) и знаменател по знаменател (получаваме знаменателя на произведението).
Формула за умножение на дроби:
Например:
Преди да започнете да умножавате числители и знаменатели, трябва да проверите дали дробта може да бъде намалена. Ако можете да намалите фракцията, ще ви бъде по-лесно да правите допълнителни изчисления.
Деление на обикновена дроб на дроб.
Деление на дроби с естествени числа.
Не е толкова страшно, колкото изглежда. Както в случая със събирането, ние преобразуваме цялото число в дроб с единица в знаменателя. Например:
Умножение на смесени дроби.
Правила за умножение на дроби (смесени):
- преобразуване на смесени дроби в неправилни дроби;
- умножаване на числителите и знаменателите на дроби;
- намаляване на фракцията;
- Ако получите неправилна дроб, ние преобразуваме неправилната дроб в смесена дроб.
Забележка!За да умножите смесена дроб по друга смесена дроб, първо трябва да ги приведете във формата неправилни дроби, а след това умножете по правилото за умножение на обикновени дроби.
Вторият начин за умножаване на дроб с естествено число.
Може да е по-удобно да използвате втория метод за умножаване на обикновена дроб по число.
Забележка!За да умножите дроб по естествено числоНеобходимо е да разделите знаменателя на фракцията на това число и да оставите числителя непроменен.
От примера, даден по-горе, става ясно, че тази опция е по-удобна за използване, когато знаменателят на дроб е разделен без остатък на естествено число.
Многоетажни дроби.
В гимназията често се срещат триетажни (или повече) фракции. Пример:
За да приведете такава фракция в обичайната й форма, използвайте разделяне на 2 точки:
Забележка!При разделянето на дроби редът на делене е много важен. Бъдете внимателни, тук е лесно да се объркате.
Забележка, Например:
Когато разделяте едно на която и да е дроб, резултатът ще бъде същата дроб, само обърната:
Практически съвети за умножение и деление на дроби:
1. Най-важното при работа с дробни изрази е точността и вниманието. Правете всички изчисления внимателно и точно, съсредоточено и ясно. По-добре е да напишете няколко допълнителни реда в черновата си, отколкото да се изгубите в умствени изчисления.
2. В задачи със различни видоведроби - преминават към формата на обикновени дроби.
3. Намаляваме всички дроби, докато вече не е възможно да се намали.
4. Трансформираме многостепенни дробни изрази в обикновени, като използваме деление на 2 точки.
5. Разделете единица на дроб наум, като просто обърнете дробта.
Последния път научихме как да събираме и изваждаме дроби (вижте урока „Събиране и изваждане на дроби“). Най-трудният момент в тези действия беше намаляването на дробите до общ знаменател.
Сега е време да се занимаваме с умножение и деление. Добрата новина е, че тези операции са дори по-прости от събирането и изваждането. Първо, нека разгледаме най-простия случай, когато има две положителни дроби без отделена цяла част.
За да умножите две дроби, трябва да умножите техните числители и знаменатели поотделно. Първото число ще бъде числителят на новата дроб, а второто ще бъде знаменателят.
За да разделите две дроби, трябва да умножите първата дроб по „обърнатата“ втора дроб.
Обозначаване:
От определението следва, че деленето на дроби се свежда до умножение. За да „обърнете“ дроб, просто разменете числителя и знаменателя. Затова през целия урок ще разглеждаме основно умножението.
В резултат на умножението може да възникне редуцируема дроб (и често възниква) - тя, разбира се, трябва да бъде намалена. Ако след всички съкращения дробта се окаже неправилна, цялата част трябва да бъде маркирана. Но това, което определено няма да се случи с умножението, е редукция до общ знаменател: без кръстосани методи, най-големи множители и най-малко общи кратни.
По дефиниция имаме:
Умножение на дроби с цели части и отрицателни дроби
Ако дробите съдържат цяло число, те трябва да бъдат преобразувани в неправилни - и едва след това да се умножат според схемите, описани по-горе.
Ако има минус в числителя на дроб, в знаменателя или пред него, той може да бъде изваден от умножението или напълно премахнат съгласно следните правила:
- Плюс с минус дава минус;
- Две отрицания правят утвърдително.
Досега тези правила се срещаха само при събиране и изваждане на отрицателни дроби, когато беше необходимо да се отървем от цялата част. За една работа те могат да бъдат обобщени, за да „изгорят“ няколко недостатъка наведнъж:
- Зачеркваме негативите по двойки, докато изчезнат напълно. В краен случай може да оцелее един минус - този, за който нямаше половинка;
- Ако няма останали минуси, операцията е завършена - можете да започнете да умножавате. Ако последният минус не е зачеркнат, защото за него няма двойка, го извеждаме извън границите на умножението. Резултатът е отрицателна дроб.
