися з правилами диференціювання та деякими технічними прийомами знаходження похідних. Таким чином, якщо з похідними функцій у Вас не дуже або якісь моменти цієї статті будуть не зовсім зрозумілі, то спочатку ознайомтеся з вищезазначеним уроком. Будь ласка, налаштуйтеся на серйозний лад - матеріал не з простих, але я намагаюся викласти його просто і доступно.
На практиці з похідною складної функції доводиться стикатися дуже часто, я навіть сказав, майже завжди, коли Вам дано завдання на перебування похідних.
Дивимося в таблицю правило (№ 5) диференціювання складної функції:
Розбираємось. Насамперед, звернемо увагу на запис . Тут у нас дві функції - і, причому функція, образно кажучи, вкладена у функцію. Функція такого виду (коли одна функція вкладена в іншу) і називається складною функцією.
Функцію я називатиму зовнішньою функцією, а функцію – внутрішньою (або вкладеною) функцією.
! Дані визначення не є теоретичними і не повинні фігурувати у оформленні завдань. Я застосовую неформальні вирази «зовнішня функція», «внутрішня» функція лише для того, щоб легше було зрозуміти матеріал.
Для того щоб прояснити ситуацію, розглянемо:
Приклад 1
Знайти похідну функції
Під синусом у нас знаходиться не просто буква «ікс», а ціле вираження, тому знайти похідну відразу по таблиці не вдасться. Також ми помічаємо, що тут неможливо застосувати перші чотири правила, начебто є різниця, але річ у тому, що «розривати на частини» синус не можна:
У цьому прикладі з моїх пояснень інтуїтивно зрозуміло, що функція – це складна функція, причому многочлен є внутрішньої функцією (вкладенням), а – зовнішньої функцією.
Перший крок, який потрібно виконати при знаходженні похідної складної функції полягає в тому, щоб розібратися, яка функція є внутрішньою, а яка – зовнішньою.
Що стосується простих прикладів начебто відомо, що з синус вкладено многочлен . А як бути, якщо все не очевидно? Як точно визначити яка функція є зовнішньою, а яка внутрішньою? Для цього я пропоную використовувати наступний прийом, який можна проводити подумки або на чернетці.
Уявимо, що нам потрібно обчислити на калькуляторі значення виразу (замість одиниці може бути будь-яке число).
Що ми обчислимо насамперед? В першу чергунеобхідно буде виконати таку дію: , тому многочлен і буде внутрішньої функцією : 
У другу чергупотрібно буде знайти, тому синус – буде зовнішньою функцією: 
Після того, як ми РОЗІБРАЛИСЯз внутрішньою та зовнішньою функціями саме час застосувати правило диференціювання складної функції 
.
Починаємо вирішувати. З уроку Як знайти похідну?ми пам'ятаємо, що оформлення рішення будь-якої похідної завжди починається так - укладаємо вираз у дужки і ставимо праворуч зверху штрих:
Спочаткузнаходимо похідну зовнішньої функції (синусу), дивимося на таблицю похідних елементарних функцій і помічаємо, що . Всі табличні формули застосовні і в тому випадку, якщо «ікс» замінити складним виразом, в даному випадку:
Зверніть увагу, що внутрішня функція не змінилася, її ми не чіпаємо.
Ну і цілком очевидно, що
Результат застосування формули 
у чистовому оформленні виглядає так:
Постійний множник зазвичай виносять на початок виразу:
Якщо залишилося якесь непорозуміння, перепишіть рішення на папір та ще раз прочитайте пояснення.
