تسمح لنا نظرية فييتا (بتعبير أدق ، النظرية العكسية لنظرية فييتا) بتقليل وقت الحل المعادلات التربيعية. تحتاج فقط إلى معرفة كيفية استخدامه. كيف تتعلم حل المعادلات التربيعية باستخدام نظرية فييتا؟ إنه سهل إذا كنت تفكر قليلاً.

الآن سنتحدث فقط عن حل المعادلة التربيعية المختصرة باستخدام نظرية فيتا ، والمعادلة التربيعية المختزلة هي معادلة يكون فيها a ، أي المعامل أمام x² ، يساوي واحدًا. يمكن أيضًا حل المعادلات التربيعية غير المعطاة باستخدام نظرية فيتا ، ولكن هناك بالفعل واحدًا على الأقل من الجذور ليس عددًا صحيحًا. من الصعب تخمينها.

تقول النظرية المعكوسة لنظرية فييتا: إذا كان الرقمان x1 و x2 هكذا

ثم x1 و x2 هي جذور المعادلة التربيعية

عند حل معادلة تربيعية باستخدام نظرية فييتا ، هناك 4 خيارات فقط ممكنة. إذا كنت تتذكر مسار التفكير ، فيمكنك أن تتعلم العثور على الجذور الكاملة بسرعة كبيرة.

1- إذا كانت q عددًا موجبًا ،

هذا يعني أن الجذور x1 و x2 هي أرقام من نفس العلامة (لأنه فقط عند ضرب الأرقام بنفس العلامات ، يتم الحصول على رقم موجب).

I ل. إذا كان -p رقمًا موجبًا ، (على التوالي ، ص<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

ب. إذا -p - رقم سالب, (على التوالي ، p> 0) ، ثم كلا الجذور عبارة عن أرقام سالبة (أضافوا أرقامًا من نفس العلامة ، وحصلوا على رقم سالب).

ثانيًا. إذا كان q رقمًا سالبًا ،

هذا يعني أن الجذور x1 و x2 لها علامات مختلفة (عند ضرب الأرقام ، يتم الحصول على رقم سالب فقط عندما تختلف علامات العوامل). في هذه الحالة ، لم يعد x1 + x2 مجموعًا ، بل فرقًا (بعد كل شيء ، عند جمع الأرقام باستخدام علامات مختلفةنطرح الأصغر من المعامل الأكبر). لذلك ، يوضح x1 + x2 مدى اختلاف الجذور x1 و x2 ، أي مقدار جذر واحد أكثر من الآخر (modulo).

II.a. إذا كان -p رقمًا موجبًا ، (أي ص<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. إذا كان -p رقمًا سالبًا ، (p> 0) ، فإن الجذر الأكبر (modulo) هو رقم سلبي.

ضع في اعتبارك حل المعادلات التربيعية وفقًا لنظرية فييتا باستخدام الأمثلة.

حل المعادلة التربيعية المحددة باستخدام نظرية فييتا:

هنا q = 12> 0 ، لذا فإن الجذور x1 و x2 عددان من نفس العلامة. مجموعهم هو -p = 7> 0 ، لذا فإن كلا الجذور أرقام موجبة. نختار الأعداد الصحيحة التي يكون حاصل ضربها 12. هذه هي 1 و 12 ، 2 و 6 ، 3 و 4. المجموع 7 للزوج 3 و 4. وبالتالي ، 3 و 4 هما جذور المعادلة.

في هذا المثال ، q = 16> 0 ، مما يعني أن الجذور x1 و x2 أرقام من نفس العلامة. مجموعهم -p = -10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

هنا q = -15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0 ، فالعدد الأكبر يكون موجبًا. إذن ، الجذور هي 5 و -3.

ف = -36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

اليوم تستحق أن تغنى في الآية
حول خصائص الجذور ، نظرية فييتا.
أيهما أفضل قول ثبات هذا:
لقد ضربت الجذور - والكسر جاهز
في البسط مع، في المقام أ.
ومجموع الجذور هو أيضًا كسر
حتى مع طرح هذا الكسر
ما المشكلة
في البسط في، في المقام أ.
(من الفلكلور المدرسي)

في النقوش ، لم يتم إعطاء نظرية رائعة لفرانسوا فييتا تمامًا. في الواقع ، يمكننا كتابة معادلة تربيعية ليس لها جذور وكتابة مجموعها وحاصل ضربها. على سبيل المثال ، المعادلة x 2 + 2x + 12 = 0 ليس لها جذور حقيقية. ولكن ، بالاقتراب رسميًا ، يمكننا كتابة منتجهم (x 1 x 2 \ u003d 12) والمبلغ (x 1 + x 2 \ u003d -2). ملكنا سوف تتوافق الآيات مع النظرية مع التحذير: "إذا كانت للمعادلة جذور" ، أي د ≥ 0.

أول تطبيق عملي لهذه النظرية هو تجميع المعادلة التربيعية التي أعطت الجذور. ثانيًا: يتيح لك حل العديد من المعادلات التربيعية شفهيًا. عند تطوير هذه المهارات ، أولاً وقبل كل شيء ، يتم لفت الانتباه إلى الكتب المدرسية.

هنا سننظر في مشاكل أكثر تعقيدًا تم حلها باستخدام نظرية فييتا.

مثال 1

أحد جذور المعادلة 5x 2-12x + c \ u003d 0 أكبر بثلاث مرات من الثانية. البحث مع.

المحلول.

دع الجذر الثاني يكون x2.

ثم الجذر الأول x1 = 3x2.

وفقًا لنظرية فييتا ، فإن مجموع الجذور هو 12/5 = 2.4.

لنجعل المعادلة 3x2 + x2 = 2.4.

ومن ثم × 2 \ u003d 0.6. لذلك × 1 \ u003d 1.8.

الإجابة: ج \ u003d (× 1 × 2) أ \ u003d 0.6 1.8 5 \ u003d 5.4.

مثال 2

من المعروف أن x 1 و x 2 هما جذور المعادلة x 2-8x + p = 0 و 3x 1 + 4x 2 = 29. أوجد p.

المحلول.

وفقًا لنظرية Vieta x 1 + x 2 = 8 ، وبالشرط 3x 1 + 4x 2 = 29.

