Lad os fortsætte diskussionen om det mindste fælles multiplum, som vi startede i afsnittet LCM - Mindste fælles multiplum, definition, eksempler. I dette emne vil vi se på måder at finde LCM for tre tal eller mere, vi vil analysere spørgsmålet om, hvordan man finder LCM for et negativt tal.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Beregning af det mindste fælles multiplum (LCM) gennem gcd
Vi har allerede etableret forholdet mellem det mindste fælles multiplum og den største fælles divisor. Lad os nu lære, hvordan man definerer LCM gennem GCD. Lad os først finde ud af, hvordan man gør dette positive tal.
Definition 1
Du kan finde det mindste fælles multiplum gennem den største fælles divisor ved at bruge formlen LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .
Eksempel 1
Det er nødvendigt at finde LCM for tallene 126 og 70.
Opløsning
Lad os tage a = 126 , b = 70 . Erstat værdierne i formlen for at beregne det mindste fælles multiplum gennem den største fælles divisor LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
Finder GCD for tallene 70 og 126. Til dette har vi brug for Euklids-algoritmen: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , derfor gcd (126 , 70) = 14 .
Lad os beregne LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Svar: LCM (126, 70) = 630.
Eksempel 2
Find nok for tallene 68 og 34.
Opløsning
GCD ind dette tilfælde Det er nemt at finde det, da 68 er deleligt med 34. Beregn det mindste fælles multiplum ved hjælp af formlen: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Svar: LCM(68; 34) = 68.
I dette eksempel brugte vi reglen til at finde det mindste fælles multiplum af positive heltal a og b: hvis det første tal er deleligt med det andet, så vil LCM for disse tal være lig med det første tal.
Find LCM ved at faktorisere tal i primfaktorer
Lad os nu se på en måde at finde LCM på, som er baseret på dekomponering af tal til primfaktorer.
Definition 2
For at finde det mindste fælles multiplum skal vi udføre en række enkle trin:
- vi udgør produktet af alle primfaktorer af tal, som vi skal finde LCM for;
- vi udelukker alle primære faktorer fra deres opnåede produkter;
- produktet opnået efter eliminering af de fælles primfaktorer vil være lig med LCM for de givne tal.
Denne måde at finde det mindste fælles multiplum på er baseret på ligheden LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Hvis du ser på formlen, vil det blive klart: produktet af tallene a og b er lig med produktet af alle faktorer, der er involveret i udvidelsen af disse to tal. I dette tilfælde er GCD for to tal lig med produktet af alle primfaktorer, der er til stede samtidigt i faktoriseringerne af disse to tal.
Eksempel 3
Vi har to numre 75 og 210. Vi kan udregne dem på denne måde: 75 = 3 5 5 Og 210 = 2 3 5 7. Hvis du laver produktet af alle faktorerne af de to oprindelige tal, får du: 2 3 3 5 5 5 7.
Hvis vi ekskluderer de faktorer, der er fælles for både tallene 3 og 5, får vi et produkt af følgende form: 2 3 5 5 7 = 1050. Dette produkt vil være vores LCM for numrene 75 og 210.
Eksempel 4
Find LCM for tal 441 Og 700 , ved at dekomponere begge tal i primfaktorer.
Opløsning
Lad os finde alle primfaktorerne for tallene givet i betingelsen:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Vi får to talkæder: 441 = 3 3 7 7 og 700 = 2 2 5 5 7 .
Produktet af alle de faktorer, der deltog i udvidelsen af disse tal, vil se sådan ud: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Lad os finde de fælles faktorer. Dette tal er 7. Vi udelukker det fra det generelle produkt: 2 2 3 3 5 5 7 7. Det viser sig, at NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Svar: LCM (441, 700) = 44 100.
Lad os give endnu en formulering af metoden til at finde LCM ved at dekomponere tal i primfaktorer.
