GCD er den største fælles divisor.
Sådan finder du den største fælles divisor af flere tal:
- bestemme de faktorer, der er fælles for begge tal;
- finde produktet af fælles faktorer.
Et eksempel på at finde en GCD:
Find GCD for tallene 315 og 245.
315 = 5 * 3 * 3 * 7;
245 = 5 * 7 * 7.
2. Skriv de faktorer, der er fælles for begge tal:
3. Find produktet af fælles faktorer:
gcd(315; 245) = 5 * 7 = 35.
Svar: GCD(315; 245) = 35.
At finde NOC
LCM er det mindste fælles multiplum.
Sådan finder du det mindste fælles multiplum af flere tal:
- nedbryde tal i primfaktorer;
- udskriv de faktorer, der indgår i udvidelsen af et af tallene;
- tilføj dem de manglende faktorer fra udvidelsen af det andet tal;
- find produktet af de resulterende faktorer.
Et eksempel på at finde NOC:
Find LCM for tallene 236 og 328:
1. Vi opdeler tallene i primfaktorer:
236 = 2 * 2 * 59;
328 = 2 * 2 * 2 * 41.
2. Skriv ned de faktorer, der er inkluderet i udvidelsen af et af tallene, og tilføj dem de manglende faktorer fra udvidelsen af det andet tal:
2; 2; 59; 2; 41.
3. Find produktet af de resulterende faktorer:
LCM(236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.
Svar: LCM(236; 328) = 19352.
For at finde GCD (største fælles divisor) af to tal, skal du bruge:
2. Find (understreg) alle almindelige primfaktorer i de opnåede udvidelser.
3. Find produktet af almindelige primfaktorer.
For at finde LCM (mindste fælles multiplum) af to tal, skal du bruge:
1. Dekomponér disse tal i primfaktorer.
2. Suppler udvidelsen af en af dem med de faktorer for udvidelsen af det andet tal, som ikke er i udvidelsen af det første.
3. Beregn produktet af de opnåede faktorer.
Tilbage frem
Opmærksomhed! Forhåndsvisningen af dias er kun til informationsformål og repræsenterer muligvis ikke det fulde omfang af præsentationen. Hvis du er interesseret dette arbejde download venligst den fulde version.
Med begreberne den største fælles divisor (GCD) og den mindste fælles multiplum (LCM) mødes gymnasieelever i sjette klasse. Dette emne er altid svært at mestre. Børn forveksler ofte disse begreber, forstår ikke, hvorfor de skal studeres. PÅ nyere tid og i den populærvidenskabelige litteratur er der særskilte udsagn om, at dette materiale bør udelukkes fra skolens læseplan. Jeg tror, at dette ikke er helt sandt, og du skal studere det, hvis ikke i klasseværelset, så ind efter timer i klasseværelset er skolekomponenten obligatorisk, da dette bidrager til udviklingen af logisk tænkning hos skolebørn, øge hastigheden af beregningsoperationer og evnen til at løse problemer ved hjælp af smukke metoder.
Når du studerer emnet "Addition og subtraktion af brøker med forskellige nævnere"Vi lærer børn at finde en fællesnævner for to eller flere tal. For eksempel skal du lægge brøkerne 1/3 og 1/5 sammen. Eleverne kan nemt finde et tal, der er deleligt uden en rest med 3 og 5. Dette tallet er 15. Faktisk, hvis tallene er små, er deres fællesnævner let at finde, når man kender multiplikationstabellen godt. Nogle af drengene bemærker, at dette tal er produktet af tallene 3 og 5. Børnene har den mening at man altid kan finde en fællesnævner for tal på denne måde. For eksempel trækker vi brøkerne 7/18 og 5/24 fra. Lad os finde produktet af tallene 18 og 24. Det er lig med 432. Vi har allerede modtaget et stort tal, og hvis du skal lave nogle udregninger yderligere (især for eksempler for alle handlinger), så stiger sandsynligheden for fejl.det fælles multiplum af tal (LCM), som i dette tilfælde svarer til den mindste fællesnævner ( LCD) - tallet 72 - vil i høj grad lette beregninger og føre til en hurtigere løsning af eksemplet og derved spare tid afsat til udførelse givet opgave, som spiller en vigtig rolle i udførelsen af den afsluttende prøve, kontrol virker især under den afsluttende vurdering.
