GCD là ước số chung lớn nhất.
Để tìm ước số chung lớn nhất của một số số:
- xác định các thừa số chung cho cả hai số;
- tìm tích của các thừa số chung.
Một ví dụ về cách tìm GCD:
Tìm GTĐB của các số 315 và 245.
315 = 5 * 3 * 3 * 7;
245 = 5 * 7 * 7.
2. Viết thừa số chung của cả hai số:
3. Tìm tích của các thừa số chung:
gcd (315; 245) = 5 * 7 = 35.
Đáp số: GCD (315; 245) = 35.
Tìm NOC
LCM là bội số ít phổ biến nhất.
Để tìm bội số chung nhỏ nhất của một số số:
- phân tích số thành thừa số nguyên tố;
- viết ra các thừa số có trong khai triển của một trong các số;
- bổ sung cho họ các yếu tố còn thiếu từ sự mở rộng của số thứ hai;
- tìm tích của các yếu tố kết quả.
Một ví dụ về việc tìm NOC:
Tìm LCM của các số 236 và 328:
1. Chúng tôi phân tích các số thành thừa số nguyên tố:
236 = 2 * 2 * 59;
328 = 2 * 2 * 2 * 41.
2. Viết các thừa số có trong khai triển của một trong các số và thêm vào chúng các thừa số còn thiếu từ khai triển của số thứ hai:
2; 2; 59; 2; 41.
3. Tìm tích của các yếu tố tạo thành:
LCM (236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.
Đáp số: LCM (236; 328) = 19352.
Để tìm GCD (ước chung lớn nhất) của hai số, bạn cần:
2. Tìm (gạch chân) tất cả các thừa số nguyên tố chung trong các khai triển thu được.
3. Tìm tích của các thừa số nguyên tố chung.
Để tìm LCM (bội số chung nhỏ nhất) của hai số, bạn cần:
1. Phân tích các số này thành thừa số nguyên tố.
2. Bổ sung khai triển của một trong số chúng với các thừa số của khai triển của số khác, không có trong khai triển của số thứ nhất.
3. Tính tích của các thừa số thu được.
Lùi về phía trước
Chú ý! Bản xem trước trang trình bày chỉ dành cho mục đích thông tin và có thể không thể hiện toàn bộ phạm vi của bản trình bày. Nếu bạn quan tâm đến công việc này vui lòng tải xuống phiên bản đầy đủ.
Với các khái niệm về ước chung lớn nhất (GCD) và bội chung nhỏ nhất (LCM), học sinh trung học phổ thông gặp ở lớp sáu. Chủ đề này luôn luôn khó để làm chủ. Trẻ em thường nhầm lẫn các khái niệm này, không hiểu tại sao chúng cần được nghiên cứu. TRONG Gần đây và trong các tài liệu khoa học phổ thông có những tuyên bố riêng rằng tài liệu này nên được loại trừ khỏi chương trình giảng dạy ở trường. Tôi nghĩ rằng điều này không hoàn toàn đúng và bạn cần phải nghiên cứu nó, nếu không phải trong lớp học, thì trong sau nhiều giờ Trong lớp học, thành phần nhà trường là bắt buộc, vì điều này góp phần phát triển tư duy logic của học sinh, tăng tốc độ của các phép tính và khả năng giải quyết vấn đề bằng các phương pháp đẹp.
Khi học chủ đề “Phép cộng và phép trừ phân số với mẫu số khác nhau"Chúng tôi dạy trẻ tìm mẫu số chung của hai hay nhiều số. Ví dụ, bạn cần cộng các phân số 1/3 và 1/5. Học sinh có thể dễ dàng tìm được một số chia hết mà không có dư cho 3 và 5. Đây số là 15. Thật vậy, nếu các số nhỏ hơn thì mẫu số chung của chúng dễ tìm, biết bảng cửu chương. Một số em nhận xét rằng số này là tích của hai số 3 và 5. Các em cho ý kiến Bạn luôn có thể tìm được mẫu số chung cho các số theo cách này. Ví dụ, chúng ta trừ các phân số 7/18 và 5 / 24. Hãy tìm tích của các số 18 và 24. Nó bằng 432. Chúng ta đã có một số lớn và nếu bạn cần thực hiện thêm một số phép tính (đặc biệt đối với các ví dụ cho tất cả các hành động), thì xác suất xảy ra lỗi sẽ tăng lên. bội số chung (LCM), trong trường hợp này tương đương với mẫu số chung nhỏ nhất (LCD ) - số 72 - sẽ tạo điều kiện thuận lợi đáng kể cho việc tính toán và dẫn đến giải pháp nhanh hơn của ví dụ, và do đó tiết kiệm thời gian được phân bổ cho việc thực hiện nhiệm vụ được giao, đóng một vai trò quan trọng trong việc thực hiện bài kiểm tra cuối cùng, công việc kiểm soátđặc biệt là trong quá trình đánh giá cuối cùng.