Приклад 2
Знайти похідну функції
Приклад 3
Знайти похідну функції
Як завжди записуємо: 
Розбираємось, де у нас зовнішня функція, а де внутрішня. Для цього пробуємо (подумки або на чернетці) обчислити значення виразу при . Що потрібно виконати насамперед? Насамперед треба порахувати чому і підставу: , отже, многочлен – і є внутрішня функція: 
І, тільки потім виконується зведення в ступінь, отже, статечна функція - це зовнішня функція: 
Згідно з формулою 
, спочатку потрібно знайти похідну від зовнішньої функції, у разі, від ступеня. Розшукуємо у таблиці необхідну формулу: . Повторюємо ще раз: будь-яка таблична формула справедлива не тільки для «ікс», але і для складного вираження. Таким чином, результат застосування правила диференціювання складної функції 
наступний:
Знову наголошую, що коли ми беремо похідну від зовнішньої функції, внутрішня функція у нас не змінюється: 
Тепер залишилося знайти зовсім просту похідну від внутрішньої функції і трохи зачісувати результат:
Приклад 4
Знайти похідну функції
Це приклад самостійного рішення (відповідь наприкінці уроку).
Для закріплення розуміння похідної складної функції наведу приклад без коментарів, спробуйте самостійно розібратися, поміркувати, де зовнішня і внутрішня функція, чому завдання вирішені саме так?
Приклад 5
а) Знайти похідну функції
б) Знайти похідну функції
Приклад 6
Знайти похідну функції 
Тут у нас корінь, а для того, щоб продиференціювати корінь, його потрібно подати у вигляді ступеня. Таким чином, спочатку наводимо функцію у належний для диференціювання вид:
Аналізуючи функцію, приходимо до висновку, що сума трьох доданків – це внутрішня функція, а зведення у ступінь – зовнішня функція. Застосовуємо правило диференціювання складної функції 
:
Ступінь знову представляємо у вигляді радикала (кореня), а для похідної внутрішньої функції застосовуємо просте правило диференціювання суми:
Готово. Можна ще у дужках навести вираз до спільному знаменникуі записати все одним дробом. Гарно, звичайно, але коли виходять громіздкі довгі похідні – краще цього не робити (легко заплутатися, припуститися непотрібної помилки, та й викладачеві буде незручно перевіряти).
Приклад 7
Знайти похідну функції
Це приклад самостійного рішення (відповідь наприкінці уроку).
Цікаво відзначити, що іноді замість правила диференціювання складної функції можна використовувати правило диференціювання приватного 
, але таке рішення виглядатиме як збочення незвичайно. Ось характерний приклад:
Приклад 8
Знайти похідну функції
Тут можна використовувати правило диференціювання приватного 
, але набагато вигідніше знайти похідну через правило диференціювання складної функції:
Підготовляємо функцію для диференціювання – виносимо мінус за знак похідної, а косинус піднімаємо у чисельник:
Косинус – внутрішня функція, зведення у ступінь – зовнішня функція.
Використовуємо наше правило 
:
Знаходимо похідну внутрішньої функції, косинус скидаємо назад вниз:
Готово. У розглянутому прикладі важливо не заплутатися у знаках. До речі, спробуйте вирішити його за допомогою правила 
, відповіді повинні збігтися.
Приклад 9
Знайти похідну функції
Це приклад самостійного рішення (відповідь наприкінці уроку).
Досі ми розглядали випадки, коли у нас у складній функції було лише одне вкладення. У практичних завданнях часто можна зустріти похідні, де, як матрьошки, одна в іншу, вкладені відразу 3, а то і 4-5 функцій.
Приклад 10
Знайти похідну функції
Розбираємось у вкладеннях цієї функції. Пробуємо обчислити вираз за допомогою піддослідного значення. Як би ми рахували на калькуляторі?
Спочатку потрібно знайти, значить, арксинус - найглибше вкладення:
Потім цей арксинус одиниці слід звести у квадрат:
І, нарешті, сімку зводимо в ступінь: 
Тобто, у цьому прикладі ми три різні функції і дві вкладення, у своїй, самої внутрішньої функцією є арксинус, а зовнішньої функцією – показова функція.
Починаємо вирішувати
Відповідно до правила 
Спочатку потрібно взяти похідну від зовнішньої функції. Дивимося в таблицю похідних та знаходимо похідну показової функції: Єдина відмінність – замість «ікс» у нас складний вираз, що не скасовує справедливість цієї формули Отже, результат застосування правила диференціювання складної функції 
наступний.
