Нека продължим разговора за най-малкото общо кратно, което започнахме в раздела „LCM - най-малко общо кратно, определение, примери.“ В тази тема ще разгледаме начини за намиране на LCM за три или повече числа и ще разгледаме въпроса как да намерим LCM на отрицателно число.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM) чрез GCD
Вече установихме връзката между най-малкото общо кратно и най-големия общ делител. Сега нека научим как да определяме LCM чрез GCD. Първо, нека да разберем как да направим това за положителни числа.
Определение 1
Можете да намерите най-малкото общо кратно чрез най-големия общ делител, като използвате формулата LCM (a, b) = a · b: НОД (a, b).
Пример 1
Трябва да намерите LCM на числата 126 и 70.
Решение
Да вземем a = 126, b = 70. Нека заместим стойностите във формулата за изчисляване на най-малкото общо кратно чрез най-големия общ делител LCM (a, b) = a · b: НОД (a, b) .
Намира НОД на числата 70 и 126. За това се нуждаем от евклидовия алгоритъм: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, следователно НОД (126 , 70) = 14 .
Нека изчислим LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Отговор: LCM(126, 70) = 630.
Пример 2
Намерете числото 68 и 34.
Решение
GCD в в такъв случайТова не е трудно, тъй като 68 се дели на 34. Нека изчислим най-малкото общо кратно по формулата: LCM (68, 34) = 68 34: НОД (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Отговор: LCM(68, 34) = 68.
В този пример използвахме правилото за намиране на най-малкото общо кратно на положителни цели числа a и b: ако първото число се дели на второто, LCM на тези числа ще бъде равно на първото число.
Намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители
Сега нека разгледаме метода за намиране на LCM, който се основава на разлагането на числа на прости множители.
Определение 2
За да намерим най-малкото общо кратно, трябва да изпълним няколко прости стъпки:
- съставяме произведението на всички прости множители на числата, за които трябва да намерим LCM;
- ние изключваме всички прости множители от техните резултатни продукти;
- произведението, получено след елиминиране на общите прости множители, ще бъде равно на LCM на дадените числа.
Този метод за намиране на най-малкото общо кратно се основава на равенството LCM (a, b) = a · b: НОД (a, b). Ако погледнете формулата, ще стане ясно: произведението на числата a и b е равно на произведението на всички фактори, които участват в разлагането на тези две числа. В този случай gcd на две числа е равна на произведението на всички прости множители, които присъстват едновременно в разложенията на тези две числа.
Пример 3
Имаме две числа 75 и 210. Можем да ги разложим, както следва: 75 = 3 5 5И 210 = 2 3 5 7. Ако съставите произведението на всички множители на двете оригинални числа, получавате: 2 3 3 5 5 5 7.
Ако изключим множителите, общи за числата 3 и 5, получаваме продукт от следната форма: 2 3 5 5 7 = 1050. Този продукт ще бъде нашият LCM за числата 75 и 210.
Пример 4
Намерете LCM на числата 441 И 700 , разлагайки двете числа на прости множители.
Решение
Нека намерим всички прости множители на числата, дадени в условието:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Получаваме две вериги от числа: 441 = 3 3 7 7 и 700 = 2 2 5 5 7.
Продуктът на всички фактори, участвали в разлагането на тези числа, ще има формата: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Нека намерим общи множители. Това е числото 7. Нека го изключим от общия продукт: 2 2 3 3 5 5 7 7. Оказва се, че NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Отговор: LOC(441, 700) = 44 100.
Нека дадем друга формулировка на метода за намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители.
Определение 3
Преди това изключихме от общия брой фактори, общи за двете числа. Сега ще го направим по различен начин:
- Нека разделим двете числа на прости множители:
- добавете към произведението на простите множители на първото число липсващите множители на второто число;
- получаваме продукта, който ще бъде търсеният LCM от две числа.
Пример 5
Да се върнем към числата 75 и 210, за които вече търсихме LCM в един от предишните примери. Нека ги разделим на прости фактори: 75 = 3 5 5И 210 = 2 3 5 7. Към произведението на множители 3, 5 и 5 числата 75 добавете липсващите множители 2 И 7 номера 210. Получаваме: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .Това е LCM на числата 75 и 210.
