Dấu hiệu chia hết số tự nhiên.
Các số chia hết cho 2 mà không có dư được gọi làthậm chí .
Các số không chia hết cho 2 được gọi làsố lẻ .
Dấu hiệu chia hết cho 2
Nếu kỷ lục của một số tự nhiên kết thúc bằng chữ số chẵn thì số này chia hết cho 2 mà không có dư, còn nếu kỷ lục của một số có chữ số lẻ thì số này không chia hết cho 2 mà không có dư.
Ví dụ, các số 60 , 30 8 , 8 4 chia hết mà không có dư cho 2 và các số 51 , 8 5 , 16 7 không chia hết cho 2 mà không có dư.
Dấu hiệu chia hết cho 3
Nếu tổng các chữ số của một số chia hết cho 3 thì số đó cũng chia hết cho 3; Nếu tổng các chữ số của một số không chia hết cho 3 thì số đó không chia hết cho 3.
Ví dụ, chúng ta hãy tìm xem số 2772825 có chia hết cho 3. Để làm điều này, chúng ta tính tổng các chữ số của số này: 2 + 7 + 7 + 2 + 8 + 2 + 5 = 33 - chia hết cho 3 .Vậy số 2772825 chia hết cho 3.
Dấu hiệu chia hết cho 5
Nếu bản ghi của một số tự nhiên có kết thúc bằng 0 hoặc 5 thì số này chia hết cho 5 mà không có dư, nếu bản ghi của một số có chữ số khác thì số đó không thể chia hết cho 5 mà không có dư.
Ví dụ, số 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 chia hết mà không có dư cho 5 và các số 17 , 37 8 , 9 1 không chia sẻ.
Dấu hiệu chia hết cho 9
Nếu tổng các chữ số của một số chia hết cho 9 thì số đó cũng chia hết cho 9; Nếu tổng các chữ số của một số không chia hết cho 9 thì số đó không chia hết cho 9.
Ví dụ, chúng ta hãy tìm xem số 5402070 có chia hết cho 9. Để làm điều này, chúng ta tính tổng các chữ số của số này: 5 + 4 + 0 + 2 + 0 + 7 + 0 = 16 - không chia hết cho 9. Điều này có nghĩa là số 5402070 không chia hết cho 9.
Dấu hiệu chia hết cho 10
Nếu ghi một số tự nhiên có chữ số 0 thì số này chia hết mà không có dư cho 10. Nếu ghi một số tự nhiên có chữ số khác thì nó không chia hết cho 10 mà không có dư.
Ví dụ, các số 40 , 17 0 , 1409 0 chia hết không có dư cho 10 và các số 17 , 9 3 , 1430 7 - không chia sẻ.
Quy tắc tìm ước chung lớn nhất (gcd).
Để tìm ước chung lớn nhất của một số số tự nhiên, bạn cần:
2) từ các yếu tố có trong khai triển của một trong các số này, gạch bỏ các yếu tố không có trong khai triển của các số khác;
3) tìm tích của các yếu tố còn lại.
Ví dụ. Hãy tìm GCD (48; 36). Hãy sử dụng quy tắc.
1. Ta phân tích các số 48 và 36 thành các thừa số nguyên tố.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Từ các yếu tố có trong khai triển số 48, chúng ta xóa các yếu tố không có trong khai triển số 36.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
Có các yếu tố 2, 2 và 3.
3. Nhân các thừa số còn lại ta được 12. Số này là ước chung lớn nhất của các số 48 và 36.
GCD (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.
Quy tắc tìm bội số chung nhỏ nhất (LCM).
Để tìm bội số chung nhỏ nhất của một số số tự nhiên, bạn cần:
1) phân hủy chúng thành các thừa số nguyên tố;
2) viết ra các thừa số có trong khai triển của một trong các số;
3) thêm vào chúng các thừa số còn thiếu từ các mở rộng của các số còn lại;
4) tìm tích của các yếu tố kết quả.
Ví dụ. Hãy tìm LCM (75; 60). Hãy sử dụng quy tắc.
1. Ta phân tích các số 75 và 60 thành các thừa số nguyên tố.
75 = 3 · 5 · 5
60 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Viết các thừa số có trong khai triển của số 75: 3, 5, 5.
NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …
3. Thêm vào chúng những yếu tố còn thiếu từ sự phân hủy của số 60, tức là 2, 2.
NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2
4. Tìm tích của các yếu tố kết quả
NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.
Bài viết này được dành cho một câu hỏi như tìm ước số chung lớn nhất. Đầu tiên, chúng tôi sẽ giải thích nó là gì, và đưa ra một vài ví dụ, giới thiệu các định nghĩa về ước chung lớn nhất của 2, 3 hoặc nhiều số, sau đó chúng tôi sẽ đi sâu vào các tính chất chung của khái niệm này và chứng minh chúng.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ước số chung là gì
Để hiểu ước số chung lớn nhất là gì, trước tiên chúng ta xây dựng ước số chung cho số nguyên là gì.
Trong bài viết về bội số và ước số, chúng tôi đã nói rằng một số nguyên luôn có nhiều ước số. Ở đây chúng tôi quan tâm đến ước của một số số nguyên nhất định cùng một lúc, đặc biệt chung (giống hệt nhau) cho tất cả. Hãy để chúng tôi viết ra định nghĩa chính.
Định nghĩa 1
Ước chung của một số số nguyên sẽ là một số có thể là ước của mỗi số từ tập hợp được chỉ định.
ví dụ 1
Dưới đây là các ví dụ về một ước số như vậy: bộ ba sẽ là một ước chung cho các số - 12 và 9, vì các giá trị bằng 9 = 3 · 3 và - 12 = 3 · (- 4) là đúng. Các số 3 và - 12 có các ước chung khác, chẳng hạn như 1, - 1 và - 3. Hãy lấy một ví dụ khác. Bốn số nguyên 3, - 11, - 8 và 19 sẽ có hai ước chung: 1 và - 1.
Biết các tính chất của phép chia hết, chúng ta có thể nói rằng bất kỳ số nguyên nào cũng có thể chia cho một và trừ một, nghĩa là bất kỳ tập hợp số nguyên nào cũng đã có ít nhất hai ước chung.
Cũng lưu ý rằng nếu chúng ta có một ước chung cho một số số b, thì các số giống nhau có thể được chia cho số đối diện, nghĩa là, bởi - b. Về nguyên tắc, chúng ta chỉ có thể lấy các ước số dương, sau đó tất cả các ước số chung cũng sẽ lớn hơn 0. Cách tiếp cận này cũng có thể được sử dụng, nhưng hoàn toàn bị bỏ qua số âmđừng làm việc đó.
Ước số chung lớn nhất (gcd) là gì
Theo tính chất của phép chia hết, nếu b là ước của số nguyên a không bằng 0 thì môđun của b không thể lớn hơn môđun của a, do đó bất kỳ số nào không bằng 0 đều có số ước là hữu hạn. . Điều này có nghĩa là số lượng ước chung của một số số nguyên, ít nhất một trong số đó khác 0, cũng sẽ là hữu hạn và từ toàn bộ tập hợp của chúng, chúng ta luôn có thể chọn số lớn nhất (chúng ta đã nói về khái niệm lớn nhất và số nguyên nhỏ nhất, chúng tôi khuyên bạn nên lặp lại tài liệu đã cho).
Trong lý luận sâu hơn, chúng tôi sẽ giả định rằng ít nhất một trong các bộ số mà bạn cần tìm ước số chung lớn nhất sẽ khác 0. Nếu tất cả chúng đều bằng 0, thì ước của chúng có thể là bất kỳ số nguyên nào, và vì có vô hạn số chúng nên chúng ta không thể chọn số lớn nhất. Nói cách khác, không thể tìm ước số chung lớn nhất cho tập hợp các số bằng 0.
