Продовжимо розмову про найменше спільне кратне, яке ми розпочали у розділі «НОК – найменше загальне кратне, визначення, приклади». У цій темі ми розглянемо способи знаходження НОК для трьох чисел і більше, розберемо питання, як знайти НОК негативного числа.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Обчислення найменшого загального кратного (НОК) через НОД
Ми вже встановили зв'язок найменшого загального кратного із найбільшим спільним дільником. Тепер навчимося визначати НОК через НОД. Спочатку розберемося, як робити це для позитивних чисел.
Визначення 1
Знайти найменше загальне кратне через найбільший спільний дільник можна за формулою НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b).
Приклад 1
Необхідно знайти НОК чисел 126 та 70 .
Рішення
Приймемо a = 126, b = 70. Підставимо значення у формулу обчислення найменшого загального кратного через найбільший спільний дільник НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b).
Знайде НОД чисел 70 та 126 . Для цього нам знадобиться алгоритм Евкліда: 126 = 70 · 1 + 56 , 70 = 56 · 1 + 14 , 56 = 14 · 4 , отже, НОД (126 , 70) = 14 .
Обчислимо НОК: НОК (126, 70) = 126 · 70: НОД (126, 70) = 126 · 70: 14 = 630.
Відповідь:НОК (126, 70) = 630 .
Приклад 2
Знайдіть число 68 і 34 .
Рішення
НІД в даному випадкуйти неважко, тому що 68 ділиться на 34 . Обчислимо найменше загальне кратне за формулою: НОК (68, 34) = 68 · 34: НОД (68, 34) = 68 · 34: 34 = 68.
Відповідь:НОК (68, 34) = 68.
У цьому прикладі ми використовували правило знаходження найменшого загального кратного для цілих позитивних чисел a і b: якщо перше число ділиться на друге, що НОК цих чисел дорівнюватиме першому числу.
Знаходження НОК за допомогою розкладання чисел на прості множники
Тепер давайте розглянемо спосіб знаходження НОК, який ґрунтується на розкладанні чисел на прості множники.
Визначення 2
Для знаходження найменшого загального кратного нам знадобиться виконати низку нескладних дій:
- складаємо добуток всіх простих множників чисел, для яких нам потрібно знайти НОК;
- виключаємо їх отриманих творів усі прості множники;
- отриманий після виключення загальних простих множників твір дорівнює НОК даних чисел.
Цей спосіб знаходження найменшого загального кратного заснований на рівні НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b). Якщо подивитися на формулу, то стане зрозуміло: добуток чисел a і b дорівнює добутку всіх множників, які беруть участь у розкладанні цих двох чисел. При цьому НОД двох чисел дорівнює добутку всіх простих множників, які одночасно присутні у розкладах на множники цих двох чисел.
Приклад 3
У нас є два числа 75 та 210 . Ми можемо розкласти їх на множники так: 75 = 3 · 5 · 5і 210 = 2 · 3 · 5 · 7. Якщо скласти добуток усіх множників двох вихідних чисел, то вийде: 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 7.
Якщо виключити загальні для обох чисел множники 3 і 5 ми отримаємо твір наступного виду: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 1050. Цей твір буде нашим НОК для чисел 75 і 210 .
Приклад 4
Знайдіть НОК чисел 441 і 700 , розклавши обидва числа на прості множники
Рішення
Знайдемо всі прості множники чисел, даних за умови:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Отримуємо два ланцюжки чисел: 441 = 3 · 3 · 7 · 7 і 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7 .
Добуток усіх множників, які брали участь у розкладанні даних чисел, матиме вигляд: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7. Знайдемо спільні множники. Це число 7. Виключимо його із загального твору: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7. Виходить, що НОК (441, 700) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 = 44 100.
Відповідь:НОК (441, 700) = 44100.
Дамо ще одне формулювання методу знаходження НОК шляхом розкладання чисел на прості множники.
