Numbrilised ja algebralised avaldised. Avaldise teisendamine.

Mis on avaldis matemaatikas? Miks on avaldiste teisendused vajalikud?

Küsimus, nagu öeldakse, on huvitav... Fakt on see, et need mõisted on kogu matemaatika aluseks. Kogu matemaatika koosneb avaldistest ja nende teisendustest. Pole väga selge? Las ma seletan.

Oletame, et teil on kuri näide. Väga suur ja väga keeruline. Oletame, et oled matemaatikas hea ja sa ei karda midagi! Kas saate kohe vastata?

Sa pead otsustama see näide. Järjestikku, samm-sammult see näide lihtsustama. Kõrval teatud reeglid, loomulikult. Need. teha väljenduse teisendamine. Kui edukalt te neid teisendusi läbi viite, nii et olete matemaatikas tugev. Kui sa ei tea, kuidas õigeid teisendusi teha, siis matemaatikas sa ei oska Mitte midagi...

Sellise ebamugava tuleviku (või oleviku ...) vältimiseks ei tee sellest teemast arugi.)

Alustuseks uurime välja mis on avaldis matemaatikas. Mis on juhtunud numbriline avaldis ja mis on algebraline avaldis.

Mis on avaldis matemaatikas?

Väljend matemaatikas on väga lai mõiste. Peaaegu kõik, millega me matemaatikas tegeleme, on matemaatiliste avaldiste kogum. Kõik näited, valemid, murrud, võrrandid ja nii edasi – see kõik koosneb matemaatilised avaldised.

3+2 on matemaatiline avaldis. c 2 - d 2 on ka matemaatiline avaldis. Ja terve murd ja isegi üks arv - need on kõik matemaatilised avaldised. Võrrand on näiteks:

5x + 2 = 12

koosneb kahest võrdusmärgiga ühendatud matemaatilisest avaldisest. Üks väljend on vasakul, teine ​​on paremal.

IN üldine vaade termin" matemaatiline avaldis" kasutatakse kõige sagedamini selleks, et mitte pomiseda. Nad küsivad, mis on näiteks tavaline murd? Ja kuidas vastata ?!

Vastus 1: "See on... m-m-m-m... selline asi ... milles ... kas ma saan murdosa paremini kirjutada? Kumba sa tahad?"

Teine vastus: " Harilik murd See on (rõõmsalt ja rõõmsalt!) matemaatiline avaldis , mis koosneb lugejast ja nimetajast!"

Teine võimalus on kuidagi muljetavaldavam, eks?)

Sel eesmärgil kasutatakse fraasi " matemaatiline avaldis "väga hea. Nii korrektne kui soliidne. Kuid praktiliseks rakendamiseks peate olema hästi kursis matemaatika spetsiifilised väljenditüübid .

Konkreetne tüüp on teine ​​asi. See hoopis teine ​​asi! Igal matemaatilise avaldise tüübil on minu oma reeglite ja tehnikate kogum, mida tuleb otsuse tegemisel kasutada. Murdudega töötamiseks - üks komplekt. Trigonomeetriliste avaldistega töötamiseks - teine. Logaritmidega töötamiseks - kolmas. Ja nii edasi. Kusagil langevad need reeglid kokku, kuskil erinevad järsult. Kuid ärge kartke neid kohutavaid sõnu. Logaritme, trigonomeetriat ja muid salapäraseid asju õpime vastavates jaotistes.

Siin õpime (või kordame, nagu teile meeldib ...) kahte peamist tüüpi matemaatilisi avaldisi. Arvulised avaldised ja algebraavaldised.

Numbrilised avaldised.

Mis on juhtunud numbriline avaldis? See on väga lihtne kontseptsioon. Nimi ise viitab sellele, et see on numbritega väljend. Nii see on. Arvudest, sulgudest ja aritmeetiliste tehtemärkidest koosnevat matemaatilist avaldist nimetatakse numbriliseks avaldiseks.

7-3 on numbriline avaldis.

(8+3,2) 5,4 on samuti numbriline avaldis.

Ja see koletis:

ka numbriline avaldis, jah...

tavaline number, murdosa, mis tahes arvutusnäide ilma x-ideta ja muude tähtedeta – kõik need on arvulised avaldised.

peamine omadus numbriline väljendeid selles kirju pole. Mitte ühtegi. Ainult numbrid ja matemaatilised ikoonid (vajadusel). See on lihtne, eks?

Ja mida saab teha numbriliste avaldistega? Arvulisi avaldisi saab tavaliselt üles lugeda. Selleks tuleb vahel avada sulgusid, vahetada märke, lühendada, termineid vahetada – st. teha väljendite teisendused. Aga sellest lähemalt allpool.

Siin käsitleme sellist naljakat juhtumit, kui numbrilise avaldisega sa ei pea midagi tegema. No mitte midagi! See tore operatsioon Mitte midagi teha)- täidetakse, kui avaldis pole mõtet.

Millal pole numbrilisel avaldisel mõtet?

Muidugi, kui näeme enda ees mingit abrakadabrat, nagu nt

siis me ei tee midagi. Kuna pole selge, mida sellega peale hakata. Mingi jama. Kui just plusside arvu kokku lugeda ...

