Ознаки подільності натуральних чисел.
Числа, що діляться без залишку на 2, називаютьсяпарними .
Числа, які не діляться без залишку на 2, називаютьсянепарними .
Ознака ділимості на 2
Якщо запис натурального числа закінчується парною цифрою, це число ділиться без залишку на 2, і якщо запис числа закінчується непарною цифрою, це число не ділиться без залишку на 2.
Наприклад, числа 60 , 30 8 , 8 4 діляться без залишку на 2, а числа 51 , 8 5 , 16 7 не діляться без залишку на 2.
Ознака подільності на 3
Якщо сума цифр числа ділиться на 3, то число ділиться на 3; якщо сума цифр числа не ділиться на 3, то число не ділиться на 3.
Наприклад, з'ясуємо, чи ділиться на 3 число 2772825. Для цього підрахуємо суму цифр цього числа: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 – ділиться на 3. Отже, число 2772825 ділиться на 3.
Ознака ділимості на 5
Якщо запис натурального числа закінчується цифрою 0 або 5, це число ділиться без залишку на 5. Якщо ж запис числа закінчується іншою цифрою, то число без залишку на 5 не ділиться.
Наприклад, числа 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 діляться без залишку на 5, а числа 17 , 37 8 , 9 1 не діляться.
Ознака подільності на 9
Якщо сума цифр числа ділиться на 9, то число ділиться на 9; якщо сума цифр числа не ділиться на 9, то число не ділиться на 9.
Наприклад, з'ясуємо, чи ділиться на 9 число 5402070. Для цього підрахуємо суму цифр цього числа: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 – не ділиться на 9. Отже, число 5402070 не ділиться на 9.
Ознака подільності на 10
Якщо запис натурального числа закінчується цифрою 0, це число ділиться без залишку на 10. Якщо запис натурального числа закінчується іншою цифрою, воно не ділиться без залишку на 10.
Наприклад, числа 40 , 17 0 , 1409 0 діляться без залишку на 10, а числа 17 , 9 3 , 1430 7 - Не діляться.
Правило знаходження найбільшого загального дільника (НДД).
Щоб знайти найбільший спільний дільник кількох натуральних чисел, треба:
2) з множників, що входять до розкладання одного з цих чисел, викреслити ті, які не входять до розкладання інших чисел;
3) знайти твір множників, що залишилися.
приклад. Знайдемо НОД (48; 36). Скористайтеся правилом.
1. Розкладемо числа 48 та 36 на прості множники.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3
2. З множників, що входять до розкладання числа 48, викреслимо ті, які не входять до розкладання числа 36.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
Залишаються множники 2, 2 та 3.
3. Перемножимо множники, що залишилися, і отримаємо 12. Це число і є найбільшим загальним дільником чисел 48 і 36.
НОД (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.
Правило знаходження найменшого загального кратного (НОК).
Щоб знайти найменше загальне кратне кількох натуральних чисел, треба:
1) розкласти їх на прості множники;
2) виписати множники, що входять до розкладання одного з чисел;
3) додати до них множники, що відсутні, з розкладів інших чисел;
4) знайти добуток множників, що вийшли.
приклад.Знайдемо НОК (75; 60). Скористайтеся правилом.
1. Розкладемо числа 75 та 60 на прості множники.
75 = 3 · 5 · 5
60 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Випишемо множники, що входять до розкладання числа 75: 3, 5, 5.
НОК (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …
3. Додамо до них множники, що відсутні, з розкладання числа 60, тобто. 2, 2.
НОК (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2
4. Знайдемо твір множників, що вийшли
НОК (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.
Ця стаття присвячена такому питанню, як знаходження найбільшого спільного дільника. Спочатку ми пояснимо, що це таке, і наведемо кілька прикладів, введемо визначення найбільшого загального дільника 2, 3 і більше чисел, після чого зупинимося на загальних властивостях даного поняття та доведемо їх.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Що таке спільні дільники
Щоб зрозуміти, що являє собою найбільший спільний дільник, спочатку сформулюємо, що взагалі таке спільний дільник для цілих чисел.
У статті про кратних і дільників ми говорили, що ціле число завжди має кілька дільників. Тут нас цікавлять дільники відразу певної кількості цілих чисел, особливо загальні (однакові) всім. Запишемо основне визначення.
Визначення 1
Спільним дільником кількох цілих чисел буде таке число, яке може бути дільником кожного числа із зазначеної множини.
Приклад 1
Ось приклади такого дільника: трійка буде спільним дільником для чисел - 12 і 9, оскільки вірні рівності 9 = 3 · 3 та − 12 = 3 · (− 4) . Числа 3 і - 12 мають інші спільні дільники, такі, як 1 , − 1 і − 3 . Візьмемо інший приклад. У чотирьох цілих чисел 3 , − 11 , − 8 та 19 буде два спільні дільники: 1 та - 1 .
Знаючи властивості ділимості, ми можемо стверджувати, що будь-яке ціле число можна розділити на одиницю і мінус одиницю, отже, у будь-якого набору цілих чисел вже буде як мінімум два спільні дільники.
Також зазначимо, що якщо у нас є спільний для кількох чисел дільник b, то ті ж числа можна розділити і на протилежне число, тобто на b. У принципі, ми можемо взяти лише позитивні дільники, тоді всі спільні дільники також будуть більшими за 0 . Такий підхід також можна використати, проте зовсім ігнорувати негативні числане слід.
Що таке найбільший спільний дільник
Відповідно до властивостей ділимості, якщо b є дільником цілого числа a, яке не дорівнює 0, то модуль числа b не може бути більшим, ніж модуль a, отже, будь-яке число, не дорівнює 0, має кінцеве число дільників. Значить, кількість спільних дільників кількох цілих чисел, хоча б одне з яких відрізняється від нуля, також буде кінцевим, і з усієї їхньої множини ми завжди можемо виділити найбільше число (раніше ми вже говорили про поняття найбільшого і найменшого цілого числа, радимо вам повторити матеріал).
У подальших міркуваннях ми вважатимемо, що хоча б одне з множини чисел, для яких потрібно знайти найбільший спільний дільник, буде відмінно від 0 . Якщо всі рівні 0 , їх дільником може бути будь-яке ціле число, і оскільки їх нескінченно багато, вибрати найбільше ми зможемо. Інакше кажучи, знайти найбільший спільний дільник для множини чисел, рівних 0, не можна.
Переходимо до формулювання основного визначення.
Визначення 2
Найбільшим спільним дільником кількох чисел є найбільше ціле число, яке поділяє всі ці числа.
