Признаци на делимост естествени числа.
Извикват се числа, делими на 2 без остатъкдори .
Наричат се числа, които не се делят равномерно на 2странно .
Знак за делимост на 2
Ако записът на естествено число завършва с четна цифра, тогава това число се дели на 2 без остатък, а ако записът на число завършва с нечетна цифра, тогава това число не се дели на 2 без остатък.
Например числата 60 , 30 8 , 8 4 се делят без остатък на 2, а числата 51 , 8 5 , 16 7 не се делят на 2 без остатък.
Знак за делимост на 3
Ако сборът от цифрите на едно число се дели на 3, то числото също се дели на 3; Ако сборът от цифрите на едно число не се дели на 3, то числото не се дели на 3.
Например, нека разберем дали числото 2772825 се дели на 3. За да направите това, изчисляваме сумата от цифрите на това число: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - се дели на 3 И така, числото 2772825 се дели на 3.
Знак за делимост на 5
Ако записът на естествено число завършва с числото 0 или 5, то това число се дели без остатък на 5. Ако записът на число завършва с различна цифра, тогава числото без остатък не се дели на 5.
Например числа 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 се делят без остатък на 5, а числата са 17 , 37 8 , 9 1 не споделяйте.
Знак за делимост на 9
Ако сборът от цифрите на едно число се дели на 9, то числото също се дели на 9; Ако сборът от цифрите на дадено число не се дели на 9, то числото не се дели на 9.
Например, нека разберем дали числото 5402070 се дели на 9. За да направите това, изчисляваме сумата от цифрите на това число: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - не се дели на 9. Това означава, че числото 5402070 не се дели на 9.
Знак за делимост на 10
Ако записът на естествено число завършва с цифрата 0, то това число се дели без остатък на 10. Ако записът на естествено число завършва с друга цифра, то не се дели на 10 без остатък.
Например числата 40 , 17 0 , 1409 0 се делят без остатък на 10, а числата са 17 , 9 3 , 1430 7 - не споделяйте.
Правилото за намиране на най-големия общ делител (gcd).
За да намерите най-големия общ делител на няколко естествени числа, трябва:
2) от факторите, включени в разширението на едно от тези числа, зачеркнете тези, които не са включени в разширението на други числа;
3) намерете произведението на останалите фактори.
Пример. Да намерим GCD (48;36). Нека използваме правилото.
1. Разлагаме числата 48 и 36 на прости множители.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3
2. От факторите, включени в разширението на числото 48, изтриваме тези, които не са включени в разширението на числото 36.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
Има фактори 2, 2 и 3.
3. Умножете останалите фактори и получете 12. Това число е най-големият общ делител на числата 48 и 36.
GCD (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.
Правилото за намиране на най-малкото общо кратно (LCM).
За да намерите най-малкото общо кратно на няколко естествени числа, трябва:
1) да ги разложи на прости множители;
2) напишете коефициентите, включени в разширението на едно от числата;
3) добавете към тях липсващите фактори от разширенията на останалите числа;
4) намерете произведението на получените фактори.
Пример.Нека намерим LCM (75;60). Нека използваме правилото.
1. Разлагаме числата 75 и 60 на прости множители.
75 = 3 · 5 · 5
60 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Запишете факторите, включени в разширението на числото 75: 3, 5, 5.
NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …
3. Добавете към тях липсващите фактори от разлагането на числото 60, т.е. 2, 2.
NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2
4. Намерете произведението на получените фактори
NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.
Тази статия е посветена на такъв въпрос като намирането на най-големия общ делител. Първо, ще обясним какво е това и ще дадем няколко примера, ще представим определенията за най-големия общ делител на 2, 3 или повече числа, след което ще се спрем на общите свойства на това понятие и ще ги докажем.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Какво представляват общите делители
За да разберем какво е най-големият общ делител, първо формулираме какво е общият делител за цели числа.
В статията за кратни и делители казахме, че едно цяло число винаги има множество делители. Тук се интересуваме от делителите на определен брой цели числа наведнъж, особено общи (еднакви) за всички. Нека запишем основното определение.
Определение 1
Общият делител на няколко цели числа ще бъде число, което може да бъде делител на всяко число от посочения набор.
Пример 1
Ето примери за такъв делител: тройката ще бъде общ делител за числата - 12 и 9, тъй като равенствата 9 = 3 · 3 и − 12 = 3 · (− 4) са верни. Числата 3 и - 12 имат други общи делители, като 1 , - 1 и - 3 . Да вземем друг пример. Четирите цели числа 3 , − 11 , − 8 и 19 ще имат два общи делителя: 1 и - 1 .
Познавайки свойствата на делимост, можем да кажем, че всяко цяло число може да бъде разделено на едно и минус едно, което означава, че всеки набор от цели числа вече ще има поне два общи делителя.
Също така имайте предвид, че ако имаме общ делител за няколко числа b, тогава същите числа могат да бъдат разделени на противоположното число, тоест на - b. По принцип можем да вземем само положителни делители, тогава всички общи делители също ще бъдат по-големи от 0. Този подход също може да се използва, но напълно игнориран отрицателни числане го прави.
Какъв е най-големият общ делител (gcd)
Според свойствата на делимост, ако b е делител на цяло число a, което не е равно на 0, тогава модулът на b не може да бъде по-голям от модула на a, следователно всяко число, което не е равно на 0, има краен брой делители . Това означава, че броят на общите делители на няколко цели числа, поне едно от които се различава от нула, също ще бъде краен и от цялото им множество винаги можем да изберем най-голямото число (вече говорихме за концепцията за най-голямото и най-малките цели числа, ви съветваме да повторите дадения материал).
В по-нататъшни разсъждения ще приемем, че поне едно от набора от числа, за които трябва да намерите най-големия общ делител, ще бъде различно от 0 . Ако всички те са равни на 0 , тогава делителят им може да бъде произволно цяло число и тъй като има безкрайно много от тях, не можем да изберем най-голямото. С други думи, невъзможно е да се намери най-големият общ делител за набора от числа, равни на 0.
