Призма. Паралелепіпед
Призмоюназивається багатогранник, дві грані якого – рівні n-кутники (основи) , що у паралельних площинах, інші n граней – паралелограммы (Бічні грані) . Боковим рубом призми називається сторона бічної грані, що не належить підставі.
Призма, бічні ребра якої перпендикулярні до площин основ, називається прямий призмою (рис. 1). Якщо бічні ребра не перпендикулярні до площин основ, то призма називається похилій . Правильною призмою називається пряма призма, основи якої – правильні багатокутники.
Висотоюпризми називається відстань між площинами основ. Діагоналлю призми називається відрізок, що з'єднує дві вершини, що не належать до однієї грані. Діагональним перетином називається переріз призми площиною, що проходить через два бічні ребра, що не належать до однієї грані. Перпендикулярним перетином називається переріз призми площиною, перпендикулярною до бокового ребра призми.
Площею бічної поверхні призми називається сума площ усіх бічних граней. Площею повної поверхні називається сума площ всіх граней призми (тобто. сума площ бічних граней та площ основ).
Для довільної призми вірні формули:
де l- Довжина бічного ребра;
H- Висота;
P
Q
S бік
S повний
S осн– площа основ;
V- Обсяг призми.
Для прямої призми вірні формули:
де p– периметр основи;
l- Довжина бічного ребра;
H- Висота.
Паралелепіпедомназивається призма, основою якої є паралелограм. Паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні до основ, називається прямим (Рис. 2). Якщо бічні ребра не перпендикулярні основам, то паралелепіпед називається похилим . Прямий паралелепіпед, основою якого є прямокутник, називається прямокутним. Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубом.
Грані паралелепіпеда, що не мають спільних вершин, називаються протилежними . Довжини ребер, що виходять з однієї вершини, називаються вимірами паралелепіпеда. Оскільки паралелепіпед – це призма, то основні його елементи визначаються аналогічно тому, як визначено призм.
Теореми.
1. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл.
2. У прямокутному паралелепіпеді квадрат довжини діагоналі дорівнює суміквадратів трьох його вимірів: 
3. 
Усі чотири діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні між собою.
Для довільного паралелепіпеда вірні формули:
де l- Довжина бічного ребра;
H- Висота;
P– периметр перпендикулярного перерізу;
Q- Площа перпендикулярного перерізу;
S бік- Площа бічної поверхні;
S повний- Площа повної поверхні;
S осн– площа основ;
V- Обсяг призми.
Для прямого паралелепіпеда вірні формули:
де p– периметр основи;
l- Довжина бічного ребра;
H- Висота прямого паралелепіпеда.
Для прямокутного паралелепіпеда вірні формули:
(3)
де p– периметр основи;
H- Висота;
d– діагональ;
a,b,c- Вимірювання паралелепіпеда.
Для куба вірні формули:
де a- Довжина ребра;
d- Діагональ куба.
приклад 1.Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює 33 дм, а його виміри відносяться, як 2: 6: 9. Знайти виміри паралелепіпеда.
Рішення.Для знаходження вимірів паралелепіпеда скористаємося формулою (3), тобто. тим фактом, що квадрат гіпотенузи прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його вимірів. Позначимо через kкоефіцієнт пропорційності. Тоді виміри паралелепіпеда дорівнюватимуть 2 k, 6kта 9 k. Запишемо формулу (3) для даних задачі:
Вирішуючи це рівняння щодо k, отримаємо:
Отже, вимірювання паралелепіпеда дорівнюють 6 дм, 18 дм і 27 дм.
Відповідь: 6 дм, 18 дм, 27 дм.
приклад 2.Знайти обсяг похилої трикутної призми, основою якої служить рівносторонній трикутник зі стороною 8 см, якщо бічне ребро дорівнює стороні основи та нахилено під кутом 60º до основи.
Рішення
.
Зробимо рисунок (рис. 3).
Для того, щоб знайти обсяг похилої призминеобхідно знати площу її основи та висоту. Площа основи цієї призми – це площа рівностороннього трикутника зі стороною 8 см. Обчислимо її:
Висотою призми є відстань між її основами. З вершини А 1 верхньої основи опустимо перпендикуляр на площину нижньої основи А 1 D. Його довжина і буде заввишки призми. Розглянемо D А 1 АD: оскільки це кут нахилу бокового ребра А 1 Адо площини основи, А 1 А= 8 см. З цього трикутника знаходимо А 1 D:
Тепер обчислюємо обсяг за формулою (1):
Відповідь: 192 см 3 .