На листі найбільший спільний дільник найчастіше позначається абревіатурою НОД. Для двох чисел його можна записати як НОД (a, b).
Приклад 2
Який можна навести приклад НОД для двох цілих чисел? Наприклад, для 6 та - 15 це буде 3 . Обґрунтуємо це. Спочатку запишемо всі дільники шести: ±6, ±3, ±1, а потім усі дільники п'ятнадцяти: ±15, ±5, ±3 і ±1. Після цього ми вибираємо загальні: це − 3 , − 1 , 1 та 3 . З них треба вибрати найбільше число. Це буде 3 .
Для трьох і більше чисел визначення найбільшого загального дільника буде майже таким самим.
Визначення 3
Найбільшим спільним дільником трьох чисел і більше буде найбільше ціле число, яке ділитиме всі ці числа одночасно.
Для чисел a 1 , a 2 , … , a n дільник зручно позначати як НОД (a 1 , a 2 , … , a n) . Саме значення дільника записується як НОД (a 1, a 2, …, a n) = b.
Приклад 3
Наведемо приклади найбільшого загального дільника кількох цілих чисел: 12 - 8 52 16 . Він дорівнює чотирьом, отже, ми можемо записати, що НОД (12 , - 8 , 52 , 16) = 4 .
Перевірити правильність даного твердження можна за допомогою запису всіх дільників цих чисел та наступного вибору найбільшого їх.
Насправді часто трапляються випадки, коли найбільший спільний дільник дорівнює одному з чисел. Це відбувається тоді, коли на дане число можна розділити всі інші числа (у першому пункті статті ми навели підтвердження цього твердження).
Приклад 4
Так, найбільший загальний дільник чисел 60 , 15 і - 45 дорівнює 15 , оскільки п'ятнадцять ділиться як на 60 і - 45 , а й саме себе, і більшого дільника всім цих чисел немає.
Особливий випадок становлять взаємно прості числа. Вони є цілі числа з найбільшим загальним дільником, рівним 1 .
Основні властивості НОД та алгоритм Евкліда
Найбільший спільний дільник має деякі характерні властивості. Сформулюємо їх як теорем і доведемо кожне їх.
Зазначимо, дані властивості сформульовані для цілих чисел більше нуля, а дільники ми розглянемо лише позитивні.
Визначення 4
Числа a і b мають найбільший спільний дільник, рівний НОД для b і a, тобто НОД (a, b) = НОД (b, a). Зміна місць чисел не впливає на кінцевий результат.
Ця властивість випливає із самого визначення НОД і не потребує доказів.
Визначення 5
Якщо число a можна розділити на число b, то безліч спільних дільників цих двох чисел буде аналогічно до безлічі дільників числа b, тобто НОД (a, b) = b.
Доведемо це твердження.
Доказ 1
Якщо у чисел a та b є спільні дільники, то на них можна розділити будь-яке з них. У той же час, якщо a буде кратним b, то будь-який дільник b буде дільником і для a, оскільки ділимість має таку властивість, як транзитивність. Отже, будь-який дільник b буде спільним для чисел a та b . Це доводить, що якщо ми можемо розділити a на b, то безліч дільників обох чисел збігається з безліччю дільників одного числа b. А оскільки найбільший дільник будь-якого числа є саме це число, то найбільший загальний дільник чисел a і b також дорівнює b , тобто. НОД (a, b) = b. Якщо a = b , то НОД (a , b) = НОД (a , a) = НОД (b , b) = a = b , наприклад, НОД (132 , 132) = 132 .
Використовуючи це, ми можемо знайти найбільший спільний дільник двох чисел, якщо одне з них можна розділити на інше. Такий дільник дорівнює одному з двох чисел, на яке можна розділити друге число. Наприклад, НОД (8 , 24) = 8 , оскільки 24 є число, кратне восьми.
Визначення 6 Доказ 2
Спробуємо довести цю властивість. У нас спочатку є рівність a = b · q + c і будь-який спільний дільник a і b буде ділити і c, що пояснюється відповідною властивістю ділимості. Тому будь-який спільний дільник b і c ділитиме a . Значить, безліч спільних дільників a і b збігається з безліччю дільників b і c, у тому числі й найбільші з них, отже, рівність НОД (a, b) = НОД (b, c) справедлива.
Визначення 7
Наступне властивість одержало назву алгоритму Евкліда. З його допомогою можна вирахувати найбільший спільний дільник двох чисел, а також довести інші властивості НОД.
Перед тим, як сформулювати властивість, радимо вам повторити теорему, яку ми доводили у статті про поділ із залишком. Відповідно до неї, ділене число a можна у вигляді b · q + r , причому b тут є дільником, q – деяким цілим числом (його називають неповним приватним), а r – залишком, який задовольняє умові 0 ≤ r ≤ b .
Допустимо, у нас є два цілих числа більше 0, для яких будуть справедливі наступні рівності:
a = b · q 1 + r 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1
Ці рівності закінчуються тоді, коли r k + 1 дорівнює 0 . Це трапиться обов'язково, оскільки послідовність b > r 1 > r 2 > r 3 … являє собою ряд спадних цілих чисел, який може включати тільки кінцеве їх кількість. Отже, r k є найбільшим спільним дільником a і b, тобто r k = НОД (a, b).
Насамперед нам треба довести, що r k – це спільний дільник чисел a і b , а після цього – те, що r k не просто дільником, саме найбільшим спільним дільником двох даних чисел.
Переглянемо перелік рівнів, наведений вище, знизу нагору. Відповідно до останньої рівності,
r k − 1 можна поділити на r k . Виходячи з цього факту, а також попередньої доведеної властивості найбільшого загального дільника, можна стверджувати, що r k − 2 можна поділити на r k , оскільки
r k − 1 ділиться на r k та r k ділиться на r k .
Третя знизу рівність дозволяє зробити висновок, що r k − 3 можна розділити на r k , і т.д. Друге знизу – що ділиться на r k , а перше – що a ділиться на r k . З цього укладаємо, що r k – спільний дільник a і b .
Тепер доведемо, що r k = НОД (a, b). що потрібно для цього зробити? Показати, що будь-який спільний дільник a та b буде ділити r k . Позначимо його r0.
Переглянемо той самий список рівностей, але зверху вниз. Виходячи з попередньої властивості, можна зробити висновок, що r 1 ділиться на r 0 , отже, відповідно до другої рівності r 2 ділиться на r 0 . Йдемо по всіх рівностях униз і з останнього робимо висновок, що r k поділяється на r 0 . Отже, r k = НОД (a, b).
