البحث عن عقد لرقم واحد. إيجاد عقد من ثلاثة أرقام أو أكثر

GCD هو القاسم المشترك الأكبر.

لإيجاد القاسم المشترك الأكبر لعدة أعداد:

• تحديد العوامل المشتركة لكلا الرقمين ؛
• أوجد حاصل ضرب العوامل المشتركة.

مثال على العثور على GCD:

أوجد GCD للأرقام 315 و 245.

315 = 5 * 3 * 3 * 7;

245 = 5 * 7 * 7.

2. اكتب العوامل المشتركة لكلا العددين:

3. ابحث عن ناتج العوامل المشتركة:

gcd (315 ؛ 245) = 5 * 7 = 35.

الجواب: GCD (315 ؛ 245) = 35.

البحث عن شهادة عدم الممانعة

المضاعف المشترك الأصغر هو المضاعف المشترك الأصغر.

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام:

• يحلل الأرقام إلى عوامل أولية ؛
• اكتب العوامل المتضمنة في توسيع أحد الأرقام ؛
• أضف إليهم العوامل المفقودة من توسيع الرقم الثاني ؛
• أوجد ناتج العوامل الناتجة.

مثال على العثور على شهادة عدم الممانعة:

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 236 و 328:

1. نحلل الأرقام إلى عوامل أولية:

236 = 2 * 2 * 59;

328 = 2 * 2 * 2 * 41.

2. اكتب العوامل التي تدخل في توسيع أحد الأرقام وأضف إليها العوامل المفقودة من توسيع الرقم الثاني:

2; 2; 59; 2; 41.

3. أوجد ناتج العوامل الناتجة:

المضاعف المشترك الأصغر (236 ؛ 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.

الجواب: م م ع (236 ؛ 328) = 19352.

للعثور على GCD (القاسم المشترك الأكبر) لرقمين ، تحتاج إلى:

2. أوجد (ضع خطًا تحت) جميع العوامل الأولية المشتركة في التوسعات التي تم الحصول عليها.

3. أوجد ناتج العوامل الأولية المشتركة.

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر (المضاعف المشترك الأصغر) لرقمين ، تحتاج إلى:

1. حلل هذه الأعداد إلى عوامل أولية.

2. يكمل توسعة أحدهما بعوامل زيادة الرقم الآخر التي لا تدخل في توسيع الأول.

3. حساب حاصل ضرب العوامل التي تم الحصول عليها.

إلى الأمام

انتباه! تعد معاينة الشريحة للأغراض الإعلامية فقط وقد لا تمثل النطاق الكامل للعرض التقديمي. إذا كنت مهتم هذا العملالرجاء تحميل النسخة الكاملة.

من خلال مفاهيم القاسم المشترك الأكبر (GCD) والمضاعف المشترك الأصغر (LCM) ، يلتقي طلاب المدارس الثانوية في الصف السادس. هذا الموضوع يصعب إتقانه دائمًا. غالبًا ما يخلط الأطفال بين هذه المفاهيم ، ولا يفهمون سبب حاجتهم للدراسة. في مؤخراوفي الأدبيات العلمية الشعبية ، توجد بيانات منفصلة تفيد بضرورة استبعاد هذه المواد من المناهج الدراسية. أعتقد أن هذا ليس صحيحًا تمامًا ، وتحتاج إلى دراسته ، إن لم يكن في الفصل الدراسي ، فعندئذٍ بعد ساعاتفي الفصل الدراسي ، يكون المكون المدرسي إلزاميًا ، حيث يساهم ذلك في تنمية التفكير المنطقي لأطفال المدارس ، وزيادة سرعة العمليات الحسابية ، والقدرة على حل المشكلات باستخدام الأساليب الجميلة.

