Визначення.
Прямокутник- це чотирикутник, у якого дві протилежні сторони рівні і всі чотири кути однакові.Прямокутники відрізняються між собою лише ставленням довгої сторони до короткої, але всі чотири кути у них прямі, тобто по 90 градусів.
Довгу сторону прямокутника називають довжиною прямокутника, а коротку - шириною прямокутника.
Сторони прямокутника є його висотами.
Основні властивості прямокутника
Прямокутником може бути паралелограм, квадрат або ромб.
1. Протилежні сторони прямокутника мають однакову довжину, тобто вони рівні:
AB = CD, BC = AD
2. Протилежні сторони прямокутника паралельні:
3. Прилеглі сторони прямокутника завжди перпендикулярні:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. Усі чотири кути прямокутника прямі:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Сума кутів прямокутника дорівнює 360 градусів:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Діагоналі прямокутника мають однакову довжину:
7. Сума квадратів діагоналі прямокутника дорівнює сумі квадратів сторін:
2d 2 = 2a 2 + 2b 2
8. Кожна діагональ прямокутника поділяє прямокутник на дві однакові фігури, а саме на прямокутні трикутники.
9. Діагоналі прямокутника перетинаються і в точці перетину діляться навпіл:
| AO = BO = CO = DO = | d | ||
| 2 |
10. Точка перетину діагоналей називається центром прямокутника і також є центром описаного кола
11. Діагональ прямокутника є діаметром описаного кола
12. Навколо прямокутника завжди можна описати коло, оскільки сума протилежних кутів дорівнює 180 градусів:
∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°
13. У прямокутник, у якого довжина не дорівнює ширині, не можна вписати коло, тому що суми протилежних сторін не рівні між собою (вписати коло можна лише у окремий випадок прямокутника - квадрат).
Сторони прямокутника
Визначення.
Довжиною прямокутниканазивають довжину довшої пари його сторін. Шириною прямокутниканазивають довжину коротшої пари його сторін.Формули визначення довжин сторін прямокутника
1. Формула сторони прямокутника (довжини та ширини прямокутника) через діагональ та іншу сторону:
a = √ d 2 - b 2
b = √ d 2 - a 2
2. Формула сторони прямокутника (довжини та ширини прямокутника) через площу та іншу сторону:
| b = d cos | β |
| 2 |
Діагональ прямокутника
Визначення.
Діагоналлю прямокутниканазивається будь-який відрізок, що з'єднує дві вершини протилежних кутів прямокутника.Формули визначення довжини діагоналі прямокутника
1. Формула діагоналі прямокутника через дві сторони прямокутника (через теорему Піфагора):
d = √ a 2 + b 2
2. Формула діагоналі прямокутника через площу та будь-яку сторону:
4. Формула діагоналі прямокутника через радіус описаного кола:
d = 2R
5. Формула діагоналі прямокутника через діаметр описаного кола:
d = D про
6. Формула діагоналі прямокутника через синус кута, що прилягає до діагоналі, та довжину сторони протилежної цьому куту:
8. Формула діагоналі прямокутника через синус гострого кута між діагоналями та площею прямокутника
d = √2S: sin β
Периметр прямокутника
Визначення.
Периметр прямокутниканазивається сума довжин усіх сторін прямокутника.Формули визначення довжини периметру прямокутника
1. Формула периметра прямокутника через дві сторони прямокутника:
P = 2a + 2b
P = 2(a + b)
2. Формула периметру прямокутника через площу та будь-яку сторону:
| P = | 2S + 2a 2 | = | 2S + 2b 2 |
| a | b |
3. Формула периметру прямокутника через діагональ та будь-яку сторону:
P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)
4. Формула периметру прямокутника через радіус описаного кола та будь-яку сторону:
P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)
5. Формула периметру прямокутника через діаметр описаного кола та будь-яку сторону:
P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)
Площа прямокутника
Визначення.