Розглянувши дану властивість, укладаємо, що безліч спільних дільників a і b аналогічно до безлічі дільників НОД цих чисел. Це твердження, яке є наслідком алгоритму Евкліда, дозволить нам обчислити всі спільні дільники двох заданих чисел.
Перейдемо до інших властивостей.
Визначення 8
Якщо a і b є цілими числами, не рівними 0 , то повинні існувати два інші цілі числа u 0 і v 0 , при яких справедлива рівність НОД (a , b) = a · u 0 + b · v 0 .
Рівність, наведене у формулюванні властивості, є лінійним уявленням найбільшого загального дільника a та b. Воно зветься співвідношення Безу, а числа u 0 і v 0 називаються коефіцієнтами Безу.
Доказ 3
Доведемо цю властивість. Запишемо послідовність рівностей за алгоритмом Евкліда:
a = b · q 1 + r 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1
Перша рівність свідчить, що r 1 = a − b · q 1 . Позначимо 1 = s 1 і − q 1 = t 1 і перепишемо цю рівність у вигляді r 1 = s 1 · a + t 1 · b . Тут числа s 1 та t 1 будуть цілими. Друга рівність дозволяє зробити висновок, що r 2 = b − r 1 · q 2 = b − (s 1 · a + t 1 · b) · q 2 = − s 1 · q 2 · a + (1 − t 1 · q 2) · b. Позначимо − s 1 · q 2 = s 2 і 1 − t 1 · q 2 = t 2 і перепишемо рівність як r 2 = s 2 · a + t 2 · b , де s 2 і t 2 також будуть цілими. Це тим, що сума цілих чисел, їх твір і різницю також є цілі числа. Точно так само отримуємо з третьої рівності r 3 = s 3 · a + t 3 · b , з наступного r 4 = s 4 · a + t 4 · b і т.д. Наприкінці укладаємо, що r k = s k · a + t k · b при цілих s k і t k . Оскільки r k = НОД (a , b) , позначимо s k = u 0 і t k = v 0 , У результаті ми можемо отримати лінійне уявлення НОД у необхідному вигляді: НОД (a , b) = a · u 0 + b · v 0 .
Визначення 9
НОД (m · a, m · b) = m · НОД (a, b) при будь-якому натуральному значенні m.
Доказ 4
Обґрунтувати цю властивість можна так. Помножимо на число m обидві сторони кожної рівності в алгоритмі Евкліда і отримаємо, що НОД (m · a, m · b) = m · r k, а r k - це НОД (a, b). Значить, НОД (m · a, m · b) = m · НОД (a, b). Саме ця властивість найбільшого загального дільника використовується при знаходженні НОД методом розкладання на прості множники.
Визначення 10
Якщо у чисел a і b є спільний дільник p, то НОД (a: p, b: p) = НОД (a, b): p. У разі, коли p = НОД (a , b) отримаємо НОД (a: НОД (a , b) , b: НОД (a , b) = 1 , отже, числа a: НОД (a , b) і b: НОД (a, b) є взаємно простими.
Оскільки a = p · (a: p) і b = p · (b: p) , то, ґрунтуючись на попередній властивості, можна створити рівності виду НОД (a , b) = НОД (p · (a: p) , p · (b: p)) = p · НОД (a: p, b: p), серед яких і буде доказ цієї властивості. Це твердження ми використовуємо, коли наводимо звичайні дробидо нескоротного виду.
Визначення 11
Найбільшим загальним дільником a 1 , a 2 , … , a k буде число d k , яке можна знайти, послідовно обчислюючи НОД (a 1 , a 2) = d 2 , НОД (d 2 , a 3) = d 3 , НОД (d 3 , a 4) = d 4 , … , НОД (d k - 1 , a k) = d k .
Ця властивість корисна при знаходженні найбільшого загального дільника трьох чи більше чисел. За допомогою нього можна звести цю дію до операцій із двома числами. Його основою є наслідок алгоритму Евкліда: якщо безліч спільних дільників a 1 , a 2 і a 3 збігається з безліччю d 2 і a 3 , воно збігається і з дільниками d 3 . Дільники чисел a 1 , a 2 , a 3 і a 4 збігатимуться з дільниками d 3 , отже, вони співпадуть і з дільниками d 4 і т.д. Наприкінці ми отримаємо, що спільні дільники чисел a 1 , a 2 , … , a k співпадуть із дільниками d k , а оскільки найбільшим дільником числа d k буде саме це число, то НОД (a 1 , a 2 , … , a k) = d k .
Це все, що ми хотіли б розповісти про властивості найбільшого спільного дільника.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Щоб навчитися знаходити найбільший спільний дільник двох або декількох чисел, необхідно розібратися з тим, що являють собою натуральні, прості і складні числа.
Натуральним називається будь-яке число, що використовується під час підрахунку цілих предметів.
Якщо натуральне число можна розділити тільки на саму себе і одиницю, його називають простим.
Усі натуральні числа можна розділити він і одиницю, проте єдиним парним простим числом є 2, й інші можна розділити на двійку. Тому простими можуть лише непарні числа.
Простих чисел досить багато, повного спискуїх немає. Для знаходження НОД зручно використовувати спеціальні таблиці з такими числами.
Більшість натуральних чисел можуть ділитися як на одиницю, себе, а й інші числа. Так, наприклад, число 15 можна поділити ще на 3 та 5. Усі їх називають дільниками числа 15.
Таким чином, дільник будь-якого А - це число, яке воно може бути розділене без залишку. Якщо число має більше двох натуральних дільників, його називають складовим.
У числа 30 можна назвати такі дільники, як 1, 3, 5, 6, 15, 30.
Можна помітити, що 15 та 30 мають однакові дільники 1, 3, 5, 15. Найбільший загальний дільник цих двох чисел – 15.
Таким чином, загальним дільником чисел А і Б називається таке число, на яке можна поділити їх націло. Найбільшим можна вважати максимальне загальне число, на яке їх можна розділити.
Для вирішення завдань використовується такий скорочений напис:
НОД (А; Б).
Наприклад, НОД (15; 30) = 30.
Щоб записати всі дільники натурального числа, застосовується запис:
Д (15) = (1, 3, 5, 15)
НОД (9; 15) = 1
У цьому прикладі у натуральних чисел є лише один спільний дільник. Їх називають взаємно простими, відповідно одиниця і є найбільшим спільним дільником.
Як знайти найбільший спільний дільник чисел
Щоб знайти НОД кількох чисел, потрібно:
Знайти усі дільники кожного натурального числа окремо, тобто розкласти їх на множники (прості числа);
Виділити всі однакові множники у цих чисел;
Перемножити їх між собою.
