Denne lektion diskuterer i detaljer proceduren for at udføre aritmetiske operationer i udtryk uden parentes og med parenteser. Eleverne får mulighed for, under udførelse af opgaver, at afgøre, om betydningen af ​​udtryk afhænger af den rækkefølge, regneoperationer udføres i, at finde ud af, om rækkefølgen af ​​regneoperationer er forskellig i udtryk uden parentes og med parentes, at øve sig i at anvende den indlærte regel, for at finde og rette fejl begået ved fastlæggelse af rækkefølgen af ​​handlinger.

I livet udfører vi konstant en eller anden form for handling: vi går, studerer, læser, skriver, tæller, smiler, skændes og slutter fred. Vi udfører disse handlinger i i forskellig rækkefølge. Nogle gange kan de byttes, nogle gange ikke. For eksempel, når du gør dig klar til skole om morgenen, kan du først lave øvelser, derefter rede din seng, eller omvendt. Men du kan ikke gå i skole først og derefter tage tøj på.

I matematik er det nødvendigt at udføre aritmetiske operationer i en bestemt rækkefølge?

Lad os tjekke

Lad os sammenligne udtrykkene:
8-3+4 og 8-3+4

Vi ser, at begge udtryk er nøjagtig ens.

Lad os udføre handlinger i et udtryk fra venstre mod højre og i det andet fra højre mod venstre. Du kan bruge tal til at angive rækkefølgen af ​​handlinger (fig. 1).

Ris. 1. Fremgangsmåde

I det første udtryk vil vi først udføre subtraktionsoperationen og derefter tilføje tallet 4 til resultatet.

I det andet udtryk finder vi først værdien af ​​summen og trækker derefter det resulterende resultat 7 fra 8.

Vi ser, at betydningerne af udtrykkene er forskellige.

Lad os konkludere: Den rækkefølge, som aritmetiske operationer udføres i, kan ikke ændres.

Lad os lære reglen for at udføre aritmetiske operationer i udtryk uden parentes.

Hvis et udtryk uden parentes kun omfatter addition og subtraktion eller kun multiplikation og division, så udføres handlingerne i den rækkefølge, de er skrevet i.

Lad os øve.

Overvej udtrykket

Dette udtryk indeholder kun additions- og subtraktionsoperationer. Disse handlinger kaldes handlinger i første fase.

Vi udfører handlingerne fra venstre mod højre i rækkefølge (fig. 2).

Ris. 2. Fremgangsmåde

Overvej det andet udtryk

Dette udtryk indeholder kun multiplikations- og divisionsoperationer - Dette er handlingerne i anden fase.

Vi udfører handlingerne fra venstre mod højre i rækkefølge (fig. 3).

Ris. 3. Fremgangsmåde

I hvilken rækkefølge udføres aritmetiske operationer, hvis udtrykket ikke kun indeholder addition og subtraktion, men også multiplikation og division?

Hvis et udtryk uden parentes omfatter ikke kun operationerne addition og subtraktion, men også multiplikation og division, eller begge disse operationer, så udfør først i rækkefølge (fra venstre mod højre) multiplikation og division, og derefter addition og subtraktion.

Lad os se på udtrykket.

Lad os tænke sådan her. Dette udtryk indeholder operationerne addition og subtraktion, multiplikation og division. Vi handler efter reglen. Først udfører vi i rækkefølge (fra venstre mod højre) multiplikation og division, og derefter addition og subtraktion. Lad os arrangere rækkefølgen af ​​handlinger.

Lad os beregne værdien af ​​udtrykket.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

I hvilken rækkefølge udføres aritmetiske operationer, hvis der er parenteser i et udtryk?

Hvis et udtryk indeholder parenteser, evalueres værdien af ​​udtrykkene i parentesen først.

Lad os se på udtrykket.

30 + 6 * (13 - 9)

Vi ser, at der i dette udtryk er en handling i parentes, hvilket betyder, at vi udfører denne handling først, derefter multiplikation og addition i rækkefølge. Lad os arrangere rækkefølgen af ​​handlinger.

30 + 6 * (13 - 9)

Lad os beregne værdien af ​​udtrykket.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Hvordan skal man ræsonnere til korrekt at fastslå rækkefølgen af ​​aritmetiske operationer i et numerisk udtryk?

Før du starter beregninger, skal du se på udtrykket (find ud af, om det indeholder parenteser, hvilke handlinger det indeholder) og først derefter udføre handlingerne i følgende rækkefølge:

1. handlinger skrevet i parentes;

2. multiplikation og division;

3. addition og subtraktion.

Diagrammet hjælper dig med at huske dette simpel regel(Fig. 4).

Ris. 4. Fremgangsmåde

Lad os øve.

Lad os overveje udtrykkene, fastlægge rækkefølgen af ​​handlinger og udføre beregninger.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

Vi vil handle efter reglen. Udtrykket 43 - (20 - 7) +15 indeholder operationer i parentes samt additions- og subtraktionsoperationer. Lad os etablere en procedure. Den første handling er at udføre operationen i parentes, og derefter, i rækkefølge fra venstre mod højre, subtraktion og addition.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

Udtrykket 32 ​​+ 9 * (19 - 16) indeholder operationer i parentes samt multiplikations- og additionsoperationer. Ifølge reglen udfører vi først handlingen i parentes, derefter multiplikation (vi multiplicerer tallet 9 med resultatet opnået ved subtraktion) og addition.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

I udtrykket 2*9-18:3 er der ingen parenteser, men der er multiplikation, division og subtraktion operationer. Vi handler efter reglen. Først udfører vi multiplikation og division fra venstre mod højre, og derefter trækker vi resultatet opnået fra division fra resultatet opnået ved multiplikation. Det vil sige, at den første handling er multiplikation, den anden er division, og den tredje er subtraktion.

2*9-18:3=18-6=12

Lad os finde ud af, om rækkefølgen af ​​handlinger i de følgende udtryk er korrekt defineret.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

Lad os tænke sådan her.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

Der er ingen parentes i dette udtryk, hvilket betyder, at vi først udfører multiplikation eller division fra venstre mod højre, derefter addition eller subtraktion. I dette udtryk er den første handling division, den anden er multiplikation. Den tredje handling skal være addition, den fjerde - subtraktion. Konklusion: proceduren er bestemt korrekt.

Lad os finde værdien af ​​dette udtryk.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Lad os fortsætte med at snakke.

Det andet udtryk indeholder parenteser, hvilket betyder, at vi først udfører handlingen i parentes, derefter fra venstre mod højre multiplikation eller division, addition eller subtraktion. Vi tjekker: den første handling er i parentes, den anden er division, den tredje er tilføjelse. Konklusion: proceduren er forkert defineret. Lad os rette fejlene og finde meningen med udtrykket.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

Dette udtryk indeholder også parenteser, hvilket betyder, at vi først udfører handlingen i parentes, derefter fra venstre mod højre multiplikation eller division, addition eller subtraktion. Lad os tjekke: den første handling er i parentes, den anden er multiplikation, den tredje er subtraktion. Konklusion: proceduren er forkert defineret. Lad os rette fejlene og finde værdien af ​​udtrykket.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Lad os fuldføre opgaven.

Lad os arrangere rækkefølgen af ​​handlinger i udtrykket ved hjælp af den indlærte regel (fig. 5).

Ris. 5. Fremgangsmåde

Vi ser ikke numeriske værdier, så vi vil ikke være i stand til at finde betydningen af ​​udtryk, men vi vil øve os i at anvende den regel, vi har lært.

Vi handler efter algoritmen.

Det første udtryk indeholder parenteser, hvilket betyder, at den første handling er i parentes. Derefter fra venstre mod højre multiplikation og division, derefter fra venstre mod højre subtraktion og addition.