عند دراسة موضوع "جمع وطرح الكسور مع قواسم مختلفة"نعلم الأطفال أن يجدوا قاسمًا مشتركًا لرقمين أو أكثر. على سبيل المثال ، تحتاج إلى إضافة الكسور 1/3 و 1/5. يمكن للطلاب بسهولة العثور على رقم يقبل القسمة دون الباقي على 3 و 5. هذا العدد هو 15. في الواقع ، إذا كانت الأرقام صغيرة ، فمن السهل العثور على قاسمها المشترك ، مع معرفة جدول الضرب جيدًا. لاحظ بعض الرجال أن هذا الرقم هو حاصل ضرب الرقمين 3 و 5. للأطفال الرأي أنه يمكنك دائمًا العثور على مقام مشترك للأرقام بهذه الطريقة. على سبيل المثال ، نطرح الكسور 7/18 و 5 / 24. لنجد حاصل ضرب العددين 18 و 24. إنه يساوي 432. لدينا بالفعل عدد كبير ، وإذا كنت بحاجة إلى إجراء المزيد من العمليات الحسابية (خاصة بالنسبة لأمثلة لجميع الإجراءات) ، فإن احتمال حدوث خطأ يزداد. المضاعف المشترك للأرقام (LCM) ، والذي يعادل في هذه الحالة القاسم المشترك الأصغر (LCD ) - الرقم 72 - سيسهل العمليات الحسابية بشكل كبير ويؤدي إلى حل أسرع للمثال ، وبالتالي توفير الوقت المخصص للتنفيذ مهمة معينةوالتي تلعب دورًا مهمًا في أداء الاختبار النهائي ، أعمال التحكمخاصة خلال التقييم النهائي.

عند دراسة موضوع "اختزال الكسور" ، يمكنك تحريك قسمة البسط والمقام على التوالي على نفس العدد الطبيعي ، باستخدام علامات قسمة الأرقام ، والحصول في النهاية على كسر غير قابل للاختزال. على سبيل المثال ، تحتاج إلى تقليل الكسر 128/344. نقسم أولًا بسط الكسر ومقامه على الرقم 2 ، ونحصل على الكسر 64/172. مرة أخرى ، نقسم بسط ومقام الكسر الناتج على 2 ، ونحصل على الكسر 32/86. اقسم البسط والمقام مرة أخرى على 2 ، نحصل على الكسر غير القابل للاختزال 16/43. لكن اختزال الكسر يمكن أن يكون أسهل بكثير إذا وجدنا القاسم المشترك الأكبر للعددين 128 و 344. GCD (128 ، 344) = 8. قسمة البسط والمقام على هذا العدد ، نحصل على الفور على كسر غير قابل للاختزال.

يجب أن تظهر للأطفال طرق مختلفةإيجاد القاسم المشترك الأكبر (GCD) والمضاعف المشترك الأصغر (LCM) للأرقام. في الحالات البسيطة ، من الملائم العثور على القاسم المشترك الأكبر (GCD) والمضاعف المشترك الأصغر (LCM) للأرقام عن طريق التعداد البسيط. كلما زادت الأرقام ، يمكن استخدام العوامل الأولية. يوضح كتاب الصف السادس (المؤلف N.Ya. Vilenkin) الطريقة التالية لإيجاد القاسم المشترك الأكبر (GCD) للأرقام. دعونا نحلل الأرقام إلى عوامل أولية:

• 16 = 2*2*2*2
• 120 = 2*2*2*3*5

ثم ، من العوامل المدرجة في توسيع أحد هذه الأرقام ، نقوم بشطب تلك التي لم يتم تضمينها في توسيع الرقم الآخر. سيكون حاصل ضرب العوامل المتبقية هو القاسم المشترك الأكبر لهذه الأعداد. في هذه الحالة ، هذا الرقم هو 8. من خلال تجربتي الخاصة ، كنت مقتنعًا بأنه سيكون أكثر قابلية للفهم للأطفال إذا أكدنا نفس العوامل في توسعات الأرقام ، ثم في أحد التوسعات نجد ناتج العلامة التي تحتها خط عوامل. هذا هو القاسم المشترك الأكبر لهذه الأعداد. في الصف السادس ، يكون الأطفال نشيطين وفضوليين. يمكنك تعيين المهمة التالية لهم: حاول إيجاد القاسم المشترك الأكبر للرقمين 343 و 287 بالطريقة الموضحة ، وليس من الواضح على الفور كيفية تحليلهم إلى عوامل أولية. وهنا يمكنك إخبارهم عن الطريقة الرائعة التي ابتكرها الإغريق القدماء ، والتي تتيح لك البحث عن القاسم المشترك الأكبر (GCD) دون التحلل إلى عوامل أولية. تم وصف هذه الطريقة لإيجاد القاسم المشترك الأكبر لأول مرة في عناصر إقليدس. يطلق عليه خوارزمية إقليدس. يتكون مما يلي: أولاً ، اقسم الرقم الأكبر على الأصغر. إذا كان هناك الباقي ، فاقسم الرقم الأصغر على الباقي. إذا تم الحصول على الباقي مرة أخرى ، فاقسم الباقي الأول على الثاني. لذا استمر في القسمة حتى يصبح الباقي صفرًا. القاسم الأخير هو القاسم المشترك الأكبر (GCD) لهذه الأرقام.

دعنا نعود إلى مثالنا ، وللتوضيح ، نكتب الحل في شكل جدول.

توزيعات ارباح	مقسم	نشر	بقية
343	287	1	56
287	56	5	7
56	7	8	0

إذن gcd (344287) = 7

وكيف يمكن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لنفس الأرقام؟ هل هناك طريقة لهذا لا تتطلب تحليلاً أوليًا لهذه الأعداد إلى عوامل أولية؟ اتضح أن هناك أمرًا بسيطًا جدًا. علينا ضرب هذه الأعداد وقسمة حاصل الضرب على القاسم المشترك الأكبر (GCD) الذي وجدناه. في هذا المثال ، حاصل ضرب الأرقام هو 98441. اقسمها على 7 واحصل على الرقم 14063. LCM (343،287) = 14063.

أحد الموضوعات الصعبة في الرياضيات هو حل المسائل الكلامية. من الضروري توضيح كيفية استخدام مفهومي "القاسم المشترك الأكبر (GCD)" و "المضاعف المشترك الأصغر (LCM)" لحل المشكلات التي يصعب حلها أحيانًا بالطريقة المعتادة. هنا من المناسب التفكير مع الطلاب ، جنبًا إلى جنب مع المهام التي اقترحها مؤلفو الكتاب المدرسي ، المهام القديمة والمسلية التي تنمي فضول الأطفال وتزيد من الاهتمام بدراسة هذا الموضوع. يسمح الامتلاك الماهر لهذه المفاهيم للطلاب برؤية حل جميل لمشكلة غير قياسية. وإذا ارتفع مزاج الطفل بعد حل مشكلة جيدة ، فهذه علامة على نجاح العمل.

وبالتالي ، فإن الدراسة في المدرسة لمفاهيم مثل "القاسم المشترك الأكبر (GCD)" و "المضاعف المشترك الأصغر (LCD)" للأرقام

يتيح لك توفير الوقت المخصص لتنفيذ العمل ، مما يؤدي إلى زيادة كبيرة في حجم المهام المكتملة ؛

يزيد من سرعة ودقة العمليات الحسابية ، مما يؤدي إلى انخفاض كبير في عدد الأخطاء الحسابية المسموح بها ؛

يسمح لك أن تجد طرق جميلةحل مشاكل النص غير القياسية ؛

ينمي فضول الطلاب ، ويوسع آفاقهم ؛

تخلق المتطلبات الأساسية لتعليم شخصية إبداعية متعددة الجوانب.

يمكن اختزال إيجاد القاسم المشترك الأكبر لثلاثة أرقام أو أكثر لإيجاد gcd عددين على التوالي. ذكرنا ذلك عند دراسة خصائص GCD. هناك صاغنا وأثبتنا النظرية: القاسم المشترك الأكبر لعدة أعداد أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ ك يساوي الرقم dk، والتي توجد في الحساب المتسلسل GCD (أ 1 ، أ 2) = د 2, GCD (د 2 ، أ 3) = د 3, GCD (د 3 ، أ 4) = د 4, …,GCD (د ك -1 ، أ ك) = د ك.

