Статията се занимава с понятията за прости и съставни числа. Дадени са определения на такива числа с примери. Даваме доказателство, че броят на простите числа е неограничен и правим запис в таблицата на простите числа по метода на Ератостен. Ще бъдат дадени доказателства дали едно число е просто или съставно.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Прости и съставни числа - определения и примери
Простите и съставните числа се класифицират като цели положителни числа. Те трябва да са по-големи от едно. Делителите също се делят на прости и съставни. За да се разбере концепцията за съставните числа, е необходимо първо да се проучат понятията за делители и кратни.
Определение 1
Простите числа са цели числа, които са по-големи от едно и имат два положителни делителя, тоест себе си и 1.
Определение 2
Съставните числа са цели числа, които са по-големи от едно и имат поне три положителни делителя.
Едно не е нито просто, нито съставно число. То има само един положителен делител, така че е различно от всички други положителни числа. Всички положителни числа се наричат естествени, тоест се използват при броене.
Определение 3
прости числаса естествени числа, които имат само два положителни делителя.
Определение 4
Съставен номер- това е естествено числокоято има повече от два положителни делителя.
Всяко число, по-голямо от 1, е просто или съставно. От свойството на делимост имаме, че 1 и числото a винаги ще бъде делители за всяко число a, тоест ще се дели на себе си и на 1. Ние даваме определението за цели числа.
Определение 5
Естествените числа, които не са прости, се наричат съставни числа.
Прости числа: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Те се делят само на себе си и на 1. Съставни числа: 6, 63, 121, 6697. Тоест числото 6 може да се разложи на 2 и 3, а 63 на 1, 3, 7, 9, 21, 63 и 121 на 11, 11, тоест делителите му ще бъдат 1, 11, 121. Числото 6697 ще се разложи на 37 и 181. Обърнете внимание, че понятията за прости числа и относително прости числа са различни понятия.
За да улесните използването на прости числа, трябва да използвате таблица:
Таблица за всички съществуващи естествени числа е нереалистична, тъй като има безкраен брой от тях. Когато числата достигнат размери от 10000 или 1000000000, тогава трябва да помислите за използването на ситото на Ератостен.
Помислете за теорема, която обяснява последното твърдение.
Теорема 1
Най-малкият положителен делител на естествено число, по-голямо от 1, различно от 1, е просто число.
Доказателство 1
Да приемем, че a е естествено число, по-голямо от 1, b е най-малкият неединствен делител на a. Трябва да докажем, че b е просто число, използвайки метода на противоречието.
Да кажем, че b е съставно число. От тук имаме, че има делител за b, който е различен от 1, както и от b. Такъв делител се обозначава като b 1 . Необходимо е условие 1< b 1 < b е завършен.
Може да се види от условието, че a се дели на b, b се дели на b 1, което означава, че понятието за делимост се изразява по следния начин: a = b qи b = b 1 q 1 , откъдето a = b 1 (q 1 q) , където q и q 1са цели числа. Съгласно правилото за умножение на цели числа имаме, че произведението на цели числа е цяло число с равенство от вида a = b 1 · (q 1 · q) . Вижда се, че b 1 е делителят на a. Неравенство 1< b 1 < b несъвпада, защото получаваме, че b е най-малкият положителен не-1 делител на a.
Теорема 2
Има безкрайно много прости числа.
Доказателство 2
Да предположим, че вземаме краен брой естествени числа n и означаваме като p 1 , p 2 , … , p n . Нека разгледаме вариант за намиране на просто число, различно от посочените.
Помислете за числото p, което е равно на p 1 , p 2 , … , p n + 1 . То не е равно на всяко от числата, съответстващи на прости числа от вида p 1 , p 2 , … , p n . Числото p е просто. Тогава теоремата се счита за доказана. Ако е съставен, тогава трябва да вземем обозначението p n + 1 и показва несъответствие на делителя с някое от p 1 , p 2 , … , p n .
Ако това не беше така, тогава въз основа на свойството за делимост на произведението p 1 , p 2 , … , p n , получаваме, че ще се дели на p n + 1 . Забележете, че изразът p n + 1 числото p е разделено е равно на сумата p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Получаваме, че изразът p n + 1 вторият член на тази сума, който е равен на 1, трябва да бъде разделен, но това е невъзможно.
Може да се види, че всяко просто число може да се намери сред произволен брой дадени прости числа. От това следва, че има безкрайно много прости числа.
Тъй като има много прости числа, таблиците са ограничени до числа 100, 1000, 10000 и т.н.
При съставянето на таблица с прости числа трябва да се има предвид, че такава задача изисква последователна проверка на числата, като се започне от 2 до 100. Ако няма делител, той се записва в таблицата; ако е съставен, тогава не се вписва в таблицата.
Нека разгледаме стъпка по стъпка.
Ако започнете с числото 2, то има само 2 делителя: 2 и 1, което означава, че може да бъде въведено в таблицата. Също и с числото 3 . Числото 4 е съставно, трябва да се разложи на 2 и 2. Числото 5 е просто, което означава, че може да бъде фиксирано в таблицата. Направете това до числото 100.
