Минулого разу ми навчилися складати та віднімати дроби (див. урок «Складання та віднімання дробів»). Найбільш складним моментом у тих діях було приведення дробів до спільному знаменнику.
Тепер настав час розібратися з множенням і поділом. Хороша новина полягає в тому, що ці операції виконуються навіть простіше, ніж додавання та віднімання. Спочатку розглянемо найпростіший випадок, коли є два позитивні дроби без виділеної цілої частини.
Щоб помножити два дроби, треба окремо помножити їх чисельники та знаменники. Перше число буде чисельником нового дробу, а друге – знаменником.
Щоб розділити два дроби, треба перший дріб помножити на «перевернутий» другий.
Позначення:
З визначення слідує, що розподіл дробів зводиться до множення. Щоб «перевернути» дріб, досить замінити місцями чисельник і знаменник. Тому весь урок ми розглядатимемо переважно множення.
В результаті множення може виникнути (і найчастіше дійсно виникає) скоротитий дріб - його, зрозуміло, треба скоротити. Якщо після всіх скорочень дріб виявився неправильним, у ньому слід виділити цілу частину. Але чого точно не буде при множенні, так це приведення до спільного знаменника: жодних методів «хрест-навхрест», найбільших множників та найменших загальних кратних.
За визначенням маємо:
Розмноження дробів з цілою частиною та негативних дробів
Якщо в дробах є ціла частина, їх треба перевести в неправильні - і тільки потім множити за схемами, викладеними вище.
Якщо в чисельнику дробу, у знаменнику або перед ним стоїть мінус, його можна винести за межі множення або взагалі прибрати за такими правилами:
- Плюс мінус дає мінус;
- Мінус на мінус дає плюс.
Досі ці правила зустрічалися тільки при складанні та відніманні негативних дробів, коли потрібно позбутися цілої частини. Для твору їх можна узагальнити, щоб спалювати відразу кілька мінусів:
- Викреслюємо мінуси парами доти, доки вони повністю не зникнуть. В крайньому випадку, один мінус може вижити – той, якому не знайшлося пари;
- Якщо мінусів не залишилося, операція виконана – можна приступати до множення. Якщо ж останній мінус не закреслено, оскільки йому не знайшлося пари, виносимо його за межі множення. Вийде негативний дріб.
Завдання. Знайдіть значення виразу:
Усі дроби переводимо у неправильні, а потім виносимо мінуси за межі множення. Те, що залишилося, множимо за звичайними правилами. Отримуємо:
Ще раз нагадаю, що мінус, який стоїть перед дробом із виділеною цілою частиною, відноситься саме до всього дробу, а не лише до його цілої частини (це стосується двох останніх прикладів).
Також зверніть увагу на негативні числа: при множенні вони полягають у дужках Це зроблено для того, щоб відокремити мінуси від знаків множення і зробити весь запис акуратнішим.
Скорочення дробів «на льоту»
Множення – дуже трудомістка операція. Числа тут виходять досить великі, і щоб спростити завдання, можна спробувати скоротити ще до множення. Адже по суті, чисельники та знаменники дробів – це звичайні множники, і, отже, їх можна скорочувати, використовуючи основну властивість дробу. Погляньте на приклади:
Завдання. Знайдіть значення виразу:
За визначенням маємо:
У всіх прикладах червоним кольором відзначені числа, які зазнали скорочення, і те, що від них залишилося.
Зверніть увагу: у першому випадку множники скоротилися повністю. На їхньому місці залишилися одиниці, які взагалі кажучи, можна не писати. У другому прикладі повного скорочення досягти не вдалося, але сумарний обсяг обчислень все одно зменшився.
Однак у жодному разі не використовуйте цей прийом при складанні та відніманні дробів! Так, іноді там трапляються схожі числа, які так і хочеться скоротити. Ось, подивіться:
Так робити не можна!
Помилка виникає через те, що при додаванні в чисельник дробу з'являється сума, а не добуток чисел. Отже, застосовувати основну властивість дробу не можна, оскільки в цій властивості йдеться саме про множення чисел.
Інших підстав для скорочення дробів просто не існує, тому правильне рішенняпопереднього завдання виглядає так:
Правильне рішення:
Як бачите, правильна відповідь виявилася не такою гарною. Загалом будьте уважні.
З дробами можна виконувати всі дії, у тому числі і поділ. Ця стаття показує розподіл звичайних дробів. Будуть дані визначення, розглянуті приклади. Детально зупинимося на розподілі дробів на натуральні числа та навпаки. Буде розглянуто поділ звичайного дробуна змішане число.
Розподіл звичайних дробів
Поділ є зворотним множенням. При розподілі невідомий множник перебуває при відомому творі та іншого множника, де й зберігається його сенс з звичайними дробами.
Якщо потрібно зробити розподіл звичайного дробу a b на c d , тоді визначення такого числа необхідно зробити множення на дільник c d , це дасть у результаті ділене a b . Отримаємо число і запишемо його a b · d c де d c є зворотним c d числу. Рівності можна записати за допомогою властивостей множення, а саме: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b , де вираз a b · d c є приватним від поділу a b на c d .
Звідси отримаємо і сформулюємо правило розподілу звичайних дробів:
Визначення 1
Щоб розділити звичайний дріб a b на c d , необхідно поділити помножити на число, зворотне дільнику.
Запишемо правило у вигляді виразу: a b: c d = a b · d c
Правила поділу зводяться до множення. Щоб дотримуватися його, потрібно добре розумітися на виконанні множення звичайних дробів.
Перейдемо до розгляду поділу звичайних дробів.
Приклад 1
Виконати розподіл 9 7 на 5 3 . Результат записати як дробу.
Рішення
Число 5 3 – це зворотний дріб 3 5 . Необхідно використовувати правило розподілу звичайних дробів. Цей вираз запишемо так: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35 .
Відповідь: 9 7: 5 3 = 27 35 .
При скороченні дробів слід виділяти цілу частину, якщо чисельник більший за знаменник.
Приклад 2
Розділити 8 15: 24 65 . Відповідь записати у вигляді дробу.
