Числові та алгебраїчні вирази. Перетворення виразів.

Що таке вираз у математиці? Навіщо потрібні перетворення виразів?

Питання, як кажуть, цікаве... Справа в тому, що ці поняття – основа всієї математики. Вся математика складається з виразів та його перетворень. Не дуже зрозуміло? Поясню.

Допустимо, перед вами злий приклад. Дуже великий та дуже складний. Допустимо, ви сильні в математиці і нічого не боїтеся! Чи зможете відразу дати відповідь?

Вам доведеться вирішуватицей приклад. Послідовно, крок за кроком, цей приклад спрощувати. за певним правилам, Звісно. Тобто. робити перетворення виразів. Наскільки успішно ви проведете ці перетворення, настільки ви сильні в математиці. Якщо ви не вмієте робити правильні перетворення, у математиці ви не зможете зробити нічого...

Щоб уникнути такого незатишного майбутнього (або сьогодення...), не заважає розібратися в цій темі.

Для початку з'ясуємо, що таке вираз у математиці. Що таке числовий виразі що таке алгебраїчний вираз.

Що таке вираз у математиці?

Вираз у математиці– це дуже широке поняття. Майже все те, з чим ми маємо справу в математиці - це набір математичних виразів. Будь-які приклади, формули, дроби, рівняння тощо - це все складається з математичних виразів.

3+2 – це математичний вираз. з 2 - d 2- Це теж математичний вираз. І здоровий дріб, і навіть одне число - це все математичні висловлювання. Рівняння, наприклад, ось таке:

5х + 2 = 12

складається з двох математичних виразів, поєднаних знаком рівності. Один вираз – ліворуч, другий – праворуч.

В загальному виглядітермін " математичний виразЗастосовуються, найчастіше, щоб не мукати. Запитають вас, що таке звичайний дріб, наприклад? І як відповісти?!

Перший варіант відповіді: "Це... м-м-м-м... така штука... у якій... А можна я краще напишу дріб? Вам яку?

Другий варіант відповіді: " Звичайний дріб- це (бадьоро і радісно!) математичний вираз , Що складається з чисельника та знаменника!"

Другий варіант якось солідніше буде, правда?)

Ось у цих цілях фраза " математичний вираз дуже хороша. І правильно, і солідно. Але для практичного застосування треба добре розбиратися в конкретних видах виразів у математиці .

Конкретний вид-це інша справа. Це зовсім інша справа!У кожного виду математичних виразів є свійнабір правил та прийомів, який необхідно використовувати під час вирішення. Для роботи з дробами – один набір. Для роботи з тригонометричними виразами – другий. Для роботи з логарифмами – третій. І так далі. Десь ці правила збігаються, десь різко відрізняються. Але не лякайтеся цих страшних слів. Логарифми, тригонометрію та інші загадкові речі ми освоюватимемо у відповідних розділах.

Тут ми освоїмо (або - повторимо, кому як...) два основні види математичних виразів. Числові вирази та алгебраїчні вирази.

Числові висловлювання.

Що таке числовий вираз? Це дуже звичайне поняття. Сама назва натякає, що це вираз із числами. Та так воно і є. Математичний вираз, складений із чисел, дужок та знаків арифметичних дій називається числовим виразом.

7-3 - числове вираження.

(8 +3,2) · 5,4 - теж числове вираження.

І ось цей монстр:

теж числове вираження, так...

Звичайне число, Дріб, будь-який приклад на обчислення без іксів та інших літер - все це числові вирази.

Головна ознака числовоговисловлювання - у ньому немає букв. Жодних. Тільки числа та математичні значки (якщо треба). Все просто, правда?

І що можна робити з числовими виразами? Числові висловлювання, зазвичай, вважатимуться. І тому доводиться, буває, розкривати дужки, міняти знаки, скорочувати, міняти місцями доданки - тобто. робити перетворення виразів. Але про це трохи нижче.

Тут же ми розберемося з таким кумедним випадком, коли з числовим виразом нічого робити не треба.Ну ось зовсім нічого! Ця приємна операція - нічого не робити)- виконується, коли вираз не має сенсу.

Коли числове вираження немає сенсу?

