Leidke võrgust ebavõrdsuse suurim täisarvuline lahendus. Murdratsionaalne ebavõrdsus. Ebavõrdsuse identiteedi teisendused

Esiteks mõned laulusõnad, et tunnetada probleemi, mille intervallmeetod lahendab. Oletame, et peame lahendama järgmise ebavõrdsuse:

(x – 5) (x + 3) > 0

Millised on võimalused? Esimene asi, mis enamikule õpilastele meelde tuleb, on reeglid "pluss korda pluss teeb plussi" ja "miinus korda miinus teeb plussi". Seetõttu piisab, kui arvestada juhtumiga, kui mõlemad sulud on positiivsed: x − 5 > 0 ja x + 3 > 0. Siis vaatleme ka juhtumit, kui mõlemad sulud on negatiivsed: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Edasijõudnumad õpilased mäletavad (võib-olla), et vasakul on ruutfunktsioon, mille graafik on parabool. Veelgi enam, see parabool lõikub OX-teljega punktides x = 5 ja x = −3. Edasiseks tööks tuleb sulgud avada. Meil on:

x 2 - 2x - 15 > 0

Nüüd on selge, et parabooli oksad on suunatud ülespoole, sest koefitsient a = 1 > 0. Proovime joonistada selle parabooli diagrammi:

Funktsioon on suurem kui null, kui see läbib OX-telje kohal. Meie puhul on need intervallid (−∞ −3) ja (5; +∞) – see on vastus.

Pange tähele, et pilt näitab täpselt funktsiooni diagramm, mitte tema ajakava. Sest tõelise diagrammi jaoks peate loendama koordinaate, arvutama nihkeid ja muud jama, mida meil pole praegu üldse vaja.

Miks on need meetodid ebaefektiivsed?

Niisiis, oleme kaalunud sama ebavõrdsuse kahte lahendust. Mõlemad osutusid väga tülikaks. Tekib esimene otsus – lihtsalt mõelge sellele! on ebavõrdsuse süsteemide kogum. Teine lahendus pole samuti väga lihtne: peate meeles pidama paraboolgraafikut ja hunnikut muid väikeseid fakte.

See oli väga lihtne ebavõrdsus. Sellel on ainult 2 kordajat. Kujutage nüüd ette, et seal pole mitte 2 kordajat, vaid vähemalt 4. Näiteks:

(x - 7) (x - 1) (x + 4) (x + 9)< 0

Kuidas sellist ebavõrdsust lahendada? Kas läbida kõik võimalikud plusside ja miinuste kombinatsioonid? Jah, me jääme magama kiiremini, kui leiame lahenduse. Graafiku joonistamine pole samuti võimalik, kuna pole selge, kuidas selline funktsioon koordinaattasandil käitub.

Selliste ebavõrdsuste jaoks on vaja spetsiaalset lahendusalgoritmi, mida me täna kaalume.

Mis on intervallmeetod

Intervallmeetod on spetsiaalne algoritm, mis on loodud lahendama keerulisi võrratusi kujul f (x) > 0 ja f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

Lahendage võrrand f (x) \u003d 0. Seega saame võrratuse asemel võrrandi, mida on palju lihtsam lahendada;
Märkige kõik saadud juured koordinaatjoonele. Seega jagatakse sirgjoon mitmeks intervalliks;
Leia funktsiooni f (x) märk (pluss või miinus) kõige parempoolsemal intervallil. Selleks piisab, kui asendada f (x) suvaline arv, mis jääb kõigist märgitud juurtest paremale;
Märgi märgid teistele intervallidele. Selleks piisab, kui meeles pidada, et iga juure läbimisel märk muutub.

See on kõik! Pärast seda jääb üle ainult meid huvitavad intervallid välja kirjutada. Need on tähistatud märgiga “+”, kui ebavõrdsus oli kujul f (x) > 0, või märgiga “−”, kui ebavõrdsus oli kujul f (x)< 0.

Esmapilgul võib tunduda, et intervallmeetod on mingi tina. Kuid praktikas on kõik väga lihtne. See nõuab veidi harjutamist – ja kõik saab selgeks. Vaadake näiteid ja veenduge ise:

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

(x – 2) (x + 7)< 0

Töötame intervallide meetodil. 1. samm: asendage võrratus võrrandiga ja lahendage see:

(x – 2) (x + 7) = 0

Korrutis on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Sai kaks juurt. Minge 2. sammu juurde: märkige need juured koordinaatjoonele. Meil on:

Nüüd samm 3: leiame funktsiooni märgi kõige parempoolsemast intervallist (märgitud punktist x = 2 paremal). Selleks tuleb võtta suvaline arv, mis on suurem kui arv x = 2. Võtame näiteks x = 3 (aga keegi ei keela võtta x = 4, x = 10 ja isegi x = 10 000). Saame:

f(x) = (x − 2)(x + 7);
x=3;
f (3) = (3 - 2) (3 + 7) = 1 10 = 10;

Saame, et f (3) = 10 > 0, seega paneme parempoolsemasse intervalli plussmärgi.

Liigume viimasesse punkti - ülejäänud intervallidel on vaja märkida märgid. Pidage meeles, et iga juure läbimisel peab märk muutuma. Näiteks juurest x = 2 paremal on pluss (selles veendusime eelmises etapis), seega peab vasakul olema miinus.

See miinus laieneb kogu intervallile (−7; 2), seega on miinus juurest x = −7 paremal. Seetõttu on juurest x = −7 vasakul pool pluss. Jääb üle märkida need märgid koordinaatide teljele. Meil on:

Pöördume tagasi algse ebavõrdsuse juurde, mis nägi välja selline:

(x – 2) (x + 7)< 0

Seega peab funktsioon olema väiksem kui null. See tähendab, et meid huvitab miinusmärk, mis esineb ainult ühel intervallil: (−7; 2). See on vastus.

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

(x + 9) (x - 3) (1 - x )< 0

1. samm: võrdsustage vasak külg nulliga:

(x + 9) (x - 3) (1 - x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Pidage meeles: korrutis on null, kui vähemalt üks teguritest on null. Seetõttu on meil õigus võrdsustada iga üksiku sulg nulliga.

2. samm: märkige koordinaatjoonele kõik juured:

3. samm: leidke parempoolseima tühimiku märk. Võtame suvalise arvu, mis on suurem kui x = 1. Näiteks võime võtta x = 10. Meil on:

f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9) (10 - 3) (1 - 10) = 19 7 (-9) = -1197;
f(10) = -1197< 0.

4. samm: asetage ülejäänud märgid. Pidage meeles, et iga juure läbimisel märk muutub. Selle tulemusena näeb meie pilt välja selline:

See on kõik. Jääb vaid vastus kirjutada. Vaadake uuesti algset ebavõrdsust:

(x + 9) (x - 3) (1 - x )< 0

See on ebavõrdsus kujul f (x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

See on vastus.

Märkus funktsioonimärkide kohta

Praktika näitab, et suurimad raskused intervallmeetodil tekivad kahel viimasel etapil, s.o. märkide paigutamisel. Paljud õpilased hakkavad segadusse sattuma: milliseid numbreid võtta ja kuhu sildid panna.

Intervallimeetodi lõplikuks mõistmiseks kaaluge kahte märkust, millele see põhineb:

Pidev funktsioon muudab märki ainult punktides kus see on võrdne nulliga. Sellised punktid purustavad koordinaattelje tükkideks, mille sees funktsiooni märk kunagi ei muutu. Sellepärast lahendame võrrandi f (x) \u003d 0 ja märgime leitud juured sirgele. Leitud numbrid on "piiripunktid", mis eraldavad plusse miinustest.
Funktsiooni märgi leidmiseks mis tahes intervallil piisab, kui asendada funktsiooni suvaline arv sellest intervallist. Näiteks intervalli (−5; 6) jaoks võime soovi korral võtta x = −4, x = 0, x = 4 ja isegi x = 1,29374. Miks see oluline on? Jah, sest paljud õpilased hakkavad kahtlusi närima. Mis siis, kui x = −4 korral saame plussi ja x = 0 korral saame miinuse? Midagi sellist ei juhtu kunagi. Kõik sama intervalli punktid annavad sama märgi. Mäleta seda.

See on kõik, mida peate intervallimeetodi kohta teadma. Loomulikult oleme selle kõige lihtsamal kujul lahti võtnud. On keerulisemaid ebavõrdsusi – mitterangeid, murdosalisi ja korduvate juurtega. Nende puhul saab rakendada ka intervallmeetodit, aga see on eraldi suure õppetunni teema.

Nüüd tahaksin analüüsida täiustatud trikki, mis lihtsustab järsult intervallmeetodit. Täpsemalt puudutab lihtsustamine ainult kolmandat etappi – joone kõige parempoolsema osa märgi arvutamist. Koolides seda tehnikat millegipärast ei kasutata (vähemalt keegi ei selgitanud seda mulle). Aga asjata – tegelikult on see algoritm väga lihtne.

Seega on funktsiooni märk numbritelje paremal tükil. Sellel tükil on vorm (a; +∞), kus a on võrrandi f (x) = 0 suurim juur. Selleks, et meie aju ei lööks, kaaluge konkreetset näidet:

(x - 1) (2 + x ) (7 - x )< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x − 1)(2 + x )(7 − x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Meil on 3 juuri. Loetleme need kasvavas järjekorras: x = −2, x = 1 ja x = 7. Ilmselgelt on suurim juur x = 7.

Kellel on lihtsam graafiliselt arutleda, märgin need juured koordinaatide reale. Vaatame mis juhtub:

Vajalik on leida funktsiooni f (x) märk kõige parempoolsemal intervallil, s.o. sisse (7; +∞). Kuid nagu me juba märkisime, võite märgi määramiseks sellest intervallist võtta mis tahes arvu. Näiteks võite võtta x = 8, x = 150 jne. Ja nüüd – sama tehnika, mida koolides ei õpetata: võtame lõpmatust arvuna. Täpsemalt, pluss lõpmatus, st. +∞.

„Kas sa oled kividega loobitud? Kuidas asendada lõpmatus funktsiooniga? võib-olla, küsite. Kuid mõelge sellele: me ei vaja funktsiooni enda väärtust, vajame ainult märki. Seetõttu tähendavad näiteks väärtused f (x) = −1 ja f (x) = −938 740 576 215 sama: funktsioon on sellel intervallil negatiivne. Seetõttu on teilt vaja vaid leida lõpmatuses esinev märk, mitte funktsiooni väärtus.

Tegelikult on lõpmatuse asendamine väga lihtne. Läheme tagasi oma funktsiooni juurde:

f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Kujutage ette, et x on väga suur arv. Miljard või isegi triljon. Nüüd vaatame, mis toimub igas sulgudes.