Този методнеудобно и дълго. Можете да направите маса, но трябва да похарчите голям бройвреме. Необходимо е да се използват критерии за делимост, което ще ускори процеса на намиране на делители.
Методът, използващ ситото на Ератостен, се счита за най-удобен. Нека да разгледаме таблиците по-долу. Като начало се записват числата 2, 3, 4, ..., 50.
Сега трябва да зачеркнете всички числа, които са кратни на 2. Направете последователно зачертаване. Получаваме таблица с формата:
Нека да преминем към зачеркване на числа, кратни на 5. Получаваме:
Зачеркваме числата, кратни на 7, 11. Най-накрая масата изглежда така
Нека преминем към формулирането на теоремата.
Теорема 3
Най-малкият положителен и не-1 делител на основното число a не надвишава a , където a е аритметичният корен на даденото число.
Доказателство 3
Необходимо е да се обозначи b най-малкият делителсъставно число а. Има цяло число q, където a = b · q, и имаме, че b ≤ q. Неравенство на формата b > qтъй като условието е нарушено. И двете страни на неравенството b ≤ q трябва да се умножат по всяко положително число b, което не е равно на 1. Получаваме, че b b ≤ b q , където b 2 ≤ a и b ≤ a .
От доказаната теорема се вижда, че зачертаването на числата в таблицата води до факта, че е необходимо да се започне с число, което е равно на b 2 и удовлетворява неравенството b 2 ≤ a . Тоест, ако зачеркнете числа, кратни на 2, тогава процесът започва от 4, а тези, които са кратни на 3, започват от 9 и така нататък до 100.
Съставянето на такава таблица с помощта на теоремата на Ератостен казва, че когато всички съставни числа бъдат зачертани, ще останат прости, които не надвишават n. В примера, където n = 50, имаме, че n = 50. От тук получаваме, че ситото на Ератостен отсява всички съставни числа, които не са по-големи по стойност от стойността на корена от 50. Търсенето на числа става чрез зачертаване.
Преди решаването е необходимо да се установи дали числото е просто или съставно. Често се използват критерии за делимост. Нека да разгледаме това в примера по-долу.
Пример 1
Докажете, че 898989898989898989 е съставно число.
Решение
Сборът от цифрите на даденото число е 9 8 + 9 9 = 9 17 . Така числото 9 17 се дели на 9, въз основа на знака за делимост на 9. От това следва, че е композитен.
Такива знаци не са в състояние да докажат простотата на число. Ако е необходима проверка, трябва да се предприемат други стъпки. Повечето подходящ начин- Това е куп числа. По време на процеса могат да бъдат намерени прости и съставни числа. Тоест числата по стойност не трябва да надвишават a . Тоест числото а трябва да се разложи на прости множители. ако това е вярно, тогава числото а може да се счита за просто.
Пример 2
Определете съставното или простото число 11723.
Решение
Сега трябва да намерите всички делители на числото 11723. Трябва да се оцени 11723 .
От тук виждаме, че 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 и 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 по-малко от число 200 .
За по-точна оценка на числото 11723 е необходимо да напишете израза 108 2 = 11 664 и 109 2 = 11 881 , тогава 108 2 < 11 723 < 109 2 . От това следва, че 11723г< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.
При разлагане получаваме, че 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 7 , 7 , 7 , 7 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 са всички прости числа. Целият този процес може да бъде изобразен като разделяне на колона. Тоест, разделете 11723 на 19. Числото 19 е един от неговите фактори, тъй като получаваме деление без остатък. Нека изобразим разделянето с колона:
От това следва, че 11723 е съставно число, тъй като освен себе си и 1 има делител 19 .
Отговор: 11723 е съставно число.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
В тази статия ще проучим прости и съставни числа. Първо, ние даваме определения на прости и съставни числа, а също така даваме примери. След това доказваме, че има безкрайно много прости числа. След това пишем таблица с прости числа и разглеждаме методите за съставяне на таблица с прости числа, особено внимателно ще се спрем на метода, наречен ситото на Ератостен. В заключение подчертаваме основните моменти, които трябва да се вземат предвид при доказване, че дадено число е просто или съставно.
Навигация в страницата.
Прости и съставни числа - определения и примери
Понятията за прости числа и съставни числа се отнасят до тези, които са по-големи от едно. Такива цели числа, в зависимост от броя на техните положителни делители, се делят на прости и съставни числа. Така че да се разбере дефиниции на прости и съставни числа, трябва да имате добра представа какво представляват делителите и кратните.
Определение.
прости числаса цели числа, по-големи от едно, които имат само два положителни делителя, а именно себе си и 1.
Определение.
Съставни числаса цели числа, по-големи от едно, които имат поне три положителни делителя.
Отделно отбелязваме, че числото 1 не се отнася нито за прости, нито за съставни числа. Единицата има само един положителен делител, който е самото число 1. Това отличава числото 1 от всички други положителни числа, които имат поне два положителни делителя.
