Học cách lấy đạo hàm của các hàm.Đạo hàm đặc trưng cho tốc độ thay đổi của một hàm số tại một điểm nào đó nằm trên đồ thị của hàm số này. TẠI trường hợp này Biểu đồ có thể là một đường thẳng hoặc một đường cong. Nghĩa là, đạo hàm đặc trưng cho tốc độ thay đổi của hàm tại một thời điểm cụ thể. Nhớ lại quy tắc chung cho các dẫn xuất nào được thực hiện, và chỉ sau đó tiến hành bước tiếp theo.
- Đọc bài báo.
- Làm thế nào để lấy các đạo hàm đơn giản nhất, ví dụ, đạo hàm của một phương trình mũ, được mô tả. Các tính toán được trình bày trong các bước sau sẽ dựa trên các phương pháp được mô tả ở đó.
Học cách phân biệt các nhiệm vụ trong đó dốc nó được yêu cầu để tính toán thông qua đạo hàm của hàm số. Trong các nhiệm vụ, không phải lúc nào người ta cũng gợi ý tìm hệ số góc hoặc đạo hàm của một hàm số. Ví dụ, bạn có thể được yêu cầu tìm tốc độ thay đổi của một hàm tại điểm A (x, y). Bạn cũng có thể được yêu cầu tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A (x, y). Trong cả hai trường hợp, cần phải lấy đạo hàm của hàm số.
Lấy đạo hàm của hàm số đã cho. Bạn không cần phải xây dựng một đồ thị ở đây - bạn chỉ cần phương trình của hàm. Trong ví dụ của chúng tôi, lấy đạo hàm của hàm. Lấy đạo hàm theo các phương pháp nêu trong bài viết trên:
- Phát sinh:
Thay tọa độ của điểm đã cho bạn vào đạo hàm tìm được để tính hệ số góc.Đạo hàm của hàm số bằng hệ số góc tại một điểm nào đó. Nói cách khác, f "(x) là hệ số góc của hàm tại bất kỳ điểm nào (x, f (x)). Trong ví dụ của chúng ta:
- Tìm hệ số góc của hàm số f (x) = 2 x 2 + 6 x (\ displaystyle f (x) = 2x ^ (2) + 6x) tại điểm A (4,2).
- Đạo hàm hàm:
- f ′ (x) = 4 x + 6 (\ displaystyle f "(x) = 4x + 6)
- Thay giá trị của tọa độ x của điểm đã cho:
- f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\ displaystyle f "(x) = 4 (4) +6)
- Tìm hệ số góc:
- Độ dốc của hàm f (x) = 2 x 2 + 6 x (\ displaystyle f (x) = 2x ^ (2) + 6x) tại điểm A (4,2) là 22.
Nếu có thể, hãy kiểm tra câu trả lời của bạn trên biểu đồ. Hãy nhớ rằng hệ số góc không thể được tính toán tại mọi điểm. Phép tính vi phân cân nhắc chức năng phức tạp và các đồ thị phức tạp, trong đó không thể tính được độ dốc ở mọi điểm, và trong một số trường hợp, các điểm hoàn toàn không nằm trên đồ thị. Nếu có thể, hãy sử dụng máy tính vẽ đồ thị để kiểm tra xem hệ số góc của hàm cung cấp cho bạn có đúng hay không. Nếu không, hãy vẽ một tiếp tuyến với biểu đồ tại điểm đã cho và xem xét giá trị của độ dốc bạn tìm thấy có tương ứng với những gì bạn thấy trên biểu đồ hay không.
- Tiếp tuyến sẽ có cùng hệ số góc với đồ thị hàm số tại một điểm nào đó. Để vẽ một tiếp tuyến tại một điểm nhất định, hãy di chuyển sang phải / trái trên trục x (trong ví dụ của chúng tôi là 22 giá trị sang phải), sau đó lên một trên trục Y. Đánh dấu điểm, sau đó nối nó đến điểm bạn đã đưa ra. Trong ví dụ của chúng tôi, kết nối các điểm với tọa độ (4,2) và (26,3).
Trong chương trước đã chỉ ra rằng, bằng cách chọn một hệ tọa độ nào đó trên mặt phẳng, chúng ta có thể biểu diễn một cách phân tích các tính chất hình học đặc trưng cho các điểm của đường thẳng đang xét bằng phương trình giữa các tọa độ hiện tại. Do đó, chúng ta nhận được phương trình của đường thẳng. Trong chương này, các phương trình của đường thẳng sẽ được xem xét.