بعد حل نظام هاتين المعادلتين ، نجد القيمة × 1 \ u003d 3 ، × 2 \ u003d 5.

ومن ثم فإن p = 15.

الجواب: ع = 15.

مثال 3

بدون حساب جذور المعادلة 3x 2 + 8 x - 1 \ u003d 0 ، أوجد x 1 4 + x 2 4

المحلول.

لاحظ أنه وفقًا لنظرية Vieta x 1 + x 2 = -8/3 و x 1 x 2 = -1/3 وقم بتحويل التعبير

أ) × 1 4 + × 2 4 = (× 1 2 + × 2 2) 2 - 2 × 1 2 × 2 2 = ((× 1 + × 2) 2 - 2 × 1 × 2) 2 - 2 (× 1 × 2) 2 \ u003d ((-8/3) 2-2 (-1/3)) 2-2 (-1/3) 2 \ u003d 4898/9

الجواب: 4898/9.

مثال 4

ما هي قيم المعلمة a هي الفرق بين أكبر وأصغر جذور المعادلة
2x 2 - (a + 1) x + (a - 1) \ u003d 0 يساوي منتجهم.

المحلول.

هذه معادلة من الدرجة الثانية. سيكون لها جذران مختلفان إذا كانت D> 0. وبعبارة أخرى ، (أ + 1) 2-8 (أ - 1)> 0 أو (أ - 3) 2> 0. لذلك ، لدينا جذران لكل أ ، باستثناء أ = 3.

من أجل الوضوح ، نفترض أن x 1> x 2 ونحصل على x 1 + x 2 \ u003d (a + 1) / 2 و x 1 x 2 \ u003d (a - 1) / 2. بناءً على حالة المشكلة × 1 - × 2 \ u003d (أ - 1) / 2. يجب استيفاء جميع الشروط الثلاثة في وقت واحد. اعتبر المعادلتين الأولى والأخيرة كنظام. يتم حلها بسهولة عن طريق طريقة الجمع الجبرية.

نحصل على x 1 \ u003d a / 2 ، x 2 \ u003d 1/2. دعنا نتحقق من ماذا أسيتم تحقيق المساواة الثانية: x 1 x 2 \ u003d (a - 1) / 2. دعنا نستبدل القيم المستلمة وسيكون لدينا: а / 4 = (а - 1) / 2. ثم ، أ = 2. من الواضح أن إذا كانت a = 2 ، يتم استيفاء جميع الشروط.

الجواب: عندما أ = 2.

مثال 5

ما هي أصغر قيمة لـ a يكون مجموع جذور المعادلة لها
x 2 - 2a (x - 1) - 1 \ u003d 0 يساوي مجموع مربعات جذوره.

المحلول.

بادئ ذي بدء ، لنحضر المعادلة إلى الشكل الأساسي: x 2 - 2ax + 2a - 1 \ u003d 0. سيكون لها جذور إذا كانت D / 4 ≥ 0. لذلك: a 2 - (2a - 1) ≥ 0. أو (أ - 1) 2 0. وهذا الشرط صالح لأي أ.

نطبق نظرية Vieta: x 1 + x 2 \ u003d 2a، x 1 x 2 \ u003d 2a - 1. نحسب

x 1 2 + x 2 2 \ u003d (x 1 + x 2) 2-2x 1 x 2. أو بعد الاستبدال x 1 2 + x 2 2 \ u003d (2a) 2 - 2 (2a - 1) \ u003d 4a 2 - 4a + 2. يبقى تحقيق المساواة التي تتوافق مع حالة المشكلة: x 1 + × 2 \ u003d × 1 2 + × 2 2. نحصل على: 2 أ = 4 أ 2 - 4 أ + 2. هذه المعادلة التربيعية لها جذران: 1 \ u003d 1 و 2 \ u003d 1/2. أصغرهم هو -1/2.

الجواب: 1/2.

مثال 6

أوجد العلاقة بين معاملات المعادلة ax 2 + inx + c \ u003d 0 إذا كان مجموع مكعبات جذوره يساوي حاصل ضرب مربعات هذه الجذور.

المحلول.

سننطلق من حقيقة أن هذه المعادلة لها جذور ، وبالتالي ، يمكن تطبيق نظرية فييتا عليها.

ثم يتم كتابة حالة المشكلة على النحو التالي: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 x 2 2. أو: (x 1 + x 2) (x 1 2 - x 1 x 2 + x 2 2) \ u003d (x 1 x 2) 2.

تحتاج إلى تحويل العامل الثاني. × 1 2 - × 1 × 2 + × 2 2 \ u003d ((× 1 + × 2) 2 - 2 × 1 × 2) - × 1 × 2.

نحصل على (x 1 + x 2) ((x 1 + x 2) 2 - 3x 1 x 2) \ u003d (x 1 x 2) 2. يبقى استبدال المبالغ ونواتج الجذور من خلال المعاملات.

(-b / a) ((b / a) 2-3 c / a) = (c / a) 2. يمكن تحويل هذا التعبير بسهولة إلى النموذج ب (3ac - ب 2) / أ \ u003d ج ​​2.تم العثور على النسبة.

تعليق.يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن العلاقة الناتجة من المنطقي ألا تؤخذ في الاعتبار إلا بعد تحقيق الآخر: D ≥ 0.

مثال 7

أوجد قيمة المتغير a الذي يكون مجموع مربعات جذور المعادلة x 2 + 2ax + 3a 2-6a - 2 \ u003d 0 هو أكبر قيمة لها.

المحلول.

إذا كانت هذه المعادلة لها جذور x 1 و x 2 ، فإن مجموعها x 1 + x 2 \ u003d -2a ، والمنتج x 1 x 2 \ u003d 3a 2-6a - 2.

نحسب x 1 2 + x 2 2 \ u003d (x 1 + x 2) 2 - 2x 1 x 2 \ u003d (-2a) 2 - 2 (3a 2-6a - 2) \ u003d -2a 2 + 12a + 4 = -2 (أ - 3) 2 + 22.

من الواضح الآن أن هذا التعبير يأخذ أعلى قيمةل = 3.

يبقى أن نتحقق مما إذا كانت المعادلة التربيعية الأصلية لها جذور بالفعل عند a \ u003d 3. نتحقق من خلال الاستبدال ونحصل على: x 2 + 6x + 7 \ u003d 0 وبالنسبة لها D \ u003d 36-28 \ u003e 0.