Chúng tôi chuyển sang công thức của định nghĩa chính.
Định nghĩa 2
Ước chung lớn nhất của nhiều số là số nguyên lớn nhất chia tất cả các số đó.
Trong văn bản, ước số chung lớn nhất thường được ký hiệu bằng chữ viết tắt GCD. Đối với hai số, nó có thể được viết dưới dạng gcd (a, b).
Ví dụ 2
Ví dụ về GCD cho hai số nguyên là gì? Ví dụ, đối với 6 và - 15, nó sẽ là 3. Hãy chứng minh điều này. Đầu tiên, chúng ta viết ra tất cả các ước của sáu: ± 6, ± 3, ± 1, và sau đó là tất cả các ước của mười lăm: ± 15, ± 5, ± 3 và ± 1. Sau đó, chúng tôi chọn những cái chung: đó là - 3, - 1, 1 và 3. Trong số này, bạn cần chọn số lớn nhất. Đây sẽ là 3.
Đối với ba hoặc nhiều số, định nghĩa về ước số chung lớn nhất sẽ giống nhau.
Định nghĩa 3
Ước chung lớn nhất của ba hoặc nhiều số là số nguyên lớn nhất chia tất cả các số đó cùng một lúc.
Đối với các số a 1, a 2,…, a n ước số được ký hiệu thuận tiện là GCD (a 1, a 2,…, a n). Bản thân giá trị số chia được viết là GCD (a 1, a 2,…, a n) = b.
Ví dụ 3
Dưới đây là các ví dụ về ước số chung lớn nhất của một số số nguyên: 12, - 8, 52, 16. Nó sẽ bằng bốn, có nghĩa là chúng ta có thể viết rằng gcd (12, - 8, 52, 16) = 4.
Bạn có thể kiểm tra tính đúng đắn của câu lệnh này bằng cách viết ra tất cả các ước của những số này và sau đó chọn ước lớn nhất của chúng.
Trong thực tế, thường có trường hợp ước số chung lớn nhất bằng một trong các số. Điều này xảy ra khi tất cả các số khác có thể chia cho một số nhất định (trong đoạn đầu tiên của bài báo, chúng tôi đã đưa ra bằng chứng về phát biểu này).
Ví dụ 4
Vì vậy, ước chung lớn nhất của các số 60, 15 và - 45 là 15, vì mười lăm không chỉ chia hết cho 60 và - 45 mà còn chia hết cho chính nó, và không có ước số nào lớn hơn cho tất cả các số này.
Số Coprime là một trường hợp đặc biệt. Chúng là các số nguyên có ước số chung lớn nhất là 1.
Các thuộc tính chính của GCD và thuật toán Euclid
Ước số chung lớn nhất có một số tính chất đặc trưng. Chúng ta xây dựng chúng dưới dạng định lý và chứng minh mỗi định lý.
Lưu ý rằng các thuộc tính này được xây dựng cho các số nguyên lớn hơn 0 và chúng tôi chỉ xem xét các ước số dương.
Định nghĩa 4
Các số a và b có ước chung lớn nhất bằng gcd cho b và a, tức là gcd (a, b) = gcd (b, a). Thay đổi vị trí của các con số không ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng.
Tính chất này tuân theo định nghĩa của GCD và không cần bằng chứng.
Định nghĩa 5
Nếu số a có thể chia cho số b, thì tập hợp các ước chung của hai số này sẽ tương tự như tập hợp các ước của số b, tức là gcd (a, b) = b.
Hãy chứng minh nhận định này.
Bằng chứng 1
Nếu hai số a và b có các ước chung thì chia hết cho chúng. Đồng thời, nếu a là bội số của b, thì bất kỳ ước số nào của b cũng sẽ là ước của a, vì phép chia hết có tính chất như tính chất chuyển hóa. Do đó, mọi ước số b sẽ là chung cho các số a và b. Điều này chứng tỏ rằng nếu ta có thể chia a cho b, thì tập hợp tất cả các ước của cả hai số trùng với tập hợp các ước của một số b. Và vì ước số lớn nhất của bất kỳ số nào là chính số đó, nên ước số chung lớn nhất của các số a và b cũng sẽ bằng b, tức là. gcd (a, b) = b. Nếu a = b thì gcd (a, b) = gcd (a, a) = gcd (b, b) = a = b, ví dụ: gcd (132, 132) = 132.
Sử dụng thuộc tính này, chúng ta có thể tìm ước chung lớn nhất của hai số nếu một trong số chúng có thể chia cho số kia. Một số chia như vậy bằng một trong hai số này mà số thứ hai có thể bị chia. Ví dụ: gcd (8, 24) = 8, vì 24 là bội của tám.
Định nghĩa 6 Chứng minh 2
Chúng ta hãy thử chứng minh tính chất này. Ban đầu chúng ta có đẳng thức a = b q + c, và bất kỳ ước chung nào của a và b cũng sẽ chia cho c, điều này được giải thích bằng tính chất chia hết tương ứng. Do đó, bất kỳ ước chung nào của b và c sẽ chia a. Điều này có nghĩa là tập hợp các ước chung a và b sẽ trùng với tập các ước b và c, bao gồm cả ước lớn nhất trong số chúng, có nghĩa là đẳng thức gcd (a, b) = gcd (b, c) là đúng.
Định nghĩa 7
Thuộc tính sau được gọi là thuật toán Euclid. Với nó, bạn có thể tính ước chung lớn nhất của hai số, cũng như chứng minh các tính chất khác của GCD.
Trước khi xây dựng tính chất, chúng tôi khuyên bạn nên lặp lại định lý mà chúng tôi đã chứng minh trong bài viết về phép chia có dư. Theo nó, số bị chia hết a có thể được biểu diễn dưới dạng bq + r, và ở đây b là một số chia, q là một số nguyên (nó còn được gọi là một thương không đầy đủ) và r là một phần dư thỏa mãn điều kiện 0 ≤ r ≤ b.
Giả sử chúng ta có hai số nguyên lớn hơn 0 mà các giá trị bằng nhau sau đây sẽ đúng:
a = b q 1 + r 1, 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1
Các cân bằng này kết thúc khi r k + 1 trở nên bằng 0. Điều này chắc chắn sẽ xảy ra, vì dãy b> r 1> r 2> r 3,… là một dãy số nguyên giảm dần, có thể chỉ bao gồm một số hữu hạn trong số chúng. Do đó, r k là ước chung lớn nhất của a và b, nghĩa là r k = gcd (a, b).
Trước hết, chúng ta cần chứng minh r k là ước chung của hai số a và b, sau đó r k không chỉ là ước mà là ước chung lớn nhất của hai số đã cho.
Hãy xem danh sách các điểm bằng nhau ở trên, từ dưới lên trên. Theo bình đẳng cuối cùng,
r k - 1 có thể chia hết cho r k. Dựa trên thực tế này, cũng như tính chất đã được chứng minh trước đó của ước số chung lớn nhất, có thể lập luận rằng r k - 2 có thể chia hết cho r k, vì
r k - 1 chia hết cho r k và r k chia hết cho r k.
Đẳng thức thứ ba từ dưới lên cho phép chúng ta kết luận rằng r k - 3 có thể chia hết cho r k, v.v. Từ dưới lên thứ hai là b chia hết cho r k, và thứ nhất là a chia hết cho r k. Từ tất cả những điều này, chúng tôi kết luận rằng r k là ước chung của a và b.
Bây giờ hãy chứng minh rằng r k = gcd (a, b). Tôi cần phải làm gì? Chứng tỏ rằng bất kỳ ước chung nào của a và b sẽ chia r k. Hãy ký hiệu nó là r 0.