Khi học chủ đề “Quy đồng mẫu số”, các em có thể chuyển liên tiếp các phép chia tử số và mẫu số của phân số cho cùng một số tự nhiên, sử dụng các dấu hiệu chia hết của một số, cuối cùng thu được một phân số bất khả quy. Ví dụ, bạn cần giảm phân số 128/344. Đầu tiên ta chia tử số và mẫu số của phân số cho số 2, ta được phân số 64/172. Một lần nữa, ta chia tử số và mẫu số của phân số cho 2, ta được phân số 32/86. Chia một lần nữa tử số và mẫu số của phân số cho 2, ta được phân số bất khả quy 16/43. Nhưng việc giảm phân số có thể thực hiện dễ dàng hơn nhiều nếu chúng ta tìm được ước chung lớn nhất của các số 128 và 344. GCD (128, 344) = 8. Chia tử số và mẫu số của phân số cho số này, ta được ngay một phân số bất khả quy.
Gotta cho bọn trẻ xem những cách khác tìm ước chung lớn nhất (GCD) và bội chung nhỏ nhất (LCM) của các số. Trong những trường hợp đơn giản, thật thuận tiện để tìm ước chung lớn nhất (GCD) và bội chung nhỏ nhất (LCM) của các số bằng cách liệt kê đơn giản. Khi các số lớn hơn, các thừa số nguyên tố có thể được sử dụng. Sách giáo khoa lớp sáu (tác giả N.Ya. Vilenkin) trình bày phương pháp sau đây để tìm ước chung lớn nhất (GCD) của các số. Hãy phân tích các số thành thừa số nguyên tố:
- 16 = 2*2*2*2
- 120 = 2*2*2*3*5
Sau đó, từ các yếu tố có trong khai triển của một trong những số này, chúng ta gạch bỏ những yếu tố không có trong khai triển của số kia. Tích của các thừa số còn lại sẽ là ước chung lớn nhất của các số này. Trong trường hợp này, con số này là 8. Từ kinh nghiệm của bản thân, tôi tin rằng trẻ em sẽ dễ hiểu hơn nếu chúng ta gạch dưới các yếu tố giống nhau trong phần mở rộng của các con số, và sau đó trong một phần mở rộng, chúng tôi tìm thấy tích của phần gạch chân các nhân tố. Đây là ước số chung lớn nhất của những số này. Ở lớp 6, trẻ hiếu động và ham học hỏi. Bạn có thể đặt cho chúng nhiệm vụ sau: cố gắng tìm ước chung lớn nhất của các số 343 và 287 theo cách đã mô tả. Hiện chưa rõ cách tính chúng thành thừa số nguyên tố. Và ở đây bạn có thể kể cho họ nghe về phương pháp tuyệt vời do người Hy Lạp cổ đại phát minh ra, cho phép bạn tìm kiếm ước số chung lớn nhất (GCD) mà không cần phân tích thành thừa số nguyên tố. Phương pháp tìm ước chung lớn nhất này lần đầu tiên được mô tả trong Phần tử của Euclid. Nó được gọi là thuật toán Euclid. Nó bao gồm những điều sau: Đầu tiên, chia số lớn hơn cho số nhỏ hơn. Nếu còn dư thì chia số nhỏ hơn cho số dư. Nếu lấy lại được số dư thì chia số dư thứ nhất cho số thứ hai. Cứ thế tiếp tục chia cho đến khi phần dư bằng không. Ước số cuối cùng là ước số chung lớn nhất (GCD) của những số này.