لذلك ، الجواب هو: ل = 3.

المثال 8

المعادلة 2x 2-7x - 3 \ u003d 0 لها جذور x 1 و x 2. ابحث عن المجموع الثلاثي لمعاملات المعادلة التربيعية المعطاة ، وجذورها هي الأرقام X 1 \ u003d 1 / x 1 و X 2 \ u003d 1 / x 2. (*)

المحلول.

من الواضح أن x 1 + x 2 \ u003d 7/2 و x 1 x 2 \ u003d -3/2. نقوم بتكوين المعادلة الثانية بجذورها بالصيغة x 2 + px + q \ u003d 0. للقيام بذلك ، نستخدم معكوس التأكيد لنظرية فييتا. نحصل على: p \ u003d - (X 1 + X 2) و q \ u003d X 1 X 2.

بعد الاستبدال في هذه الصيغ ، بناءً على (*) ، ثم: p \ u003d - (x 1 + x 2) / (x 1 x 2) \ u003d 7/3 و q \ u003d 1 / (x 1 x 2) \ u003d - 2/3.

ستأخذ المعادلة المرغوبة الشكل: x 2 + 7/3 x - 2/3 = 0. الآن يمكننا بسهولة حساب المجموع الثلاثي لمعاملاتها:

3 (1 + 7/3 - 2/3) = 8. تم استلام الإجابة.

هل لديك اسئلة؟ لا أعرف كيفية استخدام نظرية فييتا؟
للحصول على مساعدة من مدرس -.
الدرس الأول مجاني!

blog.site ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، مطلوب رابط للمصدر.

أي معادلة تربيعية كاملة الفأس 2 + ب س + ج = 0يمكن أن يجلب إلى الذهن س 2 + (ب / أ) س + (ج / أ) = 0، إذا قسّمنا كل حد أولاً على المعامل a من قبل x2. وإذا قدمنا ​​تدوينًا جديدًا (ب / أ) = صو (ج / أ) = ف، ثم سيكون لدينا المعادلة س 2 + بكسل + س = 0، وهو ما يسمى في الرياضيات معادلة من الدرجة الثانية.

جذور المعادلة التربيعية المختصرة والمعاملات صو فمترابط. تم التأكيد نظرية فييتا، على اسم عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييتا ، الذي عاش في أواخر السادس عشرمئة عام.

نظرية. مجموع جذور المعادلة التربيعية المختزلة س 2 + بكسل + س = 0يساوي المعامل الثاني ص، مأخوذ بعلامة معاكسة ، وحاصل ضرب الجذور - إلى المصطلح الحر ف.

نكتب هذه النسب بالشكل التالي:

يترك × 1و x2الجذور المختلفة للمعادلة المختزلة س 2 + بكسل + س = 0. وفقًا لنظرية فييتا x1 + x2 = -pو س 1 × 2 = ف.

لإثبات ذلك ، لنعوض بكل من الجذور x 1 و x 2 في المعادلة. نحصل على مساوتين حقيقيتين:

س 1 2 + مقصف 1 + س = 0

س 2 2 + مقصف 2 + ف = 0

اطرح الثانية من المساواة الأولى. نحن نحصل:

× 1 2 - × 2 2 + ص (× 1 - × 2) = 0

نقوم بفك الحدين الأولين وفقًا لصيغة فرق المربعات:

(x 1 - x 2) (x 1 - x 2) + p (x 1 - x 2) = 0

حسب الشرط ، الجذور x 1 و x 2 مختلفة. لذلك ، يمكننا تقليل المساواة بواسطة (x 1 - x 2) ≠ 0 والتعبير عن p.

(x 1 + x 2) + p = 0 ؛

(x 1 + x 2) = -p.

تم إثبات المساواة الأولى.

لإثبات المساواة الثانية ، نعوض بها في المعادلة الأولى

x 1 2 + px 1 + q \ u003d 0 بدلاً من المعامل p ، الرقم المتساوي هو (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \ u003d 0

بعد أن تحول الجهه اليسرىالمعادلات ، نحصل على:

× 1 2 - × 2 2 - × 1 × 2 + q \ u003d 0 ؛

x 1 x 2 = q ، والذي كان يجب إثباته.

نظرية فييتا جيدة لأن حتى بدون معرفة جذور المعادلة التربيعية ، يمكننا حساب مجموعها وحاصل ضربها .

تساعد نظرية فييتا في تحديد الجذور الصحيحة للمعادلة التربيعية المعطاة. لكن بالنسبة للعديد من الطلاب ، فإن هذا يسبب صعوبات بسبب حقيقة أنهم لا يعرفون خوارزمية عمل واضحة ، خاصة إذا كانت جذور المعادلة لها علامات مختلفة.

إذن ، المعادلة التربيعية المعطاة لها الشكل x 2 + px + q \ u003d 0 ، حيث x 1 و x 2 هي جذورها. وفقًا لنظرية Vieta x 1 + x 2 = -p و x 1 x 2 = q.

يمكننا استخلاص الاستنتاج التالي.

إذا كانت هناك علامة ناقص في المعادلة قبل الحد الأخير ، فإن الجذور x 1 و x 2 لها علامات مختلفة. بالإضافة إلى ذلك ، فإن علامة الجذر الأصغر هي نفس علامة المعامل الثاني في المعادلة.

بناءً على حقيقة أنه عند إضافة أرقام بعلامات مختلفة ، يتم طرح وحداتها النمطية ، وتوضع علامة الرقم الأكبر أمام النتيجة ، يجب عليك المتابعة على النحو التالي:

1. تحديد عوامل الرقم q بحيث يكون اختلافها مساويًا للرقم p ؛
2. ضع علامة المعامل الثاني للمعادلة أمام أصغر الأرقام التي تم الحصول عليها ؛ سيكون للجذر الثاني إشارة معاكسة.

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة.

مثال 1.

حل المعادلة س 2 - 2 س - 15 = 0.

المحلول.

دعنا نحاول حل هذه المعادلة باستخدام القواعد المقترحة أعلاه. ثم يمكننا أن نقول على وجه اليقين أن هذه المعادلة لها جذران مختلفان ، لأن د \ u003d ب 2-4ac \ u003d 4-4 (-15) \ u003d 64 \ u003e 0.

