Tegn på delelighed naturlige tal.
Tal, der er delelige med 2 uden rest, kaldesogså selvom .
Tal, der ikke er lige delelige med 2, kaldesulige .
Tegn på delelighed med 2
Hvis posten af et naturligt tal ender med et lige ciffer, så er dette tal deleligt med 2 uden en rest, og hvis posten af et tal slutter med et ulige ciffer, så er dette tal ikke deleligt med 2 uden en rest.
For eksempel tallene 60 , 30 8 , 8 4 er delelige uden rest med 2, og tallene 51 , 8 5 , 16 7 er ikke delelige med 2 uden en rest.
Tegn på delelighed med 3
Hvis summen af cifrene i et tal er deleligt med 3, så er tallet også deleligt med 3; Hvis summen af cifrene i et tal ikke er deleligt med 3, så er tallet ikke deleligt med 3.
Lad os for eksempel finde ud af, om tallet 2772825 er deleligt med 3. For at gøre dette beregner vi summen af cifrene i dette tal: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - er deleligt med 3 Så tallet 2772825 er deleligt med 3.
Tegn på delelighed med 5
Hvis posten af et naturligt tal ender med 0 eller 5, så er dette tal deleligt med 5 uden rest. Hvis posten af et tal ender med et andet ciffer, kan tallet ikke divideres med 5 uden rest.
For eksempel nummer 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 er delelige uden rest med 5, og tallene 17 , 37 8 , 9 1 del ikke.
Tegn på delelighed med 9
Hvis summen af cifrene i et tal er deleligt med 9, så er tallet også deleligt med 9; Hvis summen af cifrene i et tal ikke er deleligt med 9, så er tallet ikke deleligt med 9.
Lad os for eksempel finde ud af, om tallet 5402070 er deleligt med 9. For at gøre dette beregner vi summen af cifrene i dette tal: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - er ikke deleligt med 9. Det betyder, at tallet 5402070 ikke er deleligt med 9.
Tegn på delelighed med 10
Hvis posten af et naturligt tal ender med cifferet 0, så er dette tal deleligt uden en rest med 10. Hvis posten af et naturligt tal slutter med et andet ciffer, så er det ikke deleligt med 10 uden en rest.
For eksempel tallene 40 , 17 0 , 1409 0 er delelige uden rest med 10, og tallene 17 , 9 3 , 1430 7 - del ikke.
Reglen for at finde den største fælles divisor (gcd).
For at finde den største fælles divisor af flere naturlige tal skal du:
2) fra de faktorer, der er inkluderet i udvidelsen af et af disse tal, skal du strege dem ud, der ikke er inkluderet i udvidelsen af andre numre;
3) find produktet af de resterende faktorer.
Eksempel. Lad os finde GCD (48;36). Lad os bruge reglen.
1. Vi opdeler tallene 48 og 36 i primfaktorer.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Fra de faktorer, der indgår i udvidelsen af tallet 48, sletter vi dem, der ikke indgår i udvidelsen af tallet 36.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
Der er faktor 2, 2 og 3.
3. Gang de resterende faktorer og få 12. Dette tal er den største fælles divisor af tallene 48 og 36.
GCD (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.
Reglen for at finde det mindste fælles multiplum (LCM).
For at finde det mindste fælles multiplum af flere naturlige tal skal du:
1) nedbryde dem i prime faktorer;
2) udskriv de faktorer, der indgår i udvidelsen af et af tallene;
3) tilføj dem de manglende faktorer fra udvidelserne af de resterende tal;
4) find produktet af de resulterende faktorer.
Eksempel. Lad os finde LCM (75;60). Lad os bruge reglen.
1. Vi opdeler tallene 75 og 60 i primfaktorer.
75 = 3 · 5 · 5
60 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Skriv ned de faktorer, der indgår i udvidelsen af tallet 75: 3, 5, 5.
NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …
3. Læg til dem de manglende faktorer fra nedbrydningen af tallet 60, dvs. 2, 2.
NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2
4. Find produktet af de resulterende faktorer
NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.
Denne artikel er afsat til et sådant spørgsmål som at finde den største fælles divisor. Først vil vi forklare, hvad det er, og give et par eksempler, introducere definitionerne af den største fælles divisor af 2, 3 eller flere tal, hvorefter vi vil dvæle ved de generelle egenskaber ved dette koncept og bevise dem.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Hvad er fælles divisorer
For at forstå, hvad den største fælles divisor er, formulerer vi først, hvad en fælles divisor er for heltal.
I artiklen om multipla og divisorer sagde vi, at et heltal altid har flere divisorer. Her er vi interesseret i divisorerne for et vist antal heltal på én gang, især fælles (identisk) for alle. Lad os skrive hoveddefinitionen ned.
Definition 1
Den fælles divisor af flere heltal vil være et tal, der kan være en divisor af hvert tal fra det angivne sæt.
Eksempel 1
Her er eksempler på sådan en divisor: triplen vil være en fælles divisor for tallene - 12 og 9, da lighederne 9 = 3 · 3 og − 12 = 3 · (− 4) er sande. Tallene 3 og - 12 har andre fælles divisorer, såsom 1 , - 1 og - 3 . Lad os tage et andet eksempel. De fire heltal 3 , − 11 , − 8 og 19 vil have to fælles divisorer: 1 og - 1 .
Når vi kender delelighedens egenskaber, kan vi sige, at ethvert heltal kan divideres med én og minus én, hvilket betyder, at ethvert sæt af heltal allerede vil have mindst to fælles divisorer.
Bemærk også, at hvis vi har en fælles divisor for flere tal b, så kan de samme tal divideres med det modsatte tal, det vil sige med - b. I princippet kan vi kun tage positive divisorer, så vil alle fælles divisorer også være større end 0 . Denne tilgang kan også bruges, men fuldstændig ignoreret negative tal gør det ikke.
Hvad er den største fælles divisor (gcd)
Ifølge delelighedens egenskaber, hvis b er en divisor af et helt tal a, der ikke er lig med 0, kan b-modulet ikke være større end modulet af a, derfor har ethvert tal, der ikke er lig med 0, et endeligt antal divisorer . Dette betyder, at antallet af fælles divisorer af flere heltal, hvoraf mindst et afviger fra nul, også vil være begrænset, og fra hele deres mængde kan vi altid vælge det største tal (vi har allerede talt om begrebet største og mindste heltal, råder vi dig til at gentage givet materiale).
I yderligere ræsonnement vil vi antage, at mindst et af de tal, som du skal finde den største fælles divisor for, vil være forskellig fra 0 . Hvis de alle er lig med 0, så kan deres divisor være et hvilket som helst heltal, og da der er uendeligt mange af dem, kan vi ikke vælge den største. Det er med andre ord umuligt at finde den største fælles divisor for mængden af tal lig med 0 .