Наприклад, щоб обчислити найбільший загальний дільник чисел 30 та 56, потрібно записати наступне:
Щоб не плутатися, зручно записувати множники за допомогою вертикальних стовпчиків. У лівій частині від риси потрібно розмістити подільне, а у правій – дільник. Під діленим слід вказати приватне, що вийшло.
Так, у правому стовпці виявляться всі необхідні для вирішення множники.
Поодинокі дільники (знайдені множники) можна для зручності підкреслити. Їх слід переписати та перемножити та записати найбільший спільний дільник.
НОД (30; 56) = 2 * 5 = 10
Ось так просто насправді знайти найбільший спільний дільник чисел. Якщо трохи потренуватись, робити це можна буде практично на автоматі.
Найбільше натуральне число, яке діляться без залишку числа a і b, називають найбільшим спільним дільникомцих чисел. Позначають НОД(a, b).
Розглянемо знаходження НОД на прикладі двох натуральних чисел 18 та 60:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
324 , 111 і 432
Розкладемо числа на прості множники:
324 = 2×2×3×3×3×3
111 = 3 × 37
432 = 2×2×2×2×3×3×3
Викреслити з першого числа, множники яких нема у другому та третьому числі, отримаємо:
2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3
В результаті НОД( 324 , 111 , 432 )=3
Знаходження НОД за допомогою алгоритму Евкліда
Другий спосіб знаходження найбільшого загального дільника за допомогою алгоритму Евкліда. Алгоритм Евкліда є найбільш ефективним способомзнаходження НІД, використовуючи його потрібно постійно знаходити залишок від розподілу чисел та застосовувати рекурентну формулу.
Рекурентна формуладля НОД, НОД (a, b) = НОД (b, a mod b), де a mod b - залишок від розподілу a на b.
Алгоритм Евкліда
Приклад Знайти найбільший спільний дільник чисел 7920 і 594
Знайдемо НОД( 7920 , 594 ) за допомогою алгоритму Евкліда, обчислювати залишок від розподілу за допомогою калькулятора.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0
В результаті отримуємо НОД( 7920 , 594 ) = 198
Найменше загальне кратне
Для того, щоб шукати спільний знаменникпри складанні та відніманні дробів з різними знаменникаминеобхідно знати та вміти розраховувати найменше загальне кратне(НОК).
Кратне числу «a» - це число, яке ділиться на число «a» без залишку.
Числа кратні 8 (тобто ці числа поділяться на 8 без залишку): це числа 16, 24, 32 …
Кратні 9: 18, 27, 36, 45 …
Чисел, кратних даному числу a нескінченно багато, на відміну дільників цього числа. Дільників – кінцева кількість.
Загальним кратним двох натуральних чисел називається число, яке ділиться на обидва ці числа націло.
Найменшим загальним кратним(НОК) двох і більше натуральних чисел називається найменше натуральне число, яке ділиться націло на кожне з цих чисел.
Як знайти НОК
НОК можна знайти та записати двома способами.
Перший спосіб знаходження НОК
Цей спосіб зазвичай застосовується для невеликих чисел.
- Виписуємо в рядок кратні для кожного з чисел, доки не знайдеться кратне, однакове для обох чисел.
- Кратне числа "a" позначаємо великою літерою "К".
приклад. Знайти НОК 6 та 8 .
Другий спосіб знаходження НОК
Цей спосіб зручно використовувати, щоб знайти НОК для трьох чи більше чисел.
Кількість однакових множників у розкладах чисел може бути різною.
НОК (24, 60) = 2 · 2 · 3 · 5 · 2
Відповідь: НОК (24, 60) = 120
Оформити знаходження найменшого загального кратного (НОК) можна також в такий спосіб. Знайдемо НОК (12, 16, 24).
24 = 2 · 2 · 2 · 3
Як бачимо з розкладання чисел, всі множники 12 увійшли до розкладання 24 (найбільшого з чисел), тому в НОК додаємо тільки одну 2 з розкладання числа 16 .
НОК (12, 16, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 = 48
Відповідь: НОК (12, 16, 24) = 48
Особливі випадки знаходження НОК
Наприклад, НОК (60, 15) = 60
Оскільки взаємно прості числа немає спільних простих дільників, їх найменше загальне кратне і добутку цих чисел.
На нашому сайті ви також можете за допомогою спеціального калькулятора знайти найменше кратне онлайн, щоб перевірити свої обчислення.
Якщо натуральне число ділиться тільки на 1 і на себе, воно називається простим.
Будь-яке натуральне число завжди ділиться на 1 і на себе.
Число 2 – найменше просте число. Це єдине парне просте число, інші прості числа - непарні.
Простих чисел багато, і перше у тому числі - число 2 . Проте останнього простого числа. У розділі «Для навчання» ви можете завантажити таблицю простих чиселдо 997 .
Але багато натуральних чисел діляться націло ще й на інші натуральні числа.
- число 12 ділиться на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;
- число 36 ділиться на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.
- розкласти дільники чисел на прості множники;
Числа, куди число ділиться націло (для 12 це 1, 2, 3, 4, 6 і 12) називаються дільниками числа.
Дільник натурального числа a - це таке натуральне число, яке поділяє це число "a" без залишку.
Натуральне число, яке має більше двох дільників, називається складовим.
Зверніть увагу, що числа 12 та 36 мають спільні дільники. Це числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Найбільший із дільників цих чисел – 12 .
Загальний дільник двох даних чисел «a» та «b» - це число, на яке діляться без залишку обидва дані числа «a» і «b».
Найбільший спільний дільник(НОД) двох даних чисел «a» і «b» - це найбільше число, яке обидва числа «a» і «b» діляться без залишку.
Коротко найбільший спільний дільник чисел a і b записують так:
Приклад: НОД (12; 36) = 12 .
Дільники чисел у записі рішення позначають великою літерою "Д".
Числа 7 і 9 мають лише один спільний дільник - число 1 . Такі числа називають взаємно простими числами.
Взаємно прості числа- це натуральні числа, які мають лише один спільний дільник – число 1 . Їхній НОД дорівнює 1 .
Як знайти найбільший спільний дільник
Щоб знайти НОД двох або більше натуральних чисел потрібно:
Обчислення зручно записувати за допомогою вертикальної межі. Зліва від межі спочатку записуємо ділене, праворуч - дільник. Далі у лівому стовпці записуємо значення приватних.
Пояснимо одразу на прикладі. Розкладемо на прості множники числа 28 та 64 .
- Підкреслюємо однакові прості множники в обох числах.
