Відстань між двома точками, заданими своїми координатами. Відстань між двома точками на площині

Відстань між двома точками площини.
Системи координат

Кожна точка А площини характеризується своїми координатами (х, у). Вони збігаються з координатами вектора 0А, що виходить із точки 0 - початку координат.

Нехай А і В - довільні точки площини з координатами (х 1 y 1) та (х 2, у 2) відповідно.

Тоді вектор AB має, очевидно, координати (х 2 - х 1, y 2 - y 1). Відомо, що квадрат довжини вектора дорівнює суміквадратів його координат. Тому відстань d між точками А і В, або, що те саме, довжина вектора АВ, визначається з умови

d 2 = (х 2 – х 1) 2 + (y 2 – y 1) 2 .

d = \/ (х 2 - х 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2

Отримана формула дозволяє знаходити відстань між будь-якими двома точками площини, якщо відомі координати цих точок

Щоразу, говорячи про координати тієї чи іншої точки плоскосі, ми маємо на увазі цілком певну систему координат х0у. А взагалі систему координат на площині можна вибирати по-різному. Так, замість системи координат х0у можна розглянути систему координат х"0у" , яка утворюється в результаті повороту старих осей координат навколо початкової точки 0 проти годинниковоїстрілки на кут α .

Якщо деяка точка площини в системі координат х0у мала координати (х, у), то новій системікоординат х"0у" вона матиме вже інші координати (х", у").

Як приклад розглянемо точку М, розташовану на осі 0х" і віддалену від точки 0 на відстані, що дорівнює 1.

Очевидно, що в системі координат x0у ця точка має координати (cos α , sin α ), а системі координат х"0у" координати (1,0).

Координати будь-яких двох точок площини А та В залежать від того, як у цій площині задана система координат. А ось відстань між цими точками залежить від способу завдання системи координат. Ця важлива обставина буде суттєво використана нами у наступному параграфі.

Вправи

I. Знайти відстані між точками площини з координатами:

1) (3,5) та (3,4); 3) (0,5) та (5, 0); 5) (-3,4) та (9, -17);

2) (2, 1) та (- 5, 1); 4) (0, 7) та (3,3); 6) (8, 21) та (1, -3).

ІІ. Знайти периметр трикутника, сторони якого задані рівняннями:

x + у - 1 = 0, 2x - у - 2 = 0 та у = 1.

ІІІ. У системі координат х0у точки М і N мають координати (1, 0) та (0,1) відповідно. Знайти координати цих точок у новій системі координат, яка виходить і в результаті повороту старих осей навколо початкової точки на кут 30° проти годинникової стрілки.

IV. У системі координат х0у точки М і N мають координати (2, 0) та (\ / 3/2, - 1/2) відповідно. Знайти координати цих точок у новій системі координат, яка у результаті повороту старих осей навколо початкової точки на кут в 30° за годинниковою стрілкою.

Вирішення задач з математики у учнів часто супроводжується багатьма труднощами. Допомогти учню впоратися з цими труднощами, а також навчити застосовувати теоретичні знання, що є у нього, при вирішенні конкретних завдань по всіх розділах курсу предмета «Математика» – основне призначення нашого сайту.

Приступаючи до розв'язання задач на тему , учні повинні вміти будувати крапку на площині за її координатами, а як і знаходити координати заданої точки.

Обчислення відстані між взятими на площині двома точками А(х А; у А) та В(х В; у В), виконується за формулою d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2), де d - Довжина відрізка, який з'єднує ці точки на площині.

Якщо один із кінців відрізка збігається з початком координат, а інший має координати М(х М; у М), то формула для обчислення d набуде вигляду ОМ = √(х М 2 + у М 2).

1. Обчислення відстані між двома точками за даними координатами цих точок

Приклад 1.

Знайти довжину відрізка, який з'єднує на координатній площині точки А(2; -5) та В(-4; 3) (рис. 1).

Рішення.