Преминаваме към формулирането на основното определение.
Определение 2
Най-големият общ делител на множество числа е най-голямото цяло число, което дели всички тези числа.
В писмен вид най-големият общ делител най-често се обозначава със съкращението GCD. За две числа може да се запише като gcd (a, b) .
Пример 2
Какъв е примерът за GCD за две цели числа? Например, за 6 и - 15 би било 3 . Нека обосноваваме това. Първо, записваме всички делители на шест: ± 6, ± 3, ± 1, а след това всички делители на петнадесет: ± 15, ± 5, ± 3 и ± 1. След това избираме общи: това са − 3 , − 1 , 1 и 3 . От тях трябва да изберете най-голямото число. Това ще бъде 3.
За три или повече числа дефиницията на най-големия общ делител ще бъде почти същата.
Определение 3
Най-големият общ делител на три или повече числа е най-голямото цяло число, което дели всички тези числа едновременно.
За числа a 1 , a 2 , … , a n делителят е удобно обозначен като GCD (a 1 , a 2 , … , a n) . Самата стойност на делителя се записва като GCD (a 1 , a 2 , …, a n) = b .
Пример 3
Ето примери за най-големия общ делител на няколко цели числа: 12 , - 8 , 52 , 16 . Ще бъде равно на четири, което означава, че можем да запишем, че gcd (12, - 8, 52, 16) = 4.
Можете да проверите правилността на това твърдение, като запишете всички делители на тези числа и след това изберете най-голямото от тях.
На практика често има случаи, когато най-големият общ делител е равен на едно от числата. Това се случва, когато всички останали числа могат да бъдат разделени на дадено число (в първия параграф на статията дадохме доказателството за това твърдение).
Пример 4
И така, най-големият общ делител на числата 60, 15 и - 45 е 15, тъй като петнадесет се дели не само на 60 и - 45, но и на себе си и няма по-голям делител за всички тези числа.
Взаимно простите числа са специален случай. Те са цели числа с най-голям общ делител на 1.
Основни свойства на GCD и алгоритъма на Евклид
Най-големият общ делител има някои характерни свойства. Формулираме ги под формата на теореми и доказваме всяка една от тях.
Имайте предвид, че тези свойства са формулирани за цели числа, по-големи от нула, и ние разглеждаме само положителни делители.
Определение 4
Числата a и b имат най-големия общ делител, равен на gcd за b и a, т.е. gcd (a, b) = gcd (b, a) . Промяната на местата на числата не влияе на крайния резултат.
Това свойство следва от самото определение на GCD и не се нуждае от доказателство.
Определение 5
Ако числото a може да бъде разделено на числото b, тогава множеството общи делители на тези две числа ще бъде подобно на множеството от делители на числото b, тоест gcd (a, b) = b.
Нека докажем това твърдение.
Доказателство 1
Ако числата a и b имат общи делители, тогава всяко от тях може да бъде разделено на тях. В същото време, ако a е кратно на b, тогава всеки делител на b също ще бъде делител на a , тъй като делимостта има такова свойство като транзитивност. Следователно всеки делител b ще бъде общ за числата a и b. Това доказва, че ако можем да разделим a на b, тогава множеството от всички делители на двете числа съвпада с множеството от делители на едно число b. И тъй като най-големият делител на всяко число е самото число, то най-големият общ делител на числата a и b също ще бъде равен на b, т.е. gcd(a, b) = b. Ако a = b, тогава gcd (a, b) = gcd (a, a) = gcd (b, b) = a = b, например gcd (132, 132) = 132.
Използвайки това свойство, можем да намерим най-големия общ делител на две числа, ако едното от тях може да бъде разделено на другото. Такъв делител е равен на едно от тези две числа, на които може да се раздели второто число. Например, gcd (8, 24) = 8, защото 24 е кратно на осем.
Определение 6 Доказателство 2
Нека се опитаме да докажем това свойство. Първоначално имаме равенството a = b q + c и всеки общ делител на a и b също ще раздели c, което се обяснява със съответното свойство на делимост. Следователно всеки общ делител на b и c ще раздели a . Това означава, че множеството от общи делители a и b ще съвпада с множеството от делители b и c, включително най-големия от тях, което означава, че равенството gcd (a, b) = gcd (b, c) е вярно.
Определение 7
Следното свойство се нарича алгоритъм на Евклид. С него можете да изчислите най-големия общ делител на две числа, както и да докажете други свойства на GCD.
Преди да формулирате свойството, ви съветваме да повторите теоремата, която доказахме в статията за деление с остатък. Според него делимото число a може да бъде представено като bq + r, като тук b е делител, q е някакво цяло число (нарича се още непълно частно), а r е остатък, който удовлетворява условието 0 ≤ r ≤ б.
Да кажем, че имаме две цели числа, по-големи от 0, за които следните равенства ще са верни:
a = b q 1 + r 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1
Тези равенства приключват, когато r k + 1 стане равно на 0 . Това определено ще се случи, тъй като последователността b > r 1 > r 2 > r 3 , … е поредица от намаляващи цели числа, които могат да включват само краен брой от тях. Следователно r k е най-големият общ делител на a и b , тоест r k = gcd (a , b) .
Първо, трябва да докажем, че r k е общ делител на числата a и b, а след това, че r k не е просто делител, а най-големият общ делител на двете дадени числа.
Нека разгледаме списъка с равенства по-горе, отдолу нагоре. Според последното равенство,
r k − 1 може да се раздели на r k . Въз основа на този факт, както и на предишното доказано свойство на най-големия общ делител, може да се твърди, че r k − 2 може да бъде разделено на r k , тъй като
r k − 1 се дели на r k и r k се дели на r k .
Третото равенство отдолу ни позволява да заключим, че r k − 3 може да се раздели на r k и т.н. Второто отдолу е, че b се дели на r k , а първото е, че a се дели на r k . От всичко това заключаваме, че r k е общ делител на a и b .
Сега нека докажем, че r k = gcd (a , b) . Какво трябва да направя? Покажете, че всеки общ делител на a и b ще раздели r k . Нека го означим r 0 .
