) og nævneren ved nævneren (vi får produktets nævner).
Formel for brøkmultiplikation:
For eksempel:
Før du fortsætter med multiplikationen af tællere og nævnere, er det nødvendigt at kontrollere muligheden for brøkreduktion. Hvis du formår at reducere brøken, så bliver det nemmere for dig at fortsætte med at lave beregninger.
Division af en almindelig brøk med en brøk.
Division af brøker, der involverer et naturligt tal.
Det er ikke så skræmmende, som det ser ud til. Som ved addition omregner vi et heltal til en brøk med en enhed i nævneren. For eksempel:
Multiplikation af blandede fraktioner.
Regler for at gange brøker (blandet):
- konvertere blandede fraktioner til ukorrekte;
- gange tællere og nævnere af brøker;
- vi reducerer fraktionen;
- hvis vi får en uægte brøk, så konverterer vi den uægte brøk til en blandet.
Bemærk! For at gange en blandet brøk med en anden blandet brøk, skal du først bringe dem til formen ukorrekte fraktioner, og gange derefter med reglen om multiplikation af almindelige brøker.
Den anden måde at gange en brøk med et naturligt tal.
Det kan være mere praktisk at bruge den anden metode til at gange en almindelig brøk med et tal.
Bemærk! At gange en brøk med naturligt tal det er nødvendigt at dividere nævneren af brøken med dette tal og lade tælleren være uændret.
Fra ovenstående eksempel er det klart, at denne mulighed er mere praktisk at bruge, når nævneren af en brøk divideres uden en rest med et naturligt tal.
Brøker på flere niveauer.
I gymnasiet findes ofte tre-etagers (eller flere) brøker. Eksempel:
For at bringe en sådan brøk til sin sædvanlige form bruges division gennem 2 punkter:
Bemærk! Når man deler brøker, er rækkefølgen af division meget vigtig. Vær forsigtig, det er nemt at blive forvirret her.
Bemærk, for eksempel:
Når man dividerer en med en hvilken som helst brøk, vil resultatet være den samme brøk, kun omvendt:
Praktiske tips til at gange og dividere brøker:
1. Det vigtigste i arbejdet med brøkudtryk er nøjagtighed og opmærksomhed. Foretag alle beregninger omhyggeligt og præcist, koncentreret og klart. Det er bedre at skrive et par ekstra linjer ned i en kladde end at blive forvirret i beregningerne i dit hoved.
2. I opgaver med forskellige typer brøker - gå til form af almindelige brøker.
3. Vi reducerer alle fraktioner, indtil det ikke længere er muligt at reducere.
4. Vi bringer brøkudtryk på flere niveauer ind i almindelige udtryk ved hjælp af division gennem 2 punkter.
5. Vi deler enheden i en brøk i vores sind, blot ved at vende brøken om.
Sidste gang lærte vi at lægge til og trække brøker fra (se lektionen "Addition og subtraktion af brøker"). Det sværeste øjeblik i disse handlinger var at bringe brøker til fællesnævner.
Nu er det tid til at beskæftige sig med multiplikation og division. Den gode nyhed er, at disse operationer er endnu nemmere end addition og subtraktion. Til at begynde med skal du overveje det enkleste tilfælde, når der er to positive brøker uden en fornem heltal.
For at gange to brøker skal du gange deres tællere og nævnere hver for sig. Det første tal vil være tælleren for den nye brøk, og det andet vil være nævneren.
For at dividere to brøker skal du gange den første brøk med den "omvendte" anden.
Betegnelse:
Af definitionen følger, at divisionen af brøker reduceres til multiplikation. For at vende en brøk, skal du bare bytte tæller og nævner. Derfor vil hele lektionen overveje hovedsageligt multiplikation.
Som følge af multiplikation kan en reduceret brøk opstå (og ofte opstår) - selvfølgelig skal den reduceres. Hvis fraktionen efter alle reduktionerne viste sig at være forkert, skulle hele delen skelnes i den. Men hvad der præcist ikke vil ske med multiplikation, er reduktion til en fællesnævner: ingen tværgående metoder, maksimale faktorer og mindste fælles multipla.
Per definition har vi:
Multiplikation af brøker med en heltalsdel og negative brøker
Hvis der er en heltalsdel i brøkerne, skal de konverteres til ukorrekte - og først derefter ganges i henhold til skemaerne skitseret ovenfor.
Hvis der er et minus i tælleren af en brøk, i nævneren eller foran den, kan det tages ud af multiplikationsgrænserne eller fjernes helt efter følgende regler:
- Plus gange minus giver minus;
- To negativer giver en bekræftende.
Indtil nu har man kun stødt på disse regler, når man adderer og trækker negative brøker, hvor det var nødvendigt for at slippe af med hele delen. For et produkt kan de generaliseres for at "brænde" flere minusser på én gang:
- Vi krydser minusserne ud i par, indtil de helt forsvinder. I et ekstremt tilfælde kan et minus overleve - det, der ikke fandt en match;
- Hvis der ikke er minusser tilbage, er operationen fuldført - du kan begynde at gange. Hvis det sidste minus ikke er overstreget, da det ikke fandt et par, tager vi det ud af multiplikationsgrænserne. Du får en negativ brøkdel.