Висновок формули похідної степеневої функції(x у ступені a). Розглянуто похідні від коріння з x. Формула похідної статечної функції вищого порядку. Приклади обчислення похідних.
Похідна від x у ступені a дорівнює a , помноженому на x у ступені a мінус один:
(1)
.
Похідна від кореня ступеня n з x до ступеня m дорівнює:
(2)
.
Висновок формули похідної статечної функції
Випадок x > 0
Розглянемо статечну функцію від змінної x з показником ступеня a:
(3)
.
Тут a є довільним дійсним числом. Спочатку розглянемо випадок.
Щоб знайти похідну функції (3), скористаємось властивостями статечної функції та перетворимо її до наступного виду:
.
Тепер знаходимо похідну, застосовуючи:
;
.
Тут.
Формулу (1) доведено.
Висновок формули похідної від кореня ступеня n з x до ступеня m
Тепер розглянемо функцію, що є коренем такого виду:
(4)
.
Щоб знайти похідну, перетворимо корінь до статечної функції:
.
Порівнюючи з формулою (3) бачимо, що
.
Тоді
.
За формулою (1) знаходимо похідну:
(1)
;
;
(2)
.
Насправді немає необхідності запам'ятовувати формулу (2). Набагато зручніше спочатку перетворити коріння до статечних функцій, а потім знаходити їх похідні, застосовуючи формулу (1) (див. приклади наприкінці сторінки).
Випадок x = 0
Якщо , то статечна функція визначена при значенні змінної x = 0
. Знайдемо похідну функції (3) за x = 0
. Для цього скористаємося визначенням похідної:
.
Підставимо x = 0
:
.
При цьому під похідною ми розуміємо правосторонню межу, для якої .
Отже, ми знайшли:
.
Звідси видно, що з , .
При , .
При , .
Цей результат виходить і за формулою (1):
(1)
.
Тому формула (1) справедлива і за x = 0
.
Випадок x< 0
Знову розглянемо функцію (3):
(3)
.
При деяких значеннях постійної a вона визначена і при негативних значеннях змінної x . А саме, нехай буде раціональним числом. Тоді його можна уявити у вигляді нескоротного дробу:
,
де m і n - цілі числа, що не мають спільного дільника.
Якщо n непарне, то статечна функція визначена при негативних значеннях змінної x . Наприклад, при n = 3
і m = 1
ми маємо кубічний корінь з x:
.
Він визначений і за негативних значеннях змінної x .
Знайдемо похідну статечної функції (3) при і при раціональних значеннях постійної a для яких вона визначена. Для цього представимо x у такому вигляді:
.
Тоді ,
.
Знаходимо похідну, виносячи постійну за знак похідної та застосовуючи правило диференціювання складної функції:
.
Тут. Але
.
Оскільки , то
.
Тоді
.
Тобто формула (1) справедлива і за :
(1)
.
Похідні вищих порядків
Тепер знайдемо похідні вищих порядків від статечної функції
(3)
.
Похідну першого порядку ми вже знайшли:
.
Виносячи постійну a за знак похідної, знаходимо похідну другого порядку:
.
Аналогічним чином знаходимо похідні третього та четвертого порядків:
;
.
Звідси видно, що похідна довільного n-го порядкумає такий вигляд:
.
Зауважимо, що якщо a є натуральним числом
, , то n-я похідна є постійною:
.
Тоді всі наступні похідні дорівнюють нулю:
,
при .
Приклади обчислення похідних
Приклад
Знайдіть похідну функції:
.
Рішення
Перетворюємо коріння до ступенів:
;
.
Тоді вихідна функція набуває вигляду:
.
Знаходимо похідні ступенів:
;
.
Похідна постійної дорівнює нулю:
.
Операція відшукання похідної називається диференціюванням.
В результаті розв'язання задач про відшукання похідних у найпростіших (і не дуже простих) функцій визначення похідної як межі відношення прирощення до приросту аргументу з'явилися таблиця похідних і точно певні правиладиференціювання. Першими на ниві знаходження похідних попрацювали Ісаак Ньютон (1643-1727) та Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716).
