Lần trước chúng ta đã học cách cộng và trừ phân số (xem bài “Phép cộng và phép trừ phân số”). Thời điểm khó khăn nhất trong những hành động đó là đưa các phân số đến mẫu số chung.
Bây giờ là lúc để đối phó với phép nhân và phép chia. Tin tốt là các phép toán này thậm chí còn dễ hơn phép cộng và trừ. Để bắt đầu, hãy xem xét trường hợp đơn giản nhất, khi có hai phân số dương không có phần nguyên phân biệt.
Để nhân hai phân số, bạn cần nhân tử số và mẫu số của chúng một cách riêng biệt. Số đầu tiên sẽ là tử số của phân số mới và số thứ hai sẽ là mẫu số.
Để chia hai phân số, bạn cần nhân phân số đầu tiên với phân số thứ hai "đảo ngược".
Chỉ định:
Từ định nghĩa, phép chia phân số được rút gọn thành phép nhân. Để lật một phân số, chỉ cần hoán đổi tử số và mẫu số. Vì vậy, toàn bộ bài học chúng ta sẽ xem xét chủ yếu là phép nhân.
Kết quả của phép nhân, một phân số rút gọn có thể phát sinh (và thường là phát sinh) - tất nhiên, nó phải được rút gọn. Nếu sau tất cả các lần rút gọn, phân số không chính xác thì nên phân biệt toàn bộ phần đó trong đó. Nhưng điều chắc chắn sẽ không xảy ra với phép nhân là rút gọn thành một mẫu số chung: không có phương pháp chéo, thừa số tối đa và bội số chung nhỏ nhất.
Theo định nghĩa, chúng tôi có:
Phép nhân phân số với một phần nguyên và phân số âm
Nếu có một phần nguyên trong các phân số, chúng phải được chuyển đổi thành phần không đúng - và chỉ sau đó được nhân theo sơ đồ nêu trên.
Nếu có một số trừ ở tử số của một phân số, ở mẫu số hoặc ở phía trước nó, nó có thể được lấy ra khỏi giới hạn của phép nhân hoặc loại bỏ hoàn toàn theo các quy tắc sau:
- Cộng lần trừ cho ra trừ;
- Hai phủ định tạo nên một khẳng định.
Từ trước đến nay, những quy tắc này chỉ được áp dụng khi cộng và trừ các phân số âm, khi bắt buộc phải loại bỏ phần nguyên. Đối với một sản phẩm, chúng có thể được khái quát hóa để "đốt cháy" một số điểm nhỏ cùng một lúc:
- Chúng tôi gạch bỏ các điểm nhỏ theo cặp cho đến khi chúng hoàn toàn biến mất. Trong trường hợp cực đoan, một điểm trừ có thể sống sót - một điểm trừ không tìm thấy điểm trùng khớp;
- Nếu không còn điểm nhỏ nào, hoạt động đã hoàn tất - bạn có thể bắt đầu nhân. Nếu số trừ cuối cùng không bị gạch bỏ, vì nó không tìm thấy một cặp, chúng ta lấy nó ra khỏi giới hạn của phép nhân. Bạn nhận được một phân số âm.
Một nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức:
Chúng ta chuyển tất cả các phân số thành các phân số không đúng, và sau đó chúng ta loại bỏ các phân số nằm ngoài giới hạn của phép nhân. Những gì còn lại được nhân lên theo các quy tắc thông thường. Chúng tôi nhận được:
Hãy để tôi nhắc bạn một lần nữa rằng số trừ đứng trước một phân số có phần nguyên được tô sáng đề cập cụ thể đến toàn bộ phân số chứ không chỉ cho phần nguyên của nó (điều này áp dụng cho hai ví dụ cuối cùng).
Cũng chú ý đến số âm: Khi được nhân lên, chúng được đặt trong dấu ngoặc đơn. Điều này được thực hiện để tách các điểm nhỏ khỏi các dấu nhân và làm cho toàn bộ ký hiệu chính xác hơn.
Giảm phân số một cách nhanh chóng
Phép nhân là một hoạt động rất tốn công sức. Các con số ở đây khá lớn và để đơn giản hóa nhiệm vụ, bạn có thể cố gắng giảm phân số nhiều hơn nữa trước khi nhân. Thật vậy, về bản chất, tử số và mẫu số của phân số là thừa số thường, và do đó, chúng có thể được rút gọn bằng cách sử dụng tính chất cơ bản của phân số. Hãy xem các ví dụ:
Một nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức:
Theo định nghĩa, chúng tôi có:
Trong tất cả các ví dụ, những con số đã được giảm bớt và những gì còn lại của chúng được đánh dấu bằng màu đỏ.
Xin lưu ý: trong trường hợp đầu tiên, số nhân đã bị giảm hoàn toàn. Các đơn vị vẫn ở vị trí của chúng, nói chung, có thể được bỏ qua. Trong ví dụ thứ hai, không thể đạt được mức giảm hoàn toàn, nhưng tổng lượng tính toán vẫn giảm.
Tuy nhiên, không có trường hợp nào không sử dụng kỹ thuật này khi cộng và trừ phân số! Vâng, đôi khi có những con số tương tự mà bạn chỉ muốn giảm bớt. Đây, hãy xem:
Bạn không thể làm điều đó!
Lỗi xảy ra do thực tế là khi cộng một phân số, tổng xuất hiện ở tử số của một phân số, chứ không phải là tích của các số. Do đó, không thể áp dụng tính chất chính của phân số, vì tính chất này đề cập cụ thể đến phép nhân các số.
Đơn giản là không có lý do nào khác để giảm phân số, vì vậy quyết định đúng đắn nhiệm vụ trước trông giống như sau:
Quyết định đúng:
Như bạn có thể thấy, câu trả lời đúng hóa ra không đẹp như vậy. Nói chung, hãy cẩn thận.
Với phân số, bạn có thể thực hiện tất cả các hành động, bao gồm cả phép chia. Bài báo này chỉ ra phép chia các phân số thông thường. Các định nghĩa sẽ được đưa ra, các ví dụ sẽ được xem xét. Chúng ta hãy đi sâu vào phép chia phân số cho số tự nhiên và ngược lại. sự phân chia sẽ được xem xét. phần chung cho một số hỗn hợp.
Chia các phân số thông thường
Phép chia là nghịch đảo của phép nhân. Khi chia, thừa số chưa biết nằm ở tích đã biết và một thừa số khác, trong đó ý nghĩa đã cho của nó được bảo toàn với các phân số thông thường.
Nếu cần chia phân số thông thường a b cho c d, thì để xác định một số như vậy, bạn cần nhân với số chia c d, điều này cuối cùng sẽ cho số bị chia a b. Hãy lấy một số và viết nó thành a b · d c, với d c là nghịch đảo của số c d. Các đẳng thức có thể được viết bằng cách sử dụng các tính chất của phép nhân, cụ thể là: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b, trong đó biểu thức a b d c là thương của phép chia a b cho c d.
Từ đây, chúng ta có được và xây dựng quy tắc chia các phân số thông thường:
Định nghĩa 1
Để chia một phân số thông thường a b cho c d, cần nhân số bị chia với nghịch đảo của số bị chia.
Hãy viết quy tắc dưới dạng biểu thức: a b: c d = a b d c
Các quy tắc của phép chia được rút gọn thành phép nhân. Để làm được nó, bạn cần phải thành thạo trong việc thực hiện phép nhân các phân số thông thường.
Hãy chuyển sang phép chia các phân số thông thường.
ví dụ 1
Thực hiện phép chia 9 7 cho 5 3. Viết kết quả dưới dạng phân số.
Dung dịch
Số 5 3 là nghịch đảo của 3 5. Bạn phải sử dụng quy tắc chia các phân số thông thường. Chúng ta viết biểu thức này như sau: 9 7: 5 3 \ u003d 9 7 3 5 \ u003d 9 3 7 5 \ u003d 27 35.
Câu trả lời: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Khi rút gọn phân số, bạn nên tô đậm cả phần nếu tử số lớn hơn mẫu số.
Ví dụ 2
Chia 8 15: 24 65. Viết câu trả lời dưới dạng phân số.