28 = 2 · 2 · 7
64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2
Знаходимо добуток однакових простих множників та записати відповідь;
НОД (28; 64) = 2 · 2 = 4
Відповідь: НОД (28; 64) = 4
Оформити перебування НОД можна двома способами: у стовпчик (як робили вище) або «у рядок».
Перший спосіб запису НОД
Знайти НОД 48 і 36 .
НОД (48; 36) = 2 · 2 · 3 = 12
Другий спосіб запису НОД
Тепер запишемо рішення пошуку НОД у рядок. Знайти НОД 10 та 15 .
На нашому інформаційному сайті ви також можете за допомогою програми помічника знайти найбільший спільний дільник онлайн, щоб перевірити свої обчислення.
Знаходження найменшого загального кратного способи, приклади знаходження НОК.
Поданий нижче матеріал є логічним продовженням теорії із статті під заголовком НОК — найменше загальне кратне визначення, приклади, зв'язок між НОК і НОД. Тут ми поговоримо про знаходження найменшого загального кратного (НОК), і особливу увагуприділимо рішенню прикладів. Спочатку покажемо, як обчислюється НОК двох чисел через НОД цих чисел. Далі розглянемо знаходження найменшого загального кратного за допомогою розкладання чисел на найпростіші множники. Після цього зупинимося на знаходженні НОК трьох та більшої кількостічисел, і навіть приділимо увагу обчисленню НОК негативних чисел.
Навігація на сторінці.
Обчислення найменшого загального кратного (НОК) через НОД
Один із способів знаходження найменшого загального кратного заснований на зв'язку між НОК та НОД. Існуючий зв'язок між НОК та НОД дозволяє обчислювати найменше загальне кратне двох цілих позитивних чисел через відомий найбільший спільний дільник. Відповідна формула має вигляд НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b). Розглянемо приклади знаходження НОК за наведеною формулою.
Знайдіть найменше загальне кратне двох чисел 126 та 70 .
У цьому прикладі a = 126, b = 70. Скористаємося зв'язком НОК з НОД, що виражається формулою НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b). Тобто, спочатку ми маємо знайти найбільший загальний дільник чисел 70 і 126 , після чого ми зможемо обчислити НОК цих чисел за записаною формулою.
Знайдемо НОД(126, 70) , використовуючи алгоритм Евкліда: 126 = 70 · 1 +56 , 70 = 56 · 1 +14 , 56 = 14 · 4 , отже, НОД (126, 70) = 14 .
Тепер знаходимо необхідне найменше загальне кратне: НОК (126, 70) = 126 · 70: НОД (126, 70) = 126 · 70: 14 = 630 .
Чому одно НОК (68, 34)?
Оскільки 68 ділиться націло на 34 , то НОД (68, 34) = 34 . Тепер обчислюємо найменше загальне кратне: НОК (68, 34) = 68 · 34: НОД (68, 34) = 68 · 34: 34 = 68 .
Зауважимо, що попередній приклад підходить під наступне правило знаходження НОК для цілих позитивних чисел a і b: якщо число a ділиться на b , то найменше кратне цих чисел дорівнює a .
Знаходження НОК за допомогою розкладання чисел на прості множники
Інший спосіб знаходження найменшого загального кратного базується на розкладанні чисел на прості множники. Якщо скласти твір з усіх простих множників даних чисел, після чого з цього твору виключити всі загальні прості множники, присутні в розкладаннях даних чисел, то отриманий твір дорівнює найменшому загальному кратному даних чисел .
Озвучене правило знаходження НОК випливає з рівності НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b). Справді, добуток чисел a та b дорівнює добутку всіх множників, що беруть участь у розкладах чисел a та b . У свою чергу НОД(a, b) дорівнює добутку всіх простих множників, що одночасно присутні в розкладаннях чисел a і b (про що написано в розділі знаходження НОД за допомогою розкладання чисел на прості множники).
Наведемо приклад. Нехай ми знаємо, що 75 = 3 · 5 · 5 і 210 = 2 · 3 · 5 · 7 . Складемо твір із усіх множників даних розкладів: 2·3·3·5·5·5·7 . Тепер з цього твору виключимо всі множники, присутні і в розкладанні числа 75 і в розкладанні числа 210 (такими множниками є 3 і 5), тоді добуток набуде вигляду 2·3·5·5·7 . Значення цього твору дорівнює найменшому загальному кратному чисел 75 і 210, тобто НОК (75, 210) = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 1050 .
Розклавши числа 441 та 700 на прості множники, знайдіть найменше загальне кратне цих чисел.
Розкладемо числа 441 і 700 на прості множники: 
Отримуємо 441 = 3 · 3 · 7 · 7 і 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7 .
Тепер складемо твір з усіх множників, що беруть участь у розкладаннях даних чисел: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7 . Виключимо з цього твору всі множники, одночасно присутні в обох розкладаннях (такий множник тільки один – це число 7): 2·2·3·3·5·5·7·7 . Таким чином, НОК(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .
НОК(441, 700) = 44100 .
Правило знаходження НОК з використанням розкладання чисел на прості множники можна сформулювати трохи інакше. Якщо до множників з розкладання числа a додати множники з розкладання числа b , то значення отриманого твору дорівнюватиме найменшому загальному кратному чисел a і b .
Наприклад візьмемо ті самі числа 75 і 210 , їх розкладання на прості множники такі: 75=3·5·5 і 210=2·3·5·7 . До множників 3 , 5 і 5 з розкладання числа 75 додаємо відсутні множники 2 і 7 з розкладання числа 210 , отримуємо добуток 2 · 3 · 5 · 5 · 7 , значення якого дорівнює НОК (75, 210) .
Знайдіть найменше загальне кратне чисел 84 та 648 .
Отримуємо спочатку розкладання чисел 84 та 648 на прості множники. Вони мають вигляд 84 = 2 · 2 · 3 · 7 і 648 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 . До множників 2, 2, 3 і 7 з розкладання числа 84 додаємо відсутні множники 2, 3, 3 і 3 з розкладання числа 648, отримуємо добуток 2·2·2·3·3·3·3·7, яке дорівнює 4 536 . Таким чином, шукане найменше загальне кратне чисел 84 і 648 дорівнює 4536 .
Знаходження НОК трьох та більшої кількості чисел
Найменше загальне кратне трьох і більшої кількості чисел можна знайти через послідовне знаходження НОК двох чисел. Нагадаємо відповідну теорему, що дає спосіб знаходження НОК трьох та більшої кількості чисел.
