Приведення дробів до спільного знаменника. Приведення дробів до найменшого спільного знаменника, як правило, приклади, рішення

Спочатку я хотів включити методи приведення до спільного знаменника до параграфу «Складання та віднімання дробів». Але інформації виявилося так багато, а важливість її така велика (адже спільні знаменники бувають не тільки у числових дробів), що краще вивчити це питання окремо.

Отже, нехай у нас є два дроби з різними знаменниками. А ми хочемо зробити так, щоби знаменники стали однаковими. На допомогу приходить основна властивість дробу, яке, нагадаю, звучить так:

Дроб не зміниться, якщо його чисельник і знаменник помножити на те саме число, відмінне від нуля.

Таким чином, якщо правильно підібрати множники, знаменники у дробів зрівняються – цей процес називається приведенням до спільного знаменника. А шукані числа, що вирівнюють знаменники, називаються додатковими множниками.

Навіщо взагалі треба приводити дроби до спільного знаменника? Ось лише кілька причин:

Складання та віднімання дробів з різними знаменниками. Інакше цю операцію не виконати;
Порівняння дробів. Іноді приведення до спільного знаменника значно спрощує це завдання;
Вирішення завдань на частки та відсотки. Відсоткові співвідношення є, власне, звичайними висловлюваннями, які містять дроби.

Існує багато способів знайти числа, при множенні на які знаменники дробів стануть рівними. Ми розглянемо лише три з них - у порядку зростання складності та, у певному сенсі, ефективності.

Множення «хрест-навхрест»

Найпростіший і надійний спосібщо гарантовано вирівнює знаменники. Діятимемо «напролом»: множимо перший дріб на знаменник другого дробу, а другий – на знаменник першого. В результаті знаменники обох дробів стануть рівними добутку вихідних знаменників. Погляньте:

Як додаткові множники розглянемо знаменники сусідніх дробів. Отримаємо:

Так, так все просто. Якщо ви тільки починаєте вивчати дроби, краще працюйте саме цим методом - так ви застрахуєте себе від багатьох помилок і гарантовано отримаєте результат.

Єдиний недолік даного методу- доводиться багато рахувати, адже знаменники множаться «напролом», і в результаті можуть вийти дуже великі числа. Такою є розплата за надійність.

Метод спільних дільників

Цей прийом допомагає набагато скоротити обчислення, але, на жаль, він застосовується досить рідко. Метод полягає в наступному:

Перш, ніж діяти "напролом" (тобто методом "хрест-навхрест"), погляньте на знаменники. Можливо, один із них (той, який більший), ділиться на інший.
Число, отримане в результаті такого поділу, буде додатковим множником для дробу з найменшим знаменником.
При цьому дріб із великим знаменником взагалі не треба ні на що множити – у цьому й полягає економія. Заодно різко знижується ймовірність помилки.

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Оскільки в обох випадках один знаменник ділиться без залишку на інший, застосовуємо метод спільних множників. Маємо:

Зауважимо, що другий дріб взагалі ніде ні на що не множився. Фактично, ми скоротили обсяг обчислень удвічі!

До речі, дроби у цьому прикладі я взяв невипадково. Якщо цікаво, спробуйте порахувати їх методом «хрест-навхрест». Після скорочення відповіді вийдуть такими самими, але роботи буде набагато більше.

У цьому полягає сила методу спільних дільників, Але, повторюся, застосовувати його можна лише в тому випадку, коли один із знаменників ділиться на інший без залишку. Що буває досить рідко.

Приведення дробів до найменшого спільного знаменника, як правило, приклади, рішення.

Матеріал цієї статті пояснює, як знайти найменший спільний знаменникі як привести дроби до спільного знаменника.

Спочатку дано визначення спільного знаменника дробів та найменшого спільного знаменника, а також показано, як знайти спільний знаменник дробів. Далі наведено правило приведення дробів до спільного знаменника та розглянуто приклади застосування цього правила. На закінчення розібрано приклади приведення трьох і більшої кількостідробів до спільного знаменника.

Що називають приведенням дробів до спільного знаменника?

Якщо звичайні дроби мають рівні знаменники, то ці дроби кажуть, що вони приведені до спільного знаменника.

Так дроби 45/76 та 143/76 приведені до спільного знаменника 76, а дроби 1/3, 3/3, 17/3 та 1000/3 приведені до спільного знаменника 3.

Якщо ж знаменники дробів не рівні, то такі дроби можна привести до спільного знаменника, помноживши їх чисельник і знаменник на певні додаткові множники.

Наприклад, звичайні дроби 2/5 і 7/4 за допомогою додаткових множників 4 і 5 відповідно наводяться до загального знаменника 20. Дійсно, помноживши чисельник і знаменник дробу 2/5 на 4, отримаємо дріб 8/20, а, помноживши чисельник дробу 7/4 на 5, прийдемо до дробу 35/20 (дивіться приведення дробів до нового знаменника).

Тепер можемо сказати, що таке приведення дробів до спільного знаменника. Приведення дробів до спільного знаменника– це множення чисельників і знаменників даних дробів такі додаткові множники, що у результаті виходять дроби з однаковими знаменниками.

На початок сторінки

Загальний знаменник, визначення, приклади

Тепер настав час дати визначення спільного знаменника дробів.

Іншими словами, спільним знаменником деякого набору звичайних дробівє будь-яке натуральне число, Що ділиться на всі знаменники цих дробів.

З озвученого визначення випливає, що даний набір дробів має безліч спільних знаменників, так як існує безліч спільних кратних всіх знаменників вихідного набору дробів.

Визначення загального знаменника дробів дозволяє знаходити спільні знаменники цих дробів. Нехай, наприклад, дані дроби 1/4 і 5/6, їх знаменники дорівнюють 4 і 6 відповідно.