Рішення
Для вирішення необхідно перейти від розподілу до множення. Запишемо це в такій формі: 8 15: 24 65 = 2 · 2 · 2 · 5 · 13 3 · 5 · 2 · 2 · 2 · 3 = 13 3 · 3 = 13 9
Необхідно зробити скорочення, а це виконується таким чином: 8 · 65 15 · 24 = 2 · 2 · 2 · 5 · 13 3 · 5 · 2 · 2 · 2 · 3 = 13 3 · 3 = 13 9
Виділяємо цілу частину і отримуємо 139 = 149.
Відповідь: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Розподіл незвичайного дробу на натуральне число
Використовуємо правило розподілу дробу на натуральне число:щоб поділити a b на натуральне число n, необхідно помножити лише знаменник на n. Звідси отримаємо вираз: a b: n = a b · n.
Правило розподілу є наслідком правила множення. Тому подання натурального числа у вигляді дробу дасть рівність такого типу: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n .
Розглянемо цей поділ дробу на число.
Приклад 3
Зробити поділ дробу 16 45 на число 12 .
Рішення
Застосуємо правило розподілу дробу на число. Отримаємо вираз виду 1645: 12 = 1645 · 12 .
Зробимо скорочення дробу. Отримаємо 16 45 · 12 = 2 · 2 · 2 · 2 (3 · 3 · 5) · (2 · 2 · 3) = 2 · 2 3 · 3 · 3 · 5 = 4 135 .
Відповідь: 16 45: 12 = 4 135 .
Поділ натурального числа на звичайний дріб
Правило розподілу аналогічне проправилу розподілу натурального числа на звичайний дріб: щоб розділити натуральне число n на звичайний a b, необхідно зробити множення числа n на зворотне дроби a b.
Виходячи з правила, маємо n: a b = n · b a , а завдяки правилу множення натурального числа на звичайний дріб, отримаємо наш вираз у вигляді n: a b = n · b a . Необхідно розглянути цей поділ на прикладі.
Приклад 4
Ділити 25 на 15 28 .
Рішення
Нам необхідно переходити від поділу до множення. Запишемо у вигляді виразу 25: 15 28 = 25 · 28 15 = 25 · 28 15 . Скоротимо дріб і отримаємо результат у вигляді дробу 46 2 3 .
Відповідь: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Розподіл звичайного дробу на змішане число
При розподілі звичайного дробу на змішане число легко можна світити до поділу звичайних дробів. Потрібно зробити переведення змішаного числа в неправильний дріб.
Приклад 5
Розділити дріб 35 16 на 3 1 8 .
Рішення
Так як 3 1 8 - Змішане число, представимо його у вигляді неправильного дробу. Тоді отримаємо 318 = 3 · 8 + 18 = 258. Тепер зробимо поділ дробів. Отримаємо 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 · 8 25 = 35 · 8 16 · 25 = 5 · 7 · 2 · 2 · 2 2 · 2 · 2 · 2 · (5 · 5) = 7 10
Відповідь: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Розподіл змішаного числа виробляється так само, як і звичайних.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Множення та розподіл дробів.
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")
Ця операція набагато приємніша за складання-віднімання! Бо простіше. Нагадую: щоб помножити дріб на дріб, потрібно перемножити чисельники (це буде чисельник результату) та знаменники (це буде знаменник). Тобто:
Наприклад:
Все дуже просто. І, будь ласка, не шукайте спільного знаменника! Не треба його тут.
Щоб розділити дріб на дріб, потрібно перевернути другу(це важливо!) дріб і їх перемножити, тобто:
Наприклад:
Якщо трапилося множення чи поділ із цілими числами та дробами – нічого страшного. Як і при додаванні, робимо з цілого числа дріб з одиницею в знаменнику – і вперед! Наприклад:
У старших класах часто доводиться мати справу з триповерховими (або навіть чотириповерховими!) дробами. Наприклад:
Як цей дріб привести до пристойного вигляду? Так, дуже просто! Використовувати поділ через дві точки:
Але не забувайте про порядок розподілу! На відміну від множення, це дуже важливо! Звичайно, 4:2, або 2:4, ми не сплутаємо. А ось у триповерховому дробі легко помилитись. Зверніть увагу, наприклад:
У першому випадку (вираз ліворуч):
У другому (вираз праворуч):
Відчуваєте різницю? 4 та 1/9!
А чим визначається порядок розподілу? Або дужками, або (як тут) довжиною горизонтальних рис. Розвивайте окомір. А якщо немає ні дужок, ні рис, типу:
то ділимо-множимо по порядку, зліва направо!
І ще дуже простий і важливий прийом. У діях зі ступенями він вам ох як знадобиться! Поділимо одиницю на будь-який дріб, наприклад, на 13/15:
Дроб перевернувся! І так завжди буває. При розподілі 1 на будь-який дріб, в результаті отримуємо той же дріб, тільки перевернутий.
Ось і всі події з дробами. Річ досить проста, але помилок дає більш ніж достатньо. Прийміть до уваги практичні поради, і їх (помилок) буде менше!
Практичні поради:
1. Найголовніше при роботі з дробовими виразами – акуратність та уважність! Це не загальні слова, Не благі побажання! Це сувора потреба! Усі обчислення на ЄДІ робіть як повноцінне завдання, зосереджено та чітко. Краще написати два зайві рядки в чернетці, ніж накосячити при розрахунку в умі.
2. У прикладах з різними видамидробів – переходимо до звичайних дробів.
3. Усі дроби скорочуємо до упору.
4. Багатоповерхові дробові вирази зводимо до звичайних, використовуючи розподіл через дві точки (стежимо за порядком розподілу!).
5. Одиницю на дріб ділимо в умі, просто перевертаючи дріб.
Ось вам завдання, які потрібно обов'язково вирішувати. Відповіді наведено після всіх завдань. Використовуйте матеріали цієї теми та практичні поради. Накиньте, скільки прикладів ви змогли вирішити правильно. З першого разу! Без калькулятора! І зробіть правильні висновки...
Пам'ятайте – правильна відповідь, отриманий з другого (тим більше – третього) разу – не рахується!Таке суворе життя.
Отже, вирішуємо в режимі іспиту ! Це вже підготовка до ЄДІ, між іншим. Вирішуємо приклад, перевіряємо, вирішуємо наступний. Вирішили все – перевірили знову з першого до останнього. І тільки потімдивимось відповіді.
Обчислити:
Вирішували?