Når du studerer emnet "Reduktion af brøker", kan du flytte successivt ved at dividere tælleren og nævneren af brøken med det samme naturlige tal, ved at bruge tegnene på delelighed af tal, og i sidste ende opnå en irreducerbar brøk. For eksempel skal du reducere fraktionen 128/344. Vi dividerer først brøkens tæller og nævner med tallet 2, vi får brøken 64/172. Endnu en gang dividerer vi tælleren og nævneren af den resulterende brøk med 2, vi får brøken 32/86. Divider endnu en gang brøkens tæller og nævner med 2, vi får den irreducerbare brøk 16/43. Men brøkreduktion kan gøres meget lettere, hvis vi finder den største fælles divisor af tallene 128 og 344. GCD (128, 344) = 8. Dividerer vi brøkens tæller og nævner med dette tal, får vi straks en irreducerbar brøk.
Skal vise børnene forskellige veje at finde den største fælles divisor (GCD) og den mindste fælles multiplum (LCM) af tal. I simple tilfælde er det praktisk at finde den største fælles divisor (GCD) og mindste fælles multiplum (LCM) af tal ved simpel opregning. Efterhånden som tallene bliver større, kan primfaktorer bruges. Sjette klasses lærebog (forfatter N.Ya. Vilenkin) viser følgende metode til at finde den største fælles divisor (GCD) af tal. Lad os opdele tallene i primfaktorer:
- 16 = 2*2*2*2
- 120 = 2*2*2*3*5
Derefter, fra de faktorer, der er inkluderet i udvidelsen af et af disse tal, overstreger vi dem, der ikke er inkluderet i udvidelsen af det andet tal. Produktet af de resterende faktorer vil være den største fælles divisor af disse tal. I dette tilfælde er dette tal 8. Ud fra min egen erfaring var jeg overbevist om, at det er mere forståeligt for børn, hvis vi understreger de samme faktorer i udvidelser af tal, og så i en af udvidelserne finder vi produktet af det understregede faktorer. Dette er den største fælles divisor af disse tal. I sjette klasse er børn aktive og nysgerrige. Du kan indstille dem til følgende opgave: Prøv at finde den største fælles divisor af tallene 343 og 287 på den beskrevne måde. Det er ikke umiddelbart klart, hvordan de skal indregnes i primfaktorer. Og her kan du fortælle dem om den vidunderlige metode, opfundet af de gamle grækere, som giver dig mulighed for at søge efter den største fælles divisor (GCD) uden at nedbrydes i prime faktorer. Denne metode til at finde den største fælles divisor blev først beskrevet i Euklids elementer. Det kaldes Euklids algoritme. Det består af følgende: Del først det største tal med det mindre. Hvis der er en rest, skal du dividere det mindste tal med resten. Hvis resten opnås igen, divider du den første rest med den anden. Så fortsæt med at dividere, indtil resten er nul. Den sidste divisor er den største fælles divisor (GCD) af disse tal.
Lad os vende tilbage til vores eksempel og for klarhedens skyld skrive løsningen i form af en tabel.
| Udbytte | Afdeler | Privat | Resten |
| 343 | 287 | 1 | 56 |
| 287 | 56 | 5 | 7 |
| 56 | 7 | 8 | 0 |
Så gcd(344.287) = 7
Og hvordan finder man det mindste fælles multiplum (LCM) af de samme tal? Er der en måde til dette, som ikke kræver en foreløbig dekomponering af disse tal til primfaktorer? Det viser sig, at der er det, og det er en meget simpel en. Vi skal gange disse tal og dividere produktet med den største fælles divisor (GCD), vi fandt. I dette eksempel er produktet af tallene 98441. Divider det med 7 og få tallet 14063. LCM(343,287) = 14063.