Để lập phương trình của một đường thẳng trong hệ tọa độ Descartes, bạn cần phải bằng cách nào đó thiết lập các điều kiện xác định vị trí của nó so với các trục tọa độ.
Trước tiên, chúng tôi xin giới thiệu khái niệm hệ số góc của đường thẳng, đây là một trong những đại lượng đặc trưng cho vị trí của đường thẳng trên mặt phẳng.
Gọi góc nghiêng của đường thẳng đối với trục Ox là góc mà trục Ox phải quay sao cho nó trùng với đường thẳng đã cho (hoặc quay ra song song với nó). Như thường lệ, chúng ta sẽ xem xét góc có tính đến dấu hiệu (dấu hiệu được xác định theo chiều quay: ngược chiều kim đồng hồ hoặc chiều kim đồng hồ). Vì việc quay thêm trục Ox một góc 180 ° sẽ lại kết hợp nó với đường thẳng, nên góc nghiêng của đường thẳng với trục có thể được chọn không rõ ràng (tối đa là bội số).
Tiếp tuyến của góc này được xác định duy nhất (vì khi thay đổi góc không làm thay đổi tiếp tuyến của nó).
Tiếp tuyến của góc nghiêng của một đường thẳng với trục x được gọi là hệ số góc của đường thẳng.
Hệ số góc đặc trưng cho phương của đường thẳng (ở đây chúng ta không phân biệt hai phương ngược chiều nhau của đường thẳng). Nếu hệ số góc của đường thẳng bằng 0, thì đường thẳng song song với trục x. Với hệ số góc dương, góc nghiêng của đường thẳng đối với trục Ox sẽ là góc nhọn (chúng ta đang xem xét ở đây giá trị dương nhỏ nhất của góc nghiêng) (Hình 39); trong trường hợp này, hệ số góc càng lớn thì góc nghiêng của nó so với trục Ox càng lớn. Nếu hệ số góc là âm thì góc nghiêng của đường thẳng với trục x sẽ là góc tù (Hình 40). Lưu ý rằng đường thẳng vuông góc với trục x không có hệ số góc (tiếp tuyến của một góc không tồn tại).
Hệ số góc thẳng. Trong bài này, chúng ta sẽ xem xét các nhiệm vụ liên quan đến mặt phẳng tọa độ có trong đề thi môn toán. Đây là những nhiệm vụ cho:
- xác định hệ số góc của đường thẳng, khi biết hai điểm mà nó đi qua;
- xác định hoành độ hoặc hoành độ của giao điểm của hai đường trên mặt phẳng.
Abscissa và tọa độ của một điểm là gì đã được mô tả trong phần này. Trong đó, chúng ta đã xem xét một số vấn đề liên quan đến mặt phẳng tọa độ. Cần hiểu gì về loại nhiệm vụ đang được xem xét? Một chút lý thuyết.
Phương trình của một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ có dạng:
ở đâu k – đây là hệ số góc của đường thẳng.
Giây phút tiếp theo! Hệ số góc của đường thẳng bằng tiếp tuyến của hệ số góc của đường thẳng. Đây là góc giữa đường thẳng đã cho và trụcOh.
Nó nằm giữa 0 và 180 độ.
Tức là, nếu chúng ta rút gọn phương trình của một đường thẳng về dạng y = kx + b, sau đó xa hơn chúng ta luôn có thể xác định hệ số k (hệ số góc).
Ngoài ra, nếu chúng ta có thể xác định tiếp tuyến của hệ số góc của đường thẳng dựa trên điều kiện, thì chúng ta sẽ tìm được hệ số góc của nó.
Thời điểm lý thuyết tiếp theo!Phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm cho trước.Công thức có dạng như sau:
Hãy xem xét các nhiệm vụ (tương tự như các nhiệm vụ từ ngân hàng nhiệm vụ mở):
Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm có tọa độ (–6; 0) và (0; 6).
Trong bài toán này, cách giải hợp lý nhất là tìm tiếp tuyến của góc giữa trục x và đường thẳng đã cho. Biết rằng nó bằng hệ số góc. Xét một tam giác vuông được tạo thành bởi một đường thẳng và các trục x và y:
Tiếp tuyến của một góc trong tam giác vuông là tỷ lệ của chân đối diện với chân liền kề:
* Cả hai chân đều bằng sáu (đây là độ dài của chúng).