Kuid on väliselt üsna korralikke väljendeid. Näiteks see:

(2+3): (16–2 8)

Kuid see väljend on ka pole mõtet! Sel lihtsal põhjusel, et teistes sulgudes – kui arvestada – saad nulli. Nulliga jagada ei saa! See on matemaatikas keelatud tehte. Seetõttu pole ka selle väljendiga vaja midagi peale hakata. Iga sellise väljendiga ülesande puhul on vastus alati sama: "Väljendil pole mõtet!"

Sellise vastuse andmiseks pidin loomulikult arvutama, mis sulgudes on. Ja vahel sulgudes selline väänamine... No pole midagi teha.

Matemaatikas ei ole nii palju keelatud tehteid. Selles lõimes on ainult üks. Nulliga jagamine. Juurtes ja logaritmis tekkivaid lisakeeldusid käsitletakse vastavates teemades.

Niisiis, ettekujutus sellest, mis on numbriline avaldis- sain. kontseptsioon numbrilisel avaldisel pole mõtet- taipas. Lähme edasi.

Algebralised avaldised.

Kui numbrilises avaldises esinevad tähed, muutub see avaldis... Avaldis muutub... Jah! See muutub algebraline avaldis. Näiteks:

5a 2; 3x-2a; 3(z-2); 3,4 m/n; x 2 +4x-4; (a + b) 2; ...

Selliseid väljendeid nimetatakse ka sõnasõnalised väljendid. Või muutujatega avaldised. See on praktiliselt sama asi. Väljendus 5a +c, näiteks - nii sõnasõnaline kui ka algebraline ning muutujatega avaldis.

kontseptsioon algebraline avaldis - laiem kui numbriline. See sisaldab ja kõik numbrilised avaldised. Need. numbriline avaldis on ka algebraline avaldis, ainult ilma tähtedeta. Iga heeringas on kala, aga mitte iga kala pole heeringas...)

Miks sõnasõnaline- See on selge. Noh, kuna seal on tähed ... Fraas avaldis muutujatega ka mitte väga segadust tekitav. Kui saate aru, et numbrid on tähtede all peidus. Tähtede alla saab peita igasuguseid numbreid ... Ja 5, ja -18 ja mis iganes meeldib. See tähendab, et kiri saab asendada peal erinevad numbrid. Sellepärast tähti kutsutaksegi muutujad.

Väljendis y+5, Näiteks, juures- muutuv. Või lihtsalt ütle " muutuja", ilma sõna "väärtus". Erinevalt viiest, mis on püsiv väärtus. Või lihtsalt - konstantne.

Tähtaeg algebraline avaldis tähendab, et selle väljendiga töötamiseks peate kasutama seadusi ja reegleid algebra. Kui aritmeetika töötab siis konkreetsete numbritega algebra- kõigi numbritega korraga. Lihtne näide selgituseks.

Aritmeetikas võib seda kirjutada

Aga kui kirjutame sarnase võrdsuse algebraliste avaldiste kaudu:

a + b = b + a

otsustame kohe Kõik küsimused. Sest kõik numbrid insult. Lõpmatu hulga asjade jaoks. Sest kirjade all A Ja b kaudne Kõik numbrid. Ja mitte ainult numbreid, vaid isegi muid matemaatilisi avaldisi. Nii töötab algebra.

Millal pole algebralisel avaldisel mõtet?

Arvulise avaldise osas on kõik selge. Nulliga jagada ei saa. Ja kas tähtedega on võimalik teada saada, millega me jagame ?!

Võtame näitena järgmise muutujaavaldise:

2: (A - 5)

Kas see on arusaadav? Aga kes teda tunneb? A- suvaline number...

Ükskõik milline... Kuid sellel on üks tähendus A, mille puhul see väljend täpselt pole mõtet! Ja mis see number on? Jah! See on 5! Kui muutuja A asendage (nad ütlevad - "asendaja") numbriga 5, sulgudes osutub null. mida ei saa jagada. Nii selgub, et meie väljend pole mõtet, Kui a = 5. Aga muude väärtuste pärast A Kas see on arusaadav? Kas saate asendada muid numbreid?

Kindlasti. Sellistel juhtudel öeldakse lihtsalt, et väljend

2: (A - 5)

on iga väärtuse jaoks mõistlik A, välja arvatud a = 5 .

Kogu numbrite komplekt Saab nimetatakse antud avaldisesse asendust kehtiv vahemik see väljend.

Nagu näete, pole midagi keerulist. Vaatame muutujatega avaldist ja mõtleme: millise muutuja väärtusega saadakse keelatud tehe (nulliga jagamine)?

Ja siis vaadake kindlasti ülesande küsimust. Mida nad küsivad?

pole mõtet, on vastuseks meie keelatud väärtus.

Kui nad küsivad, millise muutuja väärtusega avaldis omab tähendust(tunneta erinevust!), on vastus kõik muud numbrid välja arvatud keelatud.

Miks me vajame väljendi tähendust? Ta on seal, ta ei ole... Mis vahet seal on?! Fakt on see, et see kontseptsioon muutub keskkoolis väga oluliseks. Ülimalt oluline! See on selliste kindlate mõistete aluseks nagu kehtivate väärtuste vahemik või funktsiooni ulatus. Ilma selleta ei saa te üldse lahendada tõsiseid võrrandeid ega ebavõrdsust. Nagu nii.

Avaldise teisendamine. Identiteedi transformatsioonid.