Нехай дані цілі позитивні числа a 1 , a 2 , …, a k , найменше загальне кратне m k цих чисел знаходиться при послідовному обчисленні m 2 =НОК(a 1 , a 2) , m 3 =НОК(m 2 , a 3) , … m k =НОК(m k−1 , a k) .
Розглянемо застосування цієї теореми з прикладу знаходження найменшого загального кратного чотирьох чисел.
Знайдіть НОК чотирьох чисел 140 , 9 , 54 та 250 .
Спочатку знаходимо m 2 = НОК (a 1, a 2) = НОК (140, 9) . Для цього за алгоритмом Евкліда визначаємо НОД(140, 9) , маємо 140=9·15+5 , 9=5·1+4 , 5=4·1+1 , 4=1·4 , отже, НОД(140, 9) = 1, звідки НОК (140, 9) = 140 · 9: НД (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1 260 . Тобто, m 2 = 1260 .
Тепер знаходимо m 3 = НОК (m 2 , a 3) = НОК (1 260, 54) . Обчислимо його через НОД (1260, 54), який також визначимо за алгоритмом Евкліда: 1260 = 54 · 23 +18, 54 = 18 · 3. Тоді НОД (1260, 54) = 18, звідки НОК (1260, 54) = 1260 · 54: НОД (1260, 54) = 1260 · 54:18 = 3780. Тобто, m3 = 3780 .
Залишилося знайти m 4 = НОК (m 3 , a 4) = НОК (3 780, 250) . Для цього знаходимо НОД (3780, 250) за алгоритмом Евкліда: 3780 = 250 · 15 +30, 250 = 30 · 8 +10, 30 = 10 · 3. Отже, НОД (3780, 250) = 10, звідки НОК (3780, 250) = 3780 · 250: НОД (3780, 250) = 3780 · 250: 10 = 94500 . Тобто, m 4 = 94500 .
Таким чином, найменше загальне кратне вихідних чотирьох чисел дорівнює 94500 .
НОК(140, 9, 54, 250) = 94500 .
У багатьох випадках найменше кратне трьох і більшої кількості чисел зручно знаходити з використанням розкладів даних чисел на прості множники. При цьому слід дотримуватись наступного правила. Найменше загальне кратне декількох чисел дорівнює добутку, яке складається так: до всіх множників з розкладання першого числа додаються множники, що відсутні, з розкладання другого числа, до отриманих множників додаються відсутні множники з розкладання третього числа і так далі .
Розглянемо приклад знаходження найменшого загального кратного з використанням розкладання чисел на прості множники.
Знайдіть найменше загальне кратне п'ять чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Спочатку отримуємо розкладання даних чисел на прості множники: 84=2·2·3·7 , 6=2·3 , 48=2·2·2·2·3 , 7 (7 – просте число, воно збігається зі своїм розкладанням на прості множники) і 143 = 11 · 13 .
Для знаходження НОК даних чисел до множників першого числа 84 (ними є 2 , 2 , 3 і 7) потрібно додати множники, що відсутні, з розкладання другого числа 6 . Розкладання числа 6 не містить множників, що відсутні, так як і 2 і 3 вже присутні в розкладанні першого числа 84 . Далі до множників 2 , 2 , 3 і 7 додаємо множники 2 і 2 з розкладання третього числа 48 , отримуємо набір множників 2 , 2 , 2 , 2 , 3 і 7 . До цього набору на наступному кроці не доведеться додавати множників, тому що 7 вже міститься в ньому. Нарешті, до множників 2, 2, 2, 2, 3 і 7 додаємо відсутні множники 11 і 13 з розкладання числа 143. Отримуємо добуток 2·2·2·2·3·7·11·13 , який дорівнює 48 048 .
Отже, НОК(84, 6, 48, 7, 143) = 48048 .
НОК(84, 6, 48, 7, 143) = 48048 .
Знаходження найменшого загального кратного негативних чисел
Іноді зустрічаються завдання, у яких потрібно знайти найменше загальне кратне чисел, серед яких одне, кілька чи всі числа є негативними. У цих випадках всі негативні числа слід замінити протилежними їм числами, після чого знаходити НОК позитивних чисел. У цьому полягає спосіб знаходження НОК негативних чисел. Наприклад, НОК(54, −34)=НОК(54, 34) , а НОК(−622, −46, −54, −888)= НОК(622, 46, 54, 888).
Ми можемо так чинити, тому що безліч кратних числа a збігаються з безліччю кратних числа −a (a та −a – протилежні числа). Справді, нехай b - якесь кратне числа a тоді b ділиться на a і поняття подільності стверджує існування такого цілого числа q, що b = a · q. Але буде справедливим і рівність b=(−a)·(−q) , яке з тієї ж поняття ділимості означає, що b ділиться на −a , тобто, є кратне числа −a . Справедливе і зворотне твердження: якщо b – якесь кратне числа a, то b є кратним і числа a .
Знайдіть найменше загальне кратне від'ємних чисел −145 та −45 .
Замінимо негативні числа −145 та −45 на протилежні їм числа 145 та 45 . Маємо НОК (-145, -45) = НОК (145, 45). Визначивши НОД(145, 45)=5 (наприклад, за алгоритмом Евкліда), обчислюємо НОК(145, 45)=145·45:НОД(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Таким чином, найменше загальне кратне негативних цілих чисел -145 і -45 дорівнює 1305 .
www.cleverstudents.ru
Продовжуємо вивчати поділ. У цьому уроці ми розглянемо такі поняття, як НІДі НОК.
НІД– це найбільший спільний дільник.
НОК- це найменша загальна кратність.
Тема досить нудна, але розібратись у ній потрібно обов'язково. Не розуміючи цієї теми, не вдасться ефективно працювати з дробами, які є справжньою перешкодою математики.
Найбільший спільний дільник
Визначення. Найбільшим спільним дільником чисел aі b aі bділяться без залишку.
Щоб добре зрозуміти це визначення, підставимо замість змінних aі bбудь-які два числа, наприклад, замість змінної aпідставимо число 12, а замість змінної bчисло 9. Тепер спробуємо прочитати це визначення:
Найбільшим спільним дільником чисел 12 і 9 називається найбільше число, на яке 12 і 9 діляться без залишку.
З визначення зрозуміло, що йдеться про загальний дільник чисел 12 і 9, причому цей дільник є найбільшим з усіх дільників. Цей найбільший спільний дільник (НДД) потрібно знайти.
Для знаходження найбільшого загального дільника двох чисел використовується три способи. Перший спосіб досить трудомісткий, але дозволяє добре зрозуміти суть теми і відчути весь її сенс.