Det andet udtryk indeholder også parenteser, hvilket betyder, at vi udfører den første handling i parentes. Derefter, fra venstre mod højre, multiplikation og division, derefter subtraktion.

Lad os tjekke os selv (fig. 6).

Ris. 6. Fremgangsmåde

I dag i klassen lærte vi om reglen for rækkefølgen af ​​handlinger i udtryk uden og med parentes.

Bibliografi

1. M.I. Moreau, M.A. Bantova m.fl. Matematik: Lærebog. 3. klasse: i 2 dele, del 1. - M.: “Oplysning”, 2012.
2. M.I. Moreau, M.A. Bantova m.fl. Matematik: Lærebog. 3. klasse: i 2 dele, del 2. - M.: “Oplysning”, 2012.
3. M.I. Moro. Matematikundervisning: Retningslinier for læreren. 3. klasse. - M.: Uddannelse, 2012.
4. Reguleringsdokument. Monitorering og evaluering af læringsudbytte. - M.: "Enlightenment", 2011.
5. "School of Russia": Programmer for folkeskolen. - M.: "Enlightenment", 2011.
6. S.I. Volkova. Matematik: Prøvearbejde. 3. klasse. - M.: Uddannelse, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Tests. - M.: "Eksamen", 2012.

1. Festival.1september.ru ().
2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
3. Openclass.ru ().

Lektier

1. Bestem rækkefølgen af ​​handlinger i disse udtryk. Find betydningen af ​​udtrykkene.

2. Bestem i hvilket udtryk denne rækkefølge af handlinger udføres:

1. multiplikation; 2. division;. 3. tilføjelse; 4. subtraktion; 5. tilføjelse. Find betydningen af ​​dette udtryk.

3. Lav tre udtryk, hvor følgende rækkefølge af handlinger udføres:

1. multiplikation; 2. tilføjelse; 3. subtraktion

1. tilføjelse; 2. subtraktion; 3. tilføjelse

1. multiplikation; 2. division; 3. tilføjelse

Find betydningen af ​​disse udtryk.

Og når du beregner værdierne af udtryk, udføres handlinger i en bestemt rækkefølge, med andre ord skal du observere rækkefølge af handlinger.

I denne artikel vil vi finde ud af, hvilke handlinger der skal udføres først, og hvilke efter dem. Lad os starte med de enkleste tilfælde, hvor udtrykket kun indeholder tal eller variable forbundet med plus-, minus-, gange- og divideringstegn. Dernæst vil vi forklare, hvilken rækkefølge af handlinger der skal følges i udtryk med parentes. Lad os endelig se på rækkefølgen, hvori handlinger udføres i udtryk, der indeholder magter, rødder og andre funktioner.

Sidenavigation.

Først multiplikation og division, derefter addition og subtraktion

Skolen giver følgende en regel, der bestemmer rækkefølgen, hvori handlinger udføres i udtryk uden parentes:

• handlinger udføres i rækkefølge fra venstre mod højre,
• Desuden udføres multiplikation og division først, og derefter addition og subtraktion.

Den angivne regel opfattes ganske naturligt. At udføre handlinger i rækkefølge fra venstre mod højre forklares ved, at det er sædvanligt for os at føre optegnelser fra venstre mod højre. Og det faktum, at multiplikation og division udføres før addition og subtraktion, forklares med den betydning, som disse handlinger har.

Lad os se på et par eksempler på, hvordan denne regel gælder. Som eksempler vil vi tage de enkleste numeriske udtryk, for ikke at blive distraheret af beregninger, men for at fokusere specifikt på rækkefølgen af ​​handlinger.

Eksempel.

Følg trin 7-3+6.

Løsning.

Det oprindelige udtryk indeholder ikke parenteser, og det indeholder ikke multiplikation eller division. Derfor skal vi udføre alle handlinger i rækkefølge fra venstre mod højre, det vil sige, først trækker vi 3 fra 7, får vi 4, hvorefter vi tilføjer 6 til den resulterende forskel på 4, vi får 10.

Kort fortalt kan løsningen skrives som følger: 7−3+6=4+6=10.

Svar:

7−3+6=10 .

Eksempel.

Angiv rækkefølgen af ​​handlinger i udtrykket 6:2·8:3.

Løsning.

For at besvare spørgsmålet om problemet, lad os vende os til reglen, der angiver rækkefølgen for udførelse af handlinger i udtryk uden parentes. Det oprindelige udtryk indeholder kun operationerne multiplikation og division, og ifølge reglen skal de udføres i rækkefølge fra venstre mod højre.

Svar:

Først Vi dividerer 6 med 2, ganger denne kvotient med 8 og dividerer til sidst resultatet med 3.

Eksempel.

Beregn værdien af ​​udtrykket 17−5·6:3−2+4:2.

Løsning.

Lad os først bestemme, i hvilken rækkefølge handlingerne i det oprindelige udtryk skal udføres. Den indeholder både multiplikation og division og addition og subtraktion. Først, fra venstre mod højre, skal du udføre multiplikation og division. Så vi gange 5 med 6, vi får 30, vi dividerer dette tal med 3, vi får 10. Nu dividerer vi 4 med 2, vi får 2. Vi erstatter den fundne værdi 10 i det oprindelige udtryk i stedet for 5·6:3, og i stedet for 4:2 - værdien 2, har vi 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2.

Det resulterende udtryk indeholder ikke længere multiplikation og division, så det er tilbage at udføre de resterende handlinger i rækkefølge fra venstre mod højre: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7.

Svar:

17−5·6:3−2+4:2=7.

For ikke at forveksle rækkefølgen, hvori handlinger udføres, når man beregner værdien af ​​et udtryk, er det i første omgang praktisk at placere tal over handlingstegnene, der svarer til den rækkefølge, de udføres i. For det foregående eksempel ville det se sådan ud: .

Den samme rækkefølge af operationer - først multiplikation og division, derefter addition og subtraktion - skal følges, når man arbejder med bogstavudtryk.

Handlinger af første og anden fase

I nogle lærebøger i matematik er der en opdeling af aritmetiske operationer i operationer af første og andet trin. Lad os finde ud af det.

Definition.

Handlinger af den første fase addition og subtraktion kaldes, og multiplikation og division kaldes anden fase handlinger.

I disse vilkår vil reglen fra det foregående afsnit, som bestemmer rækkefølgen for udførelse af handlinger, blive skrevet som følger: hvis udtrykket ikke indeholder parentes, så i rækkefølge fra venstre mod højre, først handlingerne i anden fase ( multiplikation og division) udføres, derefter handlingerne i det første trin (addition og subtraktion).

Rækkefølgen af ​​aritmetiske operationer i udtryk med parentes

Udtryk indeholder ofte parenteser for at angive den rækkefølge, handlingerne skal udføres i. I dette tilfælde en regel, der specificerer rækkefølgen for udførelse af handlinger i udtryk med parentes, er formuleret som følger: først udføres handlingerne i parentes, mens multiplikation og division også udføres i rækkefølge fra venstre mod højre, derefter addition og subtraktion.

Så udtryk i parentes betragtes som komponenter af det oprindelige udtryk, og de bevarer rækkefølgen af ​​handlinger, der allerede er kendt af os. Lad os se på løsningerne til eksemplerne for større klarhed.

Eksempel.

Følg disse trin 5+(7−2·3)·(6−4):2.

Løsning.

Udtrykket indeholder parenteser, så lad os først udføre handlingerne i de udtryk, der er indesluttet i disse parenteser. Lad os starte med udtrykket 7−2·3. I den skal du først udføre multiplikation, og først derefter subtraktion, vi har 7−2·3=7−6=1. Lad os gå videre til det andet udtryk i parentes 6−4. Der er kun én handling her - subtraktion, vi udfører den 6−4 = 2.