Tutvusime arv- ja algebraavaldistega. Mõistke, mida tähendab väljend "väljendil pole mõtet". Nüüd peame välja mõtlema, mida väljendi teisendamine. Vastus on lihtne, ennekuulmatu.) See on igasugune väljendiga toiming. Ja see ongi kõik. Olete neid transformatsioone teinud esimesest klassist saati.

Võtke lahe numbriline avaldis 3+5. Kuidas seda teisendada? Jah, väga lihtne! Arvutama:

See arvutus on avaldise teisendus. Saate kirjutada sama väljendi erineval viisil:

Me ei lugenud siin midagi. Lihtsalt kirjutage väljend üles erineval kujul. See on ka väljendi teisendus. Selle võib kirjutada nii:

Ja seegi on väljendi teisendus. Saate teha nii palju neid teisendusi, kui soovite.

Ükskõik milline tegevus väljendile ükskõik milline selle teistsugusel kujul kirjutamist nimetatakse avaldise teisenduseks. Ja kõik asjad. Kõik on väga lihtne. Kuid siin on üks asi väga oluline reegel. Nii oluline, et seda saab julgelt nimetada peamine reegel kogu matemaatika. Selle reegli rikkumine paratamatult viib vigadeni. Kas me saame aru?)

Oletame, et oleme oma väljendit suvaliselt muutnud järgmiselt:

Muutumine? Kindlasti. Kirjutasime väljendi teistsugusel kujul, mis siin valesti on?

See pole nii.) Fakt on see, et teisendused "mida iganes" matemaatika ei huvita üldse.) Kogu matemaatika on üles ehitatud teisendustele, milles välimus, kuid väljendi olemus ei muutu. Kolm pluss viis võib kirjutada mis tahes kujul, kuid see peab olema kaheksa.

transformatsioonid, väljendid, mis ei muuda olemust helistas identsed.

Täpselt nii identsed teisendused ja lubage meil samm-sammult muutuda keeruline näide lihtsaks väljendiks, hoidmine näite olemus. Kui teeme teisenduste ahelas vea, teeme MITTE identse teisenduse, siis otsustame teine näide. Teiste vastustega, mis pole õigete vastustega seotud.)

Siin on mis tahes ülesannete lahendamise peamine reegel: teisenduste identiteedi järgimine.

Selguse mõttes tõin näite numbrilise avaldisega 3 + 5. Algebraavaldistes on valemite ja reeglitega antud identsed teisendused. Oletame, et algebras on valem:

a(b+c) = ab + ac

Nii et igas näites saame väljendi asemel a(b+c) kirjuta julgelt väljend ab+ac. Ja vastupidi. See identne teisendus. Matemaatika annab meile võimaluse valida nende kahe väljendi vahel. Ja millisest kirjutada – millest juhtumiuuring oleneb.

Veel üks näide. Üks olulisemaid ja vajalikke transformatsioone See on murdosa põhiomadus. Täpsemalt näete lingil, kuid siin tuletan lihtsalt meelde reeglit: kui murdu lugeja ja nimetaja korrutada (jagada) sama arvuga või avaldisega, mis ei ole võrdne nulliga, siis murd ei muutu. Siin on näide selle atribuudi identsetest teisendustest:

Nagu arvatavasti arvasite, võib seda ahelat lõputult jätkata...) Väga oluline vara. Just see võimaldab teil muuta kõikvõimalikud näidiskoletised valgeks ja kohevaks.)

On palju valemeid, mis defineerivad identseid teisendusi. Kuid mis kõige tähtsam - üsna mõistlik summa. Üks põhilisi teisendusi on faktoriseerimine. Seda kasutatakse kogu matemaatikas - algtasemest edasijõudnuni. Alustame temast. järgmises õppetükis.)

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Väljend on kõige laiem matemaatiline termin. Sisuliselt koosneb selles teaduses kõik neist ja kõik toimingud tehakse ka nendega. Teine küsimus on see, et olenevalt konkreetsest liigist kasutatakse täiesti erinevaid meetodeid ja tehnikaid. Seega on trigonomeetria, murdude või logaritmidega töötamine kolm erinevad tegevused. Avaldis, millel pole mõtet, võib olla kahte tüüpi: numbriline või algebraline. Kuid mida see mõiste tähendab, kuidas selle näide välja näeb ja muid punkte, arutatakse edasi.

Numbrilised avaldised

Kui avaldis koosneb arvudest, sulgudest, plussidest ja miinustest ning muudest aritmeetiliste tehtemärkidest, võib seda julgelt nimetada numbriliseks. Mis on üsna loogiline: peate lihtsalt uuesti vaatama selle esimese nimega komponenti.

Kõik võib olla numbriline avaldis: peaasi, et see ei sisalda tähti. Ja sees "midagi" all sel juhul kõik on arusaadav: alates lihtsast, eraldiseisvast, iseseisvast numbrist kuni nende tohutu loendini ja aritmeetiliste toimingute märkideni, mis nõuavad lõpptulemuse hilisemat arvutamist. Murd on ka arvuline avaldis, kui see ei sisalda a, b, c, d jne, sest siis on see täiesti teistsugune, millest tuleb juttu veidi hiljem.

Tingimused väljendile, millel pole mõtet

Kui ülesanne algab sõnaga "arvuta", saame rääkida teisendusest. Asi on selles, et see tegevus pole alati soovitatav: seda pole nii palju vaja, kui esiplaanile tuleb väljend, millel pole mõtet. Näited on lõputult üllatavad: mõnikord tuleb selleks, et mõista, et see on meist mööda läinud, pikaks ja tüütuks ajaks sulgud lahti tegema ja loendama-loendama-loendama ...