Tất nhiên, nhiệm vụ này có thể được giải bằng cách sử dụng công thức tìm phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm cho trước. Nhưng nó sẽ là một con đường giải pháp dài hơn.
Trả lời 1
Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm có tọa độ (5; 0) và (0; 5).
Điểm của ta có tọa độ (5; 0) và (0; 5). Có nghĩa,
Hãy đưa công thức về dạng y = kx + b
Chúng tôi nhận được rằng hệ số góc k = – 1.
Trả lời 1
Dài mộtđi qua các điểm có tọa độ (0; 6) và (8; 0). Dài bđi qua điểm có tọa độ (0; 10) và song song với đường một b có trục con bò.
Trong bài toán này, bạn có thể tìm phương trình của một đường thẳng một, xác định độ dốc cho nó. Đường thẳng bđộ dốc sẽ giống nhau vì chúng song song. Tiếp theo, bạn có thể tìm phương trình của một đường thẳng b. Và sau đó, thay giá trị y = 0 vào nó, tìm abscissa. NHƯNG!
Trong trường hợp này, sử dụng tính chất đồng dạng tam giác sẽ dễ dàng hơn.
Các tam giác vuông được tạo thành bởi các đường tọa độ (song song) đã cho là đồng dạng, có nghĩa là tỉ số các cạnh tương ứng của chúng bằng nhau.
Áp suất mong muốn là 40/3.
Trả lời: 40/3
Dài mộtđi qua các điểm có tọa độ (0; 8) và (–12; 0). Dài bđi qua điểm có tọa độ (0; -12) và song song với đường một. Tìm hoành độ của giao điểm của đường thẳng b có trục con bò.
Đối với bài toán này, cách giải hợp lý nhất là sử dụng tính chất đồng dạng của tam giác. Nhưng chúng tôi sẽ giải quyết nó theo một cách khác.
Chúng tôi biết các điểm mà đường thẳng đi qua một. Chúng ta có thể viết phương trình của một đường thẳng. Công thức phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước là:
Theo điều kiện, các điểm có tọa độ (0; 8) và (–12; 0). Có nghĩa,
Hãy nhớ lại y = kx + b:
Có góc đó k = 2/3.
* Hệ số góc có thể được tìm thấy thông qua tiếp tuyến của góc trong một tam giác vuông với các chân 8 và 12.
Ta biết rằng các đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau. Vậy phương trình đường thẳng đi qua điểm (0; -12) có dạng:
Tìm giá trị b chúng ta có thể thay thế abscissa và sắp xếp thành phương trình:
Vì vậy, dòng trông giống như:
Bây giờ, để tìm abscissa mong muốn của giao điểm của đường thẳng với trục x, bạn cần thay thế y \ u003d 0:
Trả lời: 18
Tìm hoành độ của giao điểm của trục oy và một đường thẳng đi qua điểm B (10; 12) và một đường thẳng song song đi qua gốc tọa độ và điểm A (10; 24).
Hãy tìm phương trình của đường thẳng đi qua các điểm có tọa độ (0; 0) và (10; 24).
Công thức phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước là:
Điểm của ta có tọa độ (0; 0) và (10; 24). Có nghĩa,
Hãy nhớ lại y = kx + b
Hệ số góc của các đường thẳng song song bằng nhau. Do đó, phương trình đường thẳng đi qua điểm B (10; 12) có dạng:
Nghĩa b chúng ta tìm được bằng cách thay tọa độ của điểm B (10; 12) vào phương trình này:
Chúng tôi có phương trình của một đường thẳng:
Để tìm hoành độ giao điểm của đường thẳng này với trục OU phải được thay thế vào phương trình tìm được X= 0:
* Giải pháp dễ dàng nhất. Với sự trợ giúp của phép dịch song song, chúng tôi chuyển dòng này xuống dọc theo trục OUđến điểm (10; 12). Sự dịch chuyển xảy ra bởi 12 đơn vị, nghĩa là, điểm A (10; 24) "đi qua" điểm B (10; 12) và điểm O (0; 0) "đi qua" điểm (0; –12). Vì vậy, đường kết quả sẽ giao với trục OU tại điểm (0; –12).
Giới hạn mong muốn là -12.
Trả lời: -12
Tìm hoành độ của giao điểm của đường thẳng cho bởi phương trình
3x + 2y = 6, với trục Oy.