Площею прямокутниканазивається простір обмежений сторонами прямокутника, тобто у межах периметра прямокутника.Формули визначення площі прямокутника
1. Формула площі прямокутника через дві сторони:
S = a · b
2. Формула площі прямокутника через периметр та будь-яку сторону:
5. Формула площі прямокутника через радіус описаного кола та будь-яку сторону:
S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2
6. Формула площі прямокутника через діаметр описаного кола та будь-яку сторону:
S = a √D o 2 - a 2= b √D o 2 - b 2
Коло описане навколо прямокутника
Визначення.
Колом описаного навколо прямокутниканазивається коло, що проходить через чотири вершини прямокутника, центр якого лежить на перетині діагоналей прямокутника.Формули визначення радіуса кола описаного навколо прямокутника
1. Формула радіуса кола описаного навколо прямокутника через дві сторони:
У загальному вигляді формула лівих прямокутниківна відрізку виглядає наступним чином (21) :
У цій формулі x 0 =a, x n =b, тому що будь-який інтеграл у загальному вигляді виглядає: (див. формулу 18 ).
h можна обчислити за формулою 19 .
y 0 , y 1 ,..., y n-1 x 0 , x 1 ,..., x n-1 (x i =x i-1 +h).
Формула правих прямокутників.
У загальному вигляді формула правих прямокутниківна відрізку виглядає наступним чином (22) :
У цій формулі x 0 =a, x n =b(Див. формулу для лівих прямокутників).
h можна обчислити за тією самою формулою, що у формулі для лівих прямокутників.
y 1 , y 2 ,..., y n- це значення відповідної функції f(x) у точках x 1 , x 2 ,..., x n (x i =x i-1 +h).
Формула середніх прямокутників.
У загальному вигляді формула середніх прямокутниківна відрізку виглядає наступним чином (23) :
Де x i =x i-1 +h.
У цій формулі, як і попередніх, потрібно h множити суму значень функції f(x), але не просто підставляючи відповідні значення x 0 ,x 1 ,...,x n-1у функцію f(x), а додаючи до кожного з цих значень h/2(x 0 +h/2, x 1 +h/2,..., x n-1 +h/2), а потім лише підставляючи їх у задану функцію.
h можна обчислити за тією самою формулою, що й у формулі для лівих прямокутників." 6 ]
Насправді дані методи реалізуються так:
Mathcad ;
Excel .
Mathcad ;
Excel .
Для того щоб обчислити інтеграл за формулою середніх прямокутників в Excel, необхідно виконати такі дії:
Продовжити роботу в тому самому документі, що і при обчисленні інтеграла за формулами лівих та правих прямокутників.
У комірку E6 ввести текст xi+h/2, а F6 - f(xi+h/2).
Ввести в осередок E7 формулу =B7+$B$4/2, скопіювати цю формулу методом протягування в діапазон осередків E8:E16
Ввести в комірку F7 формулу =КОРІНЬ(E7^4-E7^3+8), скопіювати цю формулу методом протягування в діапазон комірок F8:F16
Ввести в комірку F18 формулу = СУМ(F7: F16).
Ввести у комірку F19 формулу =B4*F18.
Ввести в осередок F20 середніх текст.
У результаті отримуємо таке:
Відповідь: значення заданого інтеграла одно 13,40797.
Виходячи з отриманих результатів, можна зробити висновок, що формула середніх прямокутників є більш точною, ніж формули правих та лівих прямокутників.
1. Метод Монте-Карло
"Основна ідея методу Монте-Карло полягає у багаторазовому повторенні випадкових випробувань. Характерною особливістю методу Монте-Карло є використання випадкових чисел (числових значень деякої випадкової величини). Такі числа можна отримувати за допомогою датчиків випадкових чисел. Наприклад, у мові програмування Turbo Pascal є стандартна функція random, значеннями якої є випадкові числа, рівномірно розподілені на відрізку . Сказане означає, що якщо розбити зазначений відрізок на кілька рівних інтервалів і обчислити значення функції random велике число разів, то в кожен інтервал потрапить приблизно однакова кількість випадкових чисел. У мові програмування basin подібним датчиком є функція rnd. У табличному процесорі MS Excel функція СЛЧИСповертає рівномірно розподілене випадкове число більше або дорівнює 0 і менше 1 (змінюється при перерахунку)" [ 7 ].
