Đưa các phân số về mẫu số chung. Quy đồng mẫu số chung nhỏ nhất, quy tắc, ví dụ, giải pháp

Ban đầu tôi muốn bao gồm các phương pháp mẫu số chung trong đoạn "Cộng và Trừ các phân số". Nhưng có quá nhiều thông tin và tầm quan trọng của nó cũng rất lớn (xét cho cùng, không chỉ các phân số có mẫu số chung), nên tốt hơn là nên nghiên cứu vấn đề này một cách riêng biệt.

Vì vậy, giả sử chúng ta có hai phân số với mẫu số khác nhau. Và chúng tôi muốn đảm bảo rằng các mẫu số trở nên giống nhau. Thuộc tính chính của một phân số có tác dụng giải cứu, để tôi nhắc bạn, nghe như thế này:

Một phân số không thay đổi nếu tử số và mẫu số của nó được nhân với cùng một số khác không.

Vì vậy, nếu bạn chọn các thừa số một cách chính xác, mẫu số của các phân số sẽ bằng nhau - quá trình này được gọi là rút gọn về mẫu số chung. Và những con số mong muốn, "san bằng" mẫu số, được gọi là thừa số bổ sung.

Tại sao phải quy đồng mẫu số về một mẫu số chung? Đây chỉ là một vài lý do:

Phép cộng và phép trừ các phân số có mẫu số khác nhau. Không có cách nào khác để thực hiện thao tác này;
So sánh phân số. Đôi khi việc giảm xuống một mẫu số chung giúp đơn giản hóa công việc này một cách đáng kể;
Giải quyết vấn đề về cổ phiếu và tỷ lệ phần trăm. Trên thực tế, phần trăm là biểu thức thông thường có chứa phân số.

Có nhiều cách để tìm số mà mẫu số bằng nhau khi nhân với nhau. Chúng tôi sẽ chỉ xem xét ba trong số chúng - theo thứ tự ngày càng phức tạp và theo một nghĩa nào đó, là hiệu quả.

Phép nhân "đan chéo"

Đơn giản nhất và cách đáng tin cậy, được đảm bảo sẽ cân bằng các mẫu số. Chúng ta sẽ hành động "trước": chúng ta nhân phân số đầu tiên với mẫu số của phân số thứ hai và nhân thứ hai với mẫu số của phân số thứ nhất. Kết quả là, mẫu số của cả hai phân số sẽ bằng tích của các mẫu số ban đầu. Hãy xem:

Là các thừa số bổ sung, hãy xem xét các mẫu số của các phân số lân cận. Chúng tôi nhận được:

Vâng, nó đơn giản vậy thôi. Nếu bạn mới bắt đầu nghiên cứu về phân số, tốt hơn là nên làm với phương pháp này - bằng cách này bạn sẽ đảm bảo mình tránh được nhiều sai lầm và được đảm bảo nhận được kết quả.

Nhược điểm duy nhất phương pháp này- bạn phải đếm rất nhiều, bởi vì các mẫu số được nhân lên "suốt", và kết quả là bạn có thể nhận được rất nhiều những con số lớn. Đó là cái giá của sự tin cậy.

Phương pháp ước số chung

Kỹ thuật này giúp giảm thiểu đáng kể các phép tính, nhưng, thật không may, nó hiếm khi được sử dụng. Phương pháp như sau:

Nhìn vào các mẫu số trước khi bạn chuyển sang "qua" (tức là "đan chéo"). Có lẽ một trong số chúng (cái lớn hơn) chia hết cho cái còn lại.
Số thu được từ một phép chia như vậy sẽ là một thừa số của một phân số có mẫu số nhỏ hơn.
Đồng thời, một phân số có mẫu số lớn không cần phải nhân với bất cứ thứ gì cả - đây là khoản tiết kiệm. Đồng thời, khả năng xảy ra lỗi giảm mạnh.

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị biểu thức:

Lưu ý rằng 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Vì trong cả hai trường hợp, một mẫu số chia hết mà không có dư cho mẫu số kia nên chúng ta sử dụng phương pháp nhân tử chung. Chúng ta có:

Lưu ý rằng phân số thứ hai hoàn toàn không được nhân với bất kỳ thứ gì. Trên thực tế, chúng tôi đã cắt giảm một nửa số lượng tính toán!

Nhân tiện, tôi lấy các phân số trong ví dụ này để biết lý do. Nếu bạn quan tâm, hãy thử đếm chúng bằng phương pháp đan chéo. Sau khi giảm, các câu trả lời sẽ giống nhau, nhưng sẽ có nhiều công việc hơn.

Đây là điểm mạnh của phương pháp. ước số chung Nhưng, tôi nhắc lại, nó chỉ có thể được sử dụng nếu một trong các mẫu số được chia cho người kia mà không có dư. Điều này xảy ra khá hiếm.

Quy đồng mẫu số chung nhỏ nhất, quy tắc, ví dụ, cách giải.

Bài báo này giải thích, cách tìm mẫu số chung nhỏ nhất Và Làm thế nào để đưa các phân số về một mẫu số chung.

Đầu tiên, các định nghĩa về mẫu số chung của phân số và mẫu số chung nhỏ nhất được đưa ra, đồng thời hướng dẫn cách tìm mẫu số chung của phân số. Sau đây là quy tắc rút gọn phân số về mẫu số chung và các ví dụ về việc áp dụng quy tắc này được xem xét. Tóm lại, các ví dụ về giảm ba và hơn phân số về một mẫu số chung.

Thế nào gọi là rút gọn phân số về mẫu số chung?

Nếu các phân số thông thường có mẫu số bằng nhau thì các phân số này được cho là rút gọn về một mẫu số chung.

Vậy các phân số 45/76 và 143/76 được rút gọn thành mẫu số chung là 76, đồng thời các phân số 1/3, 3/3, 17/3 và 1000/3 được quy về mẫu số chung là 3.

Nếu mẫu số của các phân số không bằng nhau, thì các phân số đó luôn có thể được thu gọn về một mẫu số chung bằng cách nhân tử số và mẫu số của chúng với một số thừa số bổ sung.

Ví dụ, các phân số thông thường 2/5 và 7/4 với sự trợ giúp của thừa số 4 và 5, tương ứng, được rút gọn thành mẫu số chung là 20. Thật vậy, nhân tử số và mẫu số của phân số 2/5 với 4, chúng ta lấy phân số 8/20, rồi nhân tử số và mẫu số 7/4 với 5, ta được phân số 35/20 (xem rút gọn phân số thành mẫu số mới).

Bây giờ chúng ta có thể nói quy đồng số về mẫu số chung là như thế nào. Đưa các phân số về một mẫu số chung là phép nhân tử số và mẫu số của các phân số đã cho với các thừa số sao cho kết quả là các phân số có cùng mẫu số.

Đầu trang

Mẫu số chung, định nghĩa, ví dụ

Bây giờ là lúc xác định mẫu số chung của các phân số.

Nói cách khác, mẫu số chung của một số tập hợp phân số bình thường là bất kỳ số tự nhiên chia hết cho tất cả các mẫu số của phân số đã cho.

Từ định nghĩa đã nêu, tập hợp các phân số này có vô số mẫu số chung, vì có vô số bội số chung của tất cả các mẫu số của tập hợp các phân số ban đầu.

Việc xác định mẫu số chung của các phân số cho phép bạn tìm được mẫu số chung của các phân số đã cho. Ví dụ, giả sử các phân số 1/4 và 5/6 đã cho, mẫu số của chúng lần lượt là 4 và 6.

