Урок та презентація на тему: "Властивості кореня n-ого ступеня. Теореми"
Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.
Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 11 класу
Інтерактивний посібник для 9–11 класів "Тригонометрія"
Інтерактивний посібник для 10–11 класів "Логарифми"
Властивості кореня n-ого ступеня. Теореми
Діти, ми продовжуємо вивчати коріння n-ого ступеня з дійсного числа. Як практично всі математичні об'єкти, коріння n-ого ступеня мають деякі властивості, сьогодні ми їх вивчатимемо.Усі властивості, які ми розглянемо, формулюються і доводяться лише для невід'ємних значень змінних, які під знаком кореня.
У разі непарного показника кореня вони виконуються і негативних змінних.
Теорема 1. Корінь n-ого ступеня з добутку двох невід'ємних чисел дорівнює добутку коріння n-ого ступеня цих чисел: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\sqrt[n]( b) $.
Давайте доведемо теорему.
Доказ. Діти, для доказу теореми давайте введемо нові змінні, позначимо:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Нам слід довести, що $x=y*z$.
Зауважимо, що виконуються такі тотожності:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Тоді виконується і така тотожність: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Ступені двох невід'ємних чисел та його показники рівні, тоді й самі підстави ступенів рівні. Значить $x=y*z$, що потрібно довести.
Теорема 2. Якщо $а≥0$, $b>0$ і n – натуральне число, яке більше 1, тоді виконується така рівність: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt[ n](a))(\sqrt[n](b))$.
Тобто корінь n-ого ступеня частки дорівнює приватному коріння n-ого ступеня.
Доказ.
Для доказу скористаємося спрощеною схемою у вигляді таблиці:
Приклади обчислення кореня n-ого ступеня
приклад.Обчислити: $ \ sqrt (16 * 81 * 256) $.
Рішення. Скористаємося теоремою 1: $ \ sqrt (16 * 81 * 256) = \ sqrt (16) * \ sqrt (81) * \ sqrt (256) = 2 * 3 * 4 = 24 $.
приклад.
Обчислити: $ \ sqrt (7 \ frac (19) (32)) $.
Рішення. Представимо підкорене вираз у вигляді неправильного дробу: $ 7 frac (19) (32) = frac (7 * 32 +19) (32) = frac (243) (32) $.
Скористаємося теоремою 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1) (2) $.
приклад.
Обчислити:
а) $ \ sqrt (24) * \ sqrt (54) $.
б) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Рішення:
а) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt (81) = 2 * 3 = 6 $.
б) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.
Теорема 3. Якщо $a≥0$, k і n – натуральні числа більше 1, то справедлива рівність: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.
Щоб звести корінь у натуральний ступінь, достатньо звести у цей ступінь підкорене вираз.
Доказ.
Давайте розглянемо окремий випадок для $k=3$. Скористаємося теоремою 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
Також можна довести і для будь-якого іншого випадку. Діти, доведіть самі для випадку, коли $k=4$ і $k=6$.
Теорема 4. Якщо $a≥0$ b n,k – натуральні числа великі 1, то справедлива рівність: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.
Щоб витягти корінь з кореня, достатньо перемножити показники коріння.
Доказ.
Доведемо знову коротко, використовуючи таблицю. Для доказу скористаємося спрощеною схемою у вигляді таблиці: 
приклад.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
Теорема 5. Якщо показники кореня та підкореного виразу помножити на одне й те саме натуральне число, то значення кореня не зміниться: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a)$.
Доказ.
Принцип доказу нашої теореми такий самий, як і в інших прикладах. Введемо нові змінні:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (за визначенням).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (за визначенням).
Остання рівність зведемо в ступінь p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
Отримали:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Тобто $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, що потрібно було довести.
Приклади:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (розділили показники на 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (розділили показники на 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (помножили показники на 3).
приклад.
Виконати дії: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Рішення.
Показники коренів - це різні числа, тому ми можемо скористатися теоремою 1, але застосувавши теорему 5, ми можемо отримати рівні показники.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (помножили показники на 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (помножили показники на 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.
Завдання для самостійного вирішення
1. Обчислити: $ \ sqrt (32 * 243 * 1024) $.2. Обчислити: $ \ sqrt (7 \ frac (58) (81)) $.
3. Обчислити:
а) $ \ sqrt (81) * \ sqrt (72) $.
б) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Спростити:
а) $\sqrt(\sqrt(a))$.
б) $\sqrt(\sqrt(a))$.
в) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Виконати дії: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.
Щоб успішно використовувати практично операцію вилучення кореня, потрібно познайомитися з властивостями цієї операції.
Усі властивості формулюються і доводяться лише для невід'ємних значень змінних, які під знаками коренів.
Теорема 1. Корінь n-го ступеня (n=2, 3, 4,...) з добутку двох невід'ємних чіпсел дорівнює добутку коріння n-го ступеня з цих чисел:
Зауваження:
1.
Теорема 1 залишається справедливою і для випадку, коли підкорене вираз є твір більш ніж двох невід'ємних чисел.
Теорема 2.Якщо,
і n - натуральне число, більше 1, то справедлива рівність
Коротка(хоча і неточне) формулювання, яке зручніше використовувати на практиці: корінь із дробу дорівнює дробу від коріння.
Теорема 1 дозволяє нам перемножувати т тільки коріння однакового ступеня
, тобто. лише коріння з однаковим показником.