Нека разгледаме същия списък с равенства, но отгоре надолу. Въз основа на предишното свойство можем да заключим, че r 1 се дели на r 0 , което означава, че според второто равенство r 2 се дели на r 0 . Слизаме през всички равенства и от последното заключаваме, че r k се дели на r 0 . Следователно r k = gcd (a, b) .
След като разгледахме това свойство, заключаваме, че множеството от общи делители на a и b е подобно на множеството от делители на gcd на тези числа. Това твърдение, което е следствие от алгоритъма на Евклид, ще ни позволи да изчислим всички общи делители на две дадени числа.
Нека да преминем към други свойства.
Определение 8
Ако a и b са цели числа, които не са равни на 0, тогава трябва да има две други цели числа u 0 и v 0, за които ще е валидно равенството gcd (a , b) = a · u 0 + b · v 0.
Равенството, дадено в изявлението за свойството, е линейно представяне на най-големия общ делител на a и b. Нарича се коефициент на Безут, а числата u 0 и v 0 се наричат коефициенти на Безут.
Доказателство 3
Нека докажем това свойство. Записваме последователността от равенства според алгоритъма на Евклид:
a = b q 1 + r 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1
Първото равенство ни казва, че r 1 = a − b · q 1 . Означете 1 = s 1 и − q 1 = t 1 и пренапишете това равенство като r 1 = s 1 · a + t 1 · b . Тук числата s 1 и t 1 ще бъдат цели числа. Второто равенство ни позволява да заключим, че r 2 = b − r 1 q 2 = b − (s 1 a + t 1 b) q 2 = − s 1 q 2 a + (1 − t 1 q 2) b . Означете − s 1 q 2 = s 2 и 1 − t 1 q 2 = t 2 и пренапишете равенството като r 2 = s 2 a + t 2 b , където s 2 и t 2 също ще бъдат цели числа. Това е така, защото сборът от цели числа, тяхното произведение и разлика също са цели числа. По абсолютно същия начин получаваме от третото равенство r 3 = s 3 · a + t 3 · b , от следното r 4 = s 4 · a + t 4 · b и т.н. Накрая заключаваме, че r k = s k a + t k b за цели числа s k и t k . Тъй като rk = GCD (a, b) обозначаваме sk = u 0 и tk = v 0. В резултат на това можем да получим линейно представяне на GCD в необходимата форма: GCD (a, b) \u003d au 0 + bv 0.
Определение 9
gcd (m a, m b) = m gcd (a, b) за всяка естествена стойност m.
Доказателство 4
Това свойство може да се обоснове по следния начин. Умножете по числото m двете страни на всяко равенство в алгоритъма на Евклид и получаваме, че gcd (m a , m b) = m r k , а r k е gcd (a , b) . Следователно gcd (m a, m b) = m gcd (a, b) . Именно това свойство на най-големия общ делител се използва при намиране на GCD по метода на факторизация.
Определение 10
Ако числата a и b имат общ делител p, тогава gcd (a: p, b: p) = gcd (a, b): p. В случай, когато p = gcd (a , b) получаваме gcd (a: gcd (a , b) , b: gcd (a , b) = 1, следователно числата a: gcd (a , b) и b : gcd (a, b) са взаимно прости.
Тъй като a = p (a: p) и b = p (b: p) , тогава, въз основа на предишното свойство, можем да създадем равенства от формата gcd (a , b) = gcd (p (a: p) , p · (b: p)) = p · GCD (a: p , b: p) , сред които ще има доказателство за това свойство. Ние използваме това твърдение, когато даваме обикновени дробидо несводима форма.
Определение 11
Най-големият общ делител a 1 , a 2 , ... , ak ще бъде числото dk , което може да бъде намерено чрез последователно изчисляване на gcd (a 1 , a 2) = d 2 , gcd (d 2 , a 3) = d 3 , gcd (d 3 , a 4) = d 4 , … , gcd (dk - 1 , ak) = dk .
Това свойство е полезно за намиране на най-големия общ делител на три или повече числа. С него можете да намалите това действие до операции с две числа. Основата му е следствие от алгоритъма на Евклид: ако множеството от общи делители a 1 , a 2 и a 3 съвпада с множеството d 2 и a 3 , то то съвпада и с делителите d 3 . Делите на числата a 1 , a 2 , a 3 и a 4 ще съвпадат с делителите на d 3 , което означава, че ще съвпадат и с делителите на d 4 и т.н. В крайна сметка получаваме, че общите делители на числата a 1 , a 2 , …, ak ще съвпадат с делителите dk и тъй като самото число ще бъде най-големият делител на числото dk , тогава gcd (a 1 , a 2 , …, ak) = dk .
Това е всичко, което бихме искали да говорим за свойствата на най-големия общ делител.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
За да научите как да намерите най-големия общ делител на две или повече числа, трябва да разберете какво представляват естествените, простите и комплексните числа.
Естествено число е всяко число, което се използва за броене на цели числа.
Ако едно естествено число може да бъде разделено само на себе си и на единица, тогава то се нарича просто.
Всички естествени числа могат да бъдат разделени на себе си и на едно, но единственото четно просто число е 2, всички останали могат да бъдат разделени на две. Следователно само нечетни числа могат да бъдат прости.
Твърде много прости числа пълен списъкте не съществуват. За да намерите GCD, е удобно да използвате специални таблици с такива числа.
Повечето естествени числа могат да бъдат разделени не само на себе си, но и на други числа. Така например числото 15 може да бъде разделено на 3 и 5. Всички те се наричат делители на числото 15.
По този начин делителят на всяко A е числото, на което то може да бъде разделено без остатък. Ако числото има повече от два естествени делителя, то се нарича съставно.
Числото 30 има такива делители като 1, 3, 5, 6, 15, 30.
Можете да видите, че 15 и 30 имат еднакви делители 1, 3, 5, 15. Най-големият общ делител на тези две числа е 15.