Пример 6
Необходимо е да се изчисли LCM на числата 84 и 648.
Решение
Нека разделим числата от условието на прости множители: 84 = 2 2 3 7И 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Нека добавим към произведението множителите 2, 2, 3 и 7
числа 84 липсващи множители 2, 3, 3 и
3
номера 648. Получаваме продукта 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.Това е най-малкото общо кратно на 84 и 648.
Отговор: LCM(84, 648) = 4536.
Намиране на LCM на три или повече числа
Независимо с колко числа имаме работа, алгоритъмът на нашите действия винаги ще бъде един и същ: ние последователно ще намерим LCM на две числа. Има теорема за този случай.
Теорема 1
Да приемем, че имаме цели числа a 1 , a 2 , … , a k. НОК m kтези числа се намират чрез последователно изчисляване на m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).
Сега нека да разгледаме как теоремата може да се приложи за решаване на конкретни проблеми.
Пример 7
Трябва да изчислите най-малкото общо кратно на четири числа 140, 9, 54 и 250 .
Решение
Нека въведем обозначението: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Нека започнем с изчисляването на m 2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9). Нека приложим алгоритъма на Евклид, за да изчислим НОД на числата 140 и 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Получаваме: НОД (140, 9) = 1, НОД (140, 9) = 140 9: НОД (140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Следователно m 2 = 1,260.
Сега нека изчислим, използвайки същия алгоритъм m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). По време на изчисленията получаваме m 3 = 3 780.
Просто трябва да изчислим m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Следваме същия алгоритъм. Получаваме m 4 = 94 500.
LCM на четирите числа от примерното условие е 94500.
Отговор: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.
Както можете да видите, изчисленията са прости, но доста трудоемки. За да спестите време, можете да отидете по друг начин.
Определение 4
Предлагаме ви следния алгоритъм на действие:
- разлагаме всички числа на прости множители;
- към произведението на множителите на първото число добавяме липсващите множители от произведението на второто число;
- към продукта, получен на предишния етап, добавяме липсващите фактори на третото число и т.н.;
- полученото произведение ще бъде най-малкото общо кратно на всички числа от условието.
Пример 8
Трябва да намерите LCM на пет числа 84, 6, 48, 7, 143.
Решение
Нека разложим всичките пет числа на прости множители: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Простите числа, което е числото 7, не могат да бъдат разложени на прости множители. Такива числа съвпадат с тяхното разлагане на прости множители.
Сега нека вземем произведението на простите множители 2, 2, 3 и 7 на числото 84 и добавим към тях липсващите множители на второто число. Разложихме числото 6 на 2 и 3. Тези множители вече са в произведението на първото число. Затова ги пропускаме.
Продължаваме да добавяме липсващите множители. Нека преминем към числото 48, от произведението на чиито прости множители вземаме 2 и 2. След това добавяме простия множител 7 от четвъртото число и множителите 11 и 13 от петото. Получаваме: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Това е най-малкото общо кратно на първоначалните пет числа.
Отговор: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.
Намиране на най-малкото общо кратно на отрицателни числа
За да се намери най-малкото общо кратно на отрицателни числа, тези числа трябва първо да бъдат заменени с числа с противоположен знак и след това изчисленията трябва да се извършат с помощта на горните алгоритми.
Пример 9
LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) и LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).
Такива действия са допустими поради факта, че ако приемем това аИ − а– противоположни числа,
тогава наборът от кратни на число асъответства на набора от кратни на число − а.
Пример 10
Необходимо е да се изчисли LCM на отрицателни числа − 145 И − 45 .
Решение
Да заменим числата − 145 И − 45 към техните противоположни числа 145 И 45 . Сега, използвайки алгоритъма, ние изчисляваме LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, като преди това сме определили GCD с помощта на Евклидовия алгоритъм.
Получаваме, че LCM на числата е − 145 и − 45 равно на 1 305 .
Отговор: LCM (− 145, − 45) = 1305.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Най-големият общ делител и най-малкото общо кратно са ключови аритметични понятия, които ви позволяват да работите без усилие обикновени дроби. LCM и най-често се използват за намиране на общия знаменател на няколко дроби.