Приклад 3.Бокове ребро правильної шестикутної призми дорівнює 14 см. Площа найбільшого діагонального перерізу дорівнює 168 см 2 . Знайти площу повної поверхні призми.
Рішення.Зробимо малюнок (рис. 4)
Найбільший діагональний переріз – прямокутник AA 1 DD 1 , так як діагональ ADправильного шестикутника ABCDEFє найбільшою. Для того, щоб обчислити площу бічної поверхні призми, необхідно знати бік основи та довжину бічного ребра.
Знаючи площу діагонального перерізу (прямокутника), знайдемо діагональ основи.
Оскільки , то 
Тому що АВ= 6 див.
Тоді периметр основи дорівнює:
Знайдемо площу бічної поверхні призми:
Площа правильного шестикутника зі стороною 6 см дорівнює:
Знаходимо площу повної поверхні призми:
Відповідь: 
Приклад 4.Підставою прямого паралелепіпеда служить ромб. Площі діагональних перерізів 300 см 2 та 875 см 2 . Знайти площу бічної поверхні паралелепіпеда.
Рішення.Зробимо рисунок (рис. 5).
Позначимо сторону ромба через а, діагоналі ромба d 1 та d 2 , висоту паралелепіпеда h. Щоб знайти площу бічної поверхні прямого паралелепіпеда необхідно периметр основи помножити на висоту: (формула (2)). Периметр основи р = АВ + ВС + CD + DA = 4AB = 4a, так як ABCD- Ромб. Н = АА 1 = h. Т.ч. Необхідно знайти аі h.
Розглянемо діагональні перерізи. АА 1 СС 1 – прямокутник, одна сторона якого діагональ ромба АС = d 1 , друга – бічне ребро АА 1 = hтоді
Аналогічно для перерізу ВВ 1 DD 1 отримаємо:
Використовуючи властивість паралелограма таке, що сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх його сторін, отримаємо рівність. Отримаємо таке.
Це найпоширеніші об'ємні фігури серед інших подібних, що зустрічаються у побуті та природі. Вивченням їх властивостей займається стереометрія або просторова геометрія. У даній статті розкриємо питання про те, як можна знайти площу бічної поверхні правильної трикутної призми, а також чотирикутної та шестикутної.
Що являє собою призма?
Перед тим як розраховувати площу бічної поверхні правильної трикутної призми та інших видів цієї фігури, слід розібратися, що вони є. Потім навчимося визначати величини, що цікавлять.
Призмою, з погляду геометрії, називається об'ємне тіло, обмежене двома довільними однаковими багатокутниками і n паралелограмами, де n - це число сторін одного багатокутника. Намалювати таку фігуру легко, для цього слід зобразити якийсь багатокутник. Потім провести з кожної його вершини відрізок, який дорівнює по довжині і паралельний усім іншим. Потім потрібно з'єднати кінці цих ліній між собою так, щоб вийшов ще один багатокутник, що дорівнює вихідному.
Вище видно, що фігура обмежена двома п'ятикутниками (вони називаються нижньою та верхньою основами фігури) та п'ятьма паралелограмами, які на малюнку відповідають прямокутникам.
Усі призми відрізняються один від одного двома головними параметрами:
- типом багатокутника, що лежить на підставі фігури;
- кутами між паралелограмами та основами.
Кількість сторін прямокутника дає назву призмі. Звідси отримуємо вищезгадані трикутну, шестикутну та чотирикутну фігури.
Також вони різняться за величиною нахилу. Що стосується зазначених кутів, то якщо вони дорівнюють 90 o тоді таку призму називають прямою, або прямокутною (кут нахилу дорівнює нулю). Якщо деякі з кутів прямими не є, то фігура називається косокутною. Різниця між ними помітна з першого погляду. Рисунок нижче демонструє ці різновиди.
Як видно, висота h збігається із довжиною її бічного ребра. У разі косокутної цей параметр завжди менший.
Яка призма називається правильною?
Оскільки ми повинні відповісти на питання про те, як знайти площу бічної поверхні правильної призми (трикутної, чотирикутної тощо), то потрібно дати визначення цього типу об'ємної фігури. Розберемо матеріал докладніше.
