Khoảng cách giữa hai điểm cho bởi tọa độ của chúng. Khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng

Khoảng cách giữa hai điểm trên một mặt phẳng.
Hệ thống tọa độ

Mỗi điểm A của mặt phẳng được đặc trưng bởi tọa độ của nó (x, y). Chúng trùng với tọa độ của vectơ 0А, ra khỏi điểm 0 - gốc tọa độ.

Gọi A, B lần lượt là các điểm thuộc mặt phẳng có tọa độ (x 1 y 1) và (x 2, y 2).

Khi đó vectơ AB hiển nhiên có tọa độ (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Biết rằng bình phương độ dài vectơ bằng tổng bình phương tọa độ của nó. Do đó, khoảng cách d giữa hai điểm A và B, hoặc, độ dài của vectơ AB, được xác định từ điều kiện

d 2 \ u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d \ u003d \ / (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Công thức kết quả cho phép bạn tìm khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của mặt phẳng, nếu chỉ biết tọa độ của những điểm này

Mỗi khi nói về tọa độ của một hay điểm khác trên mặt phẳng, chúng ta nghĩ đến một hệ tọa độ xác định rõ x0y. Nói chung, hệ tọa độ trên mặt phẳng có thể được chọn theo nhiều cách khác nhau. Vì vậy, thay vì hệ tọa độ x0y, chúng ta có thể coi hệ tọa độ x "0y", hệ tọa độ này có được bằng cách quay các trục tọa độ cũ xung quanh điểm xuất phát 0 ngược chiều kim đồng hồ mũi tên ở góc α .

Nếu một điểm nào đó của mặt phẳng trong hệ tọa độ x0y có tọa độ (x, y) thì trong hệ thống mới tọa độ x "0y" nó sẽ có tọa độ khác (x ", y").

Lấy ví dụ, xét điểm M, nằm trên trục 0x ”và cách điểm 0 một khoảng bằng 1.

Rõ ràng, trong hệ tọa độ x0y, điểm này có tọa độ (cos α , tội α ), và trong hệ tọa độ x "0y" tọa độ là (1,0).

Tọa độ của hai điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng A và B phụ thuộc vào cách đặt hệ trục tọa độ trong mặt phẳng này. Nhưng khoảng cách giữa các điểm này không phụ thuộc vào cách hệ tọa độ được chỉ định. Chúng ta sẽ tận dụng tình huống quan trọng này trong phần tiếp theo.

Bài tập

I. Tìm khoảng cách giữa các điểm của mặt phẳng có tọa độ:

1) (3.5) và (3.4); 3) (0,5) và (5, 0); 5) (-3,4) và (9, -17);

2) (2, 1) và (- 5, 1); 4) (0,7) và (3,3); 6) (8, 21) và (1, -3).

II. Tìm chu vi của một tam giác có các cạnh được cho bởi phương trình:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 và y = 1.

III. Trong hệ tọa độ x0y, điểm M và N lần lượt có tọa độ (1, 0) và (0,1). Tìm tọa độ của các điểm này trong hệ tọa độ mới, cũng có được bằng cách quay các trục cũ quanh điểm xuất phát một góc 30 ° ngược chiều kim đồng hồ.

IV. Trong hệ tọa độ x0y, điểm M và N có tọa độ (2, 0) và (\ / 3/2, - 1/2) tương ứng. Tìm tọa độ của các điểm này trong hệ tọa độ mới, hệ tọa độ này có được bằng cách quay các trục cũ xung quanh điểm xuất phát một góc 30 ° theo chiều kim đồng hồ.

Việc giải toán đối với học sinh thường kèm theo rất nhiều khó khăn. Mục đích chính của trang web là nhằm giúp học sinh đối phó với những khó khăn này, cũng như dạy học sinh cách vận dụng kiến thức lý thuyết của mình vào việc giải các bài toán cụ thể trong tất cả các phần của khóa học "Toán học".

Bắt đầu giải các bài toán về chủ đề này, học sinh sẽ có thể dựng một điểm trên mặt phẳng theo tọa độ của nó, cũng như tìm tọa độ của một điểm cho trước.

Phép tính khoảng cách giữa hai điểm lấy trên mặt phẳng A (x A; y A) và B (x B; y B) được thực hiện bằng công thức d \ u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), với d là độ dài của đoạn thẳng nối các điểm này trên mặt phẳng.