Основни понятия
Делителят на цяло число X е друго цяло число Y, на което X се дели без остатък. Например делителят на 4 е 2, а 36 е 4, 6, 9. Кратно на цяло число X е число Y, което се дели на X без остатък. Например 3 е кратно на 15, а 6 е кратно на 12.
За всяка двойка числа можем да намерим техните общи делители и кратни. Например за 6 и 9 общото кратно е 18, а общият делител е 3. Очевидно двойките могат да имат няколко делителя и кратни, така че изчисленията използват най-големия делител НОД и най-малкото кратно НОК.
Най-малкият делител е безсмислен, тъй като за всяко число винаги е едно. Най-голямото кратно също е безсмислено, тъй като последователността от кратни отива до безкрайност.
Намиране на gcd
Има много методи за намиране на най-голям общ делител, най-известните от които са:
- последователно търсене на делители, избор на общи за двойка и търсене на най-големия от тях;
- разлагане на числата на неделими множители;
- Евклидов алгоритъм;
- двоичен алгоритъм.
Днес в образователни институцииНай-популярни са методите за разлагане на прости множители и алгоритъмът на Евклид. Последното от своя страна се използва при решаване на диофантови уравнения: търсенето на GCD е необходимо, за да се провери уравнението за възможността за разделяне в цели числа.
Намиране на НОК
Най-малкото общо кратно също се определя чрез последователно търсене или разлагане на неделими множители. Освен това е лесно да се намери LCM, ако най-големият делител вече е определен. За числата X и Y LCM и GCD са свързани със следната връзка:
LCD(X,Y) = X × Y / НОД(X,Y).
Например, ако GCM(15,18) = 3, тогава LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Най-очевидният пример за използване на LCM е намирането на общия знаменател, който е най-малкото общо кратно на дадени дроби.
Взаимопрости числа
Ако една двойка числа няма общи делители, тогава такава двойка се нарича взаимнопроста. НОД за такива двойки винаги е равен на едно и въз основа на връзката между делители и кратни, НОД за взаимнопрости двойки е равен на техния продукт. Например числата 25 и 28 са относително прости, тъй като нямат общи делители и LCM(25, 28) = 700, което съответства на произведението им. Всякакви две неделими числа винаги ще бъдат относително прости.
Общ делител и множествен калкулатор
С помощта на нашия калкулатор можете да изчислите GCD и LCM за произволен брой числа, от които да избирате. Задачи за пресмятане на общи делители и кратни се намират в аритметиката за 5 и 6 клас, но GCD и LCM са ключови понятия в математиката и се използват в теорията на числата, планиметрията и комуникативната алгебра.
Примери от реалния живот
Общ знаменател на дроби
Най-малкото общо кратно се използва при намиране на общия знаменател на няколко дроби. Да кажем, че в аритметична задача трябва да сумирате 5 дроби:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
За да добавите дроби, изразът трябва да бъде намален до общ знаменател, което се свежда до проблема за намиране на LCM. За да направите това, изберете 5 числа в калкулатора и въведете стойностите на знаменателите в съответните клетки. Програмата ще изчисли LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Сега трябва да изчислите допълнителни фактори за всяка дроб, които се дефинират като съотношението на LCM към знаменателя. Така че допълнителните множители ще изглеждат така:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
След това умножаваме всички дроби по съответния допълнителен фактор и получаваме:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Можем лесно да сумираме такива дроби и да получим резултата като 159/360. Намаляваме дробта с 3 и виждаме крайния отговор - 53/120.
Решаване на линейни диофантови уравнения
Линейните диофантови уравнения са изрази от формата ax + by = d. Ако съотношението d / gcd(a, b) е цяло число, тогава уравнението е разрешимо в цели числа. Нека проверим няколко уравнения, за да видим дали имат цяло число. Първо, нека проверим уравнението 150x + 8y = 37. С помощта на калкулатор намираме НОД (150,8) = 2. Разделете 37/2 = 18,5. Числото не е цяло число, следователно уравнението няма цели числа.
Нека проверим уравнението 1320x + 1760y = 10120. Използвайте калкулатор, за да намерите GCD(1320, 1760) = 440. Разделете 10120/440 = 23. В резултат на това получаваме цяло число, следователно диофантовото уравнение е разрешимо с цели коефициенти .