Esimene sulg: (x − 1). Mis juhtub, kui lahutada miljardist üks? Tulemuseks on arv, mis ei erine palju miljardist ja see arv on positiivne. Samamoodi teise suuga: (2 + x). Kui liita miljard kahele, saame kopikatega miljard – see on positiivne arv. Lõpuks kolmas sulg: (7 − x ). Siin tuleb miinus miljard, millest on “ära näritud” armetu tükk seitsme kujul. Need. saadud arv ei erine palju miinus miljardist - see on negatiivne.

Jääb üle leida kogu teose märk. Kuna meil oli esimestes sulgudes pluss ja viimases sulgudes miinus, saame järgmise konstruktsiooni:

(+) · (+) · (−) = (−)

Viimane märk on miinus! Pole tähtis, milline on funktsiooni enda väärtus. Peaasi, et see väärtus oleks negatiivne, st. kõige parempoolsemal intervallil on miinusmärk. Jääb lõpule viia intervallmeetodi neljas samm: korraldada kõik märgid. Meil on:

Algne ebavõrdsus nägi välja selline:

(x - 1) (2 + x ) (7 - x )< 0

Seetõttu oleme huvitatud miinusmärgiga tähistatud intervallidest. Kirjutame vastuse välja:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

See on kogu trikk, millest ma tahtsin rääkida. Kokkuvõttes on veel üks võrratus, mis lahendatakse intervallmeetodil, kasutades lõpmatust. Lahenduse visuaalseks lühendamiseks jätan sammude numbrid ja üksikasjalikud kommentaarid kirjutamata. Kirjutan ainult seda, mida tuleb reaalsete probleemide lahendamisel tõesti kirjutada:

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

x (2x + 8) (x - 3) > 0

Asendame võrratuse võrrandiga ja lahendame selle:

x (2x + 8) (x - 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Koordinaadijoonele märgime kõik kolm juurt (kohe märkidega):

Koordinaatide telje paremal küljel on pluss, sest funktsioon näeb välja selline:

f(x) = x(2x + 8)(x − 3)

Ja kui asendame lõpmatuse (näiteks miljard), saame kolm positiivset sulgu. Kuna algne avaldis peab olema suurem kui null, huvitavad meid ainult plussid. Jääb üle kirjutada vastus:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Ebavõrdsuse lahendamine võrgus

Enne võrratuste lahendamist on vaja hästi aru saada, kuidas võrrandeid lahendatakse.

Pole vahet, kas ebavõrdsus on range () või mitterange (≤, ≥), esimene samm on võrrandi lahendamine, asendades ebavõrdsuse märgi võrdsusega (=).

Selgitage, mida tähendab ebavõrdsuse lahendamine?

Pärast võrrandite uurimist on õpilasel peas järgmine pilt: peate leidma sellised muutuja väärtused, mille jaoks mõlemad võrrandi osad võtavad samad väärtused. Teisisõnu, leidke kõik punktid, kus võrdsus kehtib. Kõik on õige!

Ebavõrdsustest rääkides mõeldakse nende intervallide (segmentide) leidmist, millel ebavõrdsus kehtib. Kui võrratuses on kaks muutujat, siis pole lahenduseks enam intervallid, vaid mingid alad tasapinnal. Arva ära, milline saab olema kolme muutuja võrratuse lahendus?

Kuidas lahendada ebavõrdsust?

Intervallide meetodit (ehk intervallide meetodit) peetakse ebavõrdsuse lahendamise universaalseks viisiks, mis seisneb kõigi intervallide määramises, mille jooksul antud võrratus täitub.

Laskumata ebavõrdsuse tüübi juurde, ei ole see antud juhul sisuline, vaid tuleb lahendada vastav võrrand ja määrata selle juured, millele järgneb nende lahendite tähistamine numbriteljel.

Kuidas on õige ebavõrdsuse lahendus kirjutada?

Kui olete määranud ebavõrdsuse lahendamise intervallid, peate lahenduse enda õigesti välja kirjutama. Siin on oluline nüanss – kas intervallide piirid on lahendusse kaasatud?

Siin on kõik lihtne. Kui võrrandi lahend rahuldab ODZ-d ja ebavõrdsus ei ole range, siis on intervalli piir kaasatud võrratuse lahendisse. Muidu ei.

Arvestades iga intervalli, võib ebavõrdsuse lahenduseks olla intervall ise või poolintervall (kui üks selle piiridest rahuldab ebavõrdsust) või segment - intervall koos selle piiridega.

Oluline punkt

Ärge arvake, et ebavõrdsuse lahenduseks võivad olla ainult intervallid, poolintervallid ja segmendid. Ei, lahendusse saab lisada ka üksikuid punkte.

Näiteks võrratusel |x|≤0 on ainult üks lahendus – punkt 0.

Ja ebavõrdsus |x|

Milleks on ebavõrdsuse kalkulaator?

Õige lõpliku vastuse annab ebavõrdsuse kalkulaator. Sel juhul on enamasti toodud numbrilise telje või tasandi illustratsioon. Näete, kas intervallide piirid on lahenduses kaasatud või mitte - punktid kuvatakse täidetud või torgatuna.

Tänu online ebavõrdsuse kalkulaatorile saate kontrollida, kas olete võrrandi juured õigesti leidnud, need numbrireale märkinud ja intervallidel (ja piiridel) ebavõrdsuse tingimusi kontrollinud?

Kui teie vastus erineb kalkulaatori vastusest, peate kindlasti oma lahendust üle kontrollima ja tuvastama tehtud vea.

Ja tänapäeval ei suuda kõik ratsionaalset ebavõrdsust lahendada. Täpsemalt, mitte ainult igaüks ei saa otsustada. Vähesed inimesed saavad sellega hakkama.
Klitško

See õppetund saab olema raske. Nii karm, et ainult Väljavalitu jõuab selle lõpuni. Seetõttu soovitan enne lugemist eemaldada naised, kassid, rasedad lapsed ja ...

Olgu, see on tegelikult üsna lihtne. Oletame, et olete õppinud intervallmeetodit (kui te pole seda õppinud, soovitan teil see tagasi minna ja see läbi lugeda) ja õppinud lahendama võrratusi kujul $P\left(x \right) \gt 0$, kus $P \left(x \right)$ on mingi polünoom või polünoomide korrutis.

Usun, et teil ei ole raske näiteks sellist mängu lahendada (muide, proovige seda soojenduseks):

\[\begin(joonda) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(joonda)\]

Nüüd teeme ülesande pisut keerulisemaks ja arvestame mitte ainult polünoomidega, vaid vormi nn ratsionaalsete murdudega:

kus $P\left(x \right)$ ja $Q\left(x \right)$ on samad polünoomid kujul $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(a)_(0))$ või selliste polünoomide korrutis.

See oleks ratsionaalne ebavõrdsus. Põhipunkt on muutuja $x$ olemasolu nimetajas. Näiteks siin on ratsionaalne ebavõrdsus:

\[\begin(joonda) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\vasak(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(joona)\]

Ja see pole ratsionaalne, vaid kõige levinum ebavõrdsus, mis lahendatakse intervallmeetodiga:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Tulevikku vaadates ütlen kohe: ratsionaalse ebavõrdsuse lahendamiseks on vähemalt kaks võimalust, kuid kõik need ühel või teisel viisil taandatakse meile juba tuntud intervallide meetodile. Seetõttu tuletagem enne nende meetodite analüüsimist meelde vanu fakte, muidu pole uuest materjalist mõtet.

Mida sa juba teadma pead

Pole palju olulisi fakte. Meil on tõesti vaja ainult nelja.

Lühendatud korrutusvalemid

Jah, jah: need jäävad meid kummitama kogu kooli matemaatika õppekavas. Ja ülikoolis ka. Neid valemeid on üsna palju, kuid vajame ainult järgmist:

\[\begin(joona) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\vasak(a+b \parem)\vasak(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\parem); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\vasak(a-b \parem)\vasak(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\paremal). \\ \end(joonda)\]

Pöörake tähelepanu kahele viimasele valemile - see on kuubikute summa ja erinevus (ja mitte summa või erinevuse kuup!). Neid on lihtne meeles pidada, kui märkate, et esimeses suluses olev märk on sama, mis algse avaldises olev märk ja teises sulgudes on see vastupidine alglauses olevale märgile.

Lineaarvõrrandid

Need on kõige lihtsamad võrrandid kujul $ax+b=0$, kus $a$ ja $b$ on tavalised arvud ning $a\ne 0$. Seda võrrandit on lihtne lahendada:

\[\begin(joonda) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(joonda)\]

Märgin, et meil on õigus jagada koefitsiendiga $a$, sest $a\ne 0$. See nõue on üsna loogiline, kuna väärtusega $a=0$ saame järgmise:

Esiteks pole selles võrrandis muutujat $x$. Üldiselt ei tohiks see meid segadusse ajada (seda juhtub näiteks geomeetrias ja üsna sageli), kuid siiski pole me enam lineaarne võrrand.

Teiseks sõltub selle võrrandi lahendus ainult koefitsiendist $b$. Kui $b$ on samuti null, siis on meie võrrand $0=0$. See võrdsus on alati tõsi; seega $x$ on suvaline arv (tavaliselt kirjutatakse $x\ in \mathbb(R)$). Kui koefitsient $b$ ei ole võrdne nulliga, siis võrdus $b=0$ ei ole kunagi täidetud, s.t. vastuseid pole (kirjutati $x\in \varnothing $ ja loeti "lahenduskomplekt on tühi").

Kõigi nende keerukuste vältimiseks eeldame lihtsalt $a\ne 0$, mis ei piira meid kuidagi edasistest mõtisklustest.

Ruutvõrrandid

Lubage mul teile meelde tuletada, et seda nimetatakse ruutvõrrandiks:

Siin vasakul on teise astme polünoom ja jälle $a\ne 0$ (muidu saame ruutvõrrandi asemel lineaarse). Diskriminandi abil lahendatakse järgmised võrrandid:

Kui $D \gt 0$, saame kaks erinevat juurt;
Kui $D=0$, siis on juur üks, aga teise kordsusega (milline paljusus see on ja kuidas seda arvesse võtta – sellest lähemalt hiljem). Või võime öelda, et võrrandil on kaks identset juurt;
$D \lt 0$ korral puuduvad juured ja polünoomi $a(x)^(2))+bx+c$ märk langeb kokku koefitsiendi $a märgiga $. See, muide, on väga kasulik fakt, mida algebratundides millegipärast unustatakse rääkida.