Nếu một trong hai đầu của đoạn thẳng trùng với gốc tọa độ và đầu kia có tọa độ M (x M; y M) thì công thức tính d sẽ có dạng OM = √ (x M 2 + y M 2).

1. Tính khoảng cách giữa hai điểm đã cho, tọa độ của các điểm này

ví dụ 1.

Tìm độ dài đoạn thẳng nối hai điểm A (2; -5) và B (-4; 3) trên mặt phẳng tọa độ (Hình 1).

Giải pháp.

Điều kiện của bài toán đã cho là: x A = 2; x B \ u003d -4; y A = -5 và y B = 3. Tìm d.

Áp dụng công thức d \ u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), ta nhận được:

d \ u003d AB \ u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \ u003d 10.

2. Tính toạ độ của một điểm cách đều ba điểm đã cho.

Ví dụ 2

Tìm tọa độ điểm O 1 cách đều ba điểm A (7; -1) và B (-2; 2) và C (-1; -5).

Giải pháp.

Nó dựa trên công thức của điều kiện của bài toán rằng O 1 A \ u003d O 1 B \ u003d O 1 C. Cho điểm mong muốn O 1 có tọa độ (a; b). Theo công thức d \ u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) ta tìm được:

O 1 A \ u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 V \ u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C \ u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Chúng tôi lập một hệ hai phương trình:

(√ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Sau khi bình phương vế trái và vế phải của phương trình, chúng ta viết:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \ u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Đơn giản hóa, chúng tôi viết

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

Giải hệ ta được: a = 2; b = -1.

Điểm O 1 (2; -1) cách đều ba điểm đã cho trong điều kiện không nằm trên một đường thẳng. Điểm này là tâm của một đường tròn đi qua ba điểm đã cho (Hình 2).

3. Tính toán hoành độ (tọa độ) của một điểm nằm trên trục tọa độ (tọa độ) và cách điểm này một khoảng cho trước

Ví dụ 3

Khoảng cách từ điểm B (-5; 6) đến điểm A nằm trên trục x là 10. Tìm điểm A.

Giải pháp.

Từ công thức của điều kiện của bài toán mà hoành độ của điểm A bằng 0 và AB = 10.

Ký hiệu hoành độ của điểm từ A đến a, ta viết A (a; 0).

AB \ u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \ u003d √ ((a + 5) 2 + 36).

Ta nhận được phương trình √ ((a + 5) 2 + 36) = 10. Đơn giản hóa nó, ta có

a 2 + 10a - 39 = 0.

Nghiệm của phương trình này a 1 = -13; và 2 = 3.

Ta được hai điểm A 1 (-13; 0) và A 2 (3; 0).

Kiểm tra:

A 1 B \ u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \ u003d 10.

A 2 B \ u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \ u003d 10.

Cả hai điểm thu được đều phù hợp với điều kiện của bài toán (Hình 3).

4. Tính hoành độ (tọa độ) của một điểm nằm trên trục hoành độ (tọa độ) và ở cùng một khoảng cách từ hai điểm đã cho

Ví dụ 4

Tìm một điểm trên trục Oy có cùng khoảng cách với các điểm A (6; 12) và B (-8; 10).

Giải pháp.

Gọi tọa độ của điểm theo yêu cầu của bài toán nằm trên trục Oy là O 1 (0; b) (tại điểm nằm trên trục Oy thì hoành độ bằng 0). Nó tuân theo điều kiện O 1 A \ u003d O 1 V.

Theo công thức d \ u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) ta tìm được:

O 1 A \ u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \ u003d √ (36 + (b - 12) 2);

O 1 V \ u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \ u003d √ (64 + (b - 10) 2).

Ta có phương trình √ (36 + (b - 12) 2) = √ (64 + (b - 10) 2) hoặc 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2.

Sau khi đơn giản hóa, ta được: b - 4 = 0, b = 4.

Yêu cầu của bài toán điểm O 1 (0; 4) (Hình 4).

5. Tính toạ độ của một điểm có cùng khoảng cách với các trục toạ độ và một điểm nào đó cho trước

Ví dụ 5

Tìm điểm M nằm trên mặt phẳng tọa độ cách các trục tọa độ một khoảng và cách điểm A (-2; 1).