Tọa độ giao điểm của đường thẳng đã cho với trục OU có dạng (0; tại). Thay thế abscissa vào phương trình X= 0 và tìm hoành độ:
Thứ tự của giao điểm của một đường với một trục OU bằng 3.
* Hệ thống đang được giải quyết:
Trả lời: 3
Tìm hoành độ của giao điểm của các đường được cho bởi phương trình
3x + 2y = 6 và y = - x.
Khi cho hai đường thẳng và câu hỏi về tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng này, hệ phương trình này được giải:
Trong phương trình đầu tiên, chúng ta thay thế - X thay vì tại:
Giới hạn là trừ sáu.
Câu trả lời: – 6
Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm có tọa độ (–2; 0) và (0; 2).
Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm có tọa độ (2; 0) và (0; 2).
Đường thẳng a đi qua các điểm có tọa độ (0; 4) và (6; 0). Đường thẳng b đi qua điểm có tọa độ (0; 8) và song song với đường thẳng a. Tìm hoành độ của giao điểm của đường thẳng b với trục x.
Tìm hoành độ giao điểm của trục y với đường thẳng đi qua điểm B (6; 4) và đường thẳng song song đi qua gốc tọa độ và điểm A (6; 8).
1. Cần hiểu rõ rằng hệ số góc của đường thẳng bằng tiếp tuyến của hệ số góc của đường thẳng. Điều này sẽ giúp bạn trong việc giải quyết nhiều vấn đề của loại này.
2. Phải nắm được công thức tìm đường thẳng đi qua hai điểm cho trước. Với sự trợ giúp của nó, bạn luôn có thể tìm ra phương trình của một đường thẳng nếu tọa độ của hai điểm của nó được cho trước.
3. Hãy nhớ rằng hệ số góc của các đường thẳng song song bằng nhau.
4. Như bạn đã hiểu, trong một số bài toán, việc sử dụng dấu đồng dạng của các tam giác sẽ rất tiện lợi. Các vấn đề được giải quyết một cách thực tế bằng miệng.
5. Các nhiệm vụ trong đó hai đường được đưa ra và yêu cầu tìm hoành độ hoặc hoành độ của giao điểm của chúng có thể được giải quyết bằng đồ thị. Đó là, xây dựng chúng trên mặt phẳng tọa độ (trên một trang tính trong một ô) và xác định giao điểm một cách trực quan. * Nhưng không phải lúc nào phương pháp này cũng có thể áp dụng được.
6. Và cuối cùng. Nếu một đường thẳng và tọa độ của các giao điểm của nó với các trục tọa độ được đưa ra, thì trong các bài toán này, việc tìm hệ số góc thông qua việc tìm tiếp tuyến của góc trong tam giác vuông tạo thành sẽ rất thuận tiện. Cách "xem" hình tam giác này để biết các cách sắp xếp khác nhau của các đường trên mặt phẳng được thể hiện dưới dạng giản đồ:
>> Góc nghiêng dòng từ 0 đến 90 độ<<
>> Góc đường thẳng từ 90 đến 180 độ<<
Đó là tất cả. Chúc bạn may mắn!
Trân trọng, Alexander.
P.S: Tôi sẽ rất biết ơn nếu bạn kể về trang web trên mạng xã hội.
Việc tiếp tục chuyên đề phương trình đường thẳng trên mặt phẳng dựa trên cơ sở nghiên cứu phương trình đường thẳng từ các bài học đại số. Bài viết này cung cấp thông tin khái quát về chủ đề của phương trình của một đường thẳng với một hệ số góc. Xem xét các định nghĩa, nhận được chính phương trình, phát hiện mối quan hệ với các loại phương trình khác. Mọi thứ sẽ được thảo luận trên các ví dụ về giải quyết vấn đề.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Trước khi viết phương trình, cần xác định góc nghiêng của đường thẳng đối với trục O x bằng hệ số góc của chúng. Giả sử rằng một hệ tọa độ Descartes O x được cho trên mặt phẳng.
Định nghĩa 1
Góc nghiêng của đường thẳng với trục O x, nằm trong hệ tọa độ Descartes O x y trên mặt phẳng, đây là góc đo từ chiều dương O x đến đường thẳng ngược chiều kim đồng hồ.