Като се има предвид, че положителните цели числа са , и че единицата има само един положителен делител, могат да бъдат дадени други формулировки на изразените дефиниции на прости и съставни числа.
Определение.
прости числаса естествени числа, които имат само два положителни делителя.
Определение.
Съставни числаса естествени числа, които имат повече от два положителни делителя.
Обърнете внимание, че всяко положително цяло число, по-голямо от едно, е или просто число, или съставно число. С други думи, няма нито едно цяло число, което да не е нито просто, нито съставно. Това следва от свойството за делимост, което казва, че числата 1 и a винаги са делители на всяко цяло число a.
Въз основа на информацията в предишния параграф можем да дадем следната дефиниция на съставните числа.
Определение.
Естествени числа, които не са прости, се наричат съставна.
Да донесем примери за прости и съставни числа.
Като примери за съставни числа даваме 6 , 63 , 121 и 6697 . Това твърдение също се нуждае от обяснение. Числото 6, в допълнение към положителните делители 1 и 6, има и делители 2 и 3, тъй като 6 \u003d 2 3, следователно 6 наистина е съставно число. Положителните делители на 63 са числата 1 , 3 , 7 , 9 , 21 и 63 . Числото 121 е равно на произведението на 11 11 , така че неговите положителни делители са 1 , 11 и 121 . А числото 6697 е съставно, тъй като неговите положителни делители, освен 1 и 6697, са и числата 37 и 181.
В заключение на този параграф бих искал също така да обърна внимание на факта, че простите числа и взаимно простите числа далеч не са едно и също нещо.
Таблица с прости числа
Простите числа, за удобство на по-нататъшното им използване, се записват в таблица, която се нарича таблица на простите числа. По-долу е таблица с прости числадо 1000.
Възниква логичен въпрос: „Защо попълнихме таблицата на простите числа само до 1000, не е ли възможно да се направи таблица на всички съществуващи прости числа“?
Нека първо отговорим на първата част на този въпрос. За повечето задачи, които включват прости числа, ще са достатъчни прости числа до хиляда. В други случаи най-вероятно ще трябва да прибягвате до някои специални техники за решение. Въпреки че, разбира се, можем да направим таблица с прости числа до произволно голямо крайно цяло число положително число, било то 10 000 или 1 000 000 000 , в следващия параграф ще говорим за методи за съставяне на таблици с прости числа, по-специално ще анализираме метода, наречен .
Сега нека разгледаме възможността (или по-скоро невъзможността) за съставяне на таблица с всички съществуващи прости числа. Не можем да направим таблица с всички прости числа, защото има безкрайно много прости числа. Последното твърдение е теорема, която ще докажем след следващата помощна теорема.
Теорема.
Най-малкият положителен делител на естествено число, по-голямо от 1, различно от 1, е просто число.
Доказателство.
Позволявам a е естествено число, по-голямо от едно, а b е най-малко положителният неединствен делител на a. Нека докажем, че b е просто число от противоречие.
Да предположим, че b е съставно число. Тогава има делител на числото b (нека го означим b 1 ), който е различен и от 1, и от b . Ако вземем предвид също, че абсолютната стойност на делителя не надвишава абсолютната стойност на дивидента (знаем това от свойствата на делимост), тогава условието 1
Тъй като числото a се дели на b по условие и казахме, че b се дели на b 1 , тогава концепцията за делимост ни позволява да говорим за съществуването на такива цели числа q и q 1, че a=b q и b=b 1 q 1 , откъдето a= b 1 ·(q 1 ·q) . От това следва, че произведението на две цели числа е цяло число, тогава равенството a=b 1 ·(q 1 ·q) показва, че b 1 е делител на числото a . Като се вземат предвид горните неравенства 1
Сега можем да докажем, че има безкрайно много прости числа.
Теорема.
Има безкрайно много прости числа.
Доказателство.
Да приемем, че не е така. Тоест, да предположим, че има само n прости числа и тези прости числа са p 1 , p 2 , …, p n . Нека покажем, че винаги можем да намерим просто число, различно от посочените.
Да разгледаме число p, равно на p 1 ·p 2 ·…·p n +1 . Ясно е, че това число е различно от всяко от простите числа p 1 , p 2 , …, p n . Ако числото p е просто, тогава теоремата е доказана. Ако това число е съставно, тогава, по силата на предишната теорема, има прост делител на това число (нека го означим p n+1 ). Нека покажем, че този делител не съвпада с нито едно от числата p 1 , p 2 , …, p n .
Ако това не беше така, тогава според свойствата на делимост произведението p 1 ·p 2 ·…·p n би се дели на p n+1 . Но числото p също се дели на p n+1, равно на сумата p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Това означава, че вторият член на тази сума, който е равен на единица, трябва да се дели на p n+1, а това е невъзможно.