Hãy cùng xem danh sách các điểm bằng nhau, nhưng từ trên xuống dưới. Dựa vào tính chất trước, ta có thể kết luận r 1 chia hết cho r 0, nghĩa là theo đẳng thức thứ hai, r 2 chia hết cho r 0. Chúng tôi đi xuống tất cả các bằng nhau và từ cái cuối cùng, chúng tôi kết luận rằng r k chia hết cho r 0. Do đó, r k = gcd (a, b).
Sau khi xem xét tính chất này, chúng tôi kết luận rằng tập hợp các ước chung của a và b tương tự như tập hợp các ước của gcd của các số này. Câu lệnh này, là một hệ quả của thuật toán Euclid, sẽ cho phép chúng ta tính tất cả các ước chung của hai số đã cho.
Hãy chuyển sang các thuộc tính khác.
Định nghĩa 8
Nếu a và b là các số nguyên không bằng 0 thì phải tồn tại hai số nguyên khác u 0 và v 0 mà đẳng thức gcd (a, b) = a · u 0 + b · v 0 mới có giá trị.
Đẳng thức được đưa ra trong câu lệnh thuộc tính là một biểu diễn tuyến tính của ước số chung lớn nhất của a và b. Nó được gọi là tỷ lệ Bezout, và các số u 0 và v 0 được gọi là hệ số Bezout.
Bằng chứng 3
Hãy chứng minh tính chất này. Chúng tôi viết ra dãy số bằng nhau theo thuật toán Euclid:
a = b q 1 + r 1, 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1
Đẳng thức đầu tiên cho chúng ta biết rằng r 1 = a - b · q 1. Kí hiệu 1 = s 1 và - q 1 = t 1 và viết lại đẳng thức này dưới dạng r 1 = s 1 · a + t 1 · b. Ở đây các số s 1 và t 1 sẽ là các số nguyên. Đẳng thức thứ hai cho phép chúng ta kết luận rằng r 2 = b - r 1 q 2 = b - (s 1 a + t 1 b) q 2 = - s 1 q 2 a + (1 - t 1 q 2) b. Ký hiệu - s 1 q 2 = s 2 và 1 - t 1 q 2 = t 2 và viết lại đẳng thức dưới dạng r 2 = s 2 a + t 2 b, trong đó s 2 và t 2 cũng sẽ là các số nguyên. Điều này là do tổng các số nguyên, tích và hiệu của chúng cũng là số nguyên. Theo cách hoàn toàn tương tự, ta thu được đẳng thức thứ ba r 3 = s 3 · a + t 3 · b, từ đẳng thức sau r 4 = s 4 · a + t 4 · b, v.v. Cuối cùng, chúng ta kết luận rằng r k = s k a + t k b với các số nguyên s k và t k. Vì rk \ u003d GCD (a, b), chúng tôi ký hiệu sk \ u003d u 0 và tk \ u003d v 0. Do đó, chúng tôi có thể nhận được biểu diễn tuyến tính của GCD ở dạng bắt buộc: GCD (a, b) \ u003d au 0 + bv 0.
Định nghĩa 9
gcd (m a, m b) = m gcd (a, b) với mọi giá trị tự nhiên m.
Bằng chứng 4
Tính chất này có thể được chứng minh như sau. Nhân với số m cả hai vế của mỗi đẳng thức trong thuật toán Euclid và chúng ta nhận được rằng gcd (m a, m b) = m r k và r k là gcd (a, b). Do đó, gcd (m a, m b) = m gcd (a, b). Đó là tính chất của ước số chung lớn nhất được sử dụng khi tìm GCD bằng phương pháp phân tích nhân tử.
Định nghĩa 10
Nếu các số a và b có ước chung là p thì gcd (a: p, b: p) = gcd (a, b): p. Trong trường hợp p = gcd (a, b) chúng ta nhận được gcd (a: gcd (a, b), b: gcd (a, b) = 1, do đó, các số a: gcd (a, b) và b : gcd (a, b) là số nguyên tố.
Vì a = p (a: p) và b = p (b: p), do đó, dựa trên thuộc tính trước đó, chúng ta có thể tạo các bằng nhau có dạng gcd (a, b) = gcd (p (a: p), p · (b: p)) = p · GCD (a: p, b: p), trong số đó sẽ có một bằng chứng về tính chất này. Chúng tôi sử dụng khẳng định này khi đưa ra phân số chung sang dạng không thể thay đổi được.
Định nghĩa 11
Ước chung lớn nhất a 1, a 2, ..., ak sẽ là số dk, có thể tìm được bằng cách tính liên tiếp gcd (a 1, a 2) = d 2, gcd (d 2, a 3) = d 3, gcd (d 3, a 4) = d 4,…, gcd (dk - 1, ak) = dk.
Thuộc tính này hữu ích để tìm ước chung lớn nhất của ba hoặc nhiều số. Với nó, bạn có thể giảm thao tác này thành các thao tác với hai số. Cơ sở của nó là một hệ quả từ thuật toán Euclid: nếu tập các ước chung a 1, a 2 và a 3 trùng với tập d 2 và a 3, thì nó cũng trùng với các ước số d 3. Các ước của các số a 1, a 2, a 3 và a 4 sẽ khớp với ước của d 3, có nghĩa là chúng cũng sẽ khớp với ước của d 4, v.v. Cuối cùng, chúng ta nhận được rằng các ước số chung của các số a 1, a 2,…, ak sẽ trùng với các ước số dk, và vì bản thân số đó sẽ là ước số lớn nhất của số dk, nên gcd (a 1, a 2,…, ak) = dk.
Đó là tất cả những gì chúng ta muốn nói về các thuộc tính của ước số chung lớn nhất.
Nếu bạn nhận thấy lỗi trong văn bản, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter
Để biết cách tìm ước chung lớn nhất của hai hoặc nhiều số, bạn cần hiểu số tự nhiên, số nguyên tố và số phức là gì.
Số tự nhiên là bất kỳ số nào được sử dụng để đếm số nguyên.
Nếu một số tự nhiên chỉ có thể chia cho chính nó và một thì nó được gọi là số nguyên tố.
Tất cả các số tự nhiên đều có thể chia hết cho chính chúng và một, nhưng số nguyên tố chẵn duy nhất là 2, tất cả các số còn lại đều có thể chia hết cho hai. Do đó, chỉ những số lẻ mới có thể là số nguyên tố.
Quá nhiều số nguyên tố danh sách hoàn thành chúng không tồn tại. Để tìm GCD, rất tiện lợi khi sử dụng các bảng đặc biệt với các số như vậy.
Hầu hết các số tự nhiên có thể chia không chỉ cho một mà còn cho các số khác. Vì vậy, ví dụ, số 15 có thể chia cho 3 và 5. Tất cả chúng được gọi là ước của số 15.
Do đó, ước của A bất kỳ là số mà nó có thể bị chia mà không có dư. Nếu một số có nhiều hơn hai ước số tự nhiên, nó được gọi là hợp số.
Số 30 có các ước là 1, 3, 5, 6, 15, 30.
Bạn có thể thấy rằng 15 và 30 có cùng các ước là 1, 3, 5, 15. Ước chung lớn nhất của hai số này là 15.
Vì vậy, ước chung của hai số A và B là số mà bạn có thể chia chúng hoàn toàn. Số tối đa có thể được coi là tổng số lớn nhất mà chúng có thể được chia.
Để giải quyết vấn đề, cách viết tắt sau đây được sử dụng:
GCD (A; B).
Ví dụ, GCD (15; 30) = 30.