Зрозуміло, якщо ми бачимо перед собою якусь абракадабру, типу

щось робити нічого і не будемо. Бо незрозуміло, що із цим робити. Безглуздя якесь. Хіба що, порахувати кількість плюсиків.

Але бувають зовні цілком пристойні висловлювання. Наприклад таке:

(2+3) : (16 - 2·8)

Однак, цей вираз теж не має сенсу! З тієї простої причини, що у других дужках - якщо порахувати - виходить нуль. А на нуль ділити не можна! Це заборонена операція з математики. Отже, із цим висловом теж нічого робити не треба. За будь-якого завдання з таким виразом, відповідь буде завжди одна: "Вираз не має сенсу!"

Щоб дати таку відповідь, довелося, звичайно, порахувати, що у дужках буде. А іноді в скобочках такого наворочено... Ну, тут уже нічого не поробиш.

Заборонених операцій у математиці не так уже й багато. У цій темі – лише одна. Ділення на нуль. Додаткові заборони, що виникають у коренях та логарифмах, обговорюються у відповідних темах.

Отже, уявлення про те, що таке числовий вираз– отримали. Концепція числове вираження немає сенсу- усвідомили. Їдемо далі.

Алгебраїчні вирази.

Якщо у числовому вираженні з'являються літери - це вираз стає... Вираз стає... Так! Воно стає алгебраїчним виразом. Наприклад:

5а 2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 м/н; x 2+4x-4; (а+b) 2; ...

Ще такі вирази називають літерними виразами.Або виразами із змінними.Це, практично, одне й те саме. Вираз 5а +с, Наприклад - і буквене, і алгебраїчне, і вираз зі змінними.

Концепція алгебраїчний вираз -ширше, ніж числове. Воно включає в себеі всі числові висловлювання. Тобто. числове вираз - це теж алгебраїчне вираз, лише без літер. Будь-яка оселедець - риба, але не всяка риба - оселедець...)

Чому буквене- Зрозуміло. Ну, якщо літери є... Фраза вираз зі зміннимитеж не сильно спантеличує. Якщо розуміти, що під буквами ховаються цифри. Будь-які числа можуть ховатися під буквами... І 5, і -18, і все, що завгодно. Тобто букву можна замінюватина різні числа. Тому літери і називаються змінними.

У виразі у+5, наприклад, у- Змінна величина. Або кажуть просто змінна", без слова "величина". На відміну від п'ятірки, яка – величина постійна. Або просто - постійна.

Термін алгебраїчний виразозначає, що для роботи з цим виразом необхідно використовувати закони та правила алгебри. Якщо арифметикапрацює з конкретними числами, то алгебра- З усіма числами разом. Простий приклад пояснення.

В арифметиці можна записати, що

А ось якщо ми таку рівність запишемо через алгебраїчні вирази:

а + b = b + a

ми відразу вирішимо Усепитання. Для всіх чиселмахом. Для всієї нескінченної кількості. Тому що під літерами аі bмаються на увазі Усечисла. І не тільки числа, а й інші математичні висловлювання. Ось так працює алгебра.

Коли вираз алгебри не має сенсу?

Про числове вираз все відомо. Там на нуль ділити не можна. А з літерами, хіба можна дізнатися, на що ділимо?

Візьмемо для прикладу такий вираз зі змінними:

2: (а - 5)

Чи має воно сенс? Та хто ж його знає? а- будь-яке число...

Будь-яке будь-яке... Але є одне значення а, при якому цей вираз точноне має сенсу! І що за число? Так! Це 5! Якщо змінну азамінити (говорять - "підставити") на число 5, у дужках нуль вийде. На яку ділити не можна. Ось і виходить, що наш вираз не має сенсу, якщо а = 5. Але при інших значеннях асенс є? Інші числа підставити можна?

Звичайно. Просто у таких випадках кажуть, що вираз

2: (а - 5)

має сенс для будь-яких значень а, крім а = 5 .

Весь набір чисел, які можна, можливопідставляти в заданий вираз, називається областю допустимих значеньцього виразу.

Як бачите, нічого хитрого нема. Дивимося на вираз зі змінними, та розуміємо: за якого значення змінної виходить заборонена операція (розподіл на нуль)?