По този начин се доказва, че винаги може да се намери ново просто число, което не се съдържа сред нито един предварително зададен брой прости числа. Следователно има безкрайно много прости числа.
И така, поради факта, че има безкрайно много прости числа, при съставянето на таблици с прости числа те винаги се ограничават отгоре до някакво число, обикновено 100, 1000, 10 000 и т.н.
Сито на Ератостен
Сега ще обсъдим начините за съставяне на таблици с прости числа. Да предположим, че трябва да направим таблица с прости числа до 100.
Най-очевидният метод за решаване на този проблем е последователната проверка на положителни цели числа, започващи с 2 и завършващи със 100 , за наличието на положителен делител, който е по-голям от 1 и по-малък от проверяваното число (от свойствата на делимост, ние Знайте, че абсолютната стойност на делителя не надвишава абсолютната стойност на дивидента, различна от нула). Ако такъв делител не бъде намерен, тогава проверяваното число е просто и се вписва в таблицата на простите числа. Ако се намери такъв делител, тогава проверяваното число е съставно, то НЕ се въвежда в таблицата с прости числа. След това има преход към следващото число, което по подобен начин се проверява за наличието на делител.
Нека опишем първите няколко стъпки.
Започваме с числото 2. Числото 2 няма положителни делители, различни от 1 и 2. Следователно, той е прост, следователно го въвеждаме в таблицата на простите числа. Тук трябва да се каже, че 2 е най-малкото просто число. Да преминем към номер 3. Неговият възможен положителен делител, различен от 1 и 3, е 2. Но 3 не се дели на 2, следователно 3 е просто число и също трябва да бъде въведено в таблицата с прости числа. Да преминем към номер 4. Неговите положителни делители, различни от 1 и 4, могат да бъдат 2 и 3, нека ги проверим. Числото 4 се дели на 2, следователно 4 е съставно число и не е необходимо да се въвежда в таблицата с прости числа. Имайте предвид, че 4 е най-малкото съставно число. Да преминем към номер 5. Проверяваме дали поне едно от числата 2, 3, 4 е негов делител. Тъй като 5 не се дели нито на 2, нито на 3, нито на 4, то е просто и трябва да бъде записано в таблицата с прости числа. След това има преход към числата 6, 7 и така нататък до 100.
Този подход за съставяне на таблица с прости числа далеч не е идеален. По един или друг начин той има право да съществува. Имайте предвид, че с този метод за конструиране на таблица с цели числа можете да използвате критерии за делимост, което леко ще ускори процеса на намиране на делители.
Има по-удобен начин за съставяне на таблица с прости числа, наречена . Думата „сито“, присъстваща в името, не е случайна, тъй като действията на този метод помагат сякаш да се „пресят“ през ситото на цели числа на Ератостен, големи единици, за да се отделят простите от сложните.
Нека покажем ситото на Ератостен в действие при съставяне на таблица с прости числа до 50.
Първо, записваме числата 2, 3, 4, ..., 50 в ред.
Първото записано число 2 е просто. Сега от числото 2 последователно се движим надясно с две числа и зачеркваме тези числа, докато стигнем до края на съставената таблица с числа. Така че всички числа, кратни на две, ще бъдат зачертани.
Първото незачертано число след 2 е 3. Това число е просто. Сега от числото 3 последователно се придвижваме надясно с три числа (като вземем предвид вече зачеркнатите числа) и ги зачеркваме. Така че всички числа, които са кратни на три, ще бъдат зачертани.
Първото незачертано число след 3 е 5. Това число е просто. Сега от числото 5 последователно се движим надясно с 5 числа (взимаме и зачеркнатите по-рано числа) и ги зачеркваме. Така че всички числа, кратни на пет, ще бъдат зачертани.
След това зачертаваме числа, които са кратни на 7, след това кратни на 11 и т.н. Процесът приключва, когато не останат числа за зачертаване. По-долу е попълнена таблица с прости числа до 50, получени с помощта на ситото на Ератостен. Всички незачеркнати числа са прости, а всички зачеркнати са съставни.
Нека формулираме и докажем теорема, която ще ускори процеса на съставяне на таблица с прости числа с помощта на ситото на Ератостен.
Теорема.
Най-малкият положителен не-един делител на съставно число a не надвишава , където е от a .
Доказателство.
Нека b означава най-малкият делител на съставното число a, който се различава от единицата (числото b е просто, което следва от теоремата, доказана в самото начало на предишния параграф). Тогава има цяло число q такова, че a=b q (тук q е положително цяло число, което следва от правилата за умножение на цели числа) и (когато b>q, условието b е най-малкият делител на a е нарушено, тъй като q също е делител на a поради равенството a=q b ). Умножавайки двете страни на неравенството с положително и по-голямо от едно цяло число b (позволено ни е да направим това), получаваме , откъдето и .
Какво ни дава доказаната теорема относно ситото на Ератостен?
Първо, изтриването на съставни числа, които са кратни на просто число b, трябва да започне с число, равно на (това следва от неравенството ). Например, зачеркването на числа, кратни на две, трябва да започва с числото 4, кратно на три - с числото 9, кратно на пет - с числото 25 и т.н.