Để viết ra tất cả các ước của một số tự nhiên, ký hiệu được sử dụng:
D (15) = (1, 3, 5, 15)
gcd (9; 15) = 1
Trong ví dụ này, các số tự nhiên chỉ có một ước số chung. Chúng được gọi là coprime, đơn vị là ước số chung lớn nhất của chúng.
Cách tìm ước chung lớn nhất của các số
Để tìm GCD của một số số, bạn cần:
Tìm tất cả các ước của mỗi số tự nhiên riêng biệt, tức là chia chúng thành thừa số (số nguyên tố);
Chọn tất cả các thừa số giống nhau cho các số đã cho;
Nhân chúng với nhau.
Ví dụ, để tính ước chung lớn nhất của các số 30 và 56, bạn sẽ viết như sau:
Để không bị nhầm lẫn, thuận tiện để viết các cấp số nhân bằng cách sử dụng cột dọc. Ở phía bên trái của dòng, bạn cần đặt số bị chia và ở bên phải - số bị chia. Dưới cổ tức, bạn nên chỉ ra thương số kết quả.
Vì vậy, trong cột bên phải sẽ là tất cả các yếu tố cần thiết cho giải pháp.
Các ước số giống hệt nhau (thừa số được tìm thấy) có thể được gạch chân để thuận tiện. Chúng nên được viết lại và nhân lên và ước số chung lớn nhất nên được viết ra.
GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10
Nó thực sự đơn giản để tìm ước số chung lớn nhất của các số. Với một chút thực hành, bạn có thể làm điều đó gần như tự động.
Số tự nhiên lớn nhất mà các số a, b chia hết mà không có dư được gọi là ước chung lớn nhất những con số này. Kí hiệu GCD (a, b).
Hãy xem xét việc tìm GCD trong ví dụ của hai số tự nhiên 18 và 60:
18 = 2 × 3 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
18 = 2 × 3 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
324 , 111 Và 432
Hãy phân tích các số thành thừa số nguyên tố:
324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
111 = 3 × 37
432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
Xoá khỏi số đầu tiên các thừa số không có trong số thứ hai và thứ ba, ta được:
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3
Do GCD ( 324 , 111 , 432 )=3
Tìm GCD bằng thuật toán Euclid
Cách thứ hai để tìm ước số chung lớn nhất bằng cách sử dụng Thuật toán Euclid. Thuật toán Euclid là nhất cách hiệu quả Phát hiện GCD, sử dụng nó, bạn cần liên tục tìm phần dư của phép chia các số và áp dụng công thức lặp lại.
Công thức lặp lại cho GCD, gcd (a, b) = gcd (b, a mod b), trong đó a mod b là phần dư của phép chia a cho b.
Thuật toán Euclid
Ví dụ Tìm ước số chung lớn nhất của các số 7920 Và 594
Hãy cùng tìm GCD ( 7920 , 594 ) bằng cách sử dụng thuật toán Euclid, chúng tôi sẽ tính phần còn lại của phép chia bằng máy tính.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0
Kết quả là, chúng tôi nhận được GCD ( 7920 , 594 ) = 198
Bội số chung nhỏ nhất
Nhằm mục đích tìm ra mẫu số chung khi cộng và trừ các phân số với mẫu số khác nhau cần biết và có thể tính toán bội số chung nhỏ nhất(NOC).
Bội của số "a" là một số tự nó chia hết cho số "a" mà không có dư.
Các số là bội của 8 (tức là các số này sẽ chia hết cho 8 mà không có dư): đó là các số 16, 24, 32 ...
Bội số của 9: 18, 27, 36, 45…
Có vô hạn bội của một số cho trước a, ngược lại với các ước của cùng một số. Số chia - một số hữu hạn.
Bội chung của hai số tự nhiên là một số chia hết cho cả hai số đó..
Bội số chung nhỏ nhất(LCM) của hai hay nhiều số tự nhiên là số tự nhiên nhỏ nhất mà chính nó chia hết cho mỗi số đó.
Cách tìm NOC
LCM có thể được tìm thấy và viết theo hai cách.
Cách đầu tiên để tìm LCM
Phương pháp này thường được sử dụng cho số lượng nhỏ.
- Chúng ta viết bội số của mỗi số trên một dòng cho đến khi có bội số giống nhau cho cả hai số.
- Bội của số "a" được biểu thị bằng chữ cái viết hoa "K".
Ví dụ. Tìm LCM 6 và 8.
Cách thứ hai để tìm LCM
Phương pháp này thuận tiện để sử dụng để tìm LCM cho ba số trở lên.
Số lượng các thừa số giống nhau trong các mở rộng của các số có thể khác nhau.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2
Đáp số: LCM (24, 60) = 120
Bạn cũng có thể chính thức hóa việc tìm bội số phổ biến nhất (LCM) như sau. Hãy tìm LCM (12, 16, 24).
24 = 2 2 2 3
Như chúng ta có thể thấy từ khai triển số, tất cả các thừa số của 12 đều được bao gồm trong khai triển của 24 (lớn nhất trong các số), vì vậy chúng tôi chỉ thêm một 2 từ khai triển số 16 vào LCM.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Trả lời: LCM (12, 16, 24) = 48
Các trường hợp đặc biệt của việc tìm NOC
Ví dụ: LCM (60, 15) = 60
Vì các số nguyên tố không có ước nguyên tố chung nên bội số chung nhỏ nhất của chúng bằng tích của các số này.
Trên trang web của chúng tôi, bạn cũng có thể sử dụng một máy tính đặc biệt để tìm bội số phổ biến nhất trên mạng nhằm kiểm tra các phép tính của mình.
Nếu một số tự nhiên chỉ chia hết cho 1 và chính nó thì nó được gọi là số nguyên tố.
Mọi số tự nhiên luôn chia hết cho 1 và chính nó.
Số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất. Đây là số nguyên tố chẵn duy nhất, các số nguyên tố còn lại là số lẻ.
Có rất nhiều số nguyên tố, và số đầu tiên trong số đó là số 2. Tuy nhiên, không có số nguyên tố cuối cùng. Trong phần "Để nghiên cứu", bạn có thể tải bảng số nguyên tố lên đến 997.
Nhưng có nhiều số tự nhiên chia hết cho các số tự nhiên khác.
- số 12 chia hết cho 1, cho 2, cho 3, cho 4, cho 6, cho 12;
- 36 chia hết cho 1, cho 2, cho 3, cho 4, cho 6, cho 12, cho 18, cho 36.
- chia các ước của số thành thừa số nguyên tố;
Các số mà số đó chia hết (cho 12 là 1, 2, 3, 4, 6 và 12) được gọi là ước của một số.
Ước của một số tự nhiên a là một số tự nhiên chia cho số đã cho "a" mà không có dư.
Số tự nhiên có nhiều hơn hai thừa số được gọi là hợp số.
Lưu ý rằng các số 12 và 36 có ước chung. Đây là các số: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ước số lớn nhất của những số này là 12.
Ước chung của hai số đã cho "a" và "b" là số mà cả hai số đã cho "a" và "b" đều bị chia không có dư.
Ước chung lớn nhất(GCD) của hai số đã cho "a" và "b" là số lớn nhất mà cả hai số "a" và "b" đều chia hết mà không có dư.
Tóm lại, ước số chung lớn nhất của các số "a" và "b" được viết như sau:
Ví dụ: gcd (12; 36) = 12.
Ước số của các số trong bản ghi lời giải được ký hiệu bằng chữ cái in hoa "D".
Các số 7 và 9 chỉ có một ước số chung - số 1. Những con số như vậy được gọi là số coprime.
Số Coprime là các số tự nhiên chỉ có một ước chung - số 1. GCD của họ là 1.