Các bội chung dương của 4 và 6 là 12, 24, 36, 48, ... Bất kỳ số nào trong số này đều là mẫu số chung của 1/4 và 5/6.

Để củng cố tài liệu, hãy xem xét giải pháp của ví dụ sau.

Các phân số 2/3, 23/6 và 7/12 có thể rút gọn được mẫu số chung là 150 được không?

Để trả lời câu hỏi, chúng ta cần tìm xem số 150 có phải là bội chung của các mẫu số 3, 6 và 12. Để làm điều này, hãy kiểm tra xem 150 có chia hết cho mỗi số này không (nếu cần, hãy xem quy tắc và ví dụ về phép chia số tự nhiên, quy tắc và ví dụ về phép chia số tự nhiên có dư): 150: 3 = 50, 150: 6 = 25, 150: 12 = 12 (phần còn lại.

Vì vậy, 150 không chia hết cho 12 nên 150 không phải là bội chung của các số 3, 6 và 12. Do đó, số 150 không thể là mẫu số chung của các phân số ban đầu.

Đầu trang

Mẫu số chung nhỏ nhất, cách tìm?

Trong tập hợp các số là mẫu số chung của các phân số này, có một số tự nhiên nhỏ nhất, được gọi là mẫu số chung bé nhất.

Chúng ta hãy hình thành định nghĩa mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số này.

Nó vẫn còn để giải quyết câu hỏi làm thế nào để tìm ước số phổ biến nhất.

Vì bội chung nhỏ nhất là ước chung dương nhỏ nhất của một tập hợp số nhất định, nên LCM của mẫu số của các phân số đã cho là mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số đã cho.

Như vậy, việc tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số được rút gọn thành tìm ƯCLN của các mẫu số của các phân số này.

Hãy xem một giải pháp ví dụ.

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của 3/10 và 277/28.

Mẫu số của các phân số này là 10 và 28. Mẫu số chung nhỏ nhất mong muốn được tìm thấy là LCM của các số 10 và 28. Trong trường hợp của chúng ta, có thể dễ dàng tìm được LCM bằng cách cộng các số thành thừa số nguyên tố: vì 10 = 2 5, và 28 = 2 2 7, thì LCM (15, 28) = 2 2 5 7 = 140.

Đầu trang

Làm thế nào để đưa các phân số về một mẫu số chung? Quy tắc, ví dụ, giải pháp

Phân số chung thường quy về mẫu số chung nhỏ nhất.

Bây giờ chúng ta sẽ viết ra một quy tắc giải thích cách rút gọn phân số đến mẫu số chung nhỏ nhất.

Quy tắc rút gọn phân số đến mẫu số chung nhỏ nhất bao gồm ba bước:

Đầu tiên, tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số.
Thứ hai, đối với mỗi phân số, một thừa số bổ sung được tính, trong đó mẫu số chung nhỏ nhất được chia cho mẫu số của mỗi phân số.
Thứ ba, tử số và mẫu số của mỗi phân số được nhân với thừa số của nó.

Hãy áp dụng quy tắc đã nêu cho giải pháp của ví dụ sau.

Rút gọn phân số 5/14 và 7/18 xuống mẫu số chung nhỏ nhất.

Hãy thực hiện tất cả các bước của thuật toán rút gọn phân số về mẫu số chung nhỏ nhất.

Đầu tiên, chúng ta tìm mẫu số chung nhỏ nhất bằng bội chung nhỏ nhất của các số 14 và 18. Vì 14 = 2 7 và 18 = 2 3 3 nên LCM (14, 18) = 2 3 3 7 = 126 .

Bây giờ chúng ta tính thêm các thừa số, với sự trợ giúp của phân số 5/14 và 7/18 sẽ được giảm xuống mẫu số 126. Đối với phân số 5/14, thừa số phụ là 126: 14 = 9 và đối với phân số 7 / 18, thừa số thêm vào là 126: 18 = 7.

Vẫn nhân tử số và mẫu số của các phân số 5/14 và 7/18 với các thừa số tương ứng là 9 và 7.

Chúng ta có Và .

Vậy là hoàn thành việc rút gọn phân số 5/14 và 7/18 về mẫu số chung nhỏ nhất.

Kết quả là phân số 45/126 và 49/126.

Đầu trang

Quy đồng mẫu số chung nhỏ nhất của ba phân số trở lên

Quy tắc từ đoạn trước cho phép bạn quy về mẫu số chung nhỏ nhất không chỉ là hai phân số, mà cả ba phân số, và nhiều hơn thế nữa.

Hãy xem xét một giải pháp ví dụ.

Rút gọn bốn phân số 3/2, 5/6, 3/8 và 17/18 xuống mẫu số chung nhỏ nhất.

Mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số này bằng bội chung nhỏ nhất của các số 2, 6, 8 và 18. Để tìm LCM (2, 6, 8, 18), chúng ta sẽ sử dụng thông tin từ phần tìm LCM từ ba số trở lên.

Ta nhận được LCM (2, 6) = 6, LCM (6, 8) = 24, và cuối cùng LCM (24, 18) = 72, do đó LCM (2, 6, 8, 18) = 72. Vậy mẫu số chung nhỏ nhất là 72.

Bây giờ chúng tôi tính toán các yếu tố bổ sung. Đối với phân số 3/2 thì thừa số là 72: 2 = 36, đối với phân số 5/6 là 72: 6 = 12, đối với phân số 3/8 thì thừa số là 72: 8 = 9 và đối với phân số 17/18 là là 72: 18 = 4.

Đưa các phân số về một mẫu số chung

Vẫn còn bước cuối cùng để đưa các phân số ban đầu về mẫu số chung nhỏ nhất:.

Đầu trang

Mẫu số chung là bội chung dương bất kỳ của tất cả các mẫu số của các phân số đã cho.

Mẫu số chung nhỏ nhất- cái này số nhỏ nhất, của tất cả các mẫu số chung của các phân số đã cho.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Toán học: sách giáo khoa 5 ô. các cơ sở giáo dục.
Vilenkin N.Ya. vv Toán học. Lớp 6: sách giáo khoa dành cho các cơ sở giáo dục.

Mẫu số chung của các phân số chung

Nếu các phe phái thông thường có cùng mẫu số, thì các phân số này có một mẫu số chung. Ví dụ,

chúng có một mẫu số chung.

Mẫu số chungĐây là số là mẫu số của hai hoặc nhiều phân số thông thường.

Các phân số có mẫu số khác nhau có thể quy về mẫu số chung.

Quy đồng mẫu số chung

Quy đồng mẫu số chung Thay các phân số này bằng các mẫu số khác nhau của các phân số giống nhau có cùng mẫu số được không?

Đơn giản là các phân số có thể được thu gọn về một mẫu số chung hoặc mẫu số chung nhỏ nhất.

mẫu số chung nhỏ nhấtĐây là mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số này.

Mẫu số chung của các phe phái trên Internet

Để cho các phân số có mẫu số chung nhỏ nhất, bạn cần:

Nếu có thể, hãy thực hiện rút gọn phân số.
Tìm danh mục chung nhỏ nhất của các phân số này. NOC sẽ trở thành mẫu số chung nhỏ nhất của họ.
Chia LCM cho các mẫu số của các phân số này. Phép đo này tìm ra một hệ số bổ sung cho mỗi phân số này. Hệ số bổ sung Là số cần nhân các phân số để đưa nó về mẫu số chung?
Nhân tử số và mẫu số của mỗi phân số với một thừa số.