Второ, съставянето на таблица с прости числа до числото n с помощта на ситото на Ератостен може да се счита за завършено, когато всички съставни числа, които са кратни на прости числа, които не надвишават, са зачертани. В нашия пример, n=50 (тъй като табулираме прости числа до 50) и , така че ситото на Ератостен трябва да отсее всички съставни кратни на простите числа 2, 3, 5 и 7, които не надвишават аритметичния квадратен корен от 50 . Тоест вече не е необходимо да търсим и зачеркваме числа, кратни на прости числа 11 , 13 , 17 , 19 , 23 и така нататък до 47 , тъй като те вече ще бъдат зачертани като кратни на по-малки прости числа 2 , 3, 5 и 7.
Това число просто или съставно ли е?
Някои задачи изискват да се установи дали дадено число е просто или съставно. В общия случай тази задача далеч не е проста, особено за числа, чийто запис се състои от значителен брой знаци. В повечето случаи трябва да потърсите някакъв конкретен начин да го решите. Все пак ще се опитаме да дадем посока на хода на мислите за прости случаи.
Несъмнено може да се опита да използва критерии за делимост, за да докаже, че дадено число е съставно. Ако, например, някакъв критерий за делимост показва, че даденото число се дели на някакво положително цяло число, по-голямо от едно, тогава първоначалното число е съставно.
Пример.
Докажете, че числото 898 989 898 989 898 989 е съставно.
Решение.
Сборът от цифрите на това число е 9 8+9 9=9 17 . Тъй като числото, равно на 9 17, се дели на 9, то по критерия за делимост на 9 може да се твърди, че първоначалното число също се дели на 9. Следователно е композитен.
Съществен недостатък на този подход е, че критериите за делимост не ни позволяват да докажем простотата на число. Следователно, когато проверявате число за това дали е просто или съставно, трябва да процедирате по различен начин.
Най-логичният подход е да се изброят всички възможни делители на дадено число. Ако нито един от възможните делители не е истински делител на дадено число, то това число е просто; в противен случай е съставно. От теоремите, доказани в предишния параграф, следва, че делителите на дадено число a трябва да се търсят сред прости числа, които не надвишават . По този начин даденото число a може да бъде разделено последователно на прости числа (които е удобно да се вземат от таблицата на простите числа), като се опитваме да намерим делителя на числото a. Ако се намери делител, числото a е съставно. Ако сред простите числа, които не надвишават , няма делител на числото a, тогава числото a е просто.
Пример.
номер 11 723 просто или сложно?
Решение.
Нека разберем на какво просто число могат да бъдат делителите на числото 11 723. За това оценяваме.
Съвсем очевидно е, че 
, от 200 2 \u003d 40 000 и 11 723<40 000
(при необходимости смотрите статью сравнение на числата). По този начин възможните прости делители на 11 723 са по-малко от 200. Това вече значително опростява нашата задача. Ако не знаехме това, тогава ще трябва да сортираме всички прости числа не до 200, а до числото 11 723.
Ако желаете, можете да прецените по-точно. Тъй като 108 2 = 11 664 и 109 2 = 11 881, тогава 108 2<11 723<109 2
, следовательно, 
. По този начин всяко от простите числа по-малко от 109 е потенциално прост делител на даденото число 11 723.
Сега ще разделим последователно числото 11 723 на прости числа 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 1 , 5 6 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Ако числото 11 723 е напълно разделено на едно от записаните прости числа, то ще бъде съставно. Ако не се дели на нито едно от записаните прости числа, тогава първоначалното число е просто.
Няма да описваме целия този монотонен и монотонен процес на разделяне. Да кажем, че 11 723
Таблица с прости числа от 1 до 10000. Таблица с прости числа от 1 до 1000
По-долу е дадена таблица с прости числа от 2 до 10000 (1229 броя). Уредът не е включен, за съжаление. Някои смятат, че уредът не е включен, защото... тя не може да бъде там. " Простото число е число, което има два делителя: едно и самото число.„И числото 1 има само един делител, то не се отнася нито за прости, нито за съставни числа. (Пояснителна бележка от Олга от 21.09.12 г.)Все пак помним, че простите числа понякога се въвеждат така: " Простото число е число, което се дели равномерно на единица и себе си.„В този случай едно очевидно е просто число.