Шукаємо відповіді, які співпадають із вашими. Я спеціально їх безладно записав, подалі від спокуси, так би мовити... Ось вони, відповіді, через крапку з комою записані.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
А тепер робимо висновки. Якщо все вийшло – радий за вас! Елементарні обчислення з дробами – не ваша проблема! Можна зайнятися серйознішими речами. Якщо ні...
Виходить, у вас одна з двох проблем. Або обидві відразу.) Нестача знань та (або) неуважність. Але це розв'язувані проблеми.
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
§ 87. Додавання дробів.
Додавання дробів має багато подібності зі складанням цілих чисел. Додавання дробів є дія, що полягає в тому, що кілька даних чисел (доданків) з'єднуються в одне число (суму), що містить у собі всі одиниці та частки одиниць доданків.
Ми послідовно розглянемо три випадки:
1. Додавання дробів з однаковими знаменниками.
2. Додавання дробів з різними знаменниками.
3. Додавання змішаних чисел.
1. Додавання дробів з однаковими знаменниками.
Розглянемо приклад: 1/5 + 2/5.
Візьмемо відрізок АВ (рис. 17), приймемо його за одиницю і розділимо на 5 рівних частин, тоді частина АС цього відрізка дорівнюватиме 1/5 відрізка АВ, а частина того ж відрізка CD дорівнюватиме 2/5 АВ.
З креслення видно, якщо взяти відрізок AD, він буде дорівнює 3 / 5 АВ; Проте відрізок AD і є сума відрізків АС і CD. Отже, можна записати:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Розглядаючи дані доданки та отриману суму, бачимо, що чисельник суми вийшов від складання чисельників доданків, а знаменник залишився без зміни.
Звідси отримуємо таке правило: щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, треба скласти їх чисельники та залишити той самий знаменник.
Розглянемо приклад:
2. Додавання дробів з різними знаменниками.
Складемо дроби: 3/4 + 3/8 Попередньо їх потрібно привести до найменшого спільного знаменника:
Проміжне ланка 6/8 + 3/8 можна було б і не писати; ми написали його тут для більшої ясності.
Таким чином, щоб скласти дроби з різними знаменниками, потрібно попередньо привести їх до найменшого спільного знаменника, скласти їх чисельники та підписати спільний знаменник.
Розглянемо приклад (додаткові множники писатимемо над відповідними дробами):
3. Додавання змішаних чисел.
Складемо числа: 2 3/8 + 3 5/6 .
Наведемо спочатку дрібні частини наших чисел до спільного знаменника і знову їх перепишемо:
Тепер складемо послідовно цілі та дробові частини:
§ 88. Віднімання дробів.
Віднімання дробів визначається так само, як і віднімання цілих чисел. Це є дія, за допомогою якого за цією сумою двох доданків і одному з них знаходиться інше доданок. Розглянемо послідовно три випадки:
1. Віднімання дробів з однаковими знаменниками.
2. Віднімання дробів із різними знаменниками.
3. Віднімання змішаних чисел.
1. Віднімання дробів з однаковими знаменниками.
Розглянемо приклад:
13 / 15 - 4 / 15
Візьмемо відрізок АВ (рис. 18), приймемо його за одиницю та розділимо на 15 рівних частин; тоді частина АС цього відрізка буде 1 / 15 від АВ, а частина AD того ж відрізка буде відповідати 13 / 15 AB. Відкладемо ще відрізок ED, що дорівнює 4/15 АВ.
Нам потрібно відняти з 13/15 дріб 4/15. На кресленні це означає, що від відрізка AD необхідно відібрати відрізок ED. В результаті залишиться відрізок AЕ, який становить 9/15 відрізка АВ. Отже, ми можемо написати:
Зроблений нами приклад показує, що чисельник різниці вийшов від віднімання чисельників, а знаменник залишився той самий.
Отже, щоб зробити віднімання дробів з однаковими знаменниками, потрібно відняти чисельник віднімається з чисельника зменшуваного і залишити колишній знаменник.
2. Віднімання дробів із різними знаменниками.
приклад. 3/4 - 5/8
Попередньо приведемо ці дроби до найменшого спільного знаменника:
Проміжна ланка 6/8 - 5/8 написана тут для більшої ясності, але її можна надалі пропускати.
Таким чином, щоб відняти дроб з дробу, потрібно попередньо привести їх до найменшого загального знаменника, потім від чисельника віднімати чисельник віднімається і під їх різницею підписати загальний знаменник.
Розглянемо приклад:
3. Віднімання змішаних чисел.
приклад. 10 3/4-7 2/3 .
Наведемо дробові частини зменшуваного та віднімається до найменшого спільного знаменника:
Ми відняли ціле з цілого і дріб із дробу. Але бувають випадки, коли дробова частина віднімається більше дробової частини зменшуваного. У разі треба взяти одну одиницю з цілої частини зменшуваного, роздробити їх у ті частки, у яких виражена дробова частина, і додати до дробової частини зменшуваного. А потім віднімання виконуватиметься так само, як і в попередньому прикладі:
§ 89. Розмноження дробів.
При вивченні множення дробів ми розглядатимемо такі питання:
1. Розмноження дробу на ціле число.
2. Знаходження дробу даного числа.
3. Множення цілого числа на дріб.
4. Множення дробу на дріб.
5. Множення змішаних чисел.
6. Поняття про відсоток.
7. Знаходження відсотків цього числа. Розглянемо їх послідовно.
1. Розмноження дробу на ціле число.
Множення дробу на ціле число має той самий сенс, що й множення цілого числа на ціле. Помножити дріб (множиться) на ціле число (множник) - означає скласти суму однакових доданків, в якій кожне доданок дорівнює множимому, а число доданків дорівнює множнику.
Отже, якщо потрібно 1/9 помножити на 7, це можна виконати так:
Ми легко отримали результат, оскільки дія звелася до додавання дробів з однаковими знаменниками. Отже,
Розгляд цієї дії показує, що множення дробу на ціле число рівносильне збільшенню цього дробу в стільки разів, скільки одиниць міститься в цілому. Оскільки збільшення дробу досягається або шляхом збільшення її чисельника
або шляхом зменшення її знаменника 
,то можемо або помножити чисельник на ціле, або розділити нею знаменник, якщо таке розподіл можливо.
Звідси отримуємо правило:
Щоб помножити дріб на ціле число, потрібно помножити на це ціле число чисельник і залишити той самий знаменник або, якщо можливо, розділити на це знаменник, залишивши без зміни чисельник.