Ví dụ.

1) Tìm tên NOC của các phe phái này:

NOC (8, 12) = 24

2) Các yếu tố bổ sung được tìm thấy:

24: 8 = 3 (cho) và 24: 12 = 2 (cho)

3) Nhân các thành viên của mỗi phe với một hệ số bổ sung:

Rút gọn mẫu số chung có thể viết dưới dạng ngắn gọn hơn, cho biết thêm một hệ số ngoài quy đồng của mỗi phân số (trên cùng bên phải hoặc trên cùng bên trái) và không viết các phép tính trung gian:

Mẫu số chung có thể được rút gọn dễ dàng hơn bằng cách nhân các phần tử của phân số thứ nhất với phần tử nội tại thứ hai và các phần tử của phân số thứ hai với mẫu số của phân số thứ nhất.

Ví dụ. Nhận mẫu số chung của các phân số và:

Tích các mẫu số của chúng có thể được coi là mẫu số chung của các phân số.

Rút gọn phân số về một mẫu số chung được dùng để cộng, trừ và so sánh các phân số có mẫu số khác nhau.

Máy tính rút gọn mẫu số chung

Máy tính này sẽ giúp bạn đưa các phân số chung xuống mẫu số chung nhỏ nhất.

Chỉ cần nhập hai phe và nhấp chuột.

5.4.5. Ví dụ về chuyển đổi phân số thông thường thành mẫu số chung nhỏ nhất

Mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số liền nhau là mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số đó. ( xem phần "Tìm kiếm nhiều phổ biến ít nhất": 5.3.5. Tìm thấy lượng ít nhất bội số (NOC) của các số đã cho).

Để giảm phần chia của mẫu số chung nhỏ nhất, bạn phải: 1) tìm bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số của các phân số này và đây sẽ là mẫu số chung nhỏ nhất.

2) tìm một hệ số bổ sung cho mỗi phe, trong đó mẫu số mới được phân phối với tên của mỗi phe. 3) nhân tử số và mẫu số của mỗi phân số với một thừa số.

Các ví dụ. Rút gọn các phân số sau xuống mẫu số chung nhỏ nhất.

Ta tìm được mẫu số chung nhỏ nhất: LCM (5; 4) = 20, vì 20 là số nhỏ nhất chia hết cho 5 và 4.

Đối với cổ phiếu đầu tiên, một hệ số bổ sung 4 (20 : 5 = 4). Đối với phân số thứ hai, có thêm hệ số là 5 (20 : 4 = 5). Nhân số và mẫu số của phân số thứ nhất với 4, đồng thời mẫu số và mẫu số của phân số thứ hai với 5.

20 ).

Mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số này là số 8, vì nó chia hết cho 4 và bên trong.

Đối với phần đầu tiên không có yếu tố bổ sung (hoặc chúng ta có thể nói rằng nó bằng một), yếu tố thứ hai là yếu tố bổ sung 2 (8 : 4 = 2). Nhân tử số và mẫu số của phân số thứ hai với 2.

Máy tính trực tuyến. Quy đồng mẫu số chung

Chúng tôi đã giảm các phân số này xuống mẫu số chung nhỏ nhất ( Vị trí thứ 8).

Những phe phái này không thể dung thứ được.

Phân số đầu tiên giảm đi 4 và phân số thứ hai giảm đi 2. (Xem Các ví dụ về giảm phân số thông thường: Sơ đồ trang web → 5.4.2.

Ví dụ về rút gọn phân số thông thường). NOC tìm thấy (16 ; 20) = 24· 5 = 16· 5 = 80. Thêm một thừa số cho phân số thứ nhất là 5 (80 : 16 = 5). Một thừa số bổ sung cho phân số thứ hai là 4 (80 : 20 = 4).

Chúng tôi nhân tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với 5, đồng thời mẫu số và mẫu số của phân số thứ hai với 4. Thông tin về phân số đã được quy về mẫu số chung nhỏ nhất ( 80 ).

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của NOx (5 ; 6 và 15) = NOK (5 ; 6 và 15) = 30. Thêm một thừa số cho phân số đầu tiên là 6 (30 : 5 = 6) là hệ số bổ sung trong phần thứ hai của 5 (30 : 6 = 5), là một thừa số bổ sung cho phân số thứ ba 2 (30 : 15 = 2).

Số và mẫu số của phân số thứ nhất được nhân với 6, đối số và mẫu số của phân số thứ hai là 5, số đối và mẫu số của phân số thứ ba là 2. Dữ liệu từng phần được cho là mẫu số chung nhỏ nhất 30 ).

Trang 1/11

Mẫu số chung nhỏ nhất.

Mẫu số chung nhỏ nhất là bao nhiêu?

Sự định nghĩa:
Mẫu số chung nhỏ nhất- là ít nhất số dương bội số của các mẫu số của các phân số này.

Làm thế nào để có được mẫu số chung nhỏ nhất? Để trả lời câu hỏi này, hãy xem xét một ví dụ:

Rút gọn các phân số có mẫu số khác nhau để mẫu số chung nhỏ nhất.

Giải pháp:
Để tìm mẫu số chung nhỏ nhất, bạn cần tìm bội số chung nhỏ nhất (LCM) của các mẫu số của các phân số này.

Phân số thứ nhất có mẫu số bằng 20, hãy phân số đó thành các thừa số nguyên tố.
20=2⋅5⋅2

Chúng tôi cũng mở rộng mẫu số thứ hai của phân số 14 thành các thừa số đơn giản.
14=7⋅2

LCM (14,20) = 2⋅5⋅2⋅7 = 140

Trả lời: Mẫu số chung nhỏ nhất là 140.

Làm thế nào để đưa một phân số về một mẫu số chung?

Bạn cần nhân phân số đầu tiên \ (\ frac (1) (20) \) với 7 để được mẫu số 140.

\ (\ frac (1) (20) = \ frac (1 \ times 7) (20 \ times 7) = \ frac (7) (140) \)
Và nhân phân số thứ hai với 10.

\ (\ frac (3) (14) = \ frac (3 \ lần 10) (14 \ lần 10) = \ frac (30) (140) \)

Quy tắc hoặc thuật toán để rút gọn phân số về một mẫu số chung.

Thuật toán rút gọn phân số về mẫu số chung nhỏ nhất:

Cần phải quy đồng mẫu số của phân số thành thừa số nguyên tố.
Bạn cần tìm bội số chung (LCM) nhỏ nhất cho mẫu số của các phân số này.
Rút gọn phân số về một mẫu số chung, nghĩa là nhân cả tử số và mẫu số của phân số với một thừa số.

Mẫu số chung của một số phân số.

Làm thế nào để tìm được mẫu số chung cho nhiều phân số?

Hãy xem xét một ví dụ:
Tìm mẫu số chung nhỏ nhất cho các phân số \ (\ frac (2) (11), \ frac (1) (15), \ frac (3) (22) \)

Giải pháp:
Hãy phân tích các mẫu số 11, 15 và 22 thành các thừa số nguyên tố.