Giải pháp.

Điểm cần thiết M, như điểm A (-2; 1), nằm trong góc tọa độ thứ hai, vì nó cách đều các điểm A, P 1 và P 2 (Hình 5). Khoảng cách của điểm M so với các trục tọa độ là như nhau, do đó, tọa độ của nó sẽ là (-a; a), trong đó a> 0.

Theo các điều kiện của bài toán thì MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = | -a |,

những, cái đó. | -a | = a.

Theo công thức d \ u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) ta tìm được:

MA \ u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

Hãy lập một phương trình:

√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

Sau khi bình phương và đơn giản hóa, ta có: a 2 - 6a + 5 = 0. Giải phương trình ta tìm được a 1 = 1; và 2 = 5.

Ta được hai điểm M 1 (-1; 1) và M 2 (-5; 5) thoả mãn điều kiện của bài toán.

6. Tính toán tọa độ của một điểm có cùng khoảng cách xác định từ trục abscissa (tọa độ) và từ điểm này

Ví dụ 6

Tìm điểm M sao cho khoảng cách từ trục y đến điểm A (8; 6) bằng 5.

Giải pháp.

Theo điều kiện của bài toán ta có MA = 5 và hoành độ của điểm M bằng 5. Để hoành độ của điểm M bằng b thì M (5; b) (Hình 6).

Theo công thức d \ u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) ta có:

MA \ u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

Hãy lập một phương trình:

√ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2) = 5. Đơn giản hóa nó, ta được: b 2 - 12b + 20 = 0. Nghiệm của phương trình này là b 1 = 2; b 2 \ u003d 10. Do đó, có hai điểm thỏa mãn điều kiện của bài toán là M 1 (5; 2) và M 2 (5; 10).

Được biết, nhiều học sinh khi tự giải các bài toán cần thường xuyên tham khảo về kỹ thuật và phương pháp giải. Thông thường, một học sinh không thể tìm ra cách giải quyết vấn đề mà không có sự giúp đỡ của giáo viên. Học sinh có thể nhận được lời khuyên cần thiết để giải quyết vấn đề trên trang web của chúng tôi.

Bạn có câu hỏi nào không? Không chắc chắn làm thế nào để tìm khoảng cách giữa hai điểm trên một mặt phẳng?
Để được trợ giúp từ một gia sư -.
Bài học đầu tiên là miễn phí!

blog.site, với việc sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu, cần có liên kết đến nguồn.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các cách xác định khoảng cách từ một điểm đến một điểm về mặt lý thuyết và trên ví dụ về các nhiệm vụ cụ thể. Hãy bắt đầu với một số định nghĩa.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Định nghĩa 1

Khoảng cách giữa các điểm- đây là độ dài của đoạn kết nối chúng, trong tỷ lệ hiện có. Cần đặt cân để có đơn vị đo độ dài. Do đó, về cơ bản bài toán tìm khoảng cách giữa các điểm được giải bằng cách sử dụng tọa độ của chúng trên đường tọa độ, trong mặt phẳng tọa độ hoặc không gian ba chiều.

Dữ liệu ban đầu: đường tọa độ O x và một điểm A tùy ý nằm trên đó. Một số thực cố hữu trong bất kỳ điểm nào của đường thẳng: giả sử đây là một số nhất định cho điểm A xA, nó là tọa độ của điểm A.

Nói chung, chúng ta có thể nói rằng ước lượng độ dài của một đoạn nhất định xảy ra so với đoạn được lấy làm đơn vị độ dài trên một tỷ lệ nhất định.

Nếu điểm A tương ứng với một số thực nguyên, đặt liên tiếp từ điểm O đến một điểm dọc theo đường thẳng O A các đoạn - đơn vị đo độ dài, chúng ta có thể xác định độ dài đoạn O A bằng tổng số đoạn đơn đang chờ xử lý.

Ví dụ, điểm A tương ứng với số 3 - để đi đến nó từ điểm O, cần phải dành ra ba đoạn đơn vị. Nếu điểm A có tọa độ - 4, các đoạn đơn lẻ được vẽ theo cách tương tự, nhưng theo hướng âm khác. Như vậy, trong trường hợp thứ nhất, khoảng cách O A là 3; trong trường hợp thứ hai, O A \ u003d 4.