При множенні можливі скорочення, наприклад:
2. Знаходження дробу даного числа.Існує безліч завдань, при вирішенні яких доводиться знаходити або обчислювати частину даного числа. Відмінність цих завдань від інших полягає в тому, що в них дається кількість яких-небудь предметів або одиниць виміру і потрібно знайти частину цього числа, яка вказується певним дробом. Для полегшення розуміння ми спочатку наведемо приклади таких завдань, а потім познайомимо із способом їх вирішення.
Завдання 1.У мене було 60 руб.; 1/3 цих грошей я витратив на покупку книжок. Скільки коштували книжки?
Завдання 2.Поїзд має пройти відстань між містами А та В, що дорівнює 300 км. Він уже пройшов 2/3 цієї відстані. Скільки це кілометрів?
Завдання 3.У селі 400 будинків, з них 3/4 цегляних, решта дерев'яних. Скільки усього цегляних будинків?
Ось деякі з тих численних завдань на знаходження частини від цього числа, з якими нам доводиться зустрічатися. Їх зазвичай називають завданнями знаходження дробу даного числа.
Розв'язання задачі 1.З 60 руб. я витратив на книги 1/3; Отже, для знаходження вартості книг потрібно число 60 поділити на 3:
Розв'язання задачі 2.Сенс завдання полягає в тому, що потрібно знайти 2/3 від 300 км. Обчислимо спочатку 1/3 від 300; це досягається за допомогою розподілу 300 км на 3:
300: 3 = 100 (це 1/3 від 300).
Для знаходження двох третин від 300 потрібно отримане приватне збільшити вдвічі, тобто помножити на 2:
100 х 2 = 200 (це 2/3 від 300).
Розв'язання задачі 3.Тут потрібно визначити кількість цегляних будинків, які становлять 3/4 від 400. Знайдемо спочатку 1/4 від 400,
400: 4 = 100 (це 1/4 від 400).
Для обчислення трьох чвертей від 400 отримане приватне потрібно збільшити втричі, тобто помножити на 3:
100 х 3 = 300 (це 3/4 від 400).
З вирішення цих завдань ми можемо вивести таке правило:
Щоб знайти величину дробу від даного числа, потрібно розділити це число на знаменник дробу та отримане приватне помножити на його чисельник.
3. Множення цілого числа на дріб.
Раніше (§ 26) було встановлено, що множення цілих чисел потрібно розуміти як додавання однакових доданків (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). У цьому параграфі (пункт 1) було встановлено, що помножити дріб на ціле число - це означає знайти суму однакових доданків, що дорівнює цьому дробу.
В обох випадках множення полягало у знаходженні суми однакових доданків.
Тепер ми переходимо до множення цілого числа на дріб. Тут ми зустрінемося з таким, наприклад, множенням: 9 2/3 . Цілком очевидно, що колишнє визначення множення не підходить до цієї нагоди. Це з того, що ми можемо таке множення замінити складанням рівних між собою чисел.
Тому нам доведеться дати нове визначення множення, тобто, іншими словами, відповісти на питання, що слід розуміти під множенням на дріб, як треба розуміти цю дію.
Сенс множення цілого числа на дріб з'ясовується з наступного визначення: помножити ціле число (множиться) на дріб (множник) - значить знайти цей дріб множного.
Саме, помножити 9 на 2/3 – значить знайти 2/3 від дев'яти одиниць. У попередньому пункті вирішувалися такі завдання; тому легко збагнути, що в результаті вийде 6.
Але тепер виникає цікаве та важливе питання: чому такі на перший погляд різні дії, як знаходження суми рівних чиселі знаходження дробу числа, в арифметиці називаються одним і тим самим словом «множення»?
Відбувається це тому, що колишня дія (повторення числа доданків кілька разів) та нова дія (знаходження дробу числа) дають відповідь на однорідні питання. Отже, ми виходимо з тих міркувань, що однорідні питання чи завдання вирішуються однією і тією ж дією.
Щоб це зрозуміти, розглянемо таку задачу: «1 м сукна коштує 50 руб. Скільки буде коштувати 4 м такого сукна?
Це завдання вирішується множенням числа рублів (50) на число метрів (4), тобто 50 х 4 = 200 (руб.).
Візьмемо таку ж задачу, але в ній кількість сукна буде виражена дрібним числом: «1 м сукна коштує 50 руб. Скільки буде коштувати 3/4 м такого сукна?
Це завдання теж потрібно вирішувати множенням числа рублів (50) на число метрів (3/4).
Можна ще кілька разів, не змінюючи сенсу завдання, змінити у ній числа, наприклад взяти 9 / 10 м або 2 3 / 10 м тощо.
Так як ці завдання мають один і той же зміст і відрізняються лише числами, то ми називаємо дії, що застосовуються при їх вирішенні, одним і тим самим словом - множення.
Як виконується множення цілого числа на дріб?
Візьмемо числа, що зустрілися в останній задачі:
Відповідно до визначення ми повинні знайти 3/4 від 50. Знайдемо спочатку 1/4 від 50, а потім 3/4.
1/4 числа 50 становить 50/4;
3/4 числа 50 складають.
Отже.
Розглянемо ще один приклад: 12 5/8 = ?
1/8 числа 12 становить 12/8,
5/8 числа 12 складають.
Отже,
Звідси отримуємо правило:
Щоб помножити ціле число на дріб, треба помножити ціле число на чисельник дробу і цей твір зробити чисельником, а знаменником підписати знаменник даного дробу.
Запишемо це правило за допомогою літер:
Щоб це правило стало зрозумілим, слід пам'ятати, що дріб можна розглядати як приватне. Тому знайдене правило корисно порівняти з правилом множення числа на приватне, що було викладено у § 38
Необхідно пам'ятати, що перш ніж виконувати множення, слід робити (якщо можливо) скорочення, наприклад:
4. Множення дробу на дріб.Множення дробу на дріб має той самий сенс, що і множення цілого числа на дріб, тобто при множенні дробу на дріб потрібно від першого дробу (множного) знайти дріб, що стоїть у множнику.
Саме, помножити 3/4 на 1/2 (половину) – це означає знайти половину від 3/4.
Як виконується множення дробу на дріб?