Definition 3
Tidligere udelukkede vi fra det samlede antal faktorer, der er fælles for begge tal. Nu vil vi gøre det anderledes:
- Lad os opdele begge tal i primfaktorer:
- læg til produktet af primfaktorerne for det første tal de manglende faktorer af det andet tal;
- vi får produktet, som vil være den ønskede LCM af to numre.
Eksempel 5
Lad os gå tilbage til tallene 75 og 210, som vi allerede ledte efter LCM i et af de foregående eksempler. Lad os opdele dem i simple faktorer: 75 = 3 5 5 Og 210 = 2 3 5 7. Til produktet af faktor 3, 5 og 5 nummer 75 tilføj de manglende faktorer 2 Og 7 nummer 210. Vi får: 2 3 5 5 7 . Dette er LCM for tallene 75 og 210.
Eksempel 6
Det er nødvendigt at beregne LCM for tallene 84 og 648.
Opløsning
Lad os dekomponere tallene fra betingelsen i primfaktorer: 84 = 2 2 3 7 Og 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Tilføj til produktet af faktorerne 2 , 2 , 3 og 7
tal 84 mangler faktorer 2 , 3 , 3 og
3
nummer 648. Vi får produktet 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Dette er det mindste fælles multiplum af 84 og 648.
Svar: LCM (84, 648) = 4536.
Finde LCM for tre eller flere tal
Uanset hvor mange tal vi har med at gøre, vil algoritmen for vores handlinger altid være den samme: Vi vil sekventielt finde LCM for to tal. Der er et teorem for denne sag.
Sætning 1
Antag, at vi har heltal a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k af disse tal findes i sekventiel beregning m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .
Lad os nu se på, hvordan teoremet kan anvendes på specifikke problemer.
Eksempel 7
Du skal beregne det mindste fælles multiplum af de fire tal 140 , 9 , 54 og 250 .
Opløsning
Lad os introducere notationen: en 1 \u003d 140, en 2 \u003d 9, en 3 \u003d 54, en 4 \u003d 250.
Lad os starte med at beregne m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Lad os bruge den euklidiske algoritme til at beregne GCD for tallene 140 og 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Vi får: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Derfor er m 2 = 1 260 .
Lad os nu beregne efter den samme algoritme m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . I løbet af beregningerne får vi m 3 = 3 780.
Det er tilbage for os at beregne m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Vi handler efter samme algoritme. Vi får m 4 \u003d 94 500.
LCM for de fire numre fra eksempelbetingelsen er 94500.
Svar: LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.
Som du kan se, er beregningerne enkle, men ret besværlige. For at spare tid kan du gå den anden vej.
Definition 4
Vi tilbyder dig følgende handlingsalgoritme:
- nedbryde alle tal i primfaktorer;
- til produktet af faktorerne af det første tal, læg de manglende faktorer fra produktet af det andet tal;
- tilføj de manglende faktorer i det tredje tal til produktet opnået i det foregående trin osv.;
- det resulterende produkt vil være det mindste fælles multiplum af alle tal fra betingelsen.
Eksempel 8
Det er nødvendigt at finde LCM af fem tal 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Opløsning
Lad os dekomponere alle fem tal i primfaktorer: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Primtal, som er tallet 7, kan ikke indregnes i primtal. Sådanne tal falder sammen med deres nedbrydning til primfaktorer.
Lad os nu tage produktet af primfaktorerne 2, 2, 3 og 7 af tallet 84 og tilføje de manglende faktorer til det andet tal. Vi har dekomponeret tallet 6 i 2 og 3. Disse faktorer er allerede i produktet af det første tal. Derfor undlader vi dem.
Vi fortsætter med at tilføje de manglende multiplikatorer. Vi vender os til tallet 48, fra produktet af primfaktorer, hvoraf vi tager 2 og 2. Derefter tilføjer vi en simpel faktor på 7 fra det fjerde tal og faktorer på 11 og 13 af det femte. Vi får: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Dette er det mindste fælles multiplum af de fem oprindelige tal.