Bản thân số 11 đã là số nguyên tố nên không cần phải viết ra.
Hãy khai triển số 15 = 5⋅3
Hãy khai triển số 22 = 11⋅2

Tìm bội chung nhỏ nhất (LCM) của các mẫu số 11, 15 và 22.
LCM (11, 15, 22) = 11⋅2⋅5⋅3 = 330

Chúng tôi đã tìm thấy mẫu số chung nhỏ nhất cho các phân số này. Bây giờ chúng ta đưa dữ liệu của phân số \ (\ frac (2) (11), \ frac (1) (15), \ frac (3) (22) \) về một mẫu số chung là 330.

\ (\ begin (căn chỉnh)
\ frac (2) (11) = \ frac (2 \ times 30) (11 \ times 30) = \ frac (60) (330) \\\\
\ frac (1) (15) = \ frac (1 \ times 22) (15 \ times 22) = \ frac (22) (330) \\\\
\ frac (3) (22) = \ frac (3 \ times 15) (22 \ times 15) = \ frac (60) (330) \\\\
\ end (căn chỉnh) \)

Phương pháp này có ý nghĩa nếu bậc của đa thức không thấp hơn bậc hai. Trong trường hợp này, nhân tử chung có thể không chỉ là một nhị thức bậc nhất mà còn có thể là bậc cao hơn.

Để tìm một điểm chung hệ số của đa thức, cần thực hiện một số phép biến đổi. Nhị thức hoặc đơn thức đơn giản nhất có thể được đặt trong ngoặc sẽ là một trong những căn của đa thức. Rõ ràng, trong trường hợp khi đa thức không có số hạng tự do thì sẽ có một ẩn số ở bậc nhất - một đa thức bằng 0.

Khó khăn hơn để tìm nhân tử chung là trường hợp số hạng tự do không bằng không. Sau đó, các phương pháp lựa chọn hoặc phân nhóm đơn giản có thể áp dụng được. Ví dụ, cho tất cả các căn của đa thức là hữu tỉ, trong khi tất cả các hệ số của đa thức là số nguyên: y ^ 4 + 3 y³ - y² - 9 y - 18.

Viết ra tất cả các ước số nguyên của số hạng tự do. Nếu một đa thức có các gốc hữu tỉ thì chúng nằm trong số đó. Kết quả của quá trình chọn lọc, thu được các gốc 2 và -3. Do đó, nhân tử chung của đa thức này sẽ là các nhị thức (y - 2) và (y + 3).

Phương pháp lấy ra một thừa số chung là một trong những thành phần của quá trình phân tích nhân tử. Phương pháp mô tả ở trên có thể áp dụng được nếu hệ số ở mức cao nhất là 1. Nếu không đúng như vậy, thì trước tiên phải thực hiện một số phép biến đổi. Ví dụ: 2y³ + 19 y² + 41 y + 15.

Biến đổi dạng t = 2³ y³. Để làm điều này, hãy nhân tất cả các hệ số của đa thức với 4: 2³ y³ + 19 2² y² + 82 2 y + 60. Sau khi thay thế: t³ + 19 t² + 82 t + 60. Bây giờ, để tìm nhân tử chung, hãy áp dụng phương pháp trên.

Bên cạnh đó, phương pháp hiệu quả tìm nhân tử chung là các phần tử của đa thức. Nó đặc biệt hữu ích khi phương pháp đầu tiên không phải là, tức là Đa thức không có nghiệm nguyên. Tuy nhiên, các nhóm không phải lúc nào cũng rõ ràng. Ví dụ: Đa thức y ^ 4 + 4 y³ - y² - 8 y - 2 không có nghiệm nguyên.

Sử dụng nhóm: y ^ 4 + 4 y³ - y² - 8 y - 2 = y ^ 4 + 4 y³ - 2 y² + y² - 8 y - 2 = (y ^ 4 - 2 y²) + (4 y³ - 8 y) + y² - 2 \ u003d (y² - 2) * (y² + 4 y + 1). Nhân tử chung của các phần tử của đa thức này là (y² - 2).

Nhân và chia, cũng giống như cộng và trừ, là các phép toán số học cơ bản. Nếu không học cách giải các ví dụ về nhân và chia, một người sẽ gặp rất nhiều khó khăn không chỉ khi học các phần phức tạp hơn của toán học, mà ngay cả trong những công việc bình thường nhất hàng ngày. Phép nhân và phép chia có liên quan chặt chẽ với nhau và các thành phần chưa biết của các ví dụ và bài toán cho một trong những hành động này được tính bằng một hành động khác. Đồng thời cần hiểu rõ rằng khi giải các ví dụ không quan trọng việc chia hay nhân cho các đối tượng nào.

Bạn sẽ cần

- bảng cửu chương;
- một máy tính hoặc một tờ giấy và một cây bút chì.

Hướng dẫn

Viết ra ví dụ bạn muốn. Chỉ định không xác định hệ số như một X. Một ví dụ có thể giống như sau: a * x = b. Thay vì nhân a và tích b trong ví dụ, có thể có bất kỳ hoặc số. Hãy nhớ phép nhân cơ bản: tích không thay đổi từ việc thay đổi vị trí của các thừa số. Vì vậy, không biết hệ số x có thể được đặt ở bất cứ đâu.

Để tìm cái chưa biết hệ số trong một ví dụ chỉ có hai yếu tố, bạn chỉ cần chia sản phẩm cho hệ số. Tức là nó được thực hiện như sau: x = b / a. Nếu bạn cảm thấy khó khăn khi thao tác với các đại lượng trừu tượng, hãy thử biểu diễn vấn đề này dưới dạng các đối tượng cụ thể. Bạn, bạn chỉ có táo và bao nhiêu người sẽ ăn chúng, nhưng bạn không biết mọi người sẽ nhận được bao nhiêu quả táo. Ví dụ, bạn có 5 thành viên trong gia đình, và số quả táo là 15. Số quả táo dự định cho mỗi người, ký hiệu là x. Sau đó, phương trình sẽ giống như sau: 5 (quả táo) * x = 15 (quả táo). không xác định hệ sốđược tìm thấy theo cách tương tự như trong phương trình với các chữ cái, đó là, chia 15 quả táo cho năm thành viên trong gia đình, cuối cùng kết quả là mỗi người trong số họ đã ăn 3 quả táo.

Điều chưa biết được tìm thấy theo cùng một cách. hệ số với số lượng các yếu tố. Ví dụ, ví dụ trông giống như a * b * c * x * = d. Về lý thuyết, tìm hệ số nó có thể và theo cách tương tự như trong ví dụ ở bài sau: x = d / a * b * c. Nhưng có thể rút gọn phương trình thành nhiều hơn rõ mồn một, biểu thị tích của các yếu tố đã biết bằng một số chữ cái khác - ví dụ: m. Tìm giá trị của m bằng cách nhân số a, b và c: m = a * b * c. Khi đó, toàn bộ ví dụ có thể được biểu diễn dưới dạng m * x = d, và giá trị chưa biết sẽ bằng x = d / m.

Nêu biêt được hệ số và sản phẩm là phân số, ví dụ được giải theo cách tương tự như với. Nhưng trong trường hợp này cần phải ghi nhớ các hành động. Khi nhân phân số, tử số và mẫu số được nhân lên. Khi chia phân số, tử số của số bị chia nhân với mẫu số của số bị chia và mẫu số của số bị chia nhân với tử số của số chia. Tức là, trong trường hợp này, ví dụ sẽ giống như sau: a / b * x = c / d. Để tìm giá trị chưa biết, bạn cần chia sản phẩm cho giá trị đã biết hệ số. Đó là x = a / b: c / d = a * d / b * c.