Peaasi on meeles pidada, et mõtet pole avaldisel, mille lõpptulemus taandub matemaatikas keelatud tegevusele. Kui päris aus olla, siis muutub transformatsioon ise mõttetuks, aga selle teadasaamiseks tuleb see esmalt läbi viia. Selline on paradoks!

Kõige kuulsam, kuid mitte vähem oluline keelatud matemaatiline tehe on nulliga jagamine.

Seetõttu näiteks väljend, millel pole mõtet:

(17+11):(5+4-10+1).

Kui lihtsate arvutuste abil taandame teise sulu ühekohaliseks, siis on see null.

Samal põhimõttel aunimetus" on antud sellele väljendile:

(5-18):(19-4-20+5).

Algebralised avaldised

See on sama numbriline avaldis, kui lisate sellele keelatud tähed. Siis muutub see täieõiguslikuks algebraliseks. Seda on ka igas suuruses ja kujus. Algebraline avaldis on laiem mõiste, sealhulgas eelmine. Aga vestlust oli mõttekas alustada mitte temaga, vaid numbrilisega, et oleks selgem ja arusaadavam. Lõppude lõpuks, kas algebralisel avaldisel on mõtet - küsimus pole nii keeruline, kuid sellel on rohkem täpsustusi.

Miks nii?

Sõnasõnaline avaldis või muutujatega avaldis on sünonüümid. Esimest terminit on lihtne seletada: lõppude lõpuks sisaldab see tähti! Ka teine ​​pole sajandi müsteerium: tähti saab asendada erinevate numbritega, mille tulemusel väljendi tähendus muutub. Lihtne on arvata, et tähed on sel juhul muutujad. Analoogia põhjal on arvud konstandid.

Ja siin pöördume tagasi põhiteema juurde: mis on väljend, millel pole mõtet?

Näited algebralistest avaldistest, millel pole mõtet

Algebralise avaldise mõttetuse tingimus on sama, mis arvulisel, ainult ühe erandiga, täpsemalt öeldes, liitmine. Lõpptulemuse teisendamisel ja arvutamisel tuleb arvestada muutujatega, seega ei esitata küsimust "milline avaldis ei ole mõttekas?", vaid "millise muutuja väärtuse jaoks pole sellel avaldisel mõtet?" ja "Kas muutujal on väärtus, mis muudab avaldise mõttetuks?"

Näiteks (18-3):(a+11-9).

Ülaltoodud avaldis ei ole mõttekas, kui a on -2.

Kuid (a + 3): (12-4-8) kohta võib julgelt öelda, et see on väljend, millel pole ühegi a puhul mõtet.

Samamoodi, mis iganes b avaldisesse (b - 11):(12+1) asendate, on sellel ikkagi mõte.

Tüüpilised ülesanded teemal "Avaldis, millel pole mõtet"

7. klass õpib seda teemat muuhulgas matemaatikas ning ülesanded selle kohta leitakse sageli nii vahetult pärast vastavat tundi kui ka moodulites ja eksamites “triki” küsimusena.

Seetõttu tasub kaaluda tüüpilisi ülesandeid ja nende lahendamise meetodeid.

Näide 1

Kas väljendil on mõtet:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Kogu arvutus on vaja teha sulgudes ja viia avaldis vormile:

Lõpptulemus sisaldab jagamist nulliga, seega on avaldis mõttetu.

Näide 2

Millistel väljenditel pole mõtet?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Peaksite arvutama iga avaldise lõpliku väärtuse.

Vastus: 1; 2.

Näide 3

Leidke järgmiste avaldiste kehtivate väärtuste vahemik:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

Vastuvõetavate väärtuste vahemik (ODZ) on kõik need arvud, mille asendamisel muutujate asemel on avaldis mõttekas.

See tähendab, et ülesanne kõlab järgmiselt: leidke väärtused, mille puhul ei jagata nulliga.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞) või b> -17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞) või b> 25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Näide 4

Milliste väärtuste korral pole järgmisel avaldisel mõtet?

Teine sulg on null, kui y on -3.

Vastus: y=-3

Näide 4

Milline avaldistest ei ole mõttekas ainult x = -14 korral?

1) 14: (x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 ja 3, kuna esimesel juhul, kui asendame x = -14 asemel, võrdub teine ​​sulg -28, mitte nulliga, nagu kõlab mõttetu avaldise definitsioonis.

Näide 5

Mõelge ja kirjutage üles väljend, millel pole mõtet.

18/(2-46+17-33+45+15).

Kahe muutujaga algebralised avaldised

Hoolimata asjaolust, et kõigil mõttetutel väljenditel on sama olemus, on nende keerukus erinevad. Seega võime öelda, et numbrilised näited on lihtsad, kuna need on lihtsamad kui algebralised. Lahendusele lisab raskusi muutujate arv viimases. Kuid ka need ei tohiks oma välimuselt segadust tekitada: peamine on meeles pidada lahenduse üldpõhimõtet ja seda rakendada olenemata sellest, kas näide sarnaneb tüüpilise probleemiga või sisaldab tundmatuid täiendusi.

Näiteks võib tekkida küsimus, kuidas sellist ülesannet lahendada.