Правильна призма – це прямокутна фігура, у якої правильний багатокутник утворює ідентичні підстави. Цією фігурою може бути рівнокутний трикутник, квадрат та інші. Будь-який n-кутник, всі довжини сторін та кути якого однакові, буде правильним.
Низка таких призм показана схематично на малюнку нижче.
Бічна поверхня призми
Як було зазначено в цю фігуру складається з n + 2 площин, які, перетинаючи, утворюють n + 2 грані. Дві з них належать основам, інші утворені паралелограмами. Площа всієї поверхні складається із суми площ зазначених граней. Якщо в неї не включати значення двох підстав, тоді ми отримуємо відповідь на питання про те, як знайти площу бічної поверхні призми. Так, можна визначити її значення та підстав окремо один від одного.
Нижче наводиться для якої бічна поверхня утворена трьома чотирикутниками.
Розглянемо процес обчислень. Очевидно, що площа бічної поверхні призми дорівнює сумі n площ відповідних паралелограмів. Тут n - це кількість сторін багатокутника, що утворює основу фігури. Площу кожного паралелограма можна знайти, якщо помножити довжину його сторони на опущену на неї висоту. Це стосується загального випадку.
Якщо досліджувана призма є прямою, процедура визначення площі її бічної поверхні S b значно полегшується, оскільки така поверхня складається з прямокутників. У цьому випадку можна скористатися такою формулою:
Де h – висоти фігури, P o – периметр її основи
Правильна призма та її бічна поверхня
Наведена в пункті вище формула у разі такої фігури набуває цілком конкретного вигляду. Оскільки периметр n-кутника дорівнює добутку числа його сторін на довжину однієї, то виходить така формула:
Де a – довжина сторони відповідного n-кутника.
Площа бічної поверхні чотирикутної та шестикутної
Скористаємося вище формулою, щоб визначити необхідні значення для зазначених трьох типів фігур. Розрахунки виглядатимуть так.
Для трикутної формула набуде вигляду:
Наприклад, сторона трикутника дорівнює 10 см, а висота фігури – 7 см, тоді:
S 3 b = 3 * 10 * 7 = 210 см 2
У разі чотирикутної призми шуканий вираз набуває форми:
Якщо взяти ті ж значення довжин, що й у попередньому прикладі, тоді отримуємо:
S 4 b = 4 * 10 * 7 = 280 см 2
Площа бічної поверхні шестикутної призми розраховується за такою формулою:
Підставляючи ті самі числа, що й у попередніх випадках, маємо:
S 6 b = 6 * 10 * 7 = 420 см 2
Зауважимо, що у разі правильної призми будь-якого типу її бічна поверхня утворена однаковими прямокутниками. У прикладах вище площа кожного їх становила a*h = 70 см 2 .
Розрахунок для косокутної призми
Визначення значення площі бічної поверхні цієї фігури виконати трохи складніше, ніж для прямокутної. Тим не менш, наведена вище формула залишається тією ж самою, тільки замість периметра основи слід взяти периметр перпендикулярного зрізу, а замість висоти - довжину бічного ребра.
Рисунок вище демонструє чотирикутну косокутну призму. Заштрихований паралелограм - це той перпендикулярний зріз, периметр якого P sr необхідно розрахувати. Довжина бічного ребра на малюнку позначена літерою C. Тоді одержуємо формулу:
Периметр зрізу можна знайти, якщо відомі кути паралелограмів, що утворюють бічну поверхню.
Визначення.
Це шестигранник, основами якого є два рівні квадрати, а бічні грані є рівними прямокутниками.
Бокове ребро- це спільна сторона двох суміжних бічних граней
Висота призми- це відрізок, перпендикулярний до основ призми
Діагональ призми- відрізок, що з'єднує дві вершини основ, що не належать до однієї грані
Діагональна площина- площина, яка проходить через діагональ призми та її бічні ребра
Діагональний переріз- межі перетину призми та діагональної площини. Діагональний переріз правильної чотирикутної призми є прямокутником.
Перпендикулярний перетин (ортогональний переріз)- це перетин призми та площини, проведеної перпендикулярно її бічним ребрам.