Các video liên quan

Ghi chú

Khi giải các ví dụ với phân số, chỉ cần chuyển phân số của một thừa số đã biết và có thể thực hiện hành động như một phép nhân phân số.

Một đa thức là tổng của các đơn thức. Đơn thức là tích của một số thừa số, là một số hoặc một chữ cái. Trình độẩn số là số phép nhân của nó với chính nó.

Hướng dẫn

Vui lòng cung cấp nếu nó chưa được thực hiện. Đơn thức đồng dạng là đơn thức cùng loại, tức là đơn thức có cùng ẩn số có cùng bậc.

Lấy ví dụ, đa thức 2 * y² * x³ + 4 * y * x + 5 * x² + 3-y² * x³ + 6 * y² * y²-6 * y² * y². Đa thức này có hai ẩn số - x và y.

Nối các đơn thức đồng dạng. Đơn thức có lũy thừa thứ hai của y và lũy thừa thứ ba của x sẽ trở thành y² * x³, và đơn thức có lũy thừa thứ tư của y sẽ loại bỏ. Bạn nhận được y² * x³ + 4 * y * x + 5 * x² + 3-y² * x³.

Lấy chữ cái chính chưa biết y. Tìm công suất cực đại cho y chưa biết. Đây là đơn thức y² * x³ và theo đó, lũy thừa của 2.

Đưa ra một kết luận. Trình độ đa thức 2 * y² * x³ + 4 * y * x + 5 * x² + 3-y² * x³ + 6 * y² * y²-6 * y² * y² là ba trong x và hai trong y.

Tìm mức độ đa thức√x + 5 * y theo y. Nó bằng với mức độ lớn nhất của y, tức là một.

Tìm mức độ đa thức√x + 5 * y theo x. X chưa biết được tìm thấy, do đó, tung độ của nó sẽ là một phân số. Vì căn bậc hai nên lũy thừa của x là 1/2.

Đưa ra một kết luận. Vì đa thức√x + 5 * y tung độ theo x là 1/2 và tung độ y là 1.

Các video liên quan

Đơn giản hóa các biểu thức đại số được yêu cầu trong nhiều ngành toán học, bao gồm giải phương trình cấp cao hơn, phân biệt và tích phân. Điều này sử dụng một số phương pháp, bao gồm cả phân tích nhân tử. Để áp dụng phương pháp này, bạn cần tìm ra và đưa ra một điểm chung hệ số phía sau dấu ngoặc đơn.

Để đưa các phân số về mẫu số nhỏ nhất, bạn phải: 1) Tìm bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số của các phân số này, nó sẽ là mẫu số chung nhỏ nhất. 2) Tìm thừa số phụ cho mỗi phân số, mà chúng ta chia mẫu số mới cho mẫu số của mỗi phân số. 3) nhân tử số và mẫu số của mỗi phân số với thừa số của nó.

Các ví dụ. Rút gọn các phân số sau đến mẫu số chung nhỏ nhất.

Ta tìm bội chung nhỏ nhất của các mẫu số: LCM (5; 4) = 20, vì 20 là số nhỏ nhất chia hết cho cả 5 và 4. Ta tìm cho phân số 1 thêm một thừa số 4 (20 : 5 = 4). Đối với phân số thứ 2, cấp số nhân bổ sung là 5 (20 : 4 = 5). Chúng tôi nhân tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với 4, tử số và mẫu số của phân số thứ hai với 5. Chúng tôi rút gọn các phân số này đến mẫu số chung nhỏ nhất ( 20 ).

Mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số này là 8, vì 8 chia hết cho 4 và chính nó. Sẽ không có cấp số nhân bổ sung cho phân số thứ nhất (hoặc chúng ta có thể nói rằng nó bằng một), đối với phân số thứ 2, cấp số nhân bổ sung là 2 (8 : 4 = 2). Chúng ta nhân tử số và mẫu số của phân số thứ 2 với 2. Chúng ta rút gọn các phân số này thành mẫu số chung nhỏ nhất ( 8 ).

Các phân số này không phải là bất khả quy.

Chúng ta giảm phân số thứ nhất đi 4, và giảm phân số thứ hai đi 2. ( xem các ví dụ về việc rút gọn các phân số thông thường: Sơ đồ trang → 5.4.2. Ví dụ về giảm các phân số thông thường). Tìm LCM (16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5 = 80. Hệ số nhân bổ sung cho phân số thứ nhất là 5 (80 : 16 = 5). Số nhân bổ sung cho phân số thứ 2 là 4 (80 : 20 = 4). Chúng tôi nhân tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với 5, tử số và mẫu số của phân số thứ hai với 4. Chúng tôi rút gọn các phân số này đến mẫu số chung nhỏ nhất ( 80 ).

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của NOC (5 ; 6 và 15) = LCM (5 ; 6 và 15) = 30. Số nhân bổ sung cho phân số thứ nhất là 6 (30 : 5 = 6), nhân thêm vào phân số thứ 2 là 5 (30 : 6 = 5), cấp số nhân thêm vào phân số thứ 3 là 2 (30 : 15 = 2). Chúng ta nhân tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với 6, tử số và mẫu số của phân số thứ 2 với 5, tử số và mẫu số của phân số thứ 3 với 2. Chúng ta rút gọn các phân số này xuống mẫu số chung nhỏ nhất ( 30 ).

Trang 1/1 1

Phép nhân "đan chéo"

Phương pháp ước số chung

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị biểu thức:

Để đánh giá mức độ chiến thắng mà phương pháp bội ít phổ biến nhất mang lại, hãy thử tính toán các ví dụ tương tự bằng phương pháp đan chéo.

Mẫu số chung của phân số

Tất nhiên, không có một máy tính. Tôi nghĩ rằng sau đó những bình luận sẽ là thừa.

Xem thêm:

Vì vậy, giả sử chúng ta có hai phân số với các mẫu số khác nhau. Và chúng tôi muốn đảm bảo rằng các mẫu số trở nên giống nhau. Thuộc tính chính của một phân số có tác dụng giải cứu, để tôi nhắc bạn, nghe như thế này:

Một phân số không thay đổi nếu tử số và mẫu số của nó được nhân với cùng một số khác không.

Do đó, nếu bạn chọn các thừa số một cách chính xác, mẫu số của các phân số sẽ bằng nhau - quá trình này được gọi là. Và những con số mong muốn, "san bằng" các mẫu số, được gọi.

Tại sao phải quy đồng mẫu số về một mẫu số chung? Đây chỉ là một vài lý do:

Phép cộng và phép trừ các phân số có mẫu số khác nhau. Không có cách nào khác để thực hiện thao tác này;
So sánh phân số. Đôi khi việc giảm xuống một mẫu số chung giúp đơn giản hóa công việc này một cách đáng kể;
Giải quyết vấn đề về cổ phiếu và tỷ lệ phần trăm. Trên thực tế, phần trăm là biểu thức thông thường có chứa phân số.

Phép nhân "đan chéo"

Cách đơn giản nhất và đáng tin cậy nhất, được đảm bảo cân bằng các mẫu số. Chúng ta sẽ hành động "trước": chúng ta nhân phân số đầu tiên với mẫu số của phân số thứ hai và nhân thứ hai với mẫu số của phân số thứ nhất. Kết quả là, mẫu số của cả hai phân số sẽ bằng tích của các mẫu số ban đầu. Hãy xem:

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị biểu thức:

Là các thừa số bổ sung, hãy xem xét các mẫu số của các phân số lân cận. Chúng tôi nhận được:

Hạn chế duy nhất của phương pháp này là bạn phải đếm rất nhiều, vì các mẫu số được nhân "trước", và kết quả là có thể thu được những số rất lớn. Đó là cái giá của sự tin cậy.