دعونا نرى كيف تبدو عملية العثور على GCD للعديد من الأرقام من خلال النظر في حل المثال.

مثال.

أوجد القاسم المشترك الأكبر لأربعة أعداد 78 , 294 , 570 و 36 .

المحلول.

في هذا المثال أ 1 = 78, a2 = 294, أ 3 \ u003d 570, a4 = 36.

أولاً ، باستخدام خوارزمية إقليدس ، نحدد القاسم المشترك الأكبر د 2أول رقمين 78 و 294 . عند القسمة نحصل على المساواة 294 = 78 3 + 60; 78 = 60 1 + 18;60 = 18 3 + 6و 18 = 6 3. في هذا الطريق، د 2 \ u003d GCD (78 ، 294) = 6.

الآن دعونا نحسب د 3 \ u003d GCD (د 2 ، أ 3) \ u003d GCD (6 ، 570). دعنا نستخدم خوارزمية إقليدس مرة أخرى: 570 = 695، بالتالي، د 3 \ u003d GCD (6 ، 570) = 6.

يبقى أن نحسب د 4 \ u003d GCD (د 3 ، أ 4) \ u003d GCD (6 ، 36). لأن 36 مقسومة على 6 ، ومن بعد د 4 = GCD (6 ، 36) = 6.

إذن ، القاسم المشترك الأكبر للأعداد الأربعة المعطاة هو د 4 = 6، بمعنى آخر، gcd (78 ، 294 ، 570 ، 36) = 6.

إجابه:

gcd (78 ، 294 ، 570 ، 36) = 6.

يتيح لك تحليل الأرقام إلى عوامل أولية أيضًا حساب GCD لثلاثة أرقام أو أكثر. في هذه الحالة ، يتم إيجاد القاسم المشترك الأكبر على أنه حاصل ضرب جميع العوامل الأولية المشتركة للأرقام المعطاة.

مثال.

احسب GCD للأرقام من المثال السابق باستخدام تحليل العوامل الأولية.

المحلول.

دعونا نحلل الأرقام 78 , 294 , 570 و 36 في العوامل الأولية ، نحصل عليها 78 = 2 3 13,294 = 7 2 3, 570 = 2 3 5 19, 36 = 2 2 3 3. العوامل الأولية المشتركة لجميع الأعداد الأربعة هي الأعداد 2 و 3 . بالتالي، GCD (78 ، 294 ، 570 ، 36) = 2 3 = 6.

إجابه:

gcd (78 ، 294 ، 570 ، 36) = 6.

أعلى الصفحة

إيجاد gcd للأرقام السالبة

إذا كان رقم واحد أو عدة أرقام أو كلها ، أكبر قاسمالمراد العثور عليها هي أرقام سالبة ، ثم gcd الخاص بهم يساوي القاسم المشترك الأكبر لوحدات هذه الأرقام. هذا لأن الأعداد المعاكسة أو -ألها نفس القواسم التي ناقشناها عند دراسة خصائص القابلية للقسمة.

مثال.

أوجد gcd للأعداد الصحيحة السالبة −231 و −140 .

المحلول.

القيمة المطلقة للرقم −231 يساوي 231 ، ومعامل العدد −140 يساوي 140 ، و gcd (−231، −140) = gcd (231، 140). تعطينا خوارزمية إقليدس المساواة التالية: 231 = 140 1 + 91; 140 = 91 1 + 49; 91 = 49 1 + 42; 49 = 42 1 + 7و 42 = 7 6. بالتالي، gcd (231 ، 140) = 7. ثم القاسم المشترك الأكبر المطلوب للأرقام السالبة −231 و −140 يساوي 7 .

إجابه:

GCD (−231 ، −140) = 7.

مثال.

حدد gcd لثلاثة أرقام −585 , 81 و −189 .

المحلول.