En opgave. Find værdien af udtrykket:
Vi oversætter alle brøker til ukorrekte, og så tager vi minusserne uden for multiplikationsgrænserne. Det tilbageværende ganges efter de sædvanlige regler. Vi får:
Lad mig igen minde dig om, at minus, der kommer før en brøk med en fremhævet heltalsdel, refererer specifikt til hele brøken, og ikke kun til dens heltalsdel (dette gælder for de sidste to eksempler).
Vær også opmærksom på negative tal: Når de ganges, er de indesluttet i parentes. Dette gøres for at adskille minusserne fra multiplikationstegnene og gøre hele notationen mere nøjagtig.
Reduktion af fraktioner i farten
Multiplikation er en meget besværlig operation. Tallene her er ret store, og for at forenkle opgaven kan du forsøge at reducere brøken endnu mere før multiplikation. Faktisk er tællere og nævnere af brøker almindelige faktorer, og derfor kan de reduceres ved at bruge den grundlæggende egenskab for en brøk. Tag et kig på eksemplerne:
En opgave. Find værdien af udtrykket:
Per definition har vi:
I alle eksempler er de tal, der er blevet reduceret, og hvad der er tilbage af dem markeret med rødt.
Bemærk venligst: i det første tilfælde blev multiplikatorerne reduceret fuldstændigt. Enheder forblev på deres plads, hvilket generelt kan udelades. I det andet eksempel var det ikke muligt at opnå en fuldstændig reduktion, men den samlede mængde af beregninger faldt alligevel.
Brug dog under ingen omstændigheder denne teknik, når du tilføjer og subtraherer brøker! Ja, nogle gange er der lignende tal, som du bare vil reducere. Se her:
Det kan du ikke!
Fejlen opstår på grund af, at når man tilføjer en brøk, optræder summen i tælleren af en brøk, og ikke produktet af tal. Derfor er det umuligt at anvende hovedegenskaben for en brøk, da denne egenskab specifikt handler om multiplikation af tal.
Der er simpelthen ingen anden grund til at reducere fraktioner, så den rigtige beslutning den forrige opgave ser sådan ud:
Den rigtige beslutning:
Som du kan se, viste det rigtige svar sig ikke at være så smukt. Generelt skal du være forsigtig.
At gange et helt tal med en brøk er en simpel opgave. Men der er finesser, som du sikkert har forstået i skolen, men som du siden har glemt.
Sådan ganges et heltal med en brøk - nogle få led
Hvis du husker, hvad tælleren og nævneren er, og hvordan en egen brøk adskiller sig fra en uægte, så spring dette afsnit over. Det er for dem, der helt har glemt teorien.
Tælleren er øverste del brøker er det, vi deler. Nævneren er den nederste. Det er det, vi deler.
En egenbrøk er en, hvis tæller er mindre end nævneren. En uægte brøk er en brøk, hvis tæller er større end eller lig med nævneren.
Sådan ganges et helt tal med en brøk
Reglen for at gange et heltal med en brøk er meget enkel - vi multiplicerer tælleren med hele tallet, og rører ikke nævneren. For eksempel: to ganget med en femtedel - vi får to femtedele. Fire gange tre sekstendedele er tolv sekstendedele.
Reduktion
I det andet eksempel kan den resulterende fraktion reduceres.
Hvad betyder det? Bemærk, at både tælleren og nævneren for denne brøk er delelige med fire. Divider begge tal med fælles divisor og kaldes - reducere brøken. Vi får tre kvarter.
Uægte brøker
Men antag, at vi gange fire gange to femtedele. Fik otte femtedele. Dette er den forkerte fraktion.
Det skal bringes til korrekte form. For at gøre dette skal du vælge en hel del fra den.
Her skal du bruge division med en rest. Vi får en og tre i resten.
En hel og tre femtedele er vores rigtige brøk.
At rette femogtredive ottendedele er lidt sværere. Det nærmeste tal på syvogtredive, der er deleligt med otte, er toogtredive. Ved deling får vi fire. Vi trækker toogtredive fra femogtredive - vi får tre. Udfald: fire hele og tre ottendedele.
Ligestilling mellem tæller og nævner. Og her er alt meget enkelt og smukt. Når tælleren og nævneren er ens, er resultatet kun én.
Almindelige brøktal møder først skolebørn i 5. klasse og ledsager dem gennem hele deres liv, da det i hverdagen ofte er nødvendigt at overveje eller bruge en genstand ikke helt, men i separate stykker. Begyndelsen af undersøgelsen af dette emne - del. Andele er lige dele hvori et objekt er opdelt. Det er trods alt ikke altid muligt at udtrykke for eksempel længden eller prisen på et produkt som et heltal; man bør tage hensyn til dele eller andele af ethvert mål. Dannet fra verbet "at knuse" - at opdele i dele og have arabiske rødder, i det VIII århundrede optrådte selve ordet "brøkdel" på russisk.