Cách tìm ước số chung lớn nhất
Để tìm gcd của hai hoặc nhiều số tự nhiên, bạn cần:
Các phép tính được viết thuận tiện bằng thanh dọc. Ở bên trái dòng, đầu tiên ghi số bị chia, ở bên phải - số bị chia. Hơn nữa trong cột bên trái, chúng tôi viết ra các giá trị của private.
Hãy giải thích ngay sau đây bằng một ví dụ. Hãy phân tích các số 28 và 64 thành các thừa số nguyên tố.
- Gạch chân các thừa số nguyên tố giống nhau trong cả hai số.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Chúng tôi tìm tích số của các thừa số nguyên tố giống nhau và viết ra câu trả lời;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4
Đáp số: GCD (28; 64) = 4
Bạn có thể sắp xếp vị trí của GCD theo hai cách: theo cột (như đã làm ở trên) hoặc “theo dòng”.
Cách đầu tiên để viết GCD
Tìm GCD 48 và 36.
GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
Cách thứ hai để viết GCD
Bây giờ chúng ta hãy viết giải pháp tìm kiếm GCD trong một dòng. Tìm GCD 10 và 15.
Trên trang web thông tin của chúng tôi, bạn cũng có thể tìm ước số chung lớn nhất trực tuyến bằng cách sử dụng chương trình trợ giúp để kiểm tra các phép tính của bạn.
Tìm bội số chung nhỏ nhất, phương pháp, ví dụ về tìm LCM.
Tài liệu được trình bày dưới đây là sự tiếp nối logic của lý thuyết từ bài báo với tiêu đề LCM - Đa bội chung ít nhất, định nghĩa, ví dụ, mối quan hệ giữa LCM và GCD. Ở đây chúng ta sẽ nói về tìm bội số chung nhỏ nhất (LCM), Và Đặc biệt chú ý Chúng ta hãy xem xét các ví dụ. Đầu tiên chúng ta hãy trình bày cách tính LCM của hai số theo GCD của những số này. Tiếp theo, hãy xem xét việc tìm bội số chung nhỏ nhất bằng cách gộp các số thành thừa số nguyên tố. Sau đó, chúng tôi sẽ tập trung vào việc tìm LCM của ba và hơn số, và cũng chú ý đến việc tính toán LCM của các số âm.
Điều hướng trang.
Tính toán bội số phổ biến nhất (LCM) thông qua gcd
Một cách để tìm bội số phổ biến nhất là dựa trên mối quan hệ giữa LCM và GCD. Mối quan hệ hiện có giữa LCM và GCD cho phép bạn tính bội số chung nhỏ nhất của hai số nguyên dương thông qua ước số chung lớn nhất đã biết. Công thức tương ứng có dạng LCM (a, b) = a b: GCD (a, b). Hãy xem xét các ví dụ về việc tìm LCM theo công thức trên.
Tìm bội chung nhỏ nhất của hai số 126 và 70.
Trong ví dụ này a = 126, b = 70. Hãy sử dụng liên kết của LCM với GCD, được biểu thị bằng công thức LCM (a, b) = a b: GCM (a, b). Tức là, đầu tiên chúng ta phải tìm ước chung lớn nhất của các số 70 và 126, sau đó chúng ta có thể tính LCM của các số này theo công thức đã viết.
Tìm gcd (126, 70) bằng thuật toán Euclid: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, do đó gcd (126, 70) = 14.
Bây giờ chúng ta tìm bội số chung nhỏ nhất được yêu cầu: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
LCM (68, 34) là gì?
Vì 68 chia hết cho 34 nên gcd (68, 34) = 34. Bây giờ chúng ta tính bội chung nhỏ nhất: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Lưu ý rằng ví dụ trước phù hợp với quy tắc sau để tìm LCM cho các số nguyên dương a và b: nếu số a chia hết cho b thì bội chung nhỏ nhất của các số này là a.
Tìm LCM bằng cách tính các số thành thừa số nguyên tố
Một cách khác để tìm bội số chung nhỏ nhất là dựa trên việc gộp các số thành thừa số nguyên tố. Nếu chúng ta tạo một tích của tất cả các thừa số nguyên tố của những số này, sau đó chúng ta loại trừ khỏi tích này tất cả các thừa số nguyên tố chung có mặt trong các khai triển của các số này, thì tích kết quả sẽ bằng bội số chung nhỏ nhất của các số này.
Quy tắc đã công bố để tìm LCM tuân theo đẳng thức LCM (a, b) = a b: GCD (a, b). Thật vậy, tích của các số a và b bằng tích của tất cả các thừa số liên quan đến khai triển của các số a và b. Đổi lại, gcd (a, b) bằng tích của tất cả các thừa số nguyên tố đồng thời có mặt trong các khai triển của số a và b (được mô tả trong phần tìm gcd bằng cách sử dụng phân rã các số thành thừa số nguyên tố ).
Hãy lấy một ví dụ. Cho chúng ta biết rằng 75 = 3 5 5 và 210 = 2 3 5 7. Lập tổng tất cả các thừa số của các khai triển này: 2 3 3 5 5 5 7. Bây giờ chúng ta loại trừ khỏi sản phẩm này tất cả các thừa số có cả trong khai triển của số 75 và trong khai triển của số 210 (các thừa số đó là 3 và 5), thì tích sẽ có dạng 2 3 5 5 7. Giá trị của tích này bằng bội chung nhỏ nhất của 75 và 210, tức là, LCM (75, 210) = 2 3 5 5 7 = 1 050.
Sau khi cộng thừa số 441 và 700 thành các thừa số nguyên tố, hãy tìm bội số chung nhỏ nhất của các số này.
Hãy phân tích các số 441 và 700 thành các thừa số nguyên tố: 
Ta nhận được 441 = 3 3 7 7 và 700 = 2 2 5 5 7.
Bây giờ, hãy lập một tích của tất cả các thừa số liên quan đến khai triển của các số này: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Chúng ta hãy loại trừ khỏi sản phẩm này tất cả các yếu tố xuất hiện đồng thời trong cả hai lần mở rộng (chỉ có một yếu tố như vậy - đây là số 7): 2 2 3 3 5 5 7 7. Vậy LCM (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
LCM (441, 700) = 44 100.
Quy tắc tìm LCM bằng cách sử dụng phân rã các số thành các thừa số nguyên tố có thể được xây dựng hơi khác một chút. Nếu ta thêm thừa số còn thiếu từ khai triển số b với thừa tử khai triển a, thì giá trị của tích thu được sẽ bằng bội chung nhỏ nhất của hai số a và b.
Ví dụ, chúng ta hãy lấy tất cả các số giống nhau 75 và 210, khai triển của chúng thành các thừa số nguyên tố như sau: 75 = 3 5 5 và 210 = 2 3 5 7. Ta cộng thừa số còn thiếu 2 và 7 từ phép phân tích 210 thành thừa số 3, 5 và 5 từ khai triển số 75, ta được tích 2 3 5 5 7, giá trị của nó là LCM (75, 210) .
Tìm bội chung nhỏ nhất của 84 và 648.
Đầu tiên chúng ta nhận được sự phân rã của các số 84 và 648 thành các thừa số nguyên tố. Chúng có dạng 84 = 2 2 3 7 và 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Để các thừa số 2, 2, 3 và 7 từ sự phân hủy của số 84, chúng tôi cộng các thừa số còn thiếu 2, 3, 3 và 3 từ sự phân hủy của số 648, chúng tôi nhận được tích 2 2 2 3 3 3 3 7, bằng 4 536. Do đó, bội số chung nhỏ nhất mong muốn của các số 84 và 648 là 4,536.