Khi một đường thẳng song song với Ox hoặc xảy ra sự trùng hợp trong nó thì góc nghiêng bằng 0. Khi đó góc nghiêng của đường thẳng α đã cho xác định trên khoảng [0, π).
Định nghĩa 2
Độ dốc của một đường thẳng là tiếp tuyến của hệ số góc của đường thẳng đã cho.
Kí hiệu chuẩn là k. Từ định nghĩa, chúng ta nhận được rằng k = t g α. Khi đường thẳng song song với Ox, hệ số góc được cho là không tồn tại vì nó đi đến vô cùng.
Hệ số góc dương khi đồ thị của hàm số đang tăng và ngược lại. Hình bên cho thấy các biến thể khác nhau của vị trí của góc vuông so với hệ tọa độ với giá trị của hệ số.
Để tìm góc này, cần áp dụng định nghĩa của hệ số góc và tính tang của góc nghiêng trong mặt phẳng.
Dung dịch
Từ điều kiện ta có α = 120 °. Theo định nghĩa, bạn cần tính toán độ dốc. Hãy tìm nó từ công thức k = t g α = 120 = - 3.
Câu trả lời: k = - 3 .
Nếu hệ số góc đã biết nhưng cần tìm góc nghiêng của trục x thì cần tính đến giá trị của hệ số góc. Nếu k> 0 thì góc vuông là góc nhọn và được tìm bằng công thức α = a r c t g k. Nếu k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .
Ví dụ 2
Xác định góc nghiêng của đường thẳng đã cho đối với O x có hệ số góc bằng 3.
Dung dịch
Từ điều kiện ta có hệ số góc dương, nghĩa là góc nghiêng so với O x nhỏ hơn 90 độ. Các phép tính được thực hiện theo công thức α = a r c t g k = a r c t g 3.
Đáp số: α = a r c t g 3.
Ví dụ 3
Tìm góc nghiêng của đường thẳng đối với trục O x, nếu hệ số góc = - 1 3.
Dung dịch
Nếu chúng ta lấy ký tự k là ký hiệu của hệ số góc, thì α là góc nghiêng của đường thẳng đã cho theo chiều dương O x. Do đó k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:
α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.
Câu trả lời: 5 số pi 6.
Phương trình có dạng y \ u003d k x + b, với k là hệ số góc và b là một số thực nào đó, được gọi là phương trình của đường thẳng có hệ số góc. Phương trình đặc trưng cho mọi đường thẳng không song song với trục O y.
Nếu chúng ta xem xét chi tiết một đường thẳng trên một mặt phẳng trong một hệ tọa độ cố định, được cho bởi một phương trình có hệ số góc giống như y \ u003d k x + b. Trong trường hợp này, nó có nghĩa là tọa độ của bất kỳ điểm nào trên đường thẳng tương ứng với phương trình. Nếu chúng ta thay tọa độ của điểm M, M 1 (x 1, y 1) vào phương trình y \ u003d k x + b, thì trong trường hợp này đường thẳng sẽ đi qua điểm này, nếu không thì điểm đó không thuộc về hàng.
Ví dụ 4
Cho đường thẳng có hệ số góc y = 1 3 x - 1. Tính xem điểm M 1 (3, 0) và M 2 (2, - 2) có thuộc đường thẳng đã cho hay không.
Dung dịch
Thay tọa độ điểm M 1 (3, 0) vào phương trình đã cho ta được 0 = 1 3 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Đẳng thức đúng nên điểm thuộc đường thẳng.
Nếu ta thay toạ độ của điểm M vào (2, - 2) thì ta được một đẳng thức sai có dạng - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Ta có thể kết luận điểm M 2 không thuộc đoạn thẳng.
Câu trả lời: M 1 thuộc đoạn thẳng, nhưng M 2 thì không.
Biết rằng đường thẳng được xác định bởi phương trình y = k · x + b đi qua M 1 (0, b), phép thay thế thu được một đẳng thức có dạng b = k · 0 + b ⇔ b = b. Từ đó ta có thể kết luận rằng phương trình của đường thẳng có hệ số góc y = k · x + b trên mặt phẳng xác định đường thẳng đi qua điểm 0, b. Nó tạo với mặt phẳng một góc α với chiều dương của trục O x, tại đây k = t g α.