Визначення 3
Раніше ми виключали з усієї кількості множників загальні для обох чисел. Тепер ми зробимо інакше:
- розкладемо обидва числа на прості множники:
- додамо до твору простих множників першого числа відсутні множники другого числа;
- отримаємо твір, який і буде шуканий НОК двох чисел.
Приклад 5
Повернемося до числа 75 і 210 , для яких ми вже шукали НОК в одному з попередніх прикладів. Розкладемо їх на прості множники: 75 = 3 · 5 · 5і 210 = 2 · 3 · 5 · 7. До твору множників 3 , 5 5 числа 75 додамо відсутні множники 2 і 7 числа 210 . Отримуємо: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .Це і є НОК чисел 75 та 210 .
Приклад 6
Необхідно обчислити НОК чисел 84 та 648 .
Рішення
Розкладемо числа із умови на прості множники: 84 = 2 · 2 · 3 · 7і 648 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3. Додамо до твору множників 2 , 2 , 3 7
числа 84 множники 2 , 3 , 3
3
числа 648 . Отримуємо твір 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 7 = 4536 .Це і є найменше загальне кратне чисел 84 і 648.
Відповідь:НОК (84, 648) = 4536 .
Знаходження НОК трьох та більшої кількості чисел
Незалежно від того, з якою кількістю чисел ми маємо справу, алгоритм наших дій завжди буде однаковим: ми будемо послідовно знаходити НОК двох чисел. На цей випадок є теорема.
Теорема 1
Припустимо, що ми маємо цілі числа a 1 , a 2 , … , a k. НОК m kцих чисел перебуває при послідовному обчисленні m 2 = НОК (a 1 , a 2) , m 3 = НОК (m 2 , a 3) , … , m k = НОК (m k − 1 , a k) .
Тепер розглянемо, як можна застосовувати теорему на вирішення конкретних завдань.
Приклад 7
Необхідно обчислити найменше загальне кратне чотирьох чисел 140, 9, 54 та 250 .
Рішення
Введемо позначення: a 1 = 140 , a 2 = 9 , a 3 = 54 , a 4 = 250 .
Почнемо з того, що обчислимо m 2 = НОК (a 1, a 2) = НОК (140, 9). Застосуємо алгоритм Евкліда для обчислення НОД чисел 140 і 9: 140 = 9 · 15 + 5, 9 = 5 · 1 + 4, 5 = 4 · 1 + 1, 4 = 1 · 4. Отримуємо: НОД (140, 9) = 1, НОК (140, 9) = 140 · 9: НОД (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1260. Отже, m 2 = 1260 .
Тепер обчислимо тому алгоритму m 3 = НОК (m 2 , a 3) = НОК (1 260 , 54) . У результаті обчислень отримуємо m 3 = 3 780 .
Нам залишилося обчислити m4 = НОК (m3, a4) = НОК (3780, 250). Діємо за тим самим алгоритмом. Отримуємо m 4 = 94500 .
НОК чотирьох чисел з умови прикладу дорівнює 94500.
Відповідь:НОК (140, 9, 54, 250) = 94500.
Як бачите, обчислення виходять нескладними, але досить трудомісткими. Щоб заощадити час, можна йти іншим шляхом.
Визначення 4
Пропонуємо вам наступний алгоритм дій:
- розкладаємо усі числа на прості множники;
- до твору множників першого числа додаємо множники, що відсутні, з твору другого числа;
- до отриманого на попередньому етапі твору додаємо відсутні множники третього числа і т.д.;
- отриманий твір буде найменшим загальним кратним усіх чисел із умови.
Приклад 8
Необхідно знайти НОК п'яти чисел 84, 6, 48, 7, 143.
Рішення
Розкладемо всі п'ять чисел на прості множники: 84 = 2 · 2 · 3 · 7, 6 = 2 · 3, 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3, 7, 143 = 11 · 13 . Прості числа, яким є число 7 на прості множники не розкладаються. Такі числа збігаються зі своїми розкладанням на прості множники.
