Последния път научихме как да събираме и изваждаме дроби (вижте урока „Събиране и изваждане на дроби“). Най-трудният момент в тези действия беше намаляването на дробите до общ знаменател.
Сега е време да се занимаваме с умножение и деление. Добрата новина е, че тези операции са дори по-прости от събирането и изваждането. Първо, нека разгледаме най-простия случай, когато има две положителни дроби без отделена цяла част.
За да умножите две дроби, трябва да умножите техните числители и знаменатели поотделно. Първото число ще бъде числителят на новата дроб, а второто ще бъде знаменателят.
За да разделите две дроби, трябва да умножите първата дроб по „обърнатата“ втора дроб.
Обозначаване:
От определението следва, че деленето на дроби се свежда до умножение. За да „обърнете“ дроб, просто разменете числителя и знаменателя. Затова през целия урок ще разглеждаме основно умножението.
В резултат на умножението може да възникне (и често възниква) редуцируема дроб - тя, разбира се, трябва да бъде намалена. Ако след всички съкращения дробта се окаже неправилна, цялата част трябва да бъде маркирана. Но това, което определено няма да се случи с умножението, е редукция до общ знаменател: без кръстосани методи, най-големи множители и най-малко общи кратни.
По дефиниция имаме:
Умножение на дроби с цели части и отрицателни дроби
Ако дробите съдържат цяло число, те трябва да бъдат преобразувани в неправилни - и едва след това да се умножат според схемите, описани по-горе.
Ако има минус в числителя на дроб, в знаменателя или пред него, той може да бъде изваден от умножението или напълно премахнат съгласно следните правила:
- Плюс с минус дава минус;
- Две отрицания правят утвърдително.
Досега тези правила се срещаха само при събиране и изваждане на отрицателни дроби, когато беше необходимо да се отървем от цялата част. За една работа те могат да бъдат обобщени, за да „изгорят“ няколко недостатъка наведнъж:
- Зачеркваме негативите по двойки, докато изчезнат напълно. В краен случай може да оцелее един минус - този, за който нямаше половинка;
- Ако няма останали минуси, операцията е завършена - можете да започнете да умножавате. Ако последният минус не е зачеркнат, защото за него няма двойка, го извеждаме извън границите на умножението. Резултатът е отрицателна дроб.
Задача. Намерете значението на израза:
Преобразуваме всички дроби в неправилни и след това премахваме минусите от умножението. Умножаваме останалото според обичайните правила. Получаваме:
Нека ви напомня още веднъж, че минусът, който се появява пред дроб с подчертана цяла част, се отнася именно за цялата дроб, а не само за цялата й част (това се отнася за последните два примера).
Също така имайте предвид отрицателни числа: При умножение се ограждат в скоби. Това се прави, за да се отделят минусите от знаците за умножение и да се направи цялата нотация по-точна.
Намаляване на дроби в движение
Умножението е много трудоемка операция. Числата тук се оказват доста големи и за да опростите проблема, можете да опитате да намалите фракцията допълнително преди умножение. Наистина, по същество числителите и знаменателите на дробите са обикновени множители и следователно могат да бъдат намалени, като се използва основното свойство на дроб. Разгледайте примерите:
Задача. Намерете значението на израза:
По дефиниция имаме:
Във всички примери числата, които са били намалени и това, което е останало от тях, са маркирани в червено.
Моля, обърнете внимание: в първия случай множителите бяха напълно намалени. На тяхно място остават единици, които най-общо казано не е необходимо да се изписват. Във втория пример не беше възможно да се постигне пълно намаление, но общият размер на изчисленията все пак намаля.
Никога обаче не използвайте тази техника, когато събирате и изваждате дроби! Да, понякога има подобни числа, които просто искате да намалите. Ето вижте:
Не можете да направите това!
Грешката възниква, защото при събиране числителят на дроб произвежда сума, а не произведение на числа. Следователно е невъзможно да се приложи основното свойство на дроб, тъй като това свойство се занимава конкретно с умножението на числа.
Просто няма други причини за намаляване на дробите, така че правилно решениепредишната задача изглежда така:
Правилно решение:
Както можете да видите, правилният отговор се оказа не толкова красив. Като цяло, бъдете внимателни.
Можете да правите всичко с дроби, включително деление. Тази статия показва разделянето на обикновени дроби. Ще бъдат дадени определения и ще бъдат обсъдени примери. Нека се спрем подробно на разделянето на дроби на естествени числа и обратно. Разделянето ще бъде разгледано обикновена дробдо смесено число.
Деление на дроби
Делението е обратното на умножението. При деление неизвестният множител се намира с известното произведение на друг множител, като даденото му значение се запазва с обикновени дроби.
Ако е необходимо да разделите обикновена дроб a b на c d, тогава за да определите такова число, трябва да умножите по делителя c d, това в крайна сметка ще даде дивидент a b. Нека вземем число и го запишем a b · d c, където d c е обратното на c d числото. Равенствата могат да бъдат написани, като се използват свойствата на умножението, а именно: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, където изразът a b · d c е частното от деленето на a b на c d.
От тук получаваме и формулираме правилото за деление на обикновени дроби:
Определение 1
За да разделите обикновена дроб a b на c d, трябва да умножите дивидента по реципрочната стойност на делителя.
Нека запишем правилото под формата на израз: a b: c d = a b · d c
Правилата за деление се свеждат до умножение. За да се придържате към него, трябва да имате добро разбиране за умножаване на дроби.
Нека да преминем към разглеждане на разделянето на обикновени дроби.
Пример 1
Разделете 9 7 на 5 3. Запишете резултата като дроб.
Решение
Числото 5 3 е реципрочната дроб 3 5. Необходимо е да се използва правилото за разделяне на обикновени дроби. Записваме този израз по следния начин: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.
Отговор: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Когато редуцирате дроби, отделете цялата част, ако числителят е по-голям от знаменателя.
Пример 2
Разделете 8 15: 24 65. Запишете отговора като дроб.
Решение
За да решите, трябва да преминете от деление към умножение. Нека го запишем в следния вид: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Необходимо е да се направи намаление и това се прави по следния начин: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Изберете цялата част и получете 13 9 = 1 4 9.