Svar: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.
Find det mindste fælles multiplum af negative tal
For at finde det mindste fælles multiplum af negative tal, skal disse tal først erstattes af tal med det modsatte fortegn, og derefter skal beregningerne udføres i henhold til ovenstående algoritmer.
Eksempel 9
LCM(54, −34) = LCM(54, 34) og LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Sådanne handlinger er tilladte på grund af det faktum, at hvis det accepteres, at -en Og − en- modsatte tal
derefter sættet af multipler -en falder sammen med mængden af multipla af et tal − en.
Eksempel 10
Det er nødvendigt at beregne LCM for negative tal − 145 Og − 45 .
Opløsning
Lad os ændre tallene − 145 Og − 45 til deres modsatte tal 145 Og 45 . Nu, ved hjælp af algoritmen, beregner vi LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305, efter at have bestemt GCD'en ved hjælp af Euklid-algoritmen.
Vi får, at LCM af tal − 145 og − 45 lige med 1 305 .
Svar: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .
Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter
Den største fælles divisor og den mindste fælles multiplum er vigtige aritmetiske begreber, der giver dig mulighed for at arbejde ubesværet almindelige brøker. LCM og bruges oftest til at finde fællesnævneren for flere brøker.
Basale koncepter
Divisor af et heltal X er et andet heltal Y, som X er deleligt med uden en rest. For eksempel er divisor af 4 2, og 36 er 4, 6, 9. Et multiplum af hele tallet X er et tal Y, der er deleligt med X uden en rest. For eksempel er 3 et multiplum af 15, og 6 er et multiplum af 12.
For ethvert talpar kan vi finde deres fælles divisorer og multipla. For eksempel, for 6 og 9 er fællesmultiplen 18, og fællesdivisoren er 3. Naturligvis kan par have flere divisorer og multipla, så den største divisor af GCD og den mindste multiplum af LCM bruges i beregningerne .
Den mindste divisor giver ikke mening, da den for ethvert tal altid er en. Det største multiplum er også meningsløst, da sekvensen af multipler har en tendens til uendelig.
Finder GCD
Der er mange metoder til at finde den største fælles divisor, hvoraf de mest berømte er:
- sekventiel opregning af divisorer, udvælgelse af almindelige for et par og søg efter den største af dem;
- nedbrydning af tal i udelelige faktorer;
- Euklids algoritme;
- binær algoritme.
I dag kl uddannelsesinstitutioner de mest populære er primfaktoriseringsmetoder og Euklids algoritme. Sidstnævnte bruges til gengæld til at løse diophantiske ligninger: søgningen efter GCD er påkrævet for at kontrollere ligningen for muligheden for at løse den i heltal.
At finde NOC
Det mindste fælles multiplum er også nøjagtigt bestemt af iterativ opregning eller faktorisering til udelelige faktorer. Derudover er det nemt at finde LCM, hvis den største divisor allerede er bestemt. For tallene X og Y er LCM og GCD relateret af følgende relation:
LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).
For eksempel, hvis gcd(15,18) = 3, så er LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Den mest oplagte brug af LCM er at finde fællesnævneren, som er det mindste fælles multiplum af givne brøker.
Coprime tal
Hvis et talpar ikke har nogen fælles divisor, så kaldes et sådant par coprime. GCM for sådanne par er altid lig med én, og baseret på forbindelsen af divisorer og multipla er GCM for coprime lig med deres produkt. For eksempel er tallene 25 og 28 coprime, fordi de ikke har nogen fælles divisorer, og LCM(25, 28) = 700, hvilket svarer til deres produkt. Alle to udelelige tal vil altid være coprime.
Fælles Divisor og Multiple Lommeregner
Med vores lommeregner kan du beregne GCD og LCM for et hvilket som helst antal tal at vælge imellem. Opgaver til beregning af fælles divisorer og multipla findes i aritmetik af 5. og 6. klasse, dog er GCD og LCM matematikkens nøglebegreber og bruges i talteori, planimetri og kommunikativ algebra.