Елементи правильної чотирикутної призми
На малюнку зображено дві правильні чотирикутні призми, у яких позначені відповідними літерами:
- Підстави ABCD і A 1 B 1 C 1 D 1 рівні та паралельні один одному
- Бічні грані AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C та CC 1 D 1 D, кожна з яких є прямокутником
- Бічна поверхня- сума площ усіх бічних граней призми
- Повна поверхня - сума площ усіх підстав та бічних граней (сума площі бічної поверхні та підстав)
- Бічні ребра AA 1 , BB 1 , CC 1 та DD 1 .
- Діагональ B 1 D
- Діагональ основи BD
- Діагональний переріз BB 1 D 1 D
- Перпендикулярне перетин A 2 B 2 C 2 D 2 .
Властивості правильної чотирикутної призми
- Підставами є два рівні квадрати
- Підстави паралельні один одному
- Боковими гранями є прямокутники
- Бічні грані рівні між собою
- Бічні грані перпендикулярні до основ
- Бічні ребра паралельні між собою та рівні
- Перпендикулярний перетин перпендикулярно всім бічних ребрів і паралельно основам.
- Кути перпендикулярного перетину - прямі
- Діагональний переріз правильної чотирикутної призми є прямокутником.
- Перпендикулярний (ортогональний переріз) паралельно основам
Формули для правильної чотирикутної призми
Вказівки до вирішення завдань
Під час вирішення завдань на тему " правильна чотирикутна призмамається на увазі, що:Правильна призма- призма в основі якої лежить правильний багатокутник, а бічні ребра перпендикулярні до площин основи. Тобто правильна чотирикутна призма містить у своїй основі квадрат. (Див. вище властивості правильної чотирикутної призми) Примітка. Це частина уроку із завданнями з геометрії (розділ стереометрія – призма). Тут розміщені завдання, які викликають труднощі під час вирішення. Якщо Вам необхідно вирішити задачу геометрії, якої тут немає - пишіть про це у форумі. Для позначення дії вилучення квадратного кореня у розв'язках задач використовується символ√ .
Завдання.
У правильній чотирикутній призмі площа основи 144 см 2 , а висота 14 см. Знайти діагональ призми та площу повної поверхні.Рішення.
Правильний чотирикутник – це квадрат.
Відповідно, сторона основи буде рівна
Звідки діагональ основи правильної прямокутної призми дорівнюватиме
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2
Діагональ правильної призми утворює з діагоналлю основи та висотою призми прямокутний трикутник. Відповідно, за теоремою Піфагора діагональ заданої правильної чотирикутної призми дорівнюватиме:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 см
Відповідь: 22 см
Завдання
Визначте повну поверхню правильної чотирикутної призми, якщо її діагональ дорівнює 5 см, а діагональ бічної грані дорівнює 4 см.Рішення.
Оскільки на підставі правильної чотирикутної призми лежить квадрат, то бік основи (позначимо як a) знайдемо за теоремою Піфагора:
A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5
Висота бічної грані (позначимо як h) тоді дорівнюватиме:
H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5
Площа повної поверхні дорівнюватиме сумі площі бічної поверхні та подвоєної площі підстави
S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .
Відповідь : 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації будь-коли, коли ви зв'язуєтеся з нами.
Нижче наведено деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваші ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальних пропозиціях, акціях та інших заходах та найближчих подіях.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судового порядку, в судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників, і суворо стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.
У просторовій геометрії під час вирішення завдань із призмами часто виникає проблема з розрахунком площі сторін чи граней, що утворюють ці об'ємні фігури. Ця стаття присвячена питанню визначення площі основи призми та її бічної поверхні.
Фігура призму
Перед тим як переходити до розгляду формул для площі підстави та поверхні призми того чи іншого виду, слід розібратися, про яку фігуру йдеться.
Призма в геометрії є просторовою фігурою, що складається з двох паралельних багатокутників, які рівні між собою, і декількох чотирикутників або паралелограмів. Кількість останніх завжди дорівнює числу вершин одного багатокутника. Наприклад, якщо фігура утворена двома паралельними n-кутниками, тоді кількість паралелограмів дорівнюватиме n.
Сполучні n-кутники паралелограми називаються бічними сторонами призми, які сумарна площа - це площа бічної поверхні фігури. Самі ж n-кутники називаються основами.
Вище малюнок демонструє приклад призми, виготовленої з паперу. Жовтий прямокутник є її верхньою основою. На другому такому ж підставі постать стоїть. Червоний та зелений прямокутники – це бічні грані.
Які призми трапляються?