Візьмемо приклад: 3/4 помножити на 5/7. Це означає, що потрібно знайти 5/7 від 3/4. Знайдемо спочатку 1/7 від 3/4, а потім 5/7
1/7 числа 3/4 висловиться так:
5/7 числа 3/4 виразиться так:
Таким чином,
Ще приклад: 5/8 помножити на 4/9.
1/9 числа 5/8 складає,
4/9 числа 5/8 складають.
Таким чином, 
З розгляду цих прикладів можна вивести таке правило:
Щоб помножити дріб на дріб, потрібно помножити чисельник на чисельник, а знаменник – на знаменник і перший твір зробити чисельником, а другий – знаменником твору.
Це правило в загальному виглядіможна записати так:
При множенні необхідно робити (якщо можливо) скорочення. Розглянемо приклади:
5. Множення змішаних чисел.Так як змішані числалегко можуть бути замінені неправильними дробами, то цією обставиною зазвичай користуються при множенні змішаних чисел. Це означає, що у випадках, коли множимое, чи множник, чи обидва сомножителя виражені змішаними числами, їх замінюють неправильними дробами. Перемножимо, наприклад, змішані числа: 2 1/2 та 3 1/5 . Обернемо кожне з них у неправильний дріб і потім перемножуватимемо отримані дроби за правилом множення дробу на дріб:
Правило.Щоб перемножити змішані числа, потрібно попередньо звернути їх у неправильні дроби і потім перемножити за правилом множення дробу на дріб.
Примітка.Якщо один із співмножників - ціле число, то множення може бути виконане на підставі розподільчого закону так:
6. Поняття про відсоток.При вирішенні завдань та при виконанні різних практичних розрахунків ми користуємось різноманітними дробами. Але треба мати на увазі, що багато величин допускають не будь-які, а природні для них підрозділи. Наприклад, можна взяти одну соту (1/100) рубля, це буде копійка, дві сотих – це 2 коп., три сотих – 3 коп. Можна взяти 1/10 рубля, це буде "10 коп., або гривеньник. Можна взяти чверть рубля, тобто 25 коп., половину рубля, тобто 50 коп. (полтинник). Але практично не беруть, наприклад 2/7 рубля тому, що рубль на сьомі частки не ділиться.
Одиниця виміру ваги, тобто кілограм, допускає насамперед десяткові підрозділи, наприклад 1/10 кг, або 100 г. А такі частки кілограма, як 1/6, 1/11, 1/13 невживані.
Загалом наші (метричні) заходи є десятковими та допускають десяткові підрозділи.
Проте треба зазначити, що дуже корисно і зручно у найрізноманітніших випадках користуватися однаковим (одноманітним) способом підрозділу величин. Багаторічний досвід показав, що таким поділом, що добре виправдав себе, є «сотене» поділ. Розглянемо кілька прикладів, що стосуються найрізноманітніших областей людської практики.
1. Ціна на книги знизилася на 12/100 колишньої ціни.
приклад. Колишня ціна книги 10 руб. Вона знизилася на 1 карбованець. 20 коп.
2. Ощадні каси виплачують протягом року вкладникам 2/100 суми, яка покладена на заощадження.
приклад. У касу покладено 500 руб., Дохід з цієї суми за рік становить 10 руб.
3. Число випускників однієї школи становило 5/100 від загальної кількості учнів.
П р і м е р. У школі навчалося всього 1200 учнів, з них закінчили школу 60 осіб.
Сота частина числа називається відсотком.
Слово «відсоток» запозичене з латинської мовита його корінь «цент» означає сто. Разом із прийменником (pro centum) це слово означає «за сотню». Сенс такого вираження випливає з тієї обставини, що спочатку в стародавньому Римівідсотками називалися гроші, які платив боржник позикодавцю «за сотню». Слово «цент» чується у таких усім знайомих словах: центнер (сто кілограмів), центиметр (говориться сантиметр).
Наприклад, замість того, щоб говорити, що завод за місяць, що минув, дав шлюбу 1/100 від усієї виробленої ним продукції, ми говоритимемо так: завод за минулий місяць дав один відсоток шлюбу. Замість говорити: завод виробив продукції на 4/100 більше за встановлений план, ми говоритимемо: завод перевиконав план на 4 відсотки.
Викладені вище приклади можна висловити інакше:
1. Ціна на книги знизилася на 12 відсотків колишньої ціни.
2. Ощадні каси виплачують вкладникам протягом року 2 відсотки із суми, покладеної заощадження.
3. Кількість випускників однієї школи становила 5 відсотків числа всіх учнів школи.
Для скорочення листа прийнято замість слова відсоток писати значок %.
Однак слід пам'ятати, що у обчисленнях значок % зазвичай не пишеться, він може бути записаний в умові завдання та в остаточному результаті. При виконанні обчислень потрібно писати дріб зі знаменником 100 замість цілого числа з цим значком.
Потрібно вміти замінювати ціле число із зазначеним значком дробом із знаменником 100:
Назад, потрібно звикнути замість дробу зі знаменником 100 писати ціле число із зазначеним значком:
7. Знаходження відсотків цього числа.
Завдання 1.Школа здобула 200 куб. м дров, причому березові дрова становили 30%. Скільки було березових дров?
Сенс цього завдання у тому, що березові дрова становили лише частина тих дров, які були доставлені до школи, і це частина виражається дробом 30 / 100 . Отже, маємо завдання знаходження дробу від числа. Для її вирішення ми повинні 200 помножити на 30/100 (завдання на знаходження дробу числа вирішуються множенням числа на дріб.).
Отже, 30% від 200 дорівнюють 60.
Дроб 30 / 100 , що зустрічалася у цій задачі, допускає скорочення на 10. Можна було б від початку виконати це скорочення; вирішення завдання від цього не змінилося б.
Завдання 2.У таборі було 300 дітей різного віку. Діти 11 років становили 21%, діти 12 років становили 61% та, нарешті, 13-річних дітей було 18%. Скільки було дітей кожного віку у таборі?
У цьому вся задачі потрібно виконати три обчислення, т. е. послідовно знайти число дітей 11 років, потім 12 років і, нарешті, 13 років.
Отже, тут потрібно буде тричі відшукати дріб від числа. Зробимо це:
1) Скільки було дітей 11-річного віку?
2) Скільки було дітей 12-річного віку?
3) Скільки було дітей 13-річного віку?