Hãy quay lại ví dụ của chúng ta và để rõ ràng hơn, hãy viết lời giải dưới dạng một bảng.
| Cổ tức | Dải phân cách | Riêng tư | Phần còn lại |
| 343 | 287 | 1 | 56 |
| 287 | 56 | 5 | 7 |
| 56 | 7 | 8 | 0 |
Vậy gcd (344,287) = 7
Và làm thế nào để tìm bội số chung (LCM) nhỏ nhất của các số giống nhau? Có cách nào để thực hiện việc này mà không yêu cầu phân tích sơ bộ các số này thành thừa số nguyên tố không? Hóa ra là có, và một điều rất đơn giản ở đó. Chúng ta cần nhân các số này và chia tích cho ước số chung lớn nhất (GCD) mà chúng ta tìm được. Trong ví dụ này, tích của các số là 98441. Chia nó cho 7 và được số 14063. LCM (343,287) = 14063.
Một trong những chủ đề khó trong toán học là lời giải của các bài toán đố. Cần chỉ cho học sinh cách sử dụng các khái niệm "Số chia chung lớn nhất (GCD)" và "Bội số chung ít nhất (LCM)" để bạn có thể giải các bài toán đôi khi khó giải. theo cách thông thường. Ở đây có thể xem xét phù hợp với học sinh, cùng với các nhiệm vụ do các tác giả của sách giáo khoa đề xuất, các nhiệm vụ cũ và mang tính giải trí nhằm phát triển trí tò mò của trẻ và tăng hứng thú khi nghiên cứu chủ đề này. Việc sở hữu một cách khéo léo các khái niệm này cho phép học sinh nhìn thấy một giải pháp tuyệt vời cho một vấn đề không chuẩn. Và nếu tâm trạng của đứa trẻ tăng lên sau khi giải quyết một vấn đề tốt, thì đây là một dấu hiệu của công việc thành công.
Do đó, việc nghiên cứu ở trường về các khái niệm như "Số chia chung lớn nhất (GCD)" và "Bội số chung ít nhất (LCD)" của các số
Cho phép bạn tiết kiệm thời gian phân bổ cho việc thực hiện công việc, dẫn đến khối lượng các nhiệm vụ đã hoàn thành tăng lên đáng kể;
Tăng tốc độ và độ chính xác của các phép toán số học, dẫn đến giảm đáng kể số lỗi tính toán cho phép;
Cho phép bạn tìm thấy những cách đẹp giải quyết vấn đề văn bản không chuẩn;
Phát triển trí tò mò của học sinh, mở rộng tầm nhìn của họ;
Tạo tiền đề cho việc giáo dục một nhân cách sáng tạo linh hoạt.
Tìm ước chung lớn nhất của ba hoặc nhiều số có thể được rút gọn thành liên tiếp tìm gcd của hai số. Chúng tôi đã đề cập đến điều này khi nghiên cứu các thuộc tính của GCD. Ở đó chúng tôi xây dựng và chứng minh định lý: ước chung lớn nhất của một số số a 1, a 2,…, a k bằng số dk, được tìm thấy trong phép tính tuần tự GCD (a 1, a 2) = d 2, GCD (d 2, a 3) = d 3, GCD (d 3, a 4) = d 4, …,GCD (d k-1, a k) = d k.
Hãy xem quá trình tìm GCD của một số số như thế nào bằng cách xem xét lời giải của ví dụ.
Ví dụ.
Tìm ước chung lớn nhất của bốn số 78 , 294 , 570 Và 36 .
Giải pháp.
Trong ví dụ này a 1 = 78, a2 = 294, 3 \ u003d 570, a4 = 36.
Đầu tiên, bằng cách sử dụng thuật toán Euclid, chúng tôi xác định ước số chung lớn nhất d2 hai số đầu tiên 78 Và 294 . Khi chia, chúng ta nhận được các số bằng nhau 294 = 78 3 + 60; 78 = 60 1 + 18;60 = 18 3 + 6 Và 18 = 6 3. Theo cách này, d 2 \ u003d GCD (78, 294) \ u003d 6.
Bây giờ chúng ta hãy tính toán d 3 \ u003d GCD (d 2, a 3) \ u003d GCD (6, 570). Hãy sử dụng lại thuật toán Euclid: 570 = 6 95, Hậu quả là, d 3 \ u003d GCD (6, 570) \ u003d 6.
Nó vẫn còn để tính toán d 4 \ u003d GCD (d 3, a 4) \ u003d GCD (6, 36). Tại vì 36 chia 6 , sau đó d 4 \ u003d GCD (6, 36) \ u003d 6.