Vi går videre til formuleringen af hoveddefinitionen.
Definition 2
Den største fælles divisor af flere tal er det største heltal, der deler alle disse tal.
På skrift er den største fælles divisor oftest betegnet med forkortelsen GCD. For to tal kan det skrives som gcd (a, b) .
Eksempel 2
Hvad er et eksempel på GCD for to heltal? For eksempel, for 6 og - 15 ville det være 3 . Lad os underbygge dette. Først nedskriver vi alle divisorerne af seks: ± 6, ± 3, ± 1, og derefter alle divisorerne af femten: ± 15, ± 5, ± 3 og ± 1. Derefter vælger vi almindelige: disse er − 3 , − 1 , 1 og 3 . Af disse skal du vælge det største antal. Dette bliver 3.
For tre eller flere tal vil definitionen af den største fælles divisor være meget den samme.
Definition 3
Den største fælles divisor af tre eller flere tal er det største heltal, der deler alle disse tal på samme tid.
For tallene a 1 , a 2 , … , a n er divisor bekvemt angivet som GCD (a 1 , a 2 , … , a n) . Selve divisorværdien skrives som GCD (a 1 , a 2 , … , a n) = b .
Eksempel 3
Her er eksempler på den største fælles divisor af flere heltal: 12 , - 8 , 52 , 16 . Det vil være lig med fire, hvilket betyder, at vi kan skrive, at gcd (12, - 8, 52, 16) = 4.
Du kan kontrollere rigtigheden af denne erklæring ved at skrive alle divisorerne for disse tal ned og derefter vælge den største af dem.
I praksis er der ofte tilfælde, hvor den største fælles divisor er lig med et af tallene. Dette sker, når alle andre tal kan divideres med et givet tal (i artiklens første afsnit gav vi beviset for denne erklæring).
Eksempel 4
Så den største fælles divisor for tallene 60, 15 og - 45 er 15, da femten er delelig ikke kun med 60 og - 45, men også af sig selv, og der er ingen større divisor for alle disse tal.
Coprimtal er et specialtilfælde. De er heltal med en største fælles divisor på 1 .
Hovedegenskaber for GCD og Euclids algoritme
Den største fælles divisor har nogle karakteristiske egenskaber. Vi formulerer dem i form af teoremer og beviser hver af dem.
Bemærk, at disse egenskaber er formuleret til heltal større end nul, og vi betragter kun positive divisorer.
Definition 4
Tallene a og b har den største fælles divisor lig med gcd for b og a , altså gcd (a , b) = gcd (b , a) . Ændring af numrenes pladser påvirker ikke det endelige resultat.
Denne egenskab følger af selve definitionen af GCD og behøver ikke bevis.
Definition 5
Hvis tallet a kan divideres med tallet b, så vil mængden af fælles divisorer for disse to tal ligne mængden af divisorer for tallet b, det vil sige gcd (a, b) = b.
Lad os bevise dette udsagn.
Bevis 1
Hvis tallene a og b har fælles divisorer, kan enhver af dem divideres med dem. På samme tid, hvis a er et multiplum af b, så vil enhver divisor af b også være en divisor af a , da delelighed har en sådan egenskab som transitivitet. Derfor vil enhver divisor b være fælles for tallene a og b. Dette beviser, at hvis vi kan dividere a med b, så falder mængden af alle divisorer af begge tal sammen med mængden af divisorer af et tal b. Og da den største divisor af ethvert tal er selve tallet, så vil den største fælles divisor af tallene a og b også være lig med b, dvs. gcd(a, b) = b. Hvis a = b, så er gcd (a, b) = gcd (a, a) = gcd (b, b) = a = b, fx gcd (132, 132) = 132.
Ved at bruge denne egenskab kan vi finde den største fælles divisor af to tal, hvis det ene af dem kan divideres med det andet. En sådan divisor er lig med et af disse to tal, som det andet tal kan divideres med. For eksempel er gcd (8, 24) = 8, fordi 24 er et multiplum af otte.
Definition 6 Bevis 2
Lad os prøve at bevise denne ejendom. Vi har i starten ligheden a = b q + c , og enhver fælles divisor af a og b vil også dividere c , hvilket forklares med den tilsvarende delelighedsegenskab. Derfor vil enhver fælles divisor af b og c dele a . Det betyder, at mængden af fælles divisorer a og b vil falde sammen med mængden af divisorer b og c, inklusive den største af dem, hvilket betyder, at ligheden gcd (a, b) = gcd (b, c) er sand.
Definition 7
Følgende egenskab kaldes Euklid-algoritmen. Med det kan du beregne den største fælles divisor af to tal, samt bevise andre egenskaber ved GCD.
Før du formulerer egenskaben, råder vi dig til at gentage sætningen, som vi beviste i artiklen om division med en rest. Ifølge den kan det delelige tal a repræsenteres som bq + r, og her er b en divisor, q er et eller andet heltal (det kaldes også en ufuldstændig kvotient), og r er en rest, der opfylder betingelsen 0 ≤ r ≤ b.
Lad os sige, at vi har to heltal større end 0, for hvilke følgende ligheder vil være sande:
a = b q 1 + r 1, 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1
Disse ligheder slutter, når r k + 1 bliver lig med 0 . Dette vil helt sikkert ske, eftersom sekvensen b > r 1 > r 2 > r 3 , … er en række af faldende heltal, som kun kan omfatte et endeligt antal af dem. Derfor er r k den største fælles divisor af a og b , det vil sige r k = gcd (a , b) .
Først og fremmest skal vi bevise, at r k er en fælles divisor af tallene a og b, og derefter, at r k ikke bare er en divisor, men den største fælles divisor af de to givne tal.
Lad os se på listen over ligheder ovenfor, fra bund til top. Ifølge den sidste ligestilling,
r k − 1 kan divideres med r k . Baseret på denne kendsgerning, såvel som den tidligere beviste egenskab for den største fælles divisor, kan det argumenteres, at r k − 2 kan divideres med r k , da
r k − 1 er deleligt med r k og r k er deleligt med r k .
Den tredje lighed fra bunden giver os mulighed for at konkludere, at r k − 3 kan divideres med r k , og så videre. Den anden fra bunden er, at b er delelig med r k , og den første er, at a er delelig med r k . Af alt dette konkluderer vi, at r k er en fælles divisor af a og b.
Lad os nu bevise, at r k = gcd (a , b) . Hvad skal jeg gøre? Vis, at enhver fælles divisor af a og b vil dividere r k . Lad os betegne det r 0 .