Тепер візьмемо добуток простих множників 2 , 2 , 3 і 7 числа 84 і додамо до них множники другого числа. Ми розклали число 6 на 2 та 3 . Ці множники вже є у творі першого числа. Отже, їх опускаємо.
Продовжуємо додавати відсутні множники. Переходимо до 48 , з добутку простих множників якого беремо 2 і 2 . Потім додаємо простий множник 7 від четвертого числа та множники 11 і 13 п'ятого. Отримуємо: 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13 = 48048 . Це і є найменша загальна кратність п'яти вихідних чисел.
Відповідь:НОК (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.
Знаходження найменшого загального кратного негативних чисел
Для того, щоб знайти найменше загальне кратне негативних чисел, ці числа необхідно спочатку замінити на числа з протилежним знаком, а потім провести обчислення за наведеними вище алгоритмами.
Приклад 9
НОК (54, -34) = НОК (54, 34), а НОК (-622, -46, -54, -888) = НОК (622, 46, 54, 888).
Такі дії допустимі у зв'язку з тим, що якщо прийняти, що aі − a- Протилежні числа,
то безліч кратних числа aзбігається з безліччю кратних числа − a.
Приклад 10
Необхідно вирахувати НОК негативних чисел − 145 і − 45 .
Рішення
Зробимо заміну чисел − 145 і − 45 на протилежні їм числа 145 і 45 . Тепер за алгоритмом обчислимо НОК (145, 45) = 145 · 45: НОД (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1305, попередньо визначивши НОД за алгоритмом Евкліда.
Отримаємо, що НОК чисел – 145 і − 45 одно 1 305 .
Відповідь:НОК (− 145 , − 45) = 1 305 .
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Найбільший спільний дільник та найменше спільне кратне – ключові арифметичні поняття, які дозволяють без зусиль оперувати звичайними дробами. НОК і найчастіше використовуються для пошуку загального знаменника кількох дробів.
Основні поняття
Дільник цілого числа X - це інше ціле число Y, яке X поділяється без залишку. Наприклад, дільник 4 - це 2, а 36 - 4, 6, 9. Кратне ціле X - це число Y, яке ділиться на X без залишку. Наприклад, 3 кратно 15, а 6 - 12.
Для будь-якої пари чисел ми можемо знайти їхні спільні дільники та кратні. Наприклад, для 6 і 9 загальним кратним є 18, а загальним дільником - 3. Очевидно, що дільників і кратних пар може бути кілька, тому при розрахунках використовується найбільший дільник НОД і найменше кратне НОК.
Найменший дільник немає сенсу, оскільки будь-якого числа це завжди одиниця. Найбільше кратне також безглуздо, оскільки послідовність кратних спрямовується у нескінченність.
Знаходження НІД
Для пошуку найбільшого загального дільника існує безліч методів, найвідоміші з яких:
- послідовний перебір дільників, вибір спільних для пари та пошук найбільшого з них;
- розкладання чисел на неподільні множники;
- алгоритм Евкліда;
- бінарний алгоритм.
Сьогодні в навчальних закладахНайбільш популярними є методи розкладання на прості множники та алгоритм Евкліда. Останній у свою чергу використовується при вирішенні діофантових рівнянь: пошук НОД потрібний для перевірки рівняння на можливість розв'язання у цілих числах.
Знаходження НОК
Найменше загальне кратне також визначається послідовним перебором або розкладанням на неподільні множники. Крім того, легко знайти НОК, якщо вже визначено найбільшого дільника. Для чисел X та Y НОК та НОД пов'язані наступним співвідношенням:
НОК (X, Y) = X × Y / НОД (X, Y).
Наприклад, якщо НОД(15,18) = 3, то НОК(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Найбільш очевидний приклад використання НОК - пошук загального знаменника, який і є найменшим загальним кратним для заданих дробів.