Eksempler fra det virkelige liv
Fællesnævner for brøker
Det mindste fælles multiplum bruges, når man finder fællesnævneren for flere brøker. Antag, at det i en regneopgave kræves at summere 5 brøker:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
For at tilføje brøker skal udtrykket reduceres til fællesnævner, hvilket reducerer problemet med at finde LCM. For at gøre dette skal du vælge 5 tal i lommeregneren og indtaste nævnerværdierne i de relevante celler. Programmet vil beregne LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Nu skal du beregne yderligere faktorer for hver brøk, som er defineret som forholdet mellem LCM og nævneren. Så de ekstra multiplikatorer ville se sådan ud:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Derefter multiplicerer vi alle brøkerne med den tilsvarende ekstra faktor og får:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Vi kan nemt tilføje sådanne brøker og få resultatet i form af 159/360. Vi reducerer brøken med 3 og ser det endelige svar - 53/120.
Løsning af lineære diofantiske ligninger
Lineære diofantiske ligninger er udtryk for formen ax + by = d. Hvis forholdet d / gcd(a, b) er et heltal, så er ligningen opløselig i heltal. Lad os tjekke et par ligninger for muligheden for en heltalsløsning. Tjek først ligningen 150x + 8y = 37. Ved hjælp af en lommeregner finder vi gcd (150,8) = 2. Divider 37/2 = 18,5. Tallet er ikke et heltal, derfor har ligningen ikke heltalsrødder.
Lad os tjekke ligningen 1320x + 1760y = 10120. Brug en lommeregner til at finde gcd(1320, 1760) = 440. Divider 10120/440 = 23. Som et resultat får vi et heltal, derfor er Diophantin-koefficienten solvisk ligning .
Konklusion
GCD og LCM spiller en vigtig rolle i talteorien, og selve begreberne er meget udbredt inden for forskellige områder af matematikken. Brug vores lommeregner til at beregne de største divisorer og mindste multipla af et vilkårligt antal tal.
Overvej tre måder at finde det mindste fælles multiplum.
Finding ved Factoring
Den første måde er at finde det mindste fælles multiplum ved at faktorisere de givne tal i primfaktorer.
Antag, at vi skal finde LCM for tallene: 99, 30 og 28. For at gøre dette opdeler vi hvert af disse tal i primfaktorer:
For at det ønskede tal er deleligt med 99, 30 og 28, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at det inkluderer alle primfaktorerne for disse divisorer. For at gøre dette skal vi tage alle primfaktorerne for disse tal til den højest forekommende potens og gange dem sammen:
2 2 3 2 5 7 11 = 13 860
Så LCM (99, 30, 28) = 13.860. Intet andet tal mindre end 13.860 er ligeligt deleligt med 99, 30 eller 28.
For at finde det mindste fælles multiplum af givne tal skal du dekomponere dem i primfaktorer, derefter tage hver primfaktor med den største eksponent, som den forekommer med, og gange disse faktorer sammen.
Fordi det er gensidigt Primtal ikke har fælles primfaktorer, så er deres mindste fælles multiplum lig med produktet af disse tal. For eksempel er tre tal: 20, 49 og 33 coprime. Derfor
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.
Det samme bør gøres, når man leder efter det mindste fælles multiplum af forskellige primtal. For eksempel LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Find ved valg
Den anden måde er at finde det mindste fælles multiplum ved at tilpasse.
Eksempel 1. Når det største af de givne tal er ligeligt deleligt med andre givne tal, så er LCM for disse tal lig med det største af dem. For eksempel givet fire tal: 60, 30, 10 og 6. Hver af dem er delelig med 60, derfor:
NOC(60; 30; 10; 6) = 60
I andre tilfælde bruges følgende procedure for at finde det mindste fælles multiplum:
- Bestem det største tal ud fra de givne tal.