Позитивними загальними кратними чисел 4 та 6 є числа 12, 24, 36, 48, … Будь-яке з цих чисел є спільним знаменником дробів 1/4 та 5/6.

Для закріплення матеріалу розглянемо рішення наступного прикладу.

Чи можна дроби 2/3, 23/6 та 7/12 привести до спільного знаменника 150?

Для відповіді на поставлене питання нам потрібно з'ясувати, чи є число 150 загальним кратним знаменників 3, 6 і 12. Для цього перевіримо, чи ділиться 150 націло на кожне з цих чисел (при необхідності дивіться правила та приклади розподілу натуральних чисел, а також правила і приклади розподілу натуральних чисел із залишком): 150:3=50, 150:6=25, 150:12=12 (зуп.

Отже, 150 не ділиться націло на 12, отже, 150 є загальним кратним чисел 3, 6 і 12. Отже, число 150 може бути загальним знаменником вихідних дробів.

На початок сторінки

Найменший спільний знаменник, як його знайти?

У багатьох чисел, що є загальними знаменниками даних дробів, існує найменше натуральне число, яке називають найменшим загальним знаменником.

Сформулюємо визначення найменшого загального знаменника цих дробів.

Залишилося розібратися із питанням, як знайти найменший спільний дільник.

Оскільки найменше загальне кратне є найменшим позитивним спільним дільником даного набору чисел, то НОК знаменників цих дробів є найменшим загальним знаменником даних дробів.

Таким чином, знаходження найменшого загального знаменника дробів зводиться до знаходження НОК знаменників цих дробів.

Розберемо рішення прикладу.

Знайдіть найменший загальний знаменник дробів 3/10 та 277/28.

Знаменники даних дробів рівні 10 і 28. Найменший загальний знаменник, що шукається, знаходиться як НОК чисел 10 і 28. У нашому випадку легко знайти НОК за допомогою розкладання чисел на прості множники: так як 10=2·5, а 28=2·2·7 , то НОК (15, 28) = 2 · 2 · 5 · 7 = 140.

На початок сторінки

Як привести дроби до спільного знаменника? Правило, приклади, рішення

Зазвичай прості дроби призводять до найменшого спільного знаменника.

Тепер ми запишемо правило, яке пояснює, як привести дроби до найменшого спільного знаменника.

Правило приведення дробів до найменшого спільного знаменникаскладається з трьох кроків:

По-перше, є найменший загальний знаменник дробів.
По-друге, кожному дробу обчислюється додатковий множник, навіщо найменший загальний знаменник ділиться на знаменник кожної дроби.
По-третє, чисельник та знаменник кожного дробу множиться на його додатковий множник.

Застосуємо озвучене правило для вирішення наступного прикладу.

Приведіть дроби 5/14 та 7/18 до найменшого спільного знаменника.

Виконаємо всі кроки алгоритму приведення дробів до найменшого спільного знаменника.

Спочатку знаходимо найменший загальний знаменник, який дорівнює найменшому загальному кратному чисел 14 і 18. Оскільки 14 = 2 · 7 і 18 = 2 · 3 · 3, то НОК (14, 18) = 2 · 3 · 3 · 7 = 126.

Тепер обчислюємо додаткові множники, за допомогою яких дроби 5/14 та 7/18 будуть приведені до знаменника 126. Для дробу 5/14 додатковий множник дорівнює 126:14=9, а для дробу 7/18 додатковий множник дорівнює 126:18=7 .

Залишилося помножити чисельники та знаменники дробів 5/14 та 7/18 на додаткові множники 9 та 7 відповідно.

Маємо і .

Отже, приведення дробів 5/14 та 7/18 до найменшого спільного знаменника завершено.

У результаті вийшли дроби 45/126 та 49/126.

На початок сторінки

Приведення до найменшого спільного знаменника трьох і більше дробів

Правило з попереднього пункту дозволяє призводити до найменшого спільного знаменника не тільки два дроби, а й три дроби, і більшу їх кількість.

Розглянемо рішення прикладу.

Приведіть чотири звичайні дроби 3/2, 5/6, 3/8 та 17/18 до найменшого спільного знаменника.

Найменший загальний знаменник даних дробів дорівнює найменшому загальному кратному чисел 2, 6, 8 та 18. Для знаходження НОК(2, 6, 8, 18) скористаємося інформацією з розділу знаходження НОК трьох та більшої кількості чисел.

Отримуємо НОК(2, 6)=6, НОК(6, 8)=24, нарешті, НОК(24, 18)=72, отже, НОК(2, 6, 8, 18)=72. Отже, найменший загальний знаменник дорівнює 72.

Тепер обчислюємо додаткові множники. Для дробу 3/2 додатковий множник дорівнює 72:2=36, для дробу 5/6 він дорівнює 72:6=12, для дробу 3/8 додатковий множник є 72:8=9, а для дробу 17/18 він дорівнює 72 :18=4.

Приведення дробів до спільного знаменника

Залишився останній крок у приведенні вихідних дробів до найменшого спільного знаменника: .

На початок сторінки

Спільний знаменник– це будь-яке позитивне загальне кратне всіх знаменників цих дробів.

Найменший спільний знаменник– це найменша кількістьз усіх спільних знаменників даних дробів.

Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. Математика: підручник для 5 кл. загальноосвітніх установ.
Віленкін Н.Я. та ін Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх закладів.

Загальний знаменник звичайних дробів

Якщо звичайні фракції мають однакові знаменники, то ці фракції мають спільний знаменник. Наприклад,

вони мають спільний знаменник.

Спільний знаменникЦе число є знаменником для двох або більше регулярних дробів.

Фракції із різними знаменниками можна звести до спільного знаменника.

Надання фракцій спільному знаменнику

Надання фракцій спільному знаменникуЧи заміна цих фракцій різними знаменниками тих же фракцій з тими ж знаменниками?