Vi erstatter de opnåede værdier i det oprindelige udtryk: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2. I det resulterende udtryk udfører vi først multiplikation og division fra venstre mod højre, derefter subtraktion, vi får 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6. På dette tidspunkt er alle handlinger fuldført, vi overholdt følgende rækkefølge for deres implementering: 5+(7−2·3)·(6−4):2.

Lad os skrive en kort løsning: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6.

Svar:

5+(7−2·3)·(6−4):2=6.

Det sker, at et udtryk indeholder parenteser inden for parentes. Der er ingen grund til at være bange for dette; du skal bare konsekvent anvende den angivne regel for at udføre handlinger i udtryk med parenteser. Lad os vise løsningen af ​​eksemplet.

Eksempel.

Udfør operationerne i udtrykket 4+(3+1+4·(2+3)) .

Løsning.

Dette er et udtryk med parentes, hvilket betyder, at udførelsen af ​​handlinger skal begynde med udtrykket i parentes, det vil sige med 3+1+4·(2+3) . Dette udtryk indeholder også parenteser, så du skal udføre handlingerne i dem først. Lad os gøre dette: 2+3=5. Ved at erstatte den fundne værdi får vi 3+1+4·5. I dette udtryk udfører vi først multiplikation, derefter addition, vi har 3+1+4·5=3+1+20=24. Startværdien, efter at have erstattet denne værdi, har formen 4+24, og der er kun tilbage at fuldføre handlingerne: 4+24=28.

Svar:

4+(3+1+4·(2+3))=28.

Generelt, når et udtryk indeholder parenteser inden for parentes, er det ofte praktisk at udføre handlinger, der starter med de indre parenteser og flytter til de ydre.

Lad os for eksempel sige, at vi skal udføre handlingerne i udtrykket (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Først udfører vi handlingerne i de indre parenteser, da 4−6:2=4−3=1, derefter vil det oprindelige udtryk antage formen (4+(4+1)−1)−1. Vi udfører igen handlingen i de indre parenteser, da 4+1=5, kommer vi frem til følgende udtryk (4+5−1)−1. Igen udfører vi handlingerne i parentes: 4+5−1=8, og vi kommer frem til forskellen 8−1, som er lig med 7.

I denne video vil vi analysere et helt sæt lineære ligninger, der er løst ved hjælp af den samme algoritme - det er derfor, de kaldes de enkleste.

Lad os først definere: hvad er en lineær ligning, og hvilken kaldes den enkleste?

En lineær ligning er en, hvor der kun er én variabel, og kun i første grad.

Den enkleste ligning betyder konstruktionen:

Andet lineære ligninger reduceret til den enkleste ved hjælp af en algoritme:

1. Udvid parenteser, hvis nogen;
2. Flyt termer, der indeholder en variabel, til den ene side af lighedstegnet og led uden variabel til den anden;
3. Giv lignende udtryk til venstre og højre for lighedstegnet;
4. Divider den resulterende ligning med koefficienten for variablen $x$.

Selvfølgelig hjælper denne algoritme ikke altid. Faktum er, at nogle gange efter alle disse manipulationer viser koefficienten for variablen $x$ sig at være lig nul. I dette tilfælde er to muligheder mulige:

1. Ligningen har ingen løsninger overhovedet. For eksempel, når noget som $0\cdot x=8$ viser sig, dvs. til venstre er nul, og til højre er et andet tal end nul. I videoen nedenfor vil vi se på flere årsager til, hvorfor denne situation er mulig.
2. Løsningen er alle tal. Det eneste tilfælde, hvor dette er muligt, er, når ligningen er blevet reduceret til konstruktionen $0\cdot x=0$. Det er ret logisk, at uanset hvilken $x$ vi erstatter, så vil det stadig vise sig "nul er lig med nul", dvs. korrekt numerisk lighed.

Lad os nu se, hvordan alt dette fungerer ved hjælp af eksempler fra det virkelige liv.

Eksempler på løsning af ligninger

I dag har vi at gøre med lineære ligninger, og kun de simpleste. Generelt betyder en lineær ligning enhver lighed, der indeholder præcis én variabel, og den går kun til første grad.

Sådanne konstruktioner løses på nogenlunde samme måde:

1. Først og fremmest skal du udvide parenteserne, hvis der er nogen (som i vores sidste eksempel);
2. Kombiner derefter lignende
3. Til sidst isoleres variablen, dvs. flytte alt, der er forbundet med variablen - de termer, den er indeholdt i - til den ene side, og flyt alt, der er tilbage uden den, til den anden side.

Så skal du som regel give lignende på hver side af den resulterende lighed, og derefter er der kun tilbage at dividere med koefficienten "x", og vi får det endelige svar.

I teorien ser dette fint og enkelt ud, men i praksis kan selv erfarne gymnasieelever lave stødende fejl i ret simple lineære ligninger. Typisk begås fejl enten ved åbning af parenteser eller ved beregning af "pluser" og "minusser".

Derudover sker det, at en lineær ligning slet ikke har nogen løsninger, eller at løsningen er hele tallinjen, dvs. ethvert nummer. Vi vil se på disse finesser i dagens lektion. Men vi starter, som du allerede har forstået, med de enkleste opgaver.

Skema til løsning af simple lineære ligninger

Lad mig først igen skrive hele skemaet til løsning af de enkleste lineære ligninger:

1. Udvid evt. beslagene.
2. Vi isolerer variablerne, dvs. Vi flytter alt, der indeholder "X'er" til den ene side, og alt uden "X'er" til den anden.
3. Vi præsenterer lignende udtryk.
4. Vi dividerer alt med koefficienten "x".

Selvfølgelig fungerer denne ordning ikke altid; der er visse finesser og tricks i den, og nu vil vi lære dem at kende.

Løsning af rigtige eksempler på simple lineære ligninger

Opgave nr. 1

Det første skridt kræver, at vi åbner beslagene. Men de er ikke i dette eksempel, så vi springer dem over denne fase. I det andet trin skal vi isolere variablerne. Bemærk venligst: vi taler kun om individuelle termer. Lad os skrive det ned:

Vi præsenterer lignende udtryk til venstre og højre, men det er allerede gjort her. Derfor går vi videre til det fjerde trin: dividere med koefficienten:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Så fik vi svaret.

Opgave nr. 2

Vi kan se parenteserne i denne opgave, så lad os udvide dem:

Både til venstre og til højre ser vi nogenlunde samme design, men lad os handle efter algoritmen, dvs. adskille variablerne:

Her er nogle lignende:

Ved hvilke rødder virker dette? Svar: for evt. Derfor kan vi skrive, at $x$ er et hvilket som helst tal.

Opgave nr. 3

Den tredje lineære ligning er mere interessant:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Der er flere parenteser, men de ganges ikke med noget, de er blot indledt med forskellige tegn. Lad os opdele dem:

Vi udfører det andet trin, vi allerede kender:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Lad os regne ud:

Vi udfører det sidste trin - divider alt med koefficienten "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Ting at huske, når du løser lineære ligninger

Hvis vi ignorerer for simple opgaver, vil jeg gerne sige følgende:

• Som jeg sagde ovenfor, har ikke enhver lineær ligning en løsning - nogle gange er der simpelthen ingen rødder;
• Selvom der er rødder, kan der være nul blandt dem – det er der ikke noget galt i.

Nul er det samme tal som de andre; du bør ikke diskriminere mod det på nogen måde eller antage, at hvis du får nul, så har du gjort noget forkert.

En anden funktion er relateret til åbningen af ​​beslag. Bemærk venligst: når der er et "minus" foran dem, fjerner vi det, men i parentes ændrer vi tegnene til modsat. Og så kan vi åbne det ved hjælp af standardalgoritmer: vi får det, vi så i beregningerne ovenfor.

At forstå dette simpelt faktum vil give dig mulighed for at undgå at begå dumme og stødende fejl i gymnasiet, når det tages for givet.