Існує кілька типів призмів. Всі вони відрізняються один від одного двома параметрами:
- видом n-кутника, що утворює основи;
- кутом між n-кутником та бічними гранями.
Наприклад, якщо основи є трикутниками, тоді і призма називається трикутною, якщо чотирикутниками, як на попередньому малюнку, тоді постать називається чотирикутною призмою, і так далі. Крім цього, n-кутник може бути опуклим або увігнутим, тоді до назви призми також додається ця властивість.
Кут між бічними гранями та основою може бути або прямий, або гострий або тупий. У першому випадку говорять про прямокутну призму, у другому - про похилу або косокутну.
У особливий тип фігур виділяють правильні призми. Вони мають найвищу симетрію серед інших призм. Правильною вона буде лише в тому випадку, якщо є прямокутною та її основа – це правильний n-кутник. Рисунок нижче демонструє набір правильних призм, у яких кількість сторін n-кутника змінюється від трьох до восьми.
Поверхня призми
Під поверхнею розглянутої фігури довільного типу розуміють сукупність усіх точок, що належать граням призми. Поверхня призми зручно вивчати, розглядаючи її розгорнення. Нижче наведено приклад такої розгортки для трикутної призми.
Видно, що вся поверхня утворена двома трикутниками та трьома прямокутниками.
У разі призми загального типуїї поверхня складатиметься з двох n-вугільних основ та n чотирикутників.
Розглянемо докладніше питання обчислення площі поверхні призм різних типів.
Площа підстави призми правильною
Мабуть, найпростішим завданням під час роботи з призмами є проблема знаходження площі підстави правильної фігури. Оскільки воно утворене n-кутником, у якого всі кути та довжини сторін є однаковими, то завжди можна розділити його на однакові трикутники, у яких відомі кути та сторони. Сумарна площа трикутників буде площею n-кутника.
Ще один спосіб визначити частину площі поверхні призми (основа) полягає у використанні відомої формули. Вона має такий вигляд:
S n = n/4*a 2 *ctg(pi/n)
Тобто площа S n n-кутника однозначно визначається, виходячи із знання довжини його сторони a. Деяку складність при розрахунку за формулою може становити обчислення котангенсу, особливо коли n>4 (для n≤4 значення котангенсу – це табличні дані). Для визначення цієї тригонометричної функціїрекомендується скористатися калькулятором.
При постановці геометричної задачі слід бути уважним, оскільки може знадобитися знайти площу підстав призми. Тоді набуте за формулою значення слід помножити на два.
Площа основи трикутної призми
На прикладі трикутної призми розглянемо, як можна знайти площу основи цієї фігури.
Спочатку розглянемо простий випадок – правильну призму. Площа підстави обчислюється за наведеною у пункті вище формулою, необхідно підставити до неї n=3. Отримуємо:
S 3 = 3/4*a 2 *ctg(pi/3) = 3/4*a 2 *1/√3 = √3/4*a 2
Залишається підставити вираз конкретні значення довжини сторони a рівностороннього трикутника, щоб отримати площу однієї підстави.
Тепер припустимо, що є призма, основа якої є довільним трикутником. Відомі дві сторони a і b і кут між ними α. Ця фігура зображена нижче.
Як у цьому випадку знайти площу основи трикутної призми? Необхідно згадати, що площа будь-якого трикутника дорівнює половині твору сторони та висоти, опущеної на цю сторону. На малюнку проведено висоту h до сторони b. Довжина h відповідає добутку синуса кута альфа на довжину сторони a. Тоді площа всього трикутника дорівнює:
S = 1/2*b*h = 1/2*b*a*sin(α)
Це і є площа основи зображеної трикутної призми.
Бічна поверхня
Ми розібрали, як знайти площу основи призми. Бічна поверхня цієї фігури завжди складається із паралелограмів. Для прямих призм паралелограми стають прямокутниками, тому сумарну їх площу легко обчислити:
S = ∑ i = 1 n (a i * b)
Тут b - довжина бічного ребра, a i - довжина сторони i прямокутника, яка збігається з довжиною сторони n-кутника. У разі правильної n-вугільної призми отримуємо простий вираз:
Якщо призма є похилою, для визначення площі її бічної поверхні слід зробити перпендикулярний зріз, розрахувати його периметр P sr і помножити його на довжину бічного ребра.
Малюнок вище показує, як робити цей зріз для похилої п'ятикутної призми.
Завантаження...