Отговор: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Деление на извънредна дроб на естествено число
Използваме правилото за деление на дроб на естествено число: за да разделите a b на естествено число n, трябва само да умножите знаменателя по n. От тук получаваме израза: a b: n = a b · n.
Правилото за деление е следствие от правилото за умножение. Следователно, представянето на естествено число като дроб ще даде равенство от този тип: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.
Помислете за това деление на дроб на число.
Пример 3
Разделете дробта 16 45 на числото 12.
Решение
Нека приложим правилото за деление на дроб на число. Получаваме израз от формата 16 45: 12 = 16 45 · 12.
Нека намалим дробта. Получаваме 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.
Отговор: 16 45: 12 = 4 135 .
Деление на естествено число на дроб
Правилото за разделяне е подобно Оправилото за деление на естествено число на обикновена дроб: за да се раздели естествено число n на обикновена дроб a b, е необходимо числото n да се умножи по реципрочната стойност на дробта a b.
Въз основа на правилото имаме n: a b = n · b a и благодарение на правилото за умножаване на естествено число по обикновена дроб, получаваме нашия израз във формата n: a b = n · b a. Необходимо е да разгледаме това разделение с пример.
Пример 4
Разделете 25 на 15 28.
Решение
Трябва да преминем от деление към умножение. Нека го напишем под формата на израза 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Нека съкратим дробта и получим резултата под формата на дробта 46 2 3.
Отговор: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Деление на дроб на смесено число
Когато разделяте обикновена дроб на смесено число, можете лесно да започнете да разделяте обикновени дроби. Трябва да преобразувате смесено число в неправилна дроб.
Пример 5
Разделете дробта 35 16 на 3 1 8.
Решение
Тъй като 3 1 8 е смесено число, нека го представим като неправилна дроб. Тогава получаваме 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Сега нека разделим дроби. Получаваме 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Отговор: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Делението на смесено число се извършва по същия начин като обикновените числа.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Умножение и деление на дроби.
внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)
Тази операция е много по-хубава от събиране-изваждане! Защото е по-лесно. Като напомняне, за да умножите дроб по дроб, трябва да умножите числителите (това ще бъде числителят на резултата) и знаменателите (това ще бъде знаменателят). Това е:
Например:
Всичко е изключително просто. И моля, не търсете общ знаменател! Тук няма нужда от него...
За да разделите дроб на дроб, трябва да обърнете второ(това е важно!) дроб и ги умножете, т.е.:
Например:
Ако срещнете умножение или деление с цели числа и дроби, всичко е наред. Както при събирането, правим дроб от цяло число с единица в знаменателя - и давай! Например:
В гимназията често трябва да се справяте с триетажни (или дори четириетажни!) фракции. Например:
Как мога да направя тази дроб да изглежда прилична? Да, много просто! Използвайте разделяне на две точки:
Но не забравяйте за реда на разделяне! За разлика от умножението, тук това е много важно! Разбира се, няма да бъркаме 4:2 или 2:4. Но е лесно да се направи грешка в триетажна част. Моля, обърнете внимание например:
В първия случай (израз вляво):
Във втория (израз вдясно):
Усещате ли разликата? 4 и 1/9!
Какво определя реда на разделяне? Или със скоби, или (както тук) с дължината на хоризонталните линии. Развийте окото си. И ако няма скоби или тирета, като:
след това разделете и умножете по ред, отляво надясно!
И също много проста и важна техника. В действия със степени ще ви бъде толкова полезно! Нека разделим едно на произволна дроб, например на 13/15:
Кадърът се обърна! И това винаги се случва. Когато разделите 1 на която и да е дроб, резултатът е същата дроб, само обърната.
Това е всичко за операциите с дроби. Нещото е доста просто, но дава повече от достатъчно грешки. Забележка практически съвети, и ще има по-малко от тях (грешки)!
Практически съвети:
1. Най-важното при работа с дробни изрази е точността и вниманието! Не е общи думи, не са добри пожелания! Това е крайна необходимост! Направете всички изчисления на Единния държавен изпит като пълноценна задача, фокусирана и ясна. По-добре е да напишете два допълнителни реда в черновата си, отколкото да се объркате, когато правите умствени изчисления.
2. В примерите със различни видовефракции - отидете на обикновени дроби.
3. Намаляваме всички дроби, докато спрат.
4. Редуцираме многостепенните дробни изрази до обикновени, като използваме деление през две точки (следваме реда на разделяне!).
5. Разделете единица на дроб наум, като просто обърнете дробта.
Ето задачите, които определено трябва да изпълните. След всички задачи се дават отговори. Използвайте материалите по тази тема и практически съвети. Преценете колко примера сте успели да решите правилно. Първият път! Без калкулатор! И си направи правилните изводи...
Запомнете – верният отговор е получено от втори (особено трети) път не се брои!Такъв е суровият живот.
Така, решаване в изпитен режим ! Това между другото вече е подготовка за Единния държавен изпит. Решаваме примера, проверяваме го, решаваме следващия. Решихме всичко - проверихме отново от първия до последния. Но само Тогававижте отговорите.
Изчисли:
Реши ли?
Търсим отговори, които отговарят на вашите. Нарочно ги записах безредно, далеч от изкушението, така да се каже... Ето ги и отговорите, написани с точка и запетая.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Сега правим изводи. Ако всичко се получи, радвам се за вас! Основните изчисления с дроби не са ваш проблем! Можете да правите по-сериозни неща. Ако не...
Така че имате един от двата проблема. Или и двете наведнъж.) Липса на знания и (или) невнимание. Но това разрешими проблеми.
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и производни.
§ 87. Събиране на дроби.
Събирането на дроби има много прилики със събирането на цели числа. Събирането на дроби е действие, състоящо се в това, че няколко дадени числа (членове) се комбинират в едно число (сума), съдържащо всички единици и дроби на единиците на термините.
Ще разгледаме последователно три случая:
1. Събиране на дроби с същите знаменатели.
2. Събиране на дроби с различни знаменатели.
3. Събиране на смесени числа.
1. Събиране на дроби с еднакви знаменатели.