А потім обов'язково дивимось на запитання завдання. Чого питають?

не має сенсу, наше заборонене значення буде відповіддю.

Якщо запитують, за якого значення змінної вираз має сенс(відчуйте різницю!), відповіддю будуть всі інші числакрім забороненого.

Навіщо нам сенс висловлювання? Є він, немає його... Яка різниця? Справа в тому, що це поняття стає дуже важливим у старших класах. Вкрай важливим! Це основа таких солідних понять, як область допустимих значень чи область визначення функції. Без цього ви взагалі зможете вирішувати серйозні рівняння чи нерівності. Ось так.

Перетворення виразів. Тотожні перетворення.

Ми познайомилися з числовими та алгебраїчними виразами. Зрозуміли, що означає фраза "вираз немає сенсу". Тепер треба розібратися, що таке перетворення виразів.Відповідь проста, до неподобства.) Це будь-яка дія з виразом. І все. Ви ці перетворення робили із першого класу.

Візьмемо крутий числовий вираз 3+5. Як його можна перетворити? Так, дуже просто! Порахувати:

Ось цей розрахунок і буде перетворення виразу. Можна записати те саме вираз по-іншому:

Тут ми взагалі нічого не рахували. Просто записали вираз у іншому вигляді.Це також буде перетворенням висловлювання. Можна записати ось так:

І це теж – перетворення вираження. Таких перетворень можна зробити скільки хочеш.

Будь-якедія над виразом, будь-яказапис його в іншому вигляді називається перетворенням виразу. І всі справи. Все дуже просто. Але є тут одне дуже важливе правило.Таке важливе, що його сміливо можна назвати головним правиломвсієї математики. Порушення цього правила неминучепризводить до помилок. Вникаємо?)

Припустимо, ми перетворили наш вираз абияк, ось так:

Перетворення? Звичайно. Ми ж записали вираз у іншому вигляді, що тут не так?

Все не так.) Справа в тому, що перетворення "абияк"математику не цікавлять взагалі.) Вся математика побудована на перетвореннях, у яких змінюється зовнішній вигляд, але суть висловлювання не змінюється.Три плюс п'ять можна записати в будь-якому вигляді, але це має бути вісім.

Перетворення, не міняючі суті вираженняназиваються тотожними.

Саме тотожні перетворення і дозволяють нам, крок за кроком, перетворювати складний прикладу простий вираз, зберігаючи суть прикладу.Якщо в ланцюжку перетворень ми помилимося, зробимо не тотожне перетворення, далі ми вирішуватимемо вже іншийприклад. З іншими відповідями, які не мають відношення до правильних.)

Ось і головне правило вирішення будь-яких завдань: дотримання тотожності перетворень.

Приклад із числовими виразами 3+5 я навів для наочності. У алгебраїчних висловлюваннях тотожні перетворення даються формулами та правилами. Скажімо, в алгебрі є формула:

a(b+c) = ab + ac

Отже, ми у будь-якому прикладі можемо замість висловлювання a(b+c)сміливо написати вираз ab + ac. І навпаки. Це тотожне перетворення.Математика надає нам вибір із цих двох виразів. А вже яке з них писати - від конкретного прикладузалежить.

Ще приклад. Одне з найголовніших і потрібних перетворень- це основна властивість дробу. Докладніше можна за посиланням подивитися, а тут просто нагадаю правило: якщо чисельник і знаменник дробу помножити (розділити) на те саме число, або нерівне нулю вираз, дріб не зміниться.Ось вам приклад тотожних перетворень за цією властивістю:

Як ви, напевно, здогадалися, цей ланцюжок можна продовжувати до нескінченності...) важлива властивість. Саме воно дозволяє перетворювати всякі монстри-приклади на білі та пухнасті.)

Формул, що задають тотожні перетворення - багато. Але найголовніших – цілком розумна кількість. Одне з базових перетворень – розкладання на множники. Воно використовується у всій математиці – від елементарної до вищої. З нього і почнемо. У наступному уроці.)