Et af de svære emner i matematik er løsningen af ordproblemer. Det er nødvendigt at vise eleverne, hvordan man ved at bruge begreberne "Greatest Common Divisor (GCD)" og "Least Common Multiple (LCM)" kan løse problemer, der nogle gange er svære at løse på sædvanlig måde. Her er det hensigtsmæssigt sammen med eleverne at overveje gamle og underholdende opgaver, der udvikler børns nysgerrighed og øger interessen for at studere dette emne, sammen med de opgaver, som forfatterne til skolebogen har foreslået. Dygtig besiddelse af disse begreber giver eleverne mulighed for at se en smuk løsning på et ikke-standardproblem. Og hvis barnets humør stiger efter at have løst et godt problem, er dette et tegn på vellykket arbejde.
Studiet på skolen af sådanne begreber som "Greatest Common Divisor (GCD)" og "Least Common Multiple (LCD)" af tal.
Giver dig mulighed for at spare tid tildelt til udførelsen af arbejdet, hvilket fører til en betydelig stigning i mængden af afsluttede opgaver;
Øger hastigheden og nøjagtigheden af aritmetiske operationer, hvilket fører til en betydelig reduktion i antallet af tilladte beregningsfejl;
Giver dig mulighed for at finde smukke måder løsning af ikke-standard tekstproblemer;
Udvikler elevernes nysgerrighed, udvider deres horisont;
Skaber forudsætningerne for uddannelse af en alsidig kreativ personlighed.
At finde den største fælles divisor af tre eller flere tal kan reduceres til successivt at finde gcd af to tal. Vi nævnte dette, da vi studerede egenskaberne ved GCD. Der formulerede og beviste vi sætningen: den største fælles divisor af flere tal a 1 , a 2 , …, a k er lig med tallet d k, som findes i den sekventielle beregning GCD(a 1 , a 2)=d 2, GCD(d 2 , a 3)=d 3, GCD(d 3 , a 4)=d 4, …,GCD(dk-1, ak)=dk.
Lad os se, hvordan processen med at finde GCD af flere tal ser ud ved at overveje løsningen af eksemplet.
Eksempel.
Find den største fælles divisor af fire tal 78 , 294 , 570 og 36 .
Løsning.
I dette eksempel a 1 = 78, a2=294, en 3 \u003d 570, a4=36.
Først ved hjælp af Euklid-algoritmen bestemmer vi den største fælles divisor d2 to første numre 78 og 294 . Når vi deler, får vi lighederne 294=78 3+60; 78=601+18;60=183+6 og 18=6 3. På denne måde d 2 \u003d GCD (78, 294) \u003d 6.
Lad os nu beregne d 3 \u003d GCD (d 2, a 3) \u003d GCD (6, 570). Lad os bruge Euklids algoritme igen: 570=6 95, Følgelig, d 3 \u003d GCD (6, 570) \u003d 6.
Det er tilbage at beregne d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36). Fordi 36 divideret med 6 , derefter d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d 6.
Så den største fælles divisor af de fire givne tal er d4=6, det er, gcd(78, 294, 570, 36)=6.
Svar:
gcd(78, 294, 570, 36)=6.
Dekomponering af tal i primfaktorer giver dig også mulighed for at beregne GCD for tre eller flere tal. I dette tilfælde findes den største fælles divisor som produktet af alle fælles primfaktorer af de givne tal.
Eksempel.
Beregn GCD for tallene fra det foregående eksempel ved hjælp af deres primtalsfaktoriseringer.
Løsning.
Lad os nedbryde tallene 78 , 294 , 570 og 36 ind i primære faktorer, får vi 78=2 3 13,294=2 3 7 7, 570=2 3 5 19, 36=2 2 3 3. De fælles primfaktorer for alle givne fire tal er tallene 2 og 3 . Følgelig, GCD(78, 294, 570, 36)=2 3=6.
Svar:
gcd(78, 294, 570, 36)=6.
Øverst på siden
Finde gcd af negative tal
Hvis et, flere eller alle tal, største divisor at finde er negative tal, så er deres gcd lig med den største fælles divisor af modulerne af disse tal. Dette er fordi modsatte tal -en og -en har de samme divisorer, som vi diskuterede, da vi studerede delelighedens egenskaber.
Eksempel.
Find gcd for negative heltal −231 og −140 .
Løsning.
Den absolutte værdi af et tal −231 lige med 231 , og modulet af tallet −140 lige med 140 , og gcd(−231, −140)=gcd(231, 140). Euklids algoritme giver os følgende ligheder: 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7 og 42=7 6. Følgelig, gcd(231, 140)=7. Derefter den ønskede største fælles divisor af negative tal −231 og −140 lige med 7 .