Løsning af komplekse lineære ligninger

Lad os gå videre til mere komplekse ligninger. Nu vil konstruktionerne blive mere komplekse, og når der udføres forskellige transformationer, vil der fremkomme en kvadratisk funktion. Vi skal dog ikke være bange for dette, for hvis vi ifølge forfatterens plan løser en lineær ligning, vil alle monomialer, der indeholder en kvadratisk funktion, helt sikkert annullere under transformationsprocessen.

Eksempel nr. 1

Det første skridt er naturligvis at åbne beslagene. Lad os gøre dette meget omhyggeligt:

Lad os nu tage et kig på privatlivets fred:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Her er nogle lignende:

Denne ligning har naturligvis ingen løsninger, så vi skriver dette i svaret:

\[\varnothing\]

eller der er ingen rødder.

Eksempel nr. 2

Vi udfører de samme handlinger. Første skridt:

Lad os flytte alt med en variabel til venstre og uden den - til højre:

Her er nogle lignende:

Denne lineære ligning har naturligvis ingen løsning, så vi skriver det på denne måde:

\[\varnothing\],

eller der er ingen rødder.

Nuancer af løsningen

Begge ligninger er fuldstændig løst. Ved at bruge disse to udtryk som eksempel, blev vi igen overbevist om, at selv i de mest simple lineære ligninger er alt måske ikke så enkelt: Der kan være enten én eller ingen eller uendeligt mange rødder. I vores tilfælde betragtede vi to ligninger, begge har simpelthen ingen rødder.

Men jeg vil gerne henlede din opmærksomhed på et andet faktum: hvordan man arbejder med parenteser, og hvordan man åbner dem, hvis der er et minustegn foran dem. Overvej dette udtryk:

Før du åbner, skal du gange alt med "X". Bemærk venligst: multipliceres hvert enkelt semester. Indeni er der to led - henholdsvis to led og ganget.

Og først efter at disse tilsyneladende elementære, men meget vigtige og farlige transformationer er blevet gennemført, kan du åbne beslaget ud fra det synspunkt, at der er et minustegn efter det. Ja, ja: først nu, når transformationerne er afsluttet, husker vi, at der er et minustegn foran parenteserne, hvilket betyder, at alt nedenfor blot skifter fortegn. Samtidig forsvinder selve beslagene, og vigtigst af alt forsvinder den forreste "minus" også.

Vi gør det samme med den anden ligning:

Det er ikke tilfældigt, at jeg lægger mærke til disse små, tilsyneladende ubetydelige fakta. Fordi at løse ligninger er altid en sekvens af elementære transformationer, hvor manglende evne til klart og kompetent at udføre simple handlinger fører til, at gymnasieelever kommer til mig og igen lærer at løse sådanne simple ligninger.

Selvfølgelig vil den dag komme, hvor du vil finpudse disse færdigheder til et punkt af automatik. Du skal ikke længere udføre så mange transformationer hver gang; du vil skrive alt på én linje. Men mens du bare lærer, skal du skrive hver handling separat.

Løsning af endnu mere komplekse lineære ligninger

Det, vi skal løse nu, kan næppe kaldes den enkleste opgave, men meningen forbliver den samme.

Opgave nr. 1

\[\venstre(7x+1 \højre)\venstre(3x-1 \højre)-21((x)^(2))=3\]

Lad os gange alle elementerne i den første del:

Lad os gøre lidt privatliv:

Her er nogle lignende:

Lad os fuldføre det sidste trin:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Her er vores endelige svar. Og på trods af at vi i processen med at løse havde koefficienter med en andengradsfunktion, ophævede de hinanden, hvilket gør ligningen lineær og ikke kvadratisk.

Opgave nr. 2

\[\venstre(1-4x \højre)\venstre(1-3x \højre)=6x\venstre(2x-1 \højre)\]

Lad os omhyggeligt udføre det første trin: gange hvert element fra den første parentes med hvert element fra den anden. Der skulle være i alt fire nye termer efter transformationerne:

Lad os nu omhyggeligt udføre multiplikationen i hvert led:

Lad os flytte termerne med "X" til venstre, og dem uden - til højre:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Her er lignende udtryk:

Endnu en gang har vi modtaget det endelige svar.

Nuancer af løsningen

Den vigtigste note om disse to ligninger er følgende: Så snart vi begynder at gange parenteser, der indeholder mere end et led, gøres dette efter følgende regel: vi tager det første led fra det første og multiplicerer med hvert element fra Sekundet; så tager vi det andet element fra det første og multiplicerer på samme måde med hvert element fra det andet. Som et resultat vil vi have fire valgperioder.

Om den algebraiske sum

Med dette sidste eksempel vil jeg gerne minde eleverne om, hvad en algebraisk sum er. I klassisk matematik mener vi med $1-7$ enkelt design: træk syv fra en. I algebra mener vi følgende med dette: til tallet "én" tilføjer vi et andet tal, nemlig "minus syv". Sådan adskiller en algebraisk sum sig fra en almindelig aritmetisk sum.

Så snart du, når du udfører alle transformationerne, hver addition og multiplikation, begynder at se konstruktioner svarende til dem, der er beskrevet ovenfor, vil du simpelthen ikke have nogen problemer i algebra, når du arbejder med polynomier og ligninger.

Til sidst, lad os se på et par flere eksempler, der vil være endnu mere komplekse end dem, vi lige har set på, og for at løse dem bliver vi nødt til at udvide vores standardalgoritme en smule.

Løsning af ligninger med brøker

For at løse sådanne opgaver bliver vi nødt til at tilføje endnu et trin til vores algoritme. Men først, lad mig minde dig om vores algoritme:

1. Åbn beslagene.
2. Separate variabler.
3. Medbring lignende.
4. Divider med forholdet.

Ak, denne vidunderlige algoritme, trods al dens effektivitet, viser sig ikke at være helt passende, når vi har brøker foran os. Og i det, vi vil se nedenfor, har vi en brøk til både venstre og højre i begge ligninger.

Hvordan arbejder man i dette tilfælde? Ja, det er meget enkelt! For at gøre dette skal du tilføje et trin mere til algoritmen, som kan gøres både før og efter den første handling, nemlig at slippe af med brøker. Så algoritmen vil være som følger:

1. Slip af med brøker.
2. Åbn beslagene.
3. Separate variabler.
4. Medbring lignende.
5. Divider med forholdet.

Hvad vil det sige at "slippe af med fraktioner"? Og hvorfor kan dette gøres både efter og før det første standardtrin? Faktisk er alle brøker i vores tilfælde numeriske i deres nævner, dvs. Overalt er nævneren kun et tal. Derfor, hvis vi gange begge sider af ligningen med dette tal, vil vi slippe af med brøker.

Eksempel nr. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Lad os slippe af med brøkerne i denne ligning:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Bemærk venligst: alt ganges med "fire" én gang, dvs. bare fordi du har to parenteser, betyder det ikke, at du skal gange hver med "fire". Lad os skrive ned:

\[\venstre(2x+1 \højre)\venstre(2x-3 \højre)=\venstre(((x)^(2))-1 \højre)\cdot 4\]

Lad os nu udvide:

Vi udelukker variablen:

Vi udfører reduktion af lignende vilkår:

\[-4x=-1\venstre| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Vi har modtaget den endelige løsning, lad os gå videre til den anden ligning.

Eksempel nr. 2

\[\frac(\venstre(1-x \højre)\venstre(1+5x \højre))(5)+((x)^(2))=1\]

Her udfører vi alle de samme handlinger:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problemet er løst.

Det var faktisk det eneste, jeg ville fortælle dig i dag.

Centrale punkter

Nøgleresultater er:

• Kend algoritmen til løsning af lineære ligninger.
• Mulighed for at åbne beslag.
• Bare rolig, hvis du har kvadratiske funktioner et eller andet sted; højst sandsynligt vil de blive reduceret i processen med yderligere transformationer.
• Der er tre typer rødder i lineære ligninger, selv de simpleste: én enkelt rod, hele tallinjen er en rod og slet ingen rødder.

