Leonardo fibonacci - cuộc sống dưới sự bảo trợ của hoàng đế. Leonardo of Pisa và thời đại của ông Tổng của tất cả các con số của Leonardo of Pisa là bao nhiêu

Thương gia người Ý Leonardo of Pisa (1180-1240), còn được gọi là Fibonacci, cho đến nay là nhà toán học quan trọng nhất của thời Trung cổ. Vai trò của những cuốn sách của ông đối với sự phát triển của toán học và phổ biến kiến thức toán học ở châu Âu khó có thể được đánh giá quá cao.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 ...

Vào thời đại của Fibonacci, thời kỳ phục hưng vẫn còn rất xa, nhưng lịch sử đã cho nước Ý một khoảng thời gian ngắn có thể gọi là một cuộc tập dượt cho thời kỳ Phục hưng sắp xảy ra. Cuộc diễn tập này được dẫn đầu bởi Frederick II, Hoàng đế (từ năm 1220) của Đế chế La Mã Thần thánh. Mang trong mình những truyền thống của miền nam nước Ý, Frederick II về mặt nội bộ khác xa với tinh thần hiệp sĩ Cơ đốc châu Âu.

Frederick II đã không nhận ra các giải đấu phức tạp được ông của mình yêu quý đến vậy. Thay vào đó, anh trau dồi các cuộc thi toán học ít đẫm máu hơn, trong đó các đối thủ trao đổi các vấn đề hơn là các đòn đánh.

Ở những giải đấu như vậy, tài năng của Leonardo Fibonacci đã tỏa sáng. Điều này được tạo điều kiện thuận lợi bởi một nền giáo dục tốt, được trao cho con trai ông bởi thương gia Bonacci, người đã đưa ông đến phương Đông và chỉ định các giáo viên tiếng Ả Rập cho ông.

Sự bảo trợ của Frederick đã kích thích việc phát hành các luận thuyết khoa học của Fibonacci:

Cuốn sách bàn tính (Liber Abaci), được viết vào năm 1202, nhưng đã đến với chúng tôi trong phiên bản thứ hai của nó, có từ năm 1228.
Thực hành Hình học "(1220)
Sách hình vuông (1225)

Theo những cuốn sách này, vượt trội về trình độ của chúng so với các tác phẩm Ả Rập và châu Âu thời trung cổ, toán học đã được dạy hầu như cho đến thời của Descartes (thế kỷ XVII).

Theo tài liệu vào năm 1240, những người dân ngưỡng mộ Pisa nói rằng ông là "một người đàn ông hợp lý và uyên bác", và cách đây không lâu, Joseph Gies (Joseph Gies), tổng biên tập của Encyclopædia Britannica, đã tuyên bố rằng các nhà khoa học tương lai luôn "sẽ thực hiện nghĩa vụ của họ, Leonardo of Pisa như một trong những người tiên phong về trí tuệ vĩ đại nhất thế giới."

Các tác phẩm của ông, sau nhiều năm, giờ mới được dịch từ tiếng Latinh sang tiếng Anh. Đối với những ai quan tâm, cuốn sách có tựa đề Lenardo của Pisa và Toán học Mới của Thời Trung Cổ của Joseph và Frances Gies là một chuyên luận xuất sắc về thời đại Fibonacci và các tác phẩm của ông.

Mặc dù ông là nhà toán học vĩ đại nhất của thời Trung cổ, các tượng đài duy nhất của Fibonacci là một bức tượng đối diện với Tháp nghiêng Pisa bên kia sông Arno và hai con phố mang tên ông, một ở Pisa và một ở Florence. Có vẻ kỳ lạ là rất ít du khách đến thăm Tháp Nghiêng 179 foot đã từng nghe nói về Fibonacci hoặc nhìn thấy một bức tượng của ông. Fibonacci là người cùng thời với Bonanna, kiến trúc sư của Tháp nghiêng Pisa, người được ông bắt đầu xây dựng vào năm 1174. Cả hai người đều đã có những đóng góp cho lịch sử thế giới, nhưng người nào có đóng góp vượt trội hơn người kia thì hầu như không được biết đến.