Svar:
GCD(−231;−140)=7.
Eksempel.
Bestem gcd af tre tal −585 , 81 og −189 .
Løsning.
At finde den største fælles divisor negative tal kan erstattes af deres absolutte værdier, dvs. gcd(−585, 81, −189)=gcd(585, 81, 189). Nummerudvidelser 585 , 81 og 189 ind i prime faktorer er henholdsvis af formen 585=3 3 5 13, 81=3 3 3 3 og 189=3 3 3 7. De fælles primfaktorer for disse tre tal er 3 og 3 . Derefter GCD(585, 81, 189)=3 3=9, Følgelig, gcd(−585, 81, −189)=9.
Svar:
gcd(−585, 81, −189)=9.
35. Rødder af et polynomium. Bezouts sætning. (33 og derover)
36. Multiple rødder, kriterium for multiplicitet af roden.
Definition. Det største naturlige tal, som tallene a og b er delelige med uden en rest, kaldes største fælles divisor (gcd) disse tal.
Lad os finde den største fælles divisor af tallene 24 og 35.
Divisorerne for 24 vil være tallene 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, og divisorerne for 35 vil være tallene 1, 5, 7, 35.
Vi ser, at tallene 24 og 35 kun har én fælles divisor - tallet 1. Sådanne tal kaldes coprime.
Definition. De naturlige tal kaldes coprime hvis deres største fælles divisor (gcd) er 1.
Største fælles deler (GCD) kan findes uden at udskrive alle divisorerne for de givne tal.
Tager man tallene 48 og 36 i betragtning, får vi:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Fra de faktorer, der er inkluderet i udvidelsen af det første af disse tal, sletter vi dem, der ikke er inkluderet i udvidelsen af det andet tal (dvs. to toere).
Faktorerne 2 * 2 * 3 forbliver. Deres produkt er 12. Dette tal er den største fælles divisor af tallene 48 og 36. Den største fælles divisor af tre eller flere tal findes også.
At finde største fælles divisor
2) fra de faktorer, der er inkluderet i udvidelsen af et af disse tal, skal du strege dem ud, der ikke er inkluderet i udvidelsen af andre numre;
3) find produktet af de resterende faktorer.
Hvis alle givne tal er delelige med et af dem, så er dette tal største fælles divisor givne tal.
For eksempel er den største fælles divisor af 15, 45, 75 og 180 15, da den deler alle andre tal: 45, 75 og 180.
Mindste fælles multiplum (LCM)
Definition. Mindste fælles multiplum (LCM) naturlige tal a og b er det mindste naturlige tal, der er et multiplum af både a og b. Det mindste fælles multiplum (LCM) af tallene 75 og 60 kan findes uden at skrive multipla af disse tal ud i en række. For at gøre dette opdeler vi 75 og 60 i simple faktorer: 75 \u003d 3 * 5 * 5 og 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Vi skriver de faktorer, der er inkluderet i udvidelsen af det første af disse tal, og tilføjer de manglende faktorer 2 og 2 fra udvidelsen af det andet tal (det vil sige vi kombinerer faktorerne).
Vi får fem faktorer 2 * 2 * 3 * 5 * 5, hvis produkt er 300. Dette tal er det mindste fælles multiplum af tallene 75 og 60.
Find også det mindste fælles multiplum af tre eller flere tal.
Til find det mindste fælles multiplum flere naturlige tal, du skal bruge:
1) nedbryde dem i prime faktorer;
2) udskriv de faktorer, der indgår i udvidelsen af et af tallene;
3) tilføj dem de manglende faktorer fra udvidelserne af de resterende tal;
4) find produktet af de resulterende faktorer.
Bemærk, at hvis et af disse tal er deleligt med alle andre tal, så er dette tal det mindste fælles multiplum af disse tal.
For eksempel ville det mindste fælles multiplum af 12, 15, 20 og 60 være 60, da det er deleligt med alle givne tal.