الآن ، من بين جميع عوامل العدد 15 (1 و 15 و 3 و 5) ، نختار تلك التي يكون فرقها يساوي 2. سيكون هذان الرقمان 3 و 5. نضع علامة ناقص أمام الرقم الأصغر ، بمعنى آخر. علامة المعامل الثاني للمعادلة. وبالتالي ، نحصل على جذور المعادلة x 1 \ u003d -3 و x 2 \ u003d 5.

إجابه. س 1 = -3 و س 2 = 5.

مثال 2.

حل المعادلة x 2 + 5x - 6 = 0.

المحلول.

دعنا نتحقق مما إذا كانت هذه المعادلة لها جذور. للقيام بذلك ، نجد المميز:

D \ u003d b 2 - 4ac \ u003d 25 + 24 \ u003d 49 \ u003e 0. للمعادلة جذرين مختلفين.

العوامل المحتملة للرقم 6 هي 2 و 3 و 6 و 1. والفرق هو 5 لزوج من 6 و 1. في هذا المثال ، معامل الحد الثاني له علامة زائد ، وبالتالي فإن الرقم الأصغر سيكون له نفس العلامة. لكن قبل الرقم الثاني ستكون هناك علامة ناقص.

الجواب: س 1 = -6 و س 2 = 1.

يمكن أيضًا كتابة نظرية فييتا لمعادلة تربيعية كاملة. لذلك إذا كانت المعادلة التربيعية الفأس 2 + ب س + ج = 0لها جذور x 1 و x 2 ، ثم تحقق المساواة

× 1 + × 2 = - (ب / أ)و × 1 × 2 = (ج / أ). ومع ذلك ، فإن تطبيق هذه النظرية في المعادلة التربيعية الكاملة يمثل مشكلة إلى حد ما ، منذ ذلك الحين إذا كان هناك جذور ، واحد منهم على الأقل هو عدد كسري. والعمل مع اختيار الكسور صعب للغاية. لكن لا يزال هناك مخرج.

ضع في اعتبارك المعادلة التربيعية الكاملة ax 2 + bx + c = 0. اضرب الجانبين الأيمن والأيسر بالمعامل a. ستأخذ المعادلة الشكل (ax) 2 + b (ax) + ac = 0. لنقدم الآن متغيرًا جديدًا ، على سبيل المثال t = ax.

في هذه الحالة ، تتحول المعادلة الناتجة إلى معادلة تربيعية مختصرة بالصيغة t 2 + bt + ac = 0 ، يمكن تحديد جذورها t 1 و t 2 (إن وجدت) بواسطة نظرية Vieta.

في هذه الحالة ، ستكون جذور المعادلة التربيعية الأصلية

x 1 = (t 1 / a) و x 2 = (t 2 / a).

مثال 3.

حل المعادلة 15x 2-11x + 2 = 0.

المحلول.

نصنع معادلة مساعدة. لنضرب كل حد في المعادلة في 15:

15 2 × 2-11 × 15 + 15 2 = 0.

نجعل التغيير t = 15x. نملك:

ر 2-11 طن + 30 = 0.

وفقًا لنظرية فييتا ، فإن جذور هذه المعادلة ستكون t 1 = 5 و t 2 = 6.

نعود إلى الاستبدال t = 15x:

5 = 15x أو 6 = 15x. هكذا x 1 = 5/15 و x 2 = 6/15. نختصر ونحصل على الإجابة النهائية: x 1 = 1/3 و x 2 = 2/5.

إجابه. × 1 = 1/3 و × 2 = 2/5.

لإتقان حل المعادلات التربيعية باستخدام نظرية فييتا ، يحتاج الطلاب إلى التدرب قدر الإمكان. هذا هو بالضبط سر النجاح.

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

مستوى اول

المعادلات التربيعية. دليل شامل (2019)

في مصطلح "المعادلة التربيعية" الكلمة الأساسية هي "التربيعية". هذا يعني أن المعادلة يجب أن تحتوي بالضرورة على متغير (نفس X) في المربع ، وفي نفس الوقت لا ينبغي أن يكون هناك Xs في الدرجة الثالثة (أو أكبر).

يتم تقليل حل العديد من المعادلات إلى حل المعادلات التربيعية.

لنتعلم تحديد أن لدينا معادلة تربيعية ، وليس معادلة أخرى.

مثال 1

تخلص من المقام واضرب كل حد من حدود المعادلة في

لننقل كل شيء إلى الجانب الأيسر ونرتب الحدود بترتيب تنازلي لقوى x

الآن يمكننا القول بثقة أن هذه المعادلة من الدرجة الثانية!

مثال 2

اضرب الجانبين الأيمن والأيسر بـ:

هذه المعادلة ، رغم أنها كانت في الأصل ، ليست مربعة!

مثال 3

لنضرب كل شيء في:

مخيف؟ الدرجتان الرابعة والثانية ... ومع ذلك ، إذا قمنا باستبدالهما ، فسنرى أن لدينا معادلة تربيعية بسيطة:

مثال 4

يبدو أن الأمر كذلك ، ولكن دعونا نلقي نظرة فاحصة. لننقل كل شيء إلى الجانب الأيسر:

كما ترى ، تقلصت - وهي الآن معادلة خطية بسيطة!

حاول الآن أن تحدد بنفسك أيًا من المعادلات التالية تربيعي وأيها ليس:

أمثلة:

الإجابات:

1. ميدان؛
2. ميدان؛
3. لا مربع
4. لا مربع
5. لا مربع
6. ميدان؛
7. لا مربع
8. ميدان.

يقسم علماء الرياضيات جميع المعادلات التربيعية إلى الأنواع التالية:

• أكمل المعادلات التربيعية- المعادلات التي لا تساوي فيها المعاملات وكذلك المصطلح المجاني c صفرًا (كما في المثال). بالإضافة إلى ذلك ، من بين المعادلات التربيعية الكاملة ، هناك معطىهي المعادلات التي يكون فيها المعامل (المعادلة من المثال الأول ليست كاملة فحسب ، بل مخفضة أيضًا!)