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Вираз - це найширший математичний термін. Фактично, у цій науці їх складається все, і всі операції проводяться також з них. Інше питання, що в залежності від конкретного виду застосовуються абсолютно різноманітні методи та прийоми. Так, робота з тригонометрією, дробами чи логарифмами – це три різних дії. Вираз, що не має сенсу, може відноситься до одного з двох видів: числового або алгебраїчного. А ось що означає це поняття, як виглядає його приклад та інші моменти будуть розглянуті далі.

Числові вирази

Якщо вираз складається з чисел, дужок, плюсів-мінусів та інших символів арифметичних процесів, його можна назвати числовим. Що досить логічно: варто лише раз поглянути на перший названий його компонент.

Числовим виразом може бути будь-що: головне, щоб у ньому не було букв. А під "чим завгодно" в даному випадкурозуміється все: від простої, що стоїть самотньо, самої по собі, цифри, до величезного їх переліку та знаків арифметичних дій, що вимагають подальшого обчислення кінцевого результату. Дроб - це теж числове вираз, якщо в ній немає всяких a, b, c, d і т.д., адже тоді це зовсім інший вид, про який буде розказано трохи пізніше.

Умови для вираження, яке не має сенсу

Коли завдання починається зі слова "обчислити", можна говорити про перетворення. Штука в тому, що ця дія не завжди доцільна: в ньому не те щоб сильно потребують, якщо на передній план виходить вираз, що не має сенсу. Приклади нескінченно дивовижні: іноді, щоб зрозуміти, що воно нас і наздогнало, доводиться довго і нудно розкривати дужки і рахувати-рахувати-рахувати...

Головне, що треба запам'ятати: не має сенсу висловлювання, чий кінцевий результат зводиться до забороненої в математиці дії. Якщо вже зовсім по-чесному, тоді безглуздим стає саме перетворення, але для того, щоб це з'ясувати, доводиться його для початку виконати. Такий парадокс!

Найзнаменитіша, але від того не менш важлива заборонена математична дія - це поділ на нуль.

Тому ось, наприклад, вираз, що не має сенсу:

(17+11):(5+4-10+1).

Якщо за допомогою нехитрих обчислень звести другу дужку до однієї цифри, то вона буде нулем.

За таким же принципом почесне званнядається і цьому виразу:

(5-18):(19-4-20+5).

Алгебраїчні вирази

Це те саме числове вираз, якщо до нього додати заборонені літери. Тоді воно і стає повноцінним алгебраїчним. Воно також може бути всіх розмірів та форм. Алгебраїчне вираз - поняття ширше, що включає попереднє. Але був сенс починати розмову не з неї, а з числової, щоб було зрозуміліше і розібратися було легше. Адже чи має сенс алгебраїчне вираз - питання не те щоб дуже складне, але має більше уточнень.

Чому так?

Літерний вираз, або вираз зі змінними – це синоніми. Перший термін пояснити просто: адже воно містить літери! Другий теж не загадка століття: замість букв можна підставляти різні числа, внаслідок чого значення виразу змінюватиметься. Неважко здогадатися, що літери в цьому випадку і є змінними. За аналогією, числа – це постійні.

І тут ми повертаємося до основної тематики: що таке вираз, що не має сенсу?

Приклади алгебраїчних виразів, які не мають сенсу

Умова для безглуздості алгебраїчного висловлювання - аналогічна, як і для числового, з одним лише винятком, а якщо бути точніше, доповненням. При перетворенні та обчисленні кінцевого результату доводиться враховувати змінні, тому питання ставиться не як "який вираз не має сенсу?", а "при якому значенні змінної цей вираз не матиме сенсу?" і "чи таке значення змінної, у якому вираз втратить сенс?"

Наприклад, (18-3): (a+11-9).

Наведене вище вираз не має сенсу при a рівному -2.

А ось щодо (a+3):(12-4-8) можна сміливо сказати, що це вираз, що не має сенсу за будь-яких a.

Так само, яке b не підставиш у вираз (b - 11):(12+1), воно, як і раніше, матиме сенс.

Типові завдання на тему "Вираз, що не має сенсу"

7 клас вивчає цю тему з математики серед інших, і завдання по ній зустрічаються нерідко як безпосередньо після відповідного заняття, так і як питання "з підступом" на модулях та іспитах.

Ось чому варто розглянути типові завдання та методи їх вирішення.

приклад 1.