- Dernæst finder vi tal, der er multipla af det største tal, gange det med naturlige tal i stigende rækkefølge og kontrollere, om de resterende givne tal er delelige med det resulterende produkt.
Eksempel 2. Givet tre tal 24, 3 og 18. Bestem det største af dem - dette er tallet 24. Find derefter de tal, der er multipla af 24, og kontroller, om hver af dem er delelig med 18 og med 3:
24 1 = 24 er deleligt med 3, men ikke deleligt med 18.
24 2 = 48 - deleligt med 3, men ikke deleligt med 18.
24 3 \u003d 72 - deleligt med 3 og 18.
Så LCM(24; 3; 18) = 72.
Søgning ved sekventiel søgning LCM
Den tredje måde er at finde det mindste fælles multiplum ved successivt at finde LCM.
LCM af to givne tal er lig med produktet af disse tal divideret med deres største fælles divisor.
Eksempel 1. Find LCM for to givne tal: 12 og 8. Bestem deres største fælles divisor: GCD (12, 8) = 4. Gang disse tal:
Vi opdeler produktet i deres GCD:
Så LCM(12, 8) = 24.
For at finde LCM for tre eller flere tal, bruges følgende procedure:
- Først findes LCM for to af de givne tal.
- Derefter LCM for det fundne mindste fælles multiplum og det tredje givne tal.
- Derefter LCM for det resulterende mindste fælles multiplum og det fjerde tal og så videre.
- LCM-søgningen fortsætter således, så længe der er tal.
Eksempel 2. Lad os finde LCM for tre givne tal: 12, 8 og 9. Vi har allerede fundet LCM for tallene 12 og 8 i det foregående eksempel (dette er tallet 24). Det er tilbage at finde det mindste fælles multiplum af 24 og det tredje givne tal - 9. Bestem deres største fælles divisor: gcd (24, 9) = 3. Gang LCM med tallet 9:
Vi opdeler produktet i deres GCD:
Så LCM(12, 8, 9) = 72.
Eleverne får mange matematikopgaver. Blandt dem er der meget ofte opgaver med følgende formulering: der er to værdier. Hvordan finder man det mindste fælles multiplum af givne tal? Det er nødvendigt at kunne udføre sådanne opgaver, da de erhvervede færdigheder bruges til at arbejde med brøker hvornår forskellige nævnere. I artiklen vil vi analysere, hvordan man finder LCM og de grundlæggende begreber.
Før du finder svaret på spørgsmålet om, hvordan du finder LCM, skal du definere begrebet multiplum. Oftest er ordlyden af dette begreb som følger: et multiplum af en eller anden værdi A er et naturligt tal, der vil være deleligt med A uden en rest. Så for 4, 8, 12, 16, 20 og så videre, op til den nødvendige grænse.
I dette tilfælde kan antallet af divisorer for en bestemt værdi være begrænset, og der er uendeligt mange multipla. Der er også samme værdi for naturværdier. Dette er en indikator, der er divideret med dem uden en rest. Efter at have behandlet konceptet med den mindste værdi for visse indikatorer, lad os gå videre til, hvordan man finder det.
At finde NOC
Det mindste multiplum af to eller flere eksponenter er det mindste naturlige tal, der er fuldt deleligt med alle de givne tal.
Der er flere måder at finde en sådan værdi på. Lad os overveje følgende metoder:
- Hvis tallene er små, så skriv i linjen alt deleligt med det. Bliv ved med at gøre dette, indtil du finder noget til fælles blandt dem. I posten er de angivet med bogstavet K. For eksempel, for 4 og 3, er det mindste multiplum 12.
- Hvis disse er store, eller du skal finde et multiplum for 3 eller flere værdier, så skal du her bruge en anden teknik, der involverer nedbrydning af tal til primfaktorer. Læg først den største af de angivne ud, derefter alle resten. Hver af dem har sit eget antal multiplikatorer. Lad os som et eksempel dekomponere 20 (2*2*5) og 50 (5*5*2). For den mindste af dem skal du understrege faktorerne og tilføje til de største. Resultatet bliver 100, hvilket vil være det mindste fælles multiplum af ovenstående tal.
