) та знаменник на знаменник (отримаємо знаменник твору).
Формула множення дробів:
Наприклад:
Перед тим, як приступити до множення чисельників і знаменників, необхідно перевірити можливість скорочення дробу . Якщо вдасться скоротити дріб, то вам легше буде проводити розрахунки.
Розподіл звичайного дробу на дріб.
Розподіл дробів за участю натурального числа.
Це не так страшно, як здається. Як і у випадку зі складанням, переводимо ціле число в дріб з одиницею в знаменнику. Наприклад:
Розмноження змішаних дробів.
Правила множення дробів (змішаних):
- перетворюємо змішані дроби на неправильні;
- перемножуємо чисельники та знаменники дробів;
- скорочуємо дріб;
- якщо отримали неправильний дріб, то перетворюємо неправильний дріб на змішану.
Зверніть увагу!Щоб помножити змішаний дріб на інший змішаний дріб, потрібно для початку привести їх до вигляду неправильних дробів, а далі помножити за правилом множення звичайних дробів.
Другий спосіб множення дробу на натуральне число.
Буває зручніше використовувати другий спосіб множення звичайного дробу на число.
Зверніть увагу!Для множення дробу на натуральне числонеобхідно знаменник дробу розділити цього числа, а чисельник залишити без зміни.
З наведеного вище прикладу зрозуміло, що цей варіант зручніше для використання, коли знаменник дробу ділиться без залишку на натуральне число.
Багатоповерхові дроби.
У старших класах найчастіше зустрічаються триповерхові (або більше) дроби. Приклад:
Щоб привести такий дріб до звичного вигляду, використовують розподіл через 2 точки:
Зверніть увагу!У розподілі дробів дуже важливий порядок розподілу. Будьте уважні, тут легко заплутатися.
Зверніть увагу, наприклад:
При поділі одиниці на будь-який дріб, результатом буде той самий дріб, тільки перевернутий:
Практичні поради при множенні та розподілі дробів:
1. Найважливішим у роботі з дробовими виразами є акуратність та уважність. Всі обчислення робіть уважно та акуратно, зосереджено та чітко. Краще запишіть кілька зайвих рядків у чернетці, ніж заплутатися в розрахунках в умі.
2. У завданнях з різними видамидробів - переходьте до виду звичайних дробів.
3. Всі дроби скорочуємо доти, доки скорочувати вже буде неможливо.
4. Багатоповерхові дробові вирази наводимо на вигляд звичайних, користуючись розподілом через 2 точки.
5. Одиницю на дріб ділимо в умі, просто перевертаючи дріб.
Минулого разу ми навчилися складати та віднімати дроби (див. урок «Складання та віднімання дробів»). Найбільш складним моментом у тих діях було приведення дробів до спільному знаменнику.
Тепер настав час розібратися з множенням і поділом. Хороша новина полягає в тому, що ці операції виконуються навіть простіше, ніж додавання та віднімання. Спочатку розглянемо найпростіший випадок, коли є два позитивні дроби без виділеної цілої частини.
Щоб помножити два дроби, треба окремо помножити їх чисельники та знаменники. Перше число буде чисельником нового дробу, а друге – знаменником.
Щоб розділити два дроби, треба перший дріб помножити на «перевернутий» другий.
Позначення:
З визначення слідує, що розподіл дробів зводиться до множення. Щоб «перевернути» дріб, досить замінити місцями чисельник і знаменник. Тому весь урок ми розглядатимемо переважно множення.
В результаті множення може виникнути (і найчастіше дійсно виникає) скоротитий дріб - його, зрозуміло, треба скоротити. Якщо після всіх скорочень дріб виявився неправильним, у ньому слід виділити цілу частину. Але чого точно не буде при множенні, так це приведення до спільного знаменника: жодних методів «хрест-навхрест», найбільших множників та найменших загальних кратних.
За визначенням маємо:
Розмноження дробів з цілою частиною та негативних дробів
Якщо в дробах є ціла частина, їх треба перевести в неправильні - і тільки потім множити за схемами, викладеними вище.
Якщо в чисельнику дробу, у знаменнику або перед ним стоїть мінус, його можна винести за межі множення або взагалі прибрати за такими правилами:
- Плюс мінус дає мінус;
- Мінус на мінус дає плюс.
Досі ці правила зустрічалися тільки при складанні та відніманні негативних дробів, коли потрібно позбутися цілої частини. Для твору їх можна узагальнити, щоб спалювати відразу кілька мінусів:
- Викреслюємо мінуси парами доти, доки вони повністю не зникнуть. В крайньому випадку, один мінус може вижити – той, якому не знайшлося пари;
- Якщо мінусів не залишилося, операція виконана – можна приступати до множення. Якщо ж останній мінус не закреслено, оскільки йому не знайшлося пари, виносимо його за межі множення. Вийде негативний дріб.