Заключение
GCD и LCM играят голяма роля в теорията на числата, а самите концепции се използват широко в голямо разнообразие от области на математиката. Използвайте нашия калкулатор, за да изчислите най-големите делители и най-малките кратни на произволен брой числа.
Нека разгледаме три начина за намиране на най-малкото общо кратно.
Намиране чрез разлагане на множители
Първият метод е да се намери най-малкото общо кратно чрез разлагане на дадените числа на прости множители.
Да кажем, че трябва да намерим LCM на числата: 99, 30 и 28. За да направим това, нека разложим всяко от тези числа на прости множители:
За да може желаното число да се дели на 99, 30 и 28, е необходимо и достатъчно то да включва всички прости множители на тези делители. За да направим това, трябва да вземем всички прости множители на тези числа до възможно най-голямата степен и да ги умножим заедно:
2 2 3 2 5 7 11 = 13 860
Така LCM (99, 30, 28) = 13 860. Никое друго число, по-малко от 13 860, не се дели на 99, 30 или 28.
За да намерите най-малкото общо кратно на дадени числа, вие ги разлагате върху техните прости множители, след това взимате всеки прост множител с най-големия показател, в който се появява, и умножавате тези множители заедно.
Тъй като е взаимно прости числанямат общи прости множители, тогава тяхното най-малко общо кратно е равно на произведението на тези числа. Например три числа: 20, 49 и 33 са относително прости. Ето защо
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.
Същото трябва да се направи, когато се намира най-малкото общо кратно на различни прости числа. Например LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Намиране чрез подбор
Вторият метод е да се намери най-малкото общо кратно чрез избор.
Пример 1. Когато най-голямото от дадените числа се раздели на друго дадено число, тогава LCM на тези числа е равен на най-голямото от тях. Например дадени са четири числа: 60, 30, 10 и 6. Всяко от тях се дели на 60, следователно:
LCM(60, 30, 10, 6) = 60
В други случаи, за да се намери най-малкото общо кратно, се използва следната процедура:
- Определете най-голямото число от дадените числа.
- След това намираме числата, които са кратни на най-голямото число, като го умножаваме по естествени числа във възходящ ред и проверяваме дали полученият продукт се дели на останалите дадени числа.
Пример 2. Дадени са три числа 24, 3 и 18. Определяме най-голямото от тях - това е числото 24. След това намираме числата, кратни на 24, като проверяваме дали всяко от тях се дели на 18 и 3:
24 · 1 = 24 - дели се на 3, но не се дели на 18.
24 · 2 = 48 - дели се на 3, но не се дели на 18.
24 · 3 = 72 - дели се на 3 и 18.
Така LCM (24, 3, 18) = 72.
Намиране чрез последователно намиране на LCM
Третият метод е да се намери най-малкото общо кратно чрез последователно намиране на LCM.
LCM на две дадени числа е равен на произведението на тези числа, делено на техния най-голям общ делител.
Пример 1. Намерете LCM на две дадени числа: 12 и 8. Определете техния най-голям общ делител: НОД (12, 8) = 4. Умножете тези числа:
Разделяме продукта на техния gcd:
Така LCM (12, 8) = 24.
За да намерите LCM на три или повече числа, използвайте следната процедура:
- Първо, намерете LCM на произволни две от тези числа.
- След това LCM на намереното най-малко общо кратно и третото дадено число.
- След това LCM на полученото най-малко общо кратно и четвъртото число и т.н.
- Така търсенето на LCM продължава, докато има числа.
Пример 2. Нека намерим НОК на три дадени числа: 12, 8 и 9. Вече намерихме НОК на числата 12 и 8 в предишния пример (това е числото 24). Остава да намерим най-малкото общо кратно на числото 24 и третото дадено число - 9. Определяме техния най-голям общ делител: НОД (24, 9) = 3. Умножаваме НОК с числото 9:
Разделяме продукта на техния gcd:
Така LCM (12, 8, 9) = 72.
На учениците се дават много задачи по математика. Сред тях много често има проблеми със следната формулировка: има две значения. Как да намерим най-малкото общо кратно на дадени числа? Необходимо е да можете да изпълнявате такива задачи, тъй като придобитите умения се използват за работа с дроби, когато различни знаменатели. В тази статия ще разгледаме как да намерим LOC и основните понятия.