Pythagoras (VI århundrede f.Kr.) og hans elever studerede spørgsmålet om tals delelighed. Et tal lig med summen af alle dets divisorer (uden selve tallet), kaldte de det perfekte tal. For eksempel er tallene 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) perfekte. De næste perfekte tal er 496, 8128, 33.550.336. Pythagoræerne kendte kun de første tre perfekte tal. Den fjerde - 8128 - blev kendt i det 1. århundrede. n. e. Den femte - 33 550 336 - blev fundet i det 15. århundrede. I 1983 var 27 perfekte tal allerede kendt. Men indtil nu ved forskerne ikke, om der er ulige perfekte tal, om der er det største perfekte tal.
Gamle matematikeres interesse for primtal skyldes, at ethvert tal enten er primtal eller kan repræsenteres som et produkt Primtal, dvs. primtal er sådan set mursten, som resten af de naturlige tal er bygget af.
Du har sikkert bemærket, at primtal i rækken af naturlige tal forekommer ujævnt - i nogle dele af rækken er der flere af dem, i andre - færre. Men jo længere vi bevæger os langs talrækken, jo sjældnere er primtallene. Spørgsmålet opstår: eksisterer det sidste (største) primtal? Den antikke græske matematiker Euklid (3. århundrede f.Kr.) beviste i sin bog "Begyndelser", som i to tusinde år var den vigtigste lærebog i matematik, at der er uendeligt mange primtal, dvs. bag hvert primtal er der et lige større primtal.
For at finde primtal kom en anden græsk matematiker fra samme tid, Eratosthenes, på en sådan metode. Han skrev alle tallene ned fra 1 til et eller andet tal, og streg derefter enheden over, som hverken er et primtal eller et sammensat tal, og krydsede derefter alle tallene efter 2 over (tal, der er multipla af 2, dvs. 4, 6, 8 osv.). Det første resterende tal efter 2 var 3. Efter to blev alle tallene efter 3 streget over (tal, der er multipla af 3, dvs. 6, 9, 12 osv.). i sidste ende forblev kun primtallene ikke overstreget.
Mange divisorer
Overvej følgende problem: find divisoren for tallet 140. Det er indlysende, at tallet 140 ikke har én divisor, men flere. I sådanne tilfælde siges opgaven at have masser af løsninger. Lad os finde dem alle. Først og fremmest dekomponerer vi dette tal i primfaktorer:
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.
Nu kan vi nemt skrive alle divisorerne ud. Lad os starte med simple divisorer, det vil sige dem, der er til stede i udvidelsen ovenfor:
Derefter udskriver vi dem, der opnås ved parvis multiplikation af primtalsdelere:
2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.
Derefter - dem, der indeholder tre simple divisorer:
2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.
Lad os endelig ikke glemme enheden og selve det nedbrydelige nummer:
Alle divisorer fundet af os danner masser af divisorer af tallet 140, som er skrevet med krøllede seler:
Sættet af divisorer af tallet 140 =
{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.
For at lette opfattelsen har vi skrevet divisorerne ud her ( sæt elementer) i stigende rækkefølge, men generelt set er dette ikke nødvendigt. Derudover introducerer vi en forkortelse. I stedet for "Sættet af divisorer af tallet 140" vil vi skrive "D (140)". På denne måde
På samme måde kan man finde sættet af divisorer for ethvert andet naturligt tal. For eksempel fra udvidelsen
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7
vi får:
D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).
Fra mængden af alle divisorer bør man skelne mængden af primtal divisorer, som for tallene 140 og 105 er ens, henholdsvis:
PD(140) = (2, 5, 7).
PD(105) = (3, 5, 7).
Det skal understreges, at ved dekomponeringen af tallet 140 i primfaktorer er to til stede to gange, mens det i mængden PD(140) kun er én. Sættet af PD(140) er i bund og grund alle svarene på problemet: "Find en primfaktor af tallet 140". Det er klart, at det samme svar ikke bør gentages mere end én gang.
Brøkreduktion. Største fælles deler
Overvej en brøkdel
Vi ved, at denne brøk kan reduceres med et tal, der både er en divisor af tælleren (105) og en divisor af nævneren (140). Lad os se på mængderne D(105) og D(140) og skrive deres fælles elementer ned.
D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);
D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).
Fælles elementer i mængderne D(105) og D(140) =
Den sidste lighed kan skrives kortere, nemlig:
D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).
