Pakume teile mugavat tasuta Interneti-kalkulaator ruutvõrrandite lahendamiseks. Saate kiiresti aru saada ja mõista, kuidas need lahendatakse, kasutades arusaadavaid näiteid.
Tootma lahendage ruutvõrrand võrgus, viige võrrand esmalt üldkujule:
ax2 + bx + c = 0
Täitke vormi väljad vastavalt:
Kuidas lahendada ruutvõrrandit
| Ruutvõrrandi lahendamine: | Juuretüübid: |
|
1.
Viige ruutvõrrand üldkujule: Ax 2 üldvaade +Bx+C=0 Näide: 3x - 2x 2 +1=-1 Vähenda kuni -2x 2 +3x+2=0 2.
Leiame diskrimineeriva D. 3.
Leiame võrrandi juured. |
1.
Päris juured. Ja. x1 ei võrdu x2-ga Olukord tekib siis, kui D>0 ja A ei ole 0. 2.
Tegelikud juured on samad. x1 võrdub x2 3.
Kaks keerulist juurt. x1=d+ei, x2=d-ei, kus i=-(1) 1/2 5.
Võrrandil on lõpmatu arv lahendeid. 6.
Võrrandil pole lahendeid. |
Algoritmi konsolideerimiseks on siin veel mõned illustreerivad näited ruutvõrrandite lahendustest.
Näide 1. Erinevate reaaljuurtega tavalise ruutvõrrandi lahendamine.
x 2 + 3x -10 = 0
Selles võrrandis
A = 1, B = 3, C = -10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
ruutjuur tähistatakse numbriga 1/2!
x1 \u003d (-B + D 1/2) / 2A \u003d (-3 + 7) / 2 = 2
x2 \u003d (-B-D 1/2) / 2A \u003d (-3-7) / 2 = -5
Kontrollimiseks asendame:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x -10 = x2 + 3x -10
Näide 2. Samade reaaljuurtega ruutvõrrandi lahendamine.
x 2 - 8x + 16 = 0
A = 1, B = -8, C = 16
D \u003d k 2 - AC \u003d 16 - 16 \u003d 0
X=-k/A=4
Asendaja
(x-4) * (x-4) \u003d (x-4) 2 \u003d X 2 - 8x + 16
Näide 3. Keeruliste juurtega ruutvõrrandi lahendamine.
13x 2 - 4x + 1 = 0
A = 1, B = -4, C = 9
D \u003d b 2 - 4AC \u003d 16 - 4 * 13 * 1 \u003d 16 - 52 \u003d -36
Diskriminant on negatiivne – juured on keerulised.
X1 \u003d (-B + D 1/2) / 2A \u003d (4 + 6i) / (2 * 13) \u003d 2/13 + 3i / 13
x2 \u003d (-B-D 1/2) / 2A \u003d (4-6i) / (2 * 13) \u003d 2 / 13-3i / 13
, kus I on -1 ruutjuur
Siin on tegelikult kõik ruutvõrrandite lahendamise võimalikud juhud.
Loodame, et meie Interneti-kalkulaator on teile väga kasulik.
Kui materjalist oli abi, saate seda teha
Selles artiklis õpime, kuidas lahendada bikvadraatilisi võrrandeid.
Niisiis, milliseid võrrandeid nimetatakse bikvadraatilisteks?
Kõik vormi võrrandid ah 4+
bx
2
+
c
= 0
, Kus a ≠ 0, mis on x 2 suhtes ruudukujulised ja nimetatakse bikvadraatilisteks võrrandid. Nagu näete, on see kirje ruutvõrrandiga väga sarnane, seega lahendame kaheosalised võrrandid nende valemite abil, mida kasutasime ruutvõrrandi lahendamisel.
Ainult meil on vaja sisestada uus muutuja, see tähendab, me tähistame x 2 teine muutuja, näiteks juures või t (või mõni muu ladina tähestiku täht).
Näiteks, lahendage võrrand x 4 + 4x 2 - 5 = 0.
Tähistage x 2
läbi juures
(x 2 = y
) ja saada võrrand y 2 + 4y - 5 = 0.
Nagu näete, teate juba, kuidas selliseid võrrandeid lahendada.
Lahendame saadud võrrandi:
D \u003d 4 2 - 4 (- 5) \u003d 16 + 20 \u003d 36, √D \u003d √36 \u003d 6.
y 1 = (‒ 4 - 6)/2 = - 10 /2 = - 5,
y 2 \u003d (- 4 + 6) / 2 = 2/2 \u003d 1.
Läheme tagasi meie muutuja x juurde.
Saime, et x 2 \u003d - 5 ja x 2 \u003d 1.
Märgime, et esimesel võrrandil pole lahendeid ja teine annab kaks lahendit: x 1 = 1 ja x 2 = –1. Olge ettevaatlik, et mitte kaotada negatiivset juurt (enamasti saavad nad vastuseks x = 1, mis pole õige).
Vastus:- 1 ja 1.
Teema paremaks mõistmiseks vaatame mõnda näidet.
Näide 1 Lahenda võrrand 2x4 - 5x2 + 3 = 0.