Dãy Fibonacci, số Fibonacci

Chúng tôi quan tâm nhiều nhất là tác phẩm "The Book of the Abacus" ("Liber Abaci"). Cuốn sách này là một công trình đồ sộ chứa đựng gần như tất cả các thông tin về số học và đại số thời bấy giờ và đóng một vai trò quan trọng trong sự phát triển của toán học ở Tây Âu trong vài thế kỷ tiếp theo. Đặc biệt, chính từ cuốn sách này, người châu Âu đã làm quen với chữ số của người Hindu (Ả Rập).

Trong "Liber Abaci", Fibonacci đưa ra dãy số của mình như một lời giải cho một vấn đề toán học - tìm ra công thức sinh sản của thỏ. Dãy số như sau: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 (sau đó là ad infinitum).

Trên các trang 123-124 của bản thảo này, Fibonacci đã đặt vấn đề sau: "Ai đó đã đặt một cặp thỏ ở một nơi nào đó, rào bốn phía bằng tường, để tìm xem trong năm có bao nhiêu cặp thỏ sẽ sinh ra, nếu bản tính của thỏ là như vậy trong một tháng a. cặp thỏ này đẻ cặp khác, thỏ đẻ từ tháng thứ hai sau khi sinh.

Dãy số Fibonacci có một số tính năng rất thú vị, không kém phần quan trọng đó là mối quan hệ gần như không đổi giữa các con số.

Tổng của hai số liền kề bất kỳ bằng số tiếp theo trong dãy. Ví dụ: 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13 v.v.
Tỷ lệ của bất kỳ số nào trong dãy với số tiếp theo là 0,618 (sau bốn số đầu tiên).
Ví dụ: 1: 1 = 1; 1: 2 = 0,5; 2: 3 = 0,67; 3: 5 = 0,6; 5: 8 = 0,625; 8: 13 = 0,615; 13:21 = 0,619 .
Lưu ý cách giá trị của các tỷ lệ dao động quanh mức 0,618, với biên độ dao động thu hẹp dần; cũng như trên các giá trị: 1,00; 0,5; 0,67.
Tỷ số của bất kỳ số nào với số trước đó xấp xỉ bằng 1,618 (nghịch đảo của 0,618). Ví dụ: 13: 8 = 1.625; 21: 13 = 1,615; 34:21 = 1.619.
Các số càng cao thì chúng càng tiến gần đến giá trị 0,618 và 1,618.
Tỷ lệ của bất kỳ số nào với số tiếp theo qua một tiếp cận 0,382 và với số trước đó qua một - 2,618. Ví dụ: 13:34 = 0,382; 34:13 = 2,615.

Dãy Fibonacci chứa các tỷ lệ hoặc hệ số thú vị khác, nhưng những tỷ lệ mà chúng tôi vừa đưa ra là quan trọng nhất và được nhiều người biết đến. Như chúng tôi đã nhấn mạnh ở trên, trên thực tế, Fibonacci không phải là người phát hiện ra dãy số của mình. Thực tế là hệ số 1,618 hoặc 0,618 đã được các nhà toán học Hy Lạp và Ai Cập cổ đại biết đến, họ gọi nó là "hệ số vàng" hay "phần vàng". Chúng tôi tìm thấy dấu vết của nó trong âm nhạc, nghệ thuật thị giác, kiến trúc và sinh học. Người Hy Lạp đã sử dụng nguyên tắc "phần vàng" trong việc xây dựng Parthenon, người Ai Cập - Đại kim tự tháp Giza. Các thuộc tính của "tỷ lệ vàng" đã được Pythagoras, Plato và Leonardo da Vinci biết rõ.

Tỷ lệ của số Fibonacci không chỉ cung cấp hướng dẫn về các mức có thể quay đầu lại, mà còn cho biết mức độ có thể có của động thái nếu xu hướng tiếp tục. Nếu sau một lần di chuyển, thị trường giảm trở lại và sau đó tiếp tục di chuyển theo cùng một hướng, thì trong trường hợp điển hình, giá trị của lần di chuyển tiếp tục có thể là 1,618.