Leidke ja kirjutage üles avaldise jaoks kehtetud numbripaar:

(x 3 - x 2 a 3 + 13x - 38 a)/(12x 2 - a).

Vastuse valikud:

Kuid tegelikult näeb see ainult hirmutav ja tülikas välja, sest tegelikult sisaldab see seda, mis on ammu teada: ruudu- ja kuubikarvu, mõningaid aritmeetilisi tehteid nagu jagamine, korrutamine, lahutamine ja liitmine. Muide, mugavuse huvides võime probleemi taandada murdosale.

Saadud murru lugeja ei ole õnnelik: (x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38 a). See on fakt. Kuid õnneks on veel üks põhjus: ülesande lahendamiseks ei pea te seda isegi puudutama! Eelnevalt käsitletud definitsiooni kohaselt on nulliga jagamine võimatu ja see, mis sellega täpselt jagatakse, on täiesti ebaoluline. Seetõttu jätame selle avaldise muutmata ja asendame nimetajasse nende valikute arvupaarid. Juba kolmas punkt sobib ideaalselt, muutes väikese sulg nulliks. Kuid selle lõpetamiseks on halb soovitus, sest võib tulla midagi muud. Ja tõepoolest: ka viies punkt sobib hästi ja sobib seisukorda.

Kirjutame vastuse: 3 ja 5.

Lõpuks

Nagu näete, on see teema väga huvitav ja mitte eriti keeruline. Seda ei ole raske välja mõelda. Kuid siiski ei tee kunagi paha välja töötada paar näidet!

Numbriliste, sõnasõnaliste avaldiste ja muutujatega avaldiste teema uurimisel tuleb tähelepanu pöörata mõistele väljendi väärtus. Selles artiklis vastame küsimusele, mis on arvavaldise väärtus ja mida nimetatakse muutujate valitud väärtuste jaoks literaalse avaldise ja muutujatega avaldise väärtuseks. Nende määratluste selgitamiseks toome näiteid.

Leheküljel navigeerimine.

Mis on arvavaldise väärtus?

Tutvumine numbriliste avaldistega algab peaaegu kooli esimestest matemaatikatundidest. Peaaegu kohe võetakse kasutusele mõiste "arvulise avaldise väärtus". See viitab avaldistele, mis koosnevad aritmeetiliste märkidega (+, −, ·, :) ühendatud numbritest. Anname sobiva määratluse.

Definitsioon.

Numbriavaldise väärtus- see on arv, mis saadakse pärast kõigi toimingute sooritamist algses arvavaldises.

Mõelge näiteks numbrilisele avaldisele 1+2 . Pärast täitmist saame arvu 3, see on arvavaldise 1+2 väärtus.

Sageli jäetakse fraasist "numbrilise avaldise väärtus" sõna "numbriline" välja ja öeldakse lihtsalt "avaldise väärtus", kuna ikkagi on selge, millist avaldist silmas peetakse.

Ülaltoodud väljendi tähenduse määratlus kehtib ka keerukama vormiga arvväljendite kohta, mida õpitakse gümnaasiumis. Siinkohal tuleb märkida, et võib kohata arvulisi avaldisi, mille väärtusi ei saa täpsustada. See on tingitud asjaolust, et mõnes väljendis on salvestatud toiminguid võimatu sooritada. Seetõttu ei saa me näiteks määrata avaldise 3:(2−2) väärtust. Selliseid arvulisi avaldisi nimetatakse väljendid, millel pole mõtet.

Sageli ei paku praktikas huvi mitte niivõrd numbriline avaldis kui selle väärtus. See tähendab, et tekib ülesanne, mis seisneb selle avaldise väärtuse määramises. Sel juhul öeldakse tavaliselt, et peate leidma avaldise väärtuse. Käesolevas artiklis analüüsitakse üksikasjalikult erinevat tüüpi arvavaldiste väärtuse leidmise protsessi ja käsitletakse palju näiteid koos üksikasjalike lahenduste kirjeldustega.

Sõnasõnaliste ja muutuvate väljendite tähendus

Lisaks numbrilistele avaldistele uurivad nad ka sõnasõnalisi avaldisi, st väljendeid, milles koos numbritega on üks või mitu tähte. Literaalses avaldises olevad tähed võivad tähistada erinevaid numbreid ja kui tähed asendada nende numbritega, muutub sõnasõnaline avaldis numbriliseks.

Definitsioon.

Nimetatakse numbreid, mis asendavad tähti sõnasõnalises avaldises nende tähtede tähendused, ja kutsutakse välja saadud arvavaldise väärtus sõnasõnalise avaldise väärtus, võttes arvesse tähtede väärtusi.

Niisiis, sõnasõnaliste väljendite puhul ei räägita mitte ainult sõnasõnalise väljendi tähendusest, vaid ka sõnasõnalise väljendi tähendusest tähtede antud (antud, näidatud jne) väärtuste jaoks.

Võtame näite. Võtame sõnasõnalise avaldise 2·a+b . Olgu tähtede a ja b väärtused antud, näiteks a=1 ja b=6 . Asendades algses avaldises olevad tähed nende väärtustega, saame arvavaldise kujul 2 1+6 , selle väärtus on 8 . Seega on arv 8 sõnasõnalise avaldise 2·a+b väärtus, arvestades tähtede a=1 ja b=6 väärtusi. Kui on antud muud täheväärtused, saaksime nende täheväärtuste jaoks kirjasõnalise avaldise väärtuse. Näiteks kui a=5 ja b=1 on meil väärtus 2 5+1=11 .