Завдання. Знайдіть значення виразу:
Усі дроби переводимо у неправильні, а потім виносимо мінуси за межі множення. Те, що залишилося, множимо за звичайними правилами. Отримуємо:
Ще раз нагадаю, що мінус, який стоїть перед дробом із виділеною цілою частиною, відноситься саме до всього дробу, а не лише до його цілої частини (це стосується двох останніх прикладів).
Також зверніть увагу на негативні числа: при множенні вони полягають у дужках Це зроблено для того, щоб відокремити мінуси від знаків множення і зробити весь запис акуратнішим.
Скорочення дробів «на льоту»
Множення – дуже трудомістка операція. Числа тут виходять досить великі, і щоб спростити завдання, можна спробувати скоротити ще до множення. Адже по суті, чисельники та знаменники дробів – це звичайні множники, і, отже, їх можна скорочувати, використовуючи основну властивість дробу. Погляньте на приклади:
Завдання. Знайдіть значення виразу:
За визначенням маємо:
У всіх прикладах червоним кольором відзначені числа, які зазнали скорочення, і те, що від них залишилося.
Зверніть увагу: у першому випадку множники скоротилися повністю. На їхньому місці залишилися одиниці, які взагалі кажучи, можна не писати. У другому прикладі повного скорочення досягти не вдалося, але сумарний обсяг обчислень все одно зменшився.
Однак у жодному разі не використовуйте цей прийом при складанні та відніманні дробів! Так, іноді там трапляються схожі числа, які так і хочеться скоротити. Ось, подивіться:
Так робити не можна!
Помилка виникає через те, що при додаванні в чисельник дробу з'являється сума, а не добуток чисел. Отже, застосовувати основну властивість дробу не можна, оскільки в цій властивості йдеться саме про множення чисел.
Інших підстав для скорочення дробів просто не існує, тому правильне рішенняпопереднього завдання виглядає так:
Правильне рішення:
Як бачите, правильна відповідь виявилася не такою гарною. Загалом будьте уважні.
Примноження цілого числа на дріб – нескладне завдання. Але є тонкощі, в яких ви, напевно, зналися на школі, але з того часу забули.
Як помножити ціле число на дріб – трохи термінів
Якщо ви пам'ятаєте, що таке чисельник, знаменник і чим відрізняється правильний дріб від неправильного – пропустіть цей абзац. Він тим, хто зовсім забув теорію.
Чисельник – це верхня частинадробу - те, що ділимо. Знаменник – нижня. Це те, на що ділимо.
Правильний дріб, у якого чисельник менший за знаменник. Неправильним називається дріб, у якого чисельник більший або дорівнює знаменнику.
Як помножити ціле число на дріб
Правило множення цілого числа на дріб дуже просте – множимо чисельник на ціле, а знаменник не чіпаємо. Наприклад: два помножити на одну п'яту – отримуємо дві п'яті. Чотири помножити на три шістнадцяті – вийде дванадцять шістнадцятих.
Скорочення
У другому прикладі отриманий дріб можна скоротити.
Що це означає? Зверніть увагу – і чисельник, і знаменник цього дробу поділяються на чотири. Розділити обидва числа на спільний дільникі називається – скоротити дріб. Отримаємо три четверті.
Неправильні дроби
Але, припустимо, ми помножили чотири на дві п'яті. Вийшло вісім п'ятих. Це неправильний дріб.
Її обов'язково потрібно призвести до правильному вигляду. Для цього необхідно виділити з неї цілу частину.
Тут потрібно використовувати поділ із залишком. Отримуємо одиницю та три у залишку.
Один цілий і три п'ятих і є наш правильний дріб.
Найближче до тридцяти семи число, яке ділиться на вісім – це тридцять два. При розподілі отримаємо чотири. Віднімемо від тридцяти п'яти тридцять два – отримаємо три. Підсумок: чотири цілих та три восьми.
Рівність чисельника та знаменника. А тут все дуже просто та красиво. При рівності чисельника та знаменника виходить просто одиниця.
Прості дробові числа вперше зустрічають школярів у 5 класі і супроводжують їх протягом усього життя, тому що в побуті часто потрібно розглядати або використовувати якийсь об'єкт не повністю, а окремими шматками. Початок вивчення цієї теми – частки. Частки - це рівні частини, куди розділений той чи інший предмет. Адже не завжди виходить висловити, припустимо, довжину чи ціну товару цілим числом, слід прийняти до уваги частини чи частки будь-якої міри. Утворене від дієслова «дробити» - розділяти на частини, і маючи арабське коріння, у VIII столітті виникло саме слово «дроб» у російській мові.