Задача. Намерете значението на израза:
Преобразуваме всички дроби в неправилни и след това премахваме минусите от умножението. Умножаваме останалото според обичайните правила. Получаваме:
Още веднъж напомням, че минусът, който се появява пред дроб с подчертана цяла част, се отнася именно за цялата дроб, а не само за цялата й част (това се отнася за последните два примера).
Също така имайте предвид отрицателни числа: При умножение се ограждат в скоби. Това се прави, за да се отделят минусите от знаците за умножение и да се направи цялата нотация по-точна.
Намаляване на дроби в движение
Умножението е много трудоемка операция. Числата тук се оказват доста големи и за да опростите проблема, можете да опитате да намалите фракцията допълнително преди умножение. Наистина, по същество числителите и знаменателите на дробите са обикновени множители и следователно могат да бъдат намалени, като се използва основното свойство на дроб. Разгледайте примерите:
Задача. Намерете значението на израза:
По дефиниция имаме:
Във всички примери с червено са отбелязани числата, които са били намалени и това, което е останало от тях.
Моля, обърнете внимание: в първия случай множителите бяха напълно намалени. На тяхно място остават единици, които най-общо казано не е необходимо да се изписват. Във втория пример не беше възможно да се постигне пълно намаление, но общият размер на изчисленията все пак намаля.
Никога обаче не използвайте тази техника, когато събирате и изваждате дроби! Да, понякога има подобни числа, които просто искате да намалите. Ето вижте:
Не можете да направите това!
Грешката възниква, защото при събиране числителят на дроб произвежда сума, а не произведение на числа. Следователно е невъзможно да се приложи основното свойство на дроб, тъй като това свойство се занимава конкретно с умножението на числа.
Просто няма други причини за намаляване на дробите, така че правилно решениепредишната задача изглежда така:
Правилно решение:
Както можете да видите, правилният отговор се оказа не толкова красив. Като цяло, бъдете внимателни.
Умножаването на цяло число по дроб не е трудна задача. Но има тънкости, които вероятно сте разбрали в училище, но след това сте забравили.
Как да умножим цяло число по дроб - няколко члена
Ако си спомняте какво са числител и знаменател и как правилната дроб се различава от неправилната дроб, пропуснете този параграф. Тя е за тези, които напълно са забравили теорията.
Числителят е горна частдробите са това, което разделяме. Знаменателят е по-нисък. По това се делим.
Правилна дроб е тази, чийто числител е по-малък от знаменателя. Неправилна дроб е тази, чийто числител е по-голям или равен на знаменателя.
Как да умножим цяло число по дроб
Правилото за умножение на цяло число по дроб е много просто - умножаваме числителя по цялото число, но не пипаме знаменателя. Например: две умножени по една пета - получаваме две пети. Четири, умножено по три шестнадесети, се равнява на дванадесет шестнадесети.
Намаляване
Във втория пример получената фракция може да бъде намалена.
Какво означава? Моля, обърнете внимание, че и числителят, и знаменателят на тази дроб се делят на четири. Разделете двете числа на общ делители се нарича намаляване на дроб. Получаваме три четвърти.
Неправилни дроби
Но да предположим, че умножим четири по две пети. Оказа се осем пети. Това е неправилна дроб.
Тя определено трябва да бъде доведена правилният вид. За да направите това, трябва да изберете цяла част от него.
Тук трябва да използвате деление с остатък. Получаваме едно и три като остатък.
Едно цяло и три пети е нашата правилна дроб.
Привеждането на тридесет и пет осми в правилната форма е малко по-трудна задача. Най-близкото число до тридесет и седем, което се дели на осем, е тридесет и две. При разделяне получаваме четири. Изваждаме тридесет и две от тридесет и пет и получаваме три. Резултат: четири цяло и три осми.
Равенство на числител и знаменател. И тук всичко е много просто и красиво. Ако числителят и знаменателят са равни, резултатът е просто едно.
Обикновените дробни числа за първи път се срещат с учениците в 5-ти клас и ги придружават през целия им живот, тъй като в ежедневието често е необходимо да се разглежда или използва обект не като цяло, а на отделни части. Започнете да изучавате тази тема - споделя. Акциите са равни части, на които е разделен този или онзи обект. В края на краищата, не винаги е възможно да се изрази, например, дължината или цената на даден продукт като цяло число, трябва да се вземат предвид части или части от някаква мярка. Образувана от глагола „разделяне“ - разделяне на части и имаща арабски корени, самата дума „фракция“ възниква на руски език през 8 век.