Таблица с прости числа от 2 до 1000. Таблицата с прости числа от 2 до 1000 е в сиво.
| 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 |
| 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 |
| 97 | 101 | 103 | 107 | 109 | 113 | 127 | 131 | 137 | 139 | 149 | 151 |
| 157 | 163 | 167 | 173 | 179 | 181 | 191 | 193 | 197 | 199 | 211 | 223 |
| 227 | 229 | 233 | 239 | 241 | 251 | 257 | 263 | 269 | 271 | 277 | 281 |
| 283 | 293 | 307 | 311 | 313 | 317 | 331 | 337 | 347 | 349 | 353 | 359 |
| 367 | 373 | 379 | 383 | 389 | 397 | 401 | 409 | 419 | 421 | 431 | 433 |
| 439 | 443 | 449 | 457 | 461 | 463 | 467 | 479 | 487 | 491 | 499 | 503 |
| 509 | 521 | 523 | 541 | 547 | 557 | 563 | 569 | 571 | 577 | 587 | 593 |
| 599 | 601 | 607 | 613 | 617 | 619 | 631 | 641 | 643 | 647 | 653 | 659 |
| 661 | 673 | 677 | 683 | 691 | 701 | 709 | 719 | 727 | 733 | 739 | 743 |
| 751 | 757 | 761 | 769 | 773 | 787 | 797 | 809 | 811 | 821 | 823 | 827 |
| 829 | 839 | 853 | 857 | 859 | 863 | 877 | 881 | 883 | 887 | 907 | 911 |
| 919 | 929 | 937 | 941 | 947 | 953 | 967 | 971 | 977 | 983 | 991 | 997 |
| 1009 | 1013 | 1019 | 1021 | 1031 | 1033 | 1039 | 1049 | 1051 | 1061 | 1063 | 1069 |
| 1087 | 1091 | 1093 | 1097 | 1103 | 1109 | 1117 | 1123 | 1129 | 1151 | 1153 | 1163 |
| 1171 | 1181 | 1187 | 1193 | 1201 | 1213 | 1217 | 1223 | 1229 | 1231 | 1237 | 1249 |
| 1259 | 1277 | 1279 | 1283 | 1289 | 1291 | 1297 | 1301 | 1303 | 1307 | 1319 | 1321 |
| 1327 | 1361 | 1367 | 1373 | 1381 | 1399 | 1409 | 1423 | 1427 | 1429 | 1433 | 1439 |
| 1447 | 1451 | 1453 | 1459 | 1471 | 1481 | 1483 | 1487 | 1489 | 1493 | 1499 | 1511 |
| 1523 | 1531 | 1543 | 1549 | 1553 | 1559 | 1567 | 1571 | 1579 | 1583 | 1597 | 1601 |
| 1607 | 1609 | 1613 | 1619 | 1621 | 1627 | 1637 | 1657 | 1663 | 1667 | 1669 | 1693 |
| 1697 | 1699 | 1709 | 1721 | 1723 | 1733 | 1741 | 1747 | 1753 | 1759 | 1777 | 1783 |
| 1787 | 1789 | 1801 | 1811 | 1823 | 1831 | 1847 | 1861 | 1867 | 1871 | 1873 | 1877 |
| 1879 | 1889 | 1901 | 1907 | 1913 | 1931 | 1933 | 1949 | 1951 | 1973 | 1979 | 1987 |
| 1993 | 1997 | 1999 | 2003 | 2011 | 2017 | 2027 | 2029 | 2039 | 2053 | 2063 | 2069 |
| 2081 | 2083 | 2087 | 2089 | 2099 | 2111 | 2113 | 2129 | 2131 | 2137 | 2141 | 2143 |
| 2153 | 2161 | 2179 | 2203 | 2207 | 2213 | 2221 | 2237 | 2239 | 2243 | 2251 | 2267 |
| 2269 | 2273 | 2281 | 2287 | 2293 | 2297 | 2309 | 2311 | 2333 | 2339 | 2341 | 2347 |
| 2351 | 2357 | 2371 | 2377 | 2381 | 2383 | 2389 | 2393 | 2399 | 2411 | 2417 | 2423 |
| 2437 | 2441 | 2447 | 2459 | 2467 | 2473 | 2477 | 2503 | 2521 | 2531 | 2539 | 2543 |
| 2549 | 2551 | 2557 | 2579 | 2591 | 2593 | 2609 | 2617 | 2621 | 2633 | 2647 | 2657 |
| 2659 | 2663 | 2671 | 2677 | 2683 | 2687 | 2689 | 2693 | 2699 | 2707 | 2711 | 2713 |
| 2719 | 2729 | 2731 | 2741 | 2749 | 2753 | 2767 | 2777 | 2789 | 2791 | 2797 | 2801 |
| 2803 | 2819 | 2833 | 2837 | 2843 | 2851 | 2857 | 2861 | 2879 | 2887 | 2897 | 2903 |