Lad os se på den samme liste over ligheder, men fra top til bund. Ud fra den foregående egenskab kan vi konkludere, at r 1 er delelig med r 0 , hvilket betyder, at ifølge den anden lighed er r 2 delelig med r 0 . Vi går ned gennem alle lighederne og fra den sidste konkluderer vi, at r k er delelig med r 0 . Derfor er r k = gcd (a , b) .
Efter at have overvejet denne egenskab konkluderer vi, at sættet af fælles divisorer for a og b svarer til sættet af divisorer for gcd af disse tal. Dette udsagn, som er en konsekvens af Euklids algoritme, vil give os mulighed for at beregne alle fælles divisorer for to givne tal.
Lad os gå videre til andre ejendomme.
Definition 8
Hvis a og b er heltal, der ikke er lig med 0, så skal der være to andre heltal u 0 og v 0, for hvilke ligheden gcd (a , b) = a · u 0 + b · v 0 vil være gyldig.
Ligheden givet i egenskabserklæringen er en lineær repræsentation af den største fælles divisor af a og b . Det kaldes Bezout-forholdet, og tallene u 0 og v 0 kaldes Bezout-koefficienterne.
Bevis 3
Lad os bevise denne egenskab. Vi nedskriver rækkefølgen af ligheder i henhold til Euklids algoritme:
a = b q 1 + r 1, 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1
Den første lighed fortæller os, at r 1 = a − b · q 1 . Betegn 1 = s 1 og − q 1 = t 1 og omskriv denne lighed som r 1 = s 1 · a + t 1 · b . Her vil tallene s 1 og t 1 være heltal. Den anden lighed giver os mulighed for at konkludere, at r 2 = b − r 1 q 2 = b − (s 1 a + t 1 b) q 2 = − s 1 q 2 a + (1 − t 1 q 2) b . Betegn − s 1 q 2 = s 2 og 1 − t 1 q 2 = t 2 og omskriv ligheden som r 2 = s 2 a + t 2 b , hvor s 2 og t 2 også vil være heltal. Dette skyldes, at summen af heltal, deres produkt og forskel også er heltal. På nøjagtig samme måde får vi fra den tredje lighed r 3 = s 3 · a + t 3 · b , fra følgende r 4 = s 4 · a + t 4 · b osv. Til sidst konkluderer vi, at r k = s k a + t k b for heltal s k og t k . Siden rk \u003d GCD (a, b) , betegner vi sk \u003d u 0 og tk \u003d v 0. Som et resultat kan vi få en lineær repræsentation af GCD i den krævede form: GCD (a, b) \u003d au 0 + bv 0.
Definition 9
gcd (m a, m b) = m gcd (a, b) for enhver naturværdi m.
Bevis 4
Denne egenskab kan begrundes som følger. Gang med tallet m på begge sider af hver lighed i Euklid-algoritmen, og vi får, at gcd (m a , m b) = m r k , og r k er gcd (a , b) . Derfor er gcd (m a, m b) = m gcd (a, b) . Det er denne egenskab af den største fælles divisor, der bruges, når man finder GCD ved hjælp af faktoriseringsmetoden.
Definition 10
Hvis tallene a og b har en fælles divisor p , så er gcd (a: p , b: p) = gcd (a , b) : p . I det tilfælde, hvor p = gcd (a, b) får vi gcd (a: gcd (a, b), b: gcd (a, b) = 1, derfor er tallene a: gcd (a, b) og b : gcd (a, b) er coprime.
Da a = p (a: p) og b = p (b: p) , så kan vi, baseret på den tidligere egenskab, skabe ligheder af formen gcd (a, b) = gcd (p (a: p) , p · (b: p)) = p · GCD (a: p , b: p) , blandt hvilke der vil være et bevis for denne egenskab. Vi bruger denne påstand, når vi giver almindelige brøker til irreducerbar form.
Definition 11
Den største fælles divisor a 1 , a 2 , ... , ak vil være tallet dk , som kan findes ved successivt at beregne gcd (a 1 , a 2) = d 2 , gcd (d 2 , a 3) = d 3 , gcd (d 3 , a 4) = d 4 , … , gcd (dk - 1 , ak) = dk .
Denne egenskab er nyttig til at finde den største fælles divisor af tre eller flere tal. Med den kan du reducere denne handling til operationer med to numre. Dens grundlag er en følge af Euklids algoritme: hvis mængden af fælles divisorer a 1 , a 2 og a 3 falder sammen med mængden d 2 og a 3 , så falder den også sammen med divisorerne d 3 . Divisorerne for tallene a 1 , a 2 , a 3 og a 4 vil matche divisorerne for d 3 , hvilket betyder, at de også vil matche divisorerne for d 4 , og så videre. I sidste ende får vi, at de fælles divisorer for tallene a 1 , a 2 , … , ak vil falde sammen med divisorerne dk , og da tallet i sig selv vil være den største divisor af tallet dk , så gcd (a 1 , a 2 , … , ak) = dk .
Det er alt, hvad vi gerne vil tale om egenskaberne for den største fælles divisor.
Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter
For at lære at finde den største fælles divisor af to eller flere tal, skal du forstå, hvad naturlige, primtal og komplekse tal er.
Et naturligt tal er ethvert tal, der bruges til at tælle heltal.
Hvis et naturligt tal kun kan divideres med sig selv og et, så kaldes det primtal.
Alle naturlige tal kan divideres med sig selv og et, men det eneste lige primtal er 2, alle andre primtal kan divideres med to. Derfor kan kun ulige tal være primtal.
For mange primtal komplet liste de findes ikke. For at finde GCD'en er det praktisk at bruge specielle tabeller med sådanne tal.
De fleste naturlige tal kan divideres ikke kun med et selv, men også med andre tal. Så for eksempel kan tallet 15 divideres med 3 og 5. Alle kaldes de divisorer af tallet 15.
Divisor for ethvert A er således det tal, som det kan divideres med uden en rest. Hvis et tal har mere end to naturlige divisorer, kaldes det sammensat.
Tallet 30 har sådanne divisorer som 1, 3, 5, 6, 15, 30.
Du kan se, at 15 og 30 har samme divisor 1, 3, 5, 15. Den største fælles divisor af disse to tal er 15.
Fælles divisor for tallene A og B er altså det tal, som man kan dividere dem helt med. Det maksimale kan betragtes som det maksimale samlede antal, som de kan divideres med.
For at løse problemer bruges følgende forkortede inskription:
GCD (A; B).
For eksempel, GCD (15; 30) = 30.