Фракції можна просто привести до спільного знаменника або найменшого спільного знаменника.

Найменший спільний знаменникЦе найменший загальний знаменник цих дробів.

Загальний знаменник фракцій в Інтернеті

Щоб дати фракції найменшому спільному знаменнику, вам потрібно:

Якщо можливо, виконайте скорочення фракції.
Знайдіть найменші загальні каталоги цих дробів. NOC стане їх найменшим спільним знаменником.
Розділіть LCM на знаменники цих дробів. Цей захід знаходить додатковий фактор для кожної з цих фракцій. Додатковий коефіцієнтЧи є число, для якого необхідно примножити члени фракції, щоб привести його до спільного знаменника?
Помножте чисельник та знаменник кожної фракції з додатковим фактором.

приклад.

1) Знайдіть імена NOC цих фракцій:

NOC (8, 12) = 24

2) Знайдено додаткові фактори:

24: 8 = 3 (для ) та 24: 12 = 2 (для )

3) Помножте члени кожної фракції з додатковим фактором:

Зменшення загального знаменника можна записати у більш короткій формі, вказуючи на додатковий коефіцієнт на додаток до лічильника кожної фракції (верхній правий або верхній лівий) та не записуючи проміжні обчислення:

Загальний знаменник можна зменшити легше, помноживши члени першої фракції з другою часткою іманентної і членами другої фракції знаменником першої.

приклад.Отримати спільний знаменник фракцій та:

Як спільний знаменник фракцій можна взяти твір їх знаменників.

Зменшення фракцій до загального знаменника використовується для додавання, віднімання та порівняння дробів з різними знаменниками.

Калькулятор зниження до спільного знаменника

Цей калькулятор допоможе вам довести звичайні фракції до найнижчого загального знаменника.

Просто введіть дві фракції та натисніть.

5.4.5. Приклади перетворення звичайних дробів у найменший загальний знаменник

Найменшим загальним знаменником безперервних дробів є найменший загальний знаменник цих дробів. (див. розділ «Пошук найменшого кратного»: 5.3.5. Знайдіть найменша кількістькратних (NOC) заданих номерів.

Щоб зменшити частку найменшому загальному знаменнику, необхідно: 1) знайти найменше загальне кратне знаменників цих дробів, і це буде найменший загальний знаменник.

2) знаходить додатковий коефіцієнт кожної з фракцій, котрим новий знаменник розподіляється з ім'ям кожної фракції. 3) помножити чисельник та знаменник кожної фракції з додатковим фактором.

приклади. Щоб зменшити наступні фракції до найнижчого загального знаменника.

Ми бачимо найменший загальний багатозначний знаменник: LCM (5; 4) = 20, оскільки 20 — найменше, розділене на 5 і 4.

Для першої частки знайдено додатковий коефіцієнт 4 (20 : 5 = 4). Для другої фракції є додатковий коефіцієнт 5 (20 : 4 = 5). Помножте число та знаменник першої фракції на 4, а лічильник та знаменник другої частини на 5.

20 ).

Найменшим загальним знаменником для цих дробів є число 8, оскільки воно поділяється на 4 і всередині.

Для першої частки немає додаткового фактора (або можна сказати, що він дорівнює одиниці), другий фактор є додатковим фактором 2 (8 : 4 = 2). Помножте чисельник та знаменник другої фракції на 2.

Онлайн калькулятор. Надання фракцій спільному знаменнику

Ми зменшили ці дроби до найменшого спільного знаменника ( 8-е місце).

Ці фракції не є нестерпними.

Перша фракція була зменшена на 4, а друга фракція була зменшена на 2. (Див. приклади для скорочення звичайних фракцій: Карта сайту → 5.4.2.

Приклади скорочення традиційних фракцій). Знахідки НОК (16 ; 20) = 24· 5 = 16· 5 = 80. Додатковим фактором для першої фракції є 5 (80 : 16 = 5). Додатковим фактором для другої фракції є 4 (80 : 20 = 4).

Ми множимо чисельник і знаменник першої фракції з 5, а лічильник і знаменник другої фракції 4. Дробна інформація була дана найменшому загальному знаменнику ( 80 ).

Знайдіть найменший спільний знаменник NOx (5 ; 6 та 15) = NOK (5 ; 6 та 15) = 30. Додатковим фактором для першої фракції є 6 (30 : 5 = 6) є додатковим фактором у другій частині 5 (30 : 6 = 5) є додатковим фактором для третьої фракції 2 (30 : 15 = 2).

Число і знаменник першої фракції множаться на 6, лічильник і знаменник другої фракції з 5, лічильник і знаменник третьої фракції з 2. Частковим даним був дано найменший загальний знаменник 30 ).

Сторінка 1 з 11

Найменший спільний знаменник.

Що таке найменший спільний знаменник?

Визначення:
Найменший спільний знаменник– це найменше додатне числократне знаменникам цих дробів.

Як привести до найменшого спільного знаменника? Щоб відповісти на це питання, розглянемо приклад:

Наведіть дроби з різними знаменниками до найменшого спільного знаменника.

Рішення:
Щоб знайти найменший спільний знаменник, потрібно знайти найменше загальне кратне (НОК) знаменників цих дробів.

У першому дробі знаменник дорівнює 20, розкладемо його на прості множники.
20=2⋅5⋅2

Також розкладемо і другий знаменник дробу 14 на прості множники.
14=7⋅2

НОК(14,20)= 2⋅5⋅2⋅7=140

Відповідь: найменший загальний знаменник дорівнюватиме 140.

Як привести дріб до спільного знаменника?

Потрібно перший дріб \(\frac(1)(20)\) домножити на 7, щоб отримати знаменник 140.