Vì vậy ước chung lớn nhất của bốn số đã cho là d4 = 6, I E, gcd (78, 294, 570, 36) = 6.
Trả lời:
gcd (78, 294, 570, 36) = 6.
Việc chia nhỏ các số thành thừa số nguyên tố cũng cho phép bạn tính GCD của ba số trở lên. Trong trường hợp này, ước số chung lớn nhất được tìm thấy là tích của tất cả các thừa số nguyên tố chung của các số đã cho.
Ví dụ.
Tính GCD của các số trong ví dụ trước bằng cách sử dụng thừa số nguyên tố của chúng.
Giải pháp.
Hãy phân tích các con số 78 , 294 , 570 Và 36 thành các yếu tố chính, chúng tôi nhận được 78 = 2 3 13,294 = 2 3 7 7, 570 = 2 3 5 19, 36 = 2 2 3 3. Thừa số nguyên tố chung của cả bốn số đã cho là số 2 Và 3 . Hậu quả là, GCD (78, 294, 570, 36) = 2 3 = 6.
Trả lời:
gcd (78, 294, 570, 36) = 6.
Đầu trang
Tìm gcd của số âm
Nếu một, một số hoặc tất cả các số, ước số lớn nhấtđược tìm thấy là các số âm, khi đó gcd của chúng bằng ước số chung lớn nhất của các môđun của những số này. Điều này là do các con số đối lập Một Và -Một có các ước số giống nhau, mà chúng ta đã thảo luận khi nghiên cứu các tính chất của phép chia hết.
Ví dụ.
Tìm gcd của số nguyên âm −231 Và −140 .
Giải pháp.
Giá trị tuyệt đối của một số −231 bằng 231 , và môđun của số −140 bằng 140 , Và gcd (−231, −140) = gcd (231, 140). Thuật toán Euclid cho chúng ta các giá trị bằng sau: 231 = 140 1 + 91; 140 = 91 1 + 49; 91 = 49 1 + 42; 49 = 42 1 + 7 Và 42 = 7 6. Hậu quả là, gcd (231, 140) = 7. Khi đó ước số chung lớn nhất mong muốn của các số âm −231 Và −140 bằng 7 .
Trả lời:
GCD (−231, −140) = 7.
Ví dụ.
Xác định gcd của ba số −585 , 81 Và −189 .
Giải pháp.
Tìm ước số chung lớn nhất số âm có thể được thay thế bằng các giá trị tuyệt đối của chúng, nghĩa là gcd (−585, 81, −189) = gcd (585, 81, 189). Mở rộng số 585 , 81 Và 189 thành các thừa số nguyên tố, tương ứng, có dạng 585 = 3 3 5 13, 81 = 3 3 3 3 Và 189 = 3 3 3 7. Các thừa số nguyên tố chung của ba số này là 3 Và 3 . sau đó GCD (585, 81, 189) = 3 3 = 9, Hậu quả là, gcd (−585, 81, −189) = 9.
Trả lời:
gcd (−585, 81, −189) = 9.
35. Rễ của một đa thức. Định lý Bezout. (33 trở lên)
36. Đa rễ, tiêu chí tính đa bội của rễ.
Sự định nghĩa. Số tự nhiên lớn nhất mà các số a, b chia hết mà không có dư được gọi là ước số chung lớn nhất (gcd) những con số này.
Hãy tìm ước chung lớn nhất của các số 24 và 35.
Các ước của 24 sẽ là các số 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 và ước của 35 sẽ là các số 1, 5, 7, 35.
Ta thấy rằng hai số 24 và 35 chỉ có một ước chung - số 1. Những số như vậy được gọi là coprime.
Sự định nghĩa. Các số tự nhiên được gọi là coprime nếu ước số chung lớn nhất của chúng (gcd) là 1.
Số chia chung lớn nhất (GCD) có thể được tìm thấy mà không cần viết ra tất cả các ước của các số đã cho.
Tính toán các số 48 và 36, ta được:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Từ các yếu tố được bao gồm trong khai triển của số đầu tiên trong số này, chúng tôi xóa các yếu tố không có trong khai triển của số thứ hai (tức là hai deuces).