إيجاد القاسم المشترك الأكبر أرقام سالبةيمكن استبدالها بقيمها المطلقة ، أي gcd (−585، 81، −189) = gcd (585، 81، 189). توسيعات الأرقام 585 , 81 و 189 في العوامل الأولية هي ، على التوالي ، من النموذج 585 = 3 3 5 13, 81 = 3 3 3 3و 189 = 3 3 3 7. العوامل الأولية المشتركة لهذه الأعداد الثلاثة هي 3 و 3 . ثم GCD (585 ، 81 ، 189) = 3 3 = 9، بالتالي، gcd (−585، 81، −189) = 9.

إجابه:

gcd (−585، 81، −189) = 9.

35. جذور كثيرة الحدود. نظرية بيزوت. (33 وما فوق)

36. الجذور المتعددة ، معيار تعدد الجذر.

تعريف.يُطلق على أكبر عدد طبيعي يمكن من خلاله القسمة على الرقمين a و b بدون الباقي القاسم المشترك الأكبر (gcd)هذه الارقام.

لنجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 24 و 35.
ستكون قواسم 24 هي الأرقام 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 8 ، 12 ، 24 ، والقواسم على 35 ستكون الأرقام 1 ، 5 ، 7 ، 35.
نرى أن العددين 24 و 35 لهما قاسم مشترك واحد فقط - الرقم 1. تسمى هذه الأرقام حقوق النشر.

تعريف.تسمى الأعداد الطبيعية حقوق النشرإذا كان القاسم المشترك الأكبر (gcd) هو 1.

أكبر قاسم مشترك (GCD)يمكن العثور عليها دون كتابة جميع قواسم الأرقام المعطاة.

تحليل العددين 48 و 36 ، نحصل على:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
من العوامل المدرجة في توسيع أول هذه الأرقام ، نحذف تلك التي لم يتم تضمينها في توسيع الرقم الثاني (أي اثنين من التعادل).
يبقى العاملان 2 * 2 * 3. حاصل ضربهما 12. هذا الرقم هو القاسم المشترك الأكبر للعددين 48 و 36. كما تم إيجاد القاسم المشترك الأكبر لثلاثة أرقام أو أكثر.

لايجاد القاسم المشترك الأكبر

2) من العوامل المدرجة في توسيع أحد هذه الأرقام ، اشطب تلك التي لم يتم تضمينها في توسيع الأرقام الأخرى ؛
3) أوجد حاصل ضرب العوامل المتبقية.

إذا كانت جميع الأرقام المعطاة قابلة للقسمة على أحدها ، فسيكون هذا الرقم القاسم المشترك الأكبرأرقام معينة.
على سبيل المثال ، القاسم المشترك الأكبر للعدد 15 و 45 و 75 و 180 هو 15 ، لأنه يقسم جميع الأعداد الأخرى: 45 ​​و 75 و 180.

المضاعف المشترك الأصغر (LCM)

تعريف. المضاعف المشترك الأصغر (LCM) الأعداد الطبيعية a و b هما أصغر عدد طبيعي يكون من مضاعفات كل من a و b. يمكن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للرقمين 75 و 60 دون كتابة مضاعفات هذه الأرقام في صف واحد. للقيام بذلك ، نقوم بتحليل 75 و 60 إلى عوامل بسيطة: 75 \ u003d 3 * 5 * 5 ، و 60 \ u003d 2 * 2 * 3 * 5.
نكتب العوامل المتضمنة في توسيع أول هذه الأرقام ، ونضيف إليها العوامل المفقودة 2 و 2 من توسيع الرقم الثاني (أي أننا نجمع العوامل).
نحصل على خمسة عوامل 2 * 2 * 3 * 5 * 5 ، حاصل ضربها 300. هذا الرقم هو المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 75 و 60.

ابحث أيضًا عن المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر.

ل أوجد المضاعف المشترك الأصغرعدة أعداد طبيعية تحتاج:
1) تحللهم إلى عوامل أولية ؛
2) اكتب العوامل المتضمنة في توسيع أحد الأرقام ؛
3) أضف إليهم العوامل المفقودة من توسعات الأرقام المتبقية ؛
4) أوجد ناتج العوامل الناتجة.