\(\frac(1)(20)=\frac(1 \times 7)(20 \times 7)=\frac(7)(140)\)
А другий дріб помножити на 10.

\(\frac(3)(14)=\frac(3 \times 10)(14 \times 10)=\frac(30)(140)\)

Правила чи алгоритм приведення дробів до спільного знаменника.

Алгоритм приведення дробів до найменшого спільного знаменника:

Потрібно розкласти на прості множники знаменники дробів.
Потрібно знайти найменше загальне кратне (НОК) для знаменників цих дробів.
Привести дроби до спільного знаменника, тобто помножити і чисельник та знаменник дробу на множник.

Загальний знаменник для кількох дробів.

Як знайти спільний знаменник для кількох дробів?

Розглянемо приклад:
Знайдіть найменший спільний знаменник для дробів \(\frac(2)(11), \frac(1)(15), \frac(3)(22)\)

Рішення:
Розкладемо знаменники 11, 15 та 22 на прості множники.

Число 11 воно саме собою вже просте число, тому його розписувати не потрібно.
Розкладемо число 15=5⋅3
Розкладемо число 22=11⋅2

Знайдемо найменше загальне кратне (НОК) знаменників 11, 15 та 22.
НОК(11, 15, 22)=11⋅2⋅5⋅3=330

Ми знайшли найменший спільний знаменник для цих дробів. Тепер наведемо дані дробу \(\frac(2)(11), \frac(1)(15), \frac(3)(22)\) до загального знаменника, що дорівнює 330.

\(\begin(align)
\frac(2)(11)=\frac(2 \times 30)(11 \times 30)=\frac(60)(330) \\\\
\frac(1)(15)=\frac(1 \times 22)(15 \times 22)=\frac(22)(330) \\\\
\frac(3)(22)=\frac(3 \times 15)(22 \times 15)=\frac(60)(330) \\\\
\end(align)\)

Цей метод має сенс, якщо ступінь многочлена не нижче другого. При цьому загальним множником може бути не тільки двочлен першого ступеня, але і більш високих ступенів.

Щоб знайти спільний множникдоданків багаточлена, необхідно виконати ряд перетворень. Найпростіший двочлен або одночлен, який можна винести за дужки, буде одним із коренів багаточлена. Вочевидь, що у разі, коли многочлен немає вільного члена, буде невідоме у першому ступені – многочлена, рівний 0.

Більш складним для пошуку загального множника є випадок, коли вільний член не дорівнює нулю. Тоді застосовні методи простого підбору або групування. Наприклад, нехай усе коріння багаточлена раціональні, у своїй всі коефіцієнти многочлена – цілі числа:y^4 + 3·y³ – y² – 9·y – 18.

Випишіть всі цілі дільники вільного члена. Якщо багаточлен має раціональне коріння, то воно знаходиться серед них. В результаті підбору виходить коріння 2 і -3. Отже, загальними множниками цього багаточлена будуть двочлени (y - 2) та (y + 3).

Метод винесення загального множника є одним із складових розкладання на множники. Описаний вище спосіб застосовується, якщо коефіцієнт при старшому ступені дорівнює 1. Якщо це не так, спочатку необхідно виконати ряд перетворень. Наприклад:2y³ + 19·y² + 41·y + 15.

Виконайте заміну виду t = 2³·y³. Для цього помножте всі коефіцієнти багаточлена на 4:2³·y³ + 19·2²·y² + 82·2·y + 60. Після заміни: t³ + 19·t² + 82·t + 60. Тепер для пошуку загального множника застосуємо вищеописаний спосіб .

Крім того, ефективним методомПошук загального множника є елементами багаточлена. Особливо корисний, коли перший спосіб не , тобто. у многочлена немає раціонального коріння. Проте угруповання не завжди очевидне. Наприклад: У многочлена y^4 + 4·y³ – y² – 8·y – 2 немає цілого коріння.

Скористайтеся групуванням: y^4 + 4·y³ – y² – 8·y – 2 = y^4 + 4·y³ – 2·y² + y² – 8·y – 2 = (y^4 – 2·y²) + ( 4·y³ – 8·y) + y² – 2 = (y² - 2)*(y² + 4·y + 1). Загальний множник елементів цього многочлена (y² – 2).

Множення і розподіл, так само, як додавання та віднімання, є основними арифметичними діями. Не навчившись вирішувати приклади на множення і розподіл, людина зіткнеться з багатьма труднощами як щодо складніших розділів математики, а й у найпростіших життєвих справах. Множення та розподіл тісно пов'язані між собою, і невідомі компоненти прикладів та завдань на одну з цих дій обчислюються за допомогою іншої дії. При цьому необхідно чітко розуміти, що при вирішенні прикладів абсолютно байдуже, які саме предмети ви ділите або множите.

Вам знадобиться

- Таблиця множення;
- калькулятор або аркуш паперу та олівець.

Інструкція

Запишіть потрібний приклад. Позначте невідомий множникяк х. Приклад може бути, наприклад, так: a*x=b. Замість множника а та твори b у прикладі можуть стояти будь-які чи цифри. Згадайте основне множення: від зміни місць множників твір не змінюється. Так що невідомий множникх може стояти абсолютно будь-де.

Для того, щоб знайти невідомий множнику прикладі, де співмножників всього два, необхідно просто розділити твір на відомий множник. Тобто робиться це так: х = b / a. Якщо вам складно оперувати абстрактними величинами, спробуйте уявити це завдання у вигляді конкретних предметів. Ви, у вас всього яблук і скільки їх буде їсти, але не знаєте, скільки яблук дістанеться кожному. Наприклад, у вас 5 членів сім'ї, а яблук вийшло 15. Кількість яблук, призначена кожному, позначте як x. Тоді рівняння виглядатиме так: 5(яблук)*х=15(яблук). Невідомий множникзнаходиться тим самим способом, що й у рівнянні з літерами, тобто 15 яблук розділіть на п'ятьох членів сім'ї, в результаті вийде, що кожен з них з'їв по 3 яблука.

