Задача 1.2
Дадени са две цели числа X и T. Ако имат различни знаци, след това присвоете на X стойността на произведението на тези числа и на T стойността на тяхната модулна разлика. Ако числата имат еднакви знаци, тогава присвоете на X стойността на разликата по модула на оригиналните числа и на T стойността на произведението на тези числа. Покажете новите X и T стойности на екрана.
Задачата също не е трудна. „Недоразумения“ могат да възникнат само ако сте забравили какво е модулна разлика (надявам се, че все още помните какво е произведението на две цели числа))).
Модулна разлика на две числа
Разликата по модул на две цели числа (въпреки че не е задължително да са цели числа - няма значение, просто в нашата задача числата са цели числа) - това, просто казано, е, когато резултатът от изчислението е модулът на разликата на две числа.
Тоест първо се извършва операцията по изваждане на едно число от друго. И след това се изчислява модулът на резултата от тази операция.
Математически може да се напише така:
Ако някой е забравил какво е модул или как се изчислява на Pascal, тогава вижте.
Алгоритъм за определяне на знаците на две числа
Решението на проблема като цяло е доста просто. Единственото нещо, което може да създаде трудности за начинаещите, е идентифицирането на знаците на две числа. Тоест, трябва да отговорим на въпроса: как да разберем дали числата имат еднакви знаци или различни.
Първо, предлага едно по едно сравнение на числа с нула. Това е приемливо. Но изходният код ще бъде доста голям. Следователно е по-правилно да използвате този алгоритъм:
- Умножете числата едно по друго
- Ако резултатът е по-малък от нула, тогава числата имат различни знаци
- Ако резултатът е нула или по-голям от нула, тогава числата имат еднакви знаци
Приложих този алгоритъм като отделен . И самата програма се оказа, както е показано в примерите на Pascal и C++ по-долу.
Решаване на задача 1.2 в Pascalпрограмни контролни числа; var A, X, T: цяло число; //************************************************ **************** // Проверява дали числата N1 и N2 имат еднакви знаци. Ако да, тогава // връща TRUE, в противен случай - FALSE //************************************ * *************************** функция ZnakNumbers(N1, N2: цяло число) : булево; начало := (N1 * N2) >= 0; край; //************************************************ **************** // ОСНОВНА ПРОГРАМА //**************************** ************************************ begin Write("X = "); ReadLn(X); Write("T = "); ReadLn(T); if ZnakNumbers(X, T) then //Ако числата имат еднакви знаци, започнете A:= (X - T); //Получаване на разликата по модул на оригиналните числа T:= X * T; end else //Ако числата имат различни знаци, begin A:= X * T; T:= Abs(X - T); край; X:= A; //Записване на стойността на A в X WriteLn("X = ", X); //Изход X WriteLn("T = ", T); //Изход T WriteLn("Краят. Натиснете ENTER..."); ReadLn; край.
Решаване на задача 1.2 в C++#include #include с използване на пространство от имена std; int A, X, T; //************************************************ **************** // Проверява дали числата N1 и N2 имат еднакви знаци. Ако да, тогава // връща TRUE, в противен случай - FALSE //************************************ * *************************** bool ZnakNumbers(int N1, int N2) ( return ((N1 * N2) >= 0); ) //************************************************ ****** ***************** // ОСНОВНА ПРОГРАМА //********************* ****** ***************************************** int main( int argc, char *argv) ( cout > X; cout > T; if (ZnakNumbers(X, T)) //Ако числата имат еднакви знаци ( A = abs(X - T); //Получаване на разликата по модул оригиналните числа T = X * T; ) // Ако числата имат различни знаци ( A = X * T; ) X = A; // Запишете стойността на A cout в X
Оптимизация
Това проста програмаМожете да го опростите още малко, ако не използвате функцията и леко преработите изходния код на програмата. Това леко ще намали общия брой редове от изходния код. Как да направите това - помислете сами.