Чи має сенс вираз:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Необхідно зробити все обчислення в дужках і привести до вигляду:

Кінцевий результат містить розподіл на нуль, отже, вираз немає сенсу.

приклад 2.

Які висловлювання немає сенсу?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Слід обчислити кінцеве значення кожного з висловів.

Відповідь: 1; 2.

Приклад 3.

Знайти область допустимих значень для наступних виразів:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/(14-b+11).

Область допустимих значень (ОДЗ) - це ті числа, під час підстави яких замість змінних вираз матиме сенс.

Тобто завдання звучить як: знайти значення, у яких нічого очікувати поділу на нуль.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), або b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), або b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Приклад 4.

При яких значеннях наведений нижче вираз не матиме сенсу?

Друга дужка дорівнює нулю при рівному гріку -3.

Відповідь: y=-3

Приклад 4.

Які з виразів не мають сенсу лише за x = -14?

1) 14: (х - 14);

2) (3+8х): (14+х);

3) (х/(14+х)):(7/8)).

2 і 3, так як у першому випадку, якщо підставити замість х = -14, то друга дужка прирівняється -28, а не нулю, як звучить у визначенні не має сенсу виразу.

Приклад 5.

Придумайте і запишіть вираз, що не має сенсу.

18/(2-46+17-33+45+15).

Алгебраїчні вирази із двома змінними

Незважаючи на те, що у всіх виразів, які не мають сенсу, одна суть, існують різні рівні їх складності. Так, можна сказати, що числові – це приклади прості, адже вони легші, ніж алгебраїчні. Проблеми на вирішення додає і кількість змінних в останніх. Але і вони не повинні спантеличувати своїм виглядом: головне - пам'ятати загальний принцип рішення і застосовувати його незалежно від того, чи схожий приклад на типове завдання або має якісь невідомі доповнення.

Наприклад, може виникнути питання, як вирішити таке завдання.

Знайти та записати пару чисел, які є неприпустимими для виразу:

(x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y) / (12x 2 - y).

Варіанти відповідей:

Але насправді воно тільки виглядає страшним і громіздким, тому що насправді містить у собі те, що вже давно відомо: зведення чисел у квадрат і куб, деякі арифметичні дії, такі як поділ, множення, віднімання та додавання. Для зручності, між іншим, можна привести завдання до дрібного вигляду.

Чисельник у дробі, що вийшов, не радує: (x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y). Це факт. Зате є інший привід для щастя: його для вирішення завдання чіпати навіть не знадобиться! Згідно з визначенням, розглянутим раніше, ділити не можна на нуль, а що саме на нього ділитиметься, зовсім неважливо. Тому залишаємо цей вислів у постійному вигляді і підставляємо пари чисел з цих варіантів у знаменник. Вже третій пункт ідеально вписується, перетворюючи невелику дужку на нуль. Але зупинятись на цьому – погана рекомендація, адже підійти може ще щось. І справді: п'ятий пункт теж непогано вписується та підходить умові.

Записуємо відповідь: 3 та 5.

На закінчення

Як видно, ця тема дуже цікава і не дуже складна. Розібратися в ній не важко. Але все-таки відпрацювати кілька прикладів ніколи не завадить!

При вивченні теми числові, літерні вирази та вирази зі змінними необхідно приділити увагу поняття значення виразу. У цій статті ми відповімо на питання, що таке значення числового виразу, і що називають значенням літерного виразу та виразу зі змінними при вибраних значеннях змінних. Для роз'яснення цих термінів наведемо приклади.

Навігація на сторінці.

Що називають значенням числового виразу?

Знайомство з числовими висловлюваннями починається майже з перших уроків математики у шкільництві. Майже одночасно вводиться і поняття «значення числового висловлювання». Його відносять до виразів, складених із чисел, з'єднаних знаками арифметичних процесів (+, −, ·, :). Дамо відповідне визначення.

Визначення.

Значення числового виразу- Це число, яке виходить після виконання всіх дій у вихідному числовому вираженні.

Наприклад розглянемо числове вираз 1+2. Виконавши , отримуємо число 3 , воно є значенням числового виразу 1 +2 .

Часто у словосполученні «значення числового виразу» слово «числового» опускають, і кажуть просто «значення виразу», тому що все одно зрозуміло, про значення якого виразу йдеться.