Olgu x 2 \u003d y, siis 2y 2 - 5y + 3 \u003d 0.
D = (‒ 5) 2 - 4 2 3 = 25 - 24 = 1, √D = √1 = 1.
y 1 \u003d (5–1) / (2 2) \u003d 4/4 \u003d 1, y 2 \u003d (5 + 1) / (2 2) \u003d 6/4 \u003d 1,5.
Seejärel x 2 \u003d 1 ja x 2 = 1,5.
Saame x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d - √1,5, x 4 \u003d √1,5.
Vastus: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.
Näide 2 Lahenda võrrand 2 x 4 + 5 x 2 + 2 = 0.
2a 2 + 5a + 2 = 0.
D = 5 2 - 4 2 2 = 25 - 16 = 9, √D = √9 = 3.
y 1 = (– 5 – 3)/(2 2) = – 8/4 = –2, y 2 = (–5 + 3)/(2 2) = – 2/4 = – 0,5.
Siis x 2 = - 2 ja x 2 = - 0,5. Pange tähele, et ühelgi neist võrranditest pole lahendust.
Vastus: lahendusi pole.
Mittetäielikud bikvadraatvõrrandid- on millal b = 0 (ax 4 + c = 0) või muidu c = 0
(ax 4 + bx 2 = 0) on lahendatud nagu mittetäielikud ruutvõrrandid.
Näide 3 lahendage võrrand x 4 – 25 x 2 = 0
Teguriseerime, võtame sulgudest välja x 2 ja seejärel x 2 (x 2 - 25) = 0.
Saame x 2 = 0 või x 2 - 25 \u003d 0, x 2 = 25.
Siis on meil juured 0; 5 ja -5.
Vastus: 0; 5; – 5.
Näide 4 lahendage võrrand 5x 4 - 45 = 0.
x 2 = - √9 (lahendusi pole)
x 2 \u003d √9, x 1 \u003d - 3, x 2 = 3.
Nagu näete, saate ruutvõrrandi lahendamise oskusega hakkama ka bikvadraatvõrranditega.
Kui teil on veel küsimusi, registreeruge minu tundidele. Juhendaja Valentina Galinevskaja.
saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.
Eesmärgid:
- Süstematiseerida ja üldistada teadmisi ja oskusi teemal: III ja neljanda astme võrrandite lahendused.
- Süvendada teadmisi, täites rida ülesandeid, millest osa ei ole tuttav ei oma tüübilt ega lahendusviisilt.
- Huvi kujundamine matemaatika vastu uute matemaatikapeatükkide uurimise kaudu, graafilise kultuuri harimine võrrandigraafikute koostamise kaudu.
Tunni tüüp: kombineeritud.
Varustus: graafikprojektor.
Nähtavus: tabel "Vieta teoreem".
Tundide ajal
1. Vaimne konto
a) Kui suur on polünoomi p n (x) \u003d a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 jagamise jääk binoomiga x-a?
b) Mitu juurt võib kuupvõrrandil olla?
c) Millise abiga lahendame kolmanda ja neljanda astme võrrandi?
d) Kui b on ruutvõrrandis paarisarv, siis mis on D ja x 1; x 2
2. Iseseisev töö (rühmades)
Koostage võrrand, kui juured on teada (ülesannete vastused on kodeeritud) Kasutage "Vieta teoreemi"
1 rühm
Juured: x 1 = 1; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 = 6
Kirjutage võrrand:
B=1-2-3+6=2; b = -2
c=-2-3+6+6-12-18=-23; c = -23
d = 6-12 + 36-18 = 12; d=-12
e=1(-2)(-3)6=36
x 4 -2 x 3 – 23 x 2 – 12 x + 36 = 0(see võrrand lahendatakse seejärel tahvli rühmas 2)
Lahendus . Otsime arvu 36 jagajate hulgast täisarvu juuri.
p = ±1; ±2; ±3; ±4; ±6…
p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Arv 1 rahuldab võrrandit, seega =1 on võrrandi juur. Horneri skeem
p 3 (x) = x 3 -x 2 -24x -36
p 3 (-2) \u003d -8 -4 +48 -36 \u003d 0, x 2 \u003d -2
p 2 (x) \u003d x 2 -3x -18 \u003d 0
x 3 \u003d -3, x 4 = 6
Vastus: 1; -2; -3; 6 juurte summa 2 (P)
2 rühma
Juured: x 1 \u003d -1; x 2 = x 3 = 2; x 4 \u003d 5
Kirjutage võrrand:
B=-1+2+2+5-8; b = -8
c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c = 15
D=-4-10+20-10=-4; d=4
e=2(-1)2*5=-20;e=-20
8 + 15 + 4x-20 \u003d 0 (3. rühm lahendab selle võrrandi tahvlil)
p = ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20.