- (продукт) Резултат от умножението. Произведение на числа, алгебрични изрази, вектори или матрици; могат да бъдат показани с точка, наклонен кръст или просто като ги изпишете последователно един след друг, т.е. f(x).g(y), f(x) x g(y), f(x)g(y)… … Икономически речник
Наука за целите числа. Концепцията за цяло число (виж число), както и аритметичните операции с числа, са известни от древни времена и са една от първите математически абстракции. Специално място сред целите числа, т.е. числата..., 3... Велика съветска енциклопедия
Съществително име, с., използвано. често Морфология: (не) какво? работи, защо? работа, (виждам) какво? работа на какво? работа, за какво? за работата; мн. Какво? работи, (не) какво? работи, защо? работи, (виждам) какво? върши работа,... ... Обяснителен речник на Дмитриев
Матрицата е математически обект, написан под формата на правоъгълна таблица с числа (или елементи от пръстен) и позволяваща алгебрични операции (събиране, изваждане, умножение и т.н.) между нея и други подобни обекти. Правила за изпълнение... ... Wikipedia
В аритметиката умножението се разбира като кратко записване на сумата от еднакви членове. Например нотацията 5*3 означава „5 се добавя към себе си 3 пъти“, тоест това е просто кратка нотация за 5+5+5. Резултатът от умножението се нарича произведение, а ... ... Wikipedia
Клон от теорията на числата, чиято основна задача е да изучава свойствата на целочислени полета на алгебрични числа с крайна степен върху поле рационални числа. Всички цели числа в поле за разширение K на поле от степен n могат да бъдат получени с помощта на... ... Математическа енциклопедия
Теорията на числата или висшата аритметика е дял от математиката, който изучава цели числа и подобни обекти. В теорията на числата в широк смисъл се разглеждат както алгебрични, така и трансцендентални числа, както и функции с различен произход, които ... ... Wikipedia
Клон на теорията на числата, в който се изучават модели на разпределение прости числа(p.h.) сред естествени числа. Централният проблем е най-доброто асимптотично решение. изрази за функцията p(x), обозначаващи броя на p.p., който не превишава x, a... ... Математическа енциклопедия
- (в чуждестранната литература скаларно произведение, скаларно произведение, вътрешно произведение) операция върху два вектора, резултатът от която е число (скалар), което не зависи от координатната система и характеризира дължините на факторните вектори и ъгъла между ... ... Уикипедия
Симетрична ермитова форма, дефинирана върху векторно пространство L върху поле K, обикновено разглеждано като неразделна част от дефиницията на това пространство, което прави пространството (в зависимост от типа на пространството и свойствата на вътрешния ... Wikipedia
Книги
- Колекция от задачи по математика, Бачурин В.. Въпросите по математика, разгледани в книгата, напълно съответстват на съдържанието на всяка от трите програми: училище, подготвителни отдели, приемни изпити. И въпреки че тази книга се казва...
- Жива материя. Физика на живите и еволюционни процеси, Яшин А.А. Тази монография обобщава изследванията на автора през последните няколко години. Експерименталните резултати, представени в книгата, са получени от Тулската научна школа по полева биофизика и...
Ако една концертна зала е осветена от 3 полилея с по 25 крушки всеки, тогава общият брой крушки в тези полилеи ще бъде 25 + 25 + 25, тоест 75.
Сборът, в който всички членове са равни, се записва по-кратко: вместо 25 + 25 + 25 се пише 25 3. Това означава 25 3 = 75 (фиг. 43). Числото 75 се нарича работачислата 25 и 3, а числата 25 и 3 се наричат умножители.
Ориз. 43. Произведение на числата 25 и 3
Умножаването на число m по естествено число n означава намиране на сумата от n члена, всеки от които е равен на m.
Извикват се изразът m n и стойността на този израз работа числамИн. Числата, които се умножават, се наричат умножители. Тези. m и n са множители.
Произведенията 7 4 и 4 7 са равни на едно и също число 28 (фиг. 44).
Ориз. 44. Продукт 7 4 = 4 7
1. Произведението на две числа не се променя, когато факторите се пренаредят.
комутативен
а × b = b × а .
Произведенията (5 3) 2 = 15 2 и 5 (3 2) = 5 6 имат еднаква стойност 30. Това означава 5 (3 2) = (5 3) 2 (фиг. 45).
Ориз. 45. Продукт (5 3) 2 = 5 (3 2)
2. За да умножите число по произведението на две числа, можете първо да го умножите по първия фактор и след това да умножите получения продукт по втория фактор.
Това свойство на умножението се нарича асоциативен. С помощта на букви се пише така:
А (bв) = (аbС).
Сборът от n члена, всеки равен на 1, е равен на n. Следователно равенството 1 n = n е вярно.