Juured ise arvutatakse tuntud valemi järgi:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Sellest, muide, ka piirangud diskrimineerijale. Negatiivse arvu ruutjuurt ju ei eksisteeri. Mis puutub juurtesse, siis paljudel õpilastel on peas kohutav segadus, seega salvestasin spetsiaalselt terve tunni: mis on algebras juur ja kuidas seda arvutada - soovitan soojalt lugeda. :)

Tehted ratsionaalsete murdudega

Kõik, mis ülalpool oli kirjutatud, teate juba, kui uurisite intervallide meetodit. Kuid sellel, mida me praegu analüüsime, pole minevikus analooge – see on täiesti uus fakt.

Definitsioon. Ratsionaalne murd on vormi avaldis

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

kus $P\left(x \right)$ ja $Q\left(x \right)$ on polünoomid.

On ilmne, et sellisest murdosast on lihtne saada ebavõrdsust - piisab, kui omistada paremale märk “suurem kui” või “vähem kui”. Ja veidi kaugemal leiame, et selliste probleemide lahendamine on rõõm, seal on kõik väga lihtne.

Probleemid algavad siis, kui ühes avaldises on mitu sellist murdu. Need tuleb taandada ühiseks nimetajaks – ja just sel hetkel tehakse suur hulk ründavaid vigu.

Seetõttu on ratsionaalsete võrrandite edukaks lahendamiseks vaja kindlalt omandada kaks oskust:

Polünoomi $P\left(x \right)$ faktoriseerimine;
Tegelikult murdude viimine ühisele nimetajale.

Kuidas polünoomi faktoriseerida? Väga lihtne. Olgu meil vormi polünoom

Võrdlustame selle nulliga. Saame $n$-nda astme võrrandi:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Oletame, et lahendasime selle võrrandi ja saime juured $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (ärge muretsege: enamikul juhtudel seda pole rohkem kui kaks neist juurtest). Sel juhul saab meie algse polünoomi ümber kirjutada järgmiselt:

\[\begin(joona) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x) -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end (joonda)\]

See on kõik! Pange tähele: esikoefitsient $((a)_(n))$ pole kuhugi kadunud - see on eraldi faktor sulgude ees ja vajadusel saab selle sisestada ükskõik millisesse neist sulgudest (näitab praktika et $((a)_ (n))\ne \pm 1$ juures on juurte hulgas peaaegu alati murded).

Ülesanne. Lihtsusta väljendit:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Lahendus. Kõigepealt vaatame nimetajaid: need on kõik lineaarsed binoomid ja siin pole midagi faktoriseerida. Nii et faktoriseerime lugejad:

\[\begin(joona) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\right)\left(x-1\right); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x) +2 \parem)\vasak (2-5x \parem). \\\lõpp(joonda)\]

Pange tähele: teises polünoomis ilmus vanemkoefitsient "2", mis on täielikult kooskõlas meie skeemiga, esmalt sulu ees ja seejärel lisati esimesse sulgu, kuna sealt pääses välja murdosa.

Sama juhtus ka kolmanda polünoomiga, ainult et seal on terminite järjekord samuti segane. Koefitsient “−5” sattus aga teise sulgu (pidage meeles: teguri saab sisestada ühte ja ainult ühte sulgu!), mis päästis meid murdjuurtega kaasnevatest ebamugavustest.

Mis puutub esimesse polünoomi, siis seal on kõik lihtne: selle juuri otsitakse kas standardsel viisil diskriminandi kaudu või Vieta teoreemi abil.

Läheme tagasi algse avaldise juurde ja kirjutame selle ümber teguriteks jaotatud lugejatega:

\[\begin(maatriks) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \parem))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\vasak(x+5) \parem)-\vasak(x-1 \parem)-\vasak(2-5x \parem)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(maatriks)\]

Vastus: $5x+4$.

Nagu näete, pole midagi keerulist. Natuke 7.-8.klassi matemaatikat ja ongi kõik. Kõigi teisenduste mõte on muuta keeruline ja hirmutav väljend millekski lihtsaks ja hõlpsasti kasutatavaks.

See ei pruugi aga alati nii olla. Nii et nüüd käsitleme tõsisemat probleemi.

Kuid kõigepealt mõelgem välja, kuidas viia kaks murru ühise nimetajani. Algoritm on äärmiselt lihtne:

Faktoreerige mõlemad nimetajad;
Mõelge esimesele nimetajale ja lisage sellele tegurid, mis esinevad teises nimetajas, kuid mitte esimeses nimetajas. Saadud korrutis on ühine nimetaja;
Uurige, millised tegurid puuduvad igal algsel murdel, et nimetajad oleksid võrdsed ühisega.

Võib-olla tundub see algoritm teile lihtsalt tekstina, milles on "palju tähti". Nii et vaatame konkreetset näidet.

Ülesanne. Lihtsusta väljendit:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Lahendus. Selliseid mahukaid ülesandeid saab kõige paremini lahendada osade kaupa. Kirjutame välja, mis on esimeses sulus:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Erinevalt eelmisest probleemist ei ole siin nimetajad nii lihtsad. Tegutseme igaüks neist.

Ruuttrinoomi $((x)^(2))+2x+4$ ei saa faktoriseerida, kuna võrrandil $((x)^(2))+2x+4=0$ pole juuri (diskriminant on negatiivne) . Jätame selle muutmata.

Teine nimetaja, kuuppolünoom $((x)^(3))-8$, on lähemal uurimisel kuubikute erinevus ja seda saab hõlpsasti lahutada lühendatud korrutusvalemite abil:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\vasak(x-2 \parem)\vasak(((x) ^(2))+2x+4 \parem)\]

Midagi muud ei saa arvesse võtta, kuna esimene sulg sisaldab lineaarset binoomi ja teine on meile juba tuttav konstruktsioon, millel pole tegelikke juuri.

Lõpuks on kolmas nimetaja lineaarne binoom, mida ei saa lagundada. Seega on meie võrrand järgmine:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \parem))-\frac(1)(x-2)\]

On üsna ilmne, et $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ on ühine nimetaja ja selleks, et taandada kõik murrud sellele, esimene murd tuleb korrutada väärtusega $\left(x-2 \right)$ ja viimane murdarvuga $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Siis jääb üle vaid tuua järgmine:

\[\begin(maatriks) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ parem))+\frac(((x)^(2))+8)(\vasak(x-2 \parem)\vasak(((x)^(2))+2x+4 \parem))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \parem))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \parem)-\vasak(((x) )^(2))+2x+4 \parem))(\vasak(x-2 \parem)\vasak(((x)^(2))+2x+4 \parem))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \parem))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ vasak(((x)^(2))+2x+4 \parem)). \\ \end(maatriks)\]

Pöörake tähelepanu teisele reale: kui nimetaja on juba ühine, s.t. kolme eraldi murru asemel kirjutasime ühe suure, sulgudest ei tohiks kohe lahti saada. Parem on kirjutada lisarida ja märkida, et näiteks kolmanda murru ees oli miinus - ja see ei kao kuhugi, vaid “ripub” sulu ees olevasse lugejasse. See säästab palju vigu.

Noh, viimasel real on kasulik lugeja faktoriseerida. Pealegi on see täpne ruut ja lühendatud korrutusvalemid tulevad meile taas appi. Meil on:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \parem) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Nüüd käsitleme teist sulgu samamoodi. Siin kirjutan lihtsalt võrdsuste ahela:

\[\begin(maatriks) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(maatriks)\]

Naaseme algse probleemi juurde ja vaatame toodet:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Vastus: \[\frac(1)(x+2)\].

Selle ülesande tähendus on sama, mis eelmisel: näidata, kui palju saab ratsionaalseid väljendeid lihtsustada, kui läheneda nende teisendamisele targalt.

Ja nüüd, kui sa seda kõike tead, liigume edasi tänase tunni põhiteemale – murdartsionaalvõrratuste lahendamisele. Pealegi, pärast sellist ettevalmistust klõpsavad ebavõrdsused ise nagu pähklid. :)

Peamine viis ratsionaalse ebavõrdsuse lahendamiseks

Ratsionaalse ebavõrdsuse lahendamiseks on vähemalt kaks lähenemist. Nüüd kaalume ühte neist - seda, mis on kooli matemaatika kursusel üldiselt aktsepteeritud.

Kuid kõigepealt pöörame tähelepanu ühele olulisele detailile. Kõik ebavõrdsused jagunevad kahte tüüpi:

Range: $f\left(x \right) \gt 0$ või $f\left(x \right) \lt 0$;
Mitte range: $f\left(x \right)\ge 0$ või $f\left(x \right)\le 0$.

Teist tüüpi ebavõrdsused on kergesti taandatavad esimeseks, nagu ka võrrand:

See väike "lisa" $f\left(x \right)=0$ viib sellise ebameeldiva asjani nagu täidetud punktid – me kohtusime nendega tagasi intervallmeetodil. Vastasel juhul pole rangete ja mitterangete ebavõrdsuste vahel erinevusi, seega analüüsime universaalset algoritmi:

Koguge kõik nullist erinevad elemendid ebavõrdsuse märgi ühele küljele. Näiteks vasakul;

Too kõik murrud ühise nimetaja juurde (kui selliseid murde on mitu), too sarnased. Seejärel lisage võimaluse korral lugejasse ja nimetajasse. Ühel või teisel viisil saame ebavõrdsuse kujul $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, kus linnuke on ebavõrdsuse märk.

Võrdsusta lugeja nulliga: $P\left(x \right)=0$. Lahendame selle võrrandi ja saame juured $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Siis nõuame et nimetaja ei olnud võrdne nulliga: $Q\left(x \right)\ne 0$. Muidugi, sisuliselt peame lahendama võrrandi $Q\left(x \right)=0$ ja saame juured $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) $, $x_(3 )^(*)$, ... (reaalsetes ülesannetes on selliseid juuri vaevalt rohkem kui kolm).

Märgime kõik need juured (nii tärnidega kui ka ilma) ühele numbrireale ja tärnideta juured värvitakse üle ja tärnidega juured stantsitakse välja.

Asetame pluss- ja miinusmärgid, valime vajalikud intervallid. Kui ebavõrdsus on kujul $f\left(x \right) \gt 0$, siis vastuseks on "plussiga" märgitud intervallid. Kui $f\left(x \right) \lt 0$, siis vaatame intervalle "miinustega".

Praktika näitab, et kõige suuremaid raskusi põhjustavad punktid 2 ja 4 – pädevad teisendused ja arvude õige järjestus kasvavas järjekorras. Noh, viimases etapis olge äärmiselt ettevaatlik: paneme sildid alati selle põhjal viimane võrratus, mis on kirjutatud enne võrrandite juurde liikumist. See on universaalne reegel, mis on päritud intervallimeetodist.