Взаємно прості числа
Якщо у пари чисел немає спільних дільників, то така пара називається взаємно простою. НОД для таких пар завжди дорівнює одиниці, а виходячи із зв'язку дільників і кратних, НОК для взаємно простих дорівнює їхньому твору. Наприклад, числа 25 і 28 взаємно прості, адже вони немає спільних дільників, а НОК(25, 28) = 700, що їх твору. Два будь-які неподільні числа завжди будуть взаємно простими.
Калькулятор загального дільника та кратного
За допомогою нашого калькулятора ви можете визначити НОД і НОК для довільної кількості чисел на вибір. Завдання на обчислення спільних дільників та кратних зустрічаються в арифметиці 5, 6 класу, проте НОД та НОК – ключові поняття математики та використовуються в теорії чисел, планіметрії та комунікативній алгебрі.
Приклади із реального життя
Загальний знаменник дробів
Найменше загальне кратне використовується під час пошуку загального знаменника кількох дробів. Нехай в арифметичному завданні потрібно сумувати 5 дробів:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Для складання дробів вираз необхідно призвести до спільному знаменнику, що зводиться до завдання перебування НОК Для цього виберіть у калькуляторі 5 чисел та введіть значення знаменників у відповідні комірки. Програма вирахує НОК (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Тепер необхідно обчислити додаткові множники для кожного дробу, які визначаються як співвідношення НОК до знаменника. Таким чином, додаткові множники будуть виглядати як:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Після цього множимо всі дроби на відповідний додатковий множник та отримуємо:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Такі дроби ми можемо легко підсумувати та отримати результат у вигляді 159/360. Скорочуємо дріб на 3 і бачимо остаточну відповідь – 53/120.
Вирішення лінійних діофантових рівнянь
Лінійні діофантові рівняння – це вирази виду ax + by = d. Якщо відношення d / НОД (a, b) є ціле число, то рівняння можна розв'язати в цілих числах. Давайте перевіримо пару рівнянь на можливість цілого рішення. Спочатку перевіримо рівняння 150x + 8y = 37. За допомогою калькулятора знаходимо НОД (150,8) = 2. Ділимо 37/2 = 18,5. Число не ціле, отже, рівняння не має цілісних коренів.
Перевіримо рівняння 1320x + 1760y = 10120. Використовуємо калькулятор для знаходження НОД(1320, 1760) = 440. Розділимо 10120/440 = 23. У результаті одержуємо ціле число, отже, діофантове рівняння.
Висновок
НОД і НОК відіграють велику роль у теорії чисел, а самі поняття широко використовуються в різних областях математики. Використовуйте наш калькулятор для розрахунку найбільших дільників та найменших кратних будь-якої кількості чисел.
Розглянемо три способи знаходження найменшого загального кратного.
Знаходження шляхом розкладання на множники
Перший спосіб полягає у знаходженні найменшого загального кратного шляхом розкладання даних чисел на прості множники.
Допустимо, нам потрібно знайти НОК чисел: 99, 30 і 28. Для цього розкладемо кожне з цих чисел на прості множники:
Щоб число ділилося на 99, на 30 і на 28, необхідно і достатньо, щоб до нього входили всі прості множники цих дільників. Для цього нам необхідно взяти всі прості множники цих чисел найбільшою мірою, що зустрічається, і перемножити їх між собою:
2 2 · 3 2 · 5 · 7 · 11 = 13 860
Таким чином, НОК (99, 30, 28) = 13860. Ніяке інше число менше 13860 не ділиться націло на 99, на 30 і на 28.
Щоб знайти найменшу загальну кратність даних чисел, потрібно розкласти їх на прості множники, потім взяти кожен простий множник з найбільшим показником ступеня, з яким він зустрічається, і перемножити ці множники між собою.
Бо взаємно прості числанемає загальних простих множників, їх найменше загальне кратне і добутку цих чисел. Наприклад, три числа: 20, 49 та 33 – взаємно прості. Тому
НОК (20, 49, 33) = 20 · 49 · 33 = 32340.
Так само треба чинити, коли знаходиться найменше загальне кратне різних простих чисел. Наприклад, НОК (3, 7, 11) = 3 · 7 · 11 = 231.