Після розв'язання задачі корисно скласти знайдені числа; сума їх повинна становити 300:
63 + 183 + 54 = 300
Слід також звернути увагу, що сума відсотків, даних за умови завдання, становить 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Це говорить про те що загальне числодітей, які перебували у таборі, було прийнято за 100%.
3 а д а ч а 3.Робітник отримав протягом місяця 1 200 крб. З них 65% він витратив на харчування, 6% - на квартиру та опалення, 4% - на газ, електрику та радіо, 10% - на культурні потреби та 15% - зберіг. Скільки грошей витрачено на потреби, що вказані в задачі?
Для вирішення цього завдання потрібно 5 разів знайти дріб від числа 1200. Зробимо це.
1) Скільки грошей витрачено на харчування? У задачі сказано, що ця витрата становить 65% від усього заробітку, тобто 65/100 від числа 1200. Зробимо обчислення:
2) Скільки грошей сплачено за квартиру з опаленням? Розмірковуючи подібно до попереднього, ми прийдемо до наступного обчислення:
3) Скільки грошей сплатили за газ, електрику та радіо?
4) Скільки грошей витрачено на культурні потреби?
5) Скільки грошей робітник зберіг?
Для перевірки корисно скласти числа, знайдені у цих 5 питаннях. Сума має становити 1 200 руб. Весь заробіток прийнято за 100%, що легко перевірити, склавши числа відсотків, дані за умови завдання.
Ми вирішили три завдання. Незважаючи на те, що в цих задачах йшлося про різних речах(Доставка дров для школи, число дітей різного віку, витрати робітника), вони вирішувалися одним і тим же способом. Це сталося тому, що у всіх завданнях потрібно було знайти кілька відсотків даних чисел.
§ 90. Розподіл дробів.
При вивченні поділу дробів ми розглядатимемо такі питання:
1. Розподіл цілого числа на ціле.
2. Розподіл дробу на ціле число
3. Розподіл цілого числа на дріб.
4. Розподіл дробу на дріб.
5. Розподіл змішаних чисел.
6. Знаходження числа з даного його дробу.
7. Знаходження числа за його відсотками.
Розглянемо їх послідовно.
1. Розподіл цілого числа на ціле.
Як було зазначено у відділі цілих чисел, розподілом називається дія, що полягає в тому, що за даним твором двох співмножників (ділимо) і одному з цих співмножників (ділителю) знаходиться інший співмножник.
Розподіл цілого числа на ціле ми розглядали у відділі цілих чисел. Ми зустріли там два випадки поділу: поділ без залишку, або «націло» (150: 10 = 15), і поділ із залишком (100: 9 = 11 і 1 у залишку). Ми можемо, отже, сказати, що у області цілих чисел точне розподіл який завжди можливо, оскільки ділене який завжди є твором дільника ціле число. Після введення множення на дріб ми можемо всякий випадок поділу цілих чисел вважати за можливе (виключається тільки поділ на нуль).
Наприклад, розділити 7 на 12 це означає знайти таке число, добуток якого на 12 було б дорівнює 7. Таким числом є дріб 7 / 12 тому що 7 / 12 12 = 7. Ще приклад: 14: 25 = 14/25, тому що 14/25 25 = 14.
Таким чином, щоб розділити ціле число на ціле, потрібно скласти дріб, чисельник якого дорівнює ділимому, а знаменник - дільнику.
2. Розподіл дробу на ціле число.
Розділити дріб 6/7 на 3. Відповідно до цього вище визначення розподілу ми маємо тут твір (6/7) та один із співмножників (3); потрібно знайти такий другий співмножник, який від множення на 3 дав би цей твір 6/7. Очевидно, він має бути втричі меншим від цього твору. Отже, поставлене перед нами завдання полягало в тому, щоб дріб 6/7 зменшити утричі.
Ми вже знаємо, що зменшення дробу можна виконати або шляхом зменшення його чисельника, або шляхом збільшення його знаменника. Тому можна написати:
В даному випадкучисельник 6 ділиться на 3, тому слід зменшити у 3 рази чисельник.
Візьмемо інший приклад: 5/8 розділити на 2. Тут чисельник 5 не ділиться націло на 2, значить, на це число доведеться помножити знаменник:
На підставі цього можна висловити правило: щоб розділити дріб на ціле число, потрібно розділити на це ціле число чисельник дробу(якщо це можливо), залишивши той же знаменник, або помножити на це число знаменник дробу, залишивши той самий чисельник.
3. Розподіл цілого числа на дріб.
Нехай потрібно розділити 5 на 1/2, тобто знайти таке число, яке після множення на 1/2 дасть твір 5. Очевидно, це число має бути більше 5, тому що 1/2 є правильний дріб, а при множенні числа на правильний дріб твір має бути меншим від множимого. Щоб це було зрозуміліше, запишемо наші дії наступним чином: 5: 1/2 = х , отже, х 1/2 = 5.
Ми повинні знайти таке число х , Яке, будучи помножено на 1/2 дало б 5. Так як помножити деяке число на 1/2 - це означає знайти 1/2 цього числа, то, отже, 1/2 невідомого числа х дорівнює 5, а все число х удвічі більше, тобто 52 = 10.
Таким чином, 5: 1/2 = 5 2 = 10
Перевіримо: 
Розглянемо ще один приклад. Нехай потрібно розділити 6 на 2/3. Спробуємо спочатку знайти результат, що шукається, за допомогою креслення (рис. 19).
Рис.19
Зобразимо відрізок АВ, рівний 6 якимось одиницям, і розділимо кожну одиницю на 3 рівні частини. У кожній одиниці три третини (3/3) у всьому відрізку АВ у 6 разів більше,т. е. 18/3. З'єднаємо за допомогою маленьких дужок 18 отриманих відрізків по 2; вийде лише 9 відрізків. Значить дріб 2/3 міститься в б одиницях 9 разів, або, іншими словами, дріб 2/3 у 9 разів менший за 6 цілих одиниць. Отже,
Яким чином отримати цей результат без креслення за допомогою лише обчислень? Будемо міркувати так: потрібно 6 розділити на 2/3, тобто потрібно відповісти на запитання, скільки разів 2/3 утримуються в 6. Дізнаємося спочатку: скільки разів 1/3 міститься в 6? У цілій одиниці - 3 третини, а у 6 одиницях - у 6 разів більше, тобто 18 третин; для знаходження цього числа ми повинні 6 помножити на 3. Значить, 1/3 міститься в б одиницях 18 разів, а 2/3 містяться в б не 18 разів, а вдвічі менше разів, тобто 18: 2 = 9. Отже , при розподілі 6 на 2/3 ми виконали такі дії:
Звідси отримуємо правило розподілу цілого числа на дріб. Щоб розділити ціле число на дріб, треба це число помножити на знаменник даного дробу і, зробивши цей добуток чисельником, розділити його на чисельник даного дробу.