Для того, щоб його обчислити, необхідно скористатися формулою () :
Де (i=1, 2, …, n) – випадкові числа, що у інтервалі .
Для отримання таких чисел на основі послідовності випадкових чисел x i , рівномірно розподілених в інтервалі досить виконати перетворення x i = a + (b-a) x i .
Насправді даний метод реалізується так:
Щоб обчислити інтеграл методом Монте-Карло в Excel, необхідно виконати такі дії:
У комірку B1 ввести текст n=.
У комірку B2 введіть текст a=.
У комірку B3 ввести текст b=.
У комірку C1 ввести число 10.
У комірку C2 ввести число 0.
У комірку C3 ввести число 3,2.
У комірку A5 ввести I, у В5 – xi, у C5 – f(xi).
Осередки A6:A15 заповнити числами 1,2,3, …,10 – оскільки n=10.
Ввести в комірку B6 формулу =СЛЧИС()*3,2 (відбувається генерація чисел у діапазоні від 0 до 3,2), скопіювати цю формулу методом протягування в діапазон комірок В7:В15.
Ввести в комірку C6 формулу =КОРІНЬ(B6^4-B6^3+8), скопіювати цю формулу методом протягування в діапазон комірок C7:C15.
Ввести в комірку B16 текст «сума», B17 – «(b-a)/n», B18 – «I=».
Вести в комірку C16 формулу = СУМ (C6: C15).
Вести у комірку C17 формулу =(C3-C2)/C1.
Вести в комірку C18 формулу = C16 * C17.
У результаті отримуємо:
Відповідь: значення заданого інтеграла одно 13,12416.
Одним із базових понять математики є периметр прямокутника. На цю тему існує безліч завдань, при вирішенні яких не обійтися без формули периметра та навичок його обчислення.
Основні поняття
Прямокутник - це чотирикутник, у якого всі кути прямі, а протилежні сторони попарно рівні та паралельні. У нашому житті багато фігур мають форму прямокутника, наприклад, поверхню столу, зошит та інше.
Розглянемо приклад:за межами земельної ділянки необхідно поставити огорожу. Щоб дізнатися довжину кожної зі сторін необхідно їх виміряти.
Рис. 1. Земельна ділянка формою прямокутника.
Земельна ділянка має сторони довжиною 2 м., 4 м., 2 м., 4 м.
2+2+4+4= 2·2+4·2 =(2+4)·2 =12 м.
Саме ця величина в загальному випадку називається периметром. Таким чином, для знаходження периметра необхідно скласти усі сторони фігури. Для позначення периметра використовують літеру P.
Для обчислення периметра прямокутної фігури не потрібно розділяти її на прямокутники, потрібно виміряти лінійкою (рулеткою) лише всі сторони цієї фігури та знайти їхню суму.
Периметр прямокутника вимірюється в мм, див, м, км і так далі. При необхідності дані в завданні переводять в однакову систему вимірювання.
Периметр прямокутника вимірюється в різних одиницях: мм, див, м, км і так далі. При необхідності дані в завданні переводять в одну систему вимірювання.
Формула периметра фігури
Якщо взяти до уваги той факт, що протилежні сторони прямокутника рівні, можна вивести формулу периметра прямокутника:
$P = (a+b) * 2$, де а, b – сторони фігури.
Рис. 2. Прямокутник, із позначеними протилежними сторонами.
Існує інший спосіб знайти периметр. Якщо завдання дано лише один бік і площу фігури, можна використовувати виразити інший бік через площу. Тоді формула буде виглядати так:
$P = ((2S + 2a2)\over(a))$, де S – площа прямокутника.
Рис. 3. Прямокутник зі сторонами a, b.
Завдання : Обчислити периметр прямокутника, якщо його сторони дорівнюють 4 см і 6 см.
Рішення:
Використовуємо формулу $P = (a+b)*2$
$ P = (4 +6) * 2 = 20 см $
Отже, периметр фігури $P = 20 див$.
Так як периметр – це сума всіх сторін фігури, то напівпериметр це сума лише однієї довжини та ширини. Щоб отримати периметр, необхідно напівпериметр помножити на 2.