For at nedskrive alle divisorer af et naturligt tal, bruges notationen:
D(15) = (1, 3, 5, 15)
gcd (9; 15) = 1
I dette eksempel har naturlige tal kun én fælles divisor. De kaldes henholdsvis coprime, enheden er deres største fælles divisor.
Sådan finder du den største fælles divisor af tal
For at finde GCD'en for flere numre skal du bruge:
Find alle divisorer for hvert naturligt tal separat, det vil sige, nedbryd dem i faktorer (primtal);
Vælg alle de samme faktorer for givne tal;
Multiplicer dem sammen.
For eksempel, for at beregne den største fælles divisor på 30 og 56, vil du skrive følgende:
For ikke at blive forvirret med , er det praktisk at skrive multiplikatorerne ved hjælp af lodrette kolonner. På venstre side af linjen skal du placere udbyttet, og til højre - divisoren. Under udbyttet skal du angive den resulterende kvotient.
Så i højre kolonne vil der være alle de nødvendige faktorer til løsningen.
Identiske divisorer (fundne faktorer) kan understreges for nemheds skyld. De skal omskrives og ganges, og den største fælles divisor skal skrives ned.
GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10
Det er virkelig så nemt at finde den største fælles divisor af tal. Med lidt øvelse kan du gøre det næsten automatisk.
Det største naturlige tal, som tallene a og b er delelige med uden rest, kaldes største fælles divisor disse tal. Angiv GCD(a, b).
Overvej at finde GCD'en ved at bruge eksemplet med to naturlige tal 18 og 60:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
324 , 111 Og 432
Lad os opdele tallene i primfaktorer:
324 = 2×2×3×3×3×3
111 = 3×37
432 = 2×2×2×2×3×3×3
Slet fra det første nummer, hvis faktorer ikke er i det andet og tredje tal, får vi:
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3
Som et resultat af GCD( 324 , 111 , 432 )=3
Finde GCD med Euklids algoritme
Den anden måde at finde den største fælles divisor ved hjælp af Euklids algoritme. Euklids algoritme er den mest effektiv måde finde GCD, ved at bruge det skal du hele tiden finde resten af delingen af tal og anvende tilbagevendende formel.
Tilbagevendende formel for GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), hvor a mod b er resten af at dividere a med b.
Euklids algoritme
Eksempel Find den største fælles divisor af tal 7920 Og 594
Lad os finde GCD( 7920 , 594 ) ved hjælp af Euclid-algoritmen, vil vi beregne resten af divisionen ved hjælp af en lommeregner.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0
Som et resultat får vi GCD( 7920 , 594 ) = 198
Mindste fælles multiplum
For at finde fællesnævner når man adderer og trækker brøker med forskellige nævnere har brug for at vide og kunne regne mindste fælles multiplum(NOC).
Et multiplum af tallet "a" er et tal, der i sig selv er deleligt med tallet "a" uden en rest.
Tal, der er multipla af 8 (det vil sige, disse tal vil blive divideret med 8 uden en rest): disse er tallene 16, 24, 32 ...
Multipler af 9: 18, 27, 36, 45...
Der er uendeligt mange multipla af et givet tal a, i modsætning til divisorerne af samme tal. Divisorer - et endeligt tal.
Et fælles multiplum af to naturlige tal er et tal, der er ligeligt deleligt med begge disse tal..
Mindste fælles multiplum(LCM) af to eller flere naturlige tal er det mindste naturlige tal, der i sig selv er deleligt med hvert af disse tal.
Sådan finder du NOC
LCM kan findes og skrives på to måder.
Den første måde at finde LCM
Denne metode bruges normalt til små tal.
- Vi skriver multiplerne for hvert af tallene på en linje, indtil der er et multiplum, der er ens for begge tal.
- Et multiplum af tallet "a" er angivet med et stort bogstav "K".
Eksempel. Find LCM 6 og 8.
Den anden måde at finde LCM på
Denne metode er praktisk at bruge til at finde LCM for tre eller flere numre.
Antallet af identiske faktorer i udvidelser af tal kan være forskellige.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2
Svar: LCM (24, 60) = 120
Du kan også formalisere at finde det mindste fælles multiplum (LCM) som følger. Lad os finde LCM (12, 16, 24) .
24 = 2 2 2 3
Som vi kan se fra udvidelsen af tal, er alle faktorer på 12 inkluderet i udvidelsen af 24 (den største af tallene), så vi tilføjer kun en 2 fra udvidelsen af tallet 16 til LCM.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Svar: LCM (12, 16, 24) = 48
Særlige tilfælde af at finde NOC'er
For eksempel, LCM(60; 15) = 60
Da coprimtal ikke har nogen fælles primtal divisorer, er deres mindste fælles multiplum lig med produktet af disse tal.
På vores side kan du også bruge en speciel lommeregner til at finde det mindste fælles multiplum online for at tjekke dine beregninger.
Hvis et naturligt tal kun er deleligt med 1 og sig selv, så kaldes det primtal.
Ethvert naturligt tal er altid deleligt med 1 og sig selv.
Tallet 2 er det mindste primtal. Dette er det eneste lige primtal, resten af primtallene er ulige.
Der er mange primtal, og det første blandt dem er tallet 2. Der er dog ikke noget sidste primtal. I afsnittet "Til undersøgelse" kan du downloade tabellen Primtal op til 997.
Men mange naturlige tal er ligeligt delelige med andre naturlige tal.
- tallet 12 er deleligt med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12;
- 36 er deleligt med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12, med 18, med 36.
- nedbryde tals divisorer i primfaktorer;
De tal, som tallet er ligeligt deleligt med (for 12 er disse 1, 2, 3, 4, 6 og 12) kaldes tallets divisorer.
Divisoren for et naturligt tal a er et sådant naturligt tal, der deler det givne tal "a" uden en rest.
Et naturligt tal, der har mere end to faktorer, kaldes et sammensat tal.
Bemærk, at tallene 12 og 36 har fælles divisorer. Disse er tal: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Den største divisor af disse tal er 12.
Den fælles divisor for to givne tal "a" og "b" er det tal, som begge givne tal "a" og "b" divideres med uden rest.
Største fælles deler(GCD) af to givne tal "a" og "b" er det største tal, som begge tal "a" og "b" er delelige med uden en rest.
Kort fortalt er den største fælles divisor af tallene "a" og "b" skrevet som følger:
Eksempel: gcd (12; 36) = 12 .
Divisorerne af tal i løsningsposten er angivet med et stort bogstav "D".
Tallene 7 og 9 har kun én fælles divisor - tallet 1. Sådanne numre kaldes coprimtal.