У такий же спосіб знаходиться невідомий множникпри кількості співмножників. Наприклад, приклад виглядає як a*b*c*x*=d. По ідеї, знайти зі множникможна і як і, як у більш постому прикладі: x=d/a*b*c. Але можна привести рівняння і до більш простому вигляду, позначивши твір відомих співмножників іншою літерою - наприклад, m. Знайдіть, до чого дорівнює m, перемноживши числа a,bта з: m=a*b*c. Тоді весь приклад можна як m*x=d, а невідома величина дорівнюватиме x=d/m.

Якщо відомий множникі твір є дроби, приклад вирішується так само, як і з . Але в цьому випадку необхідно пам'ятати дій. При множенні дробів чисельники та знаменники їх перемножуються. При розподілі дробів чисельник ділимого множиться на знаменник дільника, а знаменник ділимого – на чисельник дільника. Тобто в цьому випадку приклад виглядатиме так: a/b*x=c/d. Щоб знайти невідому величину, потрібно твір розділити на відомий множник. Тобто x=a/b:c/d =a*d/b*c.

Відео на тему

Зверніть увагу

При вирішенні прикладів з дробами дріб відомого співмножника можна просто перевернути і виконувати дію як множення дробів.

Багаточлен – це сума одночленів. Одночлен - це твір кількох співмножників, які є числом або літерою. Ступіньневідома - це кількість її перемножень на саму себе.

Інструкція

Наведіть, якщо цього ще не зроблено. Подібні одночлени – це одночлени однакового виду, тобто одночлени з однаковими невідомими однакового ступеня.

Візьміть, наприклад, багаточлен 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y². У цьому багаточлені дві невідомі - x і y.

З'єднайте подібні одночлени. Одночлени з другим ступенем y і третім ступенем x прийдуть до вигляду y²*x³, а одночлени з четвертим ступенем y скоротяться. Вийде y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³.

Прийміть головну невідому літеру y. Знайдіть максимальний ступінь за невідомої y. Це одночлен y²*x³ і відповідно ступінь 2.

Зробіть висновок. Ступінь багаточлена 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y² по x дорівнює трьом, а по y дорівнює двом.

Знайдіть ступінь багаточлена√x+5*y за y. Вона дорівнює максимальному ступеню y, тобто одиниці.

Знайдіть ступінь багаточлена√x+5*y x. Невідома x знаходиться , отже, її ступінь буде дробом. Оскільки корінь квадратний, то рівень x дорівнює 1/2.

Зробіть висновок. Для багаточлена√x+5*y ступінь по x дорівнює 1/2, а ступінь по y дорівнює 1.

Відео на тему

Спрощення алгебраїчних виразів потрібно у багатьох розділах математики, зокрема під час вирішення рівнянь вищих ступенів, диференціюванні та інтегруванні. У цьому використовується кілька методів, включаючи розкладання множники. Щоб застосувати цей спосіб, потрібно знайти та винести загальний множникза дужки.

Щоб привести дроби до найменшого спільного знаменника, треба: 1) знайти найменше загальне кратне знаменників цих дробів, воно буде найменшим загальним знаменником. 2) знайти для кожної з дробів додатковий множник, навіщо ділити новий знаменник на знаменник кожної дроби. 3) помножити чисельник і знаменник кожного дробу на його додатковий множник.

приклади. Привести такі дроби до найменшого спільного знаменника.

Знаходимо найменше загальне кратне знаменників: НОК (5; 4) = 20, тому що 20 - найменше число, яке ділиться і на 5 і на 4. Знаходимо для 1-го дробу додатковий множник 4 (20 : 5 = 4). Для 2-го дробу додатковий множник дорівнює 5 (20 : 4 = 5). Помножуємо чисельник і знаменник 1-го дробу на 4, а чисельник і знаменник 2-го дробу на 5. Ми привели ці дроби до найменшого загального знаменника ( 20 ).

Найменший загальний знаменник цих дробів — число 8, оскільки 8 ділиться на 4 і саме себе. Додаткового множника до 1-го дробу не буде (або можна сказати, що він дорівнює одиниці), до 2-го дробу додатковий множник дорівнює 2 (8 : 4 = 2). Помножуємо чисельник і знаменник 2-го дробу на 2. Ми привели дані дробу до найменшого спільного знаменника ( 8 ).

Дані дроби є нескоротними.

Скоротимо 1-й дріб на 4, а 2-й дріб скоротимо на 2. ( див. приклади на скорочення звичайних дробів: Мапа сайту → 5.4.2. Приклади скорочення звичайних дробів). Знаходимо НОК(16) ; 20)=2 4 · 5=16· 5 = 80. Додатковий множник для 1-го дробу дорівнює 5 (80 : 16 = 5). Додатковий множник для 2-го дробу дорівнює 4 (80 : 20 = 4). Помножуємо чисельник і знаменник 1-го дробу на 5, а чисельник і знаменник 2-го дробу на 4. Ми привели ці дроби до найменшого загального знаменника ( 80 ).

Знаходимо найменший спільний знаменник НОЗ(5 ; 6 і 15) = НОК (5 ; 6 та 15) = 30. Додатковий множник до 1-го дробу дорівнює 6 (30 : 5 = 6), додатковий множник до 2-го дробу дорівнює 5 (30 : 6=5), додатковий множник до 3-го дробу дорівнює 2 (30 : 15 = 2). Помножуємо чисельник і знаменник 1-го дробу на 6, чисельник і знаменник 2-го дробу на 5, чисельник і знаменник 3-го дробу на 2. Ми привели ці дроби до найменшого загального знаменника ( 30 ).