• معادلات تربيعية غير مكتملة- المعادلات التي يكون فيها المعامل و / أو المصطلح الحر c مساويًا للصفر:

  إنها غير مكتملة لأن بعض العناصر مفقودة منها. لكن يجب أن تحتوي المعادلة دائمًا على x تربيع !!! وإلا فلن تكون معادلة تربيعية ، بل معادلة أخرى.

لماذا جاءوا بمثل هذا التقسيم؟ يبدو أن هناك X تربيع ، ولا بأس. هذا التقسيم يرجع إلى طرق الحل. دعونا نفكر في كل منهم بمزيد من التفصيل.

حل المعادلات التربيعية غير المكتملة

أولاً ، دعنا نركز على حل المعادلات التربيعية غير المكتملة - فهي أبسط بكثير!

المعادلات التربيعية غير المكتملة من الأنواع:

1. ، في هذه المعادلة المعامل يساوي.
2. ، في هذه المعادلة ، المصطلح المجاني يساوي.
3. ، في هذه المعادلة ، المعامل والمصطلح الحر متساويان.

1. ط. لأننا نعرف كيف نستخرج الجذر التربيعي، فلنستخلص من هذه المعادلة

يمكن أن يكون التعبير سالب أو موجب. لا يمكن أن يكون العدد التربيعي سالبًا ، لأنه عند ضرب رقمين سالبين أو رقمين موجبين ، ستكون النتيجة دائمًا رقمًا موجبًا ، لذلك: إذا ، فلن يكون للمعادلة أي حلول.

وإذا كان لدينا جذران. لا تحتاج هذه الصيغ إلى الحفظ. الشيء الرئيسي هو أنه يجب أن تعرف دائمًا وتتذكر أنه لا يمكن أن يكون أقل من ذلك.

دعنا نحاول حل بعض الأمثلة.

المثال 5:

حل المعادلة

الآن يبقى استخراج الجذر من الجزأين الأيمن والأيسر. بعد كل شيء ، هل تتذكر كيفية استخراج الجذور؟

إجابه:

لا تنسى الجذور بعلامة سلبية !!!

المثال 6:

حل المعادلة

إجابه:

المثال 7:

حل المعادلة

أوتش! لا يمكن أن يكون مربع الرقم سالبًا ، مما يعني أن المعادلة

لا جذور!

بالنسبة لمثل هذه المعادلات التي لا توجد فيها جذور ، توصل علماء الرياضيات إلى رمز خاص - (مجموعة فارغة). ويمكن كتابة الإجابة على هذا النحو:

إجابه:

وبالتالي ، فإن هذه المعادلة التربيعية لها جذرين. لا توجد قيود هنا ، لأننا لم نستخرج الجذر.
المثال 8:

حل المعادلة

لنأخذ العامل المشترك من الأقواس:

في هذا الطريق،

هذه المعادلة لها جذران.

إجابه:

أبسط نوع من المعادلات التربيعية غير المكتملة (على الرغم من أنها كلها بسيطة ، أليس كذلك؟). من الواضح أن هذه المعادلة لها دائمًا جذر واحد فقط:

هنا سنفعل بدون أمثلة.

حل المعادلات التربيعية الكاملة

نذكرك أن المعادلة التربيعية الكاملة هي معادلة الصيغة حيث

حل المعادلات التربيعية الكاملة أكثر تعقيدًا قليلاً (فقط قليلاً) من المعطيات المعطاة.

تذكر، يمكن حل أي معادلة من الدرجة الثانية باستخدام المميز! حتى غير مكتمل.

ستساعدك بقية الطرق على القيام بذلك بشكل أسرع ، ولكن إذا كانت لديك مشاكل مع المعادلات التربيعية ، فعليك أولاً إتقان الحل باستخدام المميز.

1. حل المعادلات التربيعية باستخدام المميز.

حل المعادلات التربيعية بهذه الطريقة بسيط للغاية ، الشيء الرئيسي هو تذكر تسلسل الإجراءات واثنين من الصيغ.

إذا ، فإن المعادلة لها جذر انتباه خاصارسم خطوة. يخبرنا المميز () بعدد جذور المعادلة.

• إذا ، فسيتم تقليل الصيغة في الخطوة إلى. وبالتالي ، سيكون للمعادلة جذر فقط.
• إذا ، فلن نتمكن من استخراج جذر المميز في الخطوة. يشير هذا إلى أن المعادلة ليس لها جذور.

دعنا نعود إلى معادلاتنا ونلقي نظرة على بعض الأمثلة.

المثال 9:

حل المعادلة

الخطوة 1يتخطى.

الخطوة 2

البحث عن المميز:

إذن للمعادلة جذران.

الخطوه 3

إجابه:

المثال 10:

حل المعادلة

المعادلة في شكل قياسي ، لذلك الخطوة 1يتخطى.

الخطوة 2

البحث عن المميز:

إذن للمعادلة جذر واحد.

إجابه:

المثال 11:

حل المعادلة

المعادلة في شكل قياسي ، لذلك الخطوة 1يتخطى.

الخطوة 2

البحث عن المميز:

هذا يعني أننا لن نتمكن من استخراج الجذر من المميز. لا توجد جذور للمعادلة.

الآن نحن نعرف كيفية كتابة هذه الإجابات بشكل صحيح.

إجابه:لا جذور

2. حل المعادلات التربيعية باستخدام نظرية فييتا.

إذا كنت تتذكر ، فهناك نوع من المعادلات يسمى مخفض (عندما يكون المعامل أ يساوي):

من السهل جدًا حل هذه المعادلات باستخدام نظرية فييتا:

مجموع الجذور معطىالمعادلة التربيعية متساوية ، وحاصل ضرب الجذور متساوي.

المثال 12:

حل المعادلة

هذه المعادلة مناسبة للحل باستخدام نظرية فييتا ، لأن .

مجموع جذور المعادلة هو ، أي نحصل على المعادلة الأولى:

والمنتج هو:

دعونا ننشئ ونحل النظام:

• و. المجموع هو
• و. المجموع هو
• و. المبلغ يساوي.

و هي حل النظام:

إجابه: ; .

المثال 13:

حل المعادلة

إجابه:

المثال 14:

حل المعادلة

يتم تقليل المعادلة ، مما يعني:

إجابه:

المعادلات التربيعية. مستوى متوسط

ما هي المعادلة التربيعية؟

بمعنى آخر ، المعادلة التربيعية هي معادلة للصيغة ، حيث - غير معروف - بعض الأرقام ، علاوة على ذلك.