Dung dịch
Giải pháp là chuyển từ phép chia sang phép nhân. Ta viết nó ở dạng sau: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Cần giảm và thực hiện như sau: 8 65 15 24 \ u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \ u003d 13 3 3 \ u003d 13 9
Ta chọn phần nguyên và được 13 9 = 1 4 9.
Câu trả lời: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Phép chia một phân số bất thường cho một số tự nhiên
Chúng tôi sử dụng quy tắc chia một phân số cho số tự nhiên: để chia a b cho số tự nhiên n, bạn chỉ cần nhân mẫu số với n. Từ đây ta được biểu thức: a b: n = a b · n.
Quy tắc chia là hệ quả của quy tắc nhân. Do đó, biểu diễn một số tự nhiên dưới dạng phân số sẽ cho một đẳng thức kiểu này: a b: n \ u003d a b: n 1 \ u003d a b 1 n \ u003d a b n.
Hãy xem xét phép chia này của một phân số cho một số.
Ví dụ 3
Chia phân số 1645 cho số 12.
Dung dịch
Áp dụng quy tắc chia một phân số cho một số. Ta nhận được một biểu thức như 16 45: 12 = 16 45 12.
Hãy rút gọn phân số. Ta được 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.
Câu trả lời: 16 45: 12 = 4 135 .
Phép chia một số tự nhiên cho một phân số chung
Quy tắc phân chia tương tự Về Quy tắc chia một số tự nhiên cho một phân số thường: để chia một số tự nhiên n cho một phân số thường a b, cần nhân số n với nghịch đảo của phân số a b.
Dựa vào quy tắc, ta có n: a b \ u003d n b a, và nhờ quy tắc nhân một số tự nhiên với một phân số thông thường, ta được biểu thức có dạng n: a b \ u003d n b a. Cần phải xem xét sự phân chia này với một ví dụ.
Ví dụ 4
Chia 25 cho 15 28.
Dung dịch
Chúng ta cần chuyển từ phép chia sang phép nhân. Ta viết dưới dạng biểu thức 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Hãy rút gọn phân số và nhận được kết quả dưới dạng phân số 46 2 3.
Câu trả lời: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Chia một phân số chung cho một hỗn số
Khi chia một phân số thông thường cho một hỗn số, bạn có thể dễ dàng chuyển sang chia các phân số thông thường. Bạn cần chuyển một hỗn số thành một phân số không đúng.
Ví dụ 5
Chia phân số 35 16 cho 3 1 8.
Dung dịch
Vì 3 1 8 là một hỗn số, hãy biểu diễn nó dưới dạng một phân số không đúng. Khi đó ta nhận được 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Bây giờ chúng ta hãy chia các phân số. Ta được 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Câu trả lời: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Phép chia hỗn số được thực hiện giống như cách chia số thông thường.
Nếu bạn nhận thấy lỗi trong văn bản, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter
Phép nhân và phép chia phân số.
Chú ý!
Có bổ sung
vật liệu trong Phần đặc biệt 555.
Đối với những người mạnh mẽ "không ..."
Và cho những người "rất nhiều ...")
Phép toán này đẹp hơn nhiều so với phép cộng-trừ! Bởi vì nó dễ dàng hơn. Tôi nhắc bạn: để nhân một phân số với một phân số, bạn cần nhân tử số (đây sẽ là tử số của kết quả) và mẫu số (đây sẽ là mẫu số). Đó là:
Ví dụ:
Mọi thứ cực kỳ đơn giản. Và xin đừng tìm mẫu số chung! Không cần nó ở đây ...
Để chia một phân số cho một phân số, bạn cần lật thứ hai(điều này quan trọng!) phân số và nhân chúng, tức là:
Ví dụ:
Nếu bắt được phép nhân hoặc phép chia với số nguyên và phân số thì không sao cả. Như với phép cộng, chúng ta tạo một phân số từ một số nguyên với một đơn vị ở mẫu số - và tiếp tục! Ví dụ:
Ở trường trung học, bạn thường phải xử lý các phân số ba tầng (hoặc thậm chí bốn tầng!). Ví dụ:
Làm thế nào để đưa phân số này về dạng khá? Vâng, rất dễ dàng! Sử dụng phép chia cho hai điểm:
Nhưng đừng quên về thứ tự phân chia! Không giống như phép nhân, điều này rất quan trọng ở đây! Tất nhiên, chúng ta sẽ không nhầm lẫn giữa 4: 2 hoặc 2: 4. Nhưng trong một phân đoạn ba câu chuyện, rất dễ xảy ra sai sót. Xin lưu ý, ví dụ:
Trong trường hợp đầu tiên (biểu thức bên trái):
Trong phần thứ hai (biểu thức bên phải):
Cảm nhận sự khác biệt? 4 và 1/9!
Thứ tự của phép chia là gì? Hoặc dấu ngoặc, hoặc (như ở đây) độ dài của dấu gạch ngang. Phát triển một con mắt. Và nếu không có dấu ngoặc hoặc dấu gạch ngang, như:
sau đó chia-nhân theo thứ tự, từ trái sang phải!
Và rất đơn giản và thủ thuật quan trọng. Trong các hành động với độ, nó sẽ có ích cho bạn! Hãy chia đơn vị cho bất kỳ phân số nào, chẳng hạn như 13/15:
Cảnh quay đã bị lật! Và nó luôn xảy ra. Khi chia 1 cho bất kỳ phân số nào, kết quả là phân số giống nhau, chỉ có nghịch đảo.
Đó là tất cả các hành động với phân số. Điều này là khá đơn giản, nhưng đưa ra quá đủ lỗi. Ghi chú lời khuyên thiết thực, và chúng (lỗi) sẽ ít hơn!
Những mẹo có ích:
1. Điều quan trọng nhất khi làm việc với biểu thức phân số là độ chính xác và sự chú ý! Không phải những từ thông dụng, không phải lời chúc tốt đẹp! Đây là một nhu cầu nghiêm trọng! Làm tất cả các phép tính trong bài kiểm tra như một nhiệm vụ chính thức, với sự tập trung và rõ ràng. Tốt hơn hết bạn nên viết thừa hai dòng trong bản nháp còn hơn là làm rối tung khi tính toán trong đầu.
2. Trong các ví dụ với các loại khác nhau phân số - đi đến phân số thông thường.
3. Chúng tôi giảm tất cả các phân số đến điểm dừng.
4. Chúng tôi giảm các biểu thức phân số nhiều cấp thành các biểu thức thông thường bằng cách sử dụng phép chia cho hai điểm (chúng tôi tuân theo thứ tự của phép chia!).
5. Chúng ta chia đơn vị thành một phân số trong tâm trí của chúng ta, chỉ đơn giản bằng cách lật lại phân số.
Dưới đây là các nhiệm vụ bạn cần hoàn thành. Câu trả lời được đưa ra sau tất cả các nhiệm vụ. Sử dụng các tài liệu của chủ đề này và lời khuyên thực tế. Ước tính xem bạn có thể giải được bao nhiêu ví dụ một cách chính xác. Lần đầu tiên! Không có máy tính! Và rút ra kết luận đúng ...
Nhớ câu trả lời chính xác thu được từ lần thứ hai (đặc biệt là lần thứ ba) - không tính! Cuộc sống khắc nghiệt là vậy.
Vì thế, giải quyết ở chế độ thi ! Nhân tiện, đây là sự chuẩn bị cho kỳ thi. Chúng tôi giải quyết một ví dụ, chúng tôi kiểm tra, chúng tôi giải quyết như sau. Chúng tôi đã quyết định mọi thứ - chúng tôi đã kiểm tra lại từ đầu tiên đến cuối cùng. Nhưng chỉ sau nhìn vào những câu trả lời.
Tính toán:
Bạn có quyết định không?
Tìm kiếm câu trả lời phù hợp với bạn. Tôi đã cố tình viết chúng một cách lộn xộn, tránh xa sự cám dỗ, có thể nói như vậy ... Chúng đây, câu trả lời, được viết ra bằng dấu chấm phẩy.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Và bây giờ chúng tôi đưa ra kết luận. Nếu mọi thứ suôn sẻ - hạnh phúc cho bạn! Các phép tính cơ bản với phân số không phải là vấn đề của bạn! Bạn có thể làm những việc nghiêm túc hơn. Nếu không...