Các thừa số 2 * 2 * 3 được giữ nguyên. Tích của chúng là 12. Số này là ước chung lớn nhất của các số 48 và 36. Ước chung lớn nhất của ba hoặc nhiều số cũng được tìm thấy.
Để tìm ước chung lớn nhất
2) từ các yếu tố có trong khai triển của một trong các số này, gạch bỏ các yếu tố không có trong khai triển của các số khác;
3) tìm tích của các yếu tố còn lại.
Nếu tất cả các số đã cho đều chia hết cho một trong số chúng thì số này là ước chung lớn nhất số đã cho.
Ví dụ: ước chung lớn nhất của 15, 45, 75 và 180 là 15, vì nó chia hết các số khác: 45, 75 và 180.
Đa số chung ít nhất (LCM)
Sự định nghĩa. Đa số chung ít nhất (LCM) số tự nhiên a và b là số tự nhiên nhỏ nhất là bội của cả a và b. Có thể tìm bội số chung nhỏ nhất (LCM) của số 75 và 60 mà không cần viết ra bội số của những số này liên tiếp. Để làm điều này, chúng tôi phân tích 75 và 60 thành các thừa số đơn giản: 75 \ u003d 3 * 5 * 5 và 60 \ u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Hãy viết ra các thừa số có trong khai triển của số đầu tiên trong số này và thêm vào chúng các thừa số còn thiếu 2 và 2 từ khai triển của số thứ hai (tức là chúng tôi kết hợp các thừa số).
Ta nhận được năm thừa số 2 * 2 * 3 * 5 * 5, tích của nó là 300. Số này là bội chung nhỏ nhất của các số 75 và 60.
Đồng thời tìm bội số chung nhỏ nhất của ba hoặc nhiều số.
Đến tìm bội số chung ít nhất một số số tự nhiên, bạn cần:
1) phân hủy chúng thành các thừa số nguyên tố;
2) viết ra các thừa số có trong khai triển của một trong các số;
3) thêm vào chúng các thừa số còn thiếu từ sự mở rộng của các số còn lại;
4) tìm tích của các yếu tố kết quả.
Lưu ý rằng nếu một trong các số này chia hết cho tất cả các số khác thì số này là bội chung nhỏ nhất của các số này.
Ví dụ, bội số chung nhỏ nhất của 12, 15, 20 và 60 sẽ là 60, vì nó chia hết cho tất cả các số đã cho.
Pythagoras (thế kỷ VI trước Công nguyên) và các học trò của ông đã nghiên cứu vấn đề tính chất chia hết của các số. Một số bằng tổng của tất cả các ước của nó (không có chính số đó), họ được gọi là số hoàn hảo. Ví dụ, các số 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) là hoàn hảo. Các số hoàn hảo tiếp theo là 496, 8128, 33,550,336. Người Pitago chỉ biết ba số hoàn hảo đầu tiên. Chiếc thứ tư - 8128 - được biết đến vào thế kỷ thứ nhất. n. e. Chiếc thứ năm - 33 550 336 - được tìm thấy vào thế kỷ 15. Đến năm 1983, 27 con số hoàn hảo đã được biết đến. Nhưng cho đến nay, các nhà khoa học vẫn chưa biết liệu có số hoàn hảo lẻ hay không, liệu có số hoàn hảo lớn nhất hay không.
Mối quan tâm của các nhà toán học cổ đại đối với các số nguyên tố là do bất kỳ số nào cũng là số nguyên tố hoặc có thể được biểu diễn dưới dạng tích số nguyên tố, tức là, các số nguyên tố, như nó vốn có, là những viên gạch mà từ đó phần còn lại của các số tự nhiên được xây dựng.
Bạn có thể nhận thấy rằng các số nguyên tố trong dãy số tự nhiên xảy ra không đồng đều - ở một số phần của dãy số đó nhiều hơn, ở một số phần khác - ít hơn. Nhưng chúng ta càng di chuyển dọc theo dãy số, các số nguyên tố càng hiếm. Câu hỏi đặt ra: có tồn tại số nguyên tố cuối cùng (lớn nhất) không? Nhà toán học Hy Lạp cổ đại Euclid (thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên), trong cuốn sách "Khởi đầu", cuốn sách chính của sách giáo khoa toán học suốt hai nghìn năm, đã chứng minh rằng có vô số số nguyên tố, nghĩa là đằng sau mỗi số nguyên tố đều có một số chẵn. số nguyên tố lớn hơn.