- Når man finder 3 tal (16, 24 og 36) er principperne de samme som for de to andre. Lad os udvide hver af dem: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Kun to toere fra nedbrydningen af tallet 16 indgik ikke i udvidelsen af den største. Vi lægger dem sammen og får 144, som er det mindste resultat for de tidligere angivne numeriske værdier.
Nu ved vi, hvad der er den generelle teknik til at finde den mindste værdi for to, tre eller flere værdier. Der er dog også private metoder, hjælper med at søge efter NOC'er, hvis de foregående ikke hjælper.
Sådan finder du GCD og NOC.
Private måder at finde på
Som med enhver matematisk sektion er der særlige tilfælde af at finde LCM'er, der hjælper i specifikke situationer:
- hvis et af tallene er deleligt med de andre uden en rest, så er det laveste multiplum af disse tal lig med det (NOC 60 og 15 er lig med 15);
- Coprimtal har ikke fælles primtal divisorer. Deres mindste værdi er lig med produktet af disse tal. For tallene 7 og 8 vil dette således være 56;
- samme regel gælder for andre sager, også særlige, som kan læses om i speciallitteratur. Dette bør også omfatte tilfælde af dekomponering af sammensatte tal, som er genstand for separate artikler og endda ph.d.-afhandlinger.
Særlige tilfælde er mindre almindelige end standardeksempler. Men takket være dem kan du lære at arbejde med fraktioner af forskellig grad af kompleksitet. Dette gælder især for fraktioner., hvor der er forskellige nævnere.
Nogle eksempler
Lad os se på et par eksempler, takket være hvilke du kan forstå princippet om at finde det mindste multiplum:
- Vi finder LCM (35; 40). Vi udlægger først 35 = 5*7, derefter 40 = 5*8. Vi tilføjer 8 til det mindste tal og får NOC 280.
- NOC (45; 54). Vi lægger hver af dem ud: 45 = 3*3*5 og 54 = 3*3*6. Vi tilføjer tallet 6 til 45. Vi får NOC lig med 270.
- Nå, det sidste eksempel. Der er 5 og 4. Der er ingen simple multipla for dem, så det mindste fælles multiplum i dette tilfælde vil være deres produkt, lig med 20.
Takket være eksempler kan du forstå, hvordan NOC er placeret, hvad er nuancerne, og hvad er meningen med sådanne manipulationer.
Det er meget nemmere at finde NOC'en, end det umiddelbart ser ud til. Til dette bruges både simpel ekspansion og multiplikation. simple værdier Hinanden. Evnen til at arbejde med denne sektion af matematik hjælper med videre studier af matematiske emner, især fraktioner af varierende grad af kompleksitet.
Glem ikke at periodisk løse eksempler forskellige metoder, dette udvikler det logiske apparat og giver dig mulighed for at huske adskillige udtryk. Lær metoder til at finde sådan en indikator, og du vil være i stand til at arbejde godt med resten af de matematiske afsnit. God fornøjelse med at lære matematik!
Video
Denne video hjælper dig med at forstå og huske, hvordan du finder det mindste fælles multiplum.
Største fælles deler
Definition 2
Hvis et naturligt tal a er deleligt med et naturligt tal $b$, kaldes $b$ en divisor af $a$, og tallet $a$ kaldes et multiplum af $b$.
Lad $a$ og $b$ være naturlige tal. Tallet $c$ kaldes en fælles divisor for både $a$ og $b$.
Sættet af fælles divisorer for tallene $a$ og $b$ er endeligt, da ingen af disse divisorer kan være større end $a$. Det betyder, at der blandt disse divisorer er den største, som kaldes den største fælles divisor af tallene $a$ og $b$, og notationen bruges til at betegne det:
$gcd \ (a;b) \eller \ D \ (a;b)$
For at finde den største fælles divisor af to tal:
- Find produktet af tallene fundet i trin 2. Det resulterende tal vil være den ønskede største fælles divisor.