Преди да намерите отговора на въпроса как да намерите LCM, трябва да дефинирате термина множествено. Най-често формулировката на тази концепция звучи така: кратно на определена стойност А е естествено число, което ще се дели без остатък на А. Така че за 4 кратните ще бъдат 8, 12, 16, 20, и така нататък до необходимия лимит.
В този случай броят на делителите за конкретна стойност може да бъде ограничен, но кратните са безкрайно много. Същата стойност има и за природните ценности. Това е показател, който се разделя на тях без остатък. След като разбрахме концепцията за най-малката стойност за определени показатели, нека да преминем към това как да я намерим.
Намиране на НОК
Най-малкото кратно на два или повече показателя е най-малкото естествено число, което се дели изцяло на всички посочени числа.
Има няколко начина да намерите такава стойност, разгледайте следните методи:
- Ако числата са малки, запишете на един ред всички, които се делят на него. Продължете да правите това, докато не намерите нещо общо между тях. Писмено те се означават с буквата К. Например за 4 и 3 най-малкото кратно е 12.
- Ако те са големи или трябва да намерите кратно на 3 или повече стойности, тогава трябва да използвате друга техника, която включва разлагане на числа на прости множители. Първо поставете най-големия от списъка, след това всички останали. Всеки от тях има свой собствен брой множители. Като пример, нека разложим 20 (2*2*5) и 50 (5*5*2). За по-малкия подчертайте факторите и ги добавете към най-големия. Резултатът ще бъде 100, което ще бъде най-малкото общо кратно на горните числа.
- При намиране на 3 числа (16, 24 и 36) принципите са същите като при другите две. Нека разширим всеки от тях: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. В разгръщането на най-голямото не са включени само две двойки от разгръщането на числото 16. Събираме ги и получаваме 144, което е най-малкият резултат за предварително посочените числови стойности.
Сега знаем каква е общата техника за намиране на най-малката стойност за две, три или повече стойности. Има обаче и частни методи, помагащи за търсене на NOC, ако предишните не помогнат.
Как да намерите GCD и NOC.
Частни методи за намиране
Както при всеки математически раздел, има специални случаи за намиране на LCM, които помагат в конкретни ситуации:
- ако едно от числата се дели на останалите без остатък, тогава най-малкото кратно на тези числа е равно на него (НКМ на 60 и 15 е 15);
- относително простите числа нямат общи прости множители. Най-малката им стойност е равна на произведението на тези числа. Така за числата 7 и 8 ще бъде 56;
- същото правило работи и за други случаи, включително специални, за които може да се прочете в специализирана литература. Това трябва да включва и случаи на разлагане на съставни числа, които са тема на отделни статии и дори на кандидатски дисертации.
Специалните случаи са по-рядко срещани от стандартните примери. Но благодарение на тях можете да се научите да работите с фракции с различна степен на сложност. Това важи особено за дробите, където има неравни знаменатели.
Малко примери
Нека да разгледаме няколко примера, които ще ви помогнат да разберете принципа за намиране на най-малкото кратно:
- Намерете LOC (35; 40). Първо разлагаме 35 = 5*7, след това 40 = 5*8. Добавете 8 към най-малкото число и вземете LOC 280.
- НОК (45; 54). Разлагаме всеки от тях: 45 = 3*3*5 и 54 = 3*3*6. Добавяме числото 6 към 45. Получаваме LCM равно на 270.
- Е, последният пример. Има 5 и 4. Няма прости кратни на тях, така че най-малкото общо кратно в този случай ще бъде тяхното произведение, което е равно на 20.
Благодарение на примерите можете да разберете как се намира NOC, какви са нюансите и какъв е смисълът на такива манипулации.
Намирането на NOC е много по-лесно, отколкото може да изглежда първоначално. За да направите това, се използват както просто разширение, така и умножение прости ценностиВзаимно. Умението да работите с този раздел от математиката помага при по-нататъшното изучаване на математически теми, особено на дроби с различна степен на сложност.
Не забравяйте периодично да решавате примери различни методи, това развива логическия апарат и ви позволява да запомните множество термини. Научете как да намирате такъв степенен показател и ще можете да се справите добре с останалите математически раздели. Приятно учене на математика!