Помислете за пример: 1/5 + 2/5.
Нека вземем отсечката AB (фиг. 17), вземем я за една и я разделим на 5 равни части, тогава частта AC от тази отсечка ще бъде равна на 1/5 от отсечката AB, а частта от същата отсечка CD ще бъде равна на 2/5 AB.
От чертежа се вижда, че ако вземем отсечката AD, тя ще бъде равна на 3/5 AB; но отсечката AD е точно сумата от отсечките AC и CD. Така че можем да напишем:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Като се имат предвид тези членове и получената сума, виждаме, че числителят на сумата е получен чрез добавяне на числителите на членовете, а знаменателят остава непроменен.
От това получаваме следното правило: За да съберете дроби с еднакви знаменатели, трябва да съберете техните числители и да оставите същия знаменател.
Да разгледаме един пример:
2. Събиране на дроби с различни знаменатели.
Нека съберем дробите: 3 / 4 + 3 / 8 Първо те трябва да бъдат намалени до най-малкия общ знаменател:
Междинната връзка 6/8 + 3/8 не може да бъде написана; написахме го тук за яснота.
По този начин, за да добавите дроби с различни знаменатели, първо трябва да ги намалите до най-малкия общ знаменател, да добавите техните числители и да маркирате общия знаменател.
Нека разгледаме пример (ще напишем допълнителни множители над съответните дроби):
3. Събиране на смесени числа.
Нека съберем числата: 2 3/8 + 3 5/6.
Нека първо приведем дробните части на нашите числа към общ знаменател и ги пренапишем отново:
Сега добавяме последователно целите и дробните части:
§ 88. Изваждане на дроби.
Изваждането на дроби се дефинира по същия начин като изваждането на цели числа. Това е действие, с помощта на което по сбор от два члена и един от тях се намира друг член. Нека разгледаме последователно три случая:
1. Изваждане на дроби с еднакви знаменатели.
2. Изваждане на дроби с различни знаменатели.
3. Изваждане на смесени числа.
1. Изваждане на дроби с еднакви знаменатели.
Да разгледаме един пример:
13 / 15 - 4 / 15
Да вземем отсечката AB (фиг. 18), да я приемем за единица и да я разделим на 15 равни части; тогава част AC от този сегмент ще представлява 1/15 от AB, а част AD от същия сегмент ще съответства на 13/15 AB. Нека отделим друг сегмент ED равен на 4/15 AB.
Трябва да извадим дробта 4/15 от 13/15. На чертежа това означава, че сегмент ED трябва да се извади от сегмент AD. В резултат ще остане сегмент AE, който е 9/15 от сегмент AB. Така че можем да напишем:
Примерът, който направихме, показва, че числителят на разликата се получава чрез изваждане на числителите, но знаменателят остава същият.
Следователно, за да извадите дроби с еднакви знаменатели, трябва да извадите числителя на изважданото от числителя на умаляваното и да оставите същия знаменател.
2. Изваждане на дроби с различни знаменатели.
Пример. 3/4 - 5/8
Първо, нека намалим тези дроби до най-малкия общ знаменател:
Междинната връзка 6 / 8 - 5 / 8 е написана тук за яснота, но може да бъде пропусната по-късно.
По този начин, за да извадите дроб от дроб, първо трябва да ги намалите до най-малкия общ знаменател, след това да извадите числителя на умаляваното от числителя на умаляваното и да подпишете общия знаменател под тяхната разлика.
Да разгледаме един пример:
3. Изваждане на смесени числа.
Пример. 10 3/4 - 7 2/3.
Нека редуцираме дробните части на умаляваното и изваждаемото до най-малкия общ знаменател:
Извадихме цяло от цяло и дроб от дроб. Но има случаи, когато дробната част на субтрахенда е по-голяма от дробната част на умаляваното. В такива случаи трябва да вземете една единица от цялата част на съкратеното, да я разделите на онези части, в които е изразена дробната част, и да я добавите към дробната част на умаленото. И тогава изваждането ще се извърши по същия начин, както в предишния пример:
§ 89. Умножение на дроби.
Когато изучаваме умножението на дроби, ще разгледаме следните въпроси:
1. Умножение на дроб по цяло число.
2. Намиране на дроб от дадено число.
3. Умножение на цяло число с дроб.
4. Умножение на дроб по дроб.
5. Умножение на смесени числа.
6. Понятието лихва.
7. Намиране на процента на дадено число. Нека ги разгледаме последователно.
1. Умножение на дроб по цяло число.
Умножаването на дроб по цяло число има същото значение като умножаването на цяло число по цяло число. Да се умножи дроб (множително) по цяло число (фактор) означава да се създаде сума от еднакви членове, в която всеки член е равен на умноженото, а броят на членовете е равен на множителя.
Това означава, че ако трябва да умножите 1/9 по 7, тогава това може да се направи по следния начин:
Лесно получихме резултата, тъй като действието се сведе до събиране на дроби с еднакви знаменатели. следователно
Разглеждането на това действие показва, че умножаването на дроб по цяло число е еквивалентно на увеличаване на този дроб с толкова пъти, колкото е броят на единиците, съдържащи се в цялото число. И тъй като увеличаването на дроб се постига или чрез увеличаване на нейния числител
или чрез намаляване на знаменателя му 
, тогава можем или да умножим числителя по цяло число, или да разделим знаменателя на него, ако такова деление е възможно.
От тук получаваме правилото:
За да умножите дроб по цяло число, умножавате числителя по това цяло число и оставяте знаменателя същия или, ако е възможно, разделяте знаменателя на това число, оставяйки числителя непроменен.
При умножаване са възможни съкращения, например:
2. Намиране на дроб от дадено число.Има много задачи, в които трябва да намерите или изчислите част от дадено число. Разликата между тези задачи и другите е, че те дават броя на някои обекти или мерни единици и вие трябва да намерите част от това число, което също е посочено тук с определена дроб. За да улесним разбирането, първо ще дадем примери за такива проблеми и след това ще представим метод за тяхното решаване.
Задача 1.Имах 60 рубли; Похарчих 1/3 от тези пари за закупуване на книги. Колко струваха книгите?