За умови завдання дано: х А = 2; х В = -4; у А = -5 та у В = 3. Знайти d.

Застосувавши формулу d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2), отримаємо:

d = АВ = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Обчислення координат точки, яка рівновіддалена від трьох заданих точок

приклад 2.

Знайти координати точки О 1 , яка рівновіддалена від трьох точок А(7; -1) і (-2; 2) і С(-1; -5).

Рішення.

З формулювання умови завдання випливає, що О 1 А = О 1 В = О 1 С. Нехай шукана точка О 1 має координати (а; b). За формулою d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) знайдемо:

О 1 А = √((а – 7) 2 + (b + 1) 2);

О 1 = √((а + 2) 2 + (b – 2) 2);

О 1 З = √((а + 1) 2 + (b + 5) 2).

Складемо систему із двох рівнянь:

(√((а – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((а + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((а – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((а + 1) 2 + (b + 5) 2).

Після зведення в квадрат лівої та правої частин рівнянь запишемо:

((а – 7) 2 + (b + 1) 2 = (а + 2) 2 + (b – 2) 2 ,
((а - 7) 2 + (b + 1) 2 = (а + 1) 2 + (b + 5) 2 .

Спростивши, запишемо

(-3а + b + 7 = 0,
(-2а - b + 3 = 0).

Розв'язавши систему, отримаємо: а = 2; b = -1.

Крапка О 1 (2; -1) рівновіддалена від трьох заданих за умови точок, які лежать однією прямий. Ця точка - є центр кола, що проходить через три задані точки (Рис. 2).

3. Обчислення абсцис (ординати) точки, яка лежить на осі абсцис (ординат) і знаходиться на заданій відстані від цієї точки

Приклад 3.

Відстань від точки В(-5; 6) до точки А, що лежить на осі Ох дорівнює 10. Знайти точку А.

Рішення.

З формулювання умови завдання випливає, що ордината точки А дорівнює нулю та АВ = 10.

Позначивши абсцис точки А через а, запишемо А(а; 0).

АВ = √((а + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((а + 5) 2 + 36).

Отримуємо рівняння √((а + 5) 2 + 36) = 10. Спростивши його, маємо

а 2 + 10а - 39 = 0.

Коріння цього рівняння а 1 = -13; а 2 = 3.

Отримуємо дві точки А 1 (-13; 0) та А 2 (3; 0).

Перевірка:

А 1 = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

А 2 = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Обидві одержані точки підходять за умовою задачі (Рис. 3).

4. Обчислення абсцис (ординати) точки, що лежить на осі абсцис (ординат) і знаходиться на однаковій відстані від двох заданих точок

Приклад 4.

Знайти на осі Оу точку, яка знаходиться на однаковій відстані від точок А(6; 12) та В(-8; 10).

Рішення.

Нехай координати необхідної за умовою задачі точки, що лежить на осі Оу, будуть О 1 (0; b) (у точки, що лежить на осі Оу, абсцис дорівнює нулю). З умови випливає, що 1 А = 1 В.

За формулою d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) знаходимо:

О 1 А = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

О 1 = √((а + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Маємо рівняння √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) або 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2 .

Після спрощення отримаємо: b - 4 = 0, b = 4.

Потрібна за умовою завдання точка О 1 (0; 4) (Рис. 4).

5. Обчислення координат точки, яка знаходиться на однаковій відстані від осей координат та деякої заданої точки

Приклад 5.

Знайти точку М, розташовану на координатній площині на однаковій відстані від осей координат та від точки А(-2; 1).

Рішення.

Необхідна точка М, як і точка А(-2; 1), розташовується в другому координатному кутку, оскільки вона рівновіддалена від точок А, Р 1 і Р 2 (Рис. 5). Відстань точки М від осей координат однакові, отже, її координатами будуть (-a; a), де а > 0.

З умови завдання випливає, що МА = МР 1 = МР 2 МР 1 = а; МР 2 = |-a|,

тобто. |-a| = а.