Phương pháp ước số chung

Kỹ thuật này giúp giảm thiểu đáng kể các phép tính, nhưng, thật không may, nó hiếm khi được sử dụng. Phương pháp như sau:

Nhìn vào các mẫu số trước khi bạn chuyển sang "qua" (tức là "đan chéo"). Có lẽ một trong số chúng (cái lớn hơn) chia hết cho cái còn lại.
Số thu được từ một phép chia như vậy sẽ là một thừa số của một phân số có mẫu số nhỏ hơn.
Đồng thời, một phân số có mẫu số lớn không cần phải nhân với bất cứ thứ gì cả - đây là khoản tiết kiệm. Đồng thời, khả năng xảy ra lỗi giảm mạnh.

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị biểu thức:

Lưu ý rằng 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Vì trong cả hai trường hợp một mẫu số chia hết cho mẫu số kia mà không có dư nên ta áp dụng phương pháp nhân tử chung. Chúng ta có:

Lưu ý rằng phân số thứ hai hoàn toàn không được nhân với bất kỳ thứ gì. Trên thực tế, chúng tôi đã cắt giảm một nửa số lượng tính toán!

Đây là điểm mạnh của phương pháp chia số chung, nhưng một lần nữa, nó chỉ có thể được áp dụng khi một trong các mẫu số chia cho mẫu số kia mà không có dư. Điều này xảy ra khá hiếm.

Ít phương pháp phổ biến nhất

Khi chúng ta giảm các phân số về một mẫu số chung, về cơ bản chúng ta đang cố gắng tìm một số chia hết cho mỗi mẫu số. Sau đó, chúng tôi đưa mẫu số của cả hai phân số về số này.

Có rất nhiều số như vậy, và số nhỏ nhất trong số chúng sẽ không nhất thiết phải bằng tích trực tiếp của các mẫu số của các phân số ban đầu, như được giả định trong phương pháp "chéo".

Ví dụ, đối với mẫu số 8 và 12, số 24 là khá phù hợp, vì 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Số này ít hơn tích của 8 12 = 96.

Số nhỏ nhất chia hết cho mỗi mẫu số được gọi là (LCM) của chúng.

Kí hiệu: bội chung nhỏ nhất của các số a và b được ký hiệu là LCM (a; b). Ví dụ, LCM (16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.

Nếu bạn quản lý để tìm một số như vậy, tổng số lượng phép tính sẽ là tối thiểu. Hãy xem các ví dụ:

Cách tìm mẫu số chung nhỏ nhất

Tìm giá trị biểu thức:

Lưu ý rằng 234 = 117 2; 351 = 117 3. Thừa số 2 và 3 là nguyên tố (chúng không có ước chung trừ 1) và thừa số 117 là chung. Do đó LCM (234; 351) = 117 2 3 = 702.

Tương tự, 15 = 5 3; 20 = 5 4. Yếu tố 3 và 4 là nguyên tố, và yếu tố 5 là chung. Do đó LCM (15; 20) = 5 3 4 = 60.

Bây giờ chúng ta hãy đưa các phân số về mẫu số chung:

Lưu ý rằng việc phân tích các mẫu số ban đầu trở nên hữu ích như thế nào:

Sau khi tìm thấy các yếu tố giống nhau, chúng tôi ngay lập tức đạt đến bội số chung nhỏ nhất, mà nói chung, đây là một vấn đề không tầm thường;
Từ việc mở rộng kết quả, bạn có thể tìm ra yếu tố nào bị “thiếu” cho mỗi phân số. Ví dụ: 234 3 \ u003d 702, do đó, đối với phân số đầu tiên, thừa số bổ sung là 3.

Đừng nghĩ rằng những phân số phức tạp trong các ví dụ thực tế sẽ không. Họ đáp ứng mọi lúc, và các nhiệm vụ trên không phải là giới hạn!

Vấn đề duy nhất là làm thế nào để tìm ra NOC này. Đôi khi mọi thứ được tìm thấy trong vài giây, theo nghĩa đen là “bằng mắt”, nhưng nhìn chung đây là một bài toán tính toán phức tạp đòi hỏi sự xem xét riêng biệt. Ở đây chúng tôi sẽ không đề cập đến vấn đề này.

Xem thêm:

Đưa các phân số về một mẫu số chung

Một phân số không thay đổi nếu tử số và mẫu số của nó được nhân với cùng một số khác không.

Tại sao phải quy đồng mẫu số về một mẫu số chung?

Mẫu số chung, khái niệm và định nghĩa.

Đây chỉ là một vài lý do:

Phép cộng và phép trừ các phân số có mẫu số khác nhau. Không có cách nào khác để thực hiện thao tác này;
So sánh phân số. Đôi khi việc giảm xuống một mẫu số chung giúp đơn giản hóa công việc này một cách đáng kể;
Giải quyết vấn đề về cổ phiếu và tỷ lệ phần trăm. Trên thực tế, phần trăm là biểu thức thông thường có chứa phân số.

Phép nhân "đan chéo"

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị biểu thức:

Là các thừa số bổ sung, hãy xem xét các mẫu số của các phân số lân cận. Chúng tôi nhận được:

Phương pháp ước số chung

Kỹ thuật này giúp giảm thiểu đáng kể các phép tính, nhưng, thật không may, nó hiếm khi được sử dụng. Phương pháp như sau:

Nhìn vào các mẫu số trước khi bạn chuyển sang "qua" (tức là "đan chéo"). Có lẽ một trong số chúng (cái lớn hơn) chia hết cho cái còn lại.
Số thu được từ một phép chia như vậy sẽ là một thừa số của một phân số có mẫu số nhỏ hơn.
Đồng thời, một phân số có mẫu số lớn không cần phải nhân với bất cứ thứ gì cả - đây là khoản tiết kiệm. Đồng thời, khả năng xảy ra lỗi giảm mạnh.

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị biểu thức:

Lưu ý rằng phân số thứ hai hoàn toàn không được nhân với bất kỳ thứ gì. Trên thực tế, chúng tôi đã cắt giảm một nửa số lượng tính toán!

Ít phương pháp phổ biến nhất

Ví dụ, đối với mẫu số 8 và 12, số 24 là khá phù hợp, vì 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Số này ít hơn tích của 8 12 = 96.

Số nhỏ nhất chia hết cho mỗi mẫu số được gọi là (LCM) của chúng.

Kí hiệu: bội chung nhỏ nhất của các số a và b được ký hiệu là LCM (a; b). Ví dụ, LCM (16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.

Nếu bạn quản lý để tìm một số như vậy, tổng số lượng phép tính sẽ là tối thiểu. Hãy xem các ví dụ:

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị biểu thức:

Lưu ý rằng 234 = 117 2; 351 = 117 3. Thừa số 2 và 3 là nguyên tố (chúng không có ước chung trừ 1) và thừa số 117 là chung. Do đó LCM (234; 351) = 117 2 3 = 702.

Tương tự, 15 = 5 3; 20 = 5 4. Yếu tố 3 và 4 là nguyên tố, và yếu tố 5 là chung. Do đó LCM (15; 20) = 5 3 4 = 60.

