Завдання 1.2
Дано два цілих числа Х і Т. Якщо вони мають різні знаки, то надати Х значення твору цих чисел, а Т - значення їх різниці за модулем. Якщо числа мають однакові знаки, то надати Х значення різниці за модулем вихідних чисел, а Т - значення добутку цих чисел. Нові значення Х та Т вивести на екран.
Завдання теж нескладне. "Незрозумілі" можуть виникнути тільки в тому випадку, якщо ви забули, що таке різницю по модулю (сподіваюся, що таке твір двох цілих чисел, ви все-таки пам'ятаєте))).
Різниця за модулем двох чисел
Різниця по модулю двох цілих чисел (хоча не обов'язково цілих - це не має значення, просто в нашому задачі числа цілі) - це, говорячи по простому, коли результатом обчислення є модуль різниці двох чисел.
Тобто спочатку виконується операція віднімання одного числа з іншого. А потім обчислюється модуль результату цієї операції.
Математично це можна записати так:
Якщо хтось забув, що таке модуль або як його обчислити в Паскалі, див.
Алгоритм визначення знаків двох чисел
Розв'язання завдання загалом досить просте. Труднощі у новачків можуть викликати лише визначення знаків двох чисел. Тобто треба відповісти на запитання: як дізнатися, чи мають числа однакові знаки чи різні.
Спочатку напрошується почергове порівняння чисел із нулем. Це допустимо. Але вихідний код буде досить великим. Тому правильно використовувати такий алгоритм:
- Помножити числа один на одного
- Якщо результат менший за нуль, значить у чисел різні знаки
- Якщо результат дорівнює нулю чи більше нуля, то чисел однакові знаки
Цей алгоритм я виконав у вигляді окремої. А сама програма вийшла такою, як показано в прикладах на Паскалі та С++ нижче.
Розв'язання задачі 1.2 на Паскалі program checknums; var A, X, T: integer; //************************************************ **************** // Перевіряє, чи числа N1 і N2 мають однакові знаки. Якщо так, то // повертає TRUE, інакше - FALSE //************************************ **************************** function ZnakNumbers(N1, N2: integer) : boolean; begin := (N1 * N2) >= 0; end; //************************************************ **************** // ОСНОВНА ПРОГРАМА //**************************** ************************************ begin Write("X = "); ReadLn(X); Write("T = "); ReadLn(T); if ZnakNumbers(X, T) then // Якщо числа мають однакові знаки begin A:= (X - T); //Отримати різницю за модулем вихідних чисел T: = X * T; end else / / Якщо числа мають різні знаки begin A: = X * T; T: = Abs (X - T); end; X: = A; //Записати до Х значення А WriteLn("X = ", X); // Вивести Х WriteLn("T = ", T); // Вивести Т WriteLn("The end. Press ENTER..."); ReadLn; end.
Розв'язання задачі 1.2 на С++#include #include using namespace std; int A, X, T; //************************************************ **************** // Перевіряє, чи числа N1 і N2 мають однакові знаки. Якщо так, то // повертає TRUE, інакше - FALSE //************************************ **************************** bool ZnakNumbers(int N1, int N2) ( return ((N1 * N2) >= 0); ) //*********************************************** ***************** // ОСНОВНА ПРОГРАМА //*************************** ************************************* int main(int argc, char *argv) ( cout > X; cout > T; if (ZnakNumbers(X, T)) //Якщо числа мають однакові знаки ( A = abs(X - T); //Отримати різницю за модулем вихідних чисел T = X * T; ) else // Якщо числа мають різні знаки ( A = X * T; T = abs(X - T); ) X = A;// Записати в Х значення А cout
Оптимізація
Цю просту програмуможна ще трохи спростити, якщо не використовувати функцію та трохи переробити вихідний код програми. У цьому загальна кількість рядків вихідного коду трохи скоротиться. Як це зробити – подумайте самі.