По този начин общият делител на числата A и B е числото, на което можете да ги разделите напълно. Максимумът може да се счита за максималният общ брой, на който могат да бъдат разделени.
За решаване на проблеми се използва следният съкратен надпис:
GCD (A; B).
Например, GCD (15; 30) = 30.
За да се запишат всички делители на естествено число, се използва нотацията:
D(15) = (1, 3, 5, 15)
gcd (9; 15) = 1
В този пример естествените числа имат само един общ делител. Те се наричат взаимно прости, съответно единицата е техният най-голям общ делител.
Как да намерим най-големия общ делител на числата
За да намерите GCD на няколко числа, трябва:
Намерете всички делители на всяко естествено число поотделно, тоест ги разложете на фактори (прости числа);
Изберете всички същите фактори за дадени числа;
Умножете ги заедно.
Например, за да изчислите най-големия общ делител на числата 30 и 56, ще напишете следното:
За да не се бъркате с , е удобно да напишете множителите с помощта на вертикални колони. От лявата страна на линията трябва да поставите дивидента, а от дясната - делителя. Под дивидента трябва да посочите полученото коефициент.
Така че в дясната колона ще бъдат всички фактори, необходими за решението.
Еднаквите делители (открити фактори) могат да бъдат подчертани за удобство. Те трябва да се пренапишат и умножат и да се запише най-големият общ делител.
GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10
Наистина е толкова лесно да се намери най-големият общ делител на числата. С малко практика можете да го направите почти автоматично.
Извиква се най-голямото естествено число, на което числата a и b се делят без остатък най-голям общ делителтези числа. Означете GCD(a, b).
Помислете за намирането на GCD, като използвате примера на две естествени числа 18 и 60:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
324 , 111 И 432
Нека разложим числата на прости множители:
324 = 2×2×3×3×3×3
111 = 3×37
432 = 2×2×2×2×3×3×3
Изтрийте от първото число, чиито фактори не са във второто и третото число, получаваме:
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3
В резултат на GCD( 324 , 111 , 432 )=3
Намиране на GCD с алгоритъма на Евклид
Вторият начин за намиране на най-големия общ делител с помощта Алгоритъм на Евклид. Алгоритъмът на Евклид е най-много ефективен начиннамиране GCD, като го използвате, трябва постоянно да намирате остатъка от делението на числата и да прилагате повтаряща се формула.
Повтаряща се формулаза GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), където a mod b е остатъкът от деленето на a на b.
Алгоритъм на Евклид
Пример Намерете най-големия общ делител на числата 7920 И 594
Да намерим GCD( 7920 , 594 ) използвайки алгоритъма на Евклид, ще изчислим остатъка от деленето с помощта на калкулатор.
- 7920 мод 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 мод 198 = 594 - 3 × 198 = 0
В резултат на това получаваме GCD( 7920 , 594 ) = 198
Най-малко общо кратно
За да се намери общ знаменателпри събиране и изваждане на дроби с различни знаменателитрябва да знаете и да можете да изчислите най-малко общо кратно(NOC).
Кратно на числото "a" е число, което само по себе си се дели на числото "a" без остатък.
Числа, които са кратни на 8 (тоест тези числа ще бъдат разделени на 8 без остатък): това са числата 16, 24, 32 ...
Кратни на 9: 18, 27, 36, 45…
Има безкрайно много кратни на дадено число a, за разлика от делителите на същото число. Делители - крайно число.
Общото кратно на две естествени числа е число, което се дели равномерно и на двете от тези числа..
Най-малко общо кратно(LCM) от две или повече естествени числа е най-малкото естествено число, което само по себе си се дели на всяко от тези числа.
Как да намерите NOC
LCM може да бъде намерен и написан по два начина.
Първият начин да намерите LCM
Този метод обикновено се използва за малки числа.
- Записваме кратните за всяко от числата в ред, докато има кратно, което е еднакво и за двете числа.
- Кратното на числото "a" се обозначава с главна буква "K".
Пример. Намерете LCM 6 и 8.
Вторият начин да намерите LCM
Този метод е удобен за използване за намиране на LCM за три или повече числа.
Броят на еднакви фактори в разширенията на числата може да бъде различен.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2
Отговор: LCM (24, 60) = 120
Можете също така да формализирате намирането на най-малкото общо кратно (LCM), както следва. Нека намерим LCM (12, 16, 24) .
24 = 2 2 2 3
Както можем да видим от разширението на числата, всички фактори на 12 са включени в разширението на 24 (най-голямото от числата), така че добавяме само едно 2 от разширението на числото 16 към LCM.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Отговор: LCM (12, 16, 24) = 48
Специални случаи на намиране на НОК
Например LCM(60, 15) = 60
Тъй като взаимно простите числа нямат общи прости делители, тяхното най-малко общо кратно е равно на произведението на тези числа.
На нашия сайт можете също да използвате специален калкулатор, за да намерите най-малкото общо множество онлайн, за да проверите изчисленията си.
Ако едно естествено число се дели само на 1 и на себе си, тогава то се нарича просто.
Всяко естествено число винаги се дели на 1 и на себе си.
Числото 2 е най-малкото просто число. Това е единственото четно просто число, останалите прости числа са нечетни.
Има много прости числа и първото сред тях е числото 2. Въпреки това, няма последно просто число. В раздела "За проучване" можете да изтеглите таблицата прости числадо 997.
Но много естествени числа се делят равномерно на други естествени числа.
- числото 12 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;
- 36 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.
- разлагат делителите на числата на прости множители;
Числата, на които числото се дели равномерно (за 12 това са 1, 2, 3, 4, 6 и 12) се наричат делители на числото.
Делителят на естествено число a е такова естествено число, което дели даденото число "a" без остатък.
Естествено число, което има повече от два фактора, се нарича съставно число.
Обърнете внимание, че числата 12 и 36 имат общи делители. Това са числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Най-големият делител на тези числа е 12.
Общият делител на две дадени числа "a" и "b" е числото, на което и двете дадени числа "a" и "b" са разделени без остатък.