Bây giờ chúng ta hãy đưa các phân số về mẫu số chung:

Lưu ý rằng việc phân tích các mẫu số ban đầu trở nên hữu ích như thế nào:

Sau khi tìm thấy các yếu tố giống nhau, chúng tôi ngay lập tức đạt đến bội số chung nhỏ nhất, mà nói chung, đây là một vấn đề không tầm thường;
Từ việc mở rộng kết quả, bạn có thể tìm ra yếu tố nào bị “thiếu” cho mỗi phân số. Ví dụ: 234 3 \ u003d 702, do đó, đối với phân số đầu tiên, thừa số bổ sung là 3.

Để đánh giá mức độ chiến thắng mà phương pháp bội ít phổ biến nhất mang lại, hãy thử tính toán các ví dụ tương tự bằng phương pháp đan chéo. Tất nhiên, không có một máy tính. Tôi nghĩ rằng sau đó những bình luận sẽ là thừa.

Đừng nghĩ rằng những phân số phức tạp như vậy sẽ không có trong các ví dụ thực tế. Họ đáp ứng mọi lúc, và các nhiệm vụ trên không phải là giới hạn!

Xem thêm:

Đưa các phân số về một mẫu số chung

Một phân số không thay đổi nếu tử số và mẫu số của nó được nhân với cùng một số khác không.

Tại sao phải quy đồng mẫu số về một mẫu số chung? Đây chỉ là một vài lý do:

Phép cộng và phép trừ các phân số có mẫu số khác nhau. Không có cách nào khác để thực hiện thao tác này;
So sánh phân số. Đôi khi việc giảm xuống một mẫu số chung giúp đơn giản hóa công việc này một cách đáng kể;
Giải quyết vấn đề về cổ phiếu và tỷ lệ phần trăm. Trên thực tế, phần trăm là biểu thức thông thường có chứa phân số.

Phép nhân "đan chéo"

Hãy xem:

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị biểu thức:

Là các thừa số bổ sung, hãy xem xét các mẫu số của các phân số lân cận. Chúng tôi nhận được:

Phương pháp ước số chung

Kỹ thuật này giúp giảm thiểu đáng kể các phép tính, nhưng, thật không may, nó hiếm khi được sử dụng. Phương pháp như sau:

Nhìn vào các mẫu số trước khi bạn chuyển sang "qua" (tức là "đan chéo"). Có lẽ một trong số chúng (cái lớn hơn) chia hết cho cái còn lại.
Số thu được từ một phép chia như vậy sẽ là một thừa số của một phân số có mẫu số nhỏ hơn.
Đồng thời, một phân số có mẫu số lớn không cần phải nhân với bất cứ thứ gì cả - đây là khoản tiết kiệm. Đồng thời, khả năng xảy ra lỗi giảm mạnh.

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị biểu thức:

Lưu ý rằng phân số thứ hai hoàn toàn không được nhân với bất kỳ thứ gì. Trên thực tế, chúng tôi đã cắt giảm một nửa số lượng tính toán!

Ít phương pháp phổ biến nhất

Ví dụ, đối với mẫu số 8 và 12, số 24 là khá phù hợp, vì 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Số này ít hơn tích của 8 12 = 96.

Số nhỏ nhất chia hết cho mỗi mẫu số được gọi là (LCM) của chúng.

Kí hiệu: bội chung nhỏ nhất của các số a và b được ký hiệu là LCM (a; b). Ví dụ, LCM (16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.

Nếu bạn quản lý để tìm một số như vậy, tổng số lượng phép tính sẽ là tối thiểu. Hãy xem các ví dụ:

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị biểu thức:

Lưu ý rằng 234 = 117 2; 351 = 117 3. Thừa số 2 và 3 là nguyên tố (chúng không có ước chung trừ 1) và thừa số 117 là chung. Do đó LCM (234; 351) = 117 2 3 = 702.

Tương tự, 15 = 5 3; 20 = 5 4. Yếu tố 3 và 4 là nguyên tố, và yếu tố 5 là chung. Do đó LCM (15; 20) = 5 3 4 = 60.

Bây giờ chúng ta hãy đưa các phân số về mẫu số chung:

Lưu ý rằng việc phân tích các mẫu số ban đầu trở nên hữu ích như thế nào:

Sau khi tìm thấy các yếu tố giống nhau, chúng tôi ngay lập tức đạt đến bội số chung nhỏ nhất, mà nói chung, đây là một vấn đề không tầm thường;
Từ việc mở rộng kết quả, bạn có thể tìm ra yếu tố nào bị “thiếu” cho mỗi phân số. Ví dụ: 234 3 \ u003d 702, do đó, đối với phân số đầu tiên, thừa số bổ sung là 3.

Xem thêm:

Đưa các phân số về một mẫu số chung

Một phân số không thay đổi nếu tử số và mẫu số của nó được nhân với cùng một số khác không.

Tại sao phải quy đồng mẫu số về một mẫu số chung? Đây chỉ là một vài lý do:

Phép cộng và phép trừ các phân số có mẫu số khác nhau. Không có cách nào khác để thực hiện thao tác này;
So sánh phân số. Đôi khi việc giảm xuống một mẫu số chung giúp đơn giản hóa công việc này một cách đáng kể;
Giải quyết vấn đề về cổ phiếu và tỷ lệ phần trăm. Trên thực tế, phần trăm là biểu thức thông thường có chứa phân số.

Phép nhân "đan chéo"

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị biểu thức:

Là các thừa số bổ sung, hãy xem xét các mẫu số của các phân số lân cận. Chúng tôi nhận được:

Hạn chế duy nhất của phương pháp này là bạn phải đếm rất nhiều, vì các mẫu số được nhân "trước", và kết quả là có thể thu được những số rất lớn.

Đưa các phân số về một mẫu số chung

Đó là cái giá của sự tin cậy.

Phương pháp ước số chung

Kỹ thuật này giúp giảm thiểu đáng kể các phép tính, nhưng, thật không may, nó hiếm khi được sử dụng. Phương pháp như sau:

Nhìn vào các mẫu số trước khi bạn chuyển sang "qua" (tức là "đan chéo"). Có lẽ một trong số chúng (cái lớn hơn) chia hết cho cái còn lại.
Số thu được từ một phép chia như vậy sẽ là một thừa số của một phân số có mẫu số nhỏ hơn.
Đồng thời, một phân số có mẫu số lớn không cần phải nhân với bất cứ thứ gì cả - đây là khoản tiết kiệm. Đồng thời, khả năng xảy ra lỗi giảm mạnh.

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị biểu thức:

Lưu ý rằng phân số thứ hai hoàn toàn không được nhân với bất kỳ thứ gì. Trên thực tế, chúng tôi đã cắt giảm một nửa số lượng tính toán!

Ít phương pháp phổ biến nhất

Ví dụ, đối với mẫu số 8 và 12, số 24 là khá phù hợp, vì 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Số này ít hơn tích của 8 12 = 96.

Số nhỏ nhất chia hết cho mỗi mẫu số được gọi là (LCM) của chúng.

Kí hiệu: bội chung nhỏ nhất của các số a và b được ký hiệu là LCM (a; b). Ví dụ, LCM (16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.

Nếu bạn quản lý để tìm một số như vậy, tổng số lượng phép tính sẽ là tối thiểu. Hãy xem các ví dụ:

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị biểu thức:

Lưu ý rằng 234 = 117 2; 351 = 117 3. Thừa số 2 và 3 là nguyên tố (chúng không có ước chung trừ 1) và thừa số 117 là chung. Do đó LCM (234; 351) = 117 2 3 = 702.