Niisiis, skeem on olemas. Harjutame.

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Lahendus. Meil on range ebavõrdsus kujul $f\left(x \right) \lt 0$. Ilmselgelt on meie skeemi punktid 1 ja 2 juba täidetud: kõik ebavõrdsuse elemendid on kogutud vasakule, midagi pole vaja taandada ühisele nimetajale. Liigume siis edasi kolmanda punkti juurde.

Seadke lugeja nulliks:

\[\begin(joonda) & x-3=0; \\ &x=3. \end(joonda)\]

Ja nimetaja:

\[\begin(joonda) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(joonda)\]

Sellesse kohta jäävad paljud kinni, sest teoreetiliselt tuleb ODZ-i nõudmisel üles kirjutada $x+7\ne 0$ (nulliga jagada ei saa, see on kõik). Kuid lõppude lõpuks pistame välja nimetajast saadud punktid, nii et te ei tohiks oma arvutusi veel kord keeruliseks teha - kirjutage kõikjale võrdusmärk ja ärge muretsege. Selle eest ei võta keegi punkte maha. :)

Neljas punkt. Saadud juured märgime numbrireale:
Kõik punktid on läbi löödud, sest ebavõrdsus on range
Märge: kõik punktid on läbi löödud, sest algne ebavõrdsus on range. Ja siin pole enam tähtsust: need punktid tulid lugejast või nimetajast.

No vaadake märke. Võtke suvaline arv $((x)_(0)) \gt 3$. Näiteks $((x)_(0))=100$ (aga sama hästi oleks võinud võtta $((x)_(0))=3.1$ või $((x)_(0)) = 1\000\000 $). Saame:

Niisiis, kõigist juurtest paremal on meil positiivne ala. Ja iga juure läbimisel märk muutub (see ei pruugi alati nii olla, aga sellest hiljem). Seetõttu jätkame viienda punktiga: asetame sildid ja valime õige:

Pöördume tagasi viimase võrratuse juurde, mis oli enne võrrandite lahendamist. Tegelikult langeb see kokku esialgsega, sest me ei teinud selles ülesandes mingeid teisendusi.

Kuna on vaja lahendada ebavõrdsus kujul $f\left(x \right) \lt 0$, varjutasin intervalli $x\in \left(-7;3 \right)$ - see on ainuke märgitud miinusmärgiga. See on vastus.

Vastus: $x\in \left(-7;3 \right)$

See on kõik! Kas see on raske? Ei, see pole raske. Tõepoolest, see oli lihtne ülesanne. Teeme nüüd missiooni veidi keerulisemaks ja mõelgem "väljamõeldud" ebavõrdsusele. Selle lahendamisel ma enam nii üksikasjalikke arvutusi ei anna - toon lihtsalt põhipunktid välja. Üldiselt korraldame selle nii, nagu oleksime teinud iseseisval tööl või eksamil. :)

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Lahendus. See on mitterange ebavõrdsus kujul $f\left(x \right)\ge 0$. Kõik nullist erinevad elemendid on kogutud vasakule, erinevaid nimetajaid pole. Liigume edasi võrrandite juurde.

Lugeja:

\[\begin(joona) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Paremnool ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Paremnool ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(joonda)\]

Nimetaja:

\[\begin(joonda) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(joonda)\]

Ma ei tea, milline pervert selle probleemi välja mõtles, kuid juured ei tulnud eriti hästi välja: neid on keeruline arvureale järjestada. Ja kui juurega $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ on kõik enam-vähem selge (see on ainus positiivne arv - see jääb paremale), siis $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ ja $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ nõuavad täiendavat uurimist: milline neist on suurem?

Selle saate teada näiteks:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

Loodan, et pole vaja selgitada, miks numbriline murd $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Vajadusel soovitan meeles pidada, kuidas murdosadega toiminguid teha.

Ja tähistame numbrireal kõik kolm juurt:
Lugeja punktid on varjutatud, nimetajast välja lõigatud
Panime sildid üles. Näiteks võite võtta $((x)_(0))=1$ ja leida sellel hetkel märgi:

\[\begin(joona) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(joona)\]

Viimane võrratus enne võrrandeid oli $f\left(x \right)\ge 0$, seega huvitab meid plussmärk.

Saime kaks komplekti: üks on tavaline segment ja teine on avatud kiir numbritel.

Vastus: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Oluline märkus numbrite kohta, mida me asendame, et leida märk kõige parempoolsemas intervallis. Parempoolsema juure lähedast numbrit ei ole vaja asendada. Võite võtta miljardeid või isegi "pluss-lõpmatust" - sel juhul määratakse polünoomi märk sulgudes, lugejas või nimetajas ainult juhtiva koefitsiendi märgiga.

Vaatame veel kord viimase ebavõrdsuse funktsiooni $f\left(x \right)$:

See sisaldab kolme polünoomi:

\[\begin(joonda) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x\right)=13x-4. \end(joonda)\]

Kõik need on lineaarsed binoomid ja neil kõigil on positiivsed koefitsiendid (numbrid 7, 11 ja 13). Seetõttu on väga suurte arvude asendamisel positiivsed ka polünoomid ise. :)

See reegel võib tunduda liiga keeruline, kuid ainult alguses, kui analüüsime väga lihtsaid ülesandeid. Tõsise ebavõrdsuse korral võimaldab "pluss-lõpmatuse" asendus meil märke välja selgitada palju kiiremini kui standardne $((x)_(0))=100 $.

Selliste väljakutsetega seisame silmitsi üsna pea. Kuid kõigepealt vaatleme alternatiivset võimalust murdosa ratsionaalse ebavõrdsuse lahendamiseks.

Alternatiivne viis

Selle tehnika soovitas mulle üks mu õpilane. Ma ise pole seda kunagi kasutanud, kuid praktika on näidanud, et paljudel õpilastel on tõesti mugavam niimoodi ebavõrdsusi lahendada.

Seega on algandmed samad. Peame lahendama murdosalise ratsionaalse ebavõrdsuse:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Mõelgem: miks on polünoom $Q\left(x \right)$ "halvem" kui polünoom $P\left(x \right)$? Miks peame arvestama eraldi juurrühmadega (tärniga ja ilma), mõtlema stantsitud punktidele jne? See on lihtne: murdel on definitsioonipiirkond, mille kohaselt on murdel mõte ainult siis, kui selle nimetaja erineb nullist.

Muidu pole lugejal ja nimetajal erinevusi: võrdsustame ka selle nulliga, otsime juured, seejärel märgime need arvureale. Miks siis mitte asendada murdosa (tegelikult jagamismärk) tavalise korrutisega ja kirjutada kõik DHS-i nõuded eraldi ebavõrdsena? Näiteks nii:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Paremnool \vasak\( \begin(joonda) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(joonda) \right.\]

Pange tähele: see lähenemisviis võimaldab teil probleemi taandada intervallide meetodile, kuid see ei muuda lahendust üldse keeruliseks. Lõppude lõpuks võrdsustame polünoomi $Q\left(x \right)$ nulliga.

Vaatame, kuidas see reaalsete ülesannete puhul töötab.

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Lahendus. Liigume edasi intervallmeetodi juurde:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Paremnool \left\( \begin (joonda) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(joonda) \right.\]

Esimene ebavõrdsus lahendatakse elementaarselt. Lihtsalt määrake iga sulg nulliks:

\[\begin(joona) & x+8=0\Paremnool ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Paremnool ((x)_(2))=11. \\ \end(joonda)\]

Teise ebavõrdsusega on kõik samuti lihtne:

Märgime reaaljoonele punktid $((x)_(1))$ ja $((x)_(2))$. Kõik need on torgatud, kuna ebavõrdsus on range:
Õige punkt osutus kaks korda torgatuks. See sobib.
Pöörake tähelepanu punktile $x=11$. Selgub, et see on “kaks korda välja raiutud”: ühelt poolt torkame selle välja ebavõrdsuse tõsiduse tõttu, teiselt poolt ODZ lisanõude tõttu.

Igal juhul jääb see lihtsalt torgatud punktiks. Seetõttu panime ebavõrdsuse $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ märgid - viimane, mida nägime enne võrrandite lahendamise alustamist:

Oleme huvitatud positiivsetest piirkondadest, kuna lahendame ebavõrdsuse kujul $f\left(x \right) \gt 0$ ja värvime need. Jääb vaid vastus kirja panna.

Vastus. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Selle lahenduse näitel hoiatan teid algajate õpilaste seas levinud vea eest. Nimelt: ära kunagi ava ebavõrdsuses sulgusid! Vastupidi, proovige kõike arvesse võtta - see lihtsustab lahendust ja säästab teid paljudest probleemidest.

Proovime nüüd midagi keerulisemat.

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Lahendus. See on mitterange ebavõrdsus kujul $f\left(x \right)\le 0$, nii et siin peate hoolikalt jälgima täidetud punkte.

Liigume edasi intervallmeetodi juurde:

\[\left\( \begin(joona) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(joonda) \right.\]

Liigume edasi võrrandi juurde:

\[\begin(joona) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Paremnool ((x) )_(1) = 6,5; \\ & 12x-9=0\Paremnool ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Paremnool ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(joonda)\]

Võtame arvesse lisanõuet:

Märgime kõik saadud juured numbrireale:
Kui punkt on samaaegselt välja löödud ja täidetud, loetakse see väljastantsiks.
Jälle kaks punkti "kattuvad" üksteisega - see on normaalne, see jääb alati nii. Oluline on ainult mõista, et punkt, mis on märgitud nii stantsina kui ka täidetuna, on tegelikult välja löödud punkt. Need. "Lööbimine" on tugevam tegevus kui "üle värvimine".

See on igati loogiline, sest punktsiooniga märgime punktid, mis mõjutavad funktsiooni märki, kuid ise vastuses ei osale. Ja kui mingil hetkel number lakkab meile sobimast (näiteks ei kuulu see ODZ-i), kustutame selle kuni ülesande lõpuni kaalumisest.

Üldiselt lõpetage filosofeerimine. Järjestame märgid ja värvime need intervallid, mis on märgitud miinusmärgiga:

Vastus. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

Ja jälle tahtsin juhtida teie tähelepanu sellele võrrandile:

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

Veel kord: ärge kunagi avage sellistes võrrandites sulgusid! Sa teed selle enda jaoks ainult raskemaks. Pidage meeles: korrutis on null, kui vähemalt üks teguritest on null. Järelikult see võrrand lihtsalt “lahkub” mitmeks väiksemaks, mille me eelmises ülesandes lahendasime.