Другий і третій способи задоволені прості і дають можливість швидко знайти НОД. Ми з вами розглянемо всі три способи. А який застосовувати на практиці – вибирати вам.
Перший спосіб полягає у пошуку всіх можливих дільників двох чисел та у виборі найбільшого з них. Розглянемо цей спосіб на наступному прикладі: знайти найбільший спільний дільник чисел 12 та 9.
Спочатку знайдемо всі можливі дільники числа 12. Для цього розділимо 12 на всі дільники в діапазоні від 1 до 12. Якщо дільник дозволить розділити 12 без залишку, то виділятимемо його синім кольором і в дужках робити відповідне пояснення.
12: 1 = 12
(12 розділилося на 1 без залишку, значить 1 є дільником числа 12)
12: 2 = 6
(12 розділилося на 2 без залишку, отже 2 є дільником числа 12)
12: 3 = 4
(12 розділилося на 3 без залишку, отже 3 є дільником числа 12)
12: 4 = 3
(12 розділилося на 4 без залишку, отже 4 є дільником числа 12)
12: 5 = 2 (2 у залишку)
(12 не поділилося на 5 без залишку, значить 5 не є дільником числа 12)
12: 6 = 2
(12 розділилося на 6 без залишку, отже 6 є дільником числа 12)
12: 7 = 1 (5 у залишку)
(12 не поділилося на 7 без залишку, значить 7 не є дільником числа 12)
12: 8 = 1 (4 у залишку)
(12 не поділилося на 8 без залишку, значить 8 не є дільником числа 12)
12: 9 = 1 (3 у залишку)
(12 не поділилося на 9 без залишку, значить 9 не є дільником числа 12)
12: 10 = 1 (2 у залишку)
(12 не поділилося на 10 без залишку, значить 10 не є дільником числа 12)
12: 11 = 1 (1 у залишку)
(12 не поділилося на 11 без залишку, значить 11 не є дільником числа 12)
12: 12 = 1
(12 розділилося на 12 без залишку, отже 12 є дільником числа 12)
Тепер знайдемо дільники числа 9. Для цього перевіримо всі дільники від 1 до 9
9: 1 = 9
(9 поділилося на 1 без залишку, значить 1 є дільником числа 9)
9: 2 = 4 (1 у залишку)
(9 не розділилося на 2 без залишку, значить 2 не є дільником числа 9)
9: 3 = 3
(9 розділилося на 3 без залишку, отже 3 є дільником числа 9)
9: 4 = 2 (1 у залишку)
(9 не розділилося на 4 без залишку, значить 4 не є дільником числа 9)
9: 5 = 1 (4 у залишку)
(9 не поділилося на 5 без залишку, значить 5 не є дільником числа 9)
9: 6 = 1 (3 у залишку)
(9 не розділилося на 6 без залишку, значить 6 не є дільником числа 9)
9: 7 = 1 (2 у залишку)
(9 не поділилося на 7 без залишку, значить 7 не є дільником числа 9)
9: 8 = 1 (1 у залишку)
(9 не поділилося на 8 без залишку, значить 8 не є дільником числа 9)
9: 9 = 1
(9 розділилося на 9 без залишку, отже 9 є дільником числа 9)
Тепер випишемо дільники обох чисел. Числа виділені синім кольором і є дільниками. Їх і випишемо:
Виписавши дільники, можна відразу визначити, який є найбільшим та загальним.
Згідно з визначенням, найбільшим загальним дільником чисел 12 і 9 є число, на яке 12 і 9 діляться без залишку. Найбільшим та загальним дільником чисел 12 та 9 є число 3
І число 12 і число 9 діляться на 3 без залишку:
Значить НОД (12 та 9) = 3
Другий спосіб знаходження НОД
Тепер розглянемо другий спосіб знаходження найбільшого спільного дільника. Суть даного способуполягає в тому, щоб розкласти обидва числа на прості множники та перемножити загальні з них.
Приклад 1. Знайти НОД чисел 24 та 18
Спочатку розкладемо обидва числа на прості множники:
Тепер перемножимо їх спільні множники. Щоб не заплутатися, спільні множники можна наголосити.
Дивимося на розкладання числа 24. Перший його множник це 2. Шукаємо такий самий множник у розкладанні числа 18 і бачимо, що він теж є. Підкреслюємо обидві двійки:
Знову дивимося на розкладання числа 24. Другий його множник теж 2. Шукаємо такий самий множник у розкладанні числа 18 і бачимо, що його вдруге вже немає. Тоді нічого не наголошуємо.
Наступна двійка у розкладанні числа 24 також відсутня у розкладанні числа 18.
Переходимо до останнього множника у розкладанні числа 24. Це множник 3. Шукаємо такий самий множник у розкладанні числа 18 і бачимо, що там він теж є. Підкреслюємо обидві трійки:
Отже, загальними множниками чисел 24 та 18 є множники 2 та 3. Щоб отримати НОД, ці множники необхідно перемножити:
Значить НОД (24 та 18) = 6
Третій спосіб знаходження НОД
Тепер розглянемо третій спосіб знаходження найбільшого спільного дільника. Суть даного способу полягає в тому, що числа, що підлягають пошуку найбільшого загального дільника, розкладають на прості множники. Потім розкладання першого числа викреслюють множники, які входять у розкладання другого числа. Що залишилися в першому розкладанні перемножують і отримують НОД.
Наприклад, знайдемо НОД для чисел 28 та 16 цим способом. Насамперед, розкладаємо ці числа на прості множники:
Отримали два розкладання: і
Тепер із розкладання першого числа викреслимо множники, які не входять до розкладання другого числа. У розкладання другого числа не входить сімка. Її і викреслимо з першого розкладання:
Тепер перемножуємо множники, що залишилися, і отримуємо НОД:
Число 4 є найбільшим загальним дільником чисел 28 та 16. Обидва ці числа діляться на 4 без залишку:
приклад 2.Знайти НОД чисел 100 та 40
Розкладаємо на множники число 100
Розкладаємо на множники число 40
Отримали два розкладання:
Тепер із розкладання першого числа викреслимо множники, які не входять до розкладання другого числа. До розкладання другого числа не входить одна п'ятірка (там лише одна п'ятірка). Її і викреслимо з першого розкладання
Перемножимо числа, що залишилися:
Отримали відповідь 20. Значить число 20 є найбільшим загальним дільником чисел 100 та 40. Ці два числа діляться на 20 без залишку:
НОД (100 та 40) = 20.