Знаходження шляхом підбору
Другий спосіб полягає у знаходженні найменшого загального кратного шляхом підбору.
Приклад 1. Коли найбільше з цих чисел ділиться націло інші дані числа, то НОК цих чисел дорівнює більшому їх. Наприклад, дано чотири числа: 60, 30, 10 та 6. Кожне з них ділиться націло на 60, отже:
НОК (60, 30, 10, 6) = 60
В інших випадках, щоб знайти найменше загальне кратне, використовується наступний порядок дій:
- Визначаємо найбільше з даних чисел.
- Далі знаходимо числа, кратні найбільшому числу, множачи його за натуральні числа порядку їх зростання і перевіряючи чи діляться на отриманий твір інші дані числа.
Приклад 2. Дано три числа 24, 3 та 18. Визначаємо найбільше з них - це число 24. Далі знаходимо числа кратні 24, перевіряючи чи ділиться кожне з них на 18 та на 3:
24 · 1 = 24 – ділиться на 3, але не ділиться на 18.
24 · 2 = 48 – ділиться на 3, але не ділиться на 18.
24 · 3 = 72 - ділиться на 3 та на 18.
Отже, НОК (24, 3, 18) = 72.
Знаходження шляхом послідовного знаходження НОК
Третій спосіб полягає у знаходженні найменшого загального кратного шляхом послідовного знаходження НОК.
НОК двох даних чисел дорівнює добутку цих чисел, поділеного з їхньої загальний дільник.
Приклад 1. Знайдемо НОК двох даних чисел: 12 та 8. Визначаємо їх найбільший спільний дільник: НОД (12, 8) = 4. Перемножуємо дані числа:
Ділимо твір на їхній НОД:
Отже, НОК (12, 8) = 24.
Щоб знайти НОК трьох чи більше чисел використовується наступний порядок дій:
- Спочатку знаходять НОК якихось двох з цих чисел.
- Потім НОК знайденого найменшого загального кратного і третього даного числа.
- Потім, НОК отриманого найменшого загального кратного та четвертого числа тощо.
- Таким чином, пошук НОК триває до тих пір, поки є числа.
Приклад 2. Знайдемо НОК трьох даних чисел: 12, 8 та 9. НОК чисел 12 та 8 ми вже знайшли у попередньому прикладі (це число 24). Залишилося знайти найменше загальне кратне числа 24 та третього даного числа - 9. Визначаємо їх найбільший спільний дільник: НОД (24, 9) = 3. Перемножуємо НОК з числом 9:
Ділимо твір на їхній НОД:
Отже, НОК (12, 8, 9) = 72.
Школярам задають чимало завдань з математики. Серед них дуже часто зустрічаються завдання з таким формулюванням: є два значення. Як знайти найменше загальне кратне для заданих чисел? Необхідно вміти виконувати такі завдання, оскільки отримані навички застосовують для роботи з дробами при різних знаменниках. У статті розберемо, як знайти НОК та основні поняття.
Перш ніж знайти відповідь на питання, як знаходити НОК, потрібно визначитися з терміном кратне. Найчастіше формулювання цього поняття звучить так: кратним деякому значенню А називають таке натуральне число, яке без залишку буде ділитися на А. Так, для 4 кратними будуть 8, 12, 16, 20 і так далі, до необхідної межі.
При цьому кількість дільників для конкретного значення може бути обмеженою, а кратних нескінченно багато. Також є така сама величина для натуральних значень. Це такий показник, який ділиться на них без залишку. Розібравшись із поняттям найменшого значення для певних показників, перейдемо до того, як його знаходити.
Знаходимо НОК
Найменше кратне двох або більше показників є найменшим натуральним числом, яке повністю поділяється на всі зазначені числа.
Існує кілька способів знайти таке значення, Розглянемо такі способи:
- Якщо числа невеликі, то випишіть у рядок всі, що діляться на нього. Продовжуйте це робити, доки знайдеться серед них спільне. У запису їх позначають літерою К. Наприклад, для 4 і 3 найменшим кратним є 12.