Sẽ rất thú vị khi xem các số Fibonacci được phản ánh theo tỷ lệ người như thế nào. Trong các hình vẽ, chúng ta thấy rằng ngay cả bản chất của chúng ta cũng tỷ lệ thuận, và những mối quan hệ này có thể được thể hiện bằng cách sử dụng dãy Fibonacci.

Ai là kiến trúc sư của thế giới chúng ta làm việc một cách hoàn hảo và hài hòa. Mô hình thế giới của chúng ta rất phức tạp trong tất cả các mối quan hệ và ngoại lệ đến nỗi nó chỉ có thể được mô tả bằng toán học.

> Suy nghĩ cho những suy nghĩ

Di chúc dài nhất được viết bởi một trong những người cha sáng lập của Hoa Kỳ, Thomas Jefferson. Các chỉ dẫn liên quan đến tài sản được xen kẽ trong tài liệu với các bài diễn văn về lịch sử của nước Mỹ. Theo di chúc này, những người thừa kế của Jefferson chỉ nhận được phần thừa kế của họ với điều kiện họ phải trả tự do cho tất cả nô lệ của họ.

Phản cảm nhất. Một nông dân thời trung cổ để lại 100 livres cho vợ mình, nhưng ra lệnh rằng nếu cô ấy kết hôn, hãy thêm 100 livres khác, cho rằng người đàn ông nghèo sẽ trở thành chồng của cô ấy sẽ cần số tiền này. Than ôi, ly hôn bị cấm trong những ngày đó.

Di chúc hữu ích nhất về mặt lịch sử là của William Shakespeare. Anh ta hóa ra là một người khá nhỏ mọn và thu xếp mọi tài sản của mình, từ đồ đạc đến giày dép. Di chúc gần như là tài liệu duy nhất không thể chối cãi chứng minh sự tồn tại của Shakespeare.

Di chúc ngắn nhất được viết bởi một nhân viên ngân hàng từ London. Nó có ba từ: "Tôi hoàn toàn suy sụp."

Bản di chúc khiếm nhã nhất trong lịch sử được viết bởi một người thợ giày đến từ Marseilles. Trong số 123 từ được viết trong di chúc này, 94 từ không thể phát âm được ngay cả trong một xã hội tương đối đàng hoàng.

Minh chứng khó hiểu nhất được vẽ ra bởi trợ lý phòng thí nghiệm của nhà vật lý nổi tiếng Niels Bohr. Có rất nhiều thuật ngữ chuyên môn và các cụm từ phức tạp theo ý muốn mà các chuyên gia-nhà ngôn ngữ học phải được gọi đến để giải mã nó.

Lượng tiền mặt lớn nhất từng được thừa kế bởi một người duy nhất. Henry Ford được thừa kế để phân phối 500 triệu đô la trong số 4157 cơ sở giáo dục và từ thiện.

Minh chứng nổi tiếng nhất do Alfred Nobel để lại. Nó bị bà con tranh chấp. Họ chỉ nhận được nửa triệu vương miện, và 30 triệu còn lại được trao để thiết lập giải Nobel nổi tiếng.

Tỷ phú Michel Rothschild đã để lại một minh chứng bí mật nhất. Đặc biệt, nó có ghi: "... Tôi cấm một cách rõ ràng và dứt khoát mọi việc kiểm kê tài sản thừa kế của tôi, mọi sự can thiệp của tư pháp và tiết lộ tài sản của tôi ..." Vì vậy, kích thước thực sự của khối tài sản vẫn chưa được biết.

Gia tài lớn nhất để lại cho một con vật. Câu chuyện ngu ngốc nhất về sự kế thừa được kết nối với cùng một ý chí. Triệu phú kiêm nhà sản xuất phim Roger Dorcas đã để lại toàn bộ 65 triệu USD cho chú chó yêu quý Maximilian của mình. Tòa án đã công nhận một quyết định như vậy là hợp pháp, vì trong suốt cuộc đời của mình, vị triệu phú đã gửi thẳng các tài liệu hoàn toàn về con người cho Maximilian. Dorcas để lại 1 xu cho vợ. Nhưng cô ấy, theo cùng một tài liệu về con chó, đã kết hôn với một con chó và sau khi nó chết, vẫn bình tĩnh giao quyền thừa kế, vì con chó, tất nhiên, không để lại di chúc.