| 2909 | 2917 | 2927 | 2939 | 2953 | 2957 | 2963 | 2969 | 2971 | 2999 | 3001 | 3011 |
| 3019 | 3023 | 3037 | 3041 | 3049 | 3061 | 3067 | 3079 | 3083 | 3089 | 3109 | 3119 |
| 3121 | 3137 | 3163 | 3167 | 3169 | 3181 | 3187 | 3191 | 3203 | 3209 | 3217 | 3221 |
| 3229 | 3251 | 3253 | 3257 | 3259 | 3271 | 3299 | 3301 | 3307 | 3313 | 3319 | 3323 |
| 3329 | 3331 | 3343 | 3347 | 3359 | 3361 | 3371 | 3373 | 3389 | 3391 | 3407 | 3413 |
| 3433 | 3449 | 3457 | 3461 | 3463 | 3467 | 3469 | 3491 | 3499 | 3511 | 3517 | 3527 |
| 3529 | 3533 | 3539 | 3541 | 3547 | 3557 | 3559 | 3571 | 3581 | 3583 | 3593 | 3607 |
| 3613 | 3617 | 3623 | 3631 | 3637 | 3643 | 3659 | 3671 | 3673 | 3677 | 3691 | 3697 |
| 3701 | 3709 | 3719 | 3727 | 3733 | 3739 | 3761 | 3767 | 3769 | 3779 | 3793 | 3797 |
| 3803 | 3821 | 3823 | 3833 | 3847 | 3851 | 3853 | 3863 | 3877 | 3881 | 3889 | 3907 |
| 3911 | 3917 | 3919 | 3923 | 3929 | 3931 | 3943 | 3947 | 3967 | 3989 | 4001 | 4003 |
| 4007 | 4013 | 4019 | 4021 | 4027 | 4049 | 4051 | 4057 | 4073 | 4079 | 4091 | 4093 |
| 4099 | 4111 | 4127 | 4129 | 4133 | 4139 | 4153 | 4157 | 4159 | 4177 | 4201 | 4211 |
| 4217 | 4219 | 4229 | 4231 | 4241 | 4243 | 4253 | 4259 | 4261 | 4271 | 4273 | 4283 |
| 4289 | 4297 | 4327 | 4337 | 4339 | 4349 | 4357 | 4363 | 4373 | 4391 | 4397 | 4409 |
| 4421 | 4423 | 4441 | 4447 | 4451 | 4457 | 4463 | 4481 | 4483 | 4493 | 4507 | 4513 |
| 4517 | 4519 | 4523 | 4547 | 4549 | 4561 | 4567 | 4583 | 4591 | 4597 | 4603 | 4621 |
| 4637 | 4639 | 4643 | 4649 | 4651 | 4657 | 4663 | 4673 | 4679 | 4691 | 4703 | 4721 |
| 4723 | 4729 | 4733 | 4751 | 4759 | 4783 | 4787 | 4789 | 4793 | 4799 | 4801 | 4813 |
| 4817 | 4831 | 4861 | 4871 | 4877 | 4889 | 4903 | 4909 | 4919 | 4931 | 4933 | 4937 |
| 4943 | 4951 | 4957 | 4967 | 4969 | 4973 | 4987 | 4993 | 4999 | 5003 | 5009 | 5011 |
| 5021 | 5023 | 5039 | 5051 | 5059 | 5077 | 5081 | 5087 | 5099 | 5101 | 5107 | 5113 |
| 5119 | 5147 | 5153 | 5167 | 5171 | 5179 | 5189 | 5197 | 5209 | 5227 | 5231 | 5233 |
| 5237 | 5261 | 5273 | 5279 | 5281 | 5297 | 5303 | 5309 | 5323 | 5333 | 5347 | 5351 |
| 5381 | 5387 | 5393 | 5399 | 5407 | 5413 | 5417 | 5419 | 5431 | 5437 | 5441 | 5443 |
| 5449 | 5471 | 5477 | 5479 | 5483 | 5501 | 5503 | 5507 | 5519 | 5521 | 5527 | 5531 |
| 5557 | 5563 | 5569 | 5573 | 5581 | 5591 | 5623 | 5639 | 5641 | 5647 | 5651 | 5653 |
| 5657 | 5659 | 5669 | 5683 | 5689 | 5693 | 5701 | 5711 | 5717 | 5737 | 5741 | 5743 |
| 5749 | 5779 | 5783 | 5791 | 5801 | 5807 | 5813 | 5821 | 5827 | 5839 | 5843 | 5849 |
| 5851 | 5857 | 5861 | 5867 | 5869 | 5879 | 5881 | 5897 | 5903 | 5923 | 5927 | 5939 |
| 5953 | 5981 | 5987 | 6007 | 6011 | 6029 | 6037 | 6043 | 6047 | 6053 | 6067 | 6073 |
| 6079 | 6089 | 6091 | 6101 | 6113 | 6121 | 6131 | 6133 | 6143 | 6151 | 6163 | 6173 |
| 6197 | 6199 | 6203 | 6211 | 6217 | 6221 | 6229 | 6247 | 6257 | 6263 | 6269 | 6271 |
| 6277 | 6287 | 6299 | 6301 | 6311 | 6317 | 6323 | 6329 | 6337 | 6343 | 6353 | 6359 |