Tương tự, 15 = 5 3; 20 = 5 4. Yếu tố 3 và 4 là nguyên tố, và yếu tố 5 là chung. Do đó LCM (15; 20) = 5 3 4 = 60.

Bây giờ chúng ta hãy đưa các phân số về mẫu số chung:

Lưu ý rằng việc phân tích các mẫu số ban đầu trở nên hữu ích như thế nào:

Sau khi tìm thấy các yếu tố giống nhau, chúng tôi ngay lập tức đạt đến bội số chung nhỏ nhất, mà nói chung, đây là một vấn đề không tầm thường;
Từ việc mở rộng kết quả, bạn có thể tìm ra yếu tố nào bị “thiếu” cho mỗi phân số. Ví dụ: 234 3 \ u003d 702, do đó, đối với phân số đầu tiên, thừa số bổ sung là 3.

Trong bài học này, chúng ta sẽ tìm hiểu quy tắc rút gọn phân số về mẫu số chung và giải các bài toán về chủ đề này. Chúng ta hãy xác định khái niệm mẫu số chung và thừa số, hãy nhớ lại các số nguyên tố. Hãy xác định khái niệm mẫu số chung nhỏ nhất (LCD) và giải một số bài toán để tìm ra nó.

Chủ đề: Cộng trừ các phân số cùng mẫu số

Bài: Rút gọn phân số về mẫu số chung

Sự lặp lại. Tính chất cơ bản của phân số.

Nếu nhân tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên thì sẽ được một phân số bằng nó.

Ví dụ, tử số và mẫu số của một phân số có thể chia hết cho 2. Chúng ta nhận được một phân số. Hoạt động này được gọi là giảm phân số. Bạn cũng có thể thực hiện phép biến đổi ngược lại bằng cách nhân tử số và mẫu số của phân số với 2. Trong trường hợp này, chúng ta nói rằng chúng ta đã rút gọn phân số thành một mẫu số mới. Số 2 được gọi là hệ số bổ sung.

Đầu ra. Một phân số có thể được rút gọn thành bất kỳ mẫu số nào là bội số của mẫu số của phân số đã cho. Để đưa một phân số về mẫu số mới, tử số và mẫu số của nó được nhân với một thừa số.

1. Đưa phân số về mẫu số 35.

Số 35 là bội của 7, tức là số 35 chia hết cho 7 mà không có dư. Vì vậy, sự chuyển đổi này là có thể. Hãy tìm một yếu tố bổ sung. Để làm điều này, chúng ta chia 35 cho 7. Ta được 5. Chúng ta nhân tử số và mẫu số của phân số ban đầu với 5.

2. Đưa phân số về mẫu số 18.

Hãy tìm một yếu tố bổ sung. Để làm điều này, chúng ta chia mẫu số mới cho mẫu số ban đầu. Ta nhận được 3. Ta nhân tử số và mẫu số của phân số này với 3.

3. Đưa phân số về mẫu số 60.

Bằng cách chia 60 cho 15, chúng tôi nhận được một cấp số nhân bổ sung. Nó bằng 4. Hãy nhân tử số và mẫu số với 4.

4. Đưa phân số về mẫu số 24

Trong những trường hợp đơn giản, việc giảm xuống một mẫu số mới được thực hiện trong tâm trí. Thông thường chỉ biểu thị một thừa số bổ sung đằng sau dấu ngoặc vuông một chút ở bên phải và phía trên phân số ban đầu.

Một phân số có thể quy về mẫu số là 15 và phân số có thể quy về mẫu số là 15. Các phân số có mẫu số chung là 15.

Mẫu số chung của các phân số có thể là bội số chung của các mẫu số của chúng. Để đơn giản, các phân số được rút gọn về mẫu số chung nhỏ nhất. Nó bằng bội chung nhỏ nhất của các mẫu số của các phân số đã cho.

Ví dụ. Rút gọn đến mẫu số chung nhỏ nhất của phân số và.

Đầu tiên, hãy tìm bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số của các phân số này. Số này là 12. Hãy tìm thêm một thừa số cho phân số thứ nhất và thứ hai. Để làm điều này, chúng tôi chia 12 cho 4 và cho 6. Ba là một thừa số bổ sung cho phân số đầu tiên và hai cho phân số thứ hai. Ta đưa các phân số về mẫu số 12.

Ta rút gọn các phân số về một mẫu số chung, tức là ta tìm được các phân số bằng chúng và có cùng mẫu số.

Qui định.Để đưa các phân số về mẫu số chung nhỏ nhất,

Đầu tiên, hãy tìm bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số của các phân số này, bội số đó sẽ là mẫu số chung nhỏ nhất của chúng;

Thứ hai, chia mẫu số chung nhỏ nhất cho các mẫu số của các phân số này, nghĩa là tìm thêm một thừa số cho mỗi phân số.

Thứ ba, nhân tử số và mẫu số của mỗi phân số với thừa số của nó.

a) Rút gọn các phân số và quy về mẫu số chung.

Mẫu số chung nhỏ nhất là 12. Thừa số chung của phân số thứ nhất là 4, của phân số thứ hai là - 3. Ta đưa các phân số về mẫu số là 24.

b) Rút gọn các phân số và quy về mẫu số chung.

Mẫu số chung nhỏ nhất là 45. Chia 45 cho 9 cho 15 ta được 5 và 3. Ta quy về mẫu số 45.

c) Rút gọn các phân số và quy về mẫu số chung.

Mẫu số chung là 24. Các thừa số phụ lần lượt là 2 và 3.

Đôi khi rất khó bằng lời nói tìm bội số chung nhỏ nhất cho mẫu số của các phân số đã cho. Sau đó, mẫu số chung và các thừa số phụ được tìm thấy bằng cách gộp thừa số vào các thừa số nguyên tố.

Rút gọn về mẫu số chung của phân số và.

Hãy phân tích các số 60 và 168 thành các thừa số nguyên tố. Hãy viết khai triển của số 60 và thêm các thừa số còn thiếu 2 và 7 từ khai triển thứ hai. Nhân 60 với 14 ta được mẫu số chung là 840. Thừa số của phân số thứ nhất là 14. Thừa số của phân số thứ hai là 5. Hãy rút bớt phân số về mẫu số chung là 840.

Thư mục

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. và những người khác. Toán học 6. - M.: Mnemozina, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Toán lớp 6. - Phòng tập thể dục, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Đằng sau các trang của một cuốn sách giáo khoa toán học. - Khai sáng, 1989.

4. Rurukin A.N., Chaikovsky I.V. Nhiệm vụ môn Toán lớp 5-6. - ZSH MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Chaikovsky K.G. Toán 5-6. Sách hướng dẫn dành cho học sinh lớp 6 của trường văn thư MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. vv Toán học: Sách giáo khoa đối thoại lớp 5-6 Trung học phổ thông. Thư viện của giáo viên toán học. - Khai sáng, 1989.

Bạn có thể tải xuống các sách được chỉ định trong khoản 1.2. bài học này.

Bài tập về nhà

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. và những người khác. Toán học 6. - M .: Mnemozina, 2012. (xem liên kết 1.2)

Bài làm: Số 297, Số 298, Số 300.

Các nhiệm vụ khác: # 270, # 290