За формулою d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) знаходимо:

МА = √((-а + 2) 2 + (а – 1) 2).

Складемо рівняння:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Після зведення в квадрат та спрощення маємо: а 2 – 6а + 5 = 0. Розв'яжемо рівняння, знайдемо а 1 = 1; а 2 = 5.

Отримуємо дві точки М 1 (-1; 1) та М 2 (-5; 5), що задовольняють умові завдання.

6. Обчислення координат точки, яка знаходиться на однаковій заданій відстані від осі абсцис (ординат) та від даної точки

Приклад 6.

Знайти точку М таку, що відстань її від осі ординат і від точки А(8; 6) дорівнює 5.

Рішення.

З умови завдання слід, що МА = 5 і абсцис точки М дорівнює 5. Нехай ордината точки М дорівнює b, тоді М (5; b) (Рис. 6).

За формулою d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) маємо:

МА = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Складемо рівняння:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Спростивши його, отримаємо: b 2 – 12b + 20 = 0. Коріння цього рівняння b 1 = 2; b 2 = 10. Отже, є дві точки, що задовольняють умові задачі: М 1 (5; 2) та М 2 (5; 10).

Відомо, що багато учнів при самостійному вирішенні завдань потребують постійних консультацій з прийомів та методів їх вирішення. Найчастіше знайти шлях до вирішення завдання без допомоги викладача учню не під силу. Необхідні консультації щодо вирішення завдань учень і може отримати на нашому сайті.

Залишились питання? Не знаєте, як знайти відстань між двома точками на площині?
Щоб отримати допомогу репетитора – .
Перший урок – безкоштовно!

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

У цій статті розглянемо способи визначити відстань від точки до точки теоретично та на прикладі конкретних завдань. І спочатку введемо деякі визначення.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Визначення 1

Відстань між точками– це довжина відрізка, що їх сполучає, у наявному масштабі. Задати масштаб необхідно, щоб мати для виміру одиницю довжини. Тому в основному завдання знаходження відстані між точками вирішується при використанні їх координат на координатній прямій, координатній площині або тривимірному просторі.

Вихідні дані: координатна пряма O x і довільна точка А, що лежить на ній. Будь-якій точці прямий притаманне одне дійсне число: нехай для точки А це буде якесь число х A ,воно ж - координата точки А.

У цілому нині можна говорити, що оцінка довжини деякого відрізка відбувається у порівнянні з відрізком, прийнятим за одиницю довжини в заданому масштабі.

Якщо точці А відповідає ціле дійсне число, відклавши послідовно від точки О до точки прямої О А відрізки – одиниці довжини, ми можемо визначити довжину відрізка O A за підсумковою кількістю відкладених одиничних відрізків.

Наприклад, точці А відповідає число 3 - щоб потрапити до неї з точки О, необхідно буде відкласти три одиничні відрізки. Якщо точка А має координату - 4 - поодинокі відрізки відкладаються аналогічним чином, але в іншому негативному напрямку. Таким чином у першому випадку, відстань А дорівнює 3 ; у другому випадку ПРО = 4 .

Якщо точка A має як координату раціональне числото від початку відліку (точка О) ми відкладаємо ціле число одиничних відрізків, а потім його необхідну частину. Але геометрично який завжди можна зробити вимір. Наприклад, важко відкласти на координатній прямий дріб 4 111 .

Вищезазначеним способом відкласти на прямий ірраціональне число взагалі неможливо. Наприклад, коли координата точки дорівнює 11 . У такому випадку можна звернутися до абстракції: якщо задана координата точки А більша за нуль, то O A = x A (число приймається за відстань); якщо координата менша за нуль, то O A = - x A . Загалом, ці твердження є справедливими для будь-якого дійсного числа x A .

Резюмуючи: відстань від початку відліку до точки, якій відповідає дійсне число на координатній прямій, дорівнює:

0 якщо точка збігається з початком координат;

x A, якщо x A > 0;

- x A якщо x A< 0 .