Tìm LCM của ba số trở lên
Bội số chung nhỏ nhất của ba số trở lên có thể được tìm thấy bằng cách tìm liên tiếp LCM của hai số. Nhắc lại định lý tương ứng, nêu cách tìm LCM của ba số trở lên.
Cho các số nguyên dương a 1, a 2,…, ak, bội số chung nhỏ nhất của các số này được tìm thấy trong phép tính liên tiếp m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3),…, mk = LCM (mk − 1, ak).
Hãy xem xét ứng dụng của định lý này trong ví dụ về tìm bội chung nhỏ nhất của bốn số.
Tìm ƯCLN của bốn số 140, 9, 54 và 250.
Đầu tiên ta tìm m 2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9). Để làm điều này, sử dụng thuật toán Euclide, chúng tôi xác định gcd (140, 9), chúng tôi có 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4, do đó, gcd ( 140, 9) = 1, khi đó LCM (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1 260. Tức là, m 2 = 1 260.
Bây giờ chúng ta tìm m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). Hãy tính toán nó thông qua gcd (1 260, 54), cũng được xác định bởi thuật toán Euclid: 1 260 = 54 23 + 18, 54 = 18 3. Khi đó gcd (1 260, 54) = 18, khi đó LCM (1 260, 54) = 1 260 54: gcd (1 260, 54) = 1 260 54: 18 = 3 780. Đó là, m 3 \ u003d 3 780.
Vẫn là tìm m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Để làm điều này, chúng tôi tìm GCD (3 780, 250) bằng cách sử dụng thuật toán Euclid: 3 780 = 250 15 + 30, 250 = 30 8 + 10, 30 = 10 3. Do đó, gcd (3 780, 250) = 10, do đó LCM (3 780, 250) = 3 780 250: gcd (3 780, 250) = 3 780 250: 10 = 94 500. Đó là, m 4 \ u003d 94 500.
Vì vậy, bội số chung nhỏ nhất của bốn số ban đầu là 94.500.
LCM (140, 9, 54, 250) = 94500.
Trong nhiều trường hợp, bội số chung nhỏ nhất của ba số trở lên được tìm thấy một cách thuận tiện bằng cách sử dụng thừa số nguyên tố của các số đã cho. Trong trường hợp này, cần tuân theo quy tắc sau. Bội số chung nhỏ nhất của một số số bằng tích, được cấu tạo như sau: các thừa số còn thiếu từ khai triển của số thứ hai được cộng với tất cả các thừa số từ khai triển của số thứ nhất, thừa số còn thiếu từ khai triển của số thứ ba được thêm vào các hệ số thu được, v.v.
Hãy xem xét một ví dụ về việc tìm bội số chung nhỏ nhất bằng cách sử dụng phép chia nhỏ các số thành thừa số nguyên tố.
Tìm bội chung nhỏ nhất của năm số 84, 6, 48, 7, 143.
Đầu tiên, chúng ta thu được các phép phân tích các số này thành các thừa số nguyên tố: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7 (7 là một số nguyên tố, nó trùng với phép phân tích thành các thừa số nguyên tố) và 143 = 11 13.
Để tìm LCM của các số này, với các thừa số của số đầu tiên 84 (chúng là 2, 2, 3 và 7), bạn cần thêm các thừa số còn thiếu từ khai triển của số thứ hai 6. Sự mở rộng của số 6 không chứa thừa số, vì cả 2 và 3 đều đã có mặt trong sự khai triển của số 84 đầu tiên. Thêm vào các thừa số 2, 2, 3 và 7, chúng ta thêm các thừa số 2 và 2 còn thiếu từ khai triển của số thứ ba 48, chúng ta nhận được một tập hợp các thừa số 2, 2, 2, 2, 3 và 7. Không cần thêm hệ số vào tập hợp này trong bước tiếp theo, vì 7 đã được chứa trong đó. Cuối cùng, đối với các thừa số 2, 2, 2, 2, 3 và 7, chúng ta thêm các thừa số còn thiếu 11 và 13 từ khai triển số 143. Ta nhận được tích 2 2 2 2 3 7 11 13 bằng 48 048.
Do đó, LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48048.
LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48048.
Tìm ít phổ biến nhất của số phủ định
Đôi khi có những nhiệm vụ mà bạn cần tìm bội số chung nhỏ nhất, trong đó một, một số hoặc tất cả các số đều âm. Trong những trường hợp này, tất cả các số âm phải được thay thế bằng các số đối diện của chúng, sau đó LCM của các số dương sẽ được tìm thấy. Đây là cách để tìm LCM của số âm. Ví dụ, LCM (54, −34) = LCM (54, 34) và LCM (−622, −46, −54, −888) = LCM (622, 46, 54, 888).
Ta có thể làm được điều này vì tập bội của a giống với tập bội của −a (a và −a là các số đối nhau). Thật vậy, cho b là bội của a thì b chia hết cho a và khái niệm chia hết khẳng định sự tồn tại của số nguyên q sao cho b = a q. Nhưng đẳng thức b = (- a) · (−q) cũng sẽ đúng, theo cùng khái niệm chia hết, có nghĩa là b chia hết cho −a, tức là b là bội của −a. Câu ngược cũng đúng: nếu b là bội của −a thì b cũng là bội của a.
Tìm bội chung nhỏ nhất của các số âm −145 và −45.
Hãy thay các số âm −145 và −45 bằng các số đối của chúng 145 và 45. Ta có LCM (−145, −45) = LCM (145, 45). Sau khi xác định gcd (145, 45) = 5 (ví dụ: sử dụng thuật toán Euclid), chúng tôi tính LCM (145, 45) = 145 45: gcd (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305. Do đó, bội số chung nhỏ nhất của các số nguyên âm −145 và −45 là 1,305.
www.cleverstudents.ru
Chúng ta tiếp tục nghiên cứu sự phân chia. Trong bài học này, chúng ta sẽ xem xét các khái niệm như GCD Và NOC.
GCD là ước số chung lớn nhất.
NOC là bội số chung ít nhất.
Chủ đề là khá nhàm chán, nhưng nó là cần thiết để hiểu nó. Nếu không hiểu chủ đề này, bạn sẽ không thể làm việc hiệu quả với phân số, đây là một trở ngại thực sự trong toán học.
Ước chung lớn nhất
Sự định nghĩa. Số chia hết phổ biến nhất Một Và b Một Và b chia không dư.
Để hiểu rõ định nghĩa này, chúng ta thay thế bằng các biến Một Và b chẳng hạn như hai số bất kỳ, thay vì một biến Một thay thế số 12 và thay vì biến b số 9. Bây giờ chúng ta hãy thử đọc định nghĩa này:
Số chia hết phổ biến nhất 12 Và 9 là con số lớn nhất trong đó 12 Và 9 chia không dư.
Rõ ràng là từ định nghĩa mà chúng ta đang nói về một ước số chung của các số 12 và 9, và ước số này là ước số lớn nhất trong tất cả các ước số hiện có. Ước số chung lớn nhất (gcd) này phải được tìm thấy.
Để tìm ước chung lớn nhất của hai số, ba phương pháp được sử dụng. Phương pháp đầu tiên khá tốn thời gian, nhưng nó cho phép bạn hiểu rõ bản chất của chủ đề và cảm nhận được toàn bộ ý nghĩa của nó.
Phương pháp thứ hai và thứ ba khá đơn giản và giúp bạn có thể nhanh chóng tìm thấy GCD. Chúng tôi sẽ xem xét cả ba phương pháp. Và những gì để áp dụng trong thực tế - bạn chọn.
Cách đầu tiên là tìm tất cả các ước có thể có của hai số và chọn số lớn nhất trong số đó. Hãy xem xét phương pháp này trong ví dụ sau: tìm ước chung lớn nhất của các số 12 và 9.