Vì vậy, bạn có một trong hai vấn đề. Hoặc cả hai cùng một lúc.) Thiếu kiến thức và (hoặc) không chú ý. Nhưng điều này tan Các vấn đề.
Nếu bạn thích trang web này ...
Nhân tiện, tôi có một vài trang web thú vị hơn dành cho bạn.)
Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm ra trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh tức thì. Học tập - với sự quan tâm!)
bạn có thể làm quen với các hàm và các đạo hàm.
§ 87. Phép cộng phân số.
Việc cộng các phân số có nhiều điểm giống với phép cộng các số nguyên. Phép cộng phân số là một hành động bao gồm thực tế là một số số (số hạng) đã cho được kết hợp thành một số (tổng), chứa tất cả các đơn vị và phân số của đơn vị số hạng.
Chúng ta sẽ lần lượt xem xét ba trường hợp:
1. Thêm phân số với cùng mẫu số.
2. Phép cộng các phân số cùng mẫu số.
3. Phép cộng hỗn số.
1. Phép cộng các phân số cùng mẫu số.
Hãy xem xét một ví dụ: 1/5 + 2/5.
Lấy đoạn thẳng AB (Hình 17), làm đơn vị và chia nó thành 5 phần bằng nhau, thì đoạn AC của đoạn này sẽ bằng 1/5 đoạn AB và đoạn CD bằng nhau. sẽ bằng 2/5 AB.
Qua hình vẽ có thể thấy rằng nếu ta lấy đoạn thẳng AD thì lấy đoạn thẳng AB bằng 3/5; nhưng đoạn AD chính xác là tổng các đoạn AC và CD. Vì vậy, chúng ta có thể viết:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Xem xét các số hạng này và số tiền thu được, chúng ta thấy rằng tử số của tổng nhận được bằng cách cộng các tử số của các số hạng và mẫu số không đổi.
Từ điều này, chúng tôi nhận được quy tắc sau: Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn phải thêm tử số của chúng và để cùng mẫu số.
Hãy xem xét một ví dụ:
2. Phép cộng các phân số cùng mẫu số.
Hãy cộng các phân số: 3/4 + 3/8 Trước hết chúng cần được rút gọn về mẫu số chung nhỏ nhất:
Liên kết trung gian 6/8 + 3/8 không thể được viết; chúng tôi đã viết nó ở đây để rõ ràng hơn.
Như vậy, để cộng các phân số có mẫu số khác nhau, trước hết phải quy chúng về mẫu số chung nhỏ nhất, cộng tử số và ký tên vào mẫu số chung.
Hãy xem xét một ví dụ (chúng tôi sẽ viết các thừa số bổ sung trên các phân số tương ứng):
3. Phép cộng hỗn số.
Hãy cộng các số: 2 3/8 + 3 5/6.
Trước tiên, chúng ta hãy đưa các phần phân số của các số của chúng ta về một mẫu số chung và viết lại chúng một lần nữa:
Bây giờ, hãy thêm phần nguyên và phần phân số theo thứ tự:
§ 88. Phép trừ phân số.
Phép trừ phân số được định nghĩa giống như phép trừ các số nguyên. Đây là một hành động mà theo đó, với tổng của hai số hạng và một trong số chúng, một số hạng khác được tìm thấy. Hãy lần lượt xem xét ba trường hợp:
1. Phép trừ các phân số cùng mẫu số.
2. Phép trừ các phân số có mẫu số khác nhau.
3. Phép trừ hỗn số.
1. Phép trừ các phân số cùng mẫu số.
Hãy xem xét một ví dụ:
13 / 15 - 4 / 15
Hãy lấy đoạn thẳng AB (Hình 18), làm đơn vị và chia nó thành 15 phần bằng nhau; thì AC của đoạn này sẽ bằng 1/15 AB, và AD của đoạn này sẽ bằng 13/15 AB. Hãy dành một đoạn ED khác, bằng 4/15 AB.
Chúng ta cần trừ 4/15 khỏi 13/15. Trong hình vẽ, điều này có nghĩa là đoạn ED phải được trừ khỏi đoạn AD. Do đó, đoạn AE sẽ vẫn còn, là 9/15 đoạn AB. Vì vậy, chúng ta có thể viết:
Ví dụ chúng tôi đã thực hiện cho thấy rằng tử số của sự khác biệt nhận được bằng cách trừ các tử số và mẫu số vẫn giữ nguyên.
Vì vậy, để thực hiện phép trừ các phân số có cùng mẫu số, ta cần lấy tử số của trừ đi lấy tử số của mẫu số để trừ cùng mẫu số.
2. Phép trừ các phân số có mẫu số khác nhau.
Thí dụ. 3/4 - 5/8
Đầu tiên, chúng ta hãy rút gọn các phân số này thành mẫu số chung nhỏ nhất:
Liên kết trung gian 6/8 - 5/8 được viết ở đây để rõ ràng hơn, nhưng nó có thể được bỏ qua trong tương lai.
Vì vậy, để trừ một phân số với một phân số, trước hết bạn phải đưa chúng về mẫu số chung nhỏ nhất, sau đó lấy tử số của thương trừ đi tử số và ký tên vào mẫu số chung dưới hiệu của chúng.
Hãy xem xét một ví dụ:
3. Phép trừ hỗn số.
Thí dụ. 10 3/4 - 7 2/3.
Hãy đưa các phần của phân số của giá trị nhỏ nhất và phân thức về mẫu số chung nhỏ nhất:
Chúng tôi đã trừ một tổng thể khỏi một tổng thể và một phân số từ một phân số. Nhưng có những trường hợp khi phần nhỏ của chuỗi con lớn hơn phần nhỏ của giá trị nhỏ nhất. Trong những trường hợp như vậy, bạn cần phải lấy một đơn vị từ phần nguyên của phần bị giảm, chia nó thành những phần mà phần phân số được biểu thị và thêm vào phần phân số của phần bị giảm. Và sau đó phép trừ sẽ được thực hiện theo cách tương tự như trong ví dụ trước:
§ 89. Phép nhân phân số.
Khi học phép nhân phân số, chúng ta sẽ xem xét các câu hỏi sau:
1. Nhân một phân số với một số nguyên.
2. Tìm phân số của một số đã cho.
3. Nhân một số nguyên với một phân số.
4. Nhân một phân số với một phân số.
5. Phép nhân hỗn số.
6. Khái niệm lãi suất.
7. Tìm tỉ số phần trăm của một số đã cho. Hãy xem xét chúng một cách tuần tự.
1. Nhân một phân số với một số nguyên.
Nhân một phân số với một số nguyên có ý nghĩa giống như nhân một số nguyên với một số nguyên. Nhân một phân số (cấp số nhân) với một số nguyên (cấp số nhân) có nghĩa là lập tổng các số hạng giống nhau, trong đó mỗi số hạng bằng cấp số nhân và số số hạng bằng cấp số nhân.
Vì vậy, nếu bạn cần nhân 1/9 với 7, thì điều này có thể được thực hiện như sau:
Chúng tôi dễ dàng nhận được kết quả, vì hành động được rút gọn để cộng các phân số có cùng mẫu số. Do đó,
Xem xét hành động này cho thấy rằng nhân một phân số với một số nguyên tương đương với việc tăng phân số này lên bao nhiêu lần khi có đơn vị trong số nguyên. Và vì việc tăng phân số có thể đạt được bằng cách tăng tử số của nó
hoặc bằng cách giảm mẫu số của nó 
, thì chúng ta có thể nhân tử số với số nguyên hoặc chia mẫu số cho nó, nếu phép chia như vậy có thể thực hiện được.
Từ đây, chúng tôi nhận được quy tắc:
Để nhân một phân số với một số nguyên, bạn cần nhân tử số với số nguyên này và để lại cùng mẫu số hoặc nếu có thể, hãy chia mẫu số cho số này, giữ nguyên tử số.