Nếu điểm A có tọa độ Số hữu tỉ, sau đó từ điểm gốc (điểm O), chúng ta dành ra một số nguyên các đoạn đơn vị, và sau đó là phần cần thiết của nó. Nhưng về mặt hình học, không phải lúc nào cũng có thể thực hiện một phép đo. Ví dụ, có vẻ khó bỏ phân số trực tiếp tọa độ 4 111 sang một bên.

Theo cách trên, hoàn toàn không thể hoãn một số vô tỉ trên một đường thẳng. Ví dụ, khi tọa độ của điểm A là 11. Trong trường hợp này, có thể chuyển sang trừu tượng: nếu tọa độ đã cho của điểm A lớn hơn 0, thì O A \ u003d x A (số được lấy làm khoảng cách); nếu tọa độ nhỏ hơn 0 thì O A = - x A. Nói chung, các câu lệnh này đúng với bất kỳ số thực x A nào.

Tóm lại: khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm tương ứng với một số thực trên đường tọa độ bằng:

0 nếu điểm trùng với gốc tọa độ;

x A nếu x A> 0;

- x A nếu x A< 0 .

Trong trường hợp này, rõ ràng độ dài của đoạn thẳng không thể âm, do đó, dùng dấu môđun, ta viết khoảng cách từ điểm O đến điểm A bằng tọa độ x A: O A = x A

Câu lệnh đúng sẽ là: khoảng cách từ điểm này đến điểm khác sẽ bằng môđun của sự khác biệt về tọa độ. Những, cái đó. cho các điểm A và B nằm trên cùng một đường trục tọa độ tại bất kỳ vị trí nào và có tọa độ lần lượt là x A Và x B: A B = x B - x A.

Dữ liệu ban đầu: điểm A và điểm B nằm trên một mặt phẳng trong hệ trục tọa độ hình chữ nhật O x y với tọa độ cho trước: A (x A, y A) và B (x B, y B).

Hãy vẽ đường vuông góc với các trục tọa độ O x và O y qua các điểm A và B và nhận được các điểm hình chiếu là: A x, A y, B x, B y. Dựa trên vị trí của các điểm A và B, có thể có thêm các tùy chọn sau:

Nếu điểm A và điểm B trùng nhau thì khoảng cách giữa chúng bằng không;

Nếu điểm A và điểm B nằm trên đường thẳng vuông góc với trục O x (trục abscissa) thì điểm trùng nhau và | A B | = | A y B y | . Vì khoảng cách giữa các điểm bằng môđun của hiệu số giữa các tọa độ của chúng nên A y B y = y B - y A, và do đó, A B = A y B y = y B - y A.

Nếu điểm A và điểm B nằm trên đường thẳng vuông góc với trục O y (trục y) - tương tự với đoạn trước: A B = A x B x = x B - x A

Nếu điểm A và điểm B không nằm trên đường thẳng vuông góc với một trong các trục tọa độ thì ta tìm khoảng cách giữa chúng bằng cách suy ra công thức tính:

Ta thấy tam giác A B C là tam giác vuông bằng cách dựng. Trong trường hợp này, A C = A x B x và B C = A y B y. Sử dụng định lý Pitago, ta lập đẳng thức: AB 2 = AC 2 + BC 2 ⇔ AB 2 = A x B x 2 + A y B y 2, sau đó biến đổi thành: AB = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Hãy rút ra kết luận từ kết quả thu được: khoảng cách từ điểm A đến điểm B trên mặt phẳng được xác định bằng phép tính theo công thức tọa độ của các điểm này

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Công thức kết quả cũng xác nhận các phát biểu đã hình thành trước đó đối với các trường hợp trùng khớp của các điểm hoặc các trường hợp khi các điểm nằm trên các đường thẳng vuông góc với các trục. Vì vậy, đối với trường hợp điểm A và B trùng nhau thì đẳng thức sẽ đúng: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Đối với trường hợp điểm A và B nằm trên đường thẳng vuông góc với trục x:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Đối với trường hợp điểm A và điểm B nằm trên đường thẳng vuông góc với trục y:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Dữ liệu ban đầu: Hệ trục tọa độ hình chữ nhật O x y z với các điểm tùy ý nằm trên đó có tọa độ cho trước là A (x A, y A, z A) và B (x B, y B, z B). Cần xác định khoảng cách giữa các điểm này.