Coprime tal er naturlige tal, der kun har én fælles divisor - tallet 1. Deres GCD er 1.
Sådan finder du den største fælles divisor
For at finde gcd'en for to eller flere naturlige tal skal du bruge:
Beregninger skrives bekvemt ved hjælp af en lodret streg. Til venstre for linjen skal du først skrive udbyttet ned, til højre - divisor. Længere i venstre kolonne skriver vi ned værdierne for privat.
Lad os forklare med det samme med et eksempel. Lad os faktorisere tallene 28 og 64 til primfaktorer.
- Understreg de samme primfaktorer i begge tal.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Vi finder produktet af identiske primfaktorer og skriver svaret ned;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4
Svar: GCD (28; 64) = 4
Du kan arrangere placeringen af GCD'en på to måder: i en kolonne (som det blev gjort ovenfor) eller "i en linje".
Den første måde at skrive GCD på
Find GCD 48 og 36.
GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
Den anden måde at skrive GCD på
Lad os nu skrive GCD-søgeløsningen på en linje. Find GCD 10 og 15.
På vores informationsside kan du også finde den største fælles divisor online ved hjælp af hjælpeprogrammet til at kontrollere dine beregninger.
At finde det mindste fælles multiplum, metoder, eksempler på at finde LCM.
Materialet præsenteret nedenfor er en logisk fortsættelse af teorien fra artiklen under overskriften LCM - Least Common Multiple, definition, eksempler, forhold mellem LCM og GCD. Her vil vi tale om finde det mindste fælles multiplum (LCM), Og Særlig opmærksomhed Lad os tage et kig på eksemplerne. Lad os først vise, hvordan LCM for to tal beregnes i form af GCD for disse tal. Overvej derefter at finde det mindste fælles multiplum ved at faktorisere tal i primfaktorer. Derefter vil vi fokusere på at finde LCM af tre og mere tal, og vær også opmærksom på beregningen af LCM for negative tal.
Sidenavigation.
Beregning af det mindste fælles multiplum (LCM) gennem gcd
En måde at finde det mindste fælles multiplum er baseret på forholdet mellem LCM og GCD. Det eksisterende forhold mellem LCM og GCD giver dig mulighed for at beregne det mindste fælles multiplum af to positive heltal gennem den kendte største fælles divisor. Den tilsvarende formel har formen LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Overvej eksempler på at finde LCM i henhold til ovenstående formel.
Find det mindste fælles multiplum af de to tal 126 og 70 .
I dette eksempel a=126, b=70. Lad os bruge linket mellem LCM og GCD, som er udtrykt ved formlen LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Det vil sige, at vi først skal finde den største fælles divisor af tallene 70 og 126, hvorefter vi kan beregne LCM for disse tal efter den skrevne formel.
Find gcd(126, 70) ved hjælp af Euklids algoritme: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , derfor gcd(126, 70)=14 .
Nu finder vi det påkrævede mindste fælles multiplum: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .
Hvad er LCM(68, 34)?
Da 68 er ligeligt deleligt med 34, så er gcd(68, 34)=34. Nu beregner vi det mindste fælles multiplum: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .
Bemærk, at det foregående eksempel passer til følgende regel for at finde LCM for positive heltal a og b: hvis tallet a er deleligt med b, så er det mindste fælles multiplum af disse tal a .
Find LCM ved at faktorisere tal i primfaktorer
En anden måde at finde det mindste fælles multiplum på er baseret på at faktorisere tal til primfaktorer. Hvis vi laver et produkt af alle primfaktorer af disse tal, hvorefter vi fra dette produkt udelukker alle almindelige primfaktorer, der er til stede i udvidelserne af disse tal, så vil det resulterende produkt være lig med det mindste fælles multiplum af disse tal.
Den annoncerede regel for at finde LCM følger af ligheden LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Faktisk er produktet af tallene a og b lig med produktet af alle de faktorer, der er involveret i udvidelsen af tallene a og b. Til gengæld er gcd(a, b) lig med produktet af alle primfaktorer, der samtidig er til stede i udvidelserne af tallene a og b (som er beskrevet i afsnittet om at finde gcd'en ved hjælp af dekomponering af tal til primfaktorer ).
Lad os tage et eksempel. Lad os vide, at 75=3 5 5 og 210=2 3 5 7 . Sammensæt produktet af alle faktorer i disse udvidelser: 2 3 3 5 5 5 7 . Nu udelukker vi fra dette produkt alle de faktorer, der er til stede både i udvidelsen af tallet 75 og i udvidelsen af tallet 210 (sådanne faktorer er 3 og 5), så vil produktet have formen 2 3 5 5 7 . Værdien af dette produkt er lig med det mindste fælles multiplum af 75 og 210 , det vil sige LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .
Efter at have faktoreret tallene 441 og 700 til primfaktorer, skal du finde det mindste fælles multiplum af disse tal.
Lad os dekomponere tallene 441 og 700 i primfaktorer: 
Vi får 441=3 3 7 7 og 700=2 2 5 5 7 .
Lad os nu lave et produkt af alle de faktorer, der er involveret i udvidelsen af disse tal: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Lad os fra dette produkt udelukke alle de faktorer, der er til stede samtidigt i begge udvidelser (der er kun én sådan faktor - dette er tallet 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Så LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .
LCM(441, 700)= 44 100 .
Reglen for at finde LCM ved hjælp af dekomponering af tal til primfaktorer kan formuleres lidt anderledes. Hvis vi lægger de manglende faktorer fra udvidelsen af tallet b til faktorerne fra udvidelsen af tallet a, så vil værdien af det resulterende produkt være lig med det mindste fælles multiplum af tallene a og b.
Lad os for eksempel tage alle de samme tal 75 og 210, deres udvidelser til primfaktorer er som følger: 75=3 5 5 og 210=2 3 5 7 . Til faktorerne 3, 5 og 5 fra dekomponeringen af tallet 75, tilføjer vi de manglende faktorer 2 og 7 fra dekomponeringen af tallet 210, vi får produktet 2 3 5 5 7, hvis værdi er LCM(75) , 210).
Find det mindste fælles multiplum af 84 og 648.
Vi opnår først nedbrydningen af tallene 84 og 648 til primfaktorer. De ligner 84=2 2 3 7 og 648=2 2 2 3 3 3 3 . Til faktorerne 2 , 2 , 3 og 7 fra dekomponeringen af tallet 84 lægger vi de manglende faktorer 2 , 3 , 3 og 3 fra dekomponeringen af tallet 648 , vi får produktet 2 2 2 3 3 3 3 7 , hvilket er lig med 4 536 . Det ønskede mindste fælles multiplum af tallene 84 og 648 er således 4.536.