Khi nhân, có thể viết tắt, ví dụ:
2. Tìm phân số của một số đã cho. Có rất nhiều bài toán mà bạn phải tìm hoặc tính toán một phần của một số nhất định. Sự khác biệt giữa các nhiệm vụ này và các nhiệm vụ khác là chúng cung cấp số lượng của một số đối tượng hoặc đơn vị đo lường và bạn cần tìm một phần của con số này, cũng được chỉ ra ở đây bằng một phân số nhất định. Để dễ hiểu, trước tiên chúng tôi sẽ đưa ra các ví dụ về những vấn đề như vậy, và sau đó giới thiệu phương pháp giải chúng.
Nhiệm vụ 1. Tôi đã có 60 rúp; 1/3 số tiền này tôi đã dùng để mua sách. Những cuốn sách đã có giá bao nhiêu?
Nhiệm vụ 2.Đoàn tàu phải đi được khoảng cách giữa các thành phố A và B bằng 300 km. Anh ấy đã đi được 2/3 quãng đường đó. Đây là bao nhiêu km?
Nhiệm vụ 3. Có 400 ngôi nhà trong làng, 3/4 trong số đó là gạch, còn lại là gỗ. Bao nhiêu nhà gạch?
Đây là một số trong nhiều vấn đề mà chúng ta phải giải quyết để tìm một phân số của một số cho trước. Chúng thường được gọi là các bài toán tìm phân số của một số nhất định.
Giải pháp của vấn đề 1. Từ 60 rúp. Tôi đã dành 1/3 cho sách; Vì vậy, để tìm giá vốn của sách, bạn cần chia số 60 cho 3:
Bài toán 2 giải pháp.Ý nghĩa của bài toán là bạn cần tìm 2/3 trong tổng số 300 km. Tính 1/3 đầu tiên của 300; điều này đạt được bằng cách chia 300 km cho 3:
300: 3 = 100 (đó là 1/3 của 300).
Để tìm được hai phần ba của 300, bạn cần nhân đôi thương số thu được, nghĩa là nhân với 2:
100 x 2 = 200 (đó là 2/3 của 300).
Giải pháp của vấn đề 3.Ở đây bạn cần xác định số ngôi nhà bằng gạch là 3/4 của 400. Đầu tiên hãy tìm 1/4 của 400,
400: 4 = 100 (đó là 1/4 của 400).
Để tính toán ba phần tư của 400, thương số kết quả phải được nhân lên ba lần, nghĩa là nhân với 3:
100 x 3 = 300 (đó là 3/4 của 400).
Dựa vào lời giải của những bài toán này, chúng ta có thể suy ra quy tắc sau:
Để tìm giá trị của một phân số của một số nhất định, bạn cần chia số này cho mẫu số của phân số và nhân thương số của nó với tử số.
3. Nhân một số nguyên với một phân số.
Trước đó (§ 26), người ta đã thiết lập rằng phép nhân các số nguyên phải được hiểu là phép cộng các số hạng giống hệt nhau (5 x 4 \ u003d 5 + 5 + 5 + 5 \ u003d 20). Trong đoạn này (đoạn 1), người ta đã thiết lập rằng nhân một phân số với một số nguyên có nghĩa là tìm tổng các số hạng giống hệt nhau bằng phân số này.
Trong cả hai trường hợp, phép nhân bao gồm việc tìm tổng các số hạng giống nhau.
Bây giờ chúng ta chuyển sang nhân một số nguyên với một phân số. Ở đây chúng ta sẽ gặp như vậy, ví dụ, phép nhân: 9 2/3. Rõ ràng là định nghĩa trước đây của phép nhân không áp dụng cho trường hợp này. Điều này được chứng minh rõ ràng là chúng ta không thể thay thế phép nhân như vậy bằng cách cộng các số bằng nhau.
Do đó, chúng ta sẽ phải đưa ra một định nghĩa mới về phép nhân, tức là, nói cách khác, để trả lời câu hỏi nên hiểu phép nhân với một phân số là gì, hành động này nên được hiểu như thế nào.
Ý nghĩa của phép nhân một số nguyên với một phân số là rõ ràng theo định nghĩa sau: để nhân một số nguyên (cấp số nhân) với một phân số (cấp số nhân) có nghĩa là tìm phân số này của cấp số nhân.
Cụ thể, nhân 9 với 2/3 nghĩa là tìm được 2/3 của chín đơn vị. Trong đoạn trước, những vấn đề như vậy đã được giải quyết; vì vậy thật dễ dàng để tìm ra rằng chúng tôi kết thúc bằng 6.
Nhưng bây giờ một câu hỏi thú vị và quan trọng được đặt ra: tại sao thoạt nhìn lại như vậy các hoạt động khác nhau cách tìm tổng số lượng bằng nhau và tìm phân số của một số, trong số học được gọi là cùng một từ "nhân"?
Điều này xảy ra bởi vì hành động trước đó (lặp lại số với các số hạng nhiều lần) và hành động mới (tìm phân số của một số) đưa ra câu trả lời cho các câu hỏi đồng nhất. Điều này có nghĩa là chúng tôi tiến hành ở đây từ việc cân nhắc rằng các câu hỏi hoặc nhiệm vụ đồng nhất được giải quyết bằng một và cùng một hành động.
Để hiểu điều này, hãy xem xét vấn đề sau: “1 m vải có giá 50 rúp. 4 m vải như vậy sẽ có giá bao nhiêu?
Bài toán này được giải bằng cách nhân số rúp (50) với số mét (4), tức là 50 x 4 = 200 (rúp).
Hãy giải bài toán tương tự, nhưng trong đó số lượng vải sẽ được biểu thị dưới dạng phân số: “1 m vải có giá 50 rúp. 3/4 m tấm vải đó sẽ có giá bao nhiêu?
Vấn đề này cũng cần được giải quyết bằng cách nhân số rúp (50) với số mét (3/4).
Bạn cũng có thể thay đổi các số trong đó nhiều lần mà không làm thay đổi ý nghĩa của vấn đề, ví dụ: lấy 9/10 m hoặc 2 3/10 m, v.v.
Vì các bài toán này có nội dung giống nhau và chỉ khác nhau về số lượng nên chúng tôi gọi các thao tác được sử dụng để giải chúng là cùng một từ - phép nhân.
Làm thế nào là một số nguyên nhân với một phân số?
Hãy lấy những con số gặp phải trong vấn đề cuối cùng:
Theo định nghĩa, chúng ta phải tìm 3/4 của 50. Đầu tiên chúng ta tìm 1/4 của 50, sau đó là 3/4.
1/4 của 50 là 50/4;
3/4 của 50 là.
Do đó.
Hãy xem xét một ví dụ khác: 12 5/8 =?
1/8 của 12 là 12/8,
5/8 của số 12 là.
Do đó,
Từ đây, chúng tôi nhận được quy tắc:
Để nhân một số nguyên với một phân số, bạn cần nhân số nguyên với tử số của phân số và biến tích này thành tử số, và ký tên của phân số đã cho dưới dạng mẫu số.
Chúng tôi viết quy tắc này bằng cách sử dụng các chữ cái:
Để làm cho quy tắc này hoàn toàn rõ ràng, cần nhớ rằng một phân số có thể được coi là thương số. Do đó, sẽ rất hữu ích nếu so sánh quy tắc tìm được với quy tắc nhân một số với thương, được quy định trong § 38
Cần phải nhớ rằng trước khi thực hiện phép nhân, bạn nên làm (nếu có thể) vết cắt, Ví dụ:
4. Nhân một phân số với một phân số. Nhân một phân số với một phân số có nghĩa giống như nhân một số nguyên với một phân số, đó là khi nhân một phân số với một phân số, bạn cần tìm phân số trong cấp số nhân từ phân số đầu tiên (cấp số nhân).
Cụ thể, nhân 3/4 với 1/2 (một nửa) có nghĩa là tìm một nửa của 3/4.
Làm thế nào để bạn nhân một phân số với một phân số?
Hãy lấy một ví dụ: 3/4 nhân với 5/7. Điều này có nghĩa là bạn cần tìm 5/7 từ 3/4. Tìm 1/7 đầu tiên của 3/4 và sau đó là 5/7
1/7 của 3/4 sẽ được biểu thị như thế này:
5/7 số 3/4 sẽ được thể hiện như sau:
Theo cách này,
Một ví dụ khác: 5/8 lần 4/9.