Сборът от n члена, всеки от които е равен на нула, е равен на нула. Следователно равенството 0 n = 0 е вярно.
За да бъде вярно комутативното свойство на умножението за n = 1 и n = 0, се приема, че m 1 = m и m 0 = 0.
Знакът за умножение обикновено не се записва пред буквени множители: вместо 8 хнапиши 8 х, вместо Аbпишете Аb.
Знакът за умножение също се пропуска пред скобите. Например вместо 2 ( а +b) напишете 2 (a+b) , и вместо ( х+ 2) (y + 3) напишете (x + 2) (y + 3).
Вместо ( аб) с писане абв.
Когато в обозначението на произведението няма скоби, умножението се извършва в ред отляво надясно.
Произведенията се четат, като се назовава всеки фактор родителен падеж. Например:
1) 175 60 е произведението на сто седемдесет и пет и шестдесет;
2) 80 (х+ 1 7) – произведение на r.p. R.P.
осемдесет и сумата от х и седемнадесет
Да решим проблема.
Колко трицифрени числа (фиг. 46) могат да се съставят от числата 2, 4, 6, 8, ако числата в числото не се повтарят?
Решение.
Първата цифра на числото може да бъде всяка от четиридадени числа, второто – всяко от тридруги, а третият – който и да е от двеостаналите. Оказва се:
Ориз. 46. Към задачата за съставяне на трицифрени числа
Общо от тези числа можете да съставите 4 3 2 = 24 трицифрени числа.
Да решим проблема.
Бордът на дружеството се състои от 5 души. Измежду членовете си бордът трябва да избере президент и вицепрезидент. По колко начина може да стане това?
Решение.
За президент на дружеството може да бъде избран един от 5 души:
Президентът:
След като президентът бъде избран, всеки от четиримата останали членове на борда може да бъде избран за вицепрезидент (фиг. 47):
|
Ориз. 47. По изборния проблем
Това означава, че има пет начина за избор на президент и за всеки избран президент има четири начина за избор на вицепрезидент. следователно общ бройБроят на начините за избор на президент и вицепрезидент на компанията е: 5 4 = 20 (виж Фиг. 47).
Нека решим друг проблем.
От с. Аникеево до с. Болшово има четири пътя, а от с. Болшово до с. Виноградово – три (фиг. 48). По колко начина можете да стигнете от Аникеев до Виноградово през село Болшево?
Ориз. 48. По проблема с пътищата
Решение.
Ако стигнете от А до Б по първия път, тогава има три начина да продължите пътуването (фиг. 49).
Ориз. 49. Опции за пътя
Разсъждавайки по същия начин, получаваме три начина да продължим пътуването, като започнем да се движим по 2-ри, 3-ти и 4-ти път. Това означава, че общо има 4 3 = 12 начина да стигнете от Аникеев до Виноградов.
Нека решим още един проблем.
Семейство, състоящо се от баба, баща, майка, дъщеря и син, получи 5 различни чаши. По колко начина могат да се разделят чашите между членовете на семейството?
Решение. Първият член на семейството (например баба) има 5 избора, следващият (нека е татко) има 4 избора. Следващият (например мама) ще избере от 3 чаши, следващият от две, а последният получава една останала чаша. Нека да покажем тези методи на диаграмата (фиг. 50).
Ориз. 50. Схема за решаване на задачата
Установихме, че всеки избор на чаша от бабата отговаря на четири възможни изборитатковци, т.е. само 5 4 начина. След като татко е избрал чаша, мама има три избора, дъщеря има две, синът има една, т.е. само 3 2 1 начина. Накрая откриваме, че за да решим проблема, трябва да намерим продукта 5 4 3 2 1.
Обърнете внимание, че получихме произведението на всички естествени числа от 1 до 5. Такива продукти се записват по-кратко:
5 4 3 2 1 = 5! (да се чете: „пет факториела“).
Факториел на число– произведението на всички естествени числа от 1 до това число.
И така, отговорът на задачата е: 5! = 120, т.е. Чашите могат да се раздават между членовете на семейството по сто и двадесет начина.
За решаване на много проблеми „на максимум и минимум“, т.е. За да намерите най-големите и най-малките стойности на променлива, можете успешно да използвате някои алгебрични твърдения, с които сега ще се запознаем.
x y
Помислете за следния проблем:
На какви две части трябва да се раздели това число, така че произведението им да е най-голямо?