Площа та периметр – це два основні поняття виміру будь-якої фігури. Їх не можна плутати, хоч вони пов'язані між собою. Якщо збільшити, або зменшити площу, то відповідно збільшиться або зменшиться його периметр.
Що ми дізналися?
Ми дізналися, як знайти периметр прямокутника. А також ознайомились із формулою його обчислення. З цією темою можна зіткнутися не тільки під час вирішення математичних завдань, а й у реальному житті.
Тест на тему
Оцінка статті
Середня оцінка: 4.5. Усього отримано оцінок: 365.
Прямокутникце чотирикутник, у якого кожен кут є прямим.
Доведення
Властивість пояснюється дією ознаки 3 паралелограма (тобто \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )
2. Протилежні сторони рівні.
AB = CD,\enspace BC = AD
3. Протилежні сторони паралельні.
AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD
4. Прилеглі сторони перпендикулярні одна одній.
AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB
5. Діагоналі прямокутника рівні.
AC = BD
Доведення
Згідно властивості 1прямокутник є паралелограмом, отже AB = CD .
Отже, \triangle ABD = \triangle DCA за двома катетами (AB = CD та AD - спільний).
Якщо обидві фігури - ABC і DCA тотожні, то їх гіпотенузи BD і AC теж тотожні.
Значить AC = BD .
Тільки у прямокутника зі всіх фігур (тільки з паралелограмів!) Дорівнюють діагоналі.
Доведемо це.
ABCD — паралелограм Rightarrow AB = CD , AC = BD за умовою. \Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCAвже з трьох боків.
Виходить, що \angle A = \angle D (як кути паралелограма). І \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .
Виводимо, що \angle A = \angle B = \angle C = \angle D. Усі вони по 90^(\circ). У сумі – 360^(\circ) .
Доведено!
6. Квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів двох його сторін.
Ця властивість справедлива через теорему Піфагора.
AC^2=AD^2+CD^2
7. Діагональ ділить прямокутник на два однакові прямокутні трикутники.
\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD
8. Крапка перетину діагоналей ділить їх навпіл.
AO = BO = CO = DO
.png)
9. Точка перетину діагоналей є центром прямокутника та описаного кола.
10. Сума всіх кутів дорівнює 360 градусів.
\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^(\circ)
11. Усі кути прямокутника прямі.
\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^(\circ)
12. Діаметр описаного біля прямокутника кола дорівнює діагоналі прямокутника.
13. Навколо прямокутника завжди можна описати коло.
Ця властивість справедлива через те, що сума протилежних кутів прямокутника дорівнює 180^(\circ)
\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)
14. Прямокутник може містити вписане коло і лише одну, якщо він має однакові довжини сторін (є квадратом).
Оцінка залишкового члена формули:
, 
або 
.
Призначення сервісу. Сервіс призначений для онлайн-обчислення певного інтеграла за формулою прямокутників.
Інструкція. Введіть підінтегральну функцію f(x), натисніть Вирішити. Отримане рішення зберігається у файлі Word. Також створюється шаблон рішення в Excel. Нижче представлена відеоінструкція.
Правила введення функції
Приклади≡ x^2/(1+x)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3) Це найпростіша квадратурна формула обчислення інтеграла, в якій використовується одне значення функції
(1)
де; h=x 1 -x 0.
Формула (1) є центральною формулою прямокутників. Обчислимо залишковий член. Розкладемо у ряд Тейлора функцію y=f(x) у точці ε 0:
(2)
де ε 1; x∈. Проінтегруємо (2):
(3)
У другому доданку підінтегральна функція непарна, а межі інтегрування симетричні щодо точки ε 0 . Тому другий інтеграл дорівнює нулю. Таким чином, з (3) випливає 
.
Т. к. другий множник підинтегрального виразу не змінює знак, то за теоремою про середнє отримаємо 
де . Після інтегрування отримаємо 
. (4)
Порівнюючи з залишковим членом формули трапецій, бачимо, що похибка формули прямокутників вдвічі менша, ніж похибка формули трапецій. Цей результат є вірним, якщо у формулі прямокутників ми беремо значення функції в середній точці.