1/9 của 5/8 là,
4/9 số 5/8 là.
Theo cách này, 
Từ các ví dụ này, có thể suy ra quy tắc sau:
Để nhân một phân số với một phân số, bạn cần nhân tử số với tử số và mẫu số với mẫu số và làm cho tích thứ nhất là tử số và tích thứ hai là mẫu số của tích.
Đây là quy tắc trong nhìn chung có thể được viết như thế này:
Khi nhân, cần phải thực hiện (nếu có thể) giảm. Hãy xem xét các ví dụ:
5. Phép nhân hỗn số. Tại vì hỗn số có thể dễ dàng bị thay thế bởi các phân số không đúng, trường hợp này thường được sử dụng khi nhân các hỗn số. Điều này có nghĩa là trong những trường hợp mà số nhân và cấp số nhân, hoặc cả hai thừa số được biểu thị dưới dạng hỗn số, thì chúng được thay thế bằng các phân số không thích hợp. Ví dụ, nhân với hỗn số: 2 1/2 và 3 1/5. Chúng ta biến mỗi chúng thành một phân số không đúng và sau đó chúng ta sẽ nhân các phân số có được theo quy tắc nhân một phân số với một phân số:
Qui định.Để nhân hỗn số, trước hết bạn phải chuyển chúng thành phân số không đúng và sau đó nhân theo quy tắc nhân một phân số với một phân số.
Ghi chú. Nếu một trong các thừa số là số nguyên thì phép nhân có thể được thực hiện dựa trên luật phân phối như sau:
6. Khái niệm lãi suất. Khi giải quyết vấn đề và khi thực hiện các phép tính thực tế khác nhau, chúng ta sử dụng tất cả các loại phân số. Nhưng người ta phải ghi nhớ rằng nhiều đại lượng không thừa nhận bất kỳ, mà là các phân số tự nhiên cho chúng. Ví dụ, bạn có thể lấy một phần trăm (1/100) đồng rúp, nó sẽ là một xu, hai phần trăm là 2 kopecks, ba phần trăm là 3 kopecks. Bạn có thể lấy 1/10 đồng rúp, nó sẽ là "10 kopecks, hoặc một xu. Bạn có thể lấy một phần tư rúp, tức là 25 kopecks, nửa rúp, tức là 50 kopecks (năm mươi kopecks). Nhưng thực tế thì không 'không lấy, ví dụ, 2/7 rúp vì rúp không được chia thành phần bảy.
Đơn vị đo trọng lượng, tức là kilôgam, trước hết cho phép chia nhỏ số thập phân, ví dụ: 1/10 kg hoặc 100 g. Và các phân số của kilôgam như 1/6, 1/11, 1 / 13 là không phổ biến.
Nói chung, các số đo (số liệu) của chúng tôi là số thập phân và cho phép chia nhỏ số thập phân.
Tuy nhiên, cần lưu ý rằng việc sử dụng cùng một phương pháp chia nhỏ (thống nhất) các đại lượng là vô cùng hữu ích và thuận tiện trong nhiều trường hợp. Kinh nghiệm nhiều năm cho thấy sự phân chia hợp tình hợp lý như vậy chính là sự phân chia “trăm bề”. Hãy xem xét một vài ví dụ liên quan đến các lĩnh vực thực hành đa dạng nhất của con người.
1. Giá sách đã giảm 12/100 giá trước đó.
Thí dụ. Giá trước đây của cuốn sách là 10 rúp. Cô ấy đã giảm 1 rúp. 20 kop.
2. Ngân hàng tiết kiệm trả trong năm cho người gửi tiết kiệm 2/100 số tiền gửi tiết kiệm.
Thí dụ. 500 rúp được đưa vào bàn tính tiền, thu nhập từ số tiền này trong năm là 10 rúp.
3. Số học sinh tốt nghiệp của một trường là 5/100 tổng số học sinh.
THÍ DỤ Chỉ có 1.200 sinh viên theo học tại trường, 60 trong số họ đã tốt nghiệp ra trường.
Phần trăm của một số được gọi là phần trăm..
Từ "phần trăm" được mượn từ Latin và gốc của nó "cent" có nghĩa là một trăm. Cùng với giới từ (pro centum), từ này có nghĩa là "cho một trăm." Ý nghĩa của biểu thức này xuất phát từ thực tế là ban đầu trong Rome cổ đại lãi suất là số tiền mà con nợ trả cho người cho vay "cứ một trăm." Từ "cent" được nghe trong những từ quen thuộc như: centner (một trăm kilôgam), centimet (họ nói là centimet).
Ví dụ, thay vì nói rằng nhà máy sản xuất 1/100 tổng số sản phẩm do nó sản xuất trong tháng qua, chúng ta sẽ nói điều này: nhà máy đã sản xuất một phần trăm sản phẩm bị loại bỏ trong tháng qua. Thay vì nói: nhà máy sản xuất nhiều hơn 4/100 sản phẩm so với kế hoạch đã lập, chúng ta sẽ nói: nhà máy sản xuất vượt kế hoạch 4 phần trăm.
Các ví dụ trên có thể được diễn đạt theo cách khác:
1. Giá sách đã giảm 12 phần trăm so với giá trước đó.
2. Các ngân hàng tiết kiệm trả cho người gửi tiền 2 phần trăm mỗi năm số tiền gửi tiết kiệm.
3. Số học sinh tốt nghiệp của một trường bằng 5 phần trăm tổng số học sinh của trường.
Để rút gọn chữ cái, thông thường người ta viết dấu% thay vì từ "phần trăm".
Tuy nhiên, cần phải nhớ rằng dấu% thường không được viết trong các phép tính, nó có thể được viết trong câu lệnh bài toán và trong kết quả cuối cùng. Khi thực hiện các phép tính, bạn cần viết phân số có mẫu số là 100 thay vì số nguyên có biểu tượng này.
Bạn cần có thể thay thế một số nguyên có biểu tượng được chỉ định bằng một phân số có mẫu số là 100:
Ngược lại, bạn cần phải làm quen với việc viết một số nguyên với biểu tượng được chỉ định thay vì một phân số có mẫu số là 100:
7. Tìm tỉ số phần trăm của một số đã cho.
Nhiệm vụ 1. Trường đã nhận 200 mét khối. m củi, với củi bạch dương chiếm 30%. Đã có bao nhiêu gỗ bạch dương?
Ý nghĩa của vấn đề này là củi bạch dương chỉ là một phần của củi được giao cho trường học, và phần này được biểu thị bằng tỷ lệ 30/100. Vì vậy, chúng ta phải đối mặt với nhiệm vụ tìm một phân số của một số. Để giải nó, chúng ta phải nhân 200 với 30/100 (các nhiệm vụ tìm phân số của một số được giải bằng cách nhân một số với một phân số.).
Vậy 30% của 200 bằng 60.
Phân số 30/100 gặp phải trong bài toán này có thể giảm đi 10. Có thể thực hiện phép giảm này ngay từ đầu; giải pháp cho vấn đề sẽ không thay đổi.
Nhiệm vụ 2. Có 300 trẻ em trong trại Các lứa tuổi khác nhau. Trẻ 11 tuổi là 21%, trẻ 12 tuổi là 61% và cuối cùng là trẻ 13 tuổi là 18%. Có bao nhiêu trẻ em ở mỗi độ tuổi trong trại?
Trong bài toán này, bạn cần thực hiện ba phép tính, đó là tìm liên tiếp số trẻ em 11 tuổi, 12 tuổi và cuối cùng là 13 tuổi.
Vì vậy, ở đây nó sẽ cần thiết để tìm một phân số của một số ba lần. Hãy làm nó:
1) Có bao nhiêu trẻ em 11 tuổi?
2) Có bao nhiêu trẻ em 12 tuổi?
3) Có bao nhiêu em 13 tuổi?