Нека даденото числоА. След това частите, на които е разделено числотоА, може да се означи с
а/2 + х И а/2 - х;
номер хпоказва колко се различават тези части от половината от числото А. Произведението на двете страни е равно
(а/2 + х) · ( а/2 - х) = a 2 / 4 - x 2.
Ясно е, че произведението на взетите части ще нараства с нарастване на х, т.е. тъй като разликата между тези части намалява. Най-великият продукт ще бъде при x = 0, т.е. в случай, че двете страни са равни а/2.
Така,
произведението на две числа, чиято сума е постоянна, ще бъде най-голямо, когато тези числа са равни едно на друго.
x y z
Нека разгледаме същия въпрос за три числа.
На кои три части трябва да се раздели това число, за да бъде произведението им най-голямо?
При решаването на този проблем ще разчитаме на предишния.
Нека номерът Аразделен на три части. Нека първо приемем, че нито една част не е равна а/3.Тогава между тях ще има част, голяма а/3(и трите не могат да бъдат по-малко а/3); нека го обозначим с
a/3+x.
По същия начин сред тях ще има част, която е по-малка а/3; нека го обозначим с
а/3 - у.
Числа хИ приса положителни. Третата част очевидно ще бъде равна на
a/3 + y - x.
Числа а/3И a/3 + x - yимат същата сума като първите две части на числото А, а разликата между тях, т.е. x - y, по-малко от разликата между първите две части, която беше равна x + y. Както знаем от решението на предишната задача, следва, че продуктът
а/3 · ( a/3 + x - y)
по-голямо от произведението на първите две части на числото А.
Така че, ако първите две части на число Азамени с числа
а/3И a/3 + x - y,
и оставете третия непроменен, тогава продуктът ще се увеличи.
Нека сега една от частите вече е равна а/3. Тогава другите две имат формата
a/3+zИ a/3 - z.
Ако направим последните две части равни а/3 (поради което сборът им няма да се промени), тогава произведението ще се увеличи отново и ще стане равно
a/3 a/3 a/3 = a 3/27 .
Така,
ако числото a е разделено на 3 части, които не са равни една на друга, тогава произведението на тези части е по-малко от a 3 / 27, т.е. отколкото произведението на три равни множителя, които се събират до a.
По подобен начин можете да докажете тази теорема за четири фактора, за пет и т.н.
x p · y q
Нека сега разгледаме един по-общ случай.
За какви стойности на x и y изразът x p y q е най-голям, ако x + y = a?
Трябва да намерим при каква стойност на x е изразът
x p ·(а - х) р
достига най-голямата си стойност.
Нека умножим този израз по числото 1/р p q q. Нека получим нов израз
x p / p p · (а-х ) q / q q,
която очевидно достига най-голямата си стойност едновременно с първоначалната.
Нека представим получения сега израз във формата
(а-х) /q (а-х) /q · ... · (а-х) /q ,
където факторите от първия тип се повтарят стрведнъж и два пъти - рведнъж.
Сумата от всички множители на този израз е равна на
x / p + x / p + ... + x / p + (а-х) /q+ (а-х) /q + ... + (а-х) /q =
= px / p + q (а-х) / q = x + a - x = a ,
тези. постоянна стойност.
Въз основа на доказаното преди това, ние заключаваме, че продуктът
x/p · x/p · ... · x/p · (а-х) /q (а-х) /q · ... · (а-х) /q
достига максимум, когато всички негови отделни фактори са равни, т.е. Кога
x/p= (а-х) /q.
Знаейки това a - x = y, получаваме, чрез пренареждане на членовете, пропорцията
x / y = p / q.
Така,
произведението x p y q, с постоянна сума x + y, достига най-голямата си стойност, когато
x: y = p: q.
По същия начин може да се докаже, че
върши работа
x p y q z r, x p y q z r t u и т.н.
с постоянни количества x + y + z, x + y + z + t и т.н. достигат най-голямата си стойност, когато
x: y: z = p: q: r,x: y: z: t = p: q: r: u и т.н.
Нека да разгледаме концепцията за умножение, използвайки пример:
Туристите бяха на път три дни. Всеки ден са изминавали една и съща пътека от 4200 m. Колко разстояние са изминали за три дни? Решете проблема по два начина.