Cha của Fibonacci thường đi công tác ở Algeria, còn Leonardo thì học toán ở đó với các giáo viên Ả Rập. Sau đó, ông đến thăm Ai Cập, Syria, Byzantium, Sicily. Leonardo đã nghiên cứu các công trình của các nhà toán học của các nước Hồi giáo (như al-Khwarizmi và Abu Kamil); từ các bản dịch tiếng Ả Rập, ông cũng đã làm quen với các thành tựu của các nhà toán học cổ đại và Ấn Độ. Dựa trên những kiến thức có được, Fibonacci đã viết một số chuyên luận toán học, đây là một hiện tượng nổi bật của khoa học Tây Âu thời Trung cổ.

Vào thế kỷ 19, một đài tưởng niệm nhà khoa học đã được dựng lên ở Pisa.

Fibonacci, Chữ số Ả Rập và Ngân hàng

Không thể hình dung kế toán hiện đại và kế toán tài chính nói chung mà không sử dụng hệ thống số thập phân và chữ số Ả Rập, mà ban đầu của hệ thống này đã được sử dụng ở châu Âu bởi Fibonacci.

Một trong những chủ ngân hàng Pisan, người đã kinh doanh ở Tunisia và tham gia vào các khoản vay và hoàn trả thuế và phí hải quan, Leonardo Fibonacci, đã áp dụng chữ số Ả Rập vào kế toán ngân hàng, do đó đã giới thiệu chúng đến châu Âu.

Bài báo "Banker" // ENE (ESBE)

Hoạt động khoa học

Một phần quan trọng của kiến thức mà anh ta có được, anh ta đã phác thảo trong "Cuốn sách Bàn tính" xuất sắc của mình ( Liber abaci, 1202; chỉ có bản thảo bổ sung của năm 1228 là còn tồn tại cho đến ngày nay). Cuốn sách này chứa hầu hết tất cả các thông tin số học và đại số của thời đó, được trình bày với độ đầy đủ và sâu sắc đặc biệt. Năm chương đầu tiên của cuốn sách được dành cho số học số nguyên dựa trên cách đánh số thập phân. Trong chương VI và VII, Leonardo phác thảo các phép toán trên phân số thông thường. Sách VIII-X đề ra các phương pháp giải các bài toán số học thương mại dựa trên tỷ lệ. Chương XI đề cập đến các vấn đề trộn. Chương XII trình bày các nhiệm vụ tính tổng các chuỗi - các cấp số học và hình học, một chuỗi các ô vuông và lần đầu tiên trong lịch sử toán học, một chuỗi nghịch đảo dẫn đến một chuỗi các số Fibonacci. Chương XIII đưa ra quy tắc hai vị trí sai và một số bài toán khác rút gọn về phương trình tuyến tính. Trong chương XIV, Leonardo, sử dụng các ví dụ số, giải thích cách lấy gần đúng các căn bậc hai và khối lập phương. Cuối cùng, trong chương XV, một số bài toán về ứng dụng của định lý Pitago và một số lượng lớn các ví dụ về phương trình bậc hai được thu thập.

"Cuốn sách của bàn tính" nổi lên mạnh mẽ trên nền văn học số học và đại số châu Âu thế kỷ 12-14. sự đa dạng và mạnh mẽ của các phương pháp, sự phong phú của các nhiệm vụ, bằng chứng của việc trình bày. Các nhà toán học sau đó đã rút ra từ đó nhiều vấn đề và phương pháp giải chúng.

"Thực hành Hình học" ( Hình học thực hành, 1220) chứa các định lý khác nhau liên quan đến các phương pháp đo lường. Cùng với các kết quả cổ điển, Fibonacci đưa ra bằng chứng đầu tiên của riêng mình - ví dụ, bằng chứng đầu tiên rằng ba trung tuyến của một tam giác cắt nhau tại một điểm (Archimedes biết điều này, nhưng nếu chứng minh của ông ấy tồn tại, thì nó đã không đến được với chúng tôi).