Видео
Това видео ще ви помогне да разберете и запомните как да намерите най-малкото общо кратно.
Най-голям общ делител
Определение 2
Ако естествено число a се дели на естествено число $b$, тогава $b$ се нарича делител на $a$, а $a$ се нарича кратно на $b$.
Нека $a$ и $b$ са естествени числа. Числото $c$ се нарича общ делител на $a$ и $b$.
Множеството от общи делители на числата $a$ и $b$ е крайно, тъй като никой от тези делители не може да бъде по-голям от $a$. Това означава, че сред тези делители има най-голям, който се нарича най-голям общ делител на числата $a$ и $b$ и се обозначава със следната нотация:
$GCD\(a;b)\ или \D\(a;b)$
За да намерите най-големия общ делител на две числа, трябва:
- Намерете произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаният най-голям общ делител.
Пример 1
Намерете gcd на числата $121$ и $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Изберете числата, които са включени в разширението на тези числа
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Намерете произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаният най-голям общ делител.
$GCD=2\cdot 11=22$
Пример 2
Намерете НОД на мономите $63$ и $81$.
Ще намерим според представения алгоритъм. За това:
Нека разложим числата на прости множители
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Ние избираме числата, които са включени в разширението на тези числа
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Нека намерим произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаният най-голям общ делител.
$GCD=3\cdot 3=9$
Можете да намерите gcd на две числа по друг начин, като използвате набор от делители на числа.
Пример 3
Намерете НОД на числата $48$ и $60$.
Решение:
Нека намерим множеството от делители на числото $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Сега нека намерим множеството от делители на числото $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $
Нека намерим пресечната точка на тези множества: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - това множество ще определи множеството от общи делители на числата $48$ и $60 $. Най-големият елемент в този набор ще бъде числото $12$. Това означава, че най-големият общ делител на числата $48$ и $60$ е $12$.
Дефиниция на NPL
Определение 3
Общи кратни естествени числа $a$ и $b$ е естествено число, което е кратно на $a$ и $b$.
Общите кратни на числата са числа, които се делят на оригиналните числа без остатък. Например за числата $25$ и $50$ общите кратни ще бъдат числата $50,100,150,200$ и т.н.
Най-малкото общо кратно ще се нарича най-малко общо кратно и ще се обозначава като LCM$(a;b)$ или K$(a;b).$
За да намерите LCM на две числа, трябва:
- Разложете числата на прости множители
- Запишете множителите, които са част от първото число и добавете към тях множителите, които са част от второто и не са част от първото
Пример 4
Намерете LCM на числата $99$ и $77$.
Ще намерим според представения алгоритъм. За това
Разложете числата на прости множители
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Запишете факторите, включени в първия
добавете към тях множители, които са част от втория, а не част от първия
Намерете произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаното най-малко общо кратно
$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Съставянето на списъци с делители на числа често е много трудоемка задача. Има начин да се намери GCD, наречен Евклидов алгоритъм.
Изявления, на които се основава алгоритъмът на Евклид:
Ако $a$ и $b$ са естествени числа и $a\vdots b$, тогава $D(a;b)=b$
Ако $a$ и $b$ са естествени числа, така че $b
Използвайки $D(a;b)= D(a-b;b)$, можем последователно да намаляваме разглежданите числа, докато достигнем двойка числа, така че едното от тях да се дели на другото. Тогава по-малкото от тези числа ще бъде търсеният най-голям общ делител за числата $a$ и $b$.
Свойства на GCD и LCM
- Всяко общо кратно на $a$ и $b$ се дели на K$(a;b)$
- Ако $a\vdots b$ , тогава К$(a;b)=a$
Ако K$(a;b)=k$ и $m$ е естествено число, тогава K$(am;bm)=km$
Ако $d$ е общ делител за $a$ и $b$, тогава K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Ако $a\vdots c$ и $b\vdots c$ , тогава $\frac(ab)(c)$ е общото кратно на $a$ и $b$
За всякакви естествени числа $a$ и $b$ равенството е в сила
$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$
Всеки общ делител на числата $a$ и $b$ е делител на числото $D(a;b)$
Зареждане...