Gümnaasiumis algebrat õppides lastakse sõnasõnalistes avaldistes olevatel tähtedel omandada erinevaid tähendusi, selliseid tähti nimetatakse muutujateks ja literaalväljenditeks muutujatega avaldisi. Nende avaldiste jaoks võetakse muutujate valitud väärtuste jaoks kasutusele muutujatega avaldise väärtuse mõiste. Mõtleme välja, mis see on.

Definitsioon.

Avaldise väärtus muutujatega valitud muutujate väärtuste jaoks kutsutakse numbrilise avaldise väärtus, mis saadakse pärast valitud muutujate väärtuste asendamist algsesse avaldisesse.

Selgitagem kõlavat määratlust näitega. Vaatleme avaldist muutujatega x ja y kujul 3·x·y+y . Võtame x=2 ja y=4 , asendame need muutuja väärtused algsesse avaldisesse, saame arvavaldise 3 2 4+4 . Arvutame selle avaldise väärtuse: 3 2 4+4=24+4=28 . Leitud väärtus 28 on algse avaldise väärtus muutujatega 3·x·y+y muutujate x=2 ja y=4 valitud väärtustega.

Kui valite muud muutujate väärtused, näiteks x=5 ja y=0 , vastavad need valitud muutujate väärtused avaldise väärtusele muutujatega 3 5 0+0=0 .

Võib märkida, et mõnikord võib muutujate erinevate valitud väärtuste jaoks saada avaldise võrdsed väärtused. Näiteks x=9 ja y=1 korral on avaldise 3 x y+y väärtus 28 (kuna 3 9 1+1=27+1=28 ) ja eespool näitasime, et sama väärtus on avaldis muutujatel on x=2 ja y=4 .

Muutuvaid väärtusi saab valida nende vastavate hulgast vastuvõetavate väärtuste vahemikud. Vastasel juhul annab nende muutujate väärtuste asendamine algsesse avaldisesse numbrilise avaldise, millel pole mõtet. Näiteks kui valite x=0 ja asendate selle väärtuse avaldisega 1/x, saate numbrilise avaldise 1/0, millel pole mõtet, kuna nulliga jagamine on määratlemata.

Jääb vaid lisada, et on muutujatega avaldisi, mille väärtused ei sõltu nende moodustavate muutujate väärtustest. Näiteks avaldise väärtus muutujaga x kujul 2+x−x ei sõltu selle muutuja väärtusest, see on võrdne 2-ga muutuja x mis tahes valitud väärtuse jaoks selle kehtivate väärtuste vahemikust, mis antud juhul on kõigi reaalarvude hulk.

Bibliograafia.

• Matemaatika: õpingud. 5 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 lk.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra:õpik 7 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovski. - 17. väljaanne. - M. : Haridus, 2008. - 240 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra:õpik 8 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M. : Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Väljend on kõige laiem matemaatiline termin. Sisuliselt koosneb selles teaduses kõik neist ja kõik toimingud tehakse ka nendega. Teine küsimus on see, et olenevalt konkreetsest liigist kasutatakse täiesti erinevaid meetodeid ja tehnikaid. Seega on trigonomeetria, murdude või logaritmidega töötamine kolm erinevat toimingut. Avaldis, millel pole mõtet, võib olla kahte tüüpi: numbriline või algebraline. Kuid mida see mõiste tähendab, kuidas selle näide välja näeb ja muid punkte, arutatakse edasi.

Numbrilised avaldised

Kui avaldis koosneb arvudest, sulgudest, plussidest ja miinustest ning muudest aritmeetiliste tehtemärkidest, võib seda julgelt nimetada numbriliseks. Mis on üsna loogiline: peate lihtsalt uuesti vaatama selle esimese nimega komponenti.

Kõik võib olla numbriline avaldis: peaasi, et see ei sisalda tähti. Ja "kõik" all mõistetakse sel juhul kõike: alates lihtsast, eraldiseisvast, omaette numbrist kuni nende tohutu loendini ja aritmeetiliste toimingute märkideni, mis nõuavad lõpptulemuse hilisemat arvutamist. Murd on ka arvuline avaldis, kui see ei sisalda a, b, c, d jne, sest siis on see täiesti teistsugune, millest tuleb juttu veidi hiljem.

Tingimused väljendile, millel pole mõtet

Kui ülesanne algab sõnaga "arvuta", saame rääkida teisendusest. Asi on selles, et see tegevus pole alati soovitatav: seda pole nii palju vaja, kui esiplaanile tuleb väljend, millel pole mõtet. Näited on lõputult üllatavad: mõnikord tuleb selleks, et mõista, et see on meist mööda läinud, pikaks ja tüütuks ajaks sulgud lahti tegema ja loendama-loendama-loendama ...

Peaasi on meeles pidada, et mõtet pole avaldisel, mille lõpptulemus taandub matemaatikas keelatud tegevusele. Kui päris aus olla, siis muutub transformatsioon ise mõttetuks, aga selle teadasaamiseks tuleb see esmalt läbi viia. Selline on paradoks!

Kõige kuulsam, kuid mitte vähem oluline keelatud matemaatiline tehe on nulliga jagamine.

Seetõttu näiteks väljend, millel pole mõtet:

(17+11):(5+4-10+1).