Võttes arvesse juurte paljusust

Eelnevatest ülesannetest on hästi näha, et just mitteranged ebavõrdsused on kõige keerulisemad, sest nendes tuleb jälgida täidetud punkte.

Kuid maailmas on veel suurem kurjus – need on ebavõrdsuse mitmekordsed juured. Siin on juba vaja järgida mitte mingeid täidetud punkte seal - siin ei pruugi ebavõrdsusmärk neid samu punkte läbides järsku muutuda.

Me pole selles õppetükis veel midagi sellist käsitlenud (kuigi intervallmeetodi puhul tuli sageli ette sarnast probleemi). Nii et tutvustame uut määratlust:

Definitsioon. Võrrandi $((\left(x-a \right))^(n))=0$ juur on võrdne $x=a$ ja seda nimetatakse $n$-nda kordsuse juureks.

Tegelikult ei huvita meid paljususe täpne väärtus. Oluline on vaid see, kas see arv $n$ on paaris või paaritu. Sest:

Kui $x=a$ on paariskordsuse juur, siis funktsiooni märk sellest läbides ei muutu;
Ja vastupidi, kui $x=a$ on paaritu kordsuse juur, siis funktsiooni märk muutub.

Paaritu paljususe juure erijuhtumiks on kõik selles õppetunnis käsitletud eelnevad probleemid: seal on kordsus kõikjal võrdne ühega.

Ja edasi. Enne kui hakkame probleeme lahendama, juhin teie tähelepanu ühele peensusele, mis tundub kogenud õpilasele enesestmõistetav, kuid ajab paljud algajad uimasesse. Nimelt:

Korrutusjuur $n$ esineb ainult siis, kui kogu avaldis tõstetakse sellele astmele: $((\left(x-a \right))^(n))$, mitte $\left(((x)^( n) )-a\right)$.

Veelkord: sulg $((\left(x-a \right))^(n))$ annab meile paljususe $n$ juure $x=a$, aga sulg $\left(((x)^( n)) -a \right)$ või, nagu sageli juhtub, $(a-((x)^(n)))$ annab meile esimese kordsuse juure (või kaks juurt, kui $n$ on paaris) , olenemata sellest, mis võrdub $n$-ga.

Võrdlema:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Paremnool x=3\vasak(5k \parem)\]

Siin on kõik selge: kogu sulg tõsteti viienda astmeni, nii et väljundis saime viienda astme juure. Ja nüüd:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Paremnool ((x)^(2))=4\Paremnool x=\pm 2\]

Saime kaks juurt, kuid mõlemal on esimene paljusus. Või siin on veel üks:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Paremnool ((x)^(10))=1024\Paremnool x=\pm 2\]

Ja ärge laske end segadusse ajada kümnendast astmest. Peaasi, et 10 on paarisarv, nii et meil on väljundis kaks juurt ja mõlemal on jälle esimene kordsus.

Üldiselt olge ettevaatlik: paljusus ilmneb ainult siis, kui aste kehtib kogu suule, mitte ainult muutujale.

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7) \parem))^(5)))\ge 0\]

Lahendus. Proovime seda lahendada alternatiivsel viisil - ülemineku kaudu konkreetselt tootele:

\[\left\( \begin(joona) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(joonda )\paremal.\]

Esimese ebavõrdsusega käsitleme intervallmeetodit:

\[\begin(joona) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \parem)^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Paremnool x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Paremnool x=6\vasak(3k \parem); \\ & x+4=0\Paremnool x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Paremnool x=-7\vasak(5k \parem). \\ \end(joonda)\]

Lisaks lahendame teise ebavõrdsuse. Tegelikult oleme selle juba lahendanud, kuid et arvustajad lahenduses vigu ei leiaks, on parem see uuesti lahendada:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Paremnool x\ne -7\]

Pange tähele, et viimases võrratuses pole kordusi. Tõepoolest: mis vahet sellel on, mitu korda numbrireal punkti $x=-7$ maha kriipsutada? Vähemalt üks, vähemalt viis korda - tulemus on sama: torgatud punkt.

Märgime kõik, mis numbrireale saime:

Nagu ma ütlesin, punkt $x=-7$ lüüakse lõpuks välja. Korrutised on järjestatud lähtudes võrratuse lahendusest intervallmeetodil.

Jääb alles panna sildid:

Kuna punkt $x=0$ on paariskordsuse juur, siis märk sellest läbides ei muutu. Ülejäänud punktid on paaritu kordusega ja nendega on kõik lihtne.

Vastus. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Pöörake uuesti tähelepanu $x=0$. Ühtlase paljususe tõttu tekib huvitav efekt: kõik, mis jääb sellest vasakule, värvitakse üle, paremale - ka ja punkt ise on täielikult üle värvitud.

Seetõttu ei pea seda vastuse salvestamisel eraldama. Need. ei pea kirjutama midagi sellist nagu $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (kuigi formaalselt oleks selline vastus ka õige). Selle asemel kirjutame kohe $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Sellised mõjud on võimalikud ainult ühtlase paljususe juurte puhul. Ja järgmises ülesandes kohtame selle efekti vastupidist "ilmingut". Valmis?

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Lahendus. Seekord järgime standardskeemi. Seadke lugeja nulliks:

\[\begin(joona) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Paremnool ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Paremnool ((x)_(2))=4. \\ \end(joonda)\]

Ja nimetaja:

\[\begin(joona) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Paremnool x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Paremnool x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(joonda)\]

Kuna lahendame mitteranget võrratust kujul $f\left(x \right)\ge 0$, lõigatakse nimetaja juured (millel on tärnid) välja ja lugejast pärinevad värvitakse üle. .

Korraldame sildid ja silitame "plussiga" märgitud alasid:
Punkt $x=3$ on isoleeritud. See on osa vastusest
Enne lõpliku vastuse kirja panemist vaadake pilti hoolikalt:

Punkt $x=1$ on paariskorrutisega, kuid ise on punkteeritud. Seetõttu tuleb see vastuses eraldada: peate kirjutama $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, mitte $x\in \left(-\ infty ;2\right)$.

Punkt $x=3$ on samuti paariskorrutisega ja varjutatud. Märkide paigutus viitab sellele, et punkt ise meile sobib, aga samm vasakule ja paremale - ja leiame end piirkonnast, mis meile kindlasti ei sobi. Selliseid punkte nimetatakse isoleeritud ja need kirjutatakse $x\in \left$3 \right$$.

Kombineerime kõik saadud tükid ühiseks komplektiks ja kirjutame vastuse üles.

Vastus: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left$ 3 \right$\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Definitsioon. Ebavõrdsuse lahendamine tähendab leida kõik selle lahendused või tõestage, et see komplekt on tühi.

Näib: mis siin küll arusaamatut saab olla? Jah, tõsiasi on see, et komplekte saab määrata erineval viisil. Kirjutame viimase ülesande vastuse ümber:

Me loeme sõna otseses mõttes seda, mis on kirjutatud. Muutuja "x" kuulub teatud hulka, mis saadakse nelja eraldi hulga ühendusega (sümbol "U"):

Intervall $\left(-\infty ;1 \right)$, mis sõna-sõnalt tähendab "kõik arvud, mis on väiksemad kui üks, kuid mitte üks ise";
Intervall on $\left(1;2 \right)$, st. "kõik arvud vahemikus 1 kuni 2, kuid mitte arvud 1 ja 2 ise";
Komplekt $\left$ 3 \right$$, mis koosneb ühest arvust - kolm;
Intervall $\left[ 4;5 \right)$ sisaldab kõiki numbreid vahemikus 4 kuni 5, pluss 4 ise, kuid mitte 5.

Kolmas punkt pakub siin huvi. Erinevalt intervallidest, mis defineerivad lõpmatuid arvude hulki ja tähistavad ainult nende hulkade piire, määratleb hulk $\left$3 \right$$ loendamisega täpselt ühe arvu.

Et mõista, et loetleme komplektis sisalduvad konkreetsed numbrid (ja mitte ei sea piire ega midagi muud), kasutatakse lokkis sulgusid. Näiteks märge $\left$ 1;2 \right$$ tähendab täpselt "hulka, mis koosneb kahest arvust: 1 ja 2", kuid mitte segmenti 1 kuni 2. Ärge mingil juhul ajage neid mõisteid segamini. .

Mitmekordse liitmise reegel

Noh, tänase tunni lõpetuseks väike plekk Pavel Berdovilt. :)

Tähelepanelikud õpilased on ilmselt juba esitanud endale küsimuse: mis saab siis, kui lugejas ja nimetajas leitakse samad juured? Seega toimib järgmine reegel:

Lisatakse identsete juurte kordused. On alati. Isegi kui see juur esineb nii lugejas kui ka nimetajas.

Mõnikord on parem otsustada kui rääkida. Seetõttu lahendame järgmise probleemi:

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \parem))\ge 0\]

\[\begin(joona) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -neli. \\ \end(joonda)\]

Seni pole midagi erilist. Määra nimetaja nulliks:

\[\begin(joona) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Paremnool x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Paremnool x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(joonda)\]

Leitakse kaks identset juurt: $((x)_(1))=-2$ ja $x_(4)^(*)=-2$. Mõlemal on esimene kordsus. Seetõttu asendame need ühe juurega $x_(4)^(*)=-2$, kuid kordusega 1+1=2.

Lisaks on olemas ka identsed juured: $((x)_(2))=-4$ ja $x_(2)^(*)=-4$. Need on ka esimese kordsusega, seega jääb ainult $x_(2)^(*)=-4$ kordsusest 1+1=2.

Pange tähele: mõlemal juhul jätsime täpselt “väljalõigatud” juure ja “ülevärvitud” jätsime kaalumisest välja. Sest juba tunni alguses olime ühel meelel: kui punkt on korraga nii stantsitud kui ka üle värvitud, siis me loeme selle ikkagi auguliseks.

Selle tulemusena on meil neli juurt ja kõik need osutusid välja raiutuks:

\[\begin(joonda) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \right). \\ \end(joonda)\]

Märgime need arvureale, võttes arvesse paljusust:

Asetame sildid ja värvime üle meid huvitavad valdkonnad:

Kõik. Ei mingeid üksikuid punkte ja muid perversioone. Vastuse võid kirja panna.

Vastus. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

korrutamisreegel

Mõnikord tekib veelgi ebameeldivam olukord: mitme juurega võrrand tõstetakse ise teatud astmeni. See muudab kõigi algsete juurte kordusi.

Seda juhtub harva, mistõttu enamikul õpilastest puudub selliste probleemide lahendamise kogemus. Ja siin kehtib reegel:

Kui võrrand tõsta astmeni $n$, suureneb ka kõigi selle juurte kordsus $n$ võrra.