Ví dụ, hãy xem xét một đường thẳng được xác định bằng cách sử dụng hệ số góc có dạng y = 3 · x - 1. Ta được đường thẳng đi qua điểm có tọa độ 0, - 1 với hệ số góc α = a r c t g 3 = π 3 radian dọc theo chiều dương của trục O x. Từ đó có thể thấy rằng hệ số là 3.
Phương trình của đường thẳng có hệ số góc đi qua một điểm cho trước
Giải một bài toán cần lập phương trình của đường thẳng có hệ số góc cho trước đi qua điểm M 1 (x 1, y 1).
Đẳng thức y 1 = k · x + b có thể được coi là hợp lệ vì đường thẳng đi qua điểm M 1 (x 1, y 1). Để loại bỏ số b, cần phải trừ phương trình với hệ số góc ở hai bên trái và phải. Từ đó suy ra y - y 1 = k · (x - x 1). Đẳng thức này được gọi là phương trình của đường thẳng có hệ số góc k cho trước, đi qua tọa độ của điểm M 1 (x 1, y 1).
Ví dụ 5
Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M 1 có tọa độ (4, - 1), có hệ số góc bằng - 2.
Dung dịch
Theo điều kiện, chúng ta có x 1 \ u003d 4, y 1 \ u003d - 1, k \ u003d - 2. Từ đây, phương trình của đường thẳng sẽ được viết theo cách này y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7.
Câu trả lời: y = - 2 x + 7.
Ví dụ 6
Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc đi qua điểm M 1 có tọa độ (3, 5) song song với đường thẳng y \ u003d 2 x - 2.
Dung dịch
Theo điều kiện, chúng ta có các đường thẳng song song có các góc nghiêng trùng nhau, do đó hệ số góc bằng nhau. Để tìm hệ số góc từ phương trình này, bạn cần nhớ công thức cơ bản của nó là y \ u003d 2 x - 2, ngụ ý rằng k \ u003d 2. Chúng tôi lập một phương trình với hệ số góc và nhận được:
y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1
Câu trả lời: y = 2 x - 1 .
Sự chuyển từ dạng phương trình của đường thẳng có hệ số góc sang dạng phương trình của đường thẳng và ngược lại
Một phương trình như vậy không phải lúc nào cũng có thể áp dụng để giải các bài toán, vì nó có ký hiệu không thuận tiện cho lắm. Để làm được điều này, nó phải được trình bày dưới một hình thức khác. Ví dụ, một phương trình dạng y = k · x + b không cho phép bạn viết ra tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng hoặc tọa độ của vectơ pháp tuyến. Để làm được điều này, bạn cần học cách biểu diễn các phương trình thuộc một loại khác.
Chúng ta có thể nhận được phương trình chính tắc một đường thẳng trong một mặt phẳng sử dụng phương trình của một đường thẳng với hệ số góc. Ta được x - x 1 a x = y - y 1 a y. Cần chuyển thuật ngữ b sang bên trái và chia cho biểu thức của bất đẳng thức thu được. Khi đó ta nhận được phương trình dạng y = k x + b ⇔ y - b = k x ⇔ k x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.
Phương trình của đường thẳng có hệ số góc đã cho trở thành phương trình chính tắc của đường thẳng đã cho.
Ví dụ 7
Đưa phương trình đường thẳng có hệ số góc y = - 3 x + 12 về dạng chính tắc.
Dung dịch
Ta tính toán và biểu diễn dưới dạng một phương trình chính tắc của một đường thẳng. Chúng tôi nhận được một phương trình có dạng:
y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3
Đáp số: x 1 = y - 12 - 3.
Phương trình tổng quát của một đường thẳng là dễ dàng nhất để có được từ y = k x + b, nhưng điều này đòi hỏi các phép biến đổi: y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0. Một quá trình chuyển đổi được thực hiện từ phương trình tổng quát của một đường thẳng sang các phương trình thuộc loại khác.
Ví dụ 8
Phương trình của một đường thẳng có dạng y = 1 7 x - 2 được cho. Tìm xem vectơ có tọa độ a → = (- 1, 7) có phải là vectơ đường thẳng pháp tuyến không?
Dung dịch
Để giải nó, cần phải chuyển sang một dạng khác của phương trình này, đối với điều này, chúng tôi viết:
y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0
Các hệ số đứng trước các biến là tọa độ của vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Hãy viết nó như thế này n → = 1 7, - 1, do đó 1 7 x - y - 2 = 0. Rõ ràng là vectơ a → = (- 1, 7) thẳng hàng với vectơ n → = 1 7, - 1, vì chúng ta có quan hệ công bằng a → = - 7 · n →. Theo đó vectơ gốc a → = - 1, 7 là vectơ pháp tuyến của đường thẳng 1 7 x - y - 2 = 0, có nghĩa là nó được coi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng y = 1 7 x - 2.