لاحظ أنه إذا كان أحد هذه الأرقام قابلاً للقسمة على جميع الأرقام الأخرى ، فإن هذا الرقم هو أقل مضاعف مشترك لهذه الأرقام.
على سبيل المثال ، المضاعف المشترك الأصغر لـ 12 و 15 و 20 و 60 سيكون 60 ، لأنه قابل للقسمة على جميع الأرقام المعطاة.

درس فيثاغورس (القرن السادس قبل الميلاد) وطلابه مسألة قابلية الأرقام للقسمة. رقم يساوي مجموع كل مقسوماته (بدون الرقم نفسه) ، أطلقوا على الرقم المثالي. على سبيل المثال ، الأرقام 6 (6 = 1 + 2 + 3) ، 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) مثالية. الأعداد المثالية التالية هي 496 ، 8128 ، 33.550 ، 336. عرف الفيثاغوريون أول ثلاثة أعداد كاملة فقط. الرابع - 8128 - أصبح معروفًا في القرن الأول. ن. ه. تم العثور على الخامس - 33550336 - في القرن الخامس عشر. بحلول عام 1983 ، كان 27 رقمًا مثاليًا معروفًا بالفعل. لكن حتى الآن ، لا يعرف العلماء ما إذا كانت هناك أعداد كاملة فردية ، وما إذا كان هناك أكبر عدد مثالي.
يعود اهتمام علماء الرياضيات القدامى بالأعداد الأولية إلى حقيقة أن أي رقم إما أولي أو يمكن تمثيله كمنتج الأعداد الأولية، أي الأعداد الأولية ، كما كانت ، لبنات تُبنى منها باقي الأعداد الطبيعية.
ربما لاحظت أن الأعداد الأولية في سلسلة الأعداد الطبيعية تحدث بشكل غير متساو - في بعض أجزاء السلسلة يوجد عدد أكبر منها ، وفي أجزاء أخرى - أقل. لكن كلما تحركنا على طول سلسلة الأعداد ، كلما ندرة الأعداد الأولية. السؤال الذي يطرح نفسه: هل يوجد آخر (أكبر) عدد أولي؟ أثبت عالم الرياضيات اليوناني القديم إقليدس (القرن الثالث قبل الميلاد) ، في كتابه "البدايات" ، والذي كان الكتاب المدرسي الرئيسي للرياضيات لمدة ألفي عام ، أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية ، أي أن هناك عددًا زوجيًا وراء كل عدد أولي عدد أولي أكبر.
للعثور على الأعداد الأولية ، ابتكر عالم رياضيات يوناني آخر في نفس الوقت ، إراتوستينس ، مثل هذه الطريقة. قام بتدوين جميع الأرقام من 1 إلى رقم ما ، ثم شطب الوحدة ، وهي ليست عددًا أوليًا ولا رقمًا مركبًا ، ثم شطب من خلال واحد جميع الأرقام بعد 2 (الأرقام التي هي مضاعفات 2 ، أي 4 ، 6 ، 8 ، إلخ). الرقم الأول المتبقي بعد الرقم 2 هو 3. ثم بعد رقم 2 ، تم شطب جميع الأرقام بعد 3 (الأرقام التي هي من مضاعفات 3 ، أي 6 ، 9 ، 12 ، إلخ). في النهاية ، بقيت الأعداد الأولية فقط دون شطب.