Най-голям общ делител(GCD) на две дадени числа "a" и "b" е най-голямото число, на което и двете числа "a" и "b" се делят без остатък.
Накратко, най-големият общ делител на числата "a" и "b" се записва, както следва:
Пример: gcd (12; 36) = 12 .
Делите на числата в записа на решението се означават с главна буква "D".
Числата 7 и 9 имат само един общ делител - числото 1. Такива числа се наричат взаимно прости числа.
Взаимно прости числаса естествени числа, които имат само един общ делител - числото 1. Техният GCD е 1.
Как да намерим най-големия общ делител
За да намерите gcd на две или повече естествени числа, ви трябва:
Изчисленията се записват удобно с помощта на вертикална лента. Отляво на реда първо запишете дивидента, вдясно - делителя. По-нататък в лявата колона записваме стойностите на private.
Нека обясним веднага с пример. Нека разложим числата 28 и 64 на прости множители.
- Подчертайте едни и същи прости множители и в двете числа.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Намираме произведението на еднакви прости множители и записваме отговора;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4
Отговор: GCD (28; 64) = 4
Можете да подредите местоположението на GCD по два начина: в колона (както беше направено по-горе) или „в ред“.
Първият начин за писане на GCD
Намерете GCD 48 и 36.
GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
Вторият начин за писане на GCD
Сега нека напишем решението за търсене на GCD на ред. Намерете GCD 10 и 15.
На нашия информационен сайт можете също да намерите най-големия общ делител онлайн, като използвате помощната програма, за да проверите изчисленията си.
Намиране на най-малкото общо кратно, методи, примери за намиране на LCM.
Представеният по-долу материал е логично продължение на теорията от статията под заглавие LCM – Най-малко общо множество, определение, примери, връзка между LCM и GCD. Тук ще говорим за намиране на най-малкото общо кратно (LCM), И Специално вниманиеНека да разгледаме примерите. Нека първо покажем как LCM на две числа се изчислява по отношение на GCD на тези числа. След това помислете за намиране на най-малкото общо кратно чрез разлагане на числата в прости фактори. След това ще се съсредоточим върху намирането на LCM от три и Повече ▼числа, а също така обърнете внимание на изчисляването на LCM на отрицателни числа.
Навигация в страницата.
Изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM) чрез gcd
Един от начините за намиране на най-малкото общо множество се основава на връзката между LCM и GCD. Съществуващата връзка между LCM и GCD ви позволява да изчислите най-малкото общо кратно на две положителни числа чрез известния най-голям общ делител. Съответната формула има формата LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Помислете за примери за намиране на LCM с помощта на горната формула.
Намерете най-малкото общо кратно на двете числа 126 и 70.
В този пример a=126, b=70. Нека използваме връзката на LCM с GCD, която се изразява с формулата LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Тоест, първо трябва да намерим най-големия общ делител на числата 70 и 126, след което можем да изчислим LCM на тези числа според написаната формула.
Намерете gcd(126, 70) с помощта на алгоритъма на Евклид: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , следователно gcd(126, 70)=14 .
Сега намираме необходимото най-малко общо кратно: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .
Какво е LCM(68, 34)?
Тъй като 68 се дели равномерно на 34, тогава gcd(68, 34)=34. Сега изчисляваме най-малкото общо кратно: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .
Обърнете внимание, че предишният пример отговаря на следното правило за намиране на LCM за положителни цели числа a и b: ако числото a се дели на b , тогава най-малкото общо кратно на тези числа е a .
Намиране на LCM чрез разлагане на числата в прости фактори
Друг начин за намиране на най-малкото общо кратно се основава на разлагането на числата в прости фактори. Ако направим произведение на всички прости множители на тези числа, след което изключим от това произведение всички общи прости множители, които присъстват в разложенията на тези числа, тогава полученият продукт ще бъде равен на най-малкото общо кратно на тези числа.
Обявеното правило за намиране на LCM следва от равенството LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Наистина, произведението на числата a и b е равно на произведението на всички фактори, участващи в разширенията на числата a и b. От своя страна gcd(a, b) е равно на произведението на всички прости множители, които присъстват едновременно в разложенията на числата a и b (което е описано в раздела за намиране на gcd с помощта на разлагането на числата в прости фактори ).
Да вземем пример. Нека знаем, че 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . Съставете произведението на всички фактори на тези разложения: 2 3 3 5 5 5 7 . Сега изключваме от този продукт всички фактори, които присъстват както в разширяването на числото 75, така и в разширяването на числото 210 (такива фактори са 3 и 5), тогава продуктът ще приеме формата 2 3 5 5 7 . Стойността на това произведение е равна на най-малкото общо кратно на 75 и 210 , тоест LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .
След като разложите числата 441 и 700 в прости множители, намерете най-малкото общо кратно на тези числа.
Нека да разложим числата 441 и 700 на прости множители: 
Получаваме 441=3 3 7 7 и 700=2 2 5 5 7 .
Сега нека направим произведение на всички фактори, участващи в разширенията на тези числа: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Нека изключим от това произведение всички фактори, които присъстват едновременно в двете разширения (има само един такъв фактор - това е числото 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Така че LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .
LCM(441, 700)= 44 100 .
Правилото за намиране на LCM с помощта на разлагането на числата в прости множители може да бъде формулирано малко по-различно. Ако добавим липсващите фактори от разширението на числото b към факторите от разширението на числото a, тогава стойността на получения продукт ще бъде равна на най-малкото общо кратно на числата a и b.
Например, нека вземем всички едни и същи числа 75 и 210, техните разложения в прости множители са както следва: 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . Към факторите 3, 5 и 5 от разлагането на числото 75 добавяме липсващите фактори 2 и 7 от разлагането на числото 210, получаваме произведението 2 3 5 5 7 , чиято стойност е LCM(75 , 210).
Намерете най-малкото общо кратно на 84 и 648.