Сторінка 1 з 1 1

Множення «хрест-навхрест»

Метод спільних дільників

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Щоб оцінити, наскільки колосальний виграш дає метод найменшого загального кратного, спробуйте обчислити ці приклади методом «хрест-нахрест».

Загальний знаменник дробів

Зрозуміло, без калькулятора. Думаю, після цього коментарі будуть зайвими.

Дивіться також:

Отже, нехай ми маємо два дроби з різними знаменниками. А ми хочемо зробити так, щоби знаменники стали однаковими. На допомогу приходить основна властивість дробу, яке, нагадаю, звучить так:

Дроб не зміниться, якщо його чисельник і знаменник помножити на те саме число, відмінне від нуля.

Таким чином, якщо правильно підібрати множники, знаменники у дробів зрівняються – цей процес називається. А числа, які «вирівнюють» знаменники, називаються.

Навіщо взагалі треба приводити дроби до спільного знаменника? Ось лише кілька причин:

Складання та віднімання дробів з різними знаменниками. Інакше цю операцію не виконати;
Порівняння дробів. Іноді приведення до спільного знаменника значно спрощує це завдання;
Вирішення завдань на частки та відсотки. Відсоткові співвідношення є, власне, звичайними висловлюваннями, які містять дроби.

Множення «хрест-навхрест»

Найпростіший і найнадійніший спосіб, який гарантовано вирівнює знаменники. Діятимемо «напролом»: множимо перший дріб на знаменник другого дробу, а другий – на знаменник першого. В результаті знаменники обох дробів стануть рівними добутку вихідних знаменників. Погляньте:

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Як додаткові множники розглянемо знаменники сусідніх дробів. Отримаємо:

Єдиний недолік даного методу – доводиться багато рахувати, адже знаменники множаться «напролом», і в результаті можуть вийти дуже великі числа. Такою є розплата за надійність.

Метод спільних дільників

Перш, ніж діяти "напролом" (тобто методом "хрест-навхрест"), погляньте на знаменники. Можливо, один із них (той, який більший), ділиться на інший.
Число, отримане в результаті такого поділу, буде додатковим множником для дробу з найменшим знаменником.
При цьому дріб із великим знаменником взагалі не треба ні на що множити – у цьому й полягає економія. Заодно різко знижується ймовірність помилки.

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що другий дріб взагалі ніде ні на що не множився. Фактично, ми скоротили обсяг обчислень удвічі!

У цьому полягає сила способу спільних дільників, але, повторюся, застосовувати його можна лише тому випадку, коли один із знаменників ділиться на інший без залишку. Що буває досить рідко.

Метод найменшого загального кратного

Коли ми наводимо дроби до спільного знаменника, ми, по суті, намагаємося знайти таке число, яке ділиться на кожен із знаменників. Потім наводимо до цього знаменники обох дробів.

Таких чисел дуже багато, і найменше їх зовсім не обов'язково дорівнюватиме прямому твору знаменників вихідних дробів, як це передбачається в методі «хрест-навхрест».

Наприклад, для знаменників 8 та 12 цілком підійде число 24, оскільки 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Це число набагато менше від твору 8 · 12 = 96.

Найменше число, яке поділяється на кожен із знаменників, називається їх (НОК).

Позначення: найменше загальне кратне чисел a та b позначається НОК(a; b). Наприклад, НОК(16; 24) = 48; НОК(8; 12) = 24.

Якщо вам вдасться знайти таке число, підсумковий обсяг обчислень буде мінімальним. Подивіться на приклади:

Як знайти найменший спільний знаменник

Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що 234 = 117 · 2; 351 = 117 · 3. Множники 2 та 3 взаємно прості (не мають спільних дільників, крім 1), а множник 117 – загальний. Тому НОК(234; 351) = 117 · 2 · 3 = 702.

Аналогічно, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Множники 3 та 4 взаємно прості, а множник 5 – загальний. Тому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.

Тепер наведемо дроби до спільних знаменників:

Зверніть увагу, наскільки корисним виявилося розкладання вихідних знаменників на множники:

Виявивши однакові множники, ми одразу вийшли на найменше загальне кратне, що, власне кажучи, є нетривіальним завданням;
З отриманого розкладання можна дізнатися, яких множників не вистачає кожного з дробів. Наприклад, 234 · 3 = 702, отже, для першого дробу додатковий множник дорівнює 3.

Не думайте, що таких складних дробіву реальних прикладах нічого очікувати. Вони зустрічаються постійно, і наведені вище завдання – не межа!

Єдина проблема - як знайти цей НОК. Іноді все знаходиться за кілька секунд, буквально «на око», але загалом це складне обчислювальне завдання, яке потребує окремого розгляду. Тут ми цього не стосуватимемося.

Дивіться також:

Приведення дробів до спільного знаменника

Дроб не зміниться, якщо його чисельник і знаменник помножити на те саме число, відмінне від нуля.

Навіщо взагалі треба приводити дроби до спільного знаменника?

Загальний знаменник, поняття та визначення.

Ось лише кілька причин:

Складання та віднімання дробів з різними знаменниками. Інакше цю операцію не виконати;
Порівняння дробів. Іноді приведення до спільного знаменника значно спрощує це завдання;
Вирішення завдань на частки та відсотки. Відсоткові співвідношення є, власне, звичайними висловлюваннями, які містять дроби.

Множення «хрест-навхрест»

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Як додаткові множники розглянемо знаменники сусідніх дробів. Отримаємо:

Метод спільних дільників

Перш, ніж діяти "напролом" (тобто методом "хрест-навхрест"), погляньте на знаменники. Можливо, один із них (той, який більший), ділиться на інший.
Число, отримане в результаті такого поділу, буде додатковим множником для дробу з найменшим знаменником.
При цьому дріб із великим знаменником взагалі не треба ні на що множити – у цьому й полягає економія. Заодно різко знижується ймовірність помилки.