Xét trường hợp tổng quát khi điểm A và điểm B không nằm trong mặt phẳng song song với một trong các mặt phẳng tọa độ. Vẽ qua các mặt phẳng A, B vuông góc với các trục tọa độ ta được các điểm chiếu tương ứng: A x, A y, A z, B x, B y, B z

Khoảng cách giữa hai điểm A và B là đường chéo của hộp kết quả. Theo cách dựng số đo của hình hộp này: A x B x, A y B y và A z B z

Từ khóa học hình học, người ta biết rằng bình phương đường chéo của một hình bình hành bằng tổng bình phương các kích thước của nó. Dựa vào câu lệnh này, chúng ta thu được đẳng thức: A B 2 \ u003d A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Sử dụng các kết luận thu được trước đó, chúng tôi viết như sau:

A x B x = x B - x A, A y B y = y B - y A, A z B z = z B - z A

Hãy biến đổi biểu thức:

AB 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Cuối cùng công thức xác định khoảng cách giữa các điểm trong không gian sẽ trông như thế này:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Công thức kết quả cũng hợp lệ cho các trường hợp:

Các dấu chấm phù hợp;

Chúng nằm trên cùng một trục tọa độ hoặc trên một đường thẳng song song với một trong các trục tọa độ.

Ví dụ về giải bài toán tìm khoảng cách giữa các điểm

ví dụ 1

Dữ liệu ban đầu: một đường tọa độ và các điểm nằm trên đó có tọa độ cho trước A (1 - 2) và B (11 + 2) được đưa ra. Cần tìm khoảng cách từ điểm quy chiếu O đến điểm A và giữa hai điểm A và B.

Giải pháp

Khoảng cách từ điểm tham chiếu đến điểm bằng môđun của tọa độ điểm này, tương ứng là O A \ u003d 1 - 2 \ u003d 2 - 1
Khoảng cách giữa các điểm A và B được xác định là môđun của hiệu số giữa các tọa độ của các điểm này: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Đáp số: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Ví dụ 2

Dữ liệu ban đầu: cho một hệ tọa độ hình chữ nhật và hai điểm nằm trên nó A (1, - 1) và B (λ + 1, 3). λ là một số thực. Cần tìm tất cả các giá trị của số này để khoảng cách A B bằng 5.

Giải pháp

Để tìm khoảng cách giữa hai điểm A và B, bạn phải sử dụng công thức A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Thay các giá trị thực của tọa độ, ta được: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Và chúng tôi cũng sử dụng điều kiện hiện tại rằng A B = 5 và sau đó đẳng thức sẽ đúng:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Đáp án: A B \ u003d 5 nếu λ \ u003d ± 3.

Ví dụ 3

Dữ liệu ban đầu: một không gian ba chiều trong hệ tọa độ hình chữ nhật O x y z và cho các điểm A (1, 2, 3) và B - 7, - 2, 4 nằm trong đó.

Giải pháp

Để giải bài toán, chúng ta sử dụng công thức A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Thay các giá trị thực vào ta được: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Trả lời: | A B | = 9

Nếu bạn nhận thấy lỗi trong văn bản, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter

CÂU HỎI LÝ THUYẾT

PHÂN TÍCH HÌNH HỌC TRÊN KẾ HOẠCH

1. Phương pháp tọa độ: trục số, tọa độ trên đoạn thẳng; hệ trục tọa độ Descartes (Descartes) trên mặt phẳng; tọa độ cực.

Chúng ta hãy nhìn vào một đường thẳng. Hãy chọn một hướng trên nó (sau đó nó sẽ trở thành một trục) và một số điểm 0 (gốc). Một đường thẳng có hướng và gốc đã chọn được gọi là đường tọa độ(trong trường hợp này, chúng tôi giả sử rằng đơn vị tỷ lệ được chọn).

Để cho được M là một điểm tùy ý trên đường tọa độ. Hãy đặt phù hợp với điểm M số thực x, bằng giá trị OM bộ phận : x = OM. Con số xđược gọi là tọa độ của điểm M.