Jeg håber, at denne lektion vil hjælpe dig med at mestre et simpelt, men meget vigtigt emne for yderligere forståelse af al matematik. Hvis noget ikke er klart, skal du gå til webstedet og løse de eksempler, der præsenteres der. Hold dig opdateret, mange flere interessante ting venter på dig!

Til løsning af lineære ligninger bruge to grundlæggende regler (egenskaber).

Ejendom nr. 1
eller
overførselsregel

Når den overføres fra en del af ligningen til en anden, ændrer et medlem af ligningen sit fortegn til det modsatte.

Lad os se på overførselsreglen ved hjælp af et eksempel. Antag, at vi skal løse en lineær ligning.

Husk, at enhver ligning har en venstre og en højre side.

Lad os flytte tallet "3" fra venstre side af ligningen til højre.

Da tallet "3" havde et "+"-tegn på venstre side af ligningen, betyder det, at "3" vil blive overført til højre side af ligningen med et "−"-tegn.

Den resulterende numeriske værdi "x = 2" kaldes roden af ​​ligningen.

Glem ikke at skrive svaret ned efter at have løst en ligning.

Lad os overveje en anden ligning.

Ifølge overførselsreglen flytter vi "4x" fra venstre side af ligningen til højre, og ændrer tegnet til det modsatte.

Selvom der ikke er noget skilt foran "4x", forstår vi, at der er et "+"-tegn foran "4x".

Lad os nu give lignende og løse ligningen til slutningen.

Ejendom nr. 2
eller
delingsregel

I enhver ligning kan du dividere venstre og højre side med det samme tal.

Men du kan ikke dele ind i det ukendte!

Lad os se på et eksempel på, hvordan man bruger divisionsreglen, når man løser lineære ligninger.

Tallet "4", der står for "x", kaldes den numeriske koefficient for det ukendte.

Mellem den numeriske koefficient og det ukendte er der altid en multiplikationshandling.

For at løse ligningen skal du sikre dig, at "x" har en koefficient på "1".

Lad os stille os selv spørgsmålet: “Hvad skal vi dividere “4” med for at
få "1"? Svaret er indlysende, du skal dividere med "4".

Vi bruger divisionsreglen og dividerer venstre og højre side af ligningen med "4". Glem ikke, at du skal opdele både venstre og højre del.

Lad os bruge brøkreduktion og løse den lineære ligning til slutningen.

Hvordan løser man en ligning, hvis "x" er negativ

Ofte i ligninger er der en situation, hvor "x" har en negativ koefficient. Ligesom i ligningen nedenfor.

For at løse en sådan ligning stiller vi igen os selv spørgsmålet: "Hvad skal vi dividere "−2" med for at få "1"?" Du skal dividere med "−2".

Lineære ligninger. Første niveau.

Vil du teste din styrke og finde ud af resultatet af, hvor klar du er til Unified State-eksamenen eller Unified State-eksamenen?

1. Lineær ligning

Dette er en algebraisk ligning, hvor den samlede grad af dets konstituerende polynomier er lig.

2. Lineær ligning med én variabel har formen:

Hvor og er eventuelle tal;

3. Lineær ligning med to variable har formen:

Hvor, og – eventuelle tal.

4. Identitetstransformationer

For at bestemme, om en ligning er lineær eller ej, er det nødvendigt at udføre identiske transformationer:

flyt lignende udtryk til venstre/højre, og glem ikke at ændre tegnet;

gange/divider begge sider af ligningen med det samme tal.

Hvad er "lineære ligninger"

eller mundtligt - tre venner fik æbler hver på baggrund af, at Vasya havde alle æblerne på lager.

Og nu har du allerede besluttet dig lineær ligning
Lad os nu give dette udtryk en matematisk definition.

Lineær ligning – er en algebraisk ligning, hvis samlede grad af dets konstituerende polynomier er lig med. Det ser sådan ud:

Hvor og er eventuelle tal og

For vores sag med Vasya og æbler vil vi skrive:

- "hvis Vasya giver det samme antal æbler til alle tre venner, har han ingen æbler tilbage"

"Skjulte" lineære ligninger, eller vigtigheden af ​​identitetstransformationer

På trods af det faktum, at alt ved første øjekast er ekstremt enkelt, skal du være forsigtig, når du løser ligninger, fordi lineære ligninger kaldes ikke kun ligninger af denne type, men også alle ligninger, der kan reduceres til denne type ved transformationer og forenklinger. For eksempel:

Vi ser, hvad der er til højre, hvilket i teorien allerede indikerer, at ligningen ikke er lineær. Desuden, hvis vi åbner parenteserne, får vi yderligere to termer, hvor det vil være, men skynd dig ikke at drage konklusioner! Inden man vurderer om en ligning er lineær, er det nødvendigt at lave alle transformationerne og dermed forenkle det oprindelige eksempel. I dette tilfælde kan transformationer ændre udseendet, men ikke selve essensen af ​​ligningen.

Med andre ord skal transformationsdataene være identisk eller tilsvarende. Der er kun to sådanne transformationer, men de spiller en meget, MEGET vigtig rolle i løsningen af ​​problemer. Lad os se på begge transformationer ved hjælp af specifikke eksempler.

Overfør venstre - højre.

Lad os sige, at vi skal løse følgende ligning:

Også i folkeskole Vi fik at vide: "med X'er - til venstre, uden X'er - til højre." Hvilket udtryk med et X er til højre? Det er rigtigt, men ikke hvordan ikke. Og det er vigtigt, for hvis dette bliver misforstået, ser det ud til simpelt spørgsmål, kommer det forkerte svar frem. Hvilket udtryk med et X er til venstre? Højre, .

Nu hvor vi har fundet ud af det, flytter vi alle led med ukendte til venstre side, og alt hvad der er kendt til højre, idet vi husker, at hvis der f.eks. ikke er et tegn foran tallet, så er tallet positivt , det vil sige, der er et skilt foran " "

Overført? Hvad fik du?

Det eneste, der skal gøres, er at bringe lignende vilkår. Vi præsenterer:

Så vi har med succes analyseret den første identiske transformation, selvom jeg er sikker på, at du vidste den og aktivt brugte den uden mig. Det vigtigste er ikke at glemme tallenes tegn og ændre dem til de modsatte, når du overfører gennem lighedstegnet!

Multiplikation-division.

Lad os starte med det samme med et eksempel

Lad os se og tænke: hvad kan vi ikke lide ved dette eksempel? Det ukendte er alt i én del, det kendte i en anden, men noget stopper os... Og dette noget er en firer, for hvis det ikke var for det, ville alt være perfekt - x lig med tallet– præcis som vi har brug for!

Hvordan kan du slippe af med det? Vi kan ikke flytte den til højre, for så skal vi flytte hele multiplikatoren (vi kan ikke tage den og rive den væk), og at flytte hele multiplikatoren giver heller ikke mening...

Det er tid til at huske om division, så lad os dividere alt med! Alt – det betyder både venstre og højre side. Denne vej og kun denne vej! Hvad laver vi?

Lad os nu se på et andet eksempel:

Kan du gætte, hvad der skal gøres i dette tilfælde? Det er rigtigt, gange venstre og højre side med! Hvilket svar fik du? Højre. .

Du vidste sikkert allerede alt om identitetstransformationer. Overvej, at vi simpelthen har genopfrisket denne viden i din hukommelse, og det er tid til noget mere - For eksempel for at løse vores store eksempel:

Som vi sagde tidligere, når du ser på det, kan du ikke sige, at denne ligning er lineær, men vi skal åbne parenteserne og udføre identiske transformationer. Så lad os komme i gang!