Sau khi giải quyết vấn đề, nó là hữu ích để cộng các số tìm được; tổng của chúng phải là 300:
63 + 183 + 54 = 300
Bạn cũng nên chú ý đến thực tế là tổng các phần trăm được đưa ra trong điều kiện của bài toán là 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Điều này cho thấy rằng Tổng số trẻ em trong trại được thu nhận 100%.
3 a da cha 3. Công nhân nhận được 1.200 rúp mỗi tháng. Trong số này, anh ấy chi 65% cho thực phẩm, 6% cho một căn hộ và sưởi ấm, 4% cho ga, điện và radio, 10% cho nhu cầu văn hóa và 15% anh ấy tiết kiệm được. Bao nhiêu tiền đã được chi cho các nhu cầu được chỉ ra trong nhiệm vụ?
Để giải bài toán này, bạn cần tìm một phân số của số 1.200 gấp 5 lần.
1) Bao nhiêu tiền được chi cho thực phẩm? Nhiệm vụ nói rằng chi phí này là 65% của tất cả các khoản thu nhập, tức là 65/100 của con số 1.200. Hãy thực hiện phép tính:
2) Bao nhiêu tiền đã được trả cho một căn hộ có hệ thống sưởi? Lập luận như phần trước, chúng ta đi đến phép tính sau:
3) Bạn đã trả bao nhiêu tiền cho gas, điện và radio?
4) Bao nhiêu tiền được chi cho các nhu cầu văn hóa?
5) Người công nhân đã tiết kiệm được bao nhiêu tiền?
Để xác minh, sẽ hữu ích khi thêm các số tìm thấy trong 5 câu hỏi này. Số tiền phải là 1.200 rúp. Tất cả các khoản thu nhập đều được tính là 100%, điều này rất dễ kiểm tra bằng cách cộng các tỷ lệ phần trăm được đưa ra trong báo cáo vấn đề.
Chúng tôi đã giải quyết được ba vấn đề. Mặc dù thực tế là các nhiệm vụ này giải quyết những thứ khác nhau(giao củi cho trường học, số lượng trẻ em nhiều lứa tuổi, chi phí của người lao động), họ đã được giải quyết theo cách tương tự. Điều này xảy ra bởi vì trong tất cả các nhiệm vụ, cần phải tìm một vài phần trăm của các số đã cho.
§ 90. Phép chia phân số.
Khi học phép chia phân số, chúng ta sẽ xem xét các câu hỏi sau:
1. Chia một số nguyên cho một số nguyên.
2. Phép chia một phân số cho một số nguyên
3. Phép chia một số nguyên cho một phân số.
4. Phép chia một phân số cho một phân số.
5. Phép chia hỗn số.
6. Tìm một số đã cho là phân số của nó.
7. Tìm một số bằng phần trăm của nó.
Hãy xem xét chúng một cách tuần tự.
1. Chia một số nguyên cho một số nguyên.
Như đã được chỉ ra trong phần về số nguyên, phép chia là hành động bao gồm thực tế là, với tích của hai yếu tố (số bị chia) và một trong những yếu tố này (số chia), một thừa số khác được tìm thấy.
Phép chia một số nguyên cho một số nguyên mà chúng ta đã xem xét trong khoa các số nguyên. Chúng ta đã gặp hai trường hợp chia: phép chia không có dư hoặc "hoàn toàn" (150: 10 = 15) và phép chia có dư (100: 9 = 11 và 1 có dư). Do đó, chúng ta có thể nói rằng trong lĩnh vực số nguyên, không phải lúc nào cũng có thể chia chính xác, bởi vì số bị chia không phải lúc nào cũng là tích của số bị chia và số nguyên. Sau khi giới thiệu phép nhân với một phân số, chúng ta có thể xem xét bất kỳ trường hợp chia số nguyên nào cũng được (chỉ loại trừ phép chia cho số 0).
Ví dụ, chia 7 cho 12 nghĩa là tìm một số có tích nhân với 12 sẽ là 7. Số này là phân số 7/12 vì 7/12 12 = 7. Một ví dụ khác: 14: 25 = 14/25 vì 14/25 25 = 14.
Vì vậy, để chia một số nguyên cho một số nguyên, bạn cần phải lập một phân số, tử số của nó bằng số bị chia và mẫu số là số chia.
2. Phép chia một phân số cho một số nguyên.
Chia phân số 6/7 cho 3. Theo định nghĩa của phép chia ở trên, ta có tích (6/7) và một trong các thừa số (3); yêu cầu phải tìm thừa số thứ hai sao cho khi nhân với 3 sẽ cho tích đã cho là 6/7. Rõ ràng, nó phải nhỏ hơn sản phẩm này ba lần. Điều này có nghĩa là nhiệm vụ đặt ra trước chúng ta là giảm phân số 6/7 xuống 3 lần.
Chúng ta đã biết rằng việc giảm một phân số có thể được thực hiện bằng cách giảm tử số của nó hoặc bằng cách tăng mẫu số của nó. Do đó, bạn có thể viết:
TẠI trường hợp này tử số 6 chia hết cho 3 nên bớt tử số đi 3 lần.
Hãy lấy một ví dụ khác: 5/8 chia hết cho 2. Ở đây tử số 5 không chia hết cho 2, có nghĩa là mẫu số sẽ phải nhân với số này:
Dựa trên điều này, chúng tôi có thể nêu quy tắc: Để chia một phân số cho một số nguyên, bạn cần chia tử số của phân số cho số nguyên đó(nếu có thể), để lại cùng một mẫu số hoặc nhân mẫu số của phân số với số này, để lại cùng một tử số.
3. Phép chia một số nguyên cho một phân số.
Để yêu cầu chia 5 cho 1/2, tức là tìm một số mà sau khi nhân với 1/2 sẽ cho tích 5. Rõ ràng, số này phải lớn hơn 5, vì 1/2 là một phân số thích hợp, và khi nhân một số với một phân số thích hợp, tích phải nhỏ hơn cấp số nhân. Để làm rõ hơn, chúng ta hãy viết các hành động của chúng ta như sau: 5: 1/2 = X nên x 1/2 \ u003d 5.
Chúng ta phải tìm một số như vậy X , khi nhân với 1/2, sẽ cho 5. Vì nhân một số nhất định với 1/2 có nghĩa là tìm 1/2 của số này, do đó, 1/2 của số chưa biết X là 5, và toàn bộ số X gấp đôi, tức là 5 2 \ u003d 10.
Vậy 5: 1/2 = 5 2 = 10
Hãy kiểm tra: 
Hãy xem xét thêm một ví dụ. Để nó được yêu cầu chia 6 cho 2/3. Đầu tiên chúng ta hãy thử tìm kết quả mong muốn bằng cách sử dụng hình vẽ (Hình 19).
Hình 19
Vẽ một đoạn thẳng AB, bằng 6 trong một số đơn vị và chia mỗi đơn vị thành 3 phần bằng nhau. Trong mỗi đơn vị, ba phần ba (3/3) trong toàn bộ đoạn thẳng AB lớn hơn 6 lần, tức là e. 18/3. Chúng tôi kết nối với sự trợ giúp của dấu ngoặc nhỏ 18 thu được các phân đoạn của 2; Sẽ chỉ có 9 phân đoạn. Điều này có nghĩa là phân số 2/3 được chứa trong b đơn vị 9 lần, hay nói cách khác, phân số 2/3 có 9 lần nhỏ hơn 6 đơn vị nguyên. Do đó,
Làm thế nào để có được kết quả này mà không cần một hình vẽ chỉ sử dụng các phép tính? Ta sẽ lập luận như sau: yêu cầu chia 6 cho 2/3 tức là yêu cầu trả lời câu hỏi thì 2/3 bằng bao nhiêu lần chứa trong 6. Trước hết chúng ta hãy tìm hiểu xem: 1/3 bằng bao nhiêu lần. chứa trong 6? Trong một đơn vị toàn bộ - 3 phần ba và trong 6 đơn vị - nhiều hơn 6 lần, tức là 18 phần ba; Để tìm số này, chúng ta phải nhân 6 với 3. Do đó, 1/3 được chứa trong b đơn vị 18 lần, và 2/3 được chứa trong b không phải là 18 lần, mà là một nửa số lần, tức là 18: 2 = 9. Do đó, khi chia 6 cho 2/3 ta đã làm như sau:
Từ đây chúng ta nhận được quy tắc chia một số nguyên cho một phân số. Để chia một số nguyên cho một phân số, bạn cần nhân số nguyên này với mẫu số của phân số đã cho và lấy tích này thành tử số thì chia cho tử số của phân số đã cho.