- Якщо це великі або потрібно знайти кратне для 3 і більше значень, тут слід скористатися іншою методикою, що передбачає розкладання чисел на прості множники. Спочатку розкладаєте найбільше із зазначених, потім усі інші. Кожна з них має свою кількість множників. Як приклад розкладемо 20 (2*2*5) та 50 (5*5*2). У меншого з них підкресліть множники та додайте до найбільшого. В результаті вийде 100, яке буде найменшим загальним кратним для вищеописаних чисел.
- При знаходженні 3 чисел (16, 24 та 36) принципи такі самі, як і для двох інших. Розкладемо кожне з них: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Не увійшли до розкладання найбільшого лише дві двійки з розкладання числа 16. Додаємо їх і отримуємо 144, яке є найменшим результатом для зазначених раніше чисельних значень.
Тепер ми знаємо, якою є загальна методика знаходження найменшого значення для двох, трьох і більше значень. Проте є й приватні методи, які допомагають шукати НОК, якщо попередні не допомагають.
Як знаходити НОД та НОК.
Приватні засоби знаходження
Як і для будь-якого математичного розділу, є окремі випадки знаходження НОК, які допомагають у специфічних ситуаціях:
- якщо одне з чисел ділиться на інші без залишку, то найнижче кратне цих чисел дорівнює йому (НОК 60 і 15 і 15);
- взаємно прості числа немає спільних простих дільників. Їх найменше значення дорівнює твору цих чисел. Таким чином, для чисел 7 та 8 таким буде 56;
- це правило працює й інших випадків, включаючи спеціальні, про які можна прочитати в спеціалізованій літературі. Сюди слід віднести і випадки розкладання складових чисел, які є темою окремих статей і навіть кандидатських дисертацій.
Окремі випадки трапляються рідше, ніж стандартні приклади. Але завдяки їм можна навчитися працювати з дробами різного ступеня складності. Особливо це актуально для дробів, де є різні знаменники.
Небагато прикладів
Розберемо кілька прикладів, завдяки яким можна зрозуміти принцип знаходження найменшого кратного:
- Знаходимо НОК (35; 40). Розкладаємо спочатку 35 = 5 * 7, потім 40 = 5 * 8. Додаємо до найменшої цифри 8 і отримуємо НОК 280.
- НОК (45; 54). Розкладаємо кожне з них: 45 = 3 * 3 * 5 і 54 = 3 * 3 * 6. Додаємо до 45 цифру 6. Отримуємо НОК, що дорівнює 270.
- Та й останній приклад. Є 5 і 4. Простих кратних їм немає, тому найменше загальне кратне у разі буде їх твір, рівне 20.
Завдяки прикладам можна зрозуміти, як є НОК, які є нюанси і в чому полягає сенс таких маніпуляцій.
Знаходить НОК набагато простіше, ніж може здатися спочатку. Для цього застосовується як просте розкладання, так і множення простих значеньодин на одного. Уміння працювати з цим розділом математики допомагає при подальшому вивченні математичних тем, особливо дробів різного ступеня складності.
Не забувайте періодично вирішувати приклади різними методамиЦе розвиває логічний апарат і дозволяє запам'ятати численні терміни. Вивчайте методи знаходження такого показника, і ви зможете добре працювати з іншими математичними розділами. Вдалого вивчення математики!
Відео
Це відео допоможе вам зрозуміти та запам'ятати, як знаходити найменше загальне кратне.
Найбільший спільний дільник
Визначення 2
Якщо натуральне число a ділиться на натуральне число $b$, $b$ називають дільником числа $a$, а число $a$ називають кратним числа $b$.
Нехай $a$ та $b$-натуральні числа. Число $c$ називають спільним дільником і для $a$ і $b$.