Đầu tiên, chúng tôi tìm tất cả các ước số có thể có của số 12. Để làm điều này, chúng tôi chia 12 thành tất cả các ước trong phạm vi từ 1 đến 12. Nếu số chia cho phép chúng tôi chia 12 mà không có dư, thì chúng tôi sẽ đánh dấu nó bằng màu xanh lam và giải thích thích hợp trong ngoặc.
12: 1 = 12
(12 chia cho 1 mà không có dư nên 1 là ước của 12)
12: 2 = 6
(12 chia cho 2 mà không có dư nên 2 là ước của 12)
12: 3 = 4
(12 chia cho 3 không có dư nên 3 là ước của 12)
12: 4 = 3
(12 chia cho 4 không có dư nên 4 là ước của 12)
12: 5 = 2 (2 trái)
(12 không chia cho 5 mà không có dư, vì vậy 5 không phải là ước của 12)
12: 6 = 2
(12 chia cho 6 không có dư nên 6 là ước của 12)
12: 7 = 1 (còn 5)
(12 không chia cho 7 mà không có dư, vì vậy 7 không phải là ước của 12)
12: 8 = 1 (4 trái)
(12 không chia cho 8 mà không có dư, vì vậy 8 không phải là ước của 12)
12: 9 = 1 (3 trái)
(12 không chia cho 9 mà không có dư, vì vậy 9 không phải là ước của 12)
12: 10 = 1 (2 trái)
(12 không chia cho 10 mà không có dư, vì vậy 10 không phải là ước của 12)
12:11 = 1 (1 trái)
(12 không chia cho 11 mà không có dư, vì vậy 11 không phải là ước của 12)
12: 12 = 1
(12 chia cho 12 mà không có dư, do đó 12 là ước của 12)
Bây giờ chúng ta hãy tìm các ước của số 9. Để làm điều này, hãy kiểm tra tất cả các ước từ 1 đến 9
9: 1 = 9
(9 chia cho 1 không có dư nên 1 là ước của 9)
9: 2 = 4 (1 trái)
(9 không chia cho 2 mà không có dư nên 2 không phải là ước của 9)
9: 3 = 3
(9 chia cho 3 không có dư nên 3 là ước của 9)
9: 4 = 2 (1 trái)
(9 không chia cho 4 mà không có dư, vì vậy 4 không phải là ước của 9)
9: 5 = 1 (4 trái)
(9 không chia cho 5 mà không có dư, vì vậy 5 không phải là ước của 9)
9: 6 = 1 (3 trái)
(9 không chia cho 6 mà không có dư, vì vậy 6 không phải là ước của 9)
9: 7 = 1 (2 trái)
(9 không chia cho 7 mà không có dư, vì vậy 7 không phải là ước của 9)
9: 8 = 1 (1 trái)
(9 không chia cho 8 mà không có dư, vì vậy 8 không phải là ước của 9)
9: 9 = 1
(9 chia cho 9 mà không có dư nên 9 là số chia của 9)
Bây giờ hãy viết ra các ước của cả hai số. Các số được tô màu xanh lam là các ước số. Hãy viết chúng ra:
Sau khi viết ra các ước số, bạn có thể xác định ngay ước số nào là lớn nhất và phổ biến nhất.
Theo định nghĩa, ước số chung lớn nhất của 12 và 9 là số chia hết cho 12 và 9. Ước lớn nhất và ước chung của các số 12 và 9 là số 3
Cả số 12 và số 9 đều chia hết cho 3 mà không có dư:
Vậy gcd (12 và 9) = 3
Cách thứ hai để tìm GCD
Bây giờ hãy xem xét cách thứ hai để tìm ước số chung lớn nhất. Bản chất phương pháp này là nhân cả hai số thành thừa số nguyên tố và nhân với các số chung.
ví dụ 1. Tìm GTĐB của các số 24 và 18
Đầu tiên, hãy chia cả hai số thành thừa số nguyên tố:
Bây giờ chúng ta nhân các yếu tố chung của chúng. Để không bị nhầm lẫn, các yếu tố phổ biến có thể được gạch chân.
Chúng tôi xem xét sự phân hủy của số 24. Nhân tố đầu tiên của nó là 2. Chúng tôi đang tìm kiếm nhân tố tương tự trong sự phân hủy của số 18 và thấy rằng nó cũng ở đó. Chúng tôi nhấn mạnh cả hai điều:
Một lần nữa chúng ta xem xét sự phân hủy của số 24. Nhân tử thứ hai của nó cũng là 2. Chúng ta đang tìm nhân tố tương tự trong sự phân hủy của số 18 và thấy rằng nó không có ở đó lần thứ hai. Sau đó, chúng tôi không làm nổi bật bất cứ điều gì.
Hai phần tiếp theo trong phần mở rộng của số 24 cũng bị thiếu trong phần mở rộng của số 18.
Chúng tôi chuyển cho thừa số cuối cùng trong sự phân hủy của số 24. Đây là thừa số 3. Chúng tôi đang tìm kiếm nhân tố tương tự trong sự phân hủy của số 18 và chúng tôi thấy rằng nó cũng ở đó. Chúng tôi nhấn mạnh cả ba:
Vì vậy, thừa số chung của số 24 và 18 là thừa số 2 và 3. Để có được GCD, các thừa số này phải được nhân lên:
Vậy gcd (24 và 18) = 6
Cách thứ ba để tìm GCD
Bây giờ hãy xem xét cách thứ ba để tìm ước số chung lớn nhất. Bản chất của phương pháp này nằm ở chỗ các số cần tìm ước số chung lớn nhất được phân tách thành các thừa số nguyên tố. Sau đó, từ sự phân rã của số đầu tiên, các yếu tố không được bao gồm trong sự phân hủy của số thứ hai sẽ bị xóa. Các số còn lại trong lần mở rộng đầu tiên được nhân lên và nhận được GCD.
Ví dụ, hãy tìm GCD cho các số 28 và 16 theo cách này. Trước hết, chúng tôi phân tích các số này thành các thừa số nguyên tố:
Chúng tôi có hai bản mở rộng: và
Bây giờ, từ khai triển của số đầu tiên, chúng ta xóa các thừa số không có trong khai triển của số thứ hai. Sự mở rộng của số thứ hai không bao gồm bảy. Chúng tôi sẽ xóa nó khỏi bản mở rộng đầu tiên:
Bây giờ chúng ta nhân các yếu tố còn lại và nhận được GCD:
Số 4 là ước chung lớn nhất trong các số 28 và 16. Cả hai số này đều chia hết cho 4 mà không có dư:
Ví dụ 2 Tìm GTĐB của các số 100 và 40
Bao thanh toán số 100
Bao thanh toán số 40
Chúng tôi có hai bản mở rộng:
Bây giờ, từ khai triển của số đầu tiên, chúng ta xóa các thừa số không có trong khai triển của số thứ hai. Khai triển của số thứ hai không bao gồm một năm (chỉ có một năm). Chúng tôi xóa nó khỏi phân tích đầu tiên
Nhân các số còn lại:
Ta có đáp án là 20. Vậy số 20 là ước chung lớn nhất của các số 100 và 40. Hai số này cùng chia hết cho 20 mà không có dư:
GCD (100 và 40) = 20.