Finde LCM for tre eller flere tal
Det mindste fælles multiplum af tre eller flere tal kan findes ved successivt at finde LCM af to tal. Genkald den tilsvarende sætning, som giver en måde at finde LCM for tre eller flere tal.
Lad positive heltal a 1 , a 2 , …, ak være givet, det mindste fælles multiplum mk af disse tal findes i den sekventielle beregning m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , mk =LCM(mk−1 , ak) .
Overvej anvendelsen af denne sætning på eksemplet med at finde det mindste fælles multiplum af fire tal.
Find LCM for de fire tal 140 , 9 , 54 og 250 .
Først finder vi m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . For at gøre dette, ved hjælp af den euklidiske algoritme, bestemmer vi gcd(140, 9) , vi har 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , derfor gcd( 140, 9)=1, hvorfra LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Det vil sige, m 2 = 1 260 .
Nu finder vi m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . Lad os beregne det gennem gcd(1 260, 54) , som også bestemmes af Euklids algoritme: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Derefter gcd(1 260, 54)=18 , hvorfra LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Det vil sige m 3 \u003d 3 780.
Det er tilbage at finde m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) . For at gøre dette finder vi GCD(3 780, 250) ved hjælp af Euclid-algoritmen: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Derfor er gcd(3 780, 250)=10 , derfor LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Det vil sige m 4 \u003d 94 500.
Så det mindste fælles multiplum af de oprindelige fire tal er 94.500.
LCM(140; 9; 54; 250)=94500 .
I mange tilfælde findes det mindste fælles multiplum af tre eller flere tal bekvemt ved at bruge primfaktoriseringer af givne tal. I dette tilfælde skal følgende regel følges. Det mindste fælles multiplum af flere tal er lig med produktet, som er sammensat som følger: de manglende faktorer fra udvidelsen af det andet tal lægges til alle faktorerne fra udvidelsen af det første tal, de manglende faktorer fra udvidelsen af det tredje tal lægges til de opnåede faktorer og så videre.
Overvej et eksempel på at finde det mindste fælles multiplum ved at bruge nedbrydning af tal i primfaktorer.
Find det mindste fælles multiplum af fem tal 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Først får vi dekomponeringer af disse tal i primtal: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 er et primtal, det falder sammen med dets dekomponering i primtal) og 143=11 13 .
For at finde LCM for disse tal skal du til faktorerne for det første tal 84 (de er 2 , 2 , 3 og 7) tilføje de manglende faktorer fra dekomponeringen af det andet tal 6 . Udvidelsen af tallet 6 indeholder ikke manglende faktorer, da både 2 og 3 allerede er til stede i udvidelsen af det første tal 84 . Ud over faktorerne 2, 2, 3 og 7 tilføjer vi de manglende faktorer 2 og 2 fra udvidelsen af det tredje tal 48, vi får et sæt af faktorer 2, 2, 2, 2, 3 og 7. Der er ingen grund til at tilføje faktorer til dette sæt i næste trin, da 7 allerede er indeholdt i det. Til sidst tilføjer vi til faktorerne 2, 2, 2, 2, 3 og 7 de manglende faktorer 11 og 13 fra udvidelsen af tallet 143. Vi får produktet 2 2 2 2 3 7 11 13, som er lig med 48 048.
Derfor er LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .
LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048.
Find det mindste fælles multiplum af negative tal
Nogle gange er der opgaver, hvor du skal finde det mindste fælles multiplum af tal, blandt hvilke et, flere eller alle tal er negative. I disse tilfælde skal alle negative tal erstattes af deres modsatte tal, hvorefter LCM for positive tal skal findes. Dette er måden at finde LCM for negative tal. For eksempel LCM(54, −34)=LCM(54, 34) og LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) .
Vi kan gøre dette, fordi mængden af multipla af a er det samme som mængden af multipla af −a (a og −a er modsatte tal). Lad faktisk b være et eller andet multiplum af a , så er b deleligt med a , og delelighedsbegrebet hævder eksistensen af et sådant heltal q, at b=a q . Men ligheden b=(−a)·(−q) vil også være sand, hvilket i kraft af samme delelighedsbegreb betyder, at b er delelig med −a , det vil sige b er et multiplum af −a . Det omvendte udsagn er også sandt: Hvis b er et eller andet multiplum af −a , så er b også et multiplum af a .
Find det mindste fælles multiplum af de negative tal −145 og −45.
Lad os erstatte de negative tal −145 og −45 med deres modsatte tal 145 og 45 . Vi har LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Efter at have bestemt gcd(145, 45)=5 (for eksempel ved hjælp af Euklid-algoritmen), beregner vi LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Således er det mindste fælles multiplum af de negative heltal -145 og -45 1.305 .
www.cleverstudents.ru
Vi fortsætter med at studere division. I denne lektion vil vi se på begreber som f.eks GCD Og NOC.
GCD er den største fælles divisor.
NOC er det mindste fælles multiplum.
Emnet er ret kedeligt, men det er nødvendigt at forstå det. Uden at forstå dette emne, vil du ikke være i stand til at arbejde effektivt med brøker, som er en reel hindring i matematik.
Største fælles deler
Definition. Største fælles deler af tal -en Og b -en Og b opdelt uden rest.
For at forstå denne definition godt, erstatter vi i stedet for variabler -en Og b to vilkårlige tal, for eksempel, i stedet for en variabel -en erstatte tallet 12, og i stedet for variablen b nummer 9. Lad os nu prøve at læse denne definition:
Største fælles deler af tal 12 Og 9 er det største antal, hvormed 12 Og 9 opdelt uden rest.
Det fremgår tydeligt af definitionen, at vi taler om en fælles divisor af tallene 12 og 9, og denne divisor er den største af alle eksisterende divisorer. Denne største fælles divisor (gcd) skal findes.
For at finde den største fælles divisor af to tal bruges tre metoder. Den første metode er ret tidskrævende, men den giver dig mulighed for at forstå essensen af emnet godt og føle hele dets betydning.
Den anden og tredje metode er ret enkel og gør det muligt hurtigt at finde GCD'en. Vi vil overveje alle tre metoder. Og hvad du skal anvende i praksis - du vælger.
Den første måde er at finde alle mulige divisorer af to tal og vælge den største af dem. Lad os overveje denne metode i følgende eksempel: find den største fælles divisor af tallene 12 og 9.
Først finder vi alle mulige divisorer af tallet 12. For at gøre dette deler vi 12 i alle divisorer i området fra 1 til 12. Hvis divisoren tillader os at dividere 12 uden en rest, så fremhæver vi den med blåt og lave en passende forklaring i parentes.