Teisisõnu, astmeni tõstmise tulemuseks on korduste korrutamine sama astmega. Võtame selle reegli näitena:

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

Lahendus. Seadke lugeja nulliks:

Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. Esimese kordajaga on kõik selge: $x=0$. Ja siit algavad probleemid:

\[\begin(joona) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \ & ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(joonda)\]

Nagu näete, on võrrandil $((x)^(2))-6x+9=0$ teise kordsuse kordumatu juur: $x=3$. Seejärel ruudustatakse kogu võrrand. Seetõttu on juure kordsus $2\cdot 2=4$, mille me lõpuks kirja panime.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Paremnool x=4\vasak(5k \parem)\]

Ka nimetajaga pole probleemi:

\[\begin(joonda) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Paremnool x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Paremnool x_(2)^(*)=1\vasak(2k \parem). \\ \end(joonda)\]

Kokku saime viis punkti: kaks välja löödud ja kolm täidetud. Lugejas ja nimetajas pole kattuvaid juuri, seega märgime need lihtsalt numbrireale:

Korraldame märgid paljusid arvesse võttes ja värvime üle meid huvitavad intervallid:
Jälle üks isoleeritud punkt ja üks torgatud
Ühtlase paljususe juurte tõttu saime jälle paar “mittestandardset” elementi. See on $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, mitte $x\in \left[ 0;2 \right)$ ja ka isoleeritud punkt $ x\in \left$ 3 \right$$.

Vastus. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left$ 3 \right$\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Nagu näete, pole kõik nii keeruline. Peaasi on tähelepanelikkus. Selle õppetunni viimane osa on pühendatud transformatsioonidele – just neile, mida me alguses arutasime.

Eelkonversioonid

Selles jaotises käsitletavad ebavõrdsused ei ole keerulised. Erinevalt eelmistest ülesannetest tuleb siin aga rakendada oskusi ratsionaalsete murdude teooriast - faktoriseerimine ja taandamine ühise nimetajani.

Arutasime seda küsimust üksikasjalikult tänase õppetunni alguses. Kui te pole kindel, et saate aru, millest jutt, soovitan tungivalt minna tagasi ja korrata. Sest pole mõtet ebavõrdsuse lahendamise meetodeid toppida, kui murdude teisendamises "ujuda".

Muide, kodutöödes on ka palju sarnaseid ülesandeid. Need on paigutatud eraldi alajaotisesse. Ja sealt leiate väga ebatriviaalseid näiteid. Aga see jääb kodutöösse, aga nüüd analüüsime paari sellist ebavõrdsust.

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Lahendus. Liigutades kõike vasakule:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Vähendame ühise nimetajani, avame sulud, anname lugejas sarnased terminid:

\[\begin(joona) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ parem))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(joonda)\]

Nüüd on meil klassikaline murdratsionaalne ebavõrdsus, mille lahendamine pole enam keeruline. Teen ettepaneku lahendada see alternatiivse meetodiga - intervallide meetodi abil:

\[\begin(joonda) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(joonda)\]

Ärge unustage nimetajast tulenevat piirangut:

Märgime numbrireale kõik numbrid ja piirangud:

Kõigil juurtel on esimene kordsus. Pole probleemi. Me lihtsalt asetame sildid ja värvime üle vajalikud alad:

See on kõik. Vastuse võid kirja panna.

Vastus. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

See oli muidugi väga lihtne näide. Nii et vaatame nüüd probleemi lähemalt. Ja muide, selle ülesande tase on üsna kooskõlas selleteemalise iseseisva ja kontrolltööga 8. klassis.

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3(x)^(2))-5x+2)\]

Lahendus. Liigutades kõike vasakule:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3(x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Enne mõlema murru ühise nimetaja ühendamist jagame need nimetajad teguriteks. Järsku tulevad samad sulgud välja? Esimese nimetajaga on see lihtne:

\[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

Teine on veidi keerulisem. Võite vabalt lisada konstantse kordaja sulgu, kus murd leiti. Pidage meeles: algsel polünoomil olid täisarvu koefitsiendid, seega on väga tõenäoline, et faktoriseerimisel on ka täisarvu koefitsiendid (tegelikult on alati, välja arvatud juhul, kui diskriminant on irratsionaalne).

\[\begin(joona) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end (joonda)\]

Nagu näete, on tavaline sulg: $\left(x-1 \right)$. Pöördume tagasi ebavõrdsuse juurde ja toome mõlemad murrud ühise nimetaja juurde:

\[\begin(joona) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ vasak(3x-2\parem))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(joonda)\]

Määra nimetaja nulliks:

\[\begin(joona) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( joondada)\]

Pole paljusid ega kattuvaid juuri. Märgime sirgele neli numbrit:

Asetame sildid:

Kirjutame vastuse üles.

Vastus: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ õige) $.

Kõik! Nii ma lugesin selle reani. :)

Lineaarseid võrratusi nimetatakse mille vasak ja parem osa on tundmatu väärtuse suhtes lineaarsed funktsioonid. Nende hulka kuuluvad näiteks ebavõrdsused:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4-6x 9- x< x + 5 .

1) Range ebavõrdsus: kirves+b>0 või kirves+b<0

2) Mitterange ebavõrdsus: ax+b≤0 või kirves+b≫ 0

Võtame selle ülesande. Rööpküliku üks külg on 7 cm. Kui suur peaks olema teise külje pikkus, et rööpküliku ümbermõõt oleks suurem kui 44 cm?

Olgu soovitud pool X vt Sel juhul esitatakse rööpküliku perimeetrit (14 + 2x) vt. Võrratus 14 + 2x > 44 on rööpküliku perimeetri ülesande matemaatiline mudel. Kui selles ebavõrdsuses asendame muutuja X näiteks arvul 16, siis saame õige arvulise võrratuse 14 + 32\u003e 44. Sel juhul öeldakse, et arv 16 on võrratuse 14 + 2x\u003e 44 lahendus.

Ebavõrdsuse lahendus nimeta muutuja väärtus, mis muudab selle tõeliseks arvuliseks võrratuseks.

Seetõttu on kõik numbrid 15,1; 20;73 toimivad ebavõrdsuse 14 + 2x > 44 lahendusena ja näiteks arv 10 ei ole selle lahendus.

Lahendage ebavõrdsus tähendab kõigi selle lahenduste leidmist või tõestamist, et lahendusi ei eksisteeri.

Võrratuse lahendi sõnastus on sarnane võrrandi juure sõnastusega. Ja ometi pole kombeks nimetada "ebavõrdsuse juuri".

Arvuliste võrrandite omadused aitasid meil võrrandeid lahendada. Samamoodi aitavad ebavõrdsust lahendada numbriliste võrratuste omadused.

Võrrandit lahendades muudame selle teise, lihtsama võrrandi vastu, kuid samaväärseks antud võrrandiga. Samamoodi leitakse vastus ebavõrdsusele. Võrrandi muutmisel sellega samaväärseks võrrandiks kasutavad nad teoreemi terminite ülekandmisest võrrandi ühest osast vastupidisesse ja võrrandi mõlema osa korrutamise kohta sama nullist erineva arvuga. Võrratuse lahendamisel on selle ja võrrandi vahel oluline erinevus, mis seisneb selles, et iga võrrandi lahendit saab kontrollida lihtsalt asendades selle algsesse võrrandisse. Võrratustes sellist meetodit ei ole, kuna algse võrratusega pole võimalik asendada lõpmatut arvu lahendeid. Seetõttu on oluline kontseptsioon, need nooled<=>on samaväärsete või samaväärsete teisenduste märk. Transformatsiooni nimetatakse samaväärne või samaväärne kui nad otsuste kogumit ei muuda.

Sarnased reeglid ebavõrdsuse lahendamiseks.

Kui mis tahes liige liigutatakse võrratuse ühest osast teise, asendades selle märgi vastupidisega, siis saame antud ebavõrdsuse.

Kui mõlemad võrratuse osad korrutada (jagada) sama positiivse arvuga, siis saame võrratuse, mis on võrdväärne antud arvuga.

Kui ebavõrdsuse mõlemad osad korrutada (jagada) sama negatiivse arvuga, asendades samal ajal ebavõrdsuse märgi vastupidise arvuga, saame antud ebavõrdsuse.

Kasutades neid määrused arvutame järgmised ebavõrdsused.

1) Analüüsime ebavõrdsust 2x - 5 > 9.

seda lineaarne ebavõrdsus, leida selle lahendus ja arutada põhimõisteid.

2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 nihutati vastupidise märgiga vasakule poole), siis jagasime kõik 2-ga ja ongi käes x > 7. Rakendame teljele lahenduste komplekti x

Oleme saanud positiivselt suunatud kiire. Märgime lahenduste hulga kas ebavõrdsuse kujul x > 7, või intervallina x(7; ∞). Ja mis on selle ebavõrdsuse konkreetne lahendus? Näiteks, x=10 on selle ebavõrdsuse eriline lahendus, x=12 on ka selle ebavõrdsuse eriline lahendus.

Konkreetseid lahendusi on palju, kuid meie ülesanne on leida kõik lahendused. Ja lahendused on tavaliselt lõpmatud.

Analüüsime näide 2:

2) Lahenda ebavõrdsus 4a - 11 > a + 13.

Lahendame selle: a liikuda ühele poole 11 liikuda teisele poole, saame 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 ebavõrdsusel on vorm a<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>a< 8 .

Näitame ka komplekti a< 8 , aga juba teljel a.

Vastus kirjutatakse kas ebavõrdsusena a< 8, либо a(-∞;8), 8 ei lülitu sisse.

Sõbrad, täna pole tatti ja sentimente. Selle asemel saadan teid ilma lisaküsimusteta lahingusse 8.-9.klassi algebrakursuse ühe hirmuäratavama vastasega.

Jah, sa said kõigest õigesti aru: me räägime mooduliga ebavõrdsustest. Vaatleme nelja põhitehnikat, mille abil õpite lahendama umbes 90% nendest probleemidest. Aga ülejäänud 10%? Noh, neist räägime eraldi tunnis. :)

Siiski, enne kui hakkan seal mingeid nippe analüüsima, tuletaksin meelde kahte fakti, mida peate juba teadma. Vastasel juhul on oht, et ei saa tänase tunni materjalist üldse aru.

Mida sa juba teadma pead

Kapten Evidence vihjab, et mooduli abil ebavõrdsuse lahendamiseks peate teadma kahte asja:

Kuidas ebavõrdsust lahendatakse?
Mis on moodul.

Alustame teise punktiga.