Câu trả lời: Là
Hãy giải quyết vấn đề ngược lại với vấn đề này.
Cần chuyển từ nhìn chung phương trình A x + B y + C = 0, trong đó B ≠ 0, thành phương trình hệ số góc. Để làm điều này, chúng tôi giải phương trình cho y. Ta được A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B.
Kết quả là một phương trình có hệ số góc bằng - A B.
Ví dụ 9
Phương trình đường thẳng có dạng 2 3 x - 4 y + 1 = 0 được cho. Nhận phương trình của một đường thẳng cho trước với hệ số góc.
Dung dịch
Dựa vào điều kiện cần giải y ta được phương trình có dạng:
2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4.
Đáp số: y = 1 6 x + 1 4.
Theo cách tương tự, một phương trình có dạng x a + y b \ u003d 1 được giải, được gọi là phương trình của một đường thẳng trong các đoạn hay dạng chính tắc x - x 1 a x \ u003d y - y 1 a y. Cần phải giải nó theo y, chỉ khi đó chúng ta mới có được một phương trình có hệ số góc:
x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a x + b.
Phương trình chính tắc có thể được rút gọn về dạng có hệ số góc. Đối với điều này:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a x y = a y x - a y x 1 + a x y 1 ⇔ y = a y a x x - a y a x x 1 + y 1
Ví dụ 10
Có một đường thẳng cho bởi phương trình x 2 + y - 3 = 1. Đưa về dạng phương trình có hệ số góc.
Dung dịch.
Dựa vào điều kiện cần biến đổi ta được phương trình có dạng _formula_. Cả hai vế của phương trình nên được nhân với -3 để có được phương trình hệ số góc cần thiết. Chuyển đổi, chúng tôi nhận được:
y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 y - 3 = - 3 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3.
Câu trả lời: y = 3 2 x - 3.
Ví dụ 11
Phương trình đường thẳng có dạng x - 2 2 \ u003d y + 1 5 được đưa về dạng có hệ số góc.
Dung dịch
Cần tính biểu thức x - 2 2 = y + 1 5 dưới dạng tỉ lệ. Ta nhận được rằng 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1). Bây giờ bạn cần phải kích hoạt hoàn toàn nó, vì điều này:
5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x
Đáp số: y = 5 2 x - 6.
Để giải quyết các nhiệm vụ như vậy, phương trình tham số của đường thẳng có dạng x \ u003d x 1 + a x λ y \ u003d y 1 + a y λ phải được rút gọn thành phương trình chính tắc của đường thẳng, chỉ sau đó bạn có thể tiến tới phương trình với hệ số góc.
Ví dụ 12
Tìm hệ số góc của đường thẳng nếu nó được cho bởi phương trình tham số x = λ y = - 1 + 2 · λ.
Dung dịch
Bạn cần chuyển từ chế độ xem tham số sang chế độ xem độ dốc. Để làm điều này, chúng tôi tìm phương trình chính tắc từ một tham số đã cho:
x = λ y = - 1 + 2 λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2.
Bây giờ cần phải giải quyết đẳng thức này đối với y để có được phương trình của một đường thẳng với hệ số góc. Để làm điều này, chúng tôi viết theo cách này:
x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1
Theo đó hệ số góc của đường thẳng bằng 2. Điều này được viết là k = 2.
Câu trả lời: k = 2.
Nếu bạn nhận thấy một sai sót trong văn bản, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter
Chương trình toán học này tìm phương trình của tiếp tuyến với đồ thị của hàm \ (f (x) \) tại một điểm do người dùng chỉ định \ (a \).
Chương trình không chỉ hiển thị phương trình tiếp tuyến mà còn hiển thị quá trình giải bài toán.
Máy tính trực tuyến này có thể hữu ích cho học sinh trung học trường giáo dục phổ thông chuẩn bị cho Công việc kiểm soát và các kỳ thi, khi kiểm tra kiến thức trước kỳ thi, phụ huynh phải kiểm soát lời giải của nhiều bài toán toán và đại số. Hoặc có thể quá đắt để bạn thuê một gia sư hoặc mua sách giáo khoa mới? Hay bạn chỉ muốn hoàn thành nó càng sớm càng tốt? bài tập về nhà toán học hay đại số? Trong trường hợp này, bạn cũng có thể sử dụng các chương trình của chúng tôi với một giải pháp chi tiết.