При цьому очевидно, що сама довжина відрізка не може бути негативною, тому використовуючи знак модуля запишемо відстань від точки O до точки A з координатою x A: O A = x A

Вірним буде твердження: відстань від однієї точки до іншої дорівнює модулю різниці координат.Тобто. для точок A і B , що лежать на одній координатній прямій за будь-якого їх розташування і мають відповідно координати x Aі x B: A B = x B - x A.

Вихідні дані: точки A і B , що лежать на площині прямокутної системі координат O x y із заданими координатами: A (x A , y A) і B (x B , y B) .

Проведемо через точки А і B перпендикуляри до осей координат O x і O y і отримаємо в результаті точки проекції: A x, A y, B x, B y. Виходячи з розташування точок А та B далі можливі наступні варіанти:

Якщо точки А і збігаються, то відстань між ними дорівнює нулю;

Якщо точки А і лежать на прямій, перпендикулярній осі O x (осі абсцис), то точки і збігаються, а | А В | = | А y B y | . Оскільки відстань між точками дорівнює модулю різниці їх координат, то A y B y = y B - y A , а отже A B = A y B y = y B - y A .

Якщо точки A і B лежать на прямій, перпендикулярній до осі O y (осі ординат) – за аналогією з попереднім пунктом: A B = A x B x = x B - x A

Якщо точки A і B не лежать на прямій, перпендикулярній до однієї з координатних осей, знайдемо відстань між ними, вивівши формулу розрахунку:

Ми бачимо, що трикутник АВС є прямокутним за побудовою. При цьому A C = A x B x і B C = A y B y. Використовуючи теорему Піфагора, складемо рівність: AB 2 = AC 2 + BC 2 ⇔ AB 2 = A x B x 2 + A y B y 2 а потім перетворимо його: AB = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Сформуємо висновок з отриманого результату: відстань від точки А до точки В на площині визначається розрахунком за формулою з використанням координат цих точок

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Отримана формула також підтверджує раніше сформовані твердження для випадків збігу точок або ситуацій, коли лежать точки на прямих, перпендикулярних осях. Так, для випадку збігу точок A і B буде правильна рівність: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Для ситуації, коли точки A та B лежать на прямій, перпендикулярній осі абсцис:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Для випадку, коли точки A і B лежать на прямій перпендикулярній осі ординат:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Вихідні дані: прямокутна система координат O x y z з довільними точками, що лежать на ній, із заданими координатами A (x A , y A , z A) і B (x B , y B , z B) . Необхідно визначити відстань між цими точками.

Розглянемо загальний випадок, коли точки A та B не лежать у площині, паралельній одній з координатних площин. Проведемо через точки A і B площини, перпендикулярні координатним осям, і отримаємо відповідні точки проекцій: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Відстань між точками A і B є діагональ отриманого в результаті побудови паралелепіпеда. Відповідно до побудови вимірювання цього паралелепіпеда: A x B x , A y B y та A z B z

З курсу геометрії відомо, що квадрат діагоналі паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його вимірів. Виходячи з цього твердження отримаємо рівність: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Використовуючи отримані висновки, запишемо наступне:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Перетворимо вираз:

AB 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Підсумкова формула для визначення відстані між точками у просторібуде виглядати так:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Отримана формула дійсна також для випадків, коли:

Крапки збігаються;

Лежать на одній координатній осі або прямій паралельній одній з координатних осей.

Приклади розв'язання задач на знаходження відстані між точками

Приклад 1

Вихідні дані: задана координатна пряма та точки, що лежать на ній із заданими координатами A (1 - 2) та B (11 + 2) . Необхідно знайти відстань від точки початку відліку O до точки A між точками A і B .

Рішення

Відстань від точки початку відліку до точки дорівнює модулю координати цієї точки відповідно O A = 1 - 2 = 2 - 1
Відстань між точками A і B визначимо як модуль різниці координат цих точок: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Відповідь: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Приклад 2

Вихідні дані: задана прямокутна система координат і дві точки, що на ній лежать A (1 , - 1) і B (λ + 1 , 3) . λ – деяке дійсне число. Необхідно знайти всі значення цього числа, при яких відстань АВ дорівнює 5 .