Mooduli määratlus

Siin on kõik lihtne. Määratlusi on kaks: algebraline ja graafiline. Alustame algebraga:

Definitsioon. Arvu $x$ moodul on kas arv ise, kui see ei ole negatiivne, või sellele vastav arv, kui algne $x$ on endiselt negatiivne.

See on kirjutatud nii:

\[\left| x \right|=\left\( \begin (joonda) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(joonda) \right.\]

Lihtsamalt öeldes on moodul "arv ilma miinuseta". Ja just selles duaalsuses (kusagil ei pea algnumbriga midagi tegema, aga kuskil tuleb sealt mingi miinus eemaldada) ja kõik algajate õpilaste raskused peituvad.

Samuti on olemas geomeetriline määratlus. Kasulik on ka seda teada, kuid me viitame sellele ainult keerukatel ja mõnel erijuhtudel, kus geomeetriline lähenemine on mugavam kui algebraline (spoiler: tänapäeval mitte).

Definitsioon. Olgu reaaljoonele märgitud punkt $a$. Seejärel moodul $\left| x-a \right|$ on kaugus punktist $x$ punktini $a$ sellel sirgel.

Kui joonistate pildi, saate midagi sellist:

Graafilise mooduli määratlus

Ühel või teisel viisil tuleneb selle võtmeomadus kohe mooduli definitsioonist: arvu moodul on alati mittenegatiivne väärtus. See fakt on punane niit, mis läbib kogu meie tänast lugu.

Ebavõrdsuse lahendus. Vahekauguse meetod

Nüüd tegeleme ebavõrdsusega. Neid on väga palju, kuid meie ülesanne on praegu lahendada neist vähemalt kõige lihtsamad. Need, mis on taandatud lineaarseteks ebavõrdsusteks, samuti intervallide meetodile.

Mul on sellel teemal kaks suurt õpetust (muide, väga, VÄGA kasulikud - soovitan õppida):

Ebavõrdsuse intervallmeetod (eriti vaadake videot);
Murdratsionaalne ebavõrdsus on väga mahukas õppetund, kuid pärast seda ei jää teil enam küsimusi.

Kui sa seda kõike tead, kui lause "liigume ebavõrdsusest võrrandile" ei tekita ähmaselt soovi end vastu seina tappa, siis olete valmis: tere tulemast põrgusse tunni peateema juurde. :)

1. Vormi "Moodul väiksem kui funktsioon" ebavõrdsused

See on üks moodulitega kõige sagedamini esinevaid ülesandeid. On vaja lahendada vormi ebavõrdsus:

\[\left| f\right| \ltg\]

Kõik võib toimida funktsioonidena $f$ ja $g$, kuid tavaliselt on need polünoomid. Sellise ebavõrdsuse näited:

Kõik need lahendatakse sõna otseses mõttes ühes reas vastavalt skeemile:

\[\left| f\right| \lt g\Paremnool -g \lt f \lt g\quad \left(\Paremnool \vasak\( \begin(joonda) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(joonda) \parem.\parem)\]

On lihtne näha, et saame moodulist lahti, kuid selle asemel saame kahekordse võrratuse (või, mis on sama, kahe võrratuse süsteemi). Kuid see üleminek võtab arvesse absoluutselt kõiki võimalikke probleeme: kui mooduli all olev arv on positiivne, siis meetod töötab; kui negatiivne, töötab see ikkagi; ja isegi kõige ebaadekvaatsema funktsiooniga $f$ või $g$ asemel töötab meetod ikkagi.

Loomulikult tekib küsimus: kas see pole lihtsam? Kahjuks ei saa. See on kogu mooduli mõte.

Aga filosofeerimisest piisab. Lahendame paar probleemi:

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\left| 2x+3\paremale| \ltx+7\]

Lahendus. Niisiis, meil on klassikaline ebavõrdsus kujul "moodul on väiksem kui" - pole isegi midagi teisendada. Töötame vastavalt algoritmile:

\[\begin(joona) & \left| f\right| \lt g\Paremnool -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3\paremale| \lt x+7\Paremnool -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(joonda)\]

Ärge kiirustage avama sulgusid, millele eelneb "miinus": on täiesti võimalik, et kiirustamise tõttu teete solvava vea.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin (joonda) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(joonda) \right.\]

\[\left\( \begin (joonda) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end (joonda) \right.\]

\[\left\( \begin(joona) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(joonda) \right.\]

Probleem on taandatud kahele elementaarsele ebavõrdsusele. Märgime nende lahendused paralleelsetel reaaljoontel:
Paljude ristmik
Nende hulkade ristumiskoht on vastus.

Vastus: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Lahendus. See ülesanne on veidi keerulisem. Alustuseks isoleerime mooduli, liigutades teist terminit paremale:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \parem| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Ilmselgelt on meil jälle ebavõrdsus kujul “moodul on vähem”, seega vabaneme moodulist juba teadaoleva algoritmi järgi:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Nüüd tähelepanu: keegi ütleb, et ma olen kõigi nende sulgudega natuke pervert. Kuid veel kord tuletan teile meelde, et meie peamine eesmärk on õigesti lahendada ebavõrdsus ja saada vastus. Hiljem, kui olete kõik selles õppetükis kirjeldatu suurepäraselt omandanud, saate end meelepäraselt perverteerida: avada sulud, lisada miinuseid jne.

Ja alustuseks vabaneme lihtsalt vasakpoolsest topeltmiinusest:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\left(x+1\right)\]

Nüüd avame kõik topeltvõrratuse sulud:

Liigume kahekordse ebavõrdsuse juurde. Seekord on arvutused tõsisemad:

\[\left\( \begin(joona) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(joonda) \paremale.\]

\[\left\( \begin(joona) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( joondada)\paremale.\]

Mõlemad ebavõrdsused on ruudukujulised ja lahendatakse intervallmeetodil (sellepärast ma ütlen: kui te ei tea, mis see on, siis parem ärge mooduleid veel ette võta). Liigume esimeses võrratuses olevale võrrandile:

\[\begin(joonda) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\lõpp(joonda)\]

Nagu näete, osutus väljund mittetäielikuks ruutvõrrandiks, mis lahendatakse elementaarselt. Nüüd käsitleme süsteemi teist ebavõrdsust. Siin peate rakendama Vieta teoreemi:

\[\begin(joonda) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\lõpp(joonda)\]

Saadud arvud märgime kahele paralleelsele sirgele (esimese võrratuse jaoks eraldi ja teise jaoks eraldi):
Jällegi, kuna me lahendame võrratuste süsteemi, huvitab meid varjutatud hulkade ristumiskoht: $x\in \left(-5;-2 \right)$. See on vastus.
Vastus: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Arvan, et pärast neid näiteid on lahendusskeem väga selge:

Eraldage moodul, liigutades kõik teised liikmed ebavõrdsuse vastasküljele. Seega saame ebavõrdsuse kujul $\left| f\right| \ltg$.
Lahendage see ebavõrdsus, eemaldades moodulist ülalkirjeldatud viisil. Ühel hetkel on vaja liikuda topeltvõrratusest kahe sõltumatu avaldise süsteemile, millest kumbagi saab juba eraldi lahendada.
Lõpuks jääb üle vaid nende kahe sõltumatu väljendi lahendused ristida – ja ongi kõik, saame lõpliku vastuse.

Sarnane algoritm on olemas ka järgmist tüüpi võrratuste jaoks, kui moodul on funktsioonist suurem. Siiski on paar tõsist "aga". Nendest "agadest" räägime nüüd.

2. Vormi "Moodul on suurem kui funktsioon" ebavõrdsused

Need näevad välja sellised:

\[\left| f\right| \gt g\]

Sarnane eelmisega? Tundub. Sellegipoolest lahendatakse selliseid ülesandeid täiesti erineval viisil. Formaalselt on skeem järgmine:

\[\left| f\right| \gt g\Paremnool \left[ \begin(joonda) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(joonda) \right.\]

Teisisõnu käsitleme kahte juhtumit:

Esiteks me lihtsalt ignoreerime moodulit – lahendame tavalise ebavõrdsuse;
Siis tegelikult avame mooduli miinusmärgiga ja siis korrutame mõlemad võrratuse osad -1-ga, märgiga.

Sel juhul on valikud kombineeritud nurksuluga, s.t. Meil on kahe nõude kombinatsioon.

Pöörake veel kord tähelepanu: meie ees pole süsteem, vaid agregaat, seega vastuses on hulgad kombineeritud, mitte ristuvad. See on põhimõtteline erinevus eelmisest lõigust!

Üldiselt on paljudel õpilastel palju segadust ametiühingute ja ristumiskohtadega, nii et vaatame seda küsimust lõplikult:

"∪" on konkatenatsioonimärk. Tegelikult on see stiliseeritud täht "U", mis tuli meile inglise keelest ja on lühend sõnast "Union", st. "Assotsiatsioonid".
"∩" on ristmiku märk. See jama ei tulnud kuskilt, vaid ilmus lihtsalt "∪" vastandina.

Meeldejäämise hõlbustamiseks lisage prillide valmistamiseks neile siltidele lihtsalt jalad (ära süüdista mind nüüd narkomaania ja alkoholismi propageerimises: kui õpite seda õppetundi tõsiselt, siis olete juba narkomaan):

Erinevus hulkade lõike ja ühenduse vahel

Vene keelde tõlgituna tähendab see järgmist: liit (kogu) sisaldab elemente mõlemast komplektist, seega mitte vähem kui igaüks neist; kuid ristmik (süsteem) sisaldab ainult neid elemente, mis on nii esimeses kui ka teises hulgas. Seetõttu ei ole hulkade ristumiskoht kunagi suurem lähtehulkadest.

Nii sai selgemaks? See on suurepärane. Liigume edasi praktika juurde.

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\left| 3x+1 \parem| \gt 5-4x\]

Lahendus. Tegutseme vastavalt skeemile:

\[\left| 3x+1 \parem| \gt 5-4x\Paremnool \vasak[ \begin(joonda) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(joonda) \ õige.\]

Lahendame iga rahvastiku ebavõrdsuse:

\[\left[ \begin(joona) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(joonda) \right.\]

\[\left[ \begin(joona) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(joonda) \right.\]

\[\left[ \begin (joonda) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end (joonda) \right.\]

Märgime iga saadud komplekti numbrireal ja ühendame need seejärel:
Komplektide liit
Ilmselgelt on vastus $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Vastus: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \parem| \gtx\]

Lahendus. Noh? Ei, kõik on sama. Liigume mooduliga ebavõrdsusest kahe võrratuse hulka:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \parem| \gt x\Paremnool \vasak[ \begin(joonda) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(joonda) \paremale.\]

Me lahendame iga ebavõrdsuse. Kahjuks pole juured seal eriti head:

\[\begin(joonda) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\lõpp(joonda)\]

Teises ebavõrdsuses on ka natuke mängu:

\[\begin(joonda) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\lõpp(joonda)\]

Nüüd peame need numbrid märkima kahele teljele – iga ebavõrdsuse jaoks üks telg. Punkte tuleb aga märkida õiges järjekorras: mida suurem arv, seda rohkem punkt paremale nihkub.