Chúng tôi viết quy tắc bằng cách sử dụng các chữ cái:
Để làm cho quy tắc này hoàn toàn rõ ràng, cần nhớ rằng một phân số có thể được coi là thương số. Do đó, sẽ rất hữu ích nếu so sánh quy tắc tìm được với quy tắc chia một số cho một thương, được quy định trong § 38. Lưu ý rằng công thức tương tự đã được thu được ở đó.
Khi phân chia, có thể viết tắt, ví dụ:
4. Phép chia một phân số cho một phân số.
Để nó được yêu cầu để chia 3/4 cho 3/8. Điều gì sẽ biểu thị số sẽ nhận được sau khi chia? Nó sẽ trả lời câu hỏi phân số 3/8 bằng bao nhiêu lần phân số 3/4. Để hiểu vấn đề này, chúng ta hãy vẽ (Hình 20).
Lấy đoạn thẳng AB, lấy làm đơn vị, chia thành 4 phần bằng nhau và đánh dấu 3 phần như vậy. Đoạn AC sẽ bằng 3/4 đoạn AB. Bây giờ chúng ta hãy chia mỗi người trong số bốn đoạn ban đầu làm đôi, khi đó đoạn thẳng AB sẽ được chia thành 8 phần bằng nhau và mỗi phần như vậy sẽ bằng 1/8 đoạn thẳng AB. Ta nối 3 đoạn thẳng như vậy bằng các dây cung thì mỗi đoạn thẳng AD và DC sẽ bằng 3/8 đoạn thẳng AB. Hình vẽ bên cho biết đoạn bằng 3/8 chứa trong đoạn bằng 3/4 đúng 2 lần; Vì vậy, kết quả của phép chia có thể được viết như sau:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Hãy xem xét thêm một ví dụ. Để nó được yêu cầu chia 15/16 cho 3/32:
Chúng ta có thể lập luận như sau: chúng ta cần tìm một số mà sau khi nhân với 3/32 sẽ cho một tích bằng 15/16. Hãy viết các phép tính như sau:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 số chưa biết X chiếm 15/16
1/32 số chưa biết X Là ,
32/32 số X trang điểm .
Do đó,
Vì vậy, để chia một phân số cho một phân số, bạn cần nhân tử số của phân số thứ nhất với mẫu số thứ hai, và nhân mẫu số của phân số thứ nhất với tử số thứ hai và làm cho tích thứ nhất là tử số và thứ hai mẫu số.
Hãy viết quy tắc bằng cách sử dụng các chữ cái:
Khi phân chia, có thể viết tắt, ví dụ:
5. Phép chia hỗn số.
Khi chia hỗn số, trước tiên chúng phải được chuyển thành các phân số không thích hợp, rồi chia các phân số có được theo quy tắc chia các phân số. Hãy xem xét một ví dụ:
Chuyển hỗn số thành phân số không đúng:
Bây giờ chúng ta hãy chia:
Như vậy, để chia hỗn số, bạn cần chuyển chúng thành phân số không đúng rồi chia theo quy tắc chia phân số.
6. Tìm một số đã cho là phân số của nó.
Trong số các nhiệm vụ khác nhau về phân số, đôi khi có những nhiệm vụ trong đó giá trị của một phân số nào đó của một số chưa biết được đưa ra và bắt buộc phải tìm số này. Dạng bài này sẽ nghịch với bài toán tìm phân số của một số cho trước; có một số đã cho và bắt buộc phải tìm một phần nhỏ nào đó của số này, ở đây người ta đưa ra một phần nhỏ của một số và bắt buộc phải tìm chính số này. Ý tưởng này sẽ trở nên rõ ràng hơn nếu chúng ta chuyển sang giải pháp của loại vấn đề này.
Nhiệm vụ 1. Vào ngày đầu tiên, các công ty lắp kính đã lắp kính 50 cửa sổ, tức là 1/3 tổng số cửa sổ của ngôi nhà đã xây. Có bao nhiêu cửa sổ trong ngôi nhà này?
Dung dịch. Bài toán nói rằng 50 cửa sổ lắp kính chiếm 1/3 tổng số cửa sổ của ngôi nhà, nghĩa là có tổng số cửa sổ nhiều gấp 3 lần, tức là
Ngôi nhà có 150 cửa sổ.
Nhiệm vụ 2. Cửa hàng đã bán được 1.500 kg bột, bằng 3/8 tổng số bột của cửa hàng. Nguồn cung cấp bột ban đầu của cửa hàng là bao nhiêu?
Dung dịch. Có thể thấy, điều kiện của bài toán là 1.500 kg bột đã bán ra chiếm 3/8 tổng lượng hàng tồn kho; điều này có nghĩa là 1/8 cổ phiếu này sẽ ít hơn 3 lần, tức là để tính toán nó, bạn cần giảm 1500 đi 3 lần:
1.500: 3 = 500 (đó là 1/8 số hàng).
Rõ ràng, toàn bộ cổ phiếu sẽ lớn hơn 8 lần. Do đó,
500 8 \ u003d 4.000 (kg).
Lượng bột cung cấp ban đầu của cửa hàng là 4.000 kg.
Từ việc xem xét vấn đề này, có thể suy ra quy tắc sau.
Để tìm một số với một giá trị đã cho của phân số của nó, chỉ cần chia giá trị này cho tử số của phân số và nhân kết quả với mẫu số của phân số là đủ.
Chúng tôi đã giải quyết hai vấn đề về tìm một số đã cho là phân số của nó. Các bài toán như vậy, đặc biệt được thấy rõ ở bài cuối cùng, được giải bằng hai hành động: chia (khi tìm thấy một phần) và nhân (khi tìm thấy cả số).
Tuy nhiên, sau khi chúng ta đã nghiên cứu về phép chia phân số, các bài toán trên có thể được giải quyết bằng một thao tác, đó là: chia cho một phân số.
Ví dụ: tác vụ cuối cùng có thể được giải quyết trong một hành động như sau:
Trong tương lai, chúng ta sẽ giải quyết vấn đề tìm một số bằng phân số của nó trong một hành động - phép chia.
7. Tìm một số bằng phần trăm của nó.
Trong các nhiệm vụ này, bạn sẽ cần tìm một số, biết một vài phần trăm của số này.
Nhiệm vụ 1. Vào đầu năm nay, tôi đã nhận được 60 rúp từ ngân hàng tiết kiệm. thu nhập từ số tiền tôi gửi tiết kiệm một năm trước. Tôi đã gửi bao nhiêu tiền vào ngân hàng tiết kiệm? (Văn phòng tiền mặt cho người gửi tiền 2% thu nhập mỗi năm.)
Ý nghĩa của vấn đề là một số tiền nhất định đã được tôi gửi vào một ngân hàng tiết kiệm và nằm đó trong một năm. Sau một năm, tôi nhận được 60 rúp từ cô ấy. thu nhập, bằng 2/100 số tiền tôi đã bỏ vào. Tôi đã gửi bao nhiêu tiền?
Do đó, khi biết một phần của số tiền này, được biểu thị bằng hai cách (bằng rúp và bằng phân số), chúng ta phải tìm toàn bộ số tiền chưa biết. Đây là một bài toán bình thường khi tìm một số đã cho là phân số của nó. Các nhiệm vụ sau được giải quyết theo bộ phận:
Vì vậy, 3.000 rúp đã được đưa vào ngân hàng tiết kiệm.
Nhiệm vụ 2. Trong hai tuần, ngư dân đã hoàn thành 64% kế hoạch tháng, chuẩn bị được 512 tấn cá. Kế hoạch của họ là gì?
Từ hiện trạng sự cố, được biết các ngư dân đã hoàn thành một phần kế hoạch. Khối lượng này là 512 tấn, đạt 64% so với kế hoạch. Theo kế hoạch cần thu hoạch bao nhiêu tấn cá thì chúng tôi không biết. Giải pháp của vấn đề sẽ bao gồm việc tìm ra con số này.