Til at begynde med husker vi formlerne for forkortet multiplikation, især kvadratet af summen og kvadratet af forskellen. Hvis du ikke kan huske, hvad det er, og hvordan parenteserne åbnes, anbefaler jeg kraftigt at læse emnet "Forkortede multiplikationsformler", da disse færdigheder vil være nyttige for dig, når du løser næsten alle de eksempler, du støder på i eksamen.
Afsløret? Lad os sammenligne:

Nu er det tid til at bringe lignende udtryk. Kan du huske, hvordan vi var i det samme folkeskole sagde de "vi sætter ikke fluer med koteletter"? Her minder jeg dig om dette. Vi tilføjer alt separat - faktorer, der har, faktorer, der har, og de resterende faktorer, der ikke har ukendte. Når du bringer lignende udtryk, skal du flytte alle ukendte til venstre og alt det kendte til højre. Hvad fik du?

Som du kan se, er X'erne i firkanten forsvundet, og vi ser noget helt normalt. lineær ligning. Det eneste der er tilbage er at finde det!

Og til sidst vil jeg sige en meget mere vigtig ting om identitetstransformationer - identitetstransformationer er anvendelige ikke kun for lineære ligninger, men også for kvadratiske, fraktionelle rationelle og andre. Du skal bare huske, at når vi overfører faktorer gennem lighedstegnet, ændrer vi fortegnet til det modsatte, og når vi dividerer eller multiplicerer med et eller andet tal, gange/dividerer vi begge sider af ligningen med det SAMME tal.

Hvad tog du ellers med fra dette eksempel? At det ved at se på en ligning ikke altid er muligt direkte og præcist at afgøre, om den er lineær eller ej. Det er nødvendigt først at forenkle udtrykket fuldstændigt, og først derefter bedømme, hvad det er.

Lineære ligninger. Eksempler.

Her er et par eksempler mere, som du kan øve dig på selv - afgør, om ligningen er lineær, og find dens rødder i så fald:

Svar:

1. Er.

2. Er ikke.

Lad os åbne parenteserne og præsentere lignende udtryk:

Lad os udføre en identisk transformation - opdel venstre og højre side i:

Vi ser, at ligningen ikke er lineær, så der er ingen grund til at lede efter dens rødder.

3. Er.

Lad os udføre en identisk transformation - gange venstre og højre side med for at slippe af med nævneren.

Tænk over, hvorfor det er så vigtigt? Hvis du kender svaret på dette spørgsmål, skal du gå videre til yderligere løsning af ligningen; hvis ikke, så sørg for at se nærmere på emnet "ODZ" for ikke at lave fejl i mere komplekse eksempler. Forresten, som du kan se, er situationen umulig. Hvorfor?
Så lad os gå videre og omarrangere ligningen:

Hvis du klarede alt uden problemer, lad os tale om lineære ligninger med to variable.

Lineære ligninger i to variable

Lad os nu gå videre til lidt mere komplekse - lineære ligninger med to variable.

Lineære ligninger med to variable har formen:

Hvor, og – eventuelle tal og.

Som du kan se, er den eneste forskel, at der tilføjes en anden variabel til ligningen. Og så er alt det samme - der er ingen x i kvadrat, ingen division med en variabel osv. og så videre.

Hvilken slags livseksempel kan jeg give dig? Lad os tage den samme Vasya. Lad os sige, at han besluttede, at han ville give hver af 3 venner det samme antal æbler og beholde æblerne for sig selv. Hvor mange æbler skal Vasya købe, hvis han giver hver ven et æble? Hvad med? Hvad hvis inden?

Forholdet mellem antallet af æbler, som hver person vil modtage, og det samlede antal æbler, der skal købes, vil blive udtrykt ved ligningen:

• – antallet af æbler, som en person vil modtage (, eller, eller);
• - antallet af æbler, som Vasya vil tage for sig selv;
• – hvor mange æbler skal Vasya købe, under hensyntagen til antallet af æbler pr. person?

Når vi løser dette problem, får vi, at hvis Vasya giver en ven et æble, så skal han købe stykker, hvis han giver æbler osv.

Og generelt set. Vi har to variable. Hvorfor ikke plotte denne sammenhæng på en graf? Vi bygger og markerer værdien af ​​vores, det vil sige punkter, med koordinater, og!

Som du kan se, er de afhængige af hinanden lineær, deraf navnet på ligningerne – “ lineær».

Lad os abstrahere fra æbler og se på forskellige ligninger grafisk. Se omhyggeligt på de to konstruerede grafer - en ret linje og en parabel, specificeret af vilkårlige funktioner:

Find og marker de tilsvarende punkter på begge billeder.
Hvad fik du?

Det ser du på grafen for den første funktion alene svarer en, det vil sige, at de også er lineært afhængige af hinanden, hvilket ikke kan siges om den anden funktion. Selvfølgelig kan man argumentere for, at i den anden graf svarer x - også, men dette er kun ét punkt, altså et specialtilfælde, da man stadig kan finde et, der svarer til mere end blot ét. Og den konstruerede graf ligner ikke på nogen måde en linje, men er en parabel.

Jeg gentager en gang til: grafen for en lineær ligning skal være en LIGE linje.

Med det faktum, at ligningen ikke vil være lineær, hvis vi går i nogen grad - det er tydeligt ved at bruge eksemplet med en parabel, selvom du kan bygge et par mere simple grafer for dig selv, for eksempel eller. Men jeg forsikrer dig - ingen af ​​dem vil være en LIGE LINIE.

Tror ikke? Byg den og sammenlign den med det, jeg fik:

Hvad sker der, hvis vi dividerer noget med for eksempel et eller andet tal? Vil der være en lineær sammenhæng og? Lad os ikke skændes, men lad os bygge! Lad os for eksempel bygge en graf over en funktion.

På en eller anden måde ser det ikke ud som om det er konstrueret som en lige linje ... følgelig er ligningen ikke lineær.
Lad os opsummere:

1. Lineær ligning - er en algebraisk ligning, hvor den samlede grad af dets konstituerende polynomier er lig.
2. Lineær ligning med en variabel har formen:
   , hvor og er eventuelle tal;
   Lineær ligning med to variable:
   , hvor og er eventuelle tal.
3. Det er ikke altid muligt umiddelbart at afgøre, om en ligning er lineær eller ej. Nogle gange, for at forstå dette, er det nødvendigt at udføre identiske transformationer, flytte lignende udtryk til venstre/højre, ikke at glemme at ændre tegnet, eller gange/dividere begge sider af ligningen med det samme tal.

Kommentarer

Distribution af materialer uden godkendelse er tilladt, hvis der er et dofollow-link til kildesiden.

Fortrolighedspolitik

Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

4. Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, adresse E-mail etc.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

5. Samlet af os personlig information giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
6. Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
7. Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
8. Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse af oplysninger til tredjemand

Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.

9. Om nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsproceduren, retssager og/eller baseret på offentlige anmodninger eller anmodninger fra regerings kontorer på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
10. I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.

Tak for beskeden!

Din kommentar er blevet accepteret, og efter moderering vil den blive offentliggjort på denne side.

Vil du finde ud af, hvad der gemmer sig under snittet og modtage eksklusive materialer om forberedelse til Unified State-eksamenen og Unified State-eksamenen? Efterlad din e-mail

En ligning er en lighed, der indeholder et bogstav, hvis tegn skal findes. Løsningen til en ligning er det sæt af bogstavværdier, der gør ligningen til en ægte lighed:

Husk det for at løse ligning du skal overføre termerne med det ukendte til den ene del af ligheden, og de numeriske termer til den anden, bringe lignende og få følgende lighed:

Fra den sidste lighed bestemmer vi det ukendte efter reglen: "en af ​​faktorerne er lig med kvotienten divideret med den anden faktor."