العديد من القواسم

تأمل المسألة التالية: أوجد القاسم على العدد 140. من الواضح أن العدد 140 ليس له قاسم واحد ، بل عدة قاسم. في مثل هذه الحالات ، يقال أن المهمة لها الكثير منحلول. لنجدهم جميعًا. بادئ ذي بدء ، نحلل هذا الرقم إلى عوامل أولية:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

الآن يمكننا بسهولة كتابة كل المقسومات. لنبدأ بالقواسم البسيطة ، أي تلك الموجودة في التوسع أعلاه:

ثم نكتب تلك التي تم الحصول عليها عن طريق الضرب الزوجي للمقسومات الأولية:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

ثم - تلك التي تحتوي على ثلاثة قواسم بسيطة:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

أخيرًا ، دعونا لا ننسى الوحدة والرقم القابل للتحلل نفسه:

تم العثور على جميع القواسم من قبلنا الكثير منقواسم العدد 140 والتي تكتب بأقواس معقوفة:

مجموعة القواسم على العدد 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

لتسهيل الإدراك ، كتبنا هنا القواسم ( مجموعة العناصر) بترتيب تصاعدي ، ولكن بشكل عام ، هذا ليس ضروريًا. بالإضافة إلى ذلك ، نقدم اختصارًا. وبدلا من عبارة "مجموعة القواسم على العدد 140" نكتب "د (140)". في هذا الطريق،

وبالمثل ، يمكن للمرء أن يجد مجموعة القواسم لأي عدد طبيعي آخر. على سبيل المثال ، من التحلل

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

نحن نحصل:

د (105) = (1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 15 ، 21 ، 35 ، 105).

من مجموعة جميع القواسم ، يجب على المرء أن يميز مجموعة القواسم الأولية ، والتي بالنسبة للأرقام 140 و 105 متساوية ، على التوالي:

PD (140) = (2 ، 5 ، 7).

PD (105) = (3 ، 5 ، 7).

يجب التأكيد على أنه في تحلل العدد 140 إلى عوامل أولية ، يوجد اثنان مرتين ، بينما في المجموعة PD (140) يكون واحدًا فقط. مجموعة PD (140) هي ، في جوهرها ، جميع الإجابات على المشكلة: "ابحث عن عامل أولي للرقم 140". من الواضح أن نفس الإجابة لا ينبغي أن تتكرر أكثر من مرة.

تخفيض الكسر. القاسم المشترك الأكبر

ضع في اعتبارك كسرًا

نعلم أنه يمكن اختزال هذا الكسر بعدد يكون مقسومًا على البسط (105) ومقسوم عليه (140). لنلق نظرة على المجموعتين D (105) و D (140) ونكتب العناصر المشتركة بينهما.

د (105) = (1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 15 ، 21 ، 35 ، 105) ؛

د (140) = (1 ، 2 ، 4 ، 5 ، 7 ، 10 ، 14 ، 20 ، 28 ، 35 ، 70 ، 140).

العناصر المشتركة للمجموعتين D (105) و D (140) =

يمكن كتابة المساواة الأخيرة بشكل أقصر ، وهي:

د (105) ∩ د (140) = (1 ، 5 ، 7 ، 35).

هنا ، تشير الأيقونة الخاصة "" ("الحقيبة ذات الفتحة لأسفل") فقط إلى أنه من بين المجموعتين المكتوبتين على جانبيها ، يجب تحديد العناصر المشتركة فقط. يُقرأ البند "D (105) ∩ D (140)". تداخلمجموعات من Te من 105 و Te من 140.

[لاحظ على طول الطريق أنه يمكنك إجراء عمليات ثنائية مختلفة باستخدام مجموعات ، مثل الأرقام تقريبًا. عملية ثنائية شائعة أخرى هي اتحاد، والذي يُشار إليه بالرمز "∪" ("حقيبة ذات فتحة لأعلى"). يشمل اتحاد مجموعتين جميع عناصر كلتا المجموعتين:

PD (105) = (3 ، 5 ، 7) ؛

PD (140) = (2 ، 5 ، 7) ؛

PD (105) ∪ PD (140) = (2 ، 3 ، 5 ، 7). ]

إذن ، اكتشفنا أن الكسر

يمكن اختزالها إلى أي من الأرقام التي تنتمي إلى المجموعة

د (105) ∩ د (140) = (1 ، 5 ، 7 ، 35)

ولا يمكن اختزاله بأي عدد طبيعي آخر. هذا كل شئ الطرق الممكنةالتخفيضات (باستثناء التخفيض غير المهم بواحد):

من الواضح أنه من الأكثر عملية تقليل الكسر بعدد أكبر ، إن أمكن. في هذه القضيةهو الرقم 35 الذي يُقال إنه القاسم المشترك الأكبر (GCD) الأعداد 105 و 140. وهذا مكتوب كـ

gcd (105 ، 140) = 35.