Запишемо правило за допомогою літер:
Щоб це правило стало зрозумілим, слід пам'ятати, що дріб можна розглядати як приватне. Тому знайдене правило корисно порівняти з правилом розподілу числа на приватне, що було викладено у § 38. Зверніть увагу на те, що там була отримана така сама формула.
При розподілі можливі скорочення, наприклад:
4. Розподіл дробу на дріб.
Нехай потрібно розділити 3/4 на 3/8. Що позначатиме число, яке вийде в результаті розподілу? Воно даватиме відповідь на запитання, скільки разів дроб 3/8 міститься в дробі 3/4 . Щоб розібратися у цьому питанні, зробимо креслення (рис. 20).
Візьмемо відрізок АВ, приймемо його за одиницю, розділимо на 4 рівні частини та відзначимо 3 такі частини. Відрізок АС дорівнюватиме 3/4 відрізка АВ. Розділимо тепер кожен із чотирьох початкових відрізків навпіл, тоді відрізок АВ розділиться на 8 рівних частин і кожна така частина дорівнюватиме 1/8 відрізка АВ. З'єднаємо дугами по 3 такі відрізки, тоді кожен з відрізків AD і DC дорівнюватиме 3/8 відрізка АВ. Креслення показує, що відрізок, рівний 3 / 8 міститься у відрізку, рівному 3 / 4 , рівно 2 рази; значить, результат розподілу можна записати так:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Розглянемо ще один приклад. Нехай потрібно розділити 15/16 на 3/32:
Ми можемо міркувати так: потрібно знайти таке число, яке після множення на 3/32 Дасть твір, що дорівнює 15/16. Запишемо обчислення так:
15 / 16: 3 / 32 = х
3 / 32 х = 15 / 16
3/32 невідомого числа х складають 15/16
1/32 невідомого числа х складає ,
32 / 32 числа х складають.
Отже,
Таким чином, щоб розділити дріб на дріб, потрібно чисельник першого дробу помножити на знаменник другий, а знаменник першого дробу помножити на чисельник другий і перший твір зробити чисельником, а другий - знаменником.
Запишемо правило за допомогою літер:
При розподілі можливі скорочення, наприклад:
5. Розподіл змішаних чисел.
При поділі змішаних чисел їх потрібно попередньо звертати в неправильні дроби, апотім проводити розподіл отриманих дробів за правилами розподілу дробових чисел. Розглянемо приклад:
Обернемо змішані числа в неправильні дроби:
Тепер розділимо:
Таким чином, щоб розділити змішані числа, потрібно звернути їх до неправильних дробів і потім розділити за правилом поділу дробів.
6. Знаходження числа з даного його дробу.
Серед різних завдань на дроби іноді зустрічаються такі, у яких дається величина якогось дробу невідомого числа і потрібно знайти це число. Цього типу завдання будуть оберненими по відношенню до задач на знаходження дробу даного числа; там давалося число і потрібно знайти деякий дріб від цього числа, тут дається дріб від числа і потрібно знайти саме це число. Ця думка стане ще ясніше, якщо ми звернемося до вирішення такого типу завдань.
Завдання 1.У перший день шибки склали 50 вікон, що складає 1/3 всіх вікон збудованого будинку. Скільки всього вікон у цьому будинку?
Рішення.У задачі сказано, що засклені 50 вікон становлять 1/3 всіх вікон будинку, отже, всього вікон у 3 рази більше, тобто.
У будинку було 150 вікон.
Завдання 2.Магазин продав 1 500 кг борошна, що становить 3/8 всього запасу борошна, що був у магазині. Яким був первинний запас борошна в магазині?
Рішення.З умови завдання видно, що продані 1500 кг борошна складають 3/8 всього запасу; значить, 1/8 цього запасу буде в 3 рази менше, тобто для її обчислення потрібно 1500 зменшити у 3 рази:
1500: 3 = 500 (це 1/8 запасу).
Очевидно, весь запас буде у 8 разів більшим. Отже,
500 8 = 4000 (кг).
Початковий запас борошна в магазині дорівнював 4 000 кг.
З розгляду цього завдання можна вивести таке правило.
Щоб знайти число за даною величиною його дробу, достатньо розділити цю величину на чисельник дробу і результат помножити на знаменник дробу.
Ми вирішили дві задачі на знаходження числа з даного дробу. Такі завдання, як це добре видно з останньої, вирішуються двома діями: розподілом (коли знаходять одну частину) і множенням (коли знаходять все число).
Однак після того, як ми вивчили поділ дробів, зазначені вище завдання можна вирішувати однією дією, а саме: поділом на дріб.
Наприклад, остання задача може бути вирішена однією дією так:
Надалі завдання на знаходження числа з його дробу ми вирішуватимемо одним дією - поділом.
7. Знаходження числа за його відсотками.
У цих завданнях потрібно буде знайти число, знаючи кілька відсотків цього числа.
Завдання 1.На початку поточного року я отримав у ощадній касі 60 руб. доходу із суми, покладеної мною на заощадження рік тому. Скільки грошей я поклав до ощадної каси? (Каси дають вкладникам 2% доходу на рік.)
Сенс завдання полягає в тому, що деяка сума грошей була покладена мною до ощадної каси і пролежала там рік. Через рік я отримав з неї 60 руб. доходу, що становить 2/100 тих грошей, які я поклав. Скільки грошей я поклав?
Отже, знаючи частину цих грошей, виражену двома способами (у рублях і дробом), ми повинні знайти всю поки що невідому суму. Це звичайне завдання на знаходження числа з даного його дробу. Вирішуються такі завдання розподілом:
Отже, в ощадну касу було покладено 3000 руб.
Завдання 2.Рибалки за два тижні виконали місячний план на 64%, заготовивши 512 т риби. Який у них план?
З умови завдання відомо, що рибалки виконали частину плану. Ця частина дорівнює 512 т, що становить 64% плану. Скільки тонн риби потрібно заготовити за планом, нам невідомо. У знаходженні цього числа і буде вирішення задачі.