Теорема 3.Якщо ,k - натуральне число і n - натуральне число, більше 1, то справедлива рівність
Іншими словами, щоб звести корінь у натуральний ступінь, достатньо звести в цей ступінь підкорене вираз.
Це - наслідок теореми 1. Справді, наприклад, для к = 3 отримуємо: Так само можна міркувати у разі будь-якого іншого натурального значення показника до.
Теорема 4.Якщо ,k, n - натуральні числа, більші за 1, то справедлива рівність
Іншими словами, щоб витягти корінь, досить перемножити показники коренів.
Наприклад,
Будьте уважні!Ми дізналися, що над корінням можна здійснювати чотири операції: множення, розподіл, зведення у ступінь та вилучення кореня (з кореня). А як же справа зі складанням і відніманням коріння? Ніяк.
Наприклад, замість не можна написати Справді, Але ж очевидно, що
Теорема 5. Якщо показники кореня і підкореного виразу помножити або розділити на те саме натуральне число, то значення кореня не зміниться, тобто.
Приклади вирішення завдань
приклад 1.Обчислити
Рішення.Скориставшись першою властивістю коріння (теорема 1), отримаємо:
приклад 2.Обчислити
Рішення.Обернемо змішане число в неправильний дріб.
Маємо Скориставшись другою властивістю коріння ( теорема 2
), отримаємо:
Приклад 3.Обчислити: 
Рішення.Будь-яка формула в алгебрі, як вам добре відомо, використовується не лише «зліва направо», а й «справа наліво». Так, перше властивість коренів означає, що можна у вигляді і, навпаки, можна замінити виразом . Те саме відноситься і до другої якості коренів. Враховуючи це, виконаємо обчислення.
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації будь-коли, коли ви зв'язуєтеся з нами.
Нижче наведено деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної пошти тощо.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників, і суворо стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.
ТЕМА: Ступінна функція. Корінь n-го ступеня
МЕТА:
Повторення пройденого матеріалу під час гри, усвідомлене засвоєння цих тем.
Виховання відповідальності, уваги, тренування пам'яті.
Розвиток кмітливості, винахідливості. Сприяти розвитку пізнавального інтересу до математики.
ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ МОМЕНТ
Продзвенів дзвоник. Діти розсілися по своїх місцях. Вчитель ставить запитання учням, які відповідають питання, піднімаючи руки:
Скажіть, будь ласка, що ми вивчали на останніх кількох уроках? ( тему цього уроку діти називають самі)
А як ви думаєте, якою є мета нашого сьогоднішнього уроку? ( Ціль уроку діти намагаються сформулювати самі, вчитель лише коригує її)
Ласкаво просимо до країни «Математику »! У країну логарифмів, простих обчислень, коренів, зведень та рівнянь! У подорож країною «Математики » відправляються 2 команди: «КОРІНЬ», «СТУПЕНЬ», подорож проходитиме під девізом (записаний на дошці заздалегідь ): «КНИГА – КНИГИЙ, А МОЗГАМИ ДВИГУН» (В.В.Маяковський). Члени команд за правильні відповіді заохочуватимуться «червоними картками».
1. Формування команд
Кожен учень при вході до кабінету отримав картку, на якій записано формулу функції (у всіх різні). Кожен учень визначає, яка у нього функція парна чи непарна, якщо парна – команда «КОРІНЬ», непарна – «СТУПЕНЬ».
Варіанти функцій:f(x)=
,
f(x)=
f(x)= 
, f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
, f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(x)=
f(x)=
f(x)=
f(x)=
2. Вибір командира кожної команди
ЗАВДАННЯ: вирішити та захистити свою відповідь (командир повинен уміти швидко розуміти і за все відповідати); при яких значеннях змінної вираз має сенс ( вирази записані на дошці заздалегідь) :
|
Відповідь: -8≤ х Відповідь: -11≤ х
3. Розминка
За кожну правильну відповідь – 1 картка ( команди починають набирати бали). Вчитель читає завдання, учні відповідають.
Арифметичний я знак
У задачнику мене знайдеш у багатьох рядках.
Лише «о» ти вставиш у слово, знаючи як,
І я – географічна точка. (+, полюс)
Я – цифра менша за десять,
Мене легко знайти.
Але якщо букві «я» накажеш поряд встати,
Я все – батько, і ти, і дідусь, і мати. (сім, сім'я)
4. Продовжуємо подорож і нашому шляху зустрічається величезна стіна, де записано завдання (заздалегідь приготувати плакат як стіни
): обчислити: 
Щоб подолати цю стіну, потрібно вирішити це завдання, яка команда вирішить, та заробить бали.(0,7+0,3=1)
1) властивості статечної функції з n - парним;
2) властивості статечної функції з n - непарним.
6. Наступним випробуванням для нас стане конкурс «ПОКАЖИ СЕБЕ». Умови конкурсу: кожен учасник команди по черзі йде до дошки і вирішує на вибір будь-яке завдання, перемагає команда, яка перша впоралася із завданнями.
7. Команди готують питання один одному. Отримують бали за правильну відповідь та за оригінальність.
8. ПІДСУМОК. НАГОРОДЖЕННЯ. Кожна команда готує заключне слово, в якому розкриваються питання: що корисного дав сьогоднішній урок кожній команді та окремим представникам, зауваження до уроку та вчителя. Виставляє оцінки з коментарями (за яку діяльність і чому).
Завантаження...