ومع ذلك ، من الناحية العملية ، إذا حصلنا على رقمين وأردنا إيجاد القاسم المشترك الأكبر بينهما ، فلن نضطر إلى بناء أي مجموعة على الإطلاق. يكفي ببساطة تحليل كل من الأرقام إلى عوامل أولية والتأكيد على تلك العوامل المشتركة بين كلتا الفئتين ، على سبيل المثال:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

بضرب الأرقام التي تحتها خط (في أي من التوسعات) ، نحصل على:

gcd (105 ، 140) = 5 ∙ 7 = 35.

بالطبع ، من الممكن أن يكون هناك أكثر من عاملين تحته خط:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

من هنا يتضح ذلك

gcd (168 ، 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

يستحق الذكر بشكل خاص الموقف عندما لا توجد عوامل مشتركة على الإطلاق ولا يوجد شيء للتأكيد عليه ، على سبيل المثال:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

في هذه الحالة،

gcd (42 ، 55) = 1.

يتم استدعاء عددين طبيعيين تساوي gcd واحدًا حقوق النشر. إذا قمت بعمل كسر من هذه الأرقام ، على سبيل المثال ،

ثم هذا الكسر غير القابل للاختزال.

بشكل عام ، يمكن كتابة قاعدة اختزال الكسور على النحو التالي:

		أ/ gcd ( أ, ب)
		ب/ gcd ( أ, ب)

هنا من المفترض أن أو بهي أعداد طبيعية ، وجميع الكسور موجبة. إذا قمنا الآن بتعيين علامة ناقص لكلا جانبي هذه المساواة ، فسنحصل على القاعدة المقابلة للكسور السالبة.

جمع وطرح الكسور. أقل مضاعف مشترك

افترض أنك تريد حساب مجموع كسرين:

نحن نعلم بالفعل كيف تتحلل القواسم إلى عوامل أولية:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

يتبع هذا التوسع على الفور أنه ، من أجل اختزال الكسور إلى القاسم المشترك، يكفي ضرب بسط ومقام الكسر الأول في 2 2 (حاصل ضرب العوامل الأولية غير المضغوطة للمقام الثاني) ، وبسط ومقام الكسر الثاني في 3 ("حاصل ضرب" العوامل الأولية غير المضغوطة للمقام الأول). نتيجة لذلك ، ستصبح مقامات كلا الكسرين مساوية لرقم يمكن تمثيله على النحو التالي:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

من السهل أن نرى أن كلا المقامين الأصليين (كلاهما 105 و 140) هما قواسم على الرقم 420 ، والرقم 420 بدوره مضاعف لكلا المقامين - وليس مجرد مضاعف ، إنه كذلك أقل مضاعف مشترك (شهادة عدم ممانعة) رقمان 105 و 140. وهذا مكتوب على النحو التالي:

المضاعف المشترك الأصغر (105 ، 140) = 420.

إذا نظرنا عن كثب إلى مفكوك العددين 105 و 140 ، فإننا نرى ذلك

105 ∙ 140 = المضاعف المشترك الأصغر (105 ، 140) ∙ GCD (105 ، 140).

وبالمثل ، بالنسبة للأعداد الطبيعية العشوائية بو د:

ب ∙ د= LCM ( ب, د) ∙ GCD ( ب, د).

الآن دعنا نكمل جمع الكسور:

3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

ملحوظة.لحل بعض المسائل ، عليك أن تعرف ما هو مربع الرقم. مربع الرقم أيسمى رقم أمضروبة في نفسها ، وهذا هو أ∙أ. (كما ترى ، إنها تساوي مساحة مربع به ضلع أ).