Отримаємо формулу прямокутників і залишковий член для інтервалу. Нехай задана сітка x i = a + ih, i = 0,1, ..., n, h = x i +1 -x i. Розглянемо сітку ε i = ε 0 +ih, i = 1,2,.., n, ε 0 =a-h/2. Тоді 
. (5)
Залишковий член 
.
Геометрично формула прямокутників може бути представлена наступним малюнком: 
Якщо функція f(x) задана таблично, використовують або лівосторонню формулу прямокутників (для рівномірної сітки) 
або правосторонню формулу прямокутників
.
Похибка цих формул оцінюється через першу похідну. Для інтервалу похибка дорівнює
; .
Після інтегрування отримаємо.
Приклад. Обчислити інтеграл за n=5:
а) за формулою трапецій;
б) за формулою прямокутників;
в) за формулою Сімпсона;
г) за формулою Гауса;
д) за формулою Чебишева.
Розрахувати похибку.
Рішення. Для 5-ти вузлів інтегрування крок сітки становитиме 0.125.
При вирішенні користуватимемося таблицею значень функції. Тут f(x) = 1/x.
| x | f(x) | ||
| x0 | 0.5 | y0 | 2 |
| x1 | 0.625 | y1 | 1.6 |
| x2 | 0.750 | y2 | 1.33 |
| x3 | 0.875 | y3 | 1.14 |
| x4 | 1.0 | y4 | 1 |
I=h/2×;
I=(0.125/2)×= 0.696;
R= [-(b-a)/12]×h×y¢¢(x);
f¢¢(x)=2/(x 3).
Максимальне значення другої похідної функції на інтервалі дорівнює 16: max (f¢¢(x)), xÎ=2/(0.5 3)=16, тому
R=[-(1-0.5)/12]×0.125×16=- 0.0833;
б) формула прямокутників:
для лівосторонньої формули I=h×(y0+y1+y2+y3);
I=0.125×(2+1.6+1.33+1.14)= 0.759;
R=[(b-a)/6]×h 2 ×y¢¢(x);
R=[(1-0.5)/6]×0.125 2 ×16= 0.02;
в) формула Сімпсона:
I=(2h/6)×(y0+y4+4×(y1+y3)+2×y2);
I=(2×0.125)/6×(2+1+4×(1.6+1.14)+2×1.33)= 0.693;
R=[-(b-a)/180]×h 4 ×y (4) (x);
f (4) (x) = 24 / (x 5) = 768;
R=[-(1-0.5)/180]×(0.125) 4 ×768 = - 5.2 e-4;
г) формула Гауса:
I=(b-a)/2×;
x i =(b+a)/2+t i (b-a)/2
(A i, t i - табличні значення).
| t (n=5) | A (n=5) | ||||||
| x1 | 0.9765 | y1 | 1.02 | t 1 | 0.90617985 | A 1 | 0.23692688 |
| x2 | 0.8846 | y2 | 1.13 | t 2 | 0.53846931 | A 2 | 0.47862868 |
| x3 | 0.75 | y3 | 1.33 | t 3 | 0 | A 3 | 0.56888889 |
| x4 | 0.61 | y4 | 1.625 | t 4 | -0.53846931 | A 4 | 0.47862868 |
| x5 | 0.52 | y5 | 1.91 | t 5 | -0.90617985 | A 5 | 0.23692688 |
д) формула Чебишева:
I=[(b-a)/n] ×S f(x i), i=1..n,
x i = (b + a) / 2 + [t i (b-a)] / 2 - необхідне приведення інтервалу інтегрування до інтервалу [-1; 1].
Для n=5
| t1 | 0.832498 |
| t2 | 0.374541 |
| t3 | 0 |
| t4 | -0.374541 |
| t5 | -0.832498 |
| x1 | 0,958 | f(x1) | 1,043 |
| x2 | 0,844 | f(x2) | 1,185 |
| x3 | 0,75 | f(x3) | 1,333 |
| x4 | 0,656 | f(x4) | 1,524 |
| x5 | 0,542 | f(x5) | 1,845 |
I=(1-0,5)/5×6,927=0,6927.
Завантаження...