Ví dụ 3 Tìm gcd của các số 72 và 128
Bao thanh toán số 72
Bao thanh toán số 128
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Bây giờ, từ khai triển của số đầu tiên, chúng ta xóa các thừa số không có trong khai triển của số thứ hai. Khai triển của số thứ hai không bao gồm hai bộ ba (không có số nào cả). Chúng tôi xóa chúng khỏi bản mở rộng đầu tiên:
Ta được đáp án 8. Vậy số 8 là ước chung lớn nhất của các số 72 và 128. Hai số này cùng chia hết cho 8 mà không có dư:
GCD (72 và 128) = 8
Tìm GCD cho nhiều số
Ước số chung lớn nhất có thể được tìm thấy cho một số số, và không chỉ cho hai. Vì vậy, các số cần tìm ước số chung lớn nhất được phân tách thành các thừa số nguyên tố, sau đó tích các số nguyên tố chung của các số này được tìm thấy.
Ví dụ, hãy tìm GCD cho các số 18, 24 và 36
Bao thanh toán số 18
Bao thanh toán số 24
Bao thanh toán số 36
Chúng tôi có ba bản mở rộng:
Bây giờ chúng ta chọn và gạch dưới các yếu tố phổ biến trong những con số này. Các yếu tố chung phải được bao gồm trong cả ba số:
Chúng ta thấy rằng các thừa số chung cho các số 18, 24 và 36 là thừa số 2 và 3. Bằng cách nhân các thừa số này, chúng ta nhận được GCD mà chúng ta đang tìm kiếm:
Ta nhận được câu trả lời là 6. Vậy số 6 là ước chung lớn nhất của các số 18, 24 và 36. Ba số này cùng chia hết cho 6 mà không có dư:
GCD (18, 24 và 36) = 6
Ví dụ 2 Tìm gcd cho các số 12, 24, 36 và 42
Hãy phân tích từng số. Sau đó, chúng tôi tìm thấy tích của các thừa số chung của những con số này.
Bao thanh toán số 12
Bao thanh toán số 42
Chúng tôi có bốn bản mở rộng:
Bây giờ chúng ta chọn và gạch dưới các yếu tố phổ biến trong những con số này. Các yếu tố chung phải được bao gồm trong cả bốn số:
Chúng ta thấy rằng các thừa số chung cho các số 12, 24, 36 và 42 là thừa số 2 và 3. Bằng cách nhân các thừa số này, chúng ta nhận được GCD mà chúng ta đang tìm kiếm:
Ta nhận được câu trả lời là 6. Vậy số 6 là ước chung lớn nhất của các số 12, 24, 36 và 42. Các số này chia hết cho 6 mà không có dư:
gcd (12, 24, 36 và 42) = 6
Từ bài trước, chúng ta đã biết rằng nếu một số chia cho một số khác mà không có dư thì được gọi là bội số của số này.
Nó chỉ ra rằng một bội số có thể là chung cho một số số. Và bây giờ chúng ta sẽ quan tâm đến bội số của hai con số, trong khi nó phải càng nhỏ càng tốt.
Sự định nghĩa. Bội số chung ít nhất (LCM) của các số Một Và b- Một Và b Một và số b.
Định nghĩa chứa hai biến Một Và b. Hãy thay thế hai số bất kỳ cho các biến này. Ví dụ: thay vì một biến Một thay thế số 9 và thay vì biến b Hãy thay thế số 12. Bây giờ chúng ta hãy thử đọc định nghĩa:
Bội số chung ít nhất (LCM) của các số 9 Và 12 - cái này số nhỏ nhất, là bội số 9 Và 12 . Nói cách khác, đó là một số nhỏ chia hết mà không có dư cho số 9 và trên số 12 .
Rõ ràng từ định nghĩa rằng LCM là số nhỏ nhất chia hết mà không có dư cho 9 và 12. LCM này là bắt buộc phải tìm.
Có hai cách để tìm bội số chung nhỏ nhất (LCM). Cách đầu tiên là bạn có thể viết ra các bội số đầu tiên của hai số, sau đó chọn trong các bội số này một số chung cho cả số lớn và số nhỏ. Hãy áp dụng phương pháp này.
Trước hết, chúng ta hãy tìm bội số đầu tiên của số 9. Để tìm bội số của số 9, bạn cần nhân chín số này lần lượt với các số từ 1 đến 9. Câu trả lời bạn nhận được sẽ là bội số của số 9. Vì vậy , hãy bắt đầu. Các bội số sẽ được đánh dấu bằng màu đỏ:
Bây giờ chúng ta tìm bội số của số 12. Để làm điều này, chúng ta nhân 12 với tất cả các số từ 1 đến 12 lần lượt.
Để hiểu cách tính LCM, trước tiên bạn nên xác định ý nghĩa của thuật ngữ "bội số".
Bội số của A là một số tự nhiên chia hết cho A mà không có dư. Do đó, 15, 20, 25, v.v. có thể được coi là bội của 5.
Có thể có một số ước số giới hạn của một số cụ thể, nhưng có một số bội số vô hạn.
Bội chung của các số tự nhiên là số chia hết cho chúng mà không có dư.
Cách tìm bội số chung nhỏ nhất
Bội số chung nhỏ nhất (LCM) của các số (hai, ba hoặc nhiều hơn) là số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho tất cả các số này.
Để tìm NOC, bạn có thể sử dụng một số phương pháp.
Đối với các số nhỏ, thuận tiện khi viết thành một dòng tất cả các bội của các số này cho đến khi tìm được bội chung giữa chúng. Bội số biểu thị trong bản ghi chữ viết hoaĐẾN.
Ví dụ, bội số của 4 có thể được viết như thế này:
K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Vì vậy, bạn có thể thấy rằng bội số chung nhỏ nhất của các số 4 và 6 là số 24. Mục nhập này được thực hiện như sau:
LCM (4, 6) = 24
Nếu các số lớn, tìm bội chung của ba số trở lên, thì tốt hơn nên sử dụng một cách khác để tính LCM.
Để hoàn thành nhiệm vụ, cần phải phân tích các số được đề xuất thành các thừa số nguyên tố.
Trước tiên, bạn cần viết ra phần mở rộng của số lớn nhất trong một dòng và bên dưới nó - phần còn lại.
Trong phần mở rộng của mỗi số, có thể có số lượng khác nhau số nhân.
Ví dụ, hãy thừa số 50 và 20 thành thừa số nguyên tố.
Trong sự phân rã của số nhỏ hơn, người ta phải gạch dưới các yếu tố không có trong sự phân hủy của số lớn nhất đầu tiên, rồi thêm chúng vào đó. Trong ví dụ đã trình bày, thiếu một deuce.
Bây giờ chúng ta có thể tính bội số chung nhỏ nhất của 20 và 50.
LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Vì vậy, tích của các yếu tố chính hơn và các thừa số của số thứ hai, không được bao gồm trong khai triển của số lớn hơn, sẽ là bội số chung nhỏ nhất.
Để tìm LCM của ba số trở lên, tất cả chúng phải được phân tích thành thừa số nguyên tố, như trong trường hợp trước.
Ví dụ, bạn có thể tìm bội số chung nhỏ nhất của các số 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Vì vậy, chỉ có hai nhân tử từ sự phân hủy mười sáu (một nhân tố trong sự phân hủy của hai mươi tư) không đi vào nhân thừa của một số lớn hơn.
Do đó, chúng cần được thêm vào để phân hủy một số lượng lớn hơn.
LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Có những trường hợp đặc biệt xác định bội số chung nhỏ nhất. Vì vậy, nếu một trong các số có thể chia không có dư cho một số khác, thì số lớn hơn trong số này sẽ là bội số chung nhỏ nhất.
Ví dụ: NOC của mười hai và hai mươi tư sẽ là hai mươi bốn.
Nếu cần tìm bội số chung nhỏ nhất của các số nguyên tố không có cùng ước thì LCM của chúng sẽ bằng tích của chúng.
Ví dụ: LCM (10, 11) = 110.
Đang tải...