Дане вище визначення значення висловлювання поширюється і числові вирази складнішого виду, які вивчаються у старших класах. Тут слід зазначити, що можна зіткнутися з числовими висловлюваннями, вказати значення яких немає можливості. Це з тим, що у деяких висловлюваннях неможливо виконати записані дії. Наприклад, тому ми можемо вказати значення висловлювання 3:(2−2) . Подібні числові вирази називають висловлюваннями, які не мають сенсу.

Часто практично інтерес представляє стільки числове вираз, як його значення. Тобто постає завдання, що полягає у визначенні значення даного виразу. При цьому зазвичай кажуть, що потрібно знайти значення виразу. У зазначеній статті докладно розібрано процес знаходження значення числових виразів різного виду, та розглянуто масу прикладів з детальними описами рішень.

Значення літерного виразу та виразу зі змінними

Крім числових виразів вивчають літерні вирази, тобто вирази, у яких яких разом із числами присутні одна чи кілька букв. Літери в буквеному вираженні можуть позначати різні числа, і якщо букви замінити цими числами, то буквене вираз стане числовим.

Визначення.

Числа, якими замінюють літери у буквеному вираженні, називають значеннями цих букв, а значення отриманого при цьому числового виразу називають значенням буквеного виразу при даних значеннях букв.

Отже, для літерних виразів говорять не просто про значення літерного виразу, а про значення літерного виразу при даних (заданих, зазначених і т.п.) значення літер.

Наведемо приклад. Візьмемо буквене вираз 2·a+b. Нехай задані значення літер a і b, наприклад, a=1 і b=6. Замінивши літери у вихідному вираженні їх значеннями, отримаємо числове вираз виду 2 · 1 +6 його значення дорівнює 8 . Таким чином, число 8 є значенням літерного виразу 2·a+b при заданих значеннях букв a=1 і b=6 . Якби були дані інші значення букв, ми отримали значення буквенного висловлювання цих значень букв. Наприклад, при a=5 і b=1 має значення 2·5+1=11 .

У старших класах щодо алгебри літерам у літерних висловлюваннях дозволяють набувати різні значення, такі літери називають змінними, а літерні висловлювання – висловлюваннями зі змінними. Для цих виразів вводиться поняття значення виразу із змінними при вибраних значеннях змінних. Розберемося, що таке.

Визначення.

Значенням виразу зі змінними при вибраних значеннях зміннихназивається значення числового виразу, яке виходить після підстановки обраних значень змінних у вихідний вираз.

Пояснимо озвучене визначення з прикладу. Розглянемо вираз із змінними x та y виду 3·x·y+y . Візьмемо x = 2 і y = 4, підставимо ці значення змінних у вихідний вираз, отримуємо числове вираз 3 · 2 · 4 +4. Обчислимо значення цього виразу: 3·2·4+4=24+4=28 . Знайдене значення 28 є значенням вихідного виразу зі змінними 3·x·y+y при вибраних значеннях змінних x=2 та y=4 .

Якщо вибрати інші значення змінних, наприклад, x=5 і y=0, то цим вибраним значенням змінних буде відповідати значення виразу зі змінними, що дорівнює 3·5·0+0=0 .

Можна відзначити, що іноді для різних вибраних значень змінних можуть бути рівні значення виразу. Наприклад, для x=9 і y=1 значення виразу 3·x·y+y дорівнює 28 (оскільки 3·9·1+1=27+1=28 ), а вище ми показали, що таке значення це вираз зі змінними має при x=2 та y=4 .

Значення змінних можна вибирати з відповідних їм областей допустимих значень. В іншому випадку при підстановці у вихідний вираз значень цих змінних вийде числове вираження, що не має сенсу. Наприклад, якщо вибрати x=0 , і підставити це значення вираз 1/x , то вийде числове вираз 1/0 , яке немає сенсу, оскільки розподіл на нуль не визначено.

Залишається лише додати, що є висловлювання зі змінними, значення яких залежить від значень які у них змінних. Наприклад, значення виразу зі змінною x виду 2+x−x не залежить від значення цієї змінної, воно дорівнює 2 за будь-якого обраного значення змінної x з області її допустимих значень, яка в даному випадку є безліччю всіх дійсних чисел.