Първо получаваме разлагането на числата 84 и 648 на прости множители. Те изглеждат като 84=2 2 3 7 и 648=2 2 2 3 3 3 3 . Към факторите 2 , 2 , 3 и 7 от разлагането на числото 84 добавяме липсващите фактори 2 , 3 , 3 и 3 от разлагането на числото 648 , получаваме произведението 2 2 2 3 3 3 3 7 , което е равно на 4 536 . По този начин желаното най-малко общо кратно на числата 84 и 648 е 4,536.
Намиране на LCM от три или повече числа
Най-малкото общо кратно на три или повече числа може да се намери чрез последователно намиране на LCM на две числа. Припомнете си съответната теорема, която дава начин за намиране на LCM от три или повече числа.
Нека са дадени положителни цели числа a 1 , a 2 , …, ak, най-малкото общо кратно mk от тези числа се намира в последователното изчисление m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , mk =LCM(mk−1 , ak) .
Помислете за приложението на тази теорема на примера за намиране на най-малкото общо кратно на четири числа.
Намерете LCM на четирите числа 140 , 9 , 54 и 250 .
Първо намираме m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . За да направим това, използвайки евклидовия алгоритъм, определяме gcd(140, 9) , имаме 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , следователно, gcd( 140, 9)=1, откъдето LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Тоест m 2 =1 260 .
Сега намираме m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . Нека го изчислим чрез gcd(1 260, 54) , което също се определя от алгоритъма на Евклид: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Тогава gcd(1 260, 54)=18, откъдето LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Тоест m 3 = 3 780.
Остава да се намери m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) . За да направим това, намираме GCD(3 780, 250) с помощта на алгоритъма на Евклид: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Следователно, gcd(3 780, 250)=10, следователно LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Тоест m 4 = 94 500.
Така най-малкото общо кратно на първоначалните четири числа е 94 500.
LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .
В много случаи най-малкото общо кратно на три или повече числа удобно се намира с помощта на прости фактори на дадени числа. В този случай трябва да се спазва следното правило. Най-малкото общо кратно на няколко числа е равно на произведението, което се съставя по следния начин: липсващите фактори от разлагането на второто число се добавят към всички фактори от разширението на първото число, липсващите фактори от разширението на третото число се добавя към получените фактори и т.н.
Помислете за пример за намиране на най-малкото общо кратно с помощта на разлагането на числата на прости множители.
Намерете най-малкото общо кратно на пет числа 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Първо получаваме разлагане на тези числа на прости множители: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 е просто число, съвпада с разлагането му на прости множители) и 143=11 13 .
За да намерите LCM на тези числа, към факторите на първото число 84 (те са 2 , 2 , 3 и 7) трябва да добавите липсващите множители от разширението на второто число 6 . Разширението на числото 6 не съдържа липсващи фактори, тъй като и 2, и 3 вече присъстват в разширението на първото число 84 . Освен факторите 2, 2, 3 и 7 добавяме липсващите множители 2 и 2 от разширението на третото число 48, получаваме набор от фактори 2, 2, 2, 2, 3 и 7. Няма нужда да добавяте фактори към този набор в следващата стъпка, тъй като 7 вече се съдържа в него. Накрая към факторите 2, 2, 2, 2, 3 и 7 добавяме липсващите множители 11 и 13 от разширението на числото 143. Получаваме произведението 2 2 2 2 3 7 11 13 , което е равно на 48 048 .
Следователно LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .
LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48048 .
Намиране на най-малкото общо множество отрицателни числа
Понякога има задачи, в които трябва да намерите най-малкото общо кратно на числата, сред които едно, няколко или всички числа са отрицателни. В тези случаи всички отрицателни числа трябва да бъдат заменени с техните противоположни числа, след което трябва да се намери LCM на положителните числа. Това е начинът за намиране на LCM на отрицателни числа. Например LCM(54, −34)=LCM(54, 34) и LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) .
Можем да направим това, защото множеството кратни на a е същото като множеството кратни на −a (a и −a са противоположни числа). Наистина, нека b е някакво кратно на a , тогава b се дели на a и концепцията за делимост потвърждава съществуването на такова цяло число q, че b=a q . Но равенството b=(−a)·(−q) също ще бъде вярно, което по силата на същата концепция за делимост означава, че b се дели на −a , тоест b е кратно на −a . Обратното твърдение също е вярно: ако b е кратно на −a, тогава b също е кратно на a.
Намерете най-малкото общо кратно на отрицателните числа −145 и −45.
Нека заменим отрицателните числа −145 и −45 с техните противоположни числа 145 и 45 . Имаме LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . След като определихме gcd(145, 45)=5 (например, използвайки алгоритъма на Евклид), изчисляваме LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Така най-малкото общо кратно на отрицателните цели числа −145 и −45 е 1305.
www.cleverstudents.ru
Продължаваме да изучаваме разделение. В този урок ще разгледаме понятия като GCDИ НОК.
GCDе най-големият общ делител.
НОКе най-малкото общо кратно.
Темата е доста скучна, но е необходимо да се разбере. Без да разбирате тази тема, няма да можете да работите ефективно с дроби, които са истинска пречка в математиката.
Най-голям общ делител
Определение. Най-голям общ делител на числата аИ б аИ бразделено без остатък.
За да разберем добре тази дефиниция, заместваме вместо променливи аИ бпроизволни две числа, например, вместо променлива азаместете числото 12 и вместо променливата бномер 9. Сега нека се опитаме да прочетем това определение:
Най-голям общ делител на числата 12 И 9 е най-голямото число, с което 12 И 9 разделено без остатък.
От определението става ясно, че говорим за общ делител на числата 12 и 9, като този делител е най-големият от всички съществуващи делители. Този най-голям общ делител (gcd) трябва да бъде намерен.
За намиране на най-големия общ делител на две числа се използват три метода. Първият метод отнема доста време, но ви позволява да разберете добре същността на темата и да усетите целия й смисъл.
Вторият и третият метод са доста прости и позволяват бързото намиране на GCD. Ще разгледаме и трите метода. А какво да приложите на практика – вие избирате.
Първият начин е да намерите всички възможни делители на две числа и да изберете най-голямото от тях. Нека разгледаме този метод в следния пример: намерете най-големия общ делител на числата 12 и 9.