الرقم يسمى الأعلى أو المعامل الأولمعادلة من الدرجة الثانية، - المعامل الثاني، أ - عضو مجاني.

لماذا ا؟ لأنه إذا ، ستصبح المعادلة خطية على الفور ، لأن سوف تختفي.

في هذه الحالة ، ويمكن أن تساوي الصفر. تسمى معادلة البراز هذه غير مكتملة. إذا كانت جميع الشروط في مكانها الصحيح ، فهذا يعني أن المعادلة كاملة.

حلول لأنواع مختلفة من المعادلات التربيعية

طرق حل المعادلات التربيعية غير المكتملة:

بادئ ذي بدء ، سنحلل طرق حل المعادلات التربيعية غير المكتملة - فهي أبسط.

يمكن تمييز أنواع المعادلات التالية:

أولاً ، في هذه المعادلة ، المعامل والمصطلح الحر متساويان.

ثانيًا. ، في هذه المعادلة المعامل يساوي.

ثالثا. ، في هذه المعادلة ، المصطلح المجاني يساوي.

فكر الآن في حل كل من هذه الأنواع الفرعية.

من الواضح أن هذه المعادلة لها دائمًا جذر واحد فقط:

لا يمكن أن يكون تربيع العدد سالبًا ، لأنه عند ضرب رقمين سالبين أو رقمين موجبين ، ستكون النتيجة دائمًا رقمًا موجبًا. لهذا:

إذا ، فإن المعادلة ليس لها حلول ؛

إذا كان لدينا جذران

لا تحتاج هذه الصيغ إلى الحفظ. الشيء الرئيسي الذي يجب تذكره هو أنه لا يمكن أن يكون أقل.

أمثلة:

حلول:

إجابه:

لا تنس أبدًا الجذور بعلامة سلبية!

لا يمكن أن يكون مربع الرقم سالبًا ، مما يعني أن المعادلة

لا جذور.

للكتابة بإيجاز أن المشكلة ليس لها حلول ، نستخدم أيقونة المجموعة الفارغة.

إجابه:

إذن ، هذه المعادلة لها جذران: و.

إجابه:

لنأخذ العامل المشترك من الأقواس:

حاصل الضرب يساوي صفرًا إذا كان أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا. هذا يعني أن المعادلة لها حل عندما:

إذن ، هذه المعادلة التربيعية لها جذرين: و.

مثال:

حل المعادلة.

المحلول:

نقوم بتحليل الجانب الأيسر من المعادلة وإيجاد الجذور:

إجابه:

طرق حل المعادلات التربيعية الكاملة:

1. التمييز

حل المعادلات التربيعية بهذه الطريقة سهل ، الشيء الرئيسي هو تذكر تسلسل الإجراءات واثنين من الصيغ. تذكر أن أي معادلة تربيعية يمكن حلها باستخدام المميز! حتى غير مكتمل.

هل لاحظت جذر المميز في صيغة الجذر؟ لكن المميز يمكن أن يكون سالبًا. ماذا أفعل؟ نحن بحاجة إلى إيلاء اهتمام خاص للخطوة 2. المميز يخبرنا بعدد جذور المعادلة.

• إذا ، فإن المعادلة لها جذر:
• إذا ، فإن المعادلة لها نفس الجذر ، ولكن في الواقع ، جذر واحد:

  تسمى هذه الجذور بجذور مزدوجة.

• إذا ، لا يتم استخراج جذر المميز. يشير هذا إلى أن المعادلة ليس لها جذور.

لماذا توجد أعداد مختلفة من الجذور؟ دعونا ننتقل إلى المعنى الهندسي للمعادلة التربيعية. الرسم البياني للدالة هو قطع مكافئ:

في حالة معينة ، وهي معادلة من الدرجة الثانية ،. وهذا يعني أن جذور المعادلة التربيعية هي نقاط التقاطع مع المحور x (المحور). قد لا يتقاطع القطع المكافئ مع المحور على الإطلاق ، أو قد يتقاطع معه عند نقطة واحدة (عندما يقع الجزء العلوي من القطع المكافئ على المحور) أو نقطتين.

بالإضافة إلى ذلك ، فإن المعامل مسؤول عن اتجاه فروع القطع المكافئ. إذا ، فإن فروع القطع المكافئ يتم توجيهها إلى الأعلى ، وإذا - ثم إلى الأسفل.

أمثلة:

حلول:

إجابه:

إجابه: .

إجابه:

هذا يعني أنه لا توجد حلول.

إجابه: .

2. نظرية فييتا

يعد استخدام نظرية فييتا أمرًا سهلاً للغاية: ما عليك سوى اختيار زوج من الأرقام يكون ناتجهما مساويًا للمصطلح الحر للمعادلة ، ويكون المجموع مساويًا للمعامل الثاني ، مأخوذًا بعلامة معاكسة.

من المهم أن تتذكر أنه لا يمكن تطبيق نظرية فييتا إلا على بالنظر إلى المعادلات التربيعية ().

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة:

مثال 1:

حل المعادلة.

المحلول:

هذه المعادلة مناسبة للحل باستخدام نظرية فييتا ، لأن . معاملات أخرى: .

مجموع جذور المعادلة هو:

والمنتج هو:

دعنا نختار أزواج الأرقام هذه ، حاصل ضربهما متساوي ، ونتحقق مما إذا كان مجموعهما متساويًا:

• و. المجموع هو
• و. المجموع هو
• و. المبلغ يساوي.

و هي حل النظام:

وهكذا ، هي جذور معادلتنا.

إجابه: ؛ .

المثال الثاني:

المحلول:

نختار أزواج الأرقام التي تظهر في المنتج ، ثم نتحقق مما إذا كان مجموعها متساويًا أم لا:

و: تعطي في المجموع.

و: تعطي في المجموع. للحصول عليه ، تحتاج فقط إلى تغيير علامات الجذور المزعومة: وبعد كل شيء ، المنتج.