Безліч спільних дільників чисел $a$ і $b$ звичайно, тому що жоден з цих дільників не може бути більшим, ніж $a$. Отже, серед цих дільників є найбільший, який називають найбільшим загальним дільником чисел $a$ і $b$ і для його позначення використовують записи:
$НОД \(a;b)\ або \D\(a;b)$
Щоб знайти найбільший спільний дільник двох, чисел необхідно:
- Знайти добуток чисел, знайдених на кроці 2. Отримане число буде шуканим найбільшим спільним дільником.
Приклад 1
Знайти НОД чисел $121$ і $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Вибрати числа, що входять до розкладання цих чисел
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Знайти добуток чисел, знайдених на кроці 2. Отримане число буде шуканим найбільшим спільним дільником.
$НОД=2\cdot 11=22$
Приклад 2
Знайти НОД одночленів $63$ та $81$.
Будемо знаходити згідно з представленим алгоритмом. Для цього:
Розкладемо числа на прості множники
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Вибираємо числа, що входять до розкладання цих чисел
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Знайдемо добуток чисел, знайдених на кроці 2. Отримане число і буде шуканим найбільшим спільним дільником.
$НОД=3\cdot 3=9$
Знайти НОД двох чисел можна і по-іншому, використовуючи безліч дільників чисел.
Приклад 3
Знайти НОД чисел $48$ та $60$.
Рішення:
Знайдемо безліч дільників числа $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Тепер знайдемо безліч дільників числа $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Знайдемо перетин цих множин: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$- дане безліч буде визначати безліч спільних дільників чисел $48$ і $60$. Найбільший елемент у даній множині буде число $12$. Значить, найбільший загальний дільник чисел $48$ і $60$ буде $12$.
Визначення НОК
Визначення 3
Загальним кратним натуральних чисел $a$ і $b$ називається натуральне число, яке кратне $a$ і $b$.
Загальними кратними чисел називаються числа, які діляться на вихідні без залишку.
Найменше із загальних кратних буде називатися найменшим загальним кратним і позначається НОК$(a;b)$ або K$(a;b).$
Щоб знайти НОК двох чисел, необхідно:
- Розкласти числа на прості множники
- Виписати множники, що входять до складу першого числа та додати до них множники, які входять до складу другого та не ходять до складу першого
Приклад 4
Знайти НОК чисел $99$ та $77$.
Будемо знаходити згідно з представленим алгоритмом. Для цього
Розкласти числа на прості множники
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Виписати множники, що входять до складу першого
додати до них множники, які входять до складу другого та не ходять до складу першого
Знайти добуток чисел, знайдених на кроці 2. Отримане число і буде шуканим найменшим загальним кратним
$НОК=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Упорядкування списків дільників чисел часто дуже трудомістке заняття. Існує спосіб знаходження НОД, званий алгоритмом Евкліда.
Твердження, на яких заснований алгоритм Евкліда:
Якщо $a$ і $b$ --натуральні числа, причому $a\vdots b$, то $D(a;b)=b$
Якщо $a$ і $b$ --натуральні числа, такі що $b
Користуючись $D(a;b)= D(a-b;b)$, можна послідовно зменшувати ці цифри до тих пір, поки не дійдемо до такої пари чисел, що одне з них ділиться на інше. Тоді найменше з цих чисел і буде шуканим найбільшим спільним дільником для чисел $a$ та $b$.
Властивості НОД та НОК
- Будь-яке загальне кратне чисел $a$ і $b$ ділиться на K$(a;b)$
- Якщо $a\vdots b$, то К$(a;b)=a$
Якщо К$(a;b)=k$ і $m$-натуральне число, то К$(am;bm)=km$
Якщо $d$-спільний дільник для $a$ і $b$, то К($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) $
Якщо $a\vdots c$ і $b\vdots c$ , то $\frac(ab)(c)$ - загальне кратне чисел $a$ та $b$
Для будь-яких натуральних чисел $a$ та $b$ виконується рівність
$D(a;b)\cdot До(a;b)=ab$
Будь-який спільний дільник чисел $a$ і $b$ є дільником числа $D(a;b)$
Завантаження...