Являє собою геометричне тіло, обмежене двома паралельними площинами та циліндричною поверхнею.
Циліндр складається з бічної поверхні та двох підстав. Формула площі поверхні циліндра включає окремий розрахунок площі підстав і бічної поверхні. Оскільки основи в циліндрі рівні, то повна його площа розраховуватиметься за формулою:
Приклад розрахунку площі циліндра ми розглянемо після того, як дізнаємось про всі необхідні формули. Для початку нам знадобиться формула площі основи циліндра. Оскільки основою циліндра є коло, то нам потрібно буде застосувати : 
Ми пам'ятаємо, що у цих розрахунках використовується постійне число Π = 3,1415926, яке розраховане як співвідношення довжини кола до його діаметра. Це число є математичною константою. Приклад розрахунку площі основи циліндра ми також розглянемо трохи згодом.
Площа бічної поверхні циліндра
Формула площі бічної поверхні циліндра є твір довжини основи на його висоту:
А тепер розглянемо завдання, в якому нам потрібно буде розрахувати повну площуциліндра. У заданій фігурі висота h = 4 см, r = 2 см. Знайдемо повну площу циліндра.
Для початку розрахуємо площу підстав:
Тепер розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні циліндра. У розгорнутому вигляді вона є прямокутником. Його площа розраховується за наведеною вище формулою. Підставимо до неї всі дані:
Повна площа кола являє собою суму подвійної площі основи та бічний:
Таким чином, використовуючи формули площі основ та бічної поверхні фігури, ми змогли знайти повну площу поверхні циліндра.
Осьовий переріз циліндра є прямокутником, в якому сторони рівні висоті і діаметру циліндра.
Формула площі осьового перерізу циліндра виводиться з формули розрахунку:
Знайдіть площу осьового перерізу, перпендикулярного основам циліндра. Одна зі сторін цього прямокутника дорівнює висоті циліндра, друга - діаметру кола основи. Відповідно, площа перерізу в цьому випадку дорівнюватиме добутку сторін прямокутника. S = 2R * h, де S - площа перерізу, R - радіус кола основи, заданий умовами задачі, а h - висота циліндра, також задана умовами задачі.
Якщо перетин перпендикулярно основам, але при цьому не проходить через вісь обертання, прямокутника не дорівнюватиме діаметру кола. Її треба вирахувати. Для цього завдання має бути сказано, на якій відстані від осі обертання проходить площина перерізу. Для зручності обчислень побудуйте коло основи циліндра, проведіть радіус і відкладіть на ньому відстань, на якій від центру кола знаходиться перетин. Від цієї точки проведіть до перпендикуляра до їхнього перетину з колом. З'єднайте точки перетину із центром. Вам потрібно знайти хорд. Знайдіть розмір половини хорди за теоремою Піфагора. Він дорівнюватиме квадратного кореняз різниці квадратів радіусу кола від центру до лінії перерізу. a2=R2-b2. Вся хорда буде відповідно дорівнює 2а. Обчисліть площу перерізу, яка дорівнює добутку сторін прямокутника, тобто S=2a*h.
Циліндр можна розсікти, що не проходить через площину основи. Якщо поперечний переріз проходить перпендикулярно осі обертання, воно буде коло. Площа його у цьому випадку дорівнює площі основ, тобто обчислюється за формулою S = R2.
Щоб точніше уявити перетин, зробіть креслення і додаткові побудови до нього.
Джерела:
- переріз циліндра площа
Лінія перетину поверхні з площиною належить одночасно поверхні та січній площині. Лінія перетину циліндричної поверхні січною площиною, паралельною прямою твірною – пряма лінія. Якщо січна площина перпендикулярна до осі поверхні обертання – у перерізі буде коло. У загальному випадку лінія перетину циліндричної поверхні із січною площиною – крива лінія.
Вам знадобиться
- Олівець, лінійка, трикутник, лекала, циркуль, вимірювач.
Інструкція
На фронтальній площині проекцій П₂ лінія перерізу збігається з проекцією площини, що січе, Σ₂ у вигляді прямої.
Позначте точки перетину циліндра, що утворюють, з проекцією Σ₂ 1₂, 2₂ і т.д. до точок 10₂ та 11₂.
На площині П₁ – це коло. Зазначені на площині перерізу Σ₂ точки 1₂ , 2₂ і т.д. за допомогою лінії проекційного зв'язку спроектуються на нарисі цього кола. Позначте їх горизонтальні проекції симетрично щодо горизонтальної осі кола.
Таким чином, проекції шуканого перерізу визначено: на площині П₂ – пряма (точки 1₂, 2₂…10₂); на площині П₁ – коло (точки 1₁, 2₁…10₁).