Các nhiệm vụ như vậy được giải quyết bằng cách chia:
Như vậy theo kế hoạch bạn cần chuẩn bị 800 tấn cá.
Nhiệm vụ 3. Chuyến tàu đi từ Riga đến Matxcova. Khi đi qua cây số 276, một hành khách hỏi người soát vé rằng họ đã đi được quãng đường bao nhiêu. Về điều này, người soát vé trả lời: "Chúng tôi đã bảo hiểm 30% toàn bộ hành trình." Khoảng cách từ Riga đến Moscow là gì?
Qua điều kiện của bài toán có thể thấy 30% quãng đường từ Riga đến Matxcova là 276 km. Chúng ta cần tìm toàn bộ khoảng cách giữa các thành phố này, tức là đối với phần này, hãy tìm toàn bộ:
§ 91. Các số đối ứng. Thay thế phép chia bằng phép nhân.
Lấy phân số 2/3 và sắp xếp lại tử số về vị trí mẫu số, ta được 3/2. Chúng ta có một phân số, nghịch đảo của cái này.
Để nhận được một nghịch đảo của một phân số cho trước, bạn cần đặt tử số của nó ở vị trí của mẫu số và mẫu số ở vị trí của tử số. Bằng cách này, chúng ta có thể nhận được một phân số là nghịch đảo của bất kỳ phân số nào. Ví dụ:
3/4, đảo ngược 4/3; 5/6, đảo ngược 6/5
Hai phân số có tính chất tử số thứ nhất bằng mẫu số thứ hai và mẫu số thứ nhất là tử số thứ hai được gọi là nghịch biến lẫn nhau.
Bây giờ chúng ta hãy nghĩ xem phân số nào sẽ là nghịch đảo của 1/2. Rõ ràng, nó sẽ là 1/2, hoặc chỉ là 2. Tìm kiếm nghịch đảo của điều này, chúng tôi nhận được một số nguyên. Và trường hợp này không phải là cá biệt; ngược lại, đối với tất cả các phân số có tử số là 1 (một), số nghịch đảo sẽ là số nguyên, ví dụ:
1/3, nghịch đảo 3; 1/5, đảo ngược 5
Vì khi tìm số tương hỗ, chúng tôi cũng gặp số nguyên, trong tương lai chúng tôi sẽ không nói về số có đi có lại, mà về số có đi có lại.
Hãy tìm cách viết nghịch đảo của một số nguyên. Đối với phân số, điều này được giải quyết một cách đơn giản: bạn cần đặt mẫu số vào vị trí của tử số. Theo cách tương tự, bạn có thể lấy nghịch đảo của một số nguyên, vì bất kỳ số nguyên nào cũng có thể có mẫu số là 1. Vì vậy, nghịch đảo của 7 sẽ là 1/7, vì 7 \ u003d 7/1; đối với số 10 thì ngược lại là 1/10 vì 10 = 10/1
Ý tưởng này có thể được diễn đạt theo một cách khác: nghịch đảo của một số nhất định nhận được bằng cách chia một cho số đã cho. Câu lệnh này không chỉ đúng với số nguyên mà còn đúng với phân số. Thật vậy, nếu bạn muốn viết một số là nghịch đảo của phân số 5/9, thì chúng ta có thể lấy 1 và chia nó cho 5/9, tức là
Bây giờ chúng ta hãy chỉ ra một tài sản các số tương hỗ lẫn nhau, sẽ hữu ích cho chúng tôi: tích của các số nghịch đảo bằng một. Thật:
Sử dụng thuộc tính này, chúng ta có thể tìm các đối ứng theo cách sau. Hãy tìm số nghịch đảo của 8.
Hãy biểu thị nó bằng chữ cái X , sau đó 8 X = 1, do đó X = 1/8. Hãy tìm một số khác, nghịch đảo của 7/12, biểu thị nó bằng một chữ cái X , sau đó 7/12 X = 1, do đó X = 1: 7/12 hoặc X = 12 / 7 .
Ở đây chúng tôi giới thiệu khái niệm số nghịch đảo nhằm bổ sung một chút thông tin về phép chia phân số.
Khi chúng ta chia số 6 cho 3/5, thì chúng ta làm như sau:
Trả tiền Đặc biệt chú ý vào biểu thức và so sánh nó với biểu thức đã cho:.
Nếu chúng ta lấy biểu thức một cách riêng lẻ, không có mối liên hệ với biểu thức trước đó, thì không thể giải quyết được câu hỏi nó đến từ đâu: chia 6 cho 3/5 hay nhân 6 với 5/3. Trong cả hai trường hợp, kết quả là như nhau. Vì vậy, chúng ta có thể nói Việc chia một số này cho một số khác có thể được thay thế bằng cách nhân số bị chia với nghịch đảo của số bị chia.
Các ví dụ mà chúng tôi đưa ra dưới đây hoàn toàn xác nhận kết luận này.
) và quy đồng mẫu số (ta lấy mẫu số là tích).
Công thức nhân phân số:
Ví dụ:
Trước khi thực hiện phép nhân tử số và mẫu số, cần kiểm tra khả năng rút gọn phân số. Nếu bạn giảm được phân số, bạn sẽ dễ dàng tiếp tục thực hiện các phép tính hơn.
Phép chia một phân số thông thường cho một phân số.
Phép chia phân số liên quan đến một số tự nhiên.
Nó không đáng sợ như nó có vẻ. Như trong trường hợp cộng, chúng ta chuyển một số nguyên thành một phân số với một đơn vị ở mẫu số. Ví dụ:
Phép nhân hỗn số.
Quy tắc nhân phân số (hỗn số):
- chuyển đổi các phân số hỗn hợp thành không đúng;
- nhân tử số và mẫu số của phân số;
- chúng tôi giảm phân số;
- nếu chúng ta nhận được một phân số không đúng, thì chúng ta chuyển phân số không đúng thành hỗn hợp.
Ghi chú!Để nhân một phân số hỗn hợp với một phân số hỗn hợp khác, trước tiên bạn cần đưa chúng về dạng phân số không đúng, sau đó nhân theo quy tắc nhân phân số thông thường.
Cách thứ hai để nhân một phân số với một số tự nhiên.
Sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng phương pháp thứ hai để nhân một phân số thông thường với một số.
Ghi chú!Để nhân một phân số với một số tự nhiên, cần chia mẫu số của phân số cho số này và giữ nguyên tử số.
Từ ví dụ trên, rõ ràng là tùy chọn này thuận tiện hơn để sử dụng khi mẫu số của một phân số được chia không có dư cho một số tự nhiên.
Phân số nhiều cấp.
Ở trường trung học, các phân số ba tầng (hoặc nhiều hơn) thường được tìm thấy. Thí dụ:
Để đưa một phân số như vậy về dạng thông thường, phép chia cho 2 điểm được sử dụng:
Ghi chú! Khi chia phân số, thứ tự các phép chia rất quan trọng. Hãy cẩn thận, rất dễ nhầm lẫn ở đây.
Ghi chú, Ví dụ:
Khi chia một phần cho bất kỳ phân số nào, kết quả sẽ là phân số giống nhau, chỉ ngược lại:
Các mẹo thực tế để nhân và chia phân số:
1. Điều quan trọng nhất khi làm việc với biểu thức phân số là tính chính xác và sự chú ý. Làm tất cả các tính toán một cách cẩn thận và chính xác, tập trung và rõ ràng. Tốt hơn hết là bạn nên viết ra một vài dòng thừa trong bản nháp còn hơn là để bạn rối rắm với những phép tính trong đầu.
2. Trong các nhiệm vụ với các loại phân số - hãy chuyển sang loại phân số thông thường.
3. Ta giảm tất cả các phân số cho đến khi không giảm được nữa.
4. Chúng ta đưa biểu thức phân số nhiều cấp thành phân số thông thường, sử dụng phép chia cho 2 điểm.
5. Chúng ta chia đơn vị thành một phân số trong tâm trí của chúng ta, chỉ đơn giản bằng cách lật lại phân số.
Đang tải...