Рішення

Щоб знайти відстань між точками A і B необхідно використовувати формулу A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Підставивши реальні значення координат, отримаємо: AB = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

А також використовуємо наявну умову, що АВ = 5 і тоді буде вірним рівність:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Відповідь: А В = 5 якщо λ = ± 3 .

Приклад 3

Вихідні дані: задано тривимірне простір у прямокутній системі координат O x y z і точки A (1 , 2 , 3) і B - 7 , - 2 , 4 , що лежать у ньому.

Рішення

Для вирішення задачі використовуємо формулу A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Підставивши реальні значення, отримаємо: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Відповідь: | А В | = 9

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

ТЕОРЕТИЧНІ ПИТАННЯ

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ

1. Метод координат: числова пряма, координати на прямій; прямокутна (декартова) система координат на площині; полярні координати.

Розглянемо якусь пряму. Виберемо на ній напрямок (тоді вона стане віссю) та деяку точку 0 (початок координат). Пряма з обраним напрямком та початком координат називається координатної прямої(при цьому вважаємо, що одиниця масштабу вибрано).

Нехай М- Довільна точка на координатній прямій. Поставимо відповідно до точки Мдійсне число x, що дорівнює величині ОМвідрізка: x=ОМ.Число xназивається координатою точки М.

Таким чином, кожній точці координатної прямої відповідає певне речове число - її координата. Справедливо і зворотне, кожному речовому числу x відповідає деяка точка на координатній прямій, а саме така точка Мкоордината якої дорівнює x. Така відповідність називається взаємно однозначним.

Отже, речові числа можна зображати точками координатної прямої, тобто. координатна пряма служить зображенням множини всіх дійсних чисел. Тому безліч всіх речових чисел називають числовий прямий, А будь-яке число - точкою цієї прямої. Біля точки на числовій прямій часто вказують число – її координату.

Прямокутна (або декартова) система координат на площині.

Дві взаємно перпендикулярні осі Про xі Про y, що мають загальний початок Проі однакову одиницю масштабу, утворюють прямокутну (або декартову) систему координат на площині.

Ось ОХназивається віссю абсцис, вісь ОY- Віссю ординат. Точка, крапка ПроПеретин осей називається початком координат. Площина, в якій розташовані осі ОХі ОY, називається координатною площиною та позначається Про xy.

Отже, прямокутна система координат на площині встановлює взаємно однозначну відповідність між безліччю всіх точок площини та безліччю пар чисел, що дає можливість при вирішенні геометричних завдань застосувати методи алгебри. Осі координат розбивають площину на 4 частини їх називають чвертями, квадратнимиабо координатними кутами.

Полярні координати.

Полярна система координат складається з певної точки Прозваної полюсом, і променя, що виходить з неї ОЕзваного полярною віссю.Крім того, визначається одиниця масштабу для вимірювання довжин відрізків. Нехай задана полярна система координат та нехай М- Довільна точка площини. Позначимо через Р- Відстань точки Мвід крапки Про, а через φ - Кут, на який промінь повернути проти годинникової стрілки полярну вісь для суміщення з променем ОМ.

Полярними координатамиточки Мназивають числа Рі φ . Число Рвважають першою координатою та називають полярним радіусом, число φ – другою координатою та називають полярним кутом.

Точка, крапка Мз полярними координатами Рі φ позначаються так: М(;φ).Встановимо зв'язок між полярними координатами точки та її прямокутними координатами.
При цьому припускатимемо, що початок прямокутної системи координат знаходиться в полюсі, а позитивна піввісь абсцис збігається з полярною віссю.

Нехай точка М має прямокутні координати Xі Yта полярні координати Рі φ .

(1)

Доказ.