приклад 3.Знайти НОД чисел 72 та 128
Розкладаємо на множники число 72
Розкладаємо на множники число 128
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Тепер із розкладання першого числа викреслимо множники, які не входять до розкладання другого числа. До розкладання другого числа не входять дві трійки (там їх взагалі немає). Їх і викреслимо з першого розкладання:
Отримали відповідь 8. Значить число 8 є найбільшим спільним дільником чисел 72 та 128. Ці два числа діляться на 8 без залишку:
НОД (72 та 128) = 8
Знаходження НОД для кількох чисел
Найбільший спільний дільник можна шукати і для кількох чисел, а не лише двох. Для цього числа, які підлягають пошуку найбільшого загального дільника, розкладають на прості множники, потім знаходять добуток загальних простих множників цих чисел.
Наприклад, знайдемо НОД для чисел 18, 24 та 36
Розкладемо на множники число 18
Розкладемо на множники число 24
Розкладемо на множники число 36
Отримали три розкладання:
Тепер виділимо та підкреслимо загальні множники у цих числах. Загальні множники повинні входити у всі три числа:
Ми бачимо, що загальні множники для чисел 18, 24 і 36 це множники 2 і 3. Перемноживши ці множники, ми отримаємо НОД, який шукаємо:
Отримали відповідь 6. Значить, число 6 є найбільшим загальним дільником чисел 18, 24 і 36. Ці три числа діляться на 6 без залишку:
НОД (18, 24 та 36) = 6
приклад 2.Знайти НОД для чисел 12, 24, 36 та 42
Розкладемо на прості множники кожне число. Потім знайдемо добуток загальних множників цих чисел.
Розкладемо на множники число 12
Розкладемо на множники число 42
Отримали чотири розкладання:
Тепер виділимо та підкреслимо загальні множники у цих числах. Загальні множники повинні входити до всіх чотирьох числах:
Ми бачимо, що загальні множники для чисел 12, 24, 36 і 42 це множники 2 і 3. Перемноживши ці множники, ми отримаємо НОД, який шукаємо:
Отримали відповідь 6. Значить, число 6 є найбільшим загальним дільником чисел 12, 24, 36 і 42. Ці числа діляться на 6 без залишку:
НОД (12, 24, 36 і 42) = 6
З попереднього уроку ми знаємо, що якщо якесь число без залишку розділилося на інше, його називають кратним цього числа.
Виявляється, кратне може бути загальним у кількох чисел. І зараз нас цікавитиме кратне двох чисел, при цьому воно має бути максимально маленьким.
Визначення. Найменше загальне кратне (НОК) чисел aі b - aі b aі число b.
Визначення містить дві змінні aі b. Давайте підставимо замість цих змінних будь-які два числа. Наприклад, замість змінної aпідставимо число 9, а замість змінної bпідставимо число 12. Тепер спробуємо прочитати визначення:
Найменше загальне кратне (НОК) чисел 9 і 12 - це найменша кількість, яке кратне 9 і 12 . Іншими словами, це таке невелике число, яке ділиться без залишку на число 9 і на число 12 .
З визначення зрозуміло, що НОК це найменше число, яке ділиться без залишку на 9 і 12. Цей НОК потрібно знайти.
Для знаходження найменшого загального кратного (НОК) можна скористатися двома методами. Перший спосіб полягає в тому, що можна виписати перші кратні двох чисел, а потім вибрати серед цих кратних таке число, яке буде загальним для обох чисел та маленьким. Давайте застосуємо цей метод.
Насамперед, знайдемо перші кратні для числа 9. Щоб знайти кратні для 9, потрібно цю дев'ятку по черзі помножити на числа від 1 до 9. Отримані відповіді будуть кратними для числа 9. Отже, почнемо. Кратні виділятимемо червоним кольором:
Тепер знаходимо кратні для числа 12. Для цього по черзі множимо 12 на всі числа 1 до 12.
Щоб зрозуміти, як обчислювати НОК, слід визначитися насамперед із значенням терміна "кратне".
Кратним числу А називають таке натуральне число, яке без залишку ділиться на А. Так, кратними числами 5 можна вважати 15, 20, 25 і так далі.
Дільників конкретного числа може бути обмежена кількість, а ось кратних безліч.
Загальне кратне натуральних чисел – число, яке ділиться на них без залишку.
Як знайти найменше загальне кратне чисел
Найменше загальне кратне (НОК) чисел (двох, трьох або більше) - це найменше натуральне число, яке ділиться на всі ці числа націло.
Щоб знайти НОК, можна використати кілька способів.
Для невеликих чисел зручно виписати у рядок усі кратні цих чисел доти, доки серед них не знайдеться загального. Кратні позначають у записі великою літероюДо.
Наприклад, кратні числа 4 можна записати так:
До (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
До (6) = (12, 18, 24, ...)
Так, можна побачити, що найменшим загальним кратним чисел 4 і 6 є число 24. Цей запис виконують таким чином:
НОК (4, 6) = 24
Якщо числа великі, знайти загальне кратне трьох чи більше чисел, краще використовувати інший спосіб обчислення НОК.
Для виконання завдання необхідно розкласти пропоновані числа на прості множники.
Спочатку потрібно виписати в рядок розкладання найбільшого з чисел, а під ним - решту.
У розкладанні кожного числа може бути присутнім різна кількістьмножників.
Наприклад, розкладемо на прості множники числа 50 та 20.
У розкладанні меншого числа слід підкреслити множники, які відсутні в розкладанні першого найбільшого числа, а потім додати до нього. У наведеному прикладі не вистачає двійки.
Тепер можна вирахувати найменше загальне кратне 20 та 50.
НОК (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Так, добуток простих множників більшого числаі множників другого числа, які не увійшли до розкладання більшого, буде найменшим загальним кратним.
Щоб знайти НОК трьох чисел і більше, слід їх розкласти на прості множники, як і в попередньому випадку.
Як приклад можна знайти найменше загальне кратне чисел 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Так, у розкладання більшого числа на множники не увійшли лише дві двійки з розкладання шістнадцяти (одна є в розкладі двадцяти чотирьох).
Таким чином, їх потрібно додати до розкладання більшого числа.
НОК (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Існують окремі випадки визначення найменшого загального кратного. Так, якщо одне з чисел можна поділити без залишку на інше, то більше з цих чисел буде найменшим загальним кратним.
Наприклад, НОК дванадцяти та двадцяти чотирьох буде двадцять чотири.
Якщо необхідно знайти найменше загальне кратне взаємно простих чисел, які мають однакових дільників, їх НОК дорівнюватиме їх твору.
Наприклад, НОК (10, 11) = 110.
Завантаження...