Список літератури.

Математика: навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-те вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2007. – 280 с.: іл. ISBN 5-346-00699-0.
Алгебра:навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. - М.: Просвітництво, 2008. - 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Вираз - це найширший математичний термін. Фактично, у цій науці їх складається все, і всі операції проводяться також з них. Інше питання, що в залежності від конкретного виду застосовуються абсолютно різноманітні методи та прийоми. Так, робота з тригонометрією, дробами чи логарифмами – це три різні дії. Вираз, що не має сенсу, може відноситься до одного з двох видів: числового або алгебраїчного. А ось що означає це поняття, як виглядає його приклад та інші моменти будуть розглянуті далі.

Числові вирази

Числовим виразом може бути будь-що: головне, щоб у ньому не було букв. А під "чим завгодно" в даному випадку розуміється все: від простої, що стоїть самотньо, самої по собі, цифри, до величезного їх переліку та знаків арифметичних дій, що вимагають подальшого обчислення кінцевого результату. Дроб - це теж числове вираз, якщо в ній немає всяких a, b, c, d і т.д., адже тоді це зовсім інший вид, про який буде розказано трохи пізніше.

Умови для вираження, яке не має сенсу

Найзнаменитіша, але від того не менш важлива заборонена математична дія - це поділ на нуль.

Тому ось, наприклад, вираз, що не має сенсу:

(17+11):(5+4-10+1).

Якщо за допомогою нехитрих обчислень звести другу дужку до однієї цифри, то вона буде нулем.

За таким же принципом "почесне звання" дається і до цього виразу:

(5-18):(19-4-20+5).

Алгебраїчні вирази

Чому так?

І тут ми повертаємося до основної тематики: що не має сенсу?

Приклади алгебраїчних виразів, які не мають сенсу

Наприклад, (18-3): (a+11-9).

Наведене вище вираз не має сенсу при a рівному -2.

А ось щодо (a+3):(12-4-8) можна сміливо сказати, що це вираз, що не має сенсу за будь-яких a.

Так само, яке b не підставиш у вираз (b - 11):(12+1), воно, як і раніше, матиме сенс.

Типові завдання на тему "Вираз, що не має сенсу"

Ось чому варто розглянути типові завдання та методи їх вирішення.

приклад 1.

Чи має сенс вираз:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Необхідно зробити все обчислення в дужках і привести до вигляду:

Кінцевий результат містить отже, вираз немає сенсу.

приклад 2.

Які висловлювання немає сенсу?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Слід обчислити кінцеве значення кожного з висловів.

Відповідь: 1; 2.

Приклад 3.

Знайти область допустимих значень для наступних виразів:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/(14-b+11).

Область допустимих значень (ОДЗ) - це ті числа, під час підстави яких замість змінних вираз матиме сенс.

Тобто завдання звучить як: знайти значення, у яких нічого очікувати поділу на нуль.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), або b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), або b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Приклад 4.

При яких значеннях наведений нижче вираз не матиме сенсу?

Друга дужка дорівнює нулю при рівному гріку -3.

Відповідь: y=-3

Приклад 4.

Які з виразів не мають сенсу лише за x = -14?

1) 14: (х - 14);

2) (3+8х): (14+х);

3) (х/(14+х)):(7/8)).

Приклад 5.

Придумайте і запишіть вираз, що не має сенсу.

18/(2-46+17-33+45+15).

Алгебраїчні вирази із двома змінними

Незважаючи на те, що у всіх виразів, які не мають сенсу, одна суть, існують різні рівні їх складності. Так, можна сказати, що числові – це приклади прості, адже вони легші, ніж алгебраїчні. Проблеми на вирішення додає і кількість змінних в останніх. Але й вони не повинні своїм виглядом: головне – пам'ятати загальний принцип рішення та застосовувати його незалежно від того, чи схожий приклад на типове завдання, чи має якісь невідомі доповнення.

Наприклад, може виникнути питання, як вирішити таке завдання.

Знайти та записати пару чисел, які є неприпустимими для виразу:

(x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y) / (12x 2 - y).