Опусти з точок М 1і М 2перпендикуляри М 1 Ві М 1 А,. так як (x 2; y 2). По теоремі, якщо М 1 (х 1)і М 2 (х 2)– будь-які дві точки та α– відстань між ними, то α = ‌‌‌‍‌‌|x 2 - x 1 | .

1. Обчислення відстані між двома точками за даними координатами цих точок

Приклад 1.

Знайти довжину відрізка, який з'єднує на координатній площині точки А(2; -5) та В(-4; 3) (рис. 1).

Рішення.

За умови завдання дано: х А = 2; х В = -4; у А = -5 та у В = 3. Знайти d.

Застосувавши формулу d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2), отримаємо:

d = АВ = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Обчислення координат точки, яка рівновіддалена від трьох заданих точок

приклад 2.

Знайти координати точки О 1 , яка рівновіддалена від трьох точок А(7; -1) і (-2; 2) і С(-1; -5).

Рішення.

О 1 А = √((а – 7) 2 + (b + 1) 2);

О 1 = √((а + 2) 2 + (b – 2) 2);

О 1 З = √((а + 1) 2 + (b + 5) 2).

Складемо систему із двох рівнянь:

(√((а – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((а + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((а – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((а + 1) 2 + (b + 5) 2).

Після зведення в квадрат лівої та правої частин рівнянь запишемо:

((а – 7) 2 + (b + 1) 2 = (а + 2) 2 + (b – 2) 2 ,
((а - 7) 2 + (b + 1) 2 = (а + 1) 2 + (b + 5) 2 .

Спростивши, запишемо

(-3а + b + 7 = 0,
(-2а - b + 3 = 0).

Розв'язавши систему, отримаємо: а = 2; b = -1.

Точка О 1 (2; -1) рівновіддалена від трьох заданих за умови точок, які не лежать на одній прямій. Ця точка - є центр кола, що проходить через три задані точки (Рис. 2).

Приклад 3.

Відстань від точки В(-5; 6) до точки А, що лежить на осі Ох дорівнює 10. Знайти точку А.

Рішення.

З формулювання умови завдання випливає, що ордината точки А дорівнює нулю та АВ = 10.

Позначивши абсцис точки А через а, запишемо А(а; 0).

АВ = √((а + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((а + 5) 2 + 36).

Отримуємо рівняння √((а + 5) 2 + 36) = 10. Спростивши його, маємо

а 2 + 10а - 39 = 0.

Коріння цього рівняння а 1 = -13; а 2 = 3.

Отримуємо дві точки А 1 (-13; 0) та А 2 (3; 0).

Перевірка:

А 1 = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

А 2 = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Обидві одержані точки підходять за умовою задачі (Рис. 3).

Приклад 4.

Знайти на осі Оу точку, яка знаходиться на однаковій відстані від точок А(6; 12) та В(-8; 10).

Рішення.

За формулою d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) знаходимо:

О 1 А = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

О 1 = √((а + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Маємо рівняння √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) або 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2 .

Після спрощення отримаємо: b - 4 = 0, b = 4.

Потрібна за умовою завдання точка О 1 (0; 4) (Рис. 4).

Приклад 5.

Рішення.

З умови завдання випливає, що МА = МР 1 = МР 2 МР 1 = а; МР 2 = |-a|,

тобто. |-a| = а.

За формулою d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) знаходимо:

МА = √((-а + 2) 2 + (а – 1) 2).

Складемо рівняння:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Після зведення в квадрат та спрощення маємо: а 2 – 6а + 5 = 0. Розв'яжемо рівняння, знайдемо а 1 = 1; а 2 = 5.

Отримуємо дві точки М 1 (-1; 1) та М 2 (-5; 5), що задовольняють умові завдання.

Приклад 6.

Знайти точку М таку, що відстань її від осі ординат і від точки А(8; 6) дорівнює 5.

Рішення.

За формулою d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) маємо:

МА = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Складемо рівняння:

Залишились питання? Не знаєте, як знайти відстань між двома точками на площині?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.