Như vậy, mỗi điểm của đường tọa độ tương ứng với một số thực nhất định - tọa độ của nó. Điều ngược lại cũng đúng, mỗi số thực x tương ứng với một số điểm trên đường tọa độ, cụ thể là một điểm như vậy M, có tọa độ là x. Thư từ này được gọi là rõ ràng lẫn nhau.

Vì vậy, số thực có thể được biểu diễn bằng các điểm của đường tọa độ, tức là đường tọa độ đóng vai trò là hình ảnh của tập hợp tất cả các số thực. Do đó, tập hợp tất cả các số thực được gọi là dãy số, và bất kỳ số nào là một điểm của dòng này. Gần một điểm trên trục số, một số thường được chỉ ra - tọa độ của nó.

Hệ tọa độ hình chữ nhật (hoặc Descartes) trên một mặt phẳng.

Hai trục vuông góc với nhau Về x Và Về yđang có khởi đầu chung XUNG QUANH và cùng một đơn vị tỷ lệ, hình thức hệ tọa độ hình chữ nhật (hoặc Descartes) trên mặt phẳng.

Trục Ồđược gọi là trục x, trục OY- trục y. Chấm XUNG QUANH giao điểm của các trục được gọi là gốc tọa độ. Mặt phẳng mà các trục nằm trong đó Ồ Và OY, được gọi là mặt phẳng tọa độ và được ký hiệu là Ôi xy.

Vì vậy, một hệ trục tọa độ hình chữ nhật trên một mặt phẳng thiết lập sự tương ứng một - một giữa tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng và tập hợp các cặp số, từ đó có thể áp dụng phương pháp đại số khi giải các bài toán hình học. Các trục tọa độ chia mặt phẳng thành 4 phần, chúng được gọi là quý, Quảng trường hoặc phối hợp các góc.

Tọa độ cực.

Hệ tọa độ cực bao gồm một số điểm XUNG QUANHđã gọi cây sào, và chùm tia phát ra từ nó OEđã gọi trục cực. Ngoài ra, đơn vị tỷ lệ để đo độ dài của các đoạn được thiết lập. Cho một hệ tọa độ cực và cho M là một điểm tùy ý của mặt phẳng. Biểu thị bởi R- khoảng cách điểm M từ điểm XUNG QUANH, và thông qua φ - góc mà chùm được quay ngược chiều kim đồng hồ với trục cực để trùng với chùm OM.

tọa độ cựcđiểm M gọi các số R Và φ . Con số Rđược coi là tọa độ đầu tiên và được gọi là bán kính cực, con số φ - tọa độ thứ hai được gọi là góc cực.

Chấm M với tọa độ cực R Và φ được chỉ định như sau: М (; φ). Hãy thiết lập một kết nối giữa tọa độ cực của một điểm và tọa độ hình chữ nhật của nó.
Trong trường hợp này, chúng ta sẽ giả sử rằng gốc của hệ tọa độ hình chữ nhật là ở cực, và bán trục dương của abscissa trùng với trục cực.

Cho điểm M có tọa độ là hình chữ nhật X Và Y và tọa độ cực R Và φ .

(1)

Bằng chứng.

Thả từ các dấu chấm M 1 Và M 2đường vuông góc M 1 V Và M 1 A,. tại vì (x 2; y 2). Theo lý thuyết, nếu M 1 (x 1) Và M 2 (x 2) là hai điểm bất kỳ và α là khoảng cách giữa chúng, khi đó α = ‌‌‌‍‌‌ | x 2 - x 1 | .

Nếu một trong hai đầu của đoạn thẳng trùng với gốc tọa độ và đầu kia có tọa độ M (x M; y M) thì công thức tính d sẽ có dạng OM = √ (x M 2 + y M 2).

1. Tính khoảng cách giữa hai điểm đã cho, tọa độ của các điểm này

ví dụ 1.

Tìm độ dài đoạn thẳng nối hai điểm A (2; -5) và B (-4; 3) trên mặt phẳng tọa độ (Hình 1).

Giải pháp.

Điều kiện của bài toán đã cho là: x A = 2; x B \ u003d -4; y A = -5 và y B = 3. Tìm d.

Áp dụng công thức d \ u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), ta nhận được:

d \ u003d AB \ u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \ u003d 10.