- (product) Результат множення. Добуток чисел, алгебраїчних виразів, векторів або матриць; може бути показано точкою, косий хрестик або просто написанням їх послідовно один за одним, тобто. f(x).g(y), f(x) x g(y), f(x)g(y)… Економічний словник
Наука про цілі числа. Поняття цілого числа, а також арифметичних операцій над числами відоме з давніх часів і є однією з перших математичних абстракцій. Особливе місце серед цілих чисел, тобто чисел ..., 3 … Велика Радянська Енциклопедія
Сущ., с., упот. часто Морфологія: (ні) чого? твори, чому? твору, (бачу) що? твір, чим? твором, про що? про твір; мн. що? твори, (ні) чого? творів, чому? творам, (бачу) що? твори,… … Тлумачний словник Дмитрієва
Матриця математичний об'єкт, що записується у вигляді прямокутної таблиці чисел (або елементів кільця) і що допускає алгебраїчні операції (складання, віднімання, множення та ін) між ним та іншими подібними об'єктами. Правила виконання… … Вікіпедія
В арифметиці під множенням розуміють короткий запис суми однакових доданків. Наприклад, запис 5*3 означає «5 скласти з собою 3 рази», тобто є коротким записом для 5+5+5. Результат множення називається твором, а… Вікіпедія
Розділ теорії чисел, основним завданням якого є вивчення властивостей цілих чисел полів алгебраїчних чисел кінцевого ступеня над полем раціональних чисел. Всі цілі числа поля розширення До поля степеня п можуть бути отримані за допомогою. Математична енциклопедія
Теорія чисел, або вища арифметика розділ математики, що вивчає цілі числа та подібні об'єкти. У теорії чисел у широкому розумінні розглядаються як алгебраїчні, так і трансцендентні числа, а також функції різного походження, які… … Вікіпедія
Розділ теорії чисел, які вивчаються закономірності розподілу простих чисел(п. ч.) серед натуральних чисел. Центральною є проблема найкращого асимптотича. вирази при функції p(х), що позначає число п. ч., що не перевищують х, а… Математична енциклопедія
- (у зарубіжній літературі scalar product, dot product, inner product) операція над двома векторами, результатом якої є число (скаляр), що не залежить від системи координат і характеризує довжини векторів співмножників і кут між ... Вікіпедія
Визначена на векторному просторі L над полем K симетрична ермітова форма, що розглядається зазвичай як складова частина визначення цього простору, що робить простір (залежно від типу простору та властивостей внутрішнього … Вікіпедія
Книжки
- Збірник завдань з мат-ці, Бачурін В.. Розглянуті у книзі питання з математики цілком відповідають змісту будь-якої з трьох програм: шкільної, підготовчих відділень, вступних іспитів. Хоча ця книга називається…
- Жива матерія. Фізика живого та еволюційних процесів, Яшин А.А.. У цій монографії узагальнено дослідження автора за останні кілька років. Експериментальні результати, представлені в книзі, отримані Тульською науковою школою біофізики полів та…
Якщо концертний зал висвітлюється 3 люстрами по 25 лампочок у кожній, то всього лампочок у цих люстрах буде 25 + 25 + 25, тобто 75.
Суму, в якій всі доданки рівні один одному, записують коротше: замість 25 + 25 + 25 пишуть 25 3. Отже, 25 3 = 75 (рис. 43). Число 75 називають творомчисел 25 та 3, а числа 25 та 3 називають множниками.
Рис. 43. Добуток чисел 25 та 3
Помножити число m на натуральне число n означає знайти суму n доданків, кожне з яких дорівнює m.
Вираз m n та значення цього виразу називають твором чиселmіn. Числа, які перемножують називають множниками. Тобто. m та n – множники.
Твори 7 4 і 4 7 дорівнюють тому самому числу 28 (рис. 44).
Рис. 44. Твір 7 4 = 4 7
1. Добуток двох чисел не змінюється при перестановці множників.
переміщальним
a × b = b × a .
Твори (5 3) 2 = 15 2 і 5 (3 2) = 5 6 мають те саме значення 30. Значить, 5 (3 2) = (5 3) 2 (рис. 45).
Рис. 45. Твір (5 3) 2 = 5 (3 2)
2. Щоб помножити число на добуток двох чисел, можна спочатку помножити його на першому множнику, а потім отриманий добуток помножити на другий множник.
Це властивість множення називають сполучним. За допомогою літер його записують так:
а (bс) = (аbс).
Сума n доданків, кожне з яких дорівнює 1, дорівнює n. Тому правильна рівність 1 n = n.
Сума n доданків, кожне з яких дорівнює нулю, дорівнює нулю. Тому правильна рівність 0 n = 0.
Щоб переміщувальна властивість множення була правильно при n = 1 і n = 0, домовилися, що m 1 = m та m 0 = 0.
Перед літерними множниками зазвичай не пишуть знак множення: замість 8 хпишуть 8 х, замість аbпишуть аb.
Опускають знак множення перед дужками. Наприклад, замість 2 ( а +b) пишуть 2 (а+b) , а замість ( х+ 2) (у + 3) пишуть (х + 2) (у + 3).
Замість ( ab) з пишуть abc.
Коли запису твори немає дужок, множення виконують порядку зліва направо.
Твори читають, називаючи кожен множник у родовому відмінку. Наприклад:
1) 175 60 – добуток ста сімдесяти п'яти та шістдесяти;
2) 80 (х+ 1 7) – твір р.п. р.п.
вісімдесяти та суми ікс та сімнадцяти
Розв'яжемо завдання.
Скільки трицифрових чисел (рис. 46) можна скласти із цифр 2, 4, 6, 8, якщо цифри у записі числа не повторюються?
Рішення.
Першою цифрою числа може бути будь-яка чотирьохданих цифр, другий – будь-яка з трьохінших, а третьої – будь-яка з двохрешти. Виходить:
Рис. 46. До завдання про складання трицифрових чисел
Усього з даних цифр можна скласти 4 3 2 = 24 тризначні числа.
Розв'яжемо завдання.
У правління фірми входять 5 осіб. Зі свого складу правління має обрати президента і віце-президента. Скільки способами це можна зробити?
Рішення.
Президентом фірми можна обрати одну з 5 осіб:
Президент:
Після того, як президента обрано, віце-президентом можна обрати будь-якого з чотирьох членів правління, що залишилися (мал. 47):
|
Рис. 47. До завдання про вибори
Отже, обрати президента можна п'ятьма способами, і для кожного обраного президента чотирма способами можна обрати віце-президента. Отже, загальне числоСпособів обрати президента і віце-президента фірми одно: 54 = 20 (див. рис. 47).
Вирішимо ще завдання.
Із села Анікєєво до села Велове ведуть чотири дороги, а з села Большово до села Виноградове – три дороги (мал. 48). Скількими способами можна дістатися з Анікеєва у Виноградові через село Великове?
Рис. 48. До завдання про дороги
Рішення.
Якщо з А до Б добиратися 1-ою дорогою, то продовжити шлях є три способи (рис. 49).
Рис. 49. Варіанти шляху
Так само міркуючи, отримуємо по три способи продовжити шлях, почавши добиратися і по 2-й, і по 3-й, і по 4-й дорозі. Значить, всього виходить 43 = 12 способів дістатися з Анікєєва у Виноградові.
Вирішимо ще одне завдання.
Сім'ї, що складається з бабусі, тата, мами, дочки та сина, подарували 5 різних чашок. Скільки можна розділити чашки між членами сім'ї?
Рішення. У першого члена сім'ї (наприклад, бабусі) є 5 варіантів вибору, у наступного (нехай це буде тато) залишається 4 варіанти вибору. Наступний (наприклад, мама) буде вибирати вже з 3 чашок, наступний – з двох, останній же отримує одну чашку, що залишилася. Покажемо ці методи на схемі (рис. 50).
Рис. 50. Схема для вирішення задачі
Отримали, що кожному вибору чашки бабусею відповідає чотири можливих виборутата, тобто. всього 5-4 способів. Після того, як тато вибрав чашку, у мами є три варіанти вибору, у дочки – два, у сина – один, тобто. всього 3 2 1 способів. Остаточно отримуємо, що для розв'язання задачі треба знайти добуток 5 4 3 2 1.
Зауважимо, що отримали добуток усіх натуральних чисел від 1 до 5. Такі твори записують коротше:
5 4 3 2 1 = 5! (Читають: «п'ять факторіал»).
Факторіал числа- Добуток всіх натуральних чисел від 1 до цього числа.
Отже, відповідь задачі: 5! = 120, тобто. чашки між членами сім'ї можна розподілити ста двадцятьма способами.
Аби вирішити багатьох завдань " максимум і мінімум " , тобто. На пошуки найбільшого і найменшого значень змінної величини, можна успішно користуватися деякими твердженнями алгебри, з якими ми зараз познайомимося.
x · y
Розглянемо таке завдання:
На які дві частини треба розбити це число, щоб їхній твір був найбільшим?
Нехай це числоа. Тоді частини, на які розбито числоа, можна позначити через
а/2+x і a/2 - x;
число хпоказує, яку величину ці частини від половини числа а. Добуток обох частин одно
(а/2+x) · ( a/2 - x) = a 2/4 - x 2.
Зрозуміло, що добуток частин буде збільшуватися при зменшенні х, тобто. при зменшенні різниці між цими частинами. Найбільшим твір буде за x = 0, тобто. у випадку, коли обидві частини рівні a/2.
Отже,
добуток двох чисел, сума яких незмінна, буде найбільшою тоді, коли ці числа рівні між собою.
x · y · z
Розглянемо те саме питання для трьох чисел.
На які три частини треба розбити це число, щоб їхній твір був найбільшим?
При вирішенні цього завдання спиратимемося на попередню.
Нехай число арозбито на три частини. Припустимо спочатку, що жодна з частин не дорівнює a/3.Тоді серед них знайдеться частина, велика a/3(усі три не можуть бути меншими a/3); позначимо її через
a/3+x.
Так само серед них знайдеться частина, менша a/3; позначимо її через
a/3 - y.
Числа хі упозитивні. Третя частина буде, очевидно, рівна
a/3 + y - x.
Числа a/3і a/3 + x - yмають ту ж суму, що і перші дві частини числа а, А різницю між ними, тобто. х - y, менше, ніж різниця між першими двома частинами, яка була рівна х + y. Як ми знаємо з вирішення попереднього завдання, звідси випливає, що твір
a/3 · ( a/3 + x - y)
більше, ніж добуток перших двох частин числа а.
Отже, якщо перші дві частини числа азамінити числами
a/3і a/3 + x - y,
а третю залишити без зміни, то твір збільшиться.
Нехай тепер одна з частин уже дорівнює a/3. Тоді дві інші мають вигляд
a/3+zі a/3 - z.
Якщо ми ці дві останні частини зробимо рівними a/3 (чому сума їх не зміниться), то твір знову збільшиться і стане рівним
a / 3 · a / 3 · a / 3 = a 3 / 27 .
Отже,
якщо число а розбито на 3 частини, не рівні між собою, то добуток цих частин менше ніж 3/27, тобто. ніж добуток трьох рівних співмножників, у сумі складових а .
Подібним чином можна довести цю теорему і для чотирьох множників, для п'яти і т.д.
x p · y q
Розглянемо тепер загальніший випадок.
При яких значеннях х і y вираз х p у q найбільший, якщо х + y = а?
Треба визначити, за якого значення х вираз
х р ·(а - х) q
сягає найбільшої величини.
Помножимо цей вираз на число 1/р p q q. Отримаємо новий вираз
x p / p p · (a - x ) q/q q,
яке, очевидно, сягає найбільшої величини тоді, як і початкове.
Уявимо отриманий зараз вираз у вигляді
(a - x) /q · (a - x) /q · ... · (a - x) /q ,
де множники першого виду повторюються pраз, а другого - qразів.
Сума всіх множників цього виразу дорівнює
x/p+x/p+...+x/p+ (a - x) /q+ (a - x) /q + ... + (a - x) /q =
= px / p + q (a - x) /q = x + a - x = a ,
тобто. величину постійної.
На підставі раніше доведеного укладаємо, що твір
x / p · x / p · ... · x / p · (a - x) /q · (a - x) /q · ... · (a - x) /q
досягає максимуму за рівності всіх його окремих множників, тобто. коли
x/p = (a - x) /q.
Знаючи, що а - х = y, отримуємо, переставивши члени, пропорцію
x/y = p/q.
Отже,
добуток х p y q за сталості суми х + у досягає найбільшої величини тоді, коли
x: y = p: q.
Так само можна довести, що
твори
x p y q z r , x p y q z r t u і т.п.
при сталості сум x + y + z, x + y + z + t і т.д. досягають найбільшої величини тоді, коли
х: у: z = p: q: r,х: у: z: t = p: q: r: u і т.д.
Розберемо поняття множення на прикладі:
Туристи перебували в дорозі три дні. Щодня вони проходили однаковий шлях 4200 м. Яку відстань вони пройшли за три дні? Розв'яжіть задачу двома способами.
Рішення:
Розглянемо завдання докладно.
Першого дня туристи пройшли 4200м. По-друге той же шлях пройшли туристи 4200м і в третій день - 4200м. Запишемо математичною мовою:
4200 +4200 +4200 = 12600м.
Ми бачимо закономірність число 4200 повторюється три рази, отже, можна замінити суму множенням:
4200⋅3=12600м.
Відповідь: туристи за три дні пройшли 12 600 метрів.
Розглянемо приклад:
Щоб нам не писати довгий запис, можна записати його у вигляді множення. Число 2 повторюється 11 разів тому приклад з множенням виглядатиме так:
2⋅11=22
Підведемо підсумок. Що таке множення?
Розмноження– це дія, що замінює повторення n разів доданку m.
Запис m⋅n та результат цього виразу називають добутком чисел, а числа m і n називають множниками.
Розглянемо сказане з прикладу:
7⋅12=84
Вираз 7⋅12 та результат 84 називаються добутком чисел.
Числа 7 та 12 називаються множниками.
У математиці є кілька законів множення. Розглянемо їх:
Переміщувальний закон множення.
Розглянемо завдання:
Ми віддали по два яблука 5 своїм друзям. Математично запис виглядатиме так: 2⋅5.
Або ми віддали по 5 яблук двом своїм друзям. Математично запис виглядатиме так: 5⋅2.
У першому і другому випадку ми роздамо однакову кількість яблук, що дорівнює 10 штук.
Якщо ми помножимо 2⋅5=10 та 5⋅2=10, то результат не зміниться.
Властивість переміщувального закону множення:
Від зміни місць множників твір не змінюється.
m⋅
n=n⋅m
Сполучний закон множення.
Розглянемо з прикладу:
(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 або 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 отримаємо,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(a⋅
b) ⋅
c=
a⋅(b⋅
c)
Властивість поєднаного закону множення:
Щоб число помножити на добуток двох чисел, його можна спочатку помножити на перший множник, а потім отриманий добуток помножити на другий.
Змінюючи кілька множників місцями та укладаючи їх у дужки, результат чи твір не зміниться.
Ці закони є вірними для будь-яких натуральних чисел.
Розмноження будь-якого натурального числа на одиницю.
Розглянемо приклад:
7⋅1=7 або 1⋅7=7
a⋅1=a або 1⋅a=
a
При множенні будь-якого натурального числа на одиницю твором завжди буде число.
Розмноження будь-якого натурального числа на нуль.
6⋅0=0 або 0⋅6=0
a⋅0=0 або 0⋅a=0
При множенні будь-якого натурального числа на нуль добуток дорівнює нулю.
Запитання до теми “Умноження”:
Що таке твір чисел?
Відповідь: добутком чисел або множення чисел називається вираз m⋅n, де m – доданок, а n – число повторень цього доданка.
Навіщо потрібно множення?
Відповідь: щоб не писати довге додавання чисел, а писати скорочено. Наприклад, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18
Що є результатом множення?
Відповідь: значення твору.
Що означає запис множення 3⋅5?
Відповідь: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15
Якщо помножити мільйон на нуль, чому дорівнюватиме твір?
Відповідь: 0
Приклад №1:
Замініть суму твором: а) 12+12+12+12+12 б)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Відповідь: а)12⋅5=60 б) 3⋅9=27
Приклад №2:
Запишіть у вигляді твору: а) а+а+а+а б) с+с+с+с+с+с+с
Рішення:
а)а+а+а+а=4⋅а
б) с+с+с+с+с+с+с=7⋅с
Завдання №1:
Мама купила 3 коробки цукерок. У кожній коробці по 8 цукерок. Скільки цукерок купила мати?
Рішення:
В одній коробці 8 цукерок, а у нас таких коробок 3 штуки.
8+8+8=8⋅3=24 цукерки
Відповідь: 24 цукерки.
Завдання №2:
Вчителька малювання сказала приготувати своїм вісьмом учням по сім олівців на урок. Скільки олівців разом було у дітей?
Рішення:
Можна порахувати сумою завдання. У першого учня було 7 олівців, у другого учня було 7 олівців тощо.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Запис вийшов незручний і довгий, замінимо суму на твір.
7⋅8=56
Відповідь 56 олівців.
Завантаження...