Такі завдання вирішуються поділом:
Отже, за планом необхідно заготовити 800 т риби.
Завдання 3.Поїзд йшов із Риги до Москви. Коли він пройшов 276-й кілометр, один із пасажирів запитав кондуктора, який проходить, яку частину шляху вони вже проїхали. На це кондуктор відповів: «Проїхали вже 30% усього шляху». Яка відстань від Риги до Москви?
З умов завдання видно, що 30% шляху від Риги до Москви становлять 276 км. Нам потрібно знайти всю відстань між цими містами, тобто по цій частині знайти ціле:
§ 91. Взаємно обернені числа. Заміна поділу множенням.
Візьмемо дріб 2/3 і переставимо чисельник на місце знаменника, вийде 3/2. Ми отримали дріб, обернений даної.
Щоб отримати дріб, зворотний даної, потрібно її чисельник поставити місце знаменника, а знаменник - місце чисельника. Цим способом ми можемо отримати дріб, зворотний до будь-якого дробу. Наприклад:
3/4, зворотна 4/3; 5/6, зворотна 6/5
Два дроби, що володіють тією властивістю, що чисельник першої є знаменником другої, а знаменник першої є чисельником другої, називаються взаємно зворотні.
Тепер подумаємо, який дріб буде зворотним для 1/2 . Очевидно, це буде 2/1, або просто 2. Відшукуючи дріб, зворотний даній, ми отримали ціле число. І цей випадок непоодинокий; навпаки, для всіх дробів з чисельником 1 (одиниця) оберненими будуть цілі числа, наприклад:
1/3, зворотна 3; 1/5, зворотна 5
Так як при знайденні зворотних дробів ми зустрілися і з цілими числами, то надалі ми говоритимемо не про зворотні дроби, а про зворотні числа.
З'ясуємо, як написати число, обернене до цілого числа. Для дробів це вирішується просто: потрібно знаменник поставити на місце чисельника. Цим же способом можна отримати зворотне число і для цілого числа, так як у будь-якого цілого числа можна мати на увазі знаменник 1. Отже, число, зворотне 7, буде 1/7, тому що 7 = 7/1; для числа 10 зворотне буде 1/10, тому що 10 = 10/1
Цю думку можна висловити інакше: число, обернене даному числу, виходить від розподілу одиниці на дане число. Таке твердження справедливе як цілих чисел, а й дробів. Справді, якщо потрібно написати число, обернене дробу 5/9, то ми можемо взяти 1 і розділити її на 5/9, тобто.
Тепер вкажемо одне властивістьвзаємно зворотних чисел, яке буде нам корисно: добуток взаємно зворотних чисел дорівнює одиниці.Справді:
Користуючись цією властивістю, ми можемо знаходити обернені числа наступним шляхом. Нехай потрібно знайти число, обернене 8.
Позначимо його літерою х тоді 8 х = 1, звідси х = 1/8. Знайдемо ще число, обернене 7 / 12 позначимо його буквою х , тоді 7/12 х = 1, звідси х = 1: 7/12 або х = 12 / 7 .
Ми ввели тут поняття про взаємно зворотні числа для того, щоб трохи доповнити відомості про поділ дробів.
Коли ми ділимо число 6 на 3/5, то ми виконуємо такі дії:
Зверніть особливу увагуна вираз і порівняйте його із заданим: .
Якщо взяти вираз окремо, без зв'язку з попереднім, то не можна вирішити питання, звідки воно виникло: від поділу 6 на 3/5 або від множення 6 на 5/3. В обох випадках виходить те саме. Тому ми можемо сказати, що розподіл одного числа інше можна замінити множенням поділеного на число, зворотне дільнику.
Приклади, які ми даємо нижче, цілком підтверджують висновок.
) та знаменник на знаменник (отримаємо знаменник твору).
Формула множення дробів:
Наприклад:
Перед тим, як приступити до множення чисельників і знаменників, необхідно перевірити можливість скорочення дробу . Якщо вдасться скоротити дріб, то вам легше буде проводити розрахунки.
Розподіл звичайного дробу на дріб.
Розподіл дробів за участю натурального числа.
Це не так страшно, як здається. Як і у випадку зі складанням, переводимо ціле число в дріб з одиницею в знаменнику. Наприклад:
Розмноження змішаних дробів.
Правила множення дробів (змішаних):
- перетворюємо змішані дроби на неправильні;
- перемножуємо чисельники та знаменники дробів;
- скорочуємо дріб;
- якщо отримали неправильний дріб, то перетворюємо неправильний дріб на змішану.
Зверніть увагу!Щоб помножити змішаний дріб на інший змішаний дріб, потрібно для початку привести їх до виду неправильних дробів, а далі помножити за правилом множення звичайних дробів.
Другий спосіб множення дробу на натуральне число.
Буває зручніше використовувати другий спосіб множення звичайного дробу на число.
Зверніть увагу!Для множення дробу на натуральне число необхідно знаменник дробу розділити цього числа, а чисельник залишити без зміни.
З наведеного вище прикладу зрозуміло, що цей варіант зручніше для використання, коли знаменник дробу ділиться без залишку на натуральне число.
Багатоповерхові дроби.
У старших класах найчастіше зустрічаються триповерхові (або більше) дроби. Приклад:
Щоб привести такий дріб до звичного вигляду, використовують розподіл через 2 точки:
Зверніть увагу!У розподілі дробів дуже важливий порядок розподілу. Будьте уважні, тут легко заплутатися.
Зверніть увагу, наприклад:
При поділі одиниці на будь-який дріб, результатом буде той самий дріб, тільки перевернутий:
Практичні поради при множенні та розподілі дробів:
1. Найважливішим у роботі з дробовими виразами є акуратність та уважність. Всі обчислення робіть уважно та акуратно, зосереджено та чітко. Краще запишіть кілька зайвих рядків у чернетці, ніж заплутатися в розрахунках в умі.
2. У завданнях з різними видами дробів – переходьте до виду звичайних дробів.
3. Всі дроби скорочуємо доти, доки скорочувати вже буде неможливо.
4. Багатоповерхові дробові вирази наводимо на вигляд звичайних, користуючись розподілом через 2 точки.
5. Одиницю на дріб ділимо в умі, просто перевертаючи дріб.
Завантаження...