Задача 2.Влакът трябва да измине разстояние между градовете A и B, равно на 300 km. Той вече е изминал 2/3 от това разстояние. Колко километра е това?
Задача 3.В селото има 400 къщи, 3/4 от тях са тухлени, останалите са дървени. Колко общо тухлени къщи?
Това са някои от многото проблеми, които срещаме, за да намерим част от дадено число. Те обикновено се наричат задачи за намиране на част от дадено число.
Решение на проблем 1.От 60 rub. Похарчих 1/3 за книги; Това означава, че за да намерите цената на книгите, трябва да разделите числото 60 на 3:
Решаване на проблем 2.Въпросът на проблема е, че трябва да намерите 2/3 от 300 км. Нека първо изчислим 1/3 от 300; това се постига чрез разделяне на 300 км на 3:
300: 3 = 100 (това е 1/3 от 300).
За да намерите две трети от 300, трябва да удвоите полученото частно, т.е. да умножите по 2:
100 x 2 = 200 (това е 2/3 от 300).
Решаване на проблем 3.Тук трябва да определите броя на тухлените къщи, които съставляват 3/4 от 400. Нека първо намерим 1/4 от 400,
400: 4 = 100 (това е 1/4 от 400).
За да се изчислят три четвърти от 400, полученото частно трябва да се утрои, т.е. да се умножи по 3:
100 x 3 = 300 (това е 3/4 от 400).
Въз основа на решението на тези проблеми можем да изведем следното правило:
За да намерите стойността на дроб от дадено число, трябва да разделите това число на знаменателя на дробта и да умножите полученото частно по неговия числител.
3. Умножение на цяло число с дроб.
По-рано (§ 26) беше установено, че умножението на цели числа трябва да се разбира като събиране на еднакви членове (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). В този параграф (точка 1) беше установено, че умножаването на дроб с цяло число означава намиране на сумата от еднакви членове, равни на тази дроб.
И в двата случая умножението се състоеше в намиране на сумата от еднакви членове.
Сега преминаваме към умножаване на цяло число по дроб. Тук ще срещнем например умножение: 9 2 / 3. Ясно е, че предишната дефиниция на умножението не се отнася за този случай. Това се вижда от факта, че не можем да заменим такова умножение със събиране на равни числа.
Поради това ще трябва да дадем нова дефиниция на умножението, т.е. с други думи да отговорим на въпроса какво трябва да се разбира под умножение с дроб, как трябва да се разбира това действие.
Значението на умножаването на цяло число по дроб е ясно от следната дефиниция: умножаването на цяло число (умножено) по дроб (умножено) означава намиране на тази част от умноженото.
А именно, умножаването на 9 по 2/3 означава намиране на 2/3 от девет единици. В предишния параграф такива проблеми бяха решени; така че е лесно да разберем, че ще завършим с 6.
Но сега възниква интересен и важен въпрос: защо са такива различни действиякак да намерим сумата равни числаи намирането на дроби от числа, в аритметиката се наричат една и съща дума „умножение“?
Това се случва, защото предишното действие (повтаряне на число с членове няколко пъти) и новото действие (намиране на част от число) дават отговори на еднородни въпроси. Това означава, че тук изхождаме от съображенията, че еднородни въпроси или задачи се решават чрез едно и също действие.
За да разберете това, помислете за следния проблем: „1 м плат струва 50 рубли. Колко ще струват 4 м такъв плат?
Този проблем се решава чрез умножаване на броя на рублите (50) по броя на метрите (4), т.е. 50 x 4 = 200 (рубли).
Да вземем същата задача, но в нея количеството плат ще бъде изразено като дроб: „1 м плат струва 50 рубли. Колко ще струват 3/4 м такъв плат?”
Този проблем също трябва да бъде решен чрез умножаване на броя на рублите (50) по броя на метрите (3/4).
Можете да промените числата в него още няколко пъти, без да променяте значението на задачата, например вземете 9/10 m или 2 3/10 m и т.н.
Тъй като тези задачи имат еднакво съдържание и се различават само по числата, ние наричаме действията, използвани при решаването им, с една и съща дума – умножение.
Как се умножава цяло число по дроб?
Нека вземем числата, срещнати в последния проблем:
Според дефиницията трябва да намерим 3/4 от 50. Нека първо намерим 1/4 от 50, а след това 3/4.
1/4 от 50 е 50/4;
3/4 от числото 50 е .
Следователно.
Нека разгледаме друг пример: 12 5 / 8 =?
1/8 от числото 12 е 12/8,
5/8 от числото 12 е .
следователно
От тук получаваме правилото:
За да умножите цяло число по дроб, трябва да умножите цялото число по числителя на дробта и да направите този продукт числител и да подпишете знаменателя на тази дроб като знаменател.
Нека напишем това правило с букви:
За да стане това правило напълно ясно, трябва да се помни, че една дроб може да се разглежда като частно. Ето защо е полезно да сравним намереното правило с правилото за умножение на число с частно, което беше изложено в § 38
Важно е да запомните, че преди да извършите умножение, трябва да направите (ако е възможно) намаления, Например:
4. Умножение на дроб по дроб.Умножаването на дроб по дроб има същото значение като умножаването на цяло число по дроб, т.е. когато умножавате дроб по дроб, трябва да намерите дробта, която е във фактора от първата дроб (множимото).
А именно, умножаването на 3/4 по 1/2 (половината) означава намиране на половината от 3/4.
Как се умножава дроб по дроб?
Да вземем пример: 3/4 умножено по 5/7. Това означава, че трябва да намерите 5/7 от 3/4. Нека първо намерим 1/7 от 3/4 и след това 5/7
1/7 от числото 3/4 ще бъде изразено, както следва:
5/7 числа 3/4 ще бъдат изразени както следва:
По този начин,
Друг пример: 5/8, умножено по 4/9.
1/9 от 5/8 е,
4/9 от числото 5/8 е .
По този начин, 
От тези примери може да се изведе следното правило:
За да умножите дроб по дроб, трябва да умножите числителя по числителя и знаменателя по знаменателя и да направите първия продукт числител, а втория продукт знаменател на продукта.