Kui lihtsate arvutuste abil taandame teise sulu ühekohaliseks, siis on see null.

Samal põhimõttel antakse sellele väljendile "aunimetus":

(5-18):(19-4-20+5).

Algebralised avaldised

See on sama numbriline avaldis, kui lisate sellele keelatud tähed. Siis muutub see täieõiguslikuks algebraliseks. Seda on ka igas suuruses ja kujus. Algebraline avaldis on laiem mõiste, sealhulgas eelmine. Aga vestlust oli mõttekas alustada mitte temaga, vaid numbrilisega, et oleks selgem ja arusaadavam. Lõppude lõpuks, kas algebralisel avaldisel on mõtet - küsimus pole nii keeruline, kuid sellel on rohkem täpsustusi.

Miks nii?

Sõnasõnaline avaldis või muutujatega avaldis on sünonüümid. Esimest terminit on lihtne seletada: lõppude lõpuks sisaldab see tähti! Ka teine ​​pole sajandi müsteerium: tähti saab asendada erinevate numbritega, mille tulemusel väljendi tähendus muutub. Lihtne on arvata, et tähed on sel juhul muutujad. Analoogia põhjal on arvud konstandid.

Ja siin pöördume tagasi põhiteema juurde: mõttetu?

Näited algebralistest avaldistest, millel pole mõtet

Algebralise avaldise mõttetuse tingimus on sama, mis arvulisel, ainult ühe erandiga, täpsemalt öeldes, liitmine. Lõpptulemuse teisendamisel ja arvutamisel tuleb arvestada muutujatega, seega ei esitata küsimust "milline avaldis ei ole mõttekas?", vaid "millise muutuja väärtuse jaoks pole sellel avaldisel mõtet?" ja "Kas muutujal on väärtus, mis muudab avaldise mõttetuks?"

Näiteks (18-3):(a+11-9).

Ülaltoodud avaldis ei ole mõttekas, kui a on -2.

Kuid (a + 3): (12-4-8) kohta võib julgelt öelda, et see on väljend, millel pole ühegi a puhul mõtet.

Samamoodi, mis iganes b avaldisesse (b - 11):(12+1) asendate, on sellel ikkagi mõte.

Tüüpilised ülesanded teemal "Avaldis, millel pole mõtet"

7. klass õpib seda teemat muuhulgas matemaatikas ning ülesanded selle kohta leitakse sageli nii vahetult pärast vastavat tundi kui ka moodulites ja eksamites “triki” küsimusena.

Seetõttu tasub kaaluda tüüpilisi ülesandeid ja nende lahendamise meetodeid.

Näide 1

Kas väljendil on mõtet:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Kogu arvutus on vaja teha sulgudes ja viia avaldis vormile:

Lõpptulemus sisaldab seega väljend on mõttetu.

Näide 2

Millistel väljenditel pole mõtet?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Peaksite arvutama iga avaldise lõpliku väärtuse.

Vastus: 1; 2.

Näide 3

Leidke järgmiste avaldiste kehtivate väärtuste vahemik:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

Vastuvõetavate väärtuste vahemik (ODZ) on kõik need arvud, mille asendamisel muutujate asemel on avaldis mõttekas.

See tähendab, et ülesanne kõlab järgmiselt: leidke väärtused, mille puhul ei jagata nulliga.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞) või b> -17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞) või b> 25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Näide 4

Milliste väärtuste korral pole järgmisel avaldisel mõtet?

Teine sulg on null, kui y on -3.

Vastus: y=-3

Näide 4

Milline avaldistest ei ole mõttekas ainult x = -14 korral?

1) 14: (x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 ja 3, kuna esimesel juhul, kui asendame x = -14 asemel, võrdub teine ​​sulg -28, mitte nulliga, nagu kõlab mõttetu avaldise definitsioonis.

Näide 5

Mõelge ja kirjutage üles väljend, millel pole mõtet.

18/(2-46+17-33+45+15).

Kahe muutujaga algebralised avaldised

Hoolimata asjaolust, et kõigil mõttetutel väljenditel on sama olemus, on nende keerukus erinevad. Seega võime öelda, et numbrilised näited on lihtsad, kuna need on lihtsamad kui algebralised. Lahendusele lisab raskusi muutujate arv viimases. Kuid need ei tohiks välja näha ühesugused: peamine on meeles pidada lahenduse üldpõhimõtet ja rakendada seda sõltumata sellest, kas näide sarnaneb tüüpilise probleemiga või sisaldab tundmatuid täiendusi.

Näiteks võib tekkida küsimus, kuidas sellist ülesannet lahendada.

Leidke ja kirjutage üles avaldise jaoks kehtetud numbripaar:

(x 3 - x 2 a 3 + 13x - 38 a)/(12x 2 - a).

Vastuse valikud:

Kuid tegelikult näeb see ainult hirmutav ja tülikas välja, sest tegelikult sisaldab see seda, mis on ammu teada: ruudu- ja kuubikarvu, mõningaid aritmeetilisi tehteid nagu jagamine, korrutamine, lahutamine ja liitmine. Muide, mugavuse huvides võime probleemi taandada murdosale.