إجابه:

المثال الثالث:

المحلول:

المصطلح الحر للمعادلة سالب ، وبالتالي يكون حاصل ضرب الجذور عددًا سالبًا. هذا ممكن فقط إذا كان أحد الجذور سالب والآخر موجب. إذن مجموع الجذور هو الاختلافات في وحداتهم.

نختار أزواج الأرقام التي تظهر في المنتج ، والفرق بينها يساوي:

و: اختلافهم - غير مناسب ؛

و: - غير مناسب ؛

و: - غير مناسب ؛

و: - مناسب. يبقى فقط أن نتذكر أن أحد الجذور سلبي. نظرًا لأن مجموعهم يجب أن يكون متساويًا ، فيجب أن يكون الجذر ، الأصغر في القيمة المطلقة ، سالبًا:. نحن نفحص:

إجابه:

المثال الرابع:

حل المعادلة.

المحلول:

يتم تقليل المعادلة ، مما يعني:

المصطلح الحر سالب ، وبالتالي يكون حاصل ضرب الجذور سالبًا. وهذا ممكن فقط عندما يكون أحد جذر المعادلة سالبًا والآخر موجبًا.

نختار أزواج الأرقام التي يكون منتجها متساويًا ، ثم نحدد الجذور التي يجب أن يكون لها علامة سالبة:

من الواضح أن الجذور فقط ومناسبة للشرط الأول:

إجابه:

المثال الخامس:

حل المعادلة.

المحلول:

يتم تقليل المعادلة ، مما يعني:

مجموع الجذور سالب ، مما يعني أن أحد الجذور على الأقل سالب. ولكن بما أن حاصل ضربهما موجب ، فهذا يعني أن كلا الجذور سالب.

نختار أزواج الأرقام هذه ، منتجها يساوي:

من الواضح أن الجذور هي الأرقام و.

إجابه:

موافق ، إنه مناسب للغاية - لاختراع الجذور شفهيًا ، بدلاً من حساب هذا التمييز المقرف. حاول استخدام نظرية فييتا بقدر الإمكان.

لكن هناك حاجة إلى نظرية فييتا من أجل تسهيل وتسريع العثور على الجذور. لجعل استخدامها مربحًا لك ، يجب عليك إحضار الإجراءات إلى الأتمتة. ولهذا ، حل خمسة أمثلة أخرى. لكن لا تغش: لا يمكنك استخدام المميز! فقط نظرية فييتا:

حلول لمهام العمل المستقل:

المهمة 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 = 0

وفقًا لنظرية فييتا:

كالعادة نبدأ الاختيار بالمنتج:

غير مناسب لأن المبلغ ؛

: المبلغ هو ما تحتاجه.

إجابه: ؛ .

المهمة 2.

ومرة أخرى ، نظرية فييتا المفضلة لدينا: يجب أن ينجح المجموع ، لكن حاصل الضرب متساوٍ.

ولكن بما أنه لا ينبغي أن يكون كذلك ، لكننا نغير علامات الجذور: و (إجمالاً).

إجابه: ؛ .

المهمة 3.

حسنًا ... أين هي؟

من الضروري نقل جميع الشروط إلى جزء واحد:

مجموع الجذور يساوي الناتج.

نعم توقف! المعادلة غير معطاة. لكن نظرية فييتا قابلة للتطبيق فقط في المعادلات المحددة. لذا عليك أولاً إحضار المعادلة. إذا لم تتمكن من طرحها ، فقم بإسقاط هذه الفكرة وحلها بطريقة أخرى (على سبيل المثال ، من خلال المميز). دعني أذكرك أن إحضار معادلة من الدرجة الثانية يعني جعل المعامل الرئيسي يساوي:

ممتاز. ثم مجموع الجذور متساوي ، والحاصل.

من الأسهل أن تلتقط هنا: بعد كل شيء - عدد أولي (آسف على الحشو).

إجابه: ؛ .

المهمة 4.

المصطلح المجاني سلبي. ما الذي يميزه؟ وحقيقة أن الجذور ستكون من علامات مختلفة. والآن ، أثناء التحديد ، لا نتحقق من مجموع الجذور ، بل نتحقق من الفرق بين وحداتها: هذا الاختلاف متساوٍ ، لكن حاصل الضرب.

إذن ، الجذور متساوية ، لكن أحدهما سالب. تخبرنا نظرية فييتا أن مجموع الجذور يساوي المعامل الثاني مع الإشارة المعاكسة ، أي. هذا يعني أن الجذر الأصغر سيكون له سالب: ومنذ ذلك الحين.

إجابه: ؛ .

المهمة 5.

ما الذي يجب القيام به أولا؟ هذا صحيح ، أعط المعادلة:

مرة أخرى: نختار عوامل العدد ، ويجب أن يكون فرقها مساويًا لـ:

الجذور متساوية ولكن أحدهما ناقص. أيّ؟ يجب أن يكون مجموعهم متساويًا ، مما يعني أنه مع وجود سالب سيكون هناك جذر أكبر.

إجابه: ؛ .

اسمحوا لي أن ألخص:

1. تستخدم نظرية فييتا فقط في المعادلات التربيعية المعطاة.
2. باستخدام نظرية Vieta ، يمكنك إيجاد الجذور عن طريق التحديد ، شفويا.
3. إذا لم يتم تقديم المعادلة أو لم يتم العثور على زوج مناسب من العوامل للمصطلح الحر ، فلا توجد جذور صحيحة ، وتحتاج إلى حلها بطريقة أخرى (على سبيل المثال ، من خلال المميز).

3. طريقة اختيار مربع كامل

إذا تم تمثيل جميع المصطلحات التي تحتوي على المجهول كمصطلحات من صيغ الضرب المختصر - مربع المجموع أو الفرق - ثم بعد تغيير المتغيرات ، يمكن تمثيل المعادلة كمعادلة تربيعية غير مكتملة من النوع.

فمثلا:

مثال 1:

حل المعادلة: .

المحلول:

إجابه:

المثال 2:

حل المعادلة: .

المحلول:

إجابه:

في نظرة عامةسيبدو التحول كما يلي:

هذا يعني: .

ألا يذكرك بشيء؟ إنه المميز! هذا هو بالضبط كيف تم الحصول على الصيغة المميزة.

المعادلات التربيعية. باختصار حول الرئيسي

معادلة من الدرجة الثانيةهي معادلة الشكل ، حيث يكون المجهول ، معاملات المعادلة التربيعية ، هو المصطلح المجاني.