12: 1 = 12
(12 divideret med 1 uden en rest, så 1 er en divisor af 12)
12: 2 = 6
(12 divideret med 2 uden en rest, så 2 er en divisor af 12)
12: 3 = 4
(12 divideret med 3 uden en rest, så 3 er en divisor af 12)
12: 4 = 3
(12 divideret med 4 uden en rest, så 4 er en divisor af 12)
12:5 = 2 (2 tilbage)
(12 er ikke divideret med 5 uden en rest, så 5 er ikke en divisor af 12)
12: 6 = 2
(12 divideret med 6 uden en rest, så 6 er en divisor af 12)
12: 7 = 1 (5 tilbage)
(12 er ikke divideret med 7 uden en rest, så 7 er ikke en divisor af 12)
12: 8 = 1 (4 tilbage)
(12 er ikke divideret med 8 uden en rest, så 8 er ikke en divisor af 12)
12:9 = 1 (3 tilbage)
(12 er ikke divideret med 9 uden en rest, så 9 er ikke en divisor af 12)
12: 10 = 1 (2 tilbage)
(12 er ikke divideret med 10 uden en rest, så 10 er ikke en divisor af 12)
12:11 = 1 (1 tilbage)
(12 er ikke divideret med 11 uden en rest, så 11 er ikke en divisor af 12)
12: 12 = 1
(12 divideret med 12 uden en rest, så 12 er en divisor af 12)
Lad os nu finde divisorerne for tallet 9. For at gøre dette skal du kontrollere alle divisorerne fra 1 til 9
9: 1 = 9
(9 divideret med 1 uden en rest, så 1 er en divisor af 9)
9: 2 = 4 (1 tilbage)
(9 er ikke divideret med 2 uden en rest, så 2 er ikke en divisor af 9)
9: 3 = 3
(9 divideret med 3 uden en rest, så 3 er en divisor af 9)
9: 4 = 2 (1 tilbage)
(9 er ikke divideret med 4 uden en rest, så 4 er ikke en divisor af 9)
9:5 = 1 (4 tilbage)
(9 er ikke divideret med 5 uden en rest, så 5 er ikke en divisor af 9)
9: 6 = 1 (3 tilbage)
(9 dividerede ikke med 6 uden en rest, så 6 er ikke en divisor af 9)
9:7 = 1 (2 tilbage)
(9 er ikke divideret med 7 uden en rest, så 7 er ikke en divisor af 9)
9:8 = 1 (1 tilbage)
(9 er ikke divideret med 8 uden en rest, så 8 er ikke en divisor af 9)
9: 9 = 1
(9 divideret med 9 uden en rest, så 9 er en divisor af 9)
Skriv nu divisorerne for begge tal. Tallene fremhævet med blåt er divisorerne. Lad os skrive dem ud:
Når du har skrevet divisorerne ud, kan du med det samme bestemme, hvilken der er den største og mest almindelige.
Per definition er den største fælles divisor af 12 og 9 det tal, som 12 og 9 er lige delelige med. Den største og fælles divisor af tallene 12 og 9 er tallet 3
Både tallet 12 og tallet 9 er delelige med 3 uden en rest:
Så gcd (12 og 9) = 3
Den anden måde at finde GCD på
Overvej nu den anden måde at finde den største fælles divisor på. essens denne metode er at faktorisere begge tal til primfaktorer og gange de fælles.
Eksempel 1. Find GCD af numrene 24 og 18
Lad os først indregne begge tal i primfaktorer:
Nu multiplicerer vi deres fælles faktorer. For ikke at blive forvirret, kan de fælles faktorer understreges.
Vi ser på nedbrydningen af tallet 24. Dets første faktor er 2. Vi leder efter den samme faktor i dekomponeringen af tallet 18 og ser, at det også er der. Vi understreger begge to:
Igen ser vi på nedbrydningen af tallet 24. Dets anden faktor er også 2. Vi leder efter den samme faktor i dekomponeringen af tallet 18 og ser, at det ikke er der for anden gang. Så fremhæver vi ikke noget.
De næste to i udvidelsen af tallet 24 mangler også i udvidelsen af tallet 18.
Vi går videre til den sidste faktor i nedbrydningen af tallet 24. Dette er faktoren 3. Vi leder efter den samme faktor i dekomponeringen af tallet 18, og vi ser, at den også er der. Vi lægger vægt på begge tre:
Så de fælles faktorer for tallene 24 og 18 er faktorerne 2 og 3. For at få GCD skal disse faktorer ganges:
Så gcd (24 og 18) = 6
Den tredje måde at finde GCD på
Overvej nu den tredje måde at finde den største fælles divisor. Essensen af denne metode ligger i det faktum, at tallene, der skal søges efter den største fælles divisor, dekomponeres i primfaktorer. Derefter, fra dekomponeringen af det første tal, slettes faktorer, der ikke er inkluderet i dekomponeringen af det andet tal. De resterende tal i den første udvidelse ganges og får GCD.
Lad os for eksempel finde GCD for tallene 28 og 16 på denne måde. Først og fremmest dekomponerer vi disse tal i primfaktorer:
Vi har to udvidelser: og
Nu, fra udvidelsen af det første tal, sletter vi de faktorer, der ikke er inkluderet i udvidelsen af det andet tal. Udvidelsen af det andet tal inkluderer ikke syv. Vi sletter det fra den første udvidelse:
Nu multiplicerer vi de resterende faktorer og får GCD:
Tallet 4 er den største fælles divisor af tallene 28 og 16. Begge disse tal er delelige med 4 uden en rest:
Eksempel 2 Find GCD med tallene 100 og 40
Udregning af tallet 100
Udregning af tallet 40
Vi har to udvidelser:
Nu, fra udvidelsen af det første tal, sletter vi de faktorer, der ikke er inkluderet i udvidelsen af det andet tal. Udvidelsen af det andet tal inkluderer ikke en femmer (der er kun en femmer). Vi sletter det fra den første nedbrydning
Gang de resterende tal:
Vi fik svaret 20. Så tallet 20 er den største fælles divisor af tallene 100 og 40. Disse to tal er delelige med 20 uden en rest:
GCD (100 og 40) = 20.