p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8
p 4 (-1)=1+8+15-4-20=0
p 3 (x) \u003d x 3 -9x 2 + 24x -20
lk 3 (2) \u003d 8 -36 + 48 -20 \u003d 0
p 2 (x) \u003d x 2 -7x + 10 \u003d 0 x 1 = 2; x 2 \u003d 5
Vastus: -1;2;2;5 juurte summa 8(P)
3 grupp
Juured: x 1 \u003d -1; x2 =1; x 3 \u003d -2; x 4 \u003d 3
Kirjutage võrrand:
B=-1+1-2+3=1;b=-1
s=-1+2-3-2+3-6=-7, s=-7
D=2+6-3-6=-1; d=1
e=-1*1*(-2)*3=6
x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(see võrrand lahendatakse hiljem tahvlil rühma 4 kaupa)
Lahendus. Otsime arvu 6 jagajate hulgast täisarvu juuri.
p = ±1;±2;±3;±6
p 4 (1)=1-1-7+1+6=0
p 3 (x) = x 3 - 7x -6
p 3 (-1) \u003d -1 + 7-6 \u003d 0
p2 (x) = x2-x-6 = 0; x 1 \u003d -2; x 2 \u003d 3
Vastus: -1; 1; -2; 3 juurte summa 1 (O)
4 rühma
Juured: x 1 = -2; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 = -3
Kirjutage võrrand:
B = -2-2-3 + 3 = -4; b = 4
c=4+6-6+6-6-9=-5; c=-5
D=-12+12+18+18=36; d=-36
e=-2*(-2)*(-3)*3=-36; e=-36
x 4+4x 3 - 5x 2 - 36x -36 = 0(seda võrrandit lahendab tahvli rühm 5)
Lahendus. Arvu -36 jagajate hulgast otsime täisarvu juuri
p = ±1; ±2; ±3…
p(1) = 1 + 4-5-36-36 = -72
lk 4 (-2) \u003d 16 -32 -20 + 72 -36 \u003d 0
p 3 (x) \u003d x 3 + 2x 2 -9x-18 \u003d 0
p 3 (-2) \u003d -8 + 8 + 18-18 \u003d 0
p2 (x) = x2-9 = 0; x=±3
Vastus: -2; -2; -3; 3 juurte summa-4 (F)
5 rühm
Juured: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 = -4
Kirjutage võrrand
x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(selle võrrandi lahendab seejärel laua 6. rühm)
Lahendus . Otsime arvu 24 jagajate hulgast täisarvu juuri.
p = ±1, ±2, ±3
p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
p 3 (x) \u003d x- 3 + 9x 2 + 26x + 24 \u003d 0
p 3 (-2) \u003d -8 + 36-52 + 24 \u003d O
p 2 (x) \u003d x 2 + 7x + 12 \u003d 0
Vastus: -1; -2; -3; -4 summa-10 (I)
6 rühm
Juured: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 \u003d -3; x 4 = 8
Kirjutage võrrand
B=1+1-3+8=7;b=-7
c=1 -3+8-3+8-24= -13
D=-3-24+8-24=-43; d = 43
x 4 - 7x 3- 13x2 + 43x - 24 = 0 (selle võrrandi lahendab 1 rühm laual)
Lahendus . Arvu -24 jagajate hulgast otsime täisarvu juuri.
p 4 (1)=1-7-13+43-24=0
p 3 (1)=1-6-19+24=0
p 2 (x) \u003d x 2 -5x - 24 \u003d 0
x 3 \u003d -3, x 4 = 8
Vastus: 1; 1; -3; 8 summa 7 (L)
3. Võrrandite lahendamine parameetriga
1. Lahendage võrrand x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; kui üks juurtest on (-1)
Vastake kasvavas järjekorras
R = P3 (-1) = -1 + 3-m-15 = 0
x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0
Tingimuse järgi x 1 = - 1; D = 1 + 15 = 16
P 2 (x) \u003d x 2 + 2x-15 \u003d 0
x 2 = -1-4 \u003d -5;
x 3 \u003d -1 + 4 = 3;
Vastus: - 1; -5; 3
Kasvavas järjekorras: -5;-1;3. (b n s)
2. Leidke polünoomi x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6 kõik juured, kui selle binoomteks x-1 ja x + 2 jagunemise jäägid on võrdsed.
Lahendus: R \u003d R 3 (1) \u003d R 3 (-2)
P 3 (1) \u003d 1-3 + a- 2a + 6 \u003d 4-a
P 3 (-2) \u003d -8-12-2a-2a + 6 \u003d -14-4a
x 3 -3x 2 -6x + 12 + 6 \u003d x 3 -3x 2 -6x + 18
x 2 (x-3)-6 (x-3) = 0
(x-3) (x 2-6) = 0
3) a \u003d 0, x 2 -0 * x 2 +0 \u003d 0; x2 =0; x 4 \u003d 0
a = 0; x=0; x=1
a>0; x=1; x=a ± √a
2. Kirjutage võrrand
1 rühm. Juured: -4; -2; 1; 7;
2 rühma. Juured: -3; -2; 1; 2;
3 grupp. Juured: -1; 2; 6; 10;
4 rühma. Juured: -3; 2; 2; 5;
5 rühm. Juured: -5; -2; 2; 4;
6 rühm. Juured: -8; -2; 6; 7.
Laadimine...