Trong chuyên luận "Hoa" ( Flos, 1225) Fibonacci khám phá phương trình bậc ba x + 2x + 10x= 20, do John của Palermo đề nghị cho anh ta tại một cuộc thi toán học tại triều đình của Hoàng đế Frederick II. Bản thân John của Palermo gần như chắc chắn đã mượn phương trình này từ luận thuyết của Omar Khayyam về Chứng minh các vấn đề trong Đại số, nơi nó được đưa ra như một ví dụ về một trong những kiểu phân loại phương trình bậc ba. Leonardo of Pisa đã nghiên cứu phương trình này, cho thấy rằng căn của nó không thể là hữu tỉ hoặc có dạng một trong những vô tỉ bậc hai được tìm thấy trong Sách X về Các phần tử của Euclid, và sau đó tìm ra giá trị gần đúng của căn trong các phân số thập phân, bằng 1; 22 , 07,42, 33,04,40, tuy nhiên, không cho biết phương pháp của giải pháp của nó.

"The Book of Squares" ( Liber quadratorum, 1225), chứa một số bài toán về giải phương trình bậc hai không xác định. Trong một trong những bài toán, cũng do John của Palermo đề xuất, nó được yêu cầu tìm một số bình phương hữu tỉ, khi tăng hoặc giảm 5, lại cho ra số bình phương hữu tỉ.

Số Fibonacci

Để vinh danh nhà khoa học, một dãy số được đặt tên, trong đó mỗi số tiếp theo bằng tổng của hai số trước đó. Dãy số này được gọi là dãy số Fibonacci:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040,… (chuỗi OEIS A000045)

Chuỗi này đã được biết đến ở Ấn Độ cổ đại từ rất lâu trước khi có Fibonacci. Các số Fibonacci có tên hiện tại là do nghiên cứu về các thuộc tính của những con số này, được thực hiện bởi nhà khoa học trong tác phẩm Sách Bàn tính (1202) của ông.

Cộng hòa Pisa

Hoạt động khoa học

Anh ấy đã đặt ra một phần đáng kể kiến thức mà anh ấy có được trong "Cuốn sách bàn tính" xuất sắc của mình ( Liber abaci, 1202; chỉ có bản thảo bổ sung của năm 1228 là còn tồn tại cho đến ngày nay). Cuốn sách này chứa hầu hết tất cả các thông tin số học và đại số của thời đó, được trình bày với độ đầy đủ và sâu sắc đặc biệt. Năm chương đầu tiên của cuốn sách được dành cho số học số nguyên dựa trên cách đánh số thập phân. Trong chương VI và VII, Leonardo phác thảo các phép toán trên phân số thông thường. Chương VIII-X trình bày các phương pháp giải các bài toán số học thương mại dựa trên tỷ lệ. Chương XI đề cập đến các vấn đề trộn. Chương XII trình bày các nhiệm vụ tính tổng các chuỗi - các cấp số học và hình học, một chuỗi các ô vuông và lần đầu tiên trong lịch sử toán học, một chuỗi nghịch đảo dẫn đến một chuỗi các số Fibonacci. Chương XIII đưa ra quy tắc hai vị trí sai và một số bài toán khác rút gọn về phương trình tuyến tính. Trong chương XIV, Leonardo, bằng cách sử dụng các ví dụ số, giải thích cách lấy gần đúng các căn bậc hai và khối lập phương. Cuối cùng, trong chương XV, một số bài toán về ứng dụng của định lý Pitago và một số lượng lớn các ví dụ về phương trình bậc hai được thu thập. Leonardo là người đầu tiên ở châu Âu sử dụng số âm, mà ông coi đó là của nợ.

"Cuốn sách của bàn tính" nổi lên mạnh mẽ trên nền văn học số học và đại số châu Âu thế kỷ 12-14. sự đa dạng và mạnh mẽ của các phương pháp, sự phong phú của các nhiệm vụ, bằng chứng của việc trình bày. Các nhà toán học sau đó đã rút ra từ nó nhiều vấn đề và phương pháp giải chúng. Theo cuốn sách đầu tiên, nhiều thế hệ nhà toán học châu Âu đã nghiên cứu hệ thống số vị trí của Ấn Độ.