Eksempel 3 Find gcd for tallene 72 og 128
Udregning af tallet 72
Udregning af tallet 128
2×2×2×2×2×2×2
Nu, fra udvidelsen af det første tal, sletter vi de faktorer, der ikke er inkluderet i udvidelsen af det andet tal. Udvidelsen af det andet nummer inkluderer ikke to trillinger (der er slet ingen). Vi sletter dem fra den første nedbrydning:
Vi fik svaret 8. Så tallet 8 er den største fælles divisor af tallene 72 og 128. Disse to tal er delelige med 8 uden en rest:
GCD (72 og 128) = 8
Finde GCD for flere numre
Den største fælles divisor kan findes for flere tal, og ikke kun for to. Til dette opdeles tallene, der skal findes for den største fælles divisor, i primfaktorer, hvorefter produktet af de fælles primfaktorer for disse tal findes.
Lad os for eksempel finde GCD for tallene 18, 24 og 36
Med hensyn til tallet 18
Med hensyn til tallet 24
Med hensyn til tallet 36
Vi har tre udvidelser:
Nu udvælger og understreger vi de fælles faktorer i disse tal. Fælles faktorer skal indgå i alle tre tal:
Vi ser, at de fælles faktorer for tallene 18, 24 og 36 er faktorer 2 og 3. Ved at gange disse faktorer får vi den GCD, vi leder efter:
Vi fik svaret 6. Så tallet 6 er den største fælles divisor af tallene 18, 24 og 36. Disse tre tal er delelige med 6 uden en rest:
GCD (18, 24 og 36) = 6
Eksempel 2 Find gcd for numrene 12, 24, 36 og 42
Lad os faktorisere hvert tal. Så finder vi produktet af de fælles faktorer for disse tal.
Faktorer tallet 12
Faktorer tallet 42
Vi har fire udvidelser:
Nu udvælger og understreger vi de fælles faktorer i disse tal. Fælles faktorer skal indgå i alle fire tal:
Vi ser, at de fælles faktorer for tallene 12, 24, 36 og 42 er faktorerne 2 og 3. Ved at gange disse faktorer får vi den GCD, vi leder efter:
Vi fik svaret 6. Så tallet 6 er den største fælles divisor af tallene 12, 24, 36 og 42. Disse tal er delelige med 6 uden en rest:
gcd(12, 24, 36 og 42) = 6
Fra den forrige lektion ved vi, at hvis et tal divideres med et andet uden en rest, kaldes det et multiplum af dette tal.
Det viser sig, at et multiplum kan være fælles for flere tal. Og nu vil vi være interesserede i et multiplum af to tal, mens det skal være så lille som muligt.
Definition. Mindste fælles multiplum (LCM) af tal -en Og b- -en Og b -en og nummer b.
Definitionen indeholder to variable -en Og b. Lad os erstatte to vilkårlige tal med disse variable. For eksempel i stedet for en variabel -en erstatte tallet 9, og i stedet for variablen b lad os erstatte tallet 12. Lad os nu prøve at læse definitionen:
Mindste fælles multiplum (LCM) af tal 9 Og 12 - dette mindste antal, som er et multiplum 9 Og 12 . Det er med andre ord så lille et tal, der uden rest er deleligt med tallet 9 og på nummeret 12 .
Det fremgår tydeligt af definitionen, at LCM er det mindste tal, der er deleligt uden en rest med 9 og 12. Denne LCM skal findes.
Der er to måder at finde det mindste fælles multiplum (LCM). Den første måde er, at du kan nedskrive de første multipla af to tal, og så vælge blandt disse multipla et sådant tal, der vil være fælles for både tal og små. Lad os anvende denne metode.
Lad os først og fremmest finde de første multipla for tallet 9. For at finde multipla for 9, skal du gange disse ni gange med tallene fra 1 til 9. Svarene, du får, vil være multipla af tallet 9. Så , Lad os begynde. Multipler vil blive fremhævet med rødt:
Nu finder vi multipla for tallet 12. For at gøre dette gange vi 12 med alle tallene 1 til 12 på skift.
For at forstå, hvordan man beregner LCM, bør du først bestemme betydningen af udtrykket "multiple".
Et multiplum af A er et naturligt tal, der er deleligt med A uden rest. Således kan 15, 20, 25 og så videre betragtes som multipla af 5.
Der kan være et begrænset antal divisorer af et bestemt tal, men der er et uendeligt antal multipla.
Et fælles multiplum af naturlige tal er et tal, der er deleligt med dem uden en rest.
Sådan finder du det mindste fælles multiplum af tal
Det mindste fælles multiplum (LCM) af tal (to, tre eller flere) er det mindste naturlige tal, der er ligeligt deleligt med alle disse tal.
For at finde NOC'en kan du bruge flere metoder.
For små tal er det praktisk at skrive alle multipla af disse tal på en linje, indtil der er et fælles blandt dem. Multipler angiver i posten stort bogstav TIL.
For eksempel kan multipla af 4 skrives sådan:
K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K(6) = (12, 18, 24, ...)
Så du kan se, at det mindste fælles multiplum af tallene 4 og 6 er tallet 24. Denne indtastning udføres som følger:
LCM(4, 6) = 24
Hvis tallene er store, skal du finde det fælles multiplum af tre eller flere tal, så er det bedre at bruge en anden måde at beregne LCM på.
For at fuldføre opgaven er det nødvendigt at dekomponere de foreslåede tal i primfaktorer.
Først skal du skrive udvidelsen af det største af tallene på en linje, og under det - resten.
I udvidelsen af hvert nummer kan der være forskellig mængde multiplikatorer.
Lad os f.eks. faktorisere tallene 50 og 20 til primfaktorer.
I nedbrydningen af det mindre tal bør man understrege de faktorer, der er fraværende i nedbrydningen af det første største tal, og derefter lægge dem til det. I det præsenterede eksempel mangler en toer.
Nu kan vi beregne det mindste fælles multiplum af 20 og 50.
LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Altså produktet af primære faktorer mere og faktorer af det andet tal, som ikke er inkluderet i udvidelsen af det større, vil være det mindste fælles multiplum.
For at finde LCM for tre eller flere tal, skal de alle opdeles i primfaktorer, som i det foregående tilfælde.
Som et eksempel kan du finde det mindste fælles multiplum af tallene 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Så kun to toere fra nedbrydningen af seksten (en er i nedbrydningen af fireogtyve) indgik ikke i faktoriseringen af et større tal.
De skal således føjes til nedbrydningen af et større antal.
LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Der er særlige tilfælde for at bestemme det mindste fælles multiplum. Så hvis et af tallene kan divideres uden en rest med et andet, så vil det største af disse tal være det mindste fælles multiplum.
For eksempel ville NOC'er på tolv og fireogtyve være fireogtyve.
Hvis det er nødvendigt at finde det mindste fælles multiplum af coprimtal, der ikke har de samme divisorer, så vil deres LCM være lig med deres produkt.
For eksempel, LCM(10; 11) = 110.
Indlæser...