Her angiver det specielle ikon "∩" ("pose med hullet nede") blot, at fra de to sæt, der er skrevet på hver sin side af den, skal der kun vælges almindelige elementer. Indtastningen "D (105) ∩ D (140)" lyder " vejkryds sæt af Te fra 105 og Te fra 140.
[Bemærk undervejs, at du kan udføre forskellige binære operationer med mængder, næsten som med tal. En anden almindelig binær operation er en forening, hvilket er angivet med ikonet "∪" ("pose med hullet opad"). Foreningen af to sæt inkluderer alle elementerne i begge sæt:
PD(105) = (3, 5, 7);
PD(140) = (2, 5, 7);
PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]
Så vi fandt ud af, at brøken
kan reduceres til et hvilket som helst af de numre, der hører til sættet
D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)
og kan ikke reduceres med noget andet naturligt tal. Det er alt mulige måder reduktioner (undtagen den uinteressante reduktion med én):
Det er indlysende, at det er mest praktisk at reducere brøken med et tal, hvis det er muligt, et større. PÅ dette tilfælde er tallet 35, som siges at være største fælles divisor (GCD) nummer 105 og 140. Dette skrives som
gcd(105, 140) = 35.
Men i praksis, hvis vi får to tal og skal finde deres største fælles divisor, behøver vi slet ikke bygge nogen mængder. Det er nok blot at faktorisere begge tal i primfaktorer og understrege de af disse faktorer, der er fælles for begge faktoriseringer, for eksempel:
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .
Hvis vi multiplicerer de understregede tal (i enhver af udvidelserne), får vi:
gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.
Det er selvfølgelig muligt, at der er mere end to understregede faktorer:
168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;
396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.
Herfra er det tydeligt
gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.
Særlig omtale fortjener situationen, når der slet ikke er nogen fælles faktorer, og der ikke er noget at understrege, for eksempel:
42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;
I dette tilfælde,
gcd(42, 55) = 1.
To naturlige tal, for hvilke gcd er lig med én, kaldes coprime. Hvis du laver en brøk af sådanne tal, f.eks.
så er sådan en brøkdel irreducerbar.
Generelt kan reglen for reduktion af brøker skrives som følger:
|
-en/ gcd( -en, b) |
|||
|
b/ gcd( -en, b) |
Her antages det -en og b er naturlige tal, og alle brøker er positive. Hvis vi nu tildeler et minustegn til begge sider af denne lighed, får vi den tilsvarende regel for negative brøker.
Addition og subtraktion af brøker. Mindste fælles multiplum
Antag, at du vil beregne summen af to brøker:
Vi ved allerede, hvordan nævnere dekomponeres i primfaktorer:
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .
Det følger umiddelbart af denne udvidelse, at for at reducere fraktionerne til fællesnævner, er det nok at gange tælleren og nævneren af den første brøk med 2 ∙ 2 (produktet af de ubetonede primfaktorer af den anden nævner), og tælleren og nævneren af den anden brøk med 3 ("produktet" af ubetonede primfaktorer af den første nævner). Som et resultat vil nævnerne af begge brøker blive lig med et tal, der kan repræsenteres som følger:
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.
Det er let at se, at begge de oprindelige nævnere (både 105 og 140) er divisorer af tallet 420, og tallet 420 er til gengæld et multiplum af begge nævnere - og ikke bare et multiplum, det er mindste fælles multiplum (NOC) nummer 105 og 140. Dette er skrevet sådan her:
LCM(105; 140) = 420.
Ser vi nærmere på udvidelsen af tallene 105 og 140, ser vi det
105 ∙ 140 = LCM(105, 140) ∙ GCD(105, 140).
Tilsvarende for vilkårlige naturlige tal b og d:
b ∙ d= LCM( b, d) ∙ GCD( b, d).
Lad os nu færdiggøre summeringen af vores brøker:
|
3 ∙ 5 ∙ 7 |
2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 |
|
Bemærk. For at løse nogle problemer skal du vide, hvad kvadratet af et tal er. Talkvadrat -en kaldt et nummer -en ganget med sig selv, dvs -en∙-en. (Som du kan se, er det lig med arealet af en firkant med en side -en). |
Indlæser...