Tượng đài Fibonacci ở Pisa

Một cuốn sách khác của Fibonacci, The Practice of Geometry ( Hình học thực hành, 1220), chứa nhiều định lý liên quan đến các phương pháp đo lường. Cùng với các kết quả cổ điển, Fibonacci đưa ra bằng chứng đầu tiên của riêng mình - ví dụ, bằng chứng đầu tiên rằng ba trung tuyến của một tam giác cắt nhau tại một điểm (Archimedes biết điều này, nhưng nếu bằng chứng của ông ấy tồn tại, nó đã không đến được với chúng tôi).

Trong chuyên luận "Hoa" ( Flos, 1225) Fibonacci đã nghiên cứu phương trình bậc ba do John of Palermo đề xuất cho ông tại một cuộc thi toán học tại triều đình của Hoàng đế Frederick II. Bản thân John của Palermo gần như chắc chắn đã mượn phương trình này từ luận thuyết của Omar Khayyam về Chứng minh các vấn đề trong Đại số, nơi nó được đưa ra như một ví dụ về một trong những kiểu phân loại phương trình bậc ba. Leonardo ở Pisa đã nghiên cứu phương trình này, cho thấy rằng căn của nó không thể là hữu tỉ hoặc có dạng một trong những vô tỉ bậc hai được tìm thấy trong cuốn sách X về Các phần tử của Euclid, và sau đó tìm ra giá trị gần đúng của căn trong phân số thập phân có giới tính, bằng 1; Tuy nhiên, 22.07.42, 33,04,40 mà không cho biết phương pháp giải.

Số Fibonacci

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040,… (chuỗi OEIS A000045)

Mục tiêu Fibonacci

1, 3, 9, 27, 81,… (độ 3, trình tự OEIS A009244)

Các tác phẩm của Fibonacci

"Cuốn sách của bàn tính" (Liber abaci), 1202

Xem thêm

Ghi chú

Văn chương

Lịch sử toán học từ thời cổ đại đến đầu thế kỷ 19 (dưới sự chủ biên của A.P. Yushkevich), tập II, M., Nauka, 1972, trang 260-267.
Karpushina N."Liber abaci" của Leonardo Fibonacci, Toán học ở trường, số 4, 2008.
Shchetnikov A.I. Về việc xây dựng lại một phương pháp lặp để giải phương trình bậc ba trong toán học thời trung cổ. Tuyển tập các bài đọc Kolmogorov thứ ba. Yaroslavl: Nhà xuất bản YaGPU, 2005, tr. 332-340.
Yaglom I. M. Thương gia người Ý Leonardo Fibonacci và những con thỏ của ông. // Kvant, 1984. Số 7. P. 15-17.
Glushkov S. Về phương pháp gần đúng của Leonardo Fibonacci. Historia Mathematica, 3, 1976, tr. 291-296.
Người ký tên, L.E. Liber Abaci của Fibonacci, Sách Tính toán của Leonardo Pisano "Springer. New York, 2002, ISBN 0-387-40737-5.

Thể loại:

Các tính cách theo thứ tự bảng chữ cái
Các nhà khoa học theo thứ tự bảng chữ cái
Sinh ra ở Pisa
Chết ở Pisa
Các nhà toán học theo thứ tự bảng chữ cái
Các nhà toán học của Ý
Các nhà toán học thế kỷ 13
Các nhà khoa học thời Trung cổ
Các nhà toán học trong lý thuyết số

Quỹ Wikimedia. Năm 2010.

Xem "Fibonacci" là gì trong các từ điển khác:

- (Fibonacci) Leonardo (khoảng năm 1170 đến năm 1240), nhà toán học người Ý. Tác giả của "Liber Abaci" (khoảng 1200), tác phẩm đầu tiên của Tây Âu, đề xuất việc áp dụng hệ thống chữ viết số Ả Rập (Ấn Độ). Toán học phát triển ... Từ điển bách khoa khoa học và kỹ thuật

Xem Leonardo của Pisa ... Từ điển Bách khoa toàn thư lớn

fibonacci- (1170 1288) Một trong những đại diện ban đầu của kế toán Ý, người có công lao chính là giới thiệu và quảng bá chữ số Ả Rập ở châu Âu (nghĩa là, thay thế hệ thống khấu trừ cộng tính La Mã bằng số thập phân vị trí). )