Тому в наш час, щоб знайти похідну будь-якої функції, не треба обчислювати згадану вище межу відношення збільшення функції до збільшення аргументу, а потрібно лише скористатися таблицею похідних та правилами диференціювання. Для знаходження похідної підходить наступний алгоритм.
Щоб знайти похідну, треба вираз під знаком штриха розібрати на складові прості функціїта визначити, якими діями (твір, сума, приватна)пов'язані ці функції. Далі похідні елементарних функцій знаходимо у таблиці похідних, а формули похідних твору, суми та частки - у правилах диференціювання. Таблиця похідних та правила диференціювання дані після перших двох прикладів.
приклад 1.Знайти похідну функції
Рішення. З правил диференціювання з'ясовуємо, що похідна суми функцій є сума похідних функцій, тобто.
З таблиці похідних з'ясовуємо, що похідна "ікса" дорівнює одиниці, а похідна синуса - косінус. Підставляємо ці значення у суму похідних і знаходимо необхідну умовою завдання похідну:
приклад 2.Знайти похідну функції
Рішення. Диференціюємо як похідну суми, в якій другий доданок з постійним множником, його можна винести за знак похідної:
Якщо поки що виникають питання, звідки береться, вони зазвичай проясняються після ознайомлення з таблицею похідних і найпростішими правилами диференціювання. До них ми і переходимо зараз.
Таблиця похідних простих функцій
| 1. Похідна константи (числа). Будь-якого числа (1, 2, 5, 200 ...), яке є у вираженні функції. Завжди дорівнює нулю. Це дуже важливо пам'ятати, тому що потрібно дуже часто | |
| 2. Похідна незалежної змінної. Найчастіше "ікса". Завжди дорівнює одиниці. Це також важливо запам'ятати надовго | |
| 3. Похідна ступеня. У ступінь під час вирішення завдань необхідно перетворювати неквадратні коріння. | |
| 4. Похідна змінної ступеня -1 | |
| 5. Похідна квадратного кореня | |
| 6. Похідна синуса | |
| 7. Похідна косинуса |  |
| 8. Похідна тангенса |  |
| 9. Похідна котангенса |  |
| 10. Похідна арксинуса |  |
| 11. Похідна арккосинусу |  |
| 12. Похідна арктангенса |  |
| 13. Похідна арккотангенса |  |
| 14. Похідна натуральна логарифма | |
| 15. Похідна логарифмічна функція |  |
| 16. Похідна експоненти | |
| 17. Похідна показової функції |
Правила диференціювання
| 1. Похідна суми чи різниці |  |
| 2. Похідна робота |  |
| 2a. Похідна вирази, помноженого на постійний множник | |
| 3. Похідна приватного |  |
| 4. Похідна складної функції |  |
Правило 1Якщо функції
диференційовані в деякій точці, то в тій же точці диференційовані і функції
причому
тобто. похідна суми алгебраїчної функцій дорівнює сумі алгебри похідних цих функцій.
Наслідок. Якщо дві функції, що диференціюються, відрізняються на постійне доданок, то їх похідні рівні, тобто.
Правило 2Якщо функції
диференційовані в деякій точці, то в тій же точці диференційовано та їх твір
причому
тобто. похідна твори двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій похідну інший.
Наслідок 1. Постійний множник можна виносити за знак похідної:
Наслідок 2. Похідна твори кількох диференційованих функцій дорівнює сумі творів похідної кожного з співмножників попри всі інші.
Наприклад, для трьох множників:
Правило 3Якщо функції
диференційовані в деякій точці і , то в цій точці диференційовано та їх приватнеu/v , причому
тобто. похідна приватного двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника.
Де що шукати на інших сторінках
При знаходженні похідної твору і частки у реальних завданнях завжди потрібно застосовувати відразу кілька правил диференціювання, тому більше прикладівна ці похідні – у статті"Виробна твори та приватні функції".