معادلة تربيعية كاملة- معادلة لا تساوي فيها المعاملات الصفر.

معادلة تربيعية مخفضة- معادلة يكون فيها المعامل هو:.

معادلة تربيعية غير كاملة- معادلة يكون فيها المعامل و / أو المصطلح الحر c مساويًا للصفر:

• إذا كان المعامل ، فإن المعادلة لها الشكل:،
• إذا كان مصطلح مجاني ، فإن المعادلة لها الشكل: ،
• إذا كان للمعادلة الشكل:.

1. خوارزمية لحل المعادلات التربيعية غير المكتملة

1.1 معادلة تربيعية غير كاملة للشكل حيث:

1) عبر عن المجهول: ،

2) تحقق من علامة التعبير:

• إذا ، فإن المعادلة ليس لها حلول ،
• إذا ، فإن المعادلة لها جذران.

1.2 معادلة تربيعية غير كاملة للشكل حيث:

1) لنأخذ العامل المشترك من الأقواس:،

2) المنتج يساوي صفرًا إذا كان أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا. لذلك ، فإن المعادلة لها جذران:

1.3 معادلة تربيعية غير كاملة للشكل ، حيث:

هذه المعادلة لها دائمًا جذر واحد فقط:.

2. خوارزمية لحل المعادلات التربيعية الكاملة للصيغة حيث

2.1. الحل باستخدام المميز

1) نأتي بالمعادلة إلى النموذج القياسي: ,

2) احسب المميز باستخدام الصيغة: التي تشير إلى عدد جذور المعادلة:

3) أوجد جذور المعادلة:

• إذا ، فإن المعادلة لها جذر ، والذي تم العثور عليه بواسطة الصيغة:
• إذا ، فإن المعادلة لها جذر ، والذي تم العثور عليه بواسطة الصيغة:
• إذا ، فإن المعادلة ليس لها جذور.

2.2. الحل باستخدام نظرية فييتا

مجموع جذور المعادلة التربيعية المختزلة (معادلة الشكل ، أين) متساوي ، وحاصل ضرب الجذور متساوٍ ، أي ، أ.

2.3 حل مربع كامل

نظرية فييتاللمعادلة التربيعية المختزلة.

مجموع جذور المعادلة التربيعية المختزلة س 2 + بكسل + س = 0يساوي المعامل الثاني ، المأخوذ بعلامة معاكسة ، وحاصل ضرب الجذور يساوي المصطلح المجاني:

× 1 + × 2 \ u003d-p ؛ × 1 ∙ × 2 \ u003d س.

أوجد جذور المعادلة التربيعية الآتية باستخدام نظرية فييتا.

مثال 1) x 2 -x-30 = 0.هذه هي المعادلة التربيعية المختصرة ( س 2 + بكسل + س = 0)، المعامل الثاني ص = -1، والمصطلح المجاني ف = -30.أولاً ، تأكد من أن المعادلة المعطاة لها جذور ، وأن الجذور (إن وجدت) سيتم التعبير عنها كأعداد صحيحة. لهذا ، يكفي أن يكون المميز هو المربع الكامل لعدد صحيح.

إيجاد المميز د= ب 2-4 أك = (- 1) 2 -4 ∙ 1 (-30) = 1 + 120 = 121 = 11 2 .

الآن ، وفقًا لنظرية فييتا ، يجب أن يكون مجموع الجذور مساويًا للمعامل الثاني ، مأخوذًا بعلامة معاكسة ، أي ( -p) ، والمنتج يساوي المصطلح المجاني ، أي ( ف). ثم:

× 1 + × 2 = 1 ؛ × 1 ∙ × 2 \ u003d -30.نحتاج إلى اختيار هذين الرقمين بحيث يكون حاصل ضربهما مساويًا لـ -30 ، والمبلغ وحدة. هذه هي الأرقام -5 و 6 . الجواب: -5. 6.

مثال 2) x 2 + 6x + 8 = 0.لدينا المعادلة التربيعية المختزلة بالمعامل الثاني ص = 6وعضو مجاني ف = 8. تأكد من وجود جذور صحيحة. لنجد المميز D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . المميز D 1 هو المربع الكامل للعدد 1 ، لذا فإن جذور هذه المعادلة أعداد صحيحة. نختار الجذور وفقًا لنظرية فييتا: مجموع الجذور يساوي - ص = -6، وحاصل ضرب الجذور ف = 8. هذه هي الأرقام -4 و -2 .

في الواقع: -4-2 = -6 = -p ؛ -4 ∙ (-2) = 8 = ف. الجواب: -4 ؛ -2.

مثال 3) x 2 + 2x-4 = 0. في هذه المعادلة التربيعية المختصرة ، المعامل الثاني ع = 2، والمصطلح المجاني ف = -4. لنجد المميز D1، لأن المعامل الثاني هو عدد زوجي. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. المميز ليس مربعًا كاملاً لعدد ، لذلك نحن نفعل استنتاج: جذور هذه المعادلة ليست أعدادًا صحيحة ولا يمكن إيجادها باستخدام نظرية فييتا.لذلك ، نحل هذه المعادلة ، كالعادة ، وفقًا للصيغ (in هذه القضيةالصيغ). نحن نحصل:

مثال 4).اكتب معادلة تربيعية باستخدام جذورها إذا × 1 \ u003d -7 ، × 2 \ u003d 4.

المحلول.ستتم كتابة المعادلة المطلوبة بالشكل: س 2 + بكسل + س = 0، علاوة على ذلك ، على أساس نظرية فييتا –p = x1 + x2=-7+4=-3 → ص = 3 ؛ ف = س 1 ∙ س 2=-7∙4=-28 . ثم تأخذ المعادلة الشكل: x2 + 3x-28 = 0.

مثال 5).اكتب معادلة تربيعية باستخدام جذورها إذا:

ثانيًا. نظرية فييتاللمعادلة التربيعية الكاملة الفأس 2 + ب س + ج = 0.

مجموع الجذور سالب بمقسومة على أ، حاصل ضرب الجذور معمقسومة على أ:

× 1 + × 2 \ u003d -b / أ ؛ × 1 ∙ × 2 \ u003d ج ​​/ أ.