Eksempel 1
Find gcd'en for tallene $121$ og $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Vælg de tal, der er inkluderet i udvidelsen af disse tal
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Find produktet af tallene fundet i trin 2. Det resulterende tal vil være den ønskede største fælles divisor.
$gcd=2\cdot 11=22$
Eksempel 2
Find GCD for monomialer $63$ og $81$.
Vi vil finde i henhold til den præsenterede algoritme. For det:
Lad os opdele tal i primfaktorer
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Vi udvælger de tal, der indgår i udvidelsen af disse tal
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Lad os finde produktet af tallene fundet i trin 2. Det resulterende tal vil være den ønskede største fælles divisor.
$gcd=3\cdot 3=9$
Du kan finde GCD for to tal på en anden måde ved at bruge sættet af divisorer af tal.
Eksempel 3
Find gcd'en for tallene $48$ og $60$.
Opløsning:
Find sættet af divisorer af $48$: $\venstre\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Lad os nu finde sættet af divisorer af $60$:$\ \venstre\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Lad os finde skæringspunktet mellem disse sæt: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - dette sæt vil bestemme sættet af fælles divisorer for tallene $48$ og $60 $. Det største element i dette sæt vil være tallet $12$. Så den største fælles divisor på $48$ og $60$ er $12$.
Definition af NOC
Definition 3
fælles multiplum naturlige tal $a$ og $b$ er et naturligt tal, der er et multiplum af både $a$ og $b$.
Fælles multipla af tal er tal, der er delelige med originalen uden en rest. For eksempel for tallene $25$ og $50$ vil de fælles multipla være tallene $50,100,150,200$ osv.
Det mindste fælles multiplum vil blive kaldt det mindste fælles multiplum og betegnet med LCM$(a;b)$ eller K$(a;b).$
For at finde LCM for to numre skal du bruge:
- Dekomponer tal i primfaktorer
- Skriv de faktorer, der er en del af det første tal, og læg til dem de faktorer, der er en del af det andet og ikke går til det første
Eksempel 4
Find LCM for tallene $99$ og $77$.
Vi vil finde i henhold til den præsenterede algoritme. For det
Dekomponer tal i primfaktorer
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Skriv ned de faktorer, der er inkluderet i den første
tilføje til dem faktorer, der er en del af den anden og ikke går til den første
Find produktet af tallene fundet i trin 2. Det resulterende tal vil være det ønskede mindste fælles multiplum
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Det er ofte meget tidskrævende at opstille lister over divisorer af tal. Der er en måde at finde GCD kaldet Euclids algoritme.
Udsagn, som Euklids algoritme er baseret på:
Hvis $a$ og $b$ er naturlige tal, og $a\vdots b$, så er $D(a;b)=b$
Hvis $a$ og $b$ er naturlige tal, således at $b
Ved at bruge $D(a;b)= D(a-b;b)$ kan vi successivt mindske de tal, der overvejes, indtil vi når et talpar, således at det ene af dem er deleligt med det andet. Så vil det mindste af disse tal være den ønskede største fælles divisor for tallene $a$ og $b$.
Egenskaber for GCD og LCM
- Ethvert fælles multiplum af $a$ og $b$ er deleligt med K$(a;b)$
- Hvis $a\vdots b$, så K$(a;b)=a$
Hvis K$(a;b)=k$ og $m$-naturligt tal, så K$(am;bm)=km$
Hvis $d$ er en fælles divisor for $a$ og $b$, så K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $
Hvis $a\vdots c$ og $b\vdots c$, så er $\frac(ab)(c)$ et fælles multiplum af $a$ og $b$
For alle naturlige tal $a$ og $b$ er ligheden
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
Enhver fælles divisor af $a$ og $b$ er en divisor af $D(a;b)$
Indlæser...