По двох побудуйте натуральну величину перерізу даного циліндра площиною Σ, що фронтально-проектує. Для цього використовуйте спосіб проекції.
Проведіть площину П₄ паралельно до проекції площини Σ₂. На цій новій осі x₂₄ позначте точку 1₀. Відстань між точками 1₂ – 2₂, 2₂ – 4₂ тощо. з фронтальної проекції перерізу відкладіть на осі x₂₄, проведіть тонкі лінії проекційного зв'язку перпендикулярно до осі x₂₄.
В даному способіплощиною П₄ замінюється площина П₁, тому з горизонтальної проекції розміри від осі до точок перенесіть на вісь площини П₄.
Наприклад, на П₁ для точок 2 та 3 це буде відстань від 2₁ і 3₁ до осі (точка А) тощо.
Відклавши з горизонтальної проекції зазначені відстані, отримайте точки 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. Потім більшої точності побудови, визначаються інші, проміжні, точки.
З'єднавши лекальною кривою всі точки, отримайте шукану натуральну величину перерізу циліндра фронтально-проектуючою площиною.
Джерела:
- як замінити площину
Порада 3: Як знайти площу осьового перерізу усіченого конуса
Для того щоб вирішити дане завдання, необхідно згадати, що таке усічений конус і які властивості він має. Обов'язково зробіть креслення. Це дозволить визначити, яку геометричну фігуруявляє собою переріз. Цілком можливо, що після цього вирішення завдання вже не представлятиме вам складності.
Інструкція
Круглий конус – тіло, отримане шляхом обертання трикутника навколо його катетів. Прямі, що виходять із вершини конусаі що перетинають його основу, називаються утворюючими. Якщо всі утворюють рівні, конус є прямим. В основі круглого конусалежить коло. Перпендикуляр, опущений на основу з вершини, є висотою конуса. У круглого прямого конусависота збігається з його віссю. Вісь – це пряма, що з'єднує з центром основи. Якщо горизонтальна січна площина кругового конуса, то його верхня основа є коло.
Оскільки за умови завдання не обговорено, саме конус дається в даному випадку, можна зробити висновок, що це прямий усічений конус, горизонтальний переріз якого паралельно основи. Його осьовий перетин, тобто. вертикальна площина, яка через вісь круглого конуса, являє собою рівнобічну трапецію Усі осьові перерізукруглого прямого конусарівні між собою. Отже, щоб знайти площаосьового перерізу, потрібно знайти площатрапеції, основами якої діаметри основ усіченого конуса, А бічні сторони - його утворюють. Висота усіченого конусає одночасно висотою трапеції.
Площа трапеції визначається за такою формулою: S = ½(a+b) h, де S – площатрапеції; a – величина нижньої основи трапеції; b – величина її верхньої основи; h – висота трапеції.
Оскільки в умові не обумовлено, які саме дані, можна , що діаметри обох підстав усіченого конусавідомі: AD = d1 – діаметр нижньої основи усіченого конуса;BC = d2 – діаметр його верхньої основи; EH = h1 – висота конуса.Таким чином, площаосьового перерізуусіченого конусавизначається: S1 = ½ (d1+d2) h1
Джерела:
- площа усіченого конуса
Циліндр є просторовою фігурою і складається з двох рівних основ, які являють собою круги та бічній поверхні, що сполучає лінії, що обмежують основи. Щоб вирахувати площа циліндра, знайдіть площі всіх поверхонь і складіть їх.
Циліндр є геометричним тілом, обмеженим двома паралельними площинами і циліндричною поверхнею. У статті поговоримо про те, як знайти площу циліндра і, застосувавши формулу, вирішимо для прикладу кілька завдань.
У циліндра є три поверхні: вершина, основа, і бічна поверхня.
Вершина та основа циліндра є колами, їх легко визначити.
Відомо, що площа кола дорівнює πr 2 . Тому формула площі двох кіл (вершини і основи циліндра) матиме вигляд πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .
Третя, бічна поверхня циліндра є вигнутою стінкою циліндра. Для того щоб краще уявити цю поверхню, спробуємо перетворити її, щоб отримати впізнавану форму. Уявіть собі, що циліндр, це звичайна консервна банка, яка не має верхньої кришки і дна. Зробимо вертикальний надріз на бічній стінці від вершини до основи банки (Крок 1 на малюнку) і спробуємо максимально розкрити (випрямити) отриману фігуру (Крок 2).