2. Tính toạ độ của một điểm cách đều ba điểm đã cho.

Ví dụ 2

Tìm tọa độ điểm O 1 cách đều ba điểm A (7; -1) và B (-2; 2) và C (-1; -5).

Giải pháp.

O 1 A \ u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 V \ u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C \ u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Chúng tôi lập một hệ hai phương trình:

(√ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Sau khi bình phương vế trái và vế phải của phương trình, chúng ta viết:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \ u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Đơn giản hóa, chúng tôi viết

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

Giải hệ ta được: a = 2; b = -1.

Điểm O 1 (2; -1) cách đều ba điểm đã cho trong điều kiện không nằm trên một đường thẳng. Điểm này là tâm của một đường tròn đi qua ba điểm cho trước. (Hình 2).

3. Tính toán hoành độ (tọa độ) của một điểm nằm trên trục tọa độ (tọa độ) và cách điểm này một khoảng cho trước

Ví dụ 3

Khoảng cách từ điểm B (-5; 6) đến điểm A nằm trên trục x là 10. Tìm điểm A.

Giải pháp.

Từ công thức của điều kiện của bài toán mà hoành độ của điểm A bằng 0 và AB = 10.

Ký hiệu hoành độ của điểm từ A đến a, ta viết A (a; 0).

AB \ u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \ u003d √ ((a + 5) 2 + 36).

Ta nhận được phương trình √ ((a + 5) 2 + 36) = 10. Đơn giản hóa nó, ta có

a 2 + 10a - 39 = 0.

Nghiệm của phương trình này a 1 = -13; và 2 = 3.

Ta được hai điểm A 1 (-13; 0) và A 2 (3; 0).

Kiểm tra:

A 1 B \ u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \ u003d 10.

A 2 B \ u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \ u003d 10.

Cả hai điểm thu được đều phù hợp với điều kiện của bài toán (Hình 3).

4. Tính hoành độ (tọa độ) của một điểm nằm trên trục hoành độ (tọa độ) và ở cùng một khoảng cách từ hai điểm đã cho

Ví dụ 4

Tìm một điểm trên trục Oy có cùng khoảng cách với các điểm A (6; 12) và B (-8; 10).

Giải pháp.

Theo công thức d \ u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) ta tìm được:

O 1 A \ u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \ u003d √ (36 + (b - 12) 2);

O 1 V \ u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \ u003d √ (64 + (b - 10) 2).

Ta có phương trình √ (36 + (b - 12) 2) = √ (64 + (b - 10) 2) hoặc 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2.

Sau khi đơn giản hóa, ta được: b - 4 = 0, b = 4.

Yêu cầu của bài toán điểm O 1 (0; 4) (Hình 4).

5. Tính toạ độ của một điểm có cùng khoảng cách với các trục toạ độ và một điểm nào đó cho trước

Ví dụ 5

Tìm điểm M nằm trên mặt phẳng tọa độ cách các trục tọa độ một khoảng và cách điểm A (-2; 1).

Giải pháp.

Theo các điều kiện của bài toán thì MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = | -a |,

những, cái đó. | -a | = a.

Theo công thức d \ u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) ta tìm được:

MA \ u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

Hãy lập một phương trình:

√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

Sau khi bình phương và đơn giản hóa, ta có: a 2 - 6a + 5 = 0. Giải phương trình ta tìm được a 1 = 1; và 2 = 5.

Ta được hai điểm M 1 (-1; 1) và M 2 (-5; 5) thoả mãn điều kiện của bài toán.

6. Tính toán tọa độ của một điểm có cùng khoảng cách xác định từ trục abscissa (tọa độ) và từ điểm này

Ví dụ 6

Tìm điểm M sao cho khoảng cách từ trục y đến điểm A (8; 6) bằng 5.

Giải pháp.

Theo điều kiện của bài toán ta có MA = 5 và hoành độ của điểm M bằng 5. Để hoành độ của điểm M bằng b thì M (5; b) (Hình 6).

Theo công thức d \ u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) ta có:

MA \ u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

Hãy lập một phương trình:

Bạn có câu hỏi nào không? Không chắc chắn làm thế nào để tìm khoảng cách giữa hai điểm trên một mặt phẳng?
Để nhận được sự giúp đỡ của một gia sư - đăng ký.
Bài học đầu tiên là miễn phí!

trang web, với việc sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu, cần có liên kết đến nguồn.