Để tìm số nguyên tố, một nhà toán học Hy Lạp khác cùng thời, Eratosthenes, đã đưa ra một phương pháp như vậy. Anh ta viết ra tất cả các số từ 1 đến một số nào đó, rồi gạch bỏ đơn vị không phải là số nguyên tố hay hợp số, sau đó gạch bỏ tất cả các số sau 2 (các số là bội của 2, tức là 4, 6, 8, v.v.). Số còn lại đầu tiên sau 2 là 3. Sau đó, sau hai, tất cả các số sau 3 đều bị gạch bỏ (các số là bội của 3, tức là 6, 9, 12, v.v.). cuối cùng, chỉ có các số nguyên tố là không bị gạch chéo.
Nhiều ước số
Xét bài toán sau: tìm ước của số 140. Rõ ràng là số 140 không có một ước mà là một số. Trong những trường hợp như vậy, nhiệm vụ được cho là có nhiều các giải pháp. Chúng ta hãy tìm tất cả chúng. Trước hết, chúng tôi phân tích số này thành các thừa số nguyên tố:
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.
Bây giờ chúng ta có thể dễ dàng viết ra tất cả các ước số. Hãy bắt đầu với những ước số đơn giản, tức là những ước số có trong khai triển ở trên:
Sau đó, chúng tôi viết ra những người có được bằng cách nhân từng cặp các ước số nguyên tố:
2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.
Sau đó - những người có chứa ba ước số đơn giản:
2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.
Cuối cùng, đừng quên đơn vị và chính số có thể phân tách:
Tất cả các ước số do chúng tôi tìm thấy đều tạo thành nhiềuước của số 140, được viết bằng dấu ngoặc nhọn:
Tập hợp các ước của số 140 =
{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.
Để thuận tiện cho nhận thức, chúng tôi đã viết ra các ước số ở đây ( thiết lập các yếu tố) theo thứ tự tăng dần, nhưng nói chung, điều này là không cần thiết. Ngoài ra, chúng tôi giới thiệu một chữ viết tắt. Thay vì "Tập hợp các ước của số 140" ta sẽ viết "D (140)". Theo cách này,
Tương tự, người ta có thể tìm tập hợp các ước cho bất kỳ số tự nhiên nào khác. Ví dụ, từ việc mở rộng
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7
chúng tôi nhận được:
D (105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).
Từ tập hợp tất cả các ước, ta cần phân biệt tập hợp các ước nguyên tố mà các số 140 và 105 tương ứng bằng nhau:
PD (140) = (2, 5, 7).
PD (105) = (3, 5, 7).
Cần nhấn mạnh rằng trong phép phân tích số 140 thành các thừa số nguyên tố, hai số có mặt hai lần, trong khi trong tập hợp PD (140), nó chỉ là một. Tập hợp PD (140) về bản chất là tất cả các đáp án cho bài toán: "Tìm một thừa số nguyên tố của số 140". Rõ ràng là không nên lặp lại cùng một câu trả lời nhiều hơn một lần.
Giảm phân số. Ước chung lớn nhất
Hãy xem xét một phân số
Chúng ta biết rằng phân số này có thể được rút gọn bởi một số vừa là ước của tử số (105) vừa là ước của mẫu số (140). Hãy xem các tập hợp D (105) và D (140) và viết ra các phần tử chung của chúng.
D (105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);
D (140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).
Phần tử chung của tập D (105) và D (140) =
Đẳng thức cuối cùng có thể được viết ngắn hơn, cụ thể là:
D (105) ∩ D (140) = (1, 5, 7, 35).
Ở đây, biểu tượng đặc biệt "∩" ("cái túi có lỗ xuống") chỉ ra rằng từ hai tập hợp được viết trên các mặt đối diện của nó, chỉ nên chọn các phần tử chung. Mục nhập "D (105) ∩ D (140)" đọc " ngã tư bộ Te từ 105 và Te từ 140.