Після повного розкриття отриманої банки побачимо вже знайому фігуру (Крок 3), це прямокутник. Площа прямокутника легко обчислити. Але перед цим повернемося на мить до початкового циліндра. Вершина вихідного циліндра є коло, а ми знаємо, що довжина кола обчислюється за формулою: L = 2πr. На малюнку вона позначена червоним кольором.
Коли бічна стінкациліндра повністю розкрита, бачимо, що довжина кола стає довжиною отриманого прямокутника. Сторонами цього прямокутника будуть довжина кола(L = 2πr) та висота циліндра(h). Площа прямокутника дорівнює добутку його сторін – S = довжина x ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В результаті ми отримали формулу для розрахунку площі бічної поверхні циліндра.
Формула площі бічної поверхні циліндра
S бік. = 2πrh
Площа повної поверхні циліндра
Нарешті, якщо ми складемо площу всіх трьох поверхоньМи отримаємо формулу площі повної поверхні циліндра. Площі поверхні циліндра дорівнює площа вершини циліндра + площа основи циліндра + площа бічної поверхні циліндра або S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Іноді цей вираз записується ідентичною формулою 2πr (r + h).
Формула площі повної поверхні циліндра
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – радіус циліндра, h – висота циліндра
Приклади розрахунку площі поверхні циліндра
Для розуміння наведених формул спробуємо порахувати площу поверхні циліндра на прикладах.
1. Радіус основи циліндра дорівнює 2, висота дорівнює 3. Визначте площу бічної поверхні циліндра.
Площа повної поверхні розраховується за такою формулою: S бік. = 2πrh
S бік. = 2*3,14*2*3
S бік. = 6,28*6
S бік. = 37,68
Площа бічної поверхні циліндра дорівнює 37,68.
2. Як знайти площу поверхні циліндра, якщо висота дорівнює 4, а радіус 6?
Площа повної поверхні розраховується за формулою: S = 2πr 2 + 2πrh
S = 2*3,14*6 2+2*3,14*6*4
S = 2*3,14*36 + 2*3,14*24
Формула радіуса циліндра:
де V – об'єм циліндра, h – висота
Циліндр – геометричне тіло, яке виходить при обертанні прямокутника навколо його боку. Також, циліндр являє собою тіло, обмежене циліндричною поверхнею і двома паралельними площинами, що її перетинають. Ця поверхня утворюється при русі прямої паралельно до самої себе. При цьому виділена точка прямої переміщається вздовж певної плоскої кривої (напрямна). Ця пряма називається утворює циліндричної поверхні.
Формула радіуса циліндра:
де Sb – площа бічної поверхні, h – висота
Циліндр – геометричне тіло, яке виходить при обертанні прямокутника навколо його боку. Також, циліндр являє собою тіло, обмежене циліндричною поверхнею і двома паралельними площинами, що її перетинають. Ця поверхня утворюється при русі прямої паралельно до самої себе. При цьому виділена точка прямої переміщається вздовж певної плоскої кривої (напрямна). Ця пряма називається утворює циліндричної поверхні.
Формула радіуса циліндра:
де S – площа повної поверхні, h – висота
Площа бічної поверхні циліндра дорівнює площі прямокутника, основа якого дорівнює 2π r, а висота дорівнює висоті циліндра h, Т. е. 2π rh.
Повна поверхня циліндра становитиме: 2π r 2 + 2π rh= 2π r(r+ h).
За площу бічної поверхні циліндра приймається площа розгорткийого бічній поверхні.
Тому площа бічної поверхні прямого кругового циліндра дорівнює площі відповідного прямокутника (рис.) і визначається за формулою
S б.ц. = 2πRH, (1)
Якщо до площі бічної поверхні циліндра додати площі двох його основ, то отримаємо площу повної поверхні циліндра
S повн. =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).
Об'єм прямого циліндра
Теорема. Об'єм прямого циліндра дорівнює добутку площі його основи на висоту , тобто.де Q – площа основи, а Н – висота циліндра.
Оскільки площа основи циліндра дорівнює Q, то є послідовності описаних і вписаних багатокутників з площами Q nта Q’ nтаких, що
\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q’ n= Q.
Побудуємо послідовності призм, основами яких є розглянуті вище описані та вписані багатокутники, а бічні ребра паралельні утворює даного циліндра і мають довжину H. Ці призми є описаними та вписаними для даного циліндра. Їхні обсяги знаходяться за формулами
V n= Q n H та V’ n= Q’ n H.
Отже,
V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' n H = QH.
Наслідок.
Об'єм прямого кругового циліндра обчислюється за формулою
V = π R 2 H
де R – радіус основи, а H – висота циліндра.
Оскільки основа кругового циліндра є коло радіусу R, то Q = π R 2 і тому
Завантаження...