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що другий дріб взагалі ніде ні на що не множився. Фактично, ми скоротили обсяг обчислень удвічі!

Метод найменшого загального кратного

Найменше число, яке поділяється на кожен із знаменників, називається їх (НОК).

Позначення: найменше загальне кратне чисел a та b позначається НОК(a; b). Наприклад, НОК(16; 24) = 48; НОК(8; 12) = 24.

Якщо вам вдасться знайти таке число, підсумковий обсяг обчислень буде мінімальним. Подивіться на приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Аналогічно, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Множники 3 та 4 взаємно прості, а множник 5 – загальний. Тому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.

Тепер наведемо дроби до спільних знаменників:

Зверніть увагу, наскільки корисним виявилося розкладання вихідних знаменників на множники:

Виявивши однакові множники, ми одразу вийшли на найменше загальне кратне, що, власне кажучи, є нетривіальним завданням;
З отриманого розкладання можна дізнатися, яких множників не вистачає кожного з дробів. Наприклад, 234 · 3 = 702, отже, для першого дробу додатковий множник дорівнює 3.

Щоб оцінити, наскільки колосальний виграш дає метод найменшого загального кратного, спробуйте обчислити ці приклади методом «хрест-нахрест». Зрозуміло, без калькулятора. Думаю, після цього коментарі будуть зайвими.

Не думайте, що таких складних дробів у прикладах не буде. Вони зустрічаються постійно, і наведені вище завдання – не межа!

Дивіться також:

Приведення дробів до спільного знаменника

Дроб не зміниться, якщо його чисельник і знаменник помножити на те саме число, відмінне від нуля.

Навіщо взагалі треба приводити дроби до спільного знаменника? Ось лише кілька причин:

Складання та віднімання дробів з різними знаменниками. Інакше цю операцію не виконати;
Порівняння дробів. Іноді приведення до спільного знаменника значно спрощує це завдання;
Вирішення завдань на частки та відсотки. Відсоткові співвідношення є, власне, звичайними висловлюваннями, які містять дроби.

Множення «хрест-навхрест»

Погляньте:

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Як додаткові множники розглянемо знаменники сусідніх дробів. Отримаємо:

Метод спільних дільників

Перш, ніж діяти "напролом" (тобто методом "хрест-навхрест"), погляньте на знаменники. Можливо, один із них (той, який більший), ділиться на інший.
Число, отримане в результаті такого поділу, буде додатковим множником для дробу з найменшим знаменником.
При цьому дріб із великим знаменником взагалі не треба ні на що множити – у цьому й полягає економія. Заодно різко знижується ймовірність помилки.

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що другий дріб взагалі ніде ні на що не множився. Фактично, ми скоротили обсяг обчислень удвічі!

Метод найменшого загального кратного

Найменше число, яке поділяється на кожен із знаменників, називається їх (НОК).

Позначення: найменше загальне кратне чисел a та b позначається НОК(a; b). Наприклад, НОК(16; 24) = 48; НОК(8; 12) = 24.

Якщо вам вдасться знайти таке число, підсумковий обсяг обчислень буде мінімальним. Подивіться на приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Аналогічно, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Множники 3 та 4 взаємно прості, а множник 5 – загальний. Тому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.

Тепер наведемо дроби до спільних знаменників:

Зверніть увагу, наскільки корисним виявилося розкладання вихідних знаменників на множники:

Виявивши однакові множники, ми одразу вийшли на найменше загальне кратне, що, власне кажучи, є нетривіальним завданням;
З отриманого розкладання можна дізнатися, яких множників не вистачає кожного з дробів. Наприклад, 234 · 3 = 702, отже, для першого дробу додатковий множник дорівнює 3.

Дивіться також:

Приведення дробів до спільного знаменника

Дроб не зміниться, якщо його чисельник і знаменник помножити на те саме число, відмінне від нуля.

Навіщо взагалі треба приводити дроби до спільного знаменника? Ось лише кілька причин:

Складання та віднімання дробів з різними знаменниками. Інакше цю операцію не виконати;
Порівняння дробів. Іноді приведення до спільного знаменника значно спрощує це завдання;
Вирішення завдань на частки та відсотки. Відсоткові співвідношення є, власне, звичайними висловлюваннями, які містять дроби.

Множення «хрест-навхрест»

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Як додаткові множники розглянемо знаменники сусідніх дробів. Отримаємо:

Єдиний недолік даного методу – доводиться багато рахувати, адже знаменники множаться «напролом», і в результаті можуть вийти дуже великі числа.

Приведення дробів до спільного знаменника

Такою є розплата за надійність.

Метод спільних дільників

Перш, ніж діяти "напролом" (тобто методом "хрест-навхрест"), погляньте на знаменники. Можливо, один із них (той, який більший), ділиться на інший.
Число, отримане в результаті такого поділу, буде додатковим множником для дробу з найменшим знаменником.
При цьому дріб із великим знаменником взагалі не треба ні на що множити – у цьому й полягає економія. Заодно різко знижується ймовірність помилки.

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що другий дріб взагалі ніде ні на що не множився. Фактично, ми скоротили обсяг обчислень удвічі!

Метод найменшого загального кратного

Найменше число, яке поділяється на кожен із знаменників, називається їх (НОК).

Позначення: найменше загальне кратне чисел a та b позначається НОК(a; b). Наприклад, НОК(16; 24) = 48; НОК(8; 12) = 24.

Якщо вам вдасться знайти таке число, підсумковий обсяг обчислень буде мінімальним. Подивіться на приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Аналогічно, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Множники 3 та 4 взаємно прості, а множник 5 – загальний. Тому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.