Дробові висловлювання тривалий час вважали найскладнішим розділом математики. У XVII столітті, з появою першопідручників з математики, їх називали «ламані числа», що дуже складно відображалося у розумінні людей.
Сучасному виглядуНайпростіших дробових залишків, частини яких розділені саме горизонтальною межею, вперше посприяв Фібоначчі - Леонардо Пізанський. Його праці датовані 1202 року. Але ціль цієї статті - просто і зрозуміло пояснити читачеві, як відбувається множення змішаних дробів з різними знаменниками.
Розмноження дробів з різними знаменниками
Спочатку варто визначити різновиди дробів:
- правильні;
- неправильні;
- змішані.
Далі слід згадати, як відбувається множення дробових чисел із однаковими знаменниками. Саме правило цього процесу нескладно сформулювати самостійно: результатом множення простих дробів з однаковими знаменниками є дробовий вираз, чисельник якого є добуток чисельників, а знаменник - добуток знаменників даних дробів. Тобто, по суті, новий знаменник є квадратом одного з існуючих спочатку.
При множенні простих дробів із різними знаменникамидля двох і більше множників правило не змінюється:
a/b * c/d = a*c / b*d.
Єдина відмінність у тому, що освічене число під дробовою рисою буде твором різних чисел і, звичайно, квадратом одного числового виразуйого назвати неможливо.
Варто розглянути множення дробів із різними знаменниками на прикладах:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
У прикладах застосовуються способи скорочення дробових виразів. Можна скорочувати лише числа чисельника з числами знаменника, множники, що стоять поруч над дробовою рисою або під нею скорочувати не можна.
Поряд із простими дробовими числами, існує поняття змішаних дробів. Змішане число складається з цілого числа та дробової частини, тобто є сумою цих чисел:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Як відбувається перемноження
Пропонується кілька прикладів для розгляду.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
У прикладі використовується множення числа на звичайну дробову частину, Записати правило для цієї дії можна формулою:
a * b/c = a*b /с.
По суті, такий твір є сумою однакових дробових залишків, а кількість доданків вказує на це натуральне число. Окремий випадок:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Існує ще один варіант вирішення множення числа на дрібний залишок. Варто просто розділити знаменник на це число:
d * e/f = e/f: d.
Цим прийомом корисно користуватися, коли знаменник ділиться на натуральне число без залишку або, як кажуть, націло.
Перевести змішані числа в неправильні дроби та отримати добуток раніше описаним способом:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
У цьому прикладі бере участь спосіб представлення змішаного дробу в неправильний, його також можна у вигляді загальної формули:
a bc = a * b + c/c, де знаменник нового дробу утворюється при множенні цілої частини зі знаменником і при складанні його з чисельником вихідного дробового залишку, а знаменник залишається тим самим.
Цей процес працює і у зворотний бік. Для виділення цілої частини та дробового залишку потрібно поділити чисельник неправильного дробу на його знаменник «куточком».
Розмноження неправильних дробіввиробляють загальноприйнятим способом. Коли запис йде під єдиною дробовою рисою, при необхідності потрібно зробити скорочення дробів, щоб зменшити таким методом числа і простіше порахувати результат.
В інтернеті існує безліч помічників, щоб вирішувати навіть складні математичні завдання. різних варіаціяхпрограм. Достатня кількість таких сервісів пропонують свою допомогу за рахунок множення дробів з різними числамиу знаменниках - звані онлайн-калькулятори до розрахунку дробів. Вони здатні не тільки помножити, але й зробити всі інші найпростіші арифметичні операції з звичайними дробамита змішаними числами. Працювати з ним нескладно, на сторінці сайту заповнюються відповідні поля, вибирається знак математичної дії та натискається "обчислити". Програма рахує автоматично.
Тема арифметичних процесів з дробовими числами актуальна протягом навчання школярів середньої та старшої ланки. У старших класах розглядають не прості види, а цілі дробові вирази, але знання правил щодо перетворення та розрахунків, отримані раніше, застосовуються у первозданному вигляді. Добре засвоєні базові знання дають повну впевненість у вдалому рішеннінайбільш складних завдань.
На закінчення має сенс навести слова Льва Миколайовича Толстого, який писав: «Людина є дріб. Збільшити свого чисельника - свої переваги - не у владі людини, але кожен може зменшити свого знаменника - свою думку про себе, і цим зменшенням наблизитися до своєї досконалості».
Завантаження...