Ja siin me ootame seadistust. Kui kõik on selge numbritega $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (esimese numbri lugejas olevad terminid murd on väiksemad kui teise lugeja liikmed, seega on ka summa väiksem), numbritega $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21)(2)$ ei teki ka raskusi (positiivne arv ilmselgelt negatiivsem), siis viimase paariga pole kõik nii lihtne. Kumb on suurem: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ või $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Selle küsimuse vastusest sõltub punktide paigutus numbritel ja tegelikult ka vastus.

Nii et võrdleme:

\[\begin(maatriks) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(maatriks)\]

Isoleerisime juure, saime ebavõrdsuse mõlemale poolele mittenegatiivsed arvud, nii et meil on õigus mõlemale poolele ruudu panna:

\[\begin(maatriks) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(maatriks)\]

Ma arvan, et $4\sqrt(13) \gt 3 $, seega $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, lõpuks järjestatakse punktid telgedel järgmiselt:
Koledate juurte juhtum
Lubage mul teile meelde tuletada, et me lahendame komplekti, nii et vastuseks on liit, mitte varjutatud kogumite ristumiskoht.

Vastus: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

Nagu näete, töötab meie skeem suurepäraselt nii lihtsate kui ka väga raskete ülesannete puhul. Selle lähenemisviisi ainus "nõrk koht" on see, et peate irratsionaalseid numbreid õigesti võrdlema (ja uskuge mind: need pole ainult juured). Kuid võrdlusküsimustele pühendatakse eraldi (ja väga tõsine õppetund). Ja liigume edasi.

3. Ebavõrdsused mittenegatiivsete "sabadega"

Nii et jõudsime kõige huvitavamani. Need on vormi ebavõrdsused:

\[\left| f\right| \gt\left| g\right|\]

Üldiselt kehtib algoritm, millest me nüüd räägime, ainult mooduli puhul. See töötab kõigis ebavõrdsustes, kus vasakul ja paremal on garanteeritud mittenegatiivsed avaldised:

Mida nende ülesannetega peale hakata? Lihtsalt mäleta:

Mittenegatiivsete sabadega ebavõrdsuses saab mõlemat poolt tõsta mis tahes loomuliku jõuni. Täiendavaid piiranguid ei tule.

Esiteks tunneme huvi ruudustamise vastu - see põletab mooduleid ja juuri:

\[\begin(joona) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\lõpp(joonda)\]

Ärge ajage seda segamini ruudu juure võtmisega:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Kui õpilane unustas mooduli installida, tehti lugematul hulgal vigu! Kuid see on täiesti erinev lugu (need on justkui irratsionaalsed võrrandid), nii et me ei hakka sellesse praegu laskuma. Parem lahendame paar probleemi:

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\left| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

Lahendus. Märkame kohe kahte asja:

See on mitterange ebavõrdsus. Numbrireal olevad punktid lüüakse välja.

Ebavõrdsuse mõlemad pooled on ilmselgelt mittenegatiivsed (see on mooduli omadus: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Seetõttu saame moodulist vabanemiseks ja ülesande lahendamiseks tavalise intervallimeetodi abil ruudustada ebavõrdsuse mõlemad pooled:

\[\begin(joona) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\lõpp(joonda)\]

Viimases etapis tegin natuke pettust: muutsin terminite jada, kasutades mooduli paarsust (tegelikult korrutasin avaldise $1-2x$ -1-ga).

\[\begin(joona) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ right)\right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(joonda)\]

Lahendame intervallmeetodil. Liigume võrratuse juurest võrrandi juurde:

\[\begin(joona) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\lõpp(joonda)\]

Leitud juured märgime numbrireale. Veel kord: kõik punktid on varjutatud, sest algne ebavõrdsus pole range!
Mooduli märgist vabanemine
Eriti kangekaelsetele tuletan meelde: võtame märgid viimasest võrratusest, mis pandi kirja enne võrrandi juurde liikumist. Ja me värvime samas ebavõrdsuses nõutavad alad üle. Meie puhul on see $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, nüüd on kõik läbi. Probleem lahendatud.

Vastus: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\left| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \parem|\]

Lahendus. Teeme kõike ühtemoodi. Ma ei kommenteeri - vaadake lihtsalt toimingute jada.

Teeme ruudu:

\[\begin(joona) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \parem| \parem))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \paremal))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ paremal))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \parem)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(joonda)\]

Vahekauguse meetod:

\[\begin(joona) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Paremnool x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Paremnool D=16-40 \lt 0\Paremnool \varnothing . \\\lõpp(joonda)\]

Arvureal on ainult üks juur:
Vastus on terve rida
Vastus: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.

Väike märkus viimase ülesande kohta. Nagu üks minu õpilastest täpselt märkis, on selles ebavõrdsuses mõlemad alammooduli avaldised ilmselgelt positiivsed, seega võib mooduli märgi ilma tervist kahjustamata jätta.

Aga see on juba täiesti erinev mõtlemise tase ja teistsugune lähenemine – seda võib tinglikult nimetada tagajärgede meetodiks. Tema kohta - eraldi õppetükis. Liigume nüüd tänase õppetunni viimase osa juurde ja kaalume universaalset algoritmi, mis alati töötab. Isegi siis, kui kõik eelnevad lähenemised olid jõuetud. :)

4. Valikute loendamise meetod

Mis siis, kui kõik need nipid ei tööta? Kui ebavõrdsus ei taandu mittenegatiivsetele sabadele, kui moodulit pole võimalik isoleerida, kui üldse valu-kurbust-igatsust?

Siis siseneb sündmuskohale kogu matemaatika "raskekahurvägi" - loendusmeetod. Mooduliga ebavõrdsuste osas näeb see välja järgmine:

Kirjutage välja kõik alammooduli avaldised ja võrdsustage need nulliga;
Lahendage saadud võrrandid ja märkige leitud juured ühele arvureale;
Sirge jagatakse mitmeks osaks, mille sees igal moodulil on fikseeritud märk ja seetõttu laieneb see ühemõtteliselt;
Lahendage iga sellise lõigu ebavõrdsus (usaldusväärsuse huvides võite eraldi arvesse võtta lõikes 2 saadud piirijuuri). Kombineerige tulemused - see on vastus. :)

No kuidas? Nõrk? Lihtsalt! Ainult pikaks ajaks. Vaatame praktikas:

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\left| x+2 \parem| \lt\left| x-1 \right|+x-\frac(3) (2)\]

Lahendus. See jama ei taandu ebavõrdsusele nagu $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ või $\left| f\right| \lt\left| g \right|$, nii et lähme edasi.

Kirjutame välja alammooduli avaldised, võrdsustame need nulliga ja leiame juured:

\[\begin(joona) & x+2=0\Paremnool x=-2; \\ & x-1=0\Paremnool x=1. \\\lõpp(joonda)\]

Kokku on meil kaks juurt, mis jagavad numbrirea kolmeks osaks, mille sees iga moodul ilmub kordumatult:
Arvrea jagamine alammodulaarsete funktsioonide nullidega
Vaatleme iga jaotist eraldi.

1. Olgu $x \lt -2$. Siis on mõlemad alammooduli avaldised negatiivsed ja algne ebavõrdsus kirjutatakse ümber järgmiselt:

\[\begin(joona) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(joonda)\]

Saime üsna lihtsa piirangu. Lõikame selle algse eeldusega, et $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(joonda) \right.\Paremnool x\in \varnothing \]

Ilmselgelt ei saa muutuja $x$ olla samaaegselt väiksem kui −2, kuid suurem kui 1,5. Selles valdkonnas pole lahendusi.

1.1. Vaatleme eraldi piirjuhtumit: $x=-2$. Asendame selle arvu algse ebavõrdsusega ja kontrollime: kas see kehtib?

\[\begin(joona) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \parem|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Paremnool \varnothing . \\\lõpp(joonda)\]

Ilmselgelt on arvutuste ahel meid viinud vale ebavõrdsuseni. Seetõttu on ka esialgne ebavõrdsus väär ja $x=-2$ ei sisaldu vastuses.

2. Olgu nüüd $-2 \lt x \lt 1 $. Vasakpoolne moodul avaneb juba "plussiga", kuid parempoolne on endiselt "miinusega". Meil on:

\[\begin(joonda) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(joonda)\]

Jällegi ristume algse nõudega:

\[\left\( \begin(joona) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(joonda) \right.\Rightnarrow x\in \varnothing \]

Ja jällegi tühi lahenduste hulk, kuna pole ühtegi arvu, mis on mõlemad väiksemad kui −2,5 ja suuremad kui −2.

2.1. Ja jälle erijuhtum: $x=1$. Asendame algse ebavõrdsusega:

\[\begin(joona) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\paremal| \lt\left| 0 \parem|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Paremnool \varnothing . \\\lõpp(joonda)\]

Sarnaselt eelmisele "erijuhtumile" ei sisaldu vastuses selgelt arv $x=1$.

3. Rea viimane osa: $x \gt 1$. Siin on kõiki mooduleid laiendatud plussmärgiga:

\[\begin(joonda) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(joonda)\ ]

Ja jälle ristame leitud hulga algse piiranguga:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(joonda) \right.\Paremnool x\in \left(4,5;+\infty \paremal)\]

Lõpuks ometi! Oleme leidnud intervalli, mis on vastuseks.

Vastus: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Lõpetuseks üks märkus, mis võib päästa teid rumalatest vigadest tõeliste probleemide lahendamisel:

Moodulitega võrratuste lahendused on tavaliselt arvureal pidevad hulgad - intervallid ja lõigud. Eraldatud punktid on palju harvemad. Ja veelgi harvemini juhtub, et lahenduse piirid (lõigu lõpp) langevad kokku vaadeldava vahemiku piiriga.

Seega, kui vastuses pole piire (need väga “erijuhtumid”) kaasatud, siis nendest piiridest vasakule-paremale jäävad alad peaaegu kindlasti ka vastuses ei sisaldu. Ja vastupidi: piir sisestati vastuseks, mis tähendab, et mõned alad selle ümber on ka vastused.

Pidage seda lahenduste kontrollimisel meeles.