Първо намираме всички възможни делители на числото 12. За да направим това, разделяме 12 на всички делители в диапазона от 1 до 12. Ако делителят ни позволява да разделим 12 без остатък, тогава ще го маркираме в синьо и направи подходящо обяснение в скоби.
12: 1 = 12
(12 разделено на 1 без остатък, така че 1 е делител на 12)
12: 2 = 6
(12 разделено на 2 без остатък, така че 2 е делител на 12)
12: 3 = 4
(12 разделено на 3 без остатък, така че 3 е делител на 12)
12: 4 = 3
(12 разделено на 4 без остатък, така че 4 е делител на 12)
12:5 = 2 (2 останали)
(12 не се дели на 5 без остатък, така че 5 не е делител на 12)
12: 6 = 2
(12 разделено на 6 без остатък, така че 6 е делител на 12)
12: 7 = 1 (5 останали)
(12 не се дели на 7 без остатък, така че 7 не е делител на 12)
12: 8 = 1 (4 останали)
(12 не се дели на 8 без остатък, така че 8 не е делител на 12)
12:9 = 1 (остават 3)
(12 не се дели на 9 без остатък, така че 9 не е делител на 12)
12: 10 = 1 (2 останали)
(12 не се дели на 10 без остатък, така че 10 не е делител на 12)
12:11 = 1 (1 останал)
(12 не се дели на 11 без остатък, така че 11 не е делител на 12)
12: 12 = 1
(12 разделено на 12 без остатък, така че 12 е делител на 12)
Сега нека намерим делителите на числото 9. За да направите това, проверете всички делители от 1 до 9
9: 1 = 9
(9 разделено на 1 без остатък, така че 1 е делител на 9)
9: 2 = 4 (1 останал)
(9 не се дели на 2 без остатък, така че 2 не е делител на 9)
9: 3 = 3
(9 разделено на 3 без остатък, така че 3 е делител на 9)
9: 4 = 2 (1 останал)
(9 не се дели на 4 без остатък, така че 4 не е делител на 9)
9:5 = 1 (4 останали)
(9 не се дели на 5 без остатък, така че 5 не е делител на 9)
9: 6 = 1 (3 останали)
(9 не се дели на 6 без остатък, така че 6 не е делител на 9)
9:7 = 1 (2 останали)
(9 не се дели на 7 без остатък, така че 7 не е делител на 9)
9:8 = 1 (1 останал)
(9 не се дели на 8 без остатък, така че 8 не е делител на 9)
9: 9 = 1
(9 разделено на 9 без остатък, така че 9 е делител на 9)
Сега запишете делителите на двете числа. Осветените в синьо числа са делителите. Нека ги изпишем:
След като напишете делителите, можете веднага да определите кой е най-голям и най-често срещан.
По дефиниция най-големият общ делител на 12 и 9 е числото, на което 12 и 9 се делят равномерно. Най-големият и общ делител на числата 12 и 9 е числото 3
И числото 12, и числото 9 се делят на 3 без остатък:
Така че gcd (12 и 9) = 3
Вторият начин за намиране на GCD
Сега помислете за втория начин за намиране на най-големия общ делител. същност този методе да разбиеш двете числа на прости множители и да умножиш общите.
Пример 1. Намерете GCD на числа 24 и 18
Първо, нека разложим двете числа на прости фактори:
Сега умножаваме общите им фактори. За да не се объркате, общите фактори могат да бъдат подчертани.
Разглеждаме разлагането на числото 24. Първият му фактор е 2. Търсим същия фактор в разлагането на числото 18 и виждаме, че той също е там. Подчертаваме и двете две:
Отново разглеждаме разлагането на числото 24. Вторият му фактор също е 2. Търсим същия фактор при разлагането на числото 18 и виждаме, че го няма за втори път. Тогава не подчертаваме нищо.
Следващите две в разширението на числото 24 също липсват в разширението на числото 18.
Преминаваме към последния множител при разлагането на числото 24. Това е факторът 3. Търсим същия фактор при разлагането на числото 18 и виждаме, че също го има. Подчертаваме и двете тройки:
И така, общите фактори на числата 24 и 18 са факторите 2 и 3. За да получите GCD, тези фактори трябва да бъдат умножени:
Така че gcd (24 и 18) = 6
Третият начин за намиране на GCD
Сега помислете за третия начин за намиране на най-големия общ делител. Същността на този метод се състои във факта, че числата, които трябва да се търсят за най-голям общ делител, се разлагат на прости множители. След това от разлагането на първото число се изтриват фактори, които не са включени в разлагането на второто число. Останалите числа в първото разширение се умножават и се получава GCD.
Например, нека намерим GCD за числата 28 и 16 по този начин. Първо, разлагаме тези числа на прости множители:
Имаме две разширения: и
Сега, от разширяването на първото число, изтриваме факторите, които не са включени в разширението на второто число. Разширението на второто число не включва седем. Ще го изтрием от първото разширение:
Сега умножаваме останалите фактори и получаваме GCD:
Числото 4 е най-големият общ делител на числата 28 и 16. И двете от тези числа се делят на 4 без остатък:
Пример 2Намерете GCD на числа 100 и 40
Разделяне на числото 100
Разделяне на числото 40
Имаме две разширения:
Сега, от разширяването на първото число, изтриваме факторите, които не са включени в разширението на второто число. Разширението на второто число не включва една петица (има само една петица). Изтриваме го от първото разлагане
Умножете останалите числа:
Получихме отговора 20. Значи числото 20 е най-големият общ делител на числата 100 и 40. Тези две числа се делят на 20 без остатък:
GCD (100 и 40) = 20.
Пример 3Намерете gcd на числата 72 и 128
Разчитане на числото 72
Разчитане на числото 128
2×2×2×2×2×2×2
Сега, от разширяването на първото число, изтриваме факторите, които не са включени в разширението на второто число. Разширението на второто число не включва две тройки (въобще няма такива). Изтриваме ги от първото разширение:
Получихме отговора 8. Значи числото 8 е най-големият общ делител на числата 72 и 128. Тези две числа се делят на 8 без остатък:
GCD (72 и 128) = 8
Намиране на GCD за множество числа
Най-големият общ делител може да се намери за няколко числа, а не само за две. За това числата, които трябва да се намерят за най-големия общ делител, се разлагат на прости множители, след което се намира произведението на общите прости множители на тези числа.