Bằng cách này, bạn có thể tiến hành đào tạo của chính mình và / hoặc đào tạo các em trai hoặc em gái của bạn, trong khi trình độ học vấn trong lĩnh vực nhiệm vụ cần giải quyết được tăng lên.
Nếu bạn cần tìm đạo hàm của một hàm, thì chúng ta có nhiệm vụ Tìm Đạo hàm.
Nếu bạn không quen thuộc với các quy tắc giới thiệu các chức năng, chúng tôi khuyên bạn nên tự làm quen với chúng.
Nhập biểu thức hàm \ (f (x) \) và số \ (a \) Tìm phương trình tiếp tuyến Người ta thấy rằng một số tập lệnh cần thiết để giải quyết công việc này đã không được tải và chương trình có thể không hoạt động.
Bạn có thể đã bật AdBlock.
Trong trường hợp này, hãy tắt nó và làm mới trang.
JavaScript phải được kích hoạt để giải pháp xuất hiện.
Dưới đây là hướng dẫn về cách bật JavaScript trong trình duyệt của bạn.
Tại vì Có rất nhiều người muốn giải quyết vấn đề, yêu cầu của bạn xếp hàng.
Sau một vài giây, giải pháp sẽ xuất hiện bên dưới.
Làm ơn chờ giây ...
nếu bạn nhận thấy một lỗi trong giải pháp, sau đó bạn có thể viết về nó trong Biểu mẫu phản hồi.
Đừng quên cho biết nhiệm vụ nào bạn quyết định điều gì nhập vào các lĩnh vực.
Trò chơi, câu đố, trình giả lập của chúng tôi:
Một chút lý thuyết.
Độ dốc của một đường thẳng
Nhớ lại rằng đồ thị của hàm tuyến tính \ (y = kx + b \) là một đường thẳng. Số \ (k = tg \ alpha \) được gọi là độ dốc của một đường thẳng và góc \ (\ alpha \) là góc giữa đường thẳng này và trục Ox
Nếu \ (k> 0 \), thì \ (0 Nếu \ (k Phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số
Nếu điểm M (a; f (a)) thuộc đồ thị của hàm số y \ u003d f (x) và nếu tại điểm này có thể kẻ tiếp tuyến với đồ thị của hàm số không vuông góc với trục abscissa thì từ ý nghĩa hình học của đạo hàm ta suy ra rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng f "(a). Tiếp theo, chúng ta sẽ phát triển một thuật toán để biên dịch phương trình của tiếp tuyến với đồ thị của một hàm số bất kỳ.
Cho hàm số y \ u003d f (x) và điểm M (a; f (a)) trên đồ thị của hàm số này; Hãy biết rằng f "(a) tồn tại. Hãy lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số đã cho trong điểm đã cho. Phương trình này, giống như phương trình của bất kỳ đường thẳng nào không song song với trục y, có dạng y = kx + b, vì vậy vấn đề là tìm giá trị của các hệ số k và b.
Mọi thứ đều rõ ràng với hệ số góc k: biết rằng k \ u003d f "(a). Để tính giá trị của b, chúng ta sử dụng thực tế là đường thẳng mong muốn đi qua điểm M (a; f (a)) . Điều này có nghĩa là nếu chúng ta thay tọa độ của điểm M vào phương trình của một đường thẳng, chúng ta nhận được đẳng thức đúng: \ (f (a) \ u003d ka + b \), tức là \ (b \ u003d f (a ) - ka \).
Nó vẫn là thay thế các giá trị tìm được của các hệ số k và b vào phương trình của một đường thẳng:
Chúng tôi đã nhận được phương trình của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số\ (y = f (x) \) tại điểm \ (x = a \).
Thuật toán tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \ (y = f (x) \)
1. Chỉ định abscissa của điểm tiếp xúc với chữ cái \ (a \)
2. Tính \ (f (a) \)
3. Tìm \ (f "(x) \) và tính \ (f" (a) \)
4. Thay các số tìm được \ (a, f (a), f "(a) \) vào công thức \ (y \ u003d f (a) + f" (a) (x-a) \)
Đang tải...