Зауваження.Слід не плутати константу (тобто число) як доданок у сумі і як постійний множник! У разі доданку її похідна дорівнює нулю, а разі постійного множника вона виноситься за знак похідних. Це типова помилка, яка зустрічається на початковому етапівивчення похідних, але в міру вирішення вже кількох одно-двоскладових прикладів середній студент цієї помилки вже не робить.
А якщо при диференціюванні твору чи приватного у вас з'явився доданок u"v, в якому u- число, наприклад, 2 або 5, тобто константа, то похідна цього числа дорівнюватиме нулю і, отже, все доданок буде дорівнює нулю (такий випадок розібраний у прикладі 10).
Інша часта помилка- механічне вирішення похідної складної функції як похідної простий функції. Тому похідної складної функціїприсвячено окрему статтю. Але спочатку вчитимемося знаходити похідні простих функцій.
По ходу не обійтися без перетворень виразів. Для цього може знадобитися відкрити у нових вікнах посібники Дії зі ступенями та коріннямі Дії з дробами .
Якщо Ви шукаєте рішення похідних дробів зі ступенями та корінням, тобто, коли функція має вигляд начебто 
, то слідуйте на заняття "Виробна суми дробів зі ступенями та корінням".
Якщо ж перед Вами завдання начебто 
, то Вам на заняття "Виробні простих тригонометричних функцій".
Покрокові приклади – як знайти похідну
Приклад 3.Знайти похідну функції
Рішення. Визначаємо частини висловлювання функції: весь вираз представляє твір, яке співмножники - суми, у другий у тому числі одне з доданків містить постійний множник. Застосовуємо правило диференціювання твору: похідна твори двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій на похідну інший:
Далі застосовуємо правило диференціювання суми: похідна суми алгебраїчної функцій дорівнює сумі алгебри похідних цих функцій. У нашому випадку в кожній сумі другий доданок зі знаком мінус. У кожній сумі бачимо і незалежну змінну, похідна якої дорівнює одиниці, і константу (число), похідна якої дорівнює нулю. Отже, "ікс" у нас перетворюється на одиницю, а мінус 5 - на нуль. У другому виразі "ікс" помножено на 2, так що двійку множимо на ту саму одиницю як похідну "ікса". Отримуємо наступні значенняпохідних:
Підставляємо знайдені похідні у суму творів та отримуємо необхідну умовою завдання похідну всієї функції:
Приклад 4.Знайти похідну функції
Рішення. Від нас потрібно знайти похідну приватного. Застосовуємо формулу диференціювання частки: похідна частки двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника. Отримуємо:
Похідну співмножників у чисельнику ми вже знайшли у прикладі 2. Не забудемо також, що твір, що є другим співмножником у чисельнику у поточному прикладі, береться зі знаком мінус:
Якщо Ви шукаєте розв'язання таких завдань, у яких треба знайти похідну функції, де суцільне нагромадження коріння та ступенів, як, наприклад, 
, то ласкаво просимо на заняття "Виробна суми дробів зі ступенями та корінням" .
Якщо ж Вам потрібно дізнатися більше про похідні синуси, косінуси, тангенси та інші тригонометричних функцій, тобто, коли функція має вигляд наче , то Вам на урок "Виробні простих тригонометричних функцій" .
Приклад 5.Знайти похідну функції
Рішення. У цій функції бачимо твір, один із співмножників яких - квадратний корінь із незалежної змінної, з похідною якого ми ознайомилися у таблиці похідних. За правилом диференціювання твору та табличного значення похідної квадратного кореня отримуємо:
Приклад 6.Знайти похідну функції
Рішення. У цій функції бачимо приватне, ділене якого - квадратний корінь із незалежної змінної. За правилом диференціювання приватного, яке ми повторили і застосували в прикладі 4, та табличного значення похідної квадратного кореня отримуємо:
Щоб позбутися дробу в чисельнику, множимо чисельник і знаменник на .
Завантаження...