Например, нека намерим GCD за числата 18, 24 и 36
Разлагане на числото 18
Разлагане на числото 24
Разлагане на числото 36
Имаме три разширения:
Сега избираме и подчертаваме общите фактори в тези числа. Общите фактори трябва да бъдат включени и в трите числа:
Виждаме, че общите фактори за числата 18, 24 и 36 са фактори 2 и 3. Като умножим тези фактори, получаваме GCD, който търсим:
Получихме отговора 6. Значи числото 6 е най-големият общ делител на числата 18, 24 и 36. Тези три числа се делят на 6 без остатък:
GCD (18, 24 и 36) = 6
Пример 2Намерете gcd за числа 12, 24, 36 и 42
Нека разложим на множители всяко число. След това намираме произведението на общите множители на тези числа.
Разлагане на числото 12
Разлагане на числото 42
Имаме четири разширения:
Сега избираме и подчертаваме общите фактори в тези числа. Общите фактори трябва да бъдат включени във всичките четири числа:
Виждаме, че общите множители за числата 12, 24, 36 и 42 са факторите 2 и 3. Като умножим тези фактори, получаваме GCD, който търсим:
Получихме отговора 6. Значи числото 6 е най-големият общ делител на числата 12, 24, 36 и 42. Тези числа се делят на 6 без остатък:
gcd(12, 24, 36 и 42) = 6
От предишния урок знаем, че ако някое число е разделено на друго без остатък, то се нарича кратно на това число.
Оказва се, че кратното може да бъде общо за няколко числа. И сега ще се интересуваме от кратно на две числа, докато то трябва да е възможно най-малко.
Определение. Най-малко общо кратно (LCM) на числа аИ б- аИ б аи номер б.
Определението съдържа две променливи аИ б. Нека заменим произволни две числа за тези променливи. Например, вместо променлива азаместете числото 9 и вместо променливата бнека заменим числото 12. Сега нека се опитаме да прочетем определението:
Най-малко общо кратно (LCM) на числа 9 И 12 - това най-малкото число, което е кратно 9 И 12 . С други думи, това е толкова малко число, което се дели без остатък на числото 9 и на номера 12 .
От дефиницията става ясно, че LCM е най-малкото число, което се дели без остатък на 9 и 12. Това LCM трябва да бъде намерено.
Има два начина за намиране на най-малкото общо кратно (LCM). Първият начин е, че можете да запишете първите кратни на две числа и след това да изберете измежду тези кратни число, което ще бъде общо както за числата, така и за малките. Нека приложим този метод.
Първо, нека намерим първите кратни за числото 9. За да намерите кратните за 9, трябва да умножите тази деветка последователно по числата от 1 до 9. Отговорите, които ще получите, ще бъдат кратни на числото 9. Така че , да започваме. Множествата ще бъдат маркирани в червено:
Сега намираме кратни за числото 12. За да направите това, умножаваме 12 по всички числа от 1 до 12 на свой ред.
За да разберете как да изчислите LCM, първо трябва да определите значението на термина "множество".
Кратното на A е естествено число, което се дели на A без остатък. По този начин 15, 20, 25 и т.н. могат да се считат за кратни на 5.
Може да има ограничен брой делители на определено число, но има безкраен брой кратни.
Общото кратно на естествените числа е число, което се дели на тях без остатък.
Как да намерим най-малкото общо кратно на числата
Най-малкото общо кратно (LCM) на числа (две, три или повече) е най-малкото естествено число, което се дели равномерно на всички тези числа.
За да намерите NOC, можете да използвате няколко метода.
За малки числа е удобно да се изпишат на ред всички кратни на тези числа, докато се намери общо сред тях. Множествата означават в записа Главна букваДА СЕ.
Например, кратни на 4 могат да се запишат така:
K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K(6) = (12, 18, 24, ...)
И така, можете да видите, че най-малкото общо кратно на числата 4 и 6 е числото 24. Това вписване се извършва по следния начин:
LCM(4, 6) = 24
Ако числата са големи, намерете общото кратно на три или повече числа, тогава е по-добре да използвате друг начин за изчисляване на LCM.
За да се изпълни задачата, е необходимо да се разложат предложените числа на прости множители.
Първо трябва да напишете разширението на най-голямото от числата в ред, а под него - останалите.
При разширяването на всяко число може да има различно количествомножители.
Например, нека разложим числата 50 и 20 на прости фактори.
При разгръщането на по-малкото число трябва да се подчертаят факторите, които липсват при разширението на първото най-голямо число, и след това да се добавят към него. В представения пример липсва двойка.
Сега можем да изчислим най-малкото общо кратно на 20 и 50.
LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
И така, продуктът на основните фактори Повече ▼и коефициентите на второто число, които не са включени в разширението на по-голямото, ще бъдат най-малкото общо кратно.
За да се намери LCM от три или повече числа, всички те трябва да бъдат разложени на прости множители, както в предишния случай.
Като пример можете да намерите най-малкото общо кратно на числата 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Така че само две двойки от разлагането на шестнадесет (едното е в разлагането на двадесет и четири) не са влезли в разлагането на по-голямо число.
По този начин те трябва да се добавят към разлагането на по-голямо число.
LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Има специални случаи на определяне на най-малкото общо кратно. Така че, ако едно от числата може да бъде разделено без остатък на друго, тогава по-голямото от тези числа ще бъде най-малкото общо кратно.
Например, NOC от дванадесет и двадесет и четири биха били двадесет и четири.
Ако е необходимо да се намери най-малкото общо кратно на взаимно прости числа, които нямат еднакви делители, тогава тяхното LCM ще бъде равно на тяхното произведение.
Например LCM(10, 11) = 110.
Зареждане...