Решение:
Нека разгледаме проблема подробно.
През първия ден туристите изминаха 4200м. На втория ден туристите изминаха същата пътека 4200м, а на третия ден – 4200м. Нека го напишем на математически език:
4200+4200+4200=12600м.
Виждаме модел, в който числото 4200 се повтаря три пъти, следователно сумата може да бъде заменена с умножение:
4200⋅3=12600m.
Отговор: туристите изминаха 12 600 метра за три дни.
Да разгледаме един пример:
За да избегнем писането на дълъг запис, можем да го напишем под формата на умножение. Числото 2 се повтаря 11 пъти, така че пример с умножение ще изглежда така:
2⋅11=22
Обобщете. Какво е умножение?
Умножение– това е действие, което замества повторението на термина m n пъти.
Записът m⋅n и резултатът от този израз се наричат произведение на числата, а числата m и n се наричат умножители.
Нека да разгледаме това с пример:
7⋅12=84
Извикват се изразът 7⋅12 и резултатът 84 произведение на числата.
Извикват се числата 7 и 12 умножители.
Има няколко закона за умножение в математиката. Нека ги разгледаме:
Комутативен закон за умножение.
Нека разгледаме проблема:
Дадохме две ябълки на 5 наши приятели. Математически записът ще изглежда така: 2⋅5.
Или дадохме 5 ябълки на двама наши приятели. Математически записът ще изглежда така: 5⋅2.
В първия и втория случай ще разпределим еднакъв брой ябълки, равен на 10 бр.
Ако умножим 2⋅5=10 и 5⋅2=10, резултатът няма да се промени.
Свойство на закона за комутативно умножение:
Смяната на местата на факторите не променя продукта.
м⋅
н=n⋅м
Комбинативен закон за умножение.
Да разгледаме един пример:
(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 или 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 получаваме,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(а⋅
b) ⋅
° С=
а⋅(b⋅
° С)
Свойство на закона за асоциативно умножение:
За да умножите число по произведението на две числа, можете първо да го умножите по първия фактор и след това да умножите получения продукт по втория.
Чрез размяна на множество фактори и поставянето им в скоби, резултатът или продуктът няма да се променят.
Тези закони са верни за всякакви естествени числа.
Умножение на всяко естествено число по едно.
Да разгледаме един пример:
7⋅1=7 или 1⋅7=7
а⋅1=a или 1⋅а=
а
Когато всяко естествено число се умножи по едно, продуктът винаги ще бъде едно и също число.
Умножение на всяко естествено число по нула.
6⋅0=0 или 0⋅6=0
а⋅0=0 или 0⋅а=0
Когато всяко естествено число се умножи по нула, продуктът ще бъде равен на нула.
Въпроси към темата „Умножение“:
Какво е произведение на числа?
Отговор: произведението на числата или умножението на числата е изразът m⋅n, където m е член, а n е броят на повторенията на този член.
За какво се използва умножението?
Отговор: за да не се пише дълго събиране на числа, а да се пише съкратено. Например 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18
Какъв е резултатът от умножението?
Отговор: смисълът на произведението.
Какво означава умножение 3⋅5?
Отговор: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15
Ако умножите милион по нула, на какво е равно произведението?
Отговор: 0
Пример #1:
Заменете сбора с произведението: а) 12+12+12+12+12 б)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Отговор: а) 12⋅5=60 б) 3⋅9=27
Пример #2:
Запишете го като произведение: a) a+a+a+a b) c+c+c+c+c+c+c
Решение:
а)a+a+a+a=4⋅a
б) s+s+s+s+s+s+s=7⋅s
Задача №1:
Мама купи 3 кутии шоколадови бонбони. Всяка кутия съдържа 8 бонбона. Колко бонбона купи мама?
Решение:
В една кутия има 8 бонбона, а ние имаме 3 такива кутии.
8+8+8=8⋅3=24 бонбона
Отговор: 24 бонбона.
Задача #2:
Учителят по рисуване каза на своите осем ученици да приготвят седем молива за всеки урок. Колко молива имаха общо децата?
Решение:
Можете да обобщите проблема. Първият ученик имаше 7 молива, вторият ученик имаше 7 молива и т.н.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Записът се оказа неудобен и дълъг, нека заместим сумата с произведението.
7⋅8=56
Отговорът е 56 молива.
Зареждане...