Дробните изрази отдавна се смятат за най-трудния дял от математиката. През 17 век, когато се появяват първите учебници по математика, те се наричат „счупени числа“, което е много трудно за разбиране от хората.
Модерна визияпрости дробни остатъци, чиито части са разделени с хоризонтална линия, са били насърчавани за първи път от Фибоначи - Леонардо от Пиза. Неговите творби са датирани от 1202 г. Но целта на тази статия е просто и ясно да обясни на читателя как се умножават смесени дроби различни знаменатели.
Умножение на дроби с различни знаменатели
Първоначално си струва да се определи видове дроби:
- правилно;
- неправилно;
- смесен.
След това трябва да запомните как се умножават дробни числа с еднакви знаменатели. Самото правило на този процес не е трудно да се формулира независимо: резултатът от умножаването на прости дроби с еднакви знаменатели е дробен израз, чийто числител е произведението на числителите, а знаменателят е произведението на знаменателите на тези дроби. . Тоест всъщност новият знаменател е квадрат на един от първоначално съществуващите.
При умножаване прости дроби с различни знаменателиза два или повече фактора правилото не се променя:
а/b * ° С/д = а*в / b*d.
Единствената разлика е, че полученото число под дробната линия ще бъде произведението на различни числа и, естествено, квадрат на едно числено изражениеневъзможно е да го назовем.
Струва си да разгледаме умножението на дроби с различни знаменатели, като използваме примери:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Примерите използват методи за намаляване на дробни изрази. Можете да намалите само числата на числителя с числата на знаменателя; съседните множители над или под дробната линия не могат да бъдат намалени.
Наред с простите дроби съществува понятието смесени дроби. Смесеното число се състои от цяло число и дробна част, т.е. това е сумата от тези числа:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Как работи умножението?
Дадени са няколко примера за разглеждане.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Примерът използва умножение на число по обикновена дробна част, правилото за това действие може да се запише като:
а* б/° С = а*б /° С.
Всъщност такъв продукт е сумата от еднакви дробни остатъци и броят на членовете показва това естествено число. Специален случай:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Има друго решение за умножаване на число с дробен остатък. Просто трябва да разделите знаменателя на това число:
д* д/f = д/е: г.
Тази техника е полезна за използване, когато знаменателят е разделен на естествено число без остатък или, както се казва, на цяло число.
Преобразувайте смесени числа в неправилни дроби и получете продукта по описания по-горе начин:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Този пример включва начин за представяне на смесена дроб като неправилна дроб и може също да бъде представена като обща формула:
а b° С = а*б+ c / c, където знаменателят на новата дроб се формира чрез умножаване на цялата част със знаменателя и добавянето му с числителя на първоначалния дробен остатък, а знаменателят остава същият.
Този процес работи и в обратна посока. За да разделите цялата част и дробния остатък, трябва да разделите числителя на неправилна дроб на нейния знаменател с помощта на „ъгъл“.
Умножение на неправилни дробипроизведени по общоприет начин. Когато пишете под една дробна линия, трябва да намалите дробите, ако е необходимо, за да намалите числата с помощта на този метод и да улесните изчисляването на резултата.
В интернет има много помощници за решаване дори на сложни математически задачи различни вариациипрограми. Достатъчен брой такива услуги предлагат своята помощ при броене на умножение на дроби с различни числав знаменатели – т. нар. онлайн калкулатори за пресмятане на дроби. Те могат не само да умножават, но и да извършват всички други прости аритметични операции обикновени дробии смесени числа. Не е трудно да се работи с него; попълнете съответните полета на страницата на уебсайта, изберете знака на математическата операция и щракнете върху „изчисли“. Програмата изчислява автоматично.
Темата за аритметичните действия с дроби е актуална за цялото обучение на учениците от средните и средните класове. В гимназията вече не разглеждат най-простите видове, но цели дробни изрази, но знанията за правилата за трансформация и изчисления, получени по-рано, се прилагат в оригиналния им вид. Добре усвоените основни знания дават пълна увереност в успешно решениеповечето сложни задачи.
В заключение има смисъл да цитираме думите на Лев Николаевич Толстой, който пише: „Човекът е част. Не е във властта на човек да увеличи своя числител - своите заслуги - но всеки може да намали своя знаменател - своето мнение за себе си, и с това намаляване да се доближи до своето съвършенство.
Зареждане...