Тепер наведемо дроби до спільних знаменників:

Зверніть увагу, наскільки корисним виявилося розкладання вихідних знаменників на множники:

Виявивши однакові множники, ми одразу вийшли на найменше загальне кратне, що, власне кажучи, є нетривіальним завданням;
З отриманого розкладання можна дізнатися, яких множників не вистачає кожного з дробів. Наприклад, 234 · 3 = 702, отже, для першого дробу додатковий множник дорівнює 3.

На цьому уроці ми розглянемо приведення дробів до спільного знаменника та розв'яжемо завдання з цієї теми. Дамо визначення поняття спільного знаменника та додаткового множника, згадаємо про взаємно простих числах. Дамо визначення поняттю найменший загальний знаменник (НОЗ) і вирішимо низку завдань з його перебування.

Тема: Додавання та віднімання дробів з різними знаменниками

Урок: Приведення дробів до спільного знаменника

Повторення. Основна властивість дробу.

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або розділити на те саме натуральне число, то вийде рівний їй дріб.

Наприклад, чисельник і знаменник дробу можна розділити на 2. Отримаємо дріб . Цю операцію називають скороченням дробу. Можна виконати і зворотне перетворення, помноживши чисельник і знаменник дробу на 2. І тут кажуть, що ми привели дріб до нового знаменника. Число 2 називають додатковим множником.

Висновок.Дроб можна привести до будь-якого знаменника кратного знаменника даного дробу. Для того щоб привести дріб до нового знаменника, його чисельник та знаменник множать на додатковий множник.

1. Наведіть дріб до знаменника 35.

Число 35 кратно 7, тобто 35 ділиться на 7 без залишку. Отже, це перетворення можливо. Знайдемо додатковий множник. Для цього розділимо 35 на 7. Отримаємо 5. Помножимо на 5 чисельник та знаменник вихідного дробу.

2. Наведіть дріб до знаменника 18.

Знайдемо додатковий множник. І тому розділимо новий знаменник на вихідний. Отримаємо 3. Помножимо на 3 чисельник та знаменник даного дробу.

3. Наведіть дріб до знаменника 60.

Розділивши 60 на 15 отримаємо додатковий множник. Він дорівнює 4. Помножимо чисельник і знаменник на 4.

4. Наведіть дріб до знаменника 24

У нескладних випадках приведення до нового знаменника виконують в умі. Прийнято тільки вказувати додатковий множник за дужкою трохи правіше і вище за вихідний дроб.

Дроб можна привести до знаменника 15 і дріб можна привести до знаменника 15. У дробів і загальний знаменник 15.

Спільним знаменником дробів може бути будь-яке спільне кратне їх знаменників. Для простоти дробу призводять до найменшого спільного знаменника. Він дорівнює найменшому загальному кратному знаменників цих дробів.

приклад. Привести до найменшого загального знаменника дробу та .

Спочатку знайдемо найменше загальне кратне знаменників цих дробів. Це число 12. Знайдемо додатковий множник для першого і другого дробу. Для цього 12 розділимо на 4 та на 6. Три – це додатковий множник для першого дробу, а два – для другого. Наведемо дроби до знаменника 12.

Ми привели дроби і до спільного знаменника, тобто знайшли рівні дроби, у яких один і той же знаменник.

Правило.Щоб привести дроби до найменшого спільного знаменника, треба

По-перше, знайти найменше загальне кратне знаменників цих дробів, воно і буде їх найменшим спільним знаменником;

По-друге, розділити найменший спільний знаменник на знаменники даних дробів, тобто знайти для кожного дробу додатковий множник.

По-третє, помножити чисельник і знаменник кожного дробу на його додатковий множник.

а) Привести до спільного знаменника дробу та .

Найменший загальний знаменник дорівнює 12. Додатковий множник для першого дробу – 4, для другого – 3. Наводимо дроби до знаменника 24.

б) Привести до спільного знаменника дробу та .

Найменший загальний знаменник дорівнює 45. Розділивши 45 на 9 на 15 отримаємо, відповідно, 5 і 3. Приводимо дроби до знаменника 45.

в) Привести до спільного знаменника дробу та .

Загальний знаменник – 24. Додаткові множники, відповідно, – 2 та 3.

Іноді буває важко підібрати усно найменше загальне кратне знаменників цих дробів. Тоді загальний знаменник та додаткові множники знаходять за допомогою розкладання на прості множники.

Привести до спільного знаменника дробу та .

Розкладемо числа 60 та 168 на прості множники. Випишемо розкладання числа 60 і додамо множники 2 і 7 з другого розкладання. Помножимо 60 на 14 і отримаємо загальний знаменник 840. Додатковий множник для першого дробу – це 14. Додатковий множник для другого дробу – 5. Приведемо дроби до спільного знаменника 840.

Список літератури

1. Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С. та ін Математика 6. – М.: Мнемозіна, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонський В.В., Якір М.С. Математика 6 клас. – Гімназія, 2006.

3. Депман І.Я., Віленкін Н.Я. За сторінками підручника з математики. – Просвітництво, 1989.

4. Рурукін О.М., Чайковський І.В. Завдання з курсу математики 5-6 клас. – ЗШ МІФІ, 2011.

5. Рурукін А.М., Сочілов С.В., Чайковський К.Г. Математика 5-6. Посібник для учнів 6-х класів заочної школи МІФД. – ЗШ МІФІ, 2011.

6. Шеврін Л.М., Гейн А.Г., Коряков І.О. та ін Математика: Підручник-співрозмовник для 5-6 класів середньої школи. Бібліотека учителя математики. – Просвітництво, 1989.

Можна завантажити книги, зазначені у п.1.2. цього уроку.

Домашнє завдання

Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С. та ін. Математика 6. – М.: Мнемозіна, 2012. (посилання див. 1.2)

Домашнє завдання: №297, №298, №300.

Інші завдання: №270, №290