Варіанти відповідей:

Записуємо відповідь: 3 та 5.

На закінчення

Числовий вираз– це будь-який запис із чисел, знаків арифметичних дій та дужок. Числове вираз може складатися і з одного числа. Нагадаємо, що основними арифметичними діями є «складання», «віднімання», «множення» та «розподіл». Цим діям відповідають знаки "+", "-", "∙", ":".

Звичайно ж, щоб у нас вийшло числове вираження, запис із чисел та арифметичних знаків має бути осмисленим. Так, наприклад, такий запис 5: + ∙ не можна назвати числовим виразом, тому що це випадковий набір символів, що не має сенсу. Навпаки, 5 + 8 ∙ 9 - вже справжній числовий вираз.

Значення числового виразу.

Відразу скажемо, якщо ми виконаємо дії вказані у числовому вираженні, то результаті ми отримаємо число. Це число називається значенням числового виразу.

Спробуємо вирахувати, що в нас вийде в результаті виконання дій нашого прикладу. Відповідно до порядку виконання арифметичних дій, спочатку виконаємо операцію множення. Помножимо 8 на 9. Отримаємо 72. Тепер складемо 72 та 5. Отримаємо 77.
Отже, 77 – значеннячислового виразу 5 + 8 ∙ 9.

Числова рівність.

Можна це записати так: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Тут ми вперше використовували знак «=» («Рівне»). Такий запис, при якому два числові вирази розділені знаком «=», називається числовою рівністю. При цьому якщо значення лівої і правої частини рівності збігаються, то рівність називають вірним. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – правильна рівність.
Якщо ми напишемо 5 + 8 ∙ 9 = 100, це вже буде неправильна рівність, Оскільки значення лівої та правої частини даної рівності вже не збігаються.

Слід зазначити, що у числовому виразі ми можемо використовувати дужки. Дужки впливають на порядок виконання дій. Так, наприклад, видозмінимо наш приклад, додавши дужки: (5 + 8) ∙ 9. Тепер спочатку потрібно скласти 5 та 8. Отримаємо 13. А потім помножити 13 на 9. Отримаємо 117. Таким чином, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – значеннячислового виразу (5 + 8) ∙ 9.

Щоб правильно прочитати вираз, потрібно визначити, яка саме дія виконується останнім для обчислення значення даного числового виразу. Так, якщо остання дія віднімання, то вираз називають «різницею». Відповідно, якщо остання дія сума - "сумою", розподіл - "приватним", множення - "твором", зведення в ступінь - "ступенем".

Наприклад, числове вираз (1+5)(10-3) читається так: «добуток суми чисел 1 і 5 на різницю чисел 10 і 3».

Приклади числових виразів.

Наведемо приклад складнішого числового виразу:

\[\left(\frac(1)(4)+3,75 \right):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\]

У цьому числовому вираженні застосовуються найпростіші числа, прості і десяткові дроби. Також використовуються знаки складання, віднімання, множення та розподілу. Характеристика дробу також замінює знак розподілу. При складності, що здається, знайти значення даного числового виразу досить просто. Головне вміти виконувати операції з дробами, а також уважно та акуратно робити обчислення, дотримуючись порядку виконання дій.

У дужках ми вираз $\frac(1)(4)+3,75$ . Перетворимо десятковий дріб 3,75 у звичайний.

$3,75=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Отже, $\frac(1)(4)+3,75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Далі, у чисельнику дробу \[\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\]у нас вираз 1,25 +3,47 +4,75-1,47. Для спрощення цього вислову застосуємо переміщувальний закон складання, який свідчить: «Від зміни місць доданків сума не змінюється». Тобто 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

У знаменнику дробу вираз $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Отримуємо $\left(\frac(1)(4)+3,75 \right):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)=4: \frac(8)(2)=4:4=1$

Коли числові вирази немає сенсу?

Розглянемо ще один приклад. У знаменнику дробу $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$значенням виразу $3\centerdot 3-9$ є 0. А, як ми знаємо, розподіл на нуль неможливий. Отже, у дробу $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ немає значення. Про числові вислови, які не мають значення, кажуть, що вони «не мають сенсу».

Якщо ми в числовому виразі крім чисел використовуватимемо літери, то в нас вийде вже