Saadud murru lugeja ei ole õnnelik: (x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38 a). See on fakt. Kuid õnneks on veel üks põhjus: ülesande lahendamiseks ei pea te seda isegi puudutama! Eelnevalt käsitletud definitsiooni kohaselt on nulliga jagamine võimatu ja see, mis sellega täpselt jagatakse, on täiesti ebaoluline. Seetõttu jätame selle avaldise muutmata ja asendame nimetajasse nende valikute arvupaarid. Juba kolmas punkt sobib ideaalselt, muutes väikese sulg nulliks. Kuid selle lõpetamiseks on halb soovitus, sest võib tulla midagi muud. Ja tõepoolest: ka viies punkt sobib hästi ja sobib seisukorda.

Kirjutame vastuse: 3 ja 5.

Lõpuks

Nagu näete, on see teema väga huvitav ja mitte eriti keeruline. Seda ei ole raske välja mõelda. Kuid siiski ei tee kunagi paha välja töötada paar näidet!

Numbriline avaldis on suvaline arvude, aritmeetiliste märkide ja sulgude kirje. Numbriline avaldis võib koosneda ka ainult ühest arvust. Tuletage meelde, et põhilised aritmeetilised toimingud on "liitmine", "lahutamine", "korrutamine" ja "jagamine". Need toimingud vastavad märkidele "+", "-", "∙", ":".

Muidugi, selleks, et saaksime arvulise avaldise, peab arvudest ja aritmeetilistest märkidest lähtuv tähistus olema tähendusrikas. Näiteks ei saa sellist kirjet 5: + ∙ nimetada numbriliseks avaldiseks, kuna see on juhuslik märkide kogum, millel pole mõtet. Vastupidi, 5 + 8 ∙ 9 on juba reaalne arvuline avaldis.

Numbriavaldise väärtus.

Ütleme kohe, et kui sooritame arvulises avaldises näidatud toimingud, saame selle tulemusel numbri. Seda numbrit kutsutakse arvavaldise väärtus.

Proovime välja arvutada, mida me saame oma näite toimingute sooritamise tulemusena. Vastavalt aritmeetiliste toimingute sooritamise järjekorrale sooritame esmalt korrutustehte. Korrutage 8 9-ga. Saame 72. Nüüd liidame 72 ja 5. Saame 77.
Niisiis, 77- tähenduses arvavaldis 5 + 8 ∙ 9.

Numbriline võrdsus.

Saate selle kirjutada järgmiselt: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Siin kasutasime kõigepealt märki "=" ("Võrdne"). Sellist tähistust, kus kaks arvavaldist eraldatakse märgiga "=", kutsutakse numbriline võrdsus. Veelgi enam, kui võrdsuse vasaku ja parema osa väärtused on samad, siis nimetatakse võrdsust. ustav. 5 + 8 ∙ 9 = 77 on õige võrdsus.
Kui kirjutame 5 + 8 ∙ 9 = 100, siis see juba on vale võrdsus, kuna selle võrdsuse vasaku ja parema poole väärtused ei lange enam kokku.

Tuleb märkida, et numbrilises avaldises võime kasutada ka sulgusid. Sulud mõjutavad toimingute sooritamise järjekorda. Näiteks muudame oma näidet, lisades sulgud: (5 + 8) ∙ 9. Nüüd peame esmalt liitma 5 ja 8. Saame 13. Ja siis korrutame 13 9-ga. Saame 117. Seega (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – tähenduses arvavaldis (5 + 8) ∙ 9.

Avaldise korrektseks lugemiseks peate määrama, milline toiming sooritatakse viimasena, et arvutada antud arvavaldise väärtus. Seega, kui viimane toiming on lahutamine, nimetatakse seda avaldist "erinevuseks". Seega, kui viimane toiming on summa - "summa", jagamine - "era", korrutamine - "produkt", astendamine - "kraad".

Näiteks arvuline avaldis (1 + 5) (10-3) kõlab järgmiselt: "arvude 1 ja 5 summa ning arvude 10 ja 3 vahe korrutis."

Näited numbriavaldistest.

Siin on näide keerulisemast numbrilisest avaldisest:

\[\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\]

Selles arvavaldises kasutatakse algnumbreid, tavalisi ja kümnendmurde. Kasutatakse ka liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise sümboleid. Murruriba asendab ka jagamismärki. Näilise keerukuse korral on selle arvavaldise väärtuse leidmine üsna lihtne. Peaasi on osata teha toiminguid murdarvudega, samuti teha hoolikalt ja täpselt arvutusi, järgides toimingute järjekorda.

Sulgudes on meil avaldis $\frac(1)(4)+3.75$ . Teisendame kümnendmurru 3,75 tavaliseks.

3,75 $=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Niisiis, $\frac(1)(4)+3.75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Edasi murru lugejas \[\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\keskpunkt 0,5)\] meil on avaldis 1,25 + 3,47 + 4,75-1,47. Selle väljendi lihtsustamiseks rakendame kommutatiivse liitmise seadust, mis ütleb: "Summa ei muutu terminite kohtade muutumisest." See tähendab, et 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

Murru nimetajas avaldis $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Saame $\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)=4: \frac(8)(2)=4:4 = 1 $

Millal pole numbrilistel avaldistel mõtet?

Vaatleme veel ühte näidet. Murru nimetajas $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ avaldise $3\centerdot 3-9$ väärtus on 0. Ja nagu me teame, on nulliga jagamine võimatu. Seetõttu pole fraktsioonil $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ väärtust. Numbriliste avaldiste puhul, millel pole tähendust, öeldakse, et "pole tähendust".

Kui kasutame arvulises avaldises lisaks numbritele ka tähti, siis saame