Brøkudtryk har længe været betragtet som den sværeste del af matematikken. I det 17. århundrede, da de første lærebøger i matematik dukkede op, blev de kaldt "brudte tal", hvilket var meget vanskeligt at vise i folks forståelse.
moderne look simple fraktionerede rester, hvoraf dele er adskilt præcist af en vandret linje, blev først bidraget til Fibonacci - Leonardo af Pisa. Hans skrifter er dateret 1202. Men formålet med denne artikel er enkelt og tydeligt at forklare læseren, hvordan multiplikationen af blandede brøker med forskellige nævnere.
Multiplikation af brøker med forskellige nævnere
I første omgang er det nødvendigt at bestemme sorter af fraktioner:
- korrekt;
- forkert;
- blandet.
Dernæst skal du huske, hvordan brøktal med de samme nævnere ganges. Selve reglen for denne proces er let at formulere uafhængigt: resultatet af at multiplicere simple brøker med de samme nævnere er et brøkudtryk, hvis tæller er produktet af tællere, og nævneren er produktet af disse brøkers nævnere. . Det vil sige, at den nye nævner i første omgang er kvadratet på en af de eksisterende.
Ved multiplikation simple brøker med forskellige nævnere for to eller flere faktorer ændres reglen ikke:
en/b * c/d = a*c / b*d.
Den eneste forskel er, at det dannede tal under brøklinjen vil være produktet af forskellige tal og selvfølgelig kvadratet af et numerisk udtryk det er umuligt at navngive det.
Det er værd at overveje multiplikationen af brøker med forskellige nævnere ved hjælp af eksempler:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Eksemplerne bruger måder at reducere brøkudtryk på. Du kan kun reducere tællerens tal med nævnerens numre; tilstødende faktorer over eller under brøklinjen kan ikke reduceres.
Sammen med simple brøktal er der begrebet blandede brøker. Et blandet tal består af et heltal og en brøkdel, det vil sige, at det er summen af disse tal:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Hvordan fungerer multiplikation?
Der er givet flere eksempler til overvejelse.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Eksemplet bruger multiplikationen af et tal med almindelig brøkdel, kan du skrive reglen for denne handling ned med formlen:
en * b/c = a*b /c.
Faktisk er et sådant produkt summen af identiske fraktionerede rester, og antallet af led indikerer dette naturlige tal. Særlig situation:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Der er en anden mulighed for at løse multiplikationen af et tal med en brøkrest. Du skal bare dividere nævneren med dette tal:
d* e/f = e/f: d.
Det er nyttigt at bruge denne teknik, når nævneren er divideret med et naturligt tal uden en rest eller, som man siger, helt.
Konverter blandede tal til uægte brøker og få produktet på den tidligere beskrevne måde:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Dette eksempel involverer en måde at repræsentere en blandet brøk som en uegentlig brøk, den kan også repræsenteres som en generel formel:
-en bc = a*b+ c / c, hvor nævneren for den nye brøk dannes ved at gange heltalsdelen med nævneren og lægge den til tælleren for den oprindelige brøkrest, og nævneren forbliver den samme.
Denne proces fungerer også omvendt. For at vælge heltalsdelen og brøkresten skal du dividere tælleren for en uægte brøk med dens nævner med et "hjørne".
Multiplikation af uægte brøker fremstillet på sædvanlig vis. Når indtastningen går under en enkelt brøklinje, efter behov, skal du reducere brøkerne for at reducere tallene ved hjælp af denne metode, og det er lettere at beregne resultatet.
Der er mange hjælpere på internettet til at løse selv komplekse matematiske problemer i forskellige variationer programmer. Et tilstrækkeligt antal af sådanne tjenester tilbyder deres hjælp til at tælle multiplikationen af brøker med forskellige tal i nævnere - de såkaldte online-beregnere til udregning af brøker. De er i stand til ikke kun at multiplicere, men også til at udføre alle andre simple regneoperationer med almindelige brøker og blandede tal. Det er ikke svært at arbejde med det, de tilsvarende felter er udfyldt på webstedssiden, tegnet på den matematiske handling er valgt, og "beregn" trykkes. Programmet tæller automatisk.
Emnet aritmetiske operationer med brøktal er relevant i hele uddannelsen af mellem- og seniorskolebørn. I gymnasiet overvejer de ikke længere den simpleste art, men heltalsbrøkudtryk, men kendskabet til reglerne for transformation og beregninger, opnået tidligere, anvendes i sin oprindelige form. Velindlært grundviden giver fuld tillid til god beslutning mest udfordrende opgaver.
Afslutningsvis giver det mening at citere Leo Tolstojs ord, der skrev: "Mennesket er en brøkdel. Det er ikke i menneskets magt at øge sin tæller - sine egne fortjenester, men enhver kan mindske sin nævner - sin mening om sig selv, og ved denne formindskelse komme tættere på sin fuldkommenhed.
Indlæser...