Fordi rationelle tal a og b kan have samme og forskellige tegn, så bestemmes fortegnet for det ukendte af reglerne for at dividere rationelle tal.

Fremgangsmåde til løsning af lineære ligninger

Den lineære ligning skal forenkles ved at åbne parenteserne og udføre operationerne i andet trin (multiplikation og division).

Flyt de ukendte til den ene side af lighedstegnet, og tallene til den anden side af lighedstegnet, for at opnå en lighed, der er identisk med det givne,

Bring lignende til venstre og højre for lighedstegnet, og opnå en lighed af formen økse = b.

Beregn roden af ​​ligningen (find det ukendte x fra ligestilling x = b : -en),

Tjek ved at erstatte det ukendte i den givne ligning.

Hvis vi opnår en identitet i en numerisk lighed, så er ligningen løst korrekt.

Særlige tilfælde af løsning af ligninger

1. Hvis ligningen givet et produkt lig med 0, så for at løse det bruger vi egenskaben multiplikation: "produktet er lig med nul, hvis en af ​​faktorerne eller begge faktorer er lig med nul."

27 (x - 3) = 0
27 er ikke lig med 0, hvilket betyder x - 3 = 0

Det andet eksempel har to løsninger til ligningen, da
dette er en andengradsligning:

Hvis ligningens koefficienter er almindelige brøker, så skal vi først og fremmest slippe af med nævnerne. For det:

Find fællesnævner;

Bestem yderligere faktorer for hvert led i ligningen;

Multiplicer tællere af brøker og heltal med yderligere faktorer og skriv alle led i ligningen uden nævnere (fællesnævneren kan kasseres);

Flyt led med ukendte til den ene side af ligningen, og de numeriske led til den anden fra lighedstegnet, for at opnå en ækvivalent lighed;

Medbring lignende medlemmer;

Grundlæggende egenskaber ved ligninger

I enhver del af ligningen kan du tilføje lignende udtryk eller åbne en parentes.

Ethvert led i ligningen kan overføres fra en del af ligningen til en anden ved at ændre dens fortegn til det modsatte.

Begge sider af ligningen kan multipliceres (divideres) med det samme tal, undtagen 0.

I eksemplet ovenfor blev alle dets egenskaber brugt til at løse ligningen.

Lineære ligninger. Løsning af lineære ligninger. Regel for overførsel af en termin.

Regel for overførsel af en termin.

Når man løser og transformerer ligninger, er det ofte nødvendigt at flytte et led til den anden side af ligningen. Bemærk, at et led kan have enten et plus- eller et minustegn. Ifølge reglen, når du flytter et led til en anden del af ligningen, skal du ændre tegnet til det modsatte. Derudover virker reglen også for uligheder.

Eksempler bæretid:

Først overfører vi 5x

Bemærk, at "+"-tegnet er ændret til "-" og "-"-tegnet til "+". I dette tilfælde er det ligegyldigt, om det overførte led er et tal eller en variabel eller et udtryk.

Flyt 1. semester til højre side ligninger Vi får:

Bemærk venligst, at i vores eksempel er udtrykket udtrykket (-3x 2 (2+7x)). Derfor kan den ikke overføres separat (−3x2) Og (2+7x), da disse er komponenterne i summand. Derfor kan de ikke holde det ud (-3x 2 ⋅ 2) Og (7x). Vi kan dog åbne parenteserne og få 2 udtryk: (-3x-⋅ 2) Og (-3×2⋅ 7x). Disse 2 udtryk kan bæres adskilt fra hinanden.

Uligheder transformeres på samme måde:

Vi samler hvert nummer på den ene side. Vi får:

De 2 sider af ligningen er per definition ens, så vi kan trække de samme udtryk fra begge sider af ligningen, og ligheden forbliver sand. Du skal trække et udtryk fra, som i sidste ende skal flyttes til den anden side. Så på den ene side af "="-tegnet vil det trække sig sammen med, hvad det var. Og på den anden side af ligheden vil det udtryk, som vi trak fra, vises med et "-"-tegn.

Denne regel bruges ofte til at løse lineære ligninger. Andre metoder bruges til at løse lineære ligningssystemer.

Fundamentals of Algebra/Transfer Rule

Lad os flytte det første led til højre side af ligningen. Vi får:

Lad os flytte alle tallene til den ene side. Som et resultat har vi:

Eksempler, der illustrerer beviset Rediger

Til ligninger Rediger

Lad os sige, at vi vil flytte alle X'erne fra venstre side af ligningen til højre. Træk 5 x fra begge sider

Nu skal vi kontrollere, om venstre og højre side af ligningen er ens. Lad os erstatte den ukendte variabel med det resulterende resultat:

Nu kan vi præsentere lignende udtryk:

Lad os flytte 5 først x fra venstre side af ligningen til højre:

Lad os nu flytte tallet (−6) fra højre side til venstre:

Bemærk, at plustegnet er ændret til et minustegn, og minustegnet er ændret til et plustegn. Desuden er det ligegyldigt, om det overførte led er et tal, en variabel eller et helt udtryk.

To sider af en ligning er ens per definition, så du kan trække det samme udtryk fra begge sider af ligningen, og ligheden vil stadig være sand. På den ene side af lighedstegnet vil det trække sig sammen med, hvad det var. På den anden side af ligningen vil det udtryk, vi har trukket fra, fremstå med et minustegn.

Reglen for ligningerne er blevet bevist.

For uligheder Rediger

Derfor er 4 roden af ​​ligningen 5x+2=7x-6. Da identiteten er bevist for ham, så for ulighederne også, per definition.

Løsning af ligninger, reglen om at overføre led

Formålet med lektionen

Lektionens pædagogiske mål:

— Kunne anvende reglen om overførsel af led ved løsning af ligninger;

Lektionens udviklingsmål:

- udvikle selvstændig aktivitet studerende;

- udvikle tale (give fuldstændige svar i læsefærdigt, matematisk sprog);

Lektionens pædagogiske mål:

- udvikle evnen til korrekt at tage noter i notesbøger og på tavlen;

?Udstyr:

11. Multimedier
12. interaktiv tavle

Se dokumentets indhold
"lektion Løsning af ligninger 6. klasse"

MATELEKTION 6. KLASSE

Lærer: Timofeeva M.A.

Formålet med lektionen: lære reglerne for at overføre termer fra den ene side af ligningen til en anden.

Lektionens pædagogiske mål:

Kunne anvende reglen om overførsel af led ved løsning af ligninger;

Lektionens udviklingsmål:

udvikle selvstændig aktivitet af studerende;

udvikle tale (give fuldstændige svar i læsefærdigt, matematisk sprog);

Lektionens pædagogiske mål:

udvikle evnen til korrekt at tage noter i notesbøger og på tavlen;

Lektionens vigtigste faser

1. Organisatorisk moment, formidling af formålet med lektionen og arbejdsform

"Hvis du vil lære at svømme,

gå derefter frimodigt ind i vandet,

og hvis du vil lære at løse ligninger,

2. I dag begynder vi at studere emnet: "Løsning af ligninger" (slide 1)

Men du har allerede lært, hvordan man løser ligninger! Hvad skal vi så studere?

- Nye måder at løse ligninger på.

3. Lad os gennemgå det dækkede materiale (mundtligt arbejde) (dias 2)

3). 7m + 8n – 5m – 3n

4). – 6a + 12 b – 5a – 12b

5). 9x – 0,6 år – 14x + 1,2 år

Ligningen er kommet
bragte en masse hemmeligheder

Hvilke udtryk er ligninger?(Slide 3)

4. Hvad kaldes en ligning?

En ligning er en ligning, der indeholder et ukendt tal. (Dias 4)

Hvad vil det sige at løse en ligning?

Løs ligningen- betyder at finde dens rødder eller bevise, at de ikke eksisterer.

Lad os løse ligningerne mundtligt. (Dias 5)

Hvilken regel bruger vi til at løse?