| 6361 | 6367 | 6373 | 6379 | 6389 | 6397 | 6421 | 6427 | 6449 | 6451 | 6469 | 6473 |
| 6481 | 6491 | 6521 | 6529 | 6547 | 6551 | 6553 | 6563 | 6569 | 6571 | 6577 | 6581 |
| 6599 | 6607 | 6619 | 6637 | 6653 | 6659 | 6661 | 6673 | 6679 | 6689 | 6691 | 6701 |
| 6703 | 6709 | 6719 | 6733 | 6737 | 6761 | 6763 | 6779 | 6781 | 6791 | 6793 | 6803 |
| 6823 | 6827 | 6829 | 6833 | 6841 | 6857 | 6863 | 6869 | 6871 | 6883 | 6899 | 6907 |
| 6911 | 6917 | 6947 | 6949 | 6959 | 6961 | 6967 | 6971 | 6977 | 6983 | 6991 | 6997 |
| 7001 | 7013 | 7019 | 7027 | 7039 | 7043 | 7057 | 7069 | 7079 | 7103 | 7109 | 7121 |
| 7127 | 7129 | 7151 | 7159 | 7177 | 7187 | 7193 | 7207 | 7211 | 7213 | 7219 | 7229 |
| 7237 | 7243 | 7247 | 7253 | 7283 | 7297 | 7307 | 7309 | 7321 | 7331 | 7333 | 7349 |
| 7351 | 7369 | 7393 | 7411 | 7417 | 7433 | 7451 | 7457 | 7459 | 7477 | 7481 | 7487 |
| 7489 | 7499 | 7507 | 7517 | 7523 | 7529 | 7537 | 7541 | 7547 | 7549 | 7559 | 7561 |
| 7573 | 7577 | 7583 | 7589 | 7591 | 7603 | 7607 | 7621 | 7639 | 7643 | 7649 | 7669 |
| 7673 | 7681 | 7687 | 7691 | 7699 | 7703 | 7717 | 7723 | 7727 | 7741 | 7753 | 7757 |
| 7759 | 7789 | 7793 | 7817 | 7823 | 7829 | 7841 | 7853 | 7867 | 7873 | 7877 | 7879 |
| 7883 | 7901 | 7907 | 7919 | 7927 | 7933 | 7937 | 7949 | 7951 | 7963 | 7993 | 8009 |
| 8011 | 8017 | 8039 | 8053 | 8059 | 8069 | 8081 | 8087 | 8089 | 8093 | 8101 | 8111 |
| 8117 | 8123 | 8147 | 8161 | 8167 | 8171 | 8179 | 8191 | 8209 | 8219 | 8221 | 8231 |
| 8233 | 8237 | 8243 | 8263 | 8269 | 8273 | 8287 | 8291 | 8293 | 8297 | 8311 | 8317 |
| 8329 | 8353 | 8363 | 8369 | 8377 | 8387 | 8389 | 8419 | 8423 | 8429 | 8431 | 8443 |
| 8447 | 8461 | 8467 | 8501 | 8513 | 8521 | 8527 | 8537 | 8539 | 8543 | 8563 | 8573 |
| 8581 | 8597 | 8599 | 8609 | 8623 | 8627 | 8629 | 8641 | 8647 | 8663 | 8669 | 8677 |
| 8681 | 8689 | 8693 | 8699 | 8707 | 8713 | 8719 | 8731 | 8737 | 8741 | 8747 | 8753 |
| 8761 | 8779 | 8783 | 8803 | 8807 | 8819 | 8821 | 8831 | 8837 | 8839 | 8849 | 8861 |
| 8863 | 8867 | 8887 | 8893 | 8923 | 8929 | 8933 | 8941 | 8951 | 8963 | 8969 | 8971 |
| 8999 | 9001 | 9007 | 9011 | 9013 | 9029 | 9041 | 9043 | 9049 | 9059 | 9067 | 9091 |
| 9103 | 9109 | 9127 | 9133 | 9137 | 9151 | 9157 | 9161 | 9173 | 9181 | 9187 | 9199 |
| 9203 | 9209 | 9221 | 9227 | 9239 | 9241 | 9257 | 9277 | 9281 | 9283 | 9293 | 9311 |
| 9319 | 9323 | 9337 | 9341 | 9343 | 9349 | 9371 | 9377 | 9391 | 9397 | 9403 | 9413 |
| 9419 | 9421 | 9431 | 9433 | 9437 | 9439 | 9461 | 9463 | 9467 | 9473 | 9479 | 9491 |
| 9497 | 9511 | 9521 | 9533 | 9539 | 9547 | 9551 | 9587 | 9601 | 9613 | 9619 | 9623 |
| 9629 | 9631 | 9643 | 9649 | 9661 | 9677 | 9679 | 9689 | 9697 | 9719 | 9721 | 9733 |
| 9739 | 9743 | 9749 | 9767 | 9769 | 9781 | 9787 | 9791 | 9803 | 9811 | 9817 | 9829 |
| 9833 | 9839 | 9851 | 9857 | 9859 | 9871 | 9883 | 9887 | 9901 | 9907 | 9923 | 9929 |
| 9931 | 9941 | 9949 | 9967 | 9973 | край на чинията 🙂 ! | ||||||
Рейтинг на статията:
Зареждане...