[Lưu ý rằng bạn có thể thực hiện các phép toán nhị phân khác nhau với các tập hợp, gần giống như với các số. Một hoạt động nhị phân phổ biến khác là liên hiệp, được biểu thị bằng biểu tượng "∪" ("túi có lỗ lên"). Hợp của hai tập hợp bao gồm tất cả các phần tử của cả hai tập hợp:
PD (105) = (3, 5, 7);
PD (140) = (2, 5, 7);
PD (105) ∪ PD (140) = (2, 3, 5, 7). ]
Vì vậy, chúng tôi phát hiện ra rằng phân số
có thể được giảm xuống bất kỳ số nào thuộc tập hợp
D (105) ∩ D (140) = (1, 5, 7, 35)
và không thể bị giảm bởi bất kỳ số tự nhiên nào khác. Đó là tất cả những cách khả thi giảm (ngoại trừ giảm một cách không thú vị):
Rõ ràng là thực tế nhất là giảm phân số đi một số, nếu có thể, một số lớn hơn. TRONG trường hợp này là số 35, được cho là ước chung lớn nhất (GCD) số 105 và 140. Nó được viết là
gcd (105, 140) = 35.
Tuy nhiên, trong thực tế, nếu chúng ta được cho hai số và cần tìm ước số chung lớn nhất của chúng, chúng ta không phải xây dựng bất kỳ bộ nào cả. Chỉ cần phân tích thừa cả hai số thành thừa số nguyên tố và gạch chân những thừa số này là chung cho cả hai thừa số, ví dụ:
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .
Nhân các số được gạch dưới (trong bất kỳ phần mở rộng nào), chúng tôi nhận được:
gcd (105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.
Tất nhiên, có thể có nhiều hơn hai yếu tố được gạch chân:
168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;
396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.
Từ đây rõ ràng là
gcd (168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.
Đề cập đặc biệt xứng đáng với tình huống khi không có yếu tố chung nào cả và không có gì cần nhấn mạnh, ví dụ:
42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;
Trong trường hợp này,
gcd (42, 55) = 1.
Hai số tự nhiên mà gcd bằng một được gọi là coprime. Ví dụ: nếu bạn tạo ra một phân số từ những con số như vậy,
thì một phân số như vậy là không thể học được.
Nói chung, quy tắc rút gọn phân số có thể được viết như sau:
|
Một/ gcd ( Một, b) |
|||
|
b/ gcd ( Một, b) |
Ở đây người ta giả định rằng Một Và b là các số tự nhiên và tất cả các phân số đều dương. Nếu bây giờ chúng ta gán một dấu trừ cho cả hai vế của đẳng thức này, chúng ta sẽ nhận được quy tắc tương ứng cho phân số âm.
Phép cộng và phép trừ phân số. Bội số chung nhỏ nhất
Giả sử bạn muốn tính tổng của hai phân số:
Chúng ta đã biết cách phân số mẫu số thành thừa số nguyên tố:
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .
Nó ngay lập tức theo sau từ sự mở rộng này, để giảm các phân số xuống mẫu số chung, chỉ cần nhân tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với 2 ∙ 2 (tích của các thừa số nguyên tố chưa được nén của mẫu số thứ hai), tử số và mẫu số của phân số thứ hai với 3 (“tích” của thừa số nguyên tố của mẫu số đầu tiên). Kết quả là, mẫu số của cả hai phân số sẽ bằng một số có thể được biểu diễn như sau:
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.
Dễ dàng nhận thấy rằng cả hai mẫu số ban đầu (cả 105 và 140) đều là ước của số 420, và số 420, đến lượt nó, là bội của cả hai mẫu số - và không chỉ là bội số, nó là bội số chung nhỏ nhất (NOC) số 105 và 140. Nó được viết như thế này:
LCM (105, 140) = 420.
Xem xét kỹ hơn sự mở rộng của các số 105 và 140, chúng ta thấy rằng
105 ∙ 140 = LCM (105, 140) ∙ GCD (105, 140).
Tương tự, đối với các số tự nhiên tùy ý b Và d:
b ∙ d= LCM ( b, d) ∙ GCD ( b, d).
Bây giờ chúng ta hãy hoàn thành phép tính tổng các phân số của chúng ta:
|
3 ∙ 5 ∙ 7 |
2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 |
|
Ghi chú.Để giải một số vấn đề, bạn cần biết bình phương của một số là gì. Hình vuông số Mộtđược gọi là một số Một nhân với chính nó, đó là Một∙Một. (Như bạn thấy, nó bằng diện tích của một hình vuông có cạnh Một). |
Đang tải...