— At finde en ukendt faktor.

Lad os skrive flere ligninger i en notesbog og løse dem ved hjælp af reglerne for at finde det ukendte led og minuend: (Slide 7)

Hvordan løser man sådan en ligning?

x + 5 = - 2x - 7 (dias 8)

Vi kan ikke forenkle, fordi lignende udtryk er inde forskellige dele ligninger, derfor er det nødvendigt at overføre dem.

Farverne brænder fantastisk,
Og uanset hvor klogt hovedet er,
Tror du stadig på eventyr?
Eventyret har altid ret.

Engang levede der to konger: en sort og en hvid. Den sorte konge boede i det sorte kongerige på højre bred af floden, og den hvide konge boede i det hvide kongerige på venstre bred. En meget stormfuld og farlig flod flød mellem rigerne. Det var umuligt at krydse denne flod hverken ved at svømme eller med båd. Vi havde brug for en bro! Byggeriet af broen tog meget lang tid, og endelig blev broen bygget. Alle ville glæde sig og kommunikere med hinanden, men her er problemet: den hvide konge kunne ikke lide farven sort, alle indbyggerne i hans rige bar let tøj, men den sorte konge kunne ikke lide hvid farve og indbyggerne i hans rige bar mørkt tøj. Hvis nogen fra Det Sorte Rige flyttede til Det Hvide Rige, faldt han straks i unåde hos Den Hvide Konge, og hvis nogen fra Det Hvide Rige flyttede til Det Sorte Rige, faldt han straks i unåde hos den sorte konge. Indbyggerne i rigerne måtte finde på noget for ikke at vrede deres konger. Hvad tror du, de fandt på?

Ligninger

Hvordan løser man ligninger?

I dette afsnit vil vi huske (eller studere, afhængigt af hvem du vælger) de mest elementære ligninger. Så hvad er ligningen? Taler menneskeligt sprog, dette er en slags matematisk udtryk, hvor der er et lighedstegn og et ukendt. Hvilket normalt betegnes med bogstavet "X". Løs ligningen- dette er at finde sådanne værdier af x, der, når de erstattes i original udtryk vil give os den korrekte identitet. Lad mig minde dig om, at identitet er et udtryk, der er hævet over enhver tvivl, selv for en person, der absolut ikke er belastet med matematisk viden. Som 2=2, 0=0, ab=ab osv. Så hvordan løser man ligninger? Lad os finde ud af det.

Der er alle mulige ligninger (jeg er overrasket, ikke?). Men al deres uendelige variation kan kun opdeles i fire typer.

4. Andet.)

Alt det andet, selvfølgelig, mest af alt, ja...) Dette inkluderer kubisk, eksponentiel, logaritmisk, trigonometrisk og alle mulige andre. Vi vil arbejde tæt sammen med dem i de relevante afsnit.

Jeg vil sige med det samme, at nogle gange er ligningerne for de tre første typer så skruet sammen, at du ikke engang vil genkende dem... Ingenting. Vi vil lære at slappe af dem.

Og hvorfor har vi brug for disse fire typer? Og så hvad lineære ligninger løst på én måde firkant andre, brøkrationaler - tredje, EN hvile Det tør de slet ikke! Nå, det er ikke, at de slet ikke kan bestemme, det er, at jeg tog fejl med matematik.) Det er bare, at de har deres egne specielle teknikker og metoder.

Men for enhver (jeg gentager - for nogen!) ligninger giver et pålideligt og fejlsikkert grundlag for løsning. Virker overalt og altid. Dette fundament - Lyder skræmmende, men det er meget enkelt. Og meget (Meget!) vigtig.

Faktisk består løsningen af ​​ligningen af ​​netop disse transformationer. 99 % Svar på spørgsmålet: " Hvordan løser man ligninger?" ligger netop i disse transformationer. Er hintet klart?)

Identiske transformationer af ligninger.

I nogen ligninger For at finde det ukendte skal du transformere og forenkle det originale eksempel. Og sådan når man skifter udseende essensen af ​​ligningen har ikke ændret sig. Sådanne transformationer kaldes identisk eller tilsvarende.

Bemærk, at disse transformationer gælder specifikt til ligningerne. Der er også identitetstransformationer i matematik udtryk. Dette er et andet emne.

Nu vil vi gentage alt, alt, alt grundlæggende identiske transformationer af ligninger.

Grundlæggende, fordi de kan anvendes til nogen ligninger - lineære, kvadratiske, brøkdele, trigonometriske, eksponentielle, logaritmiske osv. og så videre.

Første identitetstransformation: du kan addere (fratrække) til begge sider af enhver ligning nogen(men et og samme!) tal eller udtryk (inklusive et udtryk med en ukendt!). Dette ændrer ikke på essensen af ​​ligningen.

Forresten brugte du konstant denne transformation, du troede bare, at du overfører nogle udtryk fra en del af ligningen til en anden med et fortegnsskifte. Type:

Sagen er velkendt, vi flytter de to til højre, og vi får:



Faktisk dig taget væk fra begge sider af ligningen er to. Resultatet er det samme:

x+2 - 2 = 3 - 2

Flytning af termer til venstre og højre med et tegnskifte er simpelthen en forkortet version af den første identitetstransformation. Og hvorfor har vi brug for så dyb viden? - du spørger. Intet i ligningerne. For guds skyld, bær det ud. Bare glem ikke at ændre skiltet. Men i uligheder kan vanen med overførsel føre til en blindgyde...

Anden identitetstransformation: begge sider af ligningen kan ganges (divideres) med det samme ikke-nul tal eller udtryk. Her opstår allerede en forståelig begrænsning: at gange med nul er dumt, og at dividere er fuldstændig umuligt. Det er den transformation, du bruger, når du løser noget sejt som

Det er klart x= 2. Hvordan fandt du det? Ved valg? Eller gik det bare op for dig? For ikke at vælge og ikke vente på indsigt, skal du forstå, at du er retfærdig divideret begge sider af ligningen med 5. Ved deling af venstre side (5x), blev de fem reduceret, hvilket efterlod ren X. Hvilket er præcis, hvad vi havde brug for. Og når man dividerer højre side af (10) med fem, er resultatet selvfølgelig to.

Det er alt.

Det er sjovt, men disse to (kun to!) identiske transformationer er grundlaget for løsningen alle matematikkens ligninger. Wow! Det giver mening at se på eksempler på hvad og hvordan, ikke?)

Eksempler på identiske transformationer af ligninger. Hovedproblemer.

Lad os starte med først identitetstransformation. Overfør venstre-højre.

Et eksempel for de yngre.)

Lad os sige, at vi skal løse følgende ligning:

3-2x=5-3x

Lad os huske besværgelsen: "med X'er - til venstre, uden X'er - til højre!" Denne besværgelse er instruktioner til brug af den første identitetstransformation.) Hvilket udtryk med et X er til højre? 3x? Svaret er forkert! På vores højre side - 3x! Minus tre x! Derfor, når du flytter til venstre, vil tegnet skifte til plus. Det vil vise sig:

3-2x+3x=5

Så X'erne blev samlet i en bunke. Lad os komme ind på tallene. Der er en tre til venstre. Med hvilket skilt? Svaret "med ingen" accepteres ikke!) Foran de tre er der faktisk intet tegnet. Og det betyder, at før de tre er der plus. Så matematikerne var enige. Der er ikke skrevet noget, hvilket betyder plus. Derfor vil triplen blive overført til højre side med et minus. Vi får:

-2x+3x=5-3

Der er kun småting tilbage. Til venstre - medbring lignende, til højre - tæl. Svaret kommer med det samme:

I dette eksempel var én identitetstransformation nok. Den anden var ikke nødvendig. Nå okay.)

Et eksempel for ældre børn.)

Hvis du kan lide denne side...

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)

Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.