Това е правилото в общ изгледможе да се напише така:
При умножаване е необходимо да се правят (ако е възможно) съкращения. Нека да разгледаме примери:
5. Умножение на смесени числа.защото смесени числамогат лесно да бъдат заменени с неправилни дроби, това обстоятелство обикновено се използва при умножаване на смесени числа. Това означава, че в случаите, когато множителят, или множителят, или и двата фактора са изразени като смесени числа, те се заменят с неправилни дроби. Нека умножим например смесени числа: 2 1/2 и 3 1/5. Нека превърнем всяка от тях в неправилна дроб и след това да умножим получените дроби според правилото за умножение на дроб по дроб:
правило.За да умножите смесени числа, първо трябва да ги преобразувате в неправилни дроби и след това да ги умножите според правилото за умножение на дроби по дроби.
Забележка.Ако един от множителите е цяло число, тогава умножението може да се извърши въз основа на закона за разпределение, както следва:
6. Понятието лихва.При решаване на задачи и извършване на различни практически изчисления използваме всякакви дроби. Но трябва да се има предвид, че много количества позволяват не какви да е, а естествени деления за тях. Например, можете да вземете една стотна (1/100) от рубла, това ще бъде копейка, две стотни са 2 копейки, три стотни са 3 копейки. Можете да вземете 1/10 от рублата, това ще бъде "10 копейки или десет копейки. Можете да вземете четвърт рубла, т.е. 25 копейки, половин рубла, т.е. 50 копейки (петдесет копейки). Но те практически не го вземат, например 2/7 от рублата, защото рублата не се дели на седмини.
Единицата за тегло, т.е. килограмът, позволява предимно десетични деления, например 1/10 kg или 100 g. И такива части от килограма като 1/6, 1/11, 1/13 не са често срещани.
Като цяло нашите (метрични) мерки са десетични и позволяват десетични деления.
Все пак трябва да се отбележи, че е изключително полезно и удобно в голямо разнообразие от случаи да се използва един и същ (унифициран) метод за подразделяне на количествата. Дългогодишният опит показва, че такова добре обосновано разделение е "стотното". Нека разгледаме няколко примера, отнасящи се до най-различни области на човешката практика.
1. Цената на книгите е намаляла с 12/100 от предишната цена.
Пример. Предишната цена на книгата беше 10 рубли. Намаля с 1 рубла. 20 копейки
2. Спестовните банки изплащат на вложителите 2/100 от сумата, депозирана за спестявания през годината.
Пример. 500 рубли се депозират в касата, доходът от тази сума за годината е 10 рубли.
3. Броят на завършилите едно училище е 5/100 от общия брой на учениците.
ПРИМЕР В училището имаше само 1200 ученици, от които 60 завършиха.
Стотната част от числото се нарича процент.
Думата "процент" е заимствана от латински езики неговият корен "цент" означава сто. Заедно с предлога (pro centum) тази дума означава „за сто“. Значението на такъв израз следва от факта, че първоначално в древен Римлихвите са парите, които длъжникът плаща на заемодателя „за всеки сто“. Думата „цент“ се чува в такива познати думи: центнер (сто килограма), сантиметър (да речем сантиметър).
Например, вместо да кажем, че през последния месец заводът е произвел 1/100 от всички произведени от него продукти, които са били дефектни, ще кажем следното: през последния месец заводът е произвел един процент от дефектите. Вместо да кажем: заводът е произвел 4/100 продукта повече от установения план, ще кажем: заводът е надхвърлил плана с 4 процента.
Горните примери могат да бъдат изразени по различен начин:
1. Цената на книгите е намаляла с 12 процента от предходната цена.
2. Спестовните банки плащат на вложителите 2 процента годишно върху сумата, депозирана в спестяванията.
3. Броят на завършилите едно училище е 5 процента от всички ученици.
За съкращаване на буквата е обичайно да се пише символът % вместо думата „процент“.
Трябва обаче да запомните, че при изчисленията знакът % обикновено не се изписва; той може да бъде записан в формулировката на проблема и в крайния резултат. Когато извършвате изчисления, трябва да напишете дроб със знаменател 100 вместо цяло число с този символ.
Трябва да можете да замените цяло число с посочената икона с дроб със знаменател 100:
Обратно, трябва да свикнете да пишете цяло число с посочения символ вместо дроб със знаменател 100:
7. Намиране на процента на дадено число.
Задача 1.Училището получи 200 кубика. м дърва за огрев, като дървата за огрев от бреза са 30%. Колко брезови дърва имаше?
Значението на този проблем е, че брезовите дърва за огрев са само част от дървата за огрев, доставени на училището, и тази част се изразява в съотношение 30/100. Това означава, че имаме задача да намерим дроб от число. За да го решим, трябва да умножим 200 по 30/100 (задачите за намиране на част от число се решават чрез умножаване на числото по дробта.).
Това означава, че 30% от 200 е равно на 60.
Дробта 30/100, срещана в този проблем, може да бъде намалена с 10. Би било възможно да се извърши това намаление от самото начало; решението на проблема не би се променило.
Задача 2.В лагера имаше 300 деца различни възрасти. Децата на 11 години са 21%, децата на 12 години са 61% и накрая децата на 13 години са 18%. Колко деца от всяка възраст имаше в лагера?
В тази задача трябва да извършите три изчисления, т.е. последователно да намерите броя на децата на 11 години, след това на 12 години и накрая на 13 години.
Това означава, че тук ще трябва да намерите частта от числото три пъти. Хайде да го направим:
1) Колко 11-годишни деца имаше?
2) Колко 12-годишни деца имаше?
3) Колко 13-годишни деца имаше?
След решаване на задачата е полезно да съберете намерените числа; тяхната сума трябва да бъде 300:
63 + 183 + 54 = 300
Трябва също да се отбележи, че сумата от процентите, дадени в изложението на проблема, е 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Това предполага, че общ бройдецата в лагера са взети като 100%.
3 a d a h a 3.Работникът получаваше 1200 рубли на месец. От тях той харчи 65% за храна, 6% за апартаменти и отопление, 4% за газ, електричество и радио, 10% за културни нужди и 15% спестява. Колко пари са изразходвани за нуждите, посочени в задачата?
За да решиш тази задача, трябва да намериш дробта от 1200 5 пъти.
1) Колко пари са похарчени за храна? Задачата гласи, че този разход е 65% от общата печалба, т.е. 65/100 от числото 1200. Нека направим изчислението:
2) Колко пари платихте за апартамент с парно? Разсъждавайки подобно на предишното, стигаме до следното изчисление:
3) Колко пари платихте за газ, електричество и радио?
4) Колко пари са похарчени за културни нужди?
5) Колко пари е спестил работникът?
За да проверите, е полезно да съберете числата в тези 5 въпроса. Сумата трябва да бъде 1200 рубли. Всички печалби се приемат за 100%, което е лесно да се провери, като се съберат процентните числа, дадени в изложението на проблема.
Решихме три проблема. Въпреки факта, че тези задачи се занимават разни неща(доставка на дърва за училището, брой деца на различна възраст, разходи на работника), те бяха решени по същия начин. Това се случи, защото във всички задачи беше необходимо да се намерят няколко процента от дадените числа.
§ 90. Деление на дроби.
Докато изучаваме разделянето на дроби, ще разгледаме следните въпроси:
1. Разделяне на цяло число на цяло число.
2. Деление на дроб на цяло число
3. Деление на цяло число на дроб.
4. Деление на дроб с дроб.
5. Деление на смесени числа.
6. Намиране на число от дадената му дроб.
7. Намиране на число по неговия процент.
Нека ги разгледаме последователно.
1. Разделяне на цяло число на цяло число.
Както беше посочено в отдела за цели числа, деленето е действие, което се състои в това, че като се има предвид произведението на два фактора (дивидент) и един от тези фактори (делител), се намира друг фактор.
Разгледахме разделянето на цяло число на цяло число в раздела за цели числа. Там се натъкнахме на два случая на деление: деление без остатък или „изцяло“ (150: 10 = 15) и деление с остатък (100: 9 = 11 и 1 остатък). Следователно можем да кажем, че в областта на целите числа точното деление не винаги е възможно, тъй като дивидентът не винаги е произведение на делителя по цялото число. След като въведохме умножението с дроб, можем да считаме за възможен всеки случай на деление на цели числа (само делението на нула е изключено).
Например, разделянето на 7 на 12 означава намиране на число, чието произведение от 12 би било равно на 7. Такова число е дробта 7/12, защото 7/12 12 = 7. Друг пример: 14: 25 = 14 / 25, защото 14 / 25 25 = 14.
По този начин, за да разделите цяло число на цяло число, трябва да създадете дроб, чийто числител е равен на дивидента, а знаменателят е равен на делителя.
2. Деление на дроб на цяло число.
Разделете дробта 6/7 на 3. Съгласно определението за деление, дадено по-горе, тук имаме произведението (6/7) и един от множителите (3); изисква се да се намери втори множител, който, когато се умножи по 3, ще даде дадения продукт 6/7. Очевидно трябва да е три пъти по-малък от този продукт. Това означава, че поставената пред нас задача беше да намалим дробта 6/7 3 пъти.
Вече знаем, че намаляването на дроб може да стане или чрез намаляване на числителя, или чрез увеличаване на знаменателя. Следователно можете да напишете:
IN в такъв случайЧислителят на 6 се дели на 3, така че числителят трябва да бъде разделен наполовина.
Да вземем друг пример: 5/8 делено на 2. Тук числителят 5 не се дели на 2, което означава, че знаменателят ще трябва да се умножи по това число:
Въз основа на това може да се направи правило: За да разделите дроб на цяло число, трябва да разделите числителя на дробта на това цяло число.(ако е възможно), оставяйки същия знаменател или умножете знаменателя на дробта по това число, оставяйки същия числител.
3. Деление на цяло число на дроб.
Нека е необходимо да се раздели 5 на 1/2, т.е. да се намери число, което след умножаване по 1/2 ще даде продуктът 5. Очевидно това число трябва да е по-голямо от 5, тъй като 1/2 е правилна дроб , а при умножаване на число произведението на правилната дроб трябва да е по-малко от произведението, което се умножава. За да стане това по-ясно, нека напишем нашите действия, както следва: 5: 1 / 2 = х , което означава x 1/2 = 5.
Трябва да намерим такъв номер х , което, ако се умножи по 1/2, ще даде 5. Тъй като умножаването на определено число по 1/2 означава намиране на 1/2 от това число, тогава, следователно, 1/2 от неизвестното число х е равно на 5 и цялото число х два пъти повече, т.е. 5 2 = 10.
Така че 5: 1/2 = 5 2 = 10
Да проверим: 
Нека да разгледаме друг пример. Да кажем, че искате да разделите 6 на 2/3. Нека първо се опитаме да намерим желания резултат с помощта на чертежа (фиг. 19).
Фиг.19
Нека начертаем отсечка AB, равна на 6 единици, и разделим всяка единица на 3 равни части. Във всяка единица три трети (3/3) от целия сегмент AB е 6 пъти по-голям, т.е. д. 18/3. С помощта на малки скоби свързваме получените 18 сегмента, по 2 всеки; Ще има само 9 сегмента. Това означава, че дробта 2/3 се съдържа в 6 единици 9 пъти, или, с други думи, дробта 2/3 е 9 пъти по-малка от 6 цели единици. следователно
Как да получите този резултат без чертеж само с изчисления? Нека разсъждаваме така: трябва да разделим 6 на 2/3, т.е. трябва да отговорим на въпроса колко пъти 2/3 се съдържа в 6. Нека първо разберем: колко пъти 1/3 се съдържа в 6? В цяла единица има 3 трети, а в 6 единици има 6 пъти повече, т.е. 18 трети; за да намерим това число, трябва да умножим 6 по 3. Това означава, че 1/3 се съдържа в b единици 18 пъти, а 2/3 се съдържа в b единици не 18 пъти, а половината пъти, т.е. 18: 2 = 9 Следователно, когато разделихме 6 на 2/3, направихме следното:
От тук получаваме правилото за деление на цяло число на дроб. За да разделите цяло число на дроб, трябва да умножите това цяло число по знаменателя на дадената дроб и, превръщайки този продукт в числител, да го разделите на числителя на дадената дроб.
Нека напишем правилото с букви:
За да стане това правило напълно ясно, трябва да се помни, че една дроб може да се разглежда като частно. Ето защо е полезно да сравним намереното правило с правилото за деление на число на частно, което беше изложено в § 38. Моля, имайте предвид, че същата формула е получена там.
При разделяне са възможни съкращения, например:
4. Деление на дроб с дроб.
Да кажем, че трябва да разделим 3/4 на 3/8. Какво ще означава числото, получено от деленето? Ще отговори на въпроса колко пъти дробта 3/8 се съдържа в дробта 3/4. За да разберем този въпрос, нека направим чертеж (фиг. 20).
Нека вземем отсечка AB, вземем я за една, разделим я на 4 равни части и маркираме 3 такива части. Отсечката AC ще бъде равна на 3/4 от отсечката AB. Нека сега разделим всеки от четирите първоначални сегмента наполовина, тогава сегментът AB ще бъде разделен на 8 равни части и всяка такава част ще бъде равна на 1/8 от сегмента AB. Нека свържем 3 такива отсечки с дъги, тогава всяка от отсечките AD и DC ще бъде равна на 3/8 от отсечката AB. Чертежът показва, че отсечка, равна на 3/8, се съдържа в отсечка, равна на 3/4 точно 2 пъти; Това означава, че резултатът от деленето може да се запише по следния начин:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Нека да разгледаме друг пример. Да кажем, че трябва да разделим 15/16 на 3/32:
Можем да разсъждаваме така: трябва да намерим число, което след умножаване по 3/32 ще даде продукт, равен на 15/16. Нека напишем изчисленията така:
15 / 16: 3 / 32 = х
3 / 32 х = 15 / 16
3/32 неизвестен номер х са 15/16
1/32 от неизвестно число х е,
32 / 32 номера х грим .
следователно
По този начин, за да разделите дроб на дроб, трябва да умножите числителя на първата дроб по знаменателя на втората и да умножите знаменателя на първата дроб по числителя на втората и да направите първия продукт числител, а вторият знаменателят.
Нека напишем правилото с букви:
При разделяне са възможни съкращения, например:
5. Деление на смесени числа.
Когато разделяте смесени числа, те първо трябва да бъдат преобразувани в неправилни дроби ислед това разделете получените дроби според правилата за разделяне на дробни числа. Да разгледаме един пример:
Нека преобразуваме смесени числа в неправилни дроби:
Сега нека разделим:
По този начин, за да разделите смесени числа, трябва да ги преобразувате в неправилни дроби и след това да ги разделите, като използвате правилото за деление на дроби.
6. Намиране на число от дадената му дроб.
Сред различните задачи с дроби понякога има такива, в които е дадена стойността на някаква дроб от неизвестно число и трябва да намерите това число. Този тип задача ще бъде обратна на задачата за намиране на част от дадено число; там беше дадено число и се изискваше да се намери част от това число, тук беше дадена дроб от число и се изискваше да се намери самото това число. Тази идея ще стане още по-ясна, ако се обърнем към решаването на този тип проблеми.
Задача 1.През първия ден стъкларите са остъклили 50 прозореца, което е 1/3 от всички прозорци на построената къща. Колко прозореца има в тази къща?
Решение.Задачата гласи, че 50 остъклени прозореца съставляват 1/3 от всички прозорци на къщата, което означава, че общо има 3 пъти повече прозорци, т.е.
Къщата имаше 150 прозореца.
Задача 2.В магазина са продадени 1500 кг брашно, което е 3/8 от общата наличност на брашно в магазина. Какви бяха първоначалните доставки на брашно в магазина?
Решение.От условията на задачата става ясно, че 1500 кг продадено брашно представляват 3/8 от общата наличност; това означава, че 1/8 от този резерв ще бъде 3 пъти по-малко, т.е. за да го изчислите, трябва да намалите 1500 3 пъти:
1500: 3 = 500 (това е 1/8 от резерва).
Очевидно цялото предлагане ще бъде 8 пъти по-голямо. следователно
500 8 = 4000 (кг).
Първоначалната наличност на брашно в склада беше 4000 кг.
От разглеждането на този проблем може да се изведе следното правило.
За да намерите число от дадена стойност на неговата дроб, е достатъчно да разделите тази стойност на числителя на дробта и да умножите резултата по знаменателя на дробта.
Решихме две задачи за намиране на число по дадена дроб. Такива задачи, както е особено ясно от последната, се решават чрез две действия: деление (когато се намери една част) и умножение (когато се намери цялото число).
Въпреки това, след като сме научили делението на дроби, горните задачи могат да бъдат решени с едно действие, а именно: деление на дроб.
Например, последната задача може да бъде решена с едно действие по следния начин:
В бъдеще ще решаваме задачи за намиране на число от неговата дроб с едно действие – деление.
7. Намиране на число по неговия процент.
В тези задачи ще трябва да намерите число, като знаете няколко процента от това число.
Задача 1.В началото на тази година получих 60 рубли от спестовната каса. доход от сумата, която вложих в спестявания преди година. Колко пари съм сложил в спестовната каса? (Касите дават на вложителите 2% доходност на година.)
Смисълът на проблема е, че сложих определена сума пари в спестовна каса и останах там една година. След една година получих 60 рубли от нея. доход, който е 2/100 от парите, които депозирах. Колко пари съм вложил?
Следователно, знаейки част от тези пари, изразени по два начина (в рубли и дроби), трябва да намерим цялата, все още неизвестна сума. Това е обикновена задача за намиране на число, дадена в неговата дроб. Чрез разделяне се решават следните задачи:
Това означава, че в спестовната банка са депозирани 3000 рубли.
Задача 2.За две седмици рибарите са изпълнили месечния план с 64%, като са уловили 512 тона риба. Какъв беше планът им?
От условията на задачата става ясно, че рибарите са изпълнили част от плана. Тази част се равнява на 512 тона, което е 64% от плана. Не знаем колко тона риба трябва да бъдат приготвени според плана. Намирането на това число ще бъде решението на проблема.
Такива проблеми се решават чрез разделяне:
Това означава, че по план трябва да се приготвят 800 тона риба.
Задача 3.Влакът пътува от Рига до Москва. Когато измина 276-ия километър, един от пътниците попита минаващ кондуктор колко от пътя вече са изминали. На това кондукторът отговори: „Вече изминахме 30% от цялото пътуване.“ Какво е разстоянието от Рига до Москва?
От условията на проблема става ясно, че 30% от маршрута от Рига до Москва е 276 км. Трябва да намерим цялото разстояние между тези градове, т.е. за тази част намерете цялото:
§ 91. Реципрочни числа. Замяна на делението с умножение.
Нека вземем дробта 2/3 и заменим числителя на мястото на знаменателя, получаваме 3/2. Получихме обратната на тази дроб.
За да получите обратното на дадена дроб, трябва да поставите нейния числител на мястото на знаменателя и знаменателя на мястото на числителя. По този начин можем да получим реципрочната стойност на всяка дроб. Например:
3/4, реверс 4/3; 5/6, обратно 6/5
Две дроби, които имат свойството, че числителят на първата е знаменател на втората, а знаменателят на първата е числителят на втората, се наричат взаимно обратни.
Сега нека помислим каква дроб ще бъде реципрочната на 1/2. Очевидно ще бъде 2/1 или просто 2. Като търсим обратната дроб на даденото, получаваме цяло число. И този случай не е изолиран; напротив, за всички дроби с числител 1 (едно), реципрочните ще бъдат цели числа, например:
1/3, реверс 3; 1/5, реверс 5
Тъй като при намирането на реципрочни дроби се сблъскахме и с цели числа, по-нататък ще говорим не за реципрочни дроби, а за реципрочни числа.
Нека да разберем как да напишем обратното число на цяло число. За дроби това може да се реши просто: трябва да поставите знаменателя на мястото на числителя. По същия начин можете да получите обратното число за цяло число, тъй като всяко цяло число може да има знаменател 1. Това означава, че обратното число на 7 ще бъде 1/7, защото 7 = 7/1; за числото 10 обратното ще бъде 1/10, тъй като 10 = 10/1
Тази идея може да се изрази по различен начин: реципрочната стойност на дадено число се получава чрез разделяне на едно на дадено число. Това твърдение е вярно не само за цели числа, но и за дроби. Всъщност, ако трябва да напишем обратното на дробта 5/9, тогава можем да вземем 1 и да го разделим на 5/9, т.е.
Сега нека да посочим едно нещо Имотреципрочни числа, които ще ни бъдат полезни: произведението на реципрочните числа е равно на единица.Наистина:
Използвайки това свойство, можем да намерим реципрочни числа по следния начин. Да кажем, че трябва да намерим обратното на 8.
Нека го обозначим с буквата х , след това 8 х = 1, следователно х = 1/8. Нека намерим друго число, което е обратно на 7/12 и го означим с буквата х , след това 7/12 х = 1, следователно х = 1: 7 / 12 или х = 12 / 7 .
Тук въведохме концепцията за реципрочни числа, за да допълним леко информацията за деленето на дроби.
Когато разделим числото 6 на 3/5, правим следното:
Моля, платете Специално вниманиекъм израза и го сравнете с дадения: .
Ако вземем израза отделно, без връзка с предишния, тогава е невъзможно да се реши въпросът откъде идва: от разделянето на 6 на 3/5 или от умножаването на 6 по 5/3. И в двата случая се случва едно и също. Следователно можем да кажем че деленето на едно число с друго може да бъде заменено с умножаване на делителя по обратната на делителя.
Примерите, които даваме по-долу, напълно потвърждават това заключение.
) и знаменател по знаменател (получаваме знаменателя на произведението).
Формула за умножение на дроби:
Например:
Преди да започнете да умножавате числители и знаменатели, трябва да проверите дали дробта може да бъде намалена. Ако можете да намалите фракцията, ще ви бъде по-лесно да правите допълнителни изчисления.
Деление на обикновена дроб на дроб.
Деление на дроби с естествени числа.
Не е толкова страшно, колкото изглежда. Както в случая със събирането, ние преобразуваме цялото число в дроб с единица в знаменателя. Например:
Умножение на смесени дроби.
Правила за умножение на дроби (смесени):
- преобразувайте смесени дроби в неправилни дроби;
- умножаване на числителите и знаменателите на дроби;
- намаляване на фракцията;
- Ако получите неправилна дроб, ние преобразуваме неправилната дроб в смесена дроб.
Забележка!За да умножите смесена дроб с друга смесена дроб, първо трябва да ги преобразувате във формата на неправилни дроби и след това да умножите според правилото за умножение на обикновени дроби.
Вторият начин за умножаване на дроб по естествено число.
Може да е по-удобно да използвате втория метод за умножаване на обикновена дроб по число.
Забележка!За да умножите дроб по естествено число, трябва да разделите знаменателя на дробта на това число и да оставите числителя непроменен.
От примера, даден по-горе, става ясно, че тази опция е по-удобна за използване, когато знаменателят на дроб е разделен без остатък на естествено число.
Многоетажни дроби.
В гимназията често се срещат триетажни (или повече) фракции. Пример:
За да приведете такава фракция в обичайната й форма, използвайте разделяне на 2 точки:
Забележка!При разделянето на дроби редът на делене е много важен. Бъдете внимателни, тук е лесно да се объркате.
Забележка, Например:
Когато разделяте едно на която и да е дроб, резултатът ще бъде същата дроб, само обърната:
Практически съвети за умножение и деление на дроби:
1. Най-важното при работа с дробни изрази е точността и вниманието. Правете всички изчисления внимателно и точно, съсредоточено и ясно. По-добре е да напишете няколко допълнителни реда в черновата си, отколкото да се изгубите в умствени изчисления.
2. В задачи с различни видове дроби се преминава към вид обикновени дроби.
3. Намаляваме всички дроби, докато вече не е възможно да се намали.
4. Трансформираме многостепенни дробни изрази в обикновени, използвайки деление на 2 точки.
5. Разделете единица на дроб наум, като просто обърнете дробта.
Зареждане...