Õppige võtma funktsioonide tuletisi. Tuletis iseloomustab funktsiooni muutumise kiirust teatud punktis, mis asub selle funktsiooni graafikul. IN sel juhul Graafik võib olla kas sirgjoon või kõverjoon. See tähendab, et tuletis iseloomustab funktsiooni muutumise kiirust teatud ajahetkel. Pea meeles üldreeglid mille jaoks tuletised võetakse, ja alles siis jätkake järgmise sammuga.
- Loe artiklit.
- Kirjeldatakse, kuidas võtta lihtsamaid tuletisi, näiteks eksponentsiaalvõrrandi tuletist. Järgmistes etappides esitatud arvutused põhinevad seal kirjeldatud meetoditel.
Õppige eristama ülesandeid, milles kalle tuleb arvutada funktsiooni tuletise kaudu.Ülesannetes ei soovitata alati leida funktsiooni tõusu või tuletist. Näiteks võidakse teil paluda leida funktsiooni muutumise kiirus punktis A(x, y). Samuti võidakse teil paluda leida puutuja kalle punktis A(x, y). Mõlemal juhul on vaja võtta funktsiooni tuletis.
Võtke antud funktsiooni tuletis. Siin pole vaja graafikut koostada - vajate ainult funktsiooni võrrandit. Meie näites võtame funktsiooni tuletise . Võtke tuletis vastavalt ülalmainitud artiklis kirjeldatud meetoditele:
- Tuletis:
Asenda kalde arvutamiseks leitud tuletis sulle antud punkti koordinaadid. Funktsiooni tuletis on võrdne kaldega teatud punktis. Teisisõnu, f "(x) on funktsiooni kalle mis tahes punktis (x, f (x)). Meie näites:
- Leia funktsiooni kalle f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) punktis A(4,2).
- Funktsiooni tuletis:
- f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x) = 4x+6)
- Asendage antud punkti x-koordinaadi väärtus:
- f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x) = 4 (4) + 6)
- Leidke kalle:
- Funktsiooni kalle f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) punktis A(4,2) on 22.
Võimalusel kontrolli oma vastust graafikult. Pidage meeles, et kaldetegurit ei saa arvutada igas punktis. Diferentsiaalarvutus leiab keerukad funktsioonid ja kompleksgraafikud, kus igas punktis ei saa kallet arvutada ja mõnel juhul ei asu punktid graafikutel üldse. Võimalusel kontrollige graafikakalkulaatoriga, kas teile antud funktsiooni kalle on õige. Vastasel juhul joonistage antud punktis graafikule puutuja ja mõelge, kas leitud kalde väärtus vastab graafikul nähtule.
- Puutujal on teatud punktis sama kalle kui funktsioonigraafikul. Antud punktis puutuja joonistamiseks liigutage x-teljel paremale/vasakule (meie näites 22 väärtust paremale) ja siis y-teljel üks üles. Märkige punkt ja seejärel ühendage see selle punktini, mille olete andnud. Meie näites ühendage punktid koordinaatidega (4,2) ja (26,3).
Eelmises peatükis näidati, et valides tasapinnal kindla koordinaatsüsteemi, saame vaadeldava sirge punkte iseloomustavaid geomeetrilisi omadusi analüütiliselt väljendada jooksvate koordinaatide vahelise võrrandiga. Seega saame sirge võrrandi. Selles peatükis käsitletakse sirgjoonte võrrandeid.
Sirge võrrandi sõnastamiseks Descartes'i koordinaatides peate kuidagi määrama tingimused, mis määravad selle asukoha koordinaatide telgede suhtes.
Esmalt tutvustame sirge kalde mõistet, mis on üks sirge asendit tasapinnal iseloomustavatest suurustest.
Nimetagem sirge kaldenurka Ox-telje suhtes nurka, mille võrra tuleb Ox-telge pöörata nii, et see ühtiks antud sirgega (või osutuks sellega paralleelseks). Nagu tavaliselt, arvestame nurka, võttes arvesse märki (märk määratakse pöörlemissuuna järgi: vastupäeva või päripäeva). Kuna Hrja telje täiendav pööramine 180° nurga võrra ühendab selle taas sirgjoonega, saab sirge kaldenurka telje suhtes valida mitmetähenduslikult (kuni kordne).
Selle nurga puutuja määratakse üheselt (kuna nurga muutmine väärtuseks ei muuda selle puutujat).
Sirge kaldenurga puutujat x-telje suhtes nimetatakse sirge kaldeks.
Kalle iseloomustab sirge suunda (siin me ei erista sirge kahte vastastikku vastandlikku suunda). Kui sirge kalle on null, siis on joon paralleelne x-teljega. Positiivse kalde korral on sirge kaldenurk Ox-telje suhtes terav (vaatame siin kaldenurga väikseimat positiivset väärtust) (joonis 39); sel juhul, mida suurem on kalle, seda suurem on selle kaldenurk härja telje suhtes. Kui kalle on negatiivne, on sirge kaldenurk x-telje suhtes nüri (joonis 40). Pange tähele, et x-teljega risti asetseval sirgel ei ole kallet (nurga puutujat ei eksisteeri).
Kaldetegur on sirge. Käesolevas artiklis käsitleme matemaatika eksamil sisalduva koordinaattasandiga seotud ülesandeid. Need on ülesanded:
- