Вже початковій школі учні зіштовхуються з дробами. І потім вони з'являються у кожній темі. Забувати дії із цими числами не можна. Тому потрібно знати всю інформацію про звичайні та десяткові дроби. Поняття ці нескладні, головне - розбиратися в усьому порядку.
Навіщо потрібні дроби?
Навколишній світ складається з цілих предметів. Тож у частках потреби немає. Зате повсякденне життяпостійно наштовхує людей працювати з частинами предметів і вещей.
Наприклад, шоколад складається з кількох часточок. Розглянемо ситуацію, коли його плитка утворена дванадцятьма прямокутниками. Якщо її поділити на двох, то вийде по 6 частин. Вона добре розділиться і на трьох. А ось п'ятьом не вдасться дати за цілим числом часточок шоколаду.
До речі, ці часточки – вже дроби. А подальше їхнє поділ призводить до появи більш складних чисел.
Що таке «дроб»?
Це число, що складається із частин одиниці. Зовні воно виглядає як два числа, розділені горизонтальною або похилою межею. Ця характеристика зветься дробової. Число, записане зверху (ліворуч), називається чисельником. Те, що стоїть знизу (праворуч), є знаменником.
Насправді, дробова характеристика виявляється знаком розподілу. Тобто чисельник можна назвати ділимим, а знаменник дільником.
Які існують дроби?
У математиці їх є лише два види: прості та десяткові дроби. З першими школярі знайомляться у початкових класах, називаючи їх просто «дроби». Другі дізнаються у 5 класі. Саме тоді з'являються ці назви.
Прості дроби - всі ті, що записуються у вигляді двох чисел, розділених межею. Наприклад, 4/7. Десятична - це число, в якому дробова частина має позиційний запис і відокремлюється від цілої за допомогою коми. Наприклад, 4,7. Учням потрібно чітко усвідомити, що два наведені приклади — це різні цифри.
кожну простий дрібможна записати у вигляді десяткового. Це твердження майже завжди вірне і в зворотному напрямку. Існують правила, які дозволяють записати звичайним дробом десятковий дріб.
Які підвиди мають зазначені види дробів?
Почати краще в хронологічному порядку, Оскільки вони вивчаються. Першими йдуть прості дроби. У тому числі можна назвати 5 підвидів.
Правильна. Її чисельник завжди менший за знаменник.
Неправильне. У неї чисельник більший або дорівнює знаменнику.
Коротка/нескоротна. Вона може виявитися як правильною, так і неправильною. Важливо інше, чи є чисельник зі знаменником спільні множники. Якщо є, то на них належить розділити обидві частини дробу, тобто скоротити його.
Змішана. До її звичної правильної (неправильної) дробової частини приписується ціле число. Причому воно завжди стоїть ліворуч.
Складова. Вона утворюється із двох розділених один на одного дробів. Тобто в ній налічується одразу три дробові риси.
У десяткових дробів є лише два підвиди:
кінцева, тобто та, у якої дрібна частина обмежена (має кінець);
нескінченна — число, яке цифри після коми не закінчуються (їх можна писати нескінченно).
Як переводити десятковий дріб у звичайний?
Якщо це кінцеве число, то застосовується асоціація, яка ґрунтується на правилі — як чую, так пишу. Тобто потрібно правильно прочитати її і записати, але вже без коми, а з дрібною межею.
Як підказка про необхідний знаменник, потрібно запам'ятати, що він завжди одиниця і кілька нулів. Останніх потрібно написати стільки, скільки цифр у дробовій частині розглянутого числа.
Як перевести десяткові дроби у звичайні, якщо їхня ціла частина відсутня, тобто дорівнює нулю? Наприклад, 0,9 або 0,05. Після застосування зазначеного правила виходить, що потрібно написати нуль цілих. Але вона не вказується. Залишається записати лише дробові частини. У першого числа знаменник дорівнюватиме 10, у другого — 100. Тобто зазначені приклади відповідями матимуть числа: 9/10, 5/100. Причому останнє можна скоротити на 5. Тому результатом для неї потрібно записати 1/20.
Як із десяткового дробу зробити звичайний, якщо його ціла частина відмінна від нуля? Наприклад, 5,23 чи 13,00108. В обох прикладах читається ціла частина та записується її значення. У першому випадку це 5, у другому 13. Потім потрібно переходити до дробової частини. З ними слід провести ту ж операцію. У першого числа з'являється 23/100, у другого – 108/100000. Друге значення потрібно знову скоротити. У відповіді виходять такі змішані дроби: 5 23/100 та 13 27/25000.
Як перевести нескінченний десятковий дріб у звичайний?
Якщо вона є неперіодичною, то такої операції провести не вдасться. Цей факт пов'язаний з тим, що кожен десятковий дріб завжди перекладається або в кінцевий або періодичний.
Єдине, що допускається робити з таким дробом, це округляти його. Але тоді десяткова буде приблизно такою, як і нескінченна. Її вже можна перетворити на звичайну. Але зворотний процес: переведення до десяткової — ніколи не дасть початкового значення. Тобто нескінченні неперіодичні дробиу звичайні не переводяться. Це слід запам'ятати.
Як записати нескінченний періодичний дріб у вигляді звичайного?
У цих числах після коми завжди з'являються одна або кілька повторюваних цифр. Їх називають періодом. Наприклад, 0,3 (3). Тут "3" у періоді. Їх відносять до класу раціональних, оскільки можуть бути перетворені на прості дроби.
Тим, хто зустрічався з періодичними дробами, відомо, що вони можуть бути чистими чи змішаними. У першому випадку період починається відразу від коми. У другому - дробова частина починається з якихось цифр, а потім починається повтор.
Правило, яким потрібно записати як звичайного дробу нескінченну десяткову, буде різним для зазначених двох видів чисел. Чисті періодичні дроби записати звичайними досить просто. Як із кінцевими, їх треба перетворити: в чисельник записати період, а знаменником буде цифра 9, що повторюється стільки разів, скільки цифр містить період.
Наприклад, 0(5). Цілої частини у числа немає, тому відразу треба приступати до дробової. У чисельник записати 5, а знаменник одну 9. Тобто відповіддю буде дріб 5/9.
Правило про те, як записати звичайний десятковий періодичний дріб, що є змішаним.
Подивитися на довжину періоду. Стільки 9 матиме знаменник.
Записати знаменник: спочатку дев'ятки, потім нулі.
Щоб визначити чисельник, потрібно записати різницю двох чисел. Зменшуються всі цифри після коми, разом з періодом. Віднімається — воно ж без періоду.
Наприклад, 0,5(8) - запишіть періодичний десятковий дріб у вигляді звичайного. У дрібній частині до періоду стоїть одна цифра. Значить, нуль буде один. У періоді також лише одна цифра — 8. Тобто дев'ятка одна. Тобто, у знаменнику потрібно написати 90.
Для визначення чисельника з 58 необхідно відняти 5. Виходить 53. Відповіддю наприклад доведеться записати 53/90.
Як переводять звичайні дроби до десяткових?
Самим простим варіантомвиявляється число, у знаменнику якого стоїть число 10, 100 та інше. Тоді знаменник просто відкидається, а між дробовою та цілою частинами ставиться кома.
Бувають ситуації, коли знаменник легко перетворюється на 10, 100 тощо. буд. Наприклад, числа 5, 20, 25. Їх досить помножити на 2, 5 і 4 відповідно. Тільки множити потрібно як знаменник, а й чисельник на те саме число.
Для решти випадків знадобиться просте правило: розділити чисельник на знаменник. У цьому випадку може вийти два варіанти відповідей: кінцевий або періодичний десятковий дріб.
Події зі звичайними дробами
Складання та віднімання
З ними учні знайомляться раніше за інших. Причому спочатку у дробів однакові знаменники, А потім різні. Загальні правиламожна звести до такого плану.
Знайти найменше загальне кратне знаменників.
Записати додаткові множники до всіх звичайних дробів.
Помножити чисельники та знаменники на визначені для них множники.
Скласти (відняти) чисельники дробів, а загальний знаменник залишити без зміни.
Якщо чисельник меншого віднімається, то потрібно з'ясувати, перед нами змішане числоабо правильний дріб.
У першому випадку ціла частина повинна зайняти одиницю. До чисельника дробу додати знаменник. А потім виконувати віднімання.
У другому - необхідно застосувати правило віднімання з меншого числа більше. Тобто з модуля віднімається відняти модуль зменшуваного, а у відповідь поставити знак «-».
Уважно подивитися на результат додавання (віднімання). Якщо вийшов неправильний дріб, то потрібно виділити цілу частину. Тобто розділити чисельник на знаменник.
Множення та розподіл
Для їх виконання дробу не потрібно приводити до спільному знаменнику. Це спрощує виконання дій. Але в них все одно слід слідувати правилам.
При множенні звичайних дробів необхідно розглянути числа чисельників і знаменників. Якщо якийсь чисельник і знаменник мають спільний множник, їх можна скоротити.
Перемножити чисельники.
Перемножити знаменники.
Якщо вийшов скоротитий дріб, то його потрібно спростити.
При розподілі потрібно спочатку замінити розподіл на множення, а дільник (другий дріб) - на зворотний дріб (поміняти місцями чисельник і знаменник).
Потім діяти як при множенні (починаючи з пункту 1).
У завданнях, де помножити (ділити) потрібно ціле число, останнє потрібно записати як неправильного дробу. Тобто зі знаменником 1. Потім діяти, як описано вище.
Дії з десятковими дробами
Складання та віднімання
Звичайно, завжди можна перетворити десятковий дріб на звичайний. І діяти за вже описаним планом. Але іноді зручніше діяти без перекладу. Тоді правила для їх складання та віднімання будуть абсолютно однаковими.
Зрівняти число цифр у дробовій частині числа, тобто після коми. Приписати в ній брак нулів.
Записати дроби так, щоб кома опинилася під комою.
Скласти (відняти) як натуральні числа.
Знести кому.
Множення та розподіл
Важливо, що тут не слід дописувати нулі. Дроби потрібно залишати в тому вигляді, як вони дані в прикладі. А далі йти за планом.
Для множення потрібно написати дроби одна під одною, не звертаючи увагу на коми.
Помножити як натуральні числа.
Поставити у відповіді кому, відрахувавши від правого кінця відповіді стільки цифр, скільки їх коштує у дробових частинах обох множників.
Для розподілу необхідно спочатку перетворити дільник: зробити його натуральним числом. Тобто помножити його на 10, 100 і т. д., залежно від того, скільки цифр у дробовій частині дільника.
На те число помножити ділене.
Розділити десятковий дріб на натуральне число.
Поставити у відповіді кому в той момент, коли закінчиться розподіл цілої частини.
Як бути, якщо в одному прикладі є два види дробів?
І в математиці нерідко зустрічаються приклади, у яких необхідно виконати події над звичайними і десятковими дробами. У таких завданнях можливі два шляхи вирішення. Потрібно об'єктивно зважити числа та вибрати оптимальний.
Перший шлях: уявити звичайні десятковими
Він підходить, якщо при розподілі або перекладі утворюються кінцеві дроби. Якщо хоча б одне число дає періодичну частину, цей прийом застосовувати заборонено. Тому, навіть якщо не подобається працювати зі звичайними дробами, доведеться рахувати їх.
Другий шлях: записати десяткові дроби звичайними
Цей прийом виявляється зручним, якщо частини після коми коштують 1-2 цифри. Якщо їх більше, може вийти дуже велика звичайний дрібта десяткові записи дозволять порахувати завдання швидше та простіше. Тому завжди потрібно тверезо оцінювати завдання та вибирати найпростіший метод вирішення.
Пам'ятаєте, як у самому першому уроці про десяткові дроби я казав, що існують числові дроби, які не представлені у вигляді десяткових дробів (див. урок «Десятичні дроби»)? Ми ще вчилися розкладати знаменники дробів на множники, щоб перевірити, чи немає там чисел, відмінних від 2 та 5.
Так ось: я набрехав. І сьогодні ми навчимося переводити абсолютно будь-який числовий дріб у десятковий. Заодно познайомимося з цілим класом дробів із нескінченною значущою частиною.
Періодичний десятковий дріб - це будь-який десятковий дріб, у якого:
- Значна частина складається із нескінченної кількості цифр;
- Через певні інтервали цифри у значній частині повторюються.
Набір цифр, що повторюються, з яких складається значна частина, називається періодичною частиною дробу, а кількість цифр у цьому наборі - періодом дробу. Решта відрізку значущої частини, яка не повторюється, називається неперіодичною частиною.
Оскільки визначень багато, варто докладно розглянути такі дроби:
Цей дріб зустрічається в задачах найчастіше. Неперіодична частина: 0; періодична частина: 3; Довжина періоду: 1.
Неперіодична частина: 0,58; періодична частина: 3; Довжина періоду: знову 1.
Неперіодична частина: 1; періодична частина: 54; Довжина періоду: 2.
Неперіодична частина: 0; періодична частина: 641025; довжина періоду: 6. Для зручності частини, що повторюються, відокремлені один від одного пробілом - у цьому рішенні так робити не обов'язково.
Неперіодична частина: 3066; періодична частина: 6; Довжина періоду: 1.
Як бачите, визначення періодичного дробу засноване на понятті значній частині числа. Тому якщо ви забули, що це таке, рекомендую повторити - див. урок « ».
Перехід до періодичного десяткового дробу
Розглянемо звичайний дріб виду a/b. Розкладемо її знаменник на прості множники. Можливі два варіанти:
- У розкладанні присутні лише множники 2 та 5. Ці дроби легко наводяться до десяткових – див. урок «Десятичні дроби». Такі нас не цікавлять;
- У розкладанні є ще щось, крім 2 і 5. У цьому випадку дріб непредставний у вигляді десяткового, зате з нього можна зробити періодичний десятковий дріб.
Щоб задати періодичний десятковий дріб, треба знайти його періодичну та неперіодичну частину. Як? Переведіть дріб у неправильний, а потім розділіть чисельник на знаменник куточком.
При цьому відбуватиметься таке:
- Спочатку розділиться ціла частинаякщо вона є;
- Можливо, буде кілька чисел після десяткової точки;
- Через деякий час цифри почнуть повторюватися.
От і все! Повторювані цифри після десяткової точки позначаємо періодичною частиною, а те, що стоїть попереду – неперіодичною.
Завдання. Перекладіть звичайні дроби в періодичні десяткові:
Всі дроби без цілої частини, тому просто ділимо чисельник на знаменник «куточком»:
Як бачимо, залишки повторюються. Запишемо дріб у «правильному» вигляді: 1,733...=1,7(3).
Через війну виходить дріб: 0,5833 ... = 0,58(3).
Записуємо у нормальному вигляді: 4,0909...=4,(09).
Отримуємо дріб: 0,4141...=0,(41).
Перехід від періодичного десяткового дробу до звичайного
Розглянемо періодичний десятковий дріб X = abc (a 1 b 1 c 1). Потрібно перевести її в класичну «двоповерхову». Для цього виконаємо чотири простих кроки:
- Знайдіть період дробу, тобто. підрахуйте скільки цифр знаходиться в періодичній частині. Нехай це буде число k;
- Знайдіть значення виразу X · 10 k. Це рівносильно зсуву десяткової точки на повний період праворуч - див. урок «Множення та розподіл десяткових дробів»;
- З отриманого числа треба відняти вихідний вираз. При цьому періодична частина «спалюється» і залишається звичайний дріб;
- В отриманому рівнянні знайти X. Усі десяткові дроби переводимо у прості.
Завдання. Приведіть до звичайного неправильного дробу числа:
- 9,(6);
- 32,(39);
- 0,30(5);
- 0,(2475).
Працюємо з першим дробом: X = 9, (6) = 9,666.
У дужках міститься лише одна цифра, тому період k = 1. Далі множимо цей дріб на 10 k = 10 1 = 10. Маємо:
10X = 10 · 9,6666...=96,666...
Віднімаємо вихідний дріб і вирішуємо рівняння:
10X − X = 96,666 ... − 9,666 ... = 96 − 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.
Тепер розберемося з другим дробом. Отже, X = 32, (39) = 32,393939.
Період k = 2, тому множимо все на 10 k = 10 2 = 100:
100X = 100 · 32,393939...=3239,3939...
Знову віднімаємо вихідний дріб і вирішуємо рівняння:
100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.
Приступаємо до третього дробу: X = 0,30(5) = 0,30555 ... Схема та сама, тому я просто наведу викладки:
Період k = 1 ⇒ множимо все на 10 k = 101 = 10;
10X = 10 · 0,30555...=3,05555...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.
Нарешті, останній дріб: X = 0, (2475) = 0,2475 2475 ... Знову ж таки, для зручності періодичні частини відокремлені один від одного пробілами. Маємо:
k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10 000;
10 000X = 10 000 · 0,2475 2475 = 2475,2475...
10 000X - X = 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.
Ця стаття про десяткові дроби. Тут ми розберемося з десятковим записом дробових чисел, введемо поняття десяткового дробу та наведемо приклади десяткових дробів. Далі поговоримо про розряди десяткових дробів, дамо назви розрядів. Після цього зупинимося на нескінченних десяткових дробах, скажімо про періодичні та неперіодичні дроби. Далі перерахуємо основні дії із десятковими дробами. На закінчення встановимо положення десяткових дробів на координатному промені.
Навігація на сторінці.
Десятковий запис дробового числа
Читання десяткових дробів
Скажімо кілька слів про правила читання десяткових дробів.
Десяткові дроби, яким відповідають правильні звичайні дроби, читаються також як і ці звичайні дроби, тільки попередньо додається «нуль цілих». Наприклад, десяткового дробу 0,12 відповідає звичайний дріб 12/100 (читається «дванадцять сотих»), тому, 0,12 читається як «нуль цілих дванадцять сотих».
Десяткові дроби, яким відповідають змішані числа, читаються також як ці змішані числа. Наприклад, десяткового дробу 56,002 відповідає змішане число , тому, десятковий дріб 56,002 читається як «п'ятдесят шість цілих дві тисячі».
Розряди у десяткових дробах
У записі десяткових дробів, як і у записи натуральних чиселзначення кожної цифри залежить від її позиції. Справді, цифра 3 у десятковому дробі 0,3 означає три десятих, у десятковому дробі 0,0003 – три десяти тисячних, а у десятковому дробі 30 000,152 – три десятки тисяч. Таким чином, ми можемо говорити про розрядах у десяткових дробах, так само як і про розрядах у натуральних числах.
Назви розрядів у десятковому дробі до десяткової коми повністю збігаються з назвами розрядів у натуральних числах. А назви розрядів у десятковому дробі після коми видно з наступної таблиці.
Наприклад, у десятковому дробі 37,051 цифра 3 знаходиться у розряді десятків, 7 – у розряді одиниць, 0 стоїть у розряді десятих, 5 – у розряді сотих, 1 – у розряді тисячних.
Розряди в десятковому дробі також різняться за старшинством. Якщо в записі десяткового дробу рухатися від цифри до цифри зліва направо, ми будемо переміщатися від старшихдо молодшим розрядам. Наприклад, розряд сотень старший за розряд десятих, а розряд мільйонних молодший за розряд сотих. У даному кінцевому десятковому дробі можна говорити про старший і молодший розряд. Наприклад, у десятковому дробі 604,9387 старшим (вищим)розрядом є розряд сотень, а молодшим (нижчим)- Розряд десятитисячних.
Для десяткових дробів має місце розкладання за розрядами. Воно аналогічне розкладання за розрядами натуральних чисел. Наприклад, розкладання за розрядами десяткового дробу 45,6072 таке: 45,6072 = 40 +5 +0,6 +0,007 +0,0002. А властивості додавання від розкладання десяткового дробу за розрядами дозволяють перейти до інших уявлень цього десяткового дробу, наприклад, 45,6072=45+0,6072 , або 45,6072=40,6+5,007+0,0002 , або 45,6072= 45,0072+0,6.
Кінцеві десяткові дроби
До цього моменту ми говорили лише про десяткові дроби, у запису яких після десяткової коми знаходиться кінцева кількість цифр. Такі дроби називають кінцевими десятковими дробами.
Визначення.
Кінцеві десяткові дроби– це десяткові дроби, записи яких міститься кінцеве число знаків (цифр).
Наведемо кілька прикладів кінцевих десяткових дробів: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230032,45.
Однак не будь-який звичайний дріб може бути представлений у вигляді кінцевого десяткового дробу. Наприклад, дріб 5/13 не може бути замінена рівним їй дробом з одним із знаменників 10, 100, … , отже, не може бути переведена в кінцевий десятковий дріб. Докладніше про це ми поговоримо у розділі теорії переведення звичайних дробів у десяткові дроби.
Нескінченні десяткові дроби: періодичні дроби та неперіодичні дроби
У записі десяткового дробу після коми можна дозволити наявність нескінченної кількості цифр. І тут ми прийдемо до розгляду про нескінченних десяткових дробів.
Визначення.
Нескінченні десяткові дроби– це десяткові дроби, у запису яких є безліч цифр.
Зрозуміло, що нескінченні десяткові дроби ми не можемо записати в повному вигляді, тому в їх запису обмежуються лише деяким кінцевим числом цифр після коми і ставлять крапку, що вказує на послідовність цифр, що нескінченно триває. Наведемо кілька прикладів нескінченних десяткових дробів: 0,143940932… , 3,1415935432… , 153,02003004005… , 2,111111111… , 69,74152152152… .
Якщо уважно подивитися на два останні нескінченні десяткові дроби, то дроби 2,111111111… добре видно нескінченно повторювана цифра 1 , а дроби 69,74152152152… , починаючи з третього знака після коми, чітко видно повторювана, група 1 2 . Такі нескінченні десяткові дроби називають періодичними.
Визначення.
Періодичні десяткові дроби(або просто періодичні дроби) – це нескінченні десяткові дроби, у запису яких, починаючи з деякого знака після коми, нескінченно повторюється якась цифра або група цифр, яку називають періодом дробу.
Наприклад, періодом періодичного дробу 2,111111111 є цифра 1, а періодом дробу 69,74152152152 є група цифр виду 152 .
Для нескінченних періодичних десяткових дробів прийнято особливу форму запису. Для стислості умовилися період записувати один раз, укладаючи його в круглі дужки. Наприклад, періодичний дріб 2,111111111... записується як 2,(1) , а періодичний дріб 69,74152152152... записується як 69,74(152) .
Варто зазначити, що для одного і того ж періодичного десяткового дробу можна вказати різні періоди. Наприклад, періодичний десятковий дріб 0,73333 можна розглядати як дріб 0,7(3) з періодом 3 , а також як дріб 0,7(33) з періодом 33 , і так далі 0,7(333), 0,7 (3333), ... Також на періодичний дріб 0,73333 ... можна подивитися і так: 0,733 (3), або так 0,73 (333) і т.п. Тут, щоб уникнути багатозначності і різночитань, умовимося розглядати як період десяткового дробу найкоротший з усіх можливих послідовностей цифр, що повторюються, і починається з найближчої позиції до десяткової коми. Тобто, періодом десяткового дробу 0,73333 ... вважатимемо послідовність з однієї цифри 3 і періодичність починається з другої позиції після коми, тобто, 0,73333 ... = 0,7 (3) . Ще приклад: періодичний дріб 4,7412121212 ... має період 12, періодичність починається з третьої цифри після коми, тобто, 4,7412121212 ... = 4,74 (12).
Нескінченні десяткові періодичні дроби виходять під час переведення в десяткові дроби звичайних дробів, знаменники яких містять прості множники, відмінні від 2 і 5 .
Тут варто сказати про періодичні дроби з періодом 9 . Наведемо приклади таких дробів: 6,43 (9), 27, (9). Ці дроби є іншим записом періодичних дробів з періодом 0 і їх прийнято замінювати періодичними дробами з періодом 0 . Для цього період 9 замінюють періодом 0 а значення наступного за старшинством розряду збільшують на одиницю. Наприклад, дріб з періодом 9 виду 7,24(9) замінюється періодичним дробом з періодом 0 виду 7,25(0) або рівним їй кінцевим десятковим дробом 7,25 . Ще приклад: 4, (9) = 5, (0) = 5 . Рівність дробу з періодом 9 і відповідного їй дробу з періодом 0 легко встановлюється після заміни цих десяткових дробів рівними їм звичайними дробами.
Нарешті, уважніше розглянемо нескінченні десяткові дроби, у запису яких відсутня послідовність цифр, що нескінченно повторюється. Їх називають неперіодичними.
Визначення.
Неперіодичні десяткові дроби(або просто неперіодичні дроби) – це нескінченні десяткові дроби, які мають періоду.
Іноді неперіодичні дроби мають вигляд, схожий на вид періодичних дробів, наприклад, 8,02002000200002… - неперіодична дріб. У таких випадках слід бути особливо уважними, щоб помітити різницю.
Зазначимо, що неперіодичні дроби не переводяться в звичайні дроби, нескінченні неперіодичні десяткові дроби представляють ірраціональні числа.
Дії з десятковими дробами
Однією з дій з десятковими дробами є порівняння, також визначено чотири основні арифметичні дії з десятковими дробами: додавання, віднімання, множення та розподіл. Розглянемо окремо кожну з дій із десятковими дробами.
Порівняння десяткових дробівпо суті базується на порівнянні звичайних дробів, що відповідають порівнюваним десятковим дробам Однак переведення десяткових дробів у звичайні є досить трудомісткою дією, та й нескінченні неперіодичні дроби не можуть бути представлені у вигляді звичайного дробу, тому зручно використовувати порозрядне порівняння десяткових дробів. Порозрядне порівняння десяткових дробів аналогічне порівнянні натуральних чисел. Для більш детальної інформації рекомендуємо вивчити матеріал статті порівняння десяткових дробів, правила, приклади, рішення.
Переходимо до наступної дії множення десяткових дробів. Розмноження кінцевих десяткових дробів проводиться аналогічно. віднімання десяткових дробів, правила, приклади, рішеннямноження стовпчиком натуральних чисел. У разі періодичних дробів множення можна звести до множення звичайних дробів. У свою чергу, множення нескінченних неперіодичних десяткових дробів після їх округлення зводиться до множення кінцевих десяткових дробів. Рекомендуємо до подальшого вивчення статті множення десяткових дробів, правила, приклади, рішення.
Десяткові дроби на координатному промені
Між точками та десятковими дробами існує взаємно однозначна відповідність.
Розберемося, як будуються точки на координатному промені, що відповідають даному десятковому дробу.
Кінцеві десяткові дроби та нескінченні періодичні десяткові дроби ми можемо замінити рівними ним звичайними дробами, після чого побудувати відповідні звичайні дроби на координатному промені. Наприклад, десяткового дробу 1,4 відповідає звичайний дріб 14/10 тому точка з координатою 1,4 віддалена від початку відліку в позитивному напрямку на 14 відрізків, рівних десятій частині одиничного відрізка.
Десяткові дроби можна відзначати на координатному промені, відштовхуючись від розкладання цього десяткового дробу за розрядами. Наприклад, нехай нам потрібно побудувати точку з координатою 16,3007 , так як 16,3007=16+0,3+0,0007 , то дану точку можна потрапити, послідовно відкладаючи від початку координат 16 одиничних відрізків, 3 відрізка, довжина яких дорівнює десятій частині одиничного, і 7 відрізків, довжина якого дорівнює десятитисячній частці одиничного відрізка.
Такий спосіб побудови десяткових чиселна координатному промені дозволяє як завгодно близько наблизитися до точки, що відповідає нескінченного десяткового дробу.
Іноді можна точно побудувати точку, що відповідає нескінченному десятковому дробу. Наприклад, 
, Тоді цього нескінченного десяткового дробу 1,41421 ... відповідає точка координатного променя, віддалена від початку координат на довжину діагоналі квадрата зі стороною 1 одиничний відрізок.
Зворотний процес отримання десяткового дробу, що відповідає даній точці на координатному промені, є так званим десятковий вимір відрізка. Розберемося, як воно проводиться.
Нехай наше завдання полягає в тому, щоб потрапити з початку відліку до цієї точки координатної прямої (або нескінченно наблизитися до неї, якщо потрапити в неї не виходить). При десятковому вимірі відрізка ми можемо послідовно відкладати від початку відліку будь-яку кількість одиничних відрізків, далі відрізків, довжина яких дорівнює десятій частині одиничного, потім відрізків, довжина яких дорівнює сотій частині одиничного, і т.д. Записуючи кількість відкладених відрізків кожної довжини, ми отримаємо десятковий дріб, який відповідає даній точці на координатному промені.
Наприклад, щоб потрапити в точку М на наведеному вище малюнку, потрібно відкласти 1 одиничний відрізок і 4 відрізки, довжина яких дорівнює десятій частині одиничного. Таким чином, точці М відповідає десятковий дріб 1,4 .
Зрозуміло, що точкам координатного променя, які неможливо потрапити у процесі десяткового виміру, відповідають нескінченні десяткові дроби.
Список літератури.
- Математика: навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-те вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2007. – 280 с.: іл. ISBN 5-346-00699-0.
- Математика. 6 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Н. Я. Віленкін та ін.]. - 22-ге вид., Випр. – М.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників у технікуми): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.
Якщо вони знають теорію рядів, то без неї ніяких метаматичних понять вводити не можна. Більше того, ці люди вважають, що той, хто не використовує її повсюдно, - невіглас. Залишимо погляди цих людей на їхньому совісті. Давайте краще розберемося з тим, що таке нескінченний періодичний дріб і як з ним бути нам, неосвіченим людям, які не знають меж.
Поділимо 237 на 5. Ні, не потрібно запускати "Калькулятор". Давайте краще згадаємо середню (або навіть початкову?) школу і просто поділимо стовпчиком:
Ну як, згадали? Тоді можна і до діла переходити.
Поняття «дроб» у математиці має два значення:
- Неціле число.
- Форма запису нецілого числа.
- Прості (або вертикальні) дробу, на зразок 1/2 або 237/5.
- Десяткові дроби, наприклад, 0,5 або 47,4.
У математиці, взагалі споконвіку прийнятий рахунок десятковий, тому й десяткові дроби зручніше простих, т. е. дріб із десятковим знаменником (Володимир Даль. Тлумачний словник живого великоросійського мови. «Десять»).А якщо так, то хочеться всякий вертикальний дріб зробити десятковим («горизонтальним»). А для цього потрібно просто чисельник поділити на знаменник. Візьмемо, наприклад, дріб 1/3 і спробуємо зробити з нього десятковий.
Навіть зовсім неосвічений помітить: скільки ні поділи - не розділиться: так і будуть трійки нескінченно з'являтися. Так і запишемо: 0,33... Маємо на увазі при цьому число, яке виходить, коли ділиш 1 на 3, або, коротше, одна третя. Природно, що один третій - дріб у першому значенні слова, а «1/3» і «0,33...» - дроби у другому значенні слова, тобто форми записучисла, яке знаходиться на числовій прямій на такій відстані від нуля, якщо тричі його відкласти, вийде одиниця.
Тепер спробуємо розділити 5 на 6:
Знову запишемо: 0,833... Маємо на увазі число, яке виходить, коли ділиш 5 на 6, або, коротше, п'ять шостих. Однак, тут виникає плутанина: чи маються на увазі 0,83333 (і далі трійки повторюються), або 0,833833 (і далі 833 повторюється). Тому запис з трьома крапками нас не влаштовує: незрозуміло, звідки починається частина (вона називається «період»). Тому період ми братимемо в дужки, ось так: 0, (3); 0,8 (3).
0,(3) не просто однооднією третьою, це єодна третя, адже ми спеціально цей запис вигадали, щоб представляти це число у вигляді десяткового дробу.
Цей запис і називається нескінченним періодичним дробом, або просто періодичним дробом.
Завжди, коли ми ділимо одне число на інше, якщо не виходить дріб кінцевий, то виходить дріб нескінченний періодичний, тобто обов'язково колись послідовності цифр почнуть повторюватися. Чому це так можна зрозуміти чисто умоглядно, уважно подивившись на алгоритм розподілу стовпчиком:
У місцях, позначених галочками, що неспроможні постійно виходити різні пари чисел (бо таких пар у принципі кінцеве безліч). А як тільки там з'явиться така пара, яка вже була, різниця теж буде такою самою – і далі весь процес почне повторюватися. Немає потреби перевіряти це, адже цілком очевидно, що при повторенні тих самих дій результати будуть ті самі.
Тепер, коли ми добре розуміємо сутьперіодичного дробу, давайте спробуємо помножити одну третину на три. Так, вийде, звичайно, один, але давайте запишемо цей дріб у десятковій формі і помножимо стовпчиком (двозначності через крапки тут не виникає, тому що всі цифри після коми однакові):
І знову ми помічаємо, що весь час після коми з'являтимуться дев'ятки, дев'ятки та дев'ятки. Тобто, використовуючи, назад, скобочний запис, ми матимемо 0,(9). Оскільки ми знаємо, що твір однієї третини і трьох є одиниця, то 0, (9) - це ось химерна форма запису одиниці. Проте використовувати таку форму запису недоцільно, адже одиниця чудово записується без використання періоду, ось так: 1.
Як бачимо, 0,(9) - це один із тих випадків, коли ціле число записано у формі дробу, на зразок 3/3 або 7,0. Тобто, 0,(9) - це дріб лише у другому значенні слова, але аж ніяк не в першому.
Ось так, без жодних меж і рядів ми розібралися з тим, що таке 0, (9) і як з ним боротися.
Але все ж таки згадаємо про те, що насправді ми розумні та вивчали аналіз. Справді, важко заперечувати, що:
Але, мабуть, ніхто не буде сперечатися і про те, що:
Все це, звичайно, правильно. Справді, 0,(9) є сумою наведеного ряду, і подвоєним синусом зазначеного кута, і натуральним логарифмом числа Ейлера.
Але те, ні інше, ні третє не є визначенням.
Стверджувати, що 0,(9) - сума нескінченного ряду 9/(10 n), при n від одиниці, - все одно, що стверджувати, що синус - це сума нескінченного ряду Тейлора:
Це абсолютно вірно, і це є найважливішим фактом для обчислювальної математики, але це не визначення, і, що найголовніше, це анітрохи не наближає людину до розуміння сутісинусу. Суть синуса деякого кута полягає в тому, що це всього-навсьоговідношення протилежного куту катета до гіпотенузи.
Так от, періодичний дріб - це всього-навсьогодесятковий дріб, який виходить, коли при розподілі стовпчикомтой самий набір цифр повториться. Аналізу тут немає і близько.
І ось тут виникає питання: звідки взагаліми взяли число 0(9)? Що на що ми ділимо стовпчиком, щоби його отримати? Справді, немає таких чисел, при розподілі яких один на одного стовпчиком ми мали б нескінченно з'являються дев'ятки. Але ж нам вдалося отримати це число, помножуючи стовпчиком 0,(3) на 3? Не зовсім. Адже множити треба праворуч, щоб коректно враховувати переноси розрядів, а ми це робили зліва направо, хитро скориставшись тим, що переносів ніде все одно не виникає. Тому правомірність запису 0,(9) залежить від цього, чи визнаємо ми правомірність такого множення стовпчиком чи ні.
Отже, взагалі можна сказати, що запис 0,(9) некоректна - і певною мірою бути правим. Однак, оскільки нотація a, (b) прийнята, то просто некрасиво відмовлятися від неї при b = 9; краще визначитися з тим, що такий запис означає. Отже, якщо ми взагалі приймаємо запис 0, (9), цей запис, звичайно, означає число один.
Залишилося лише додати, що якби ми використовували, скажімо, трійкову систему числення, то при розподілі стовпчиком одиниці (1 3) на трійку (10 3) вийшло б 0,1 3 (читається «нуль цілих одна третя»), а при розподілі одиниці на двійку вийшло б 0(1) 3 .
Так що періодичність дробу-запису - це не об'єктивна якась характеристика дробу-числа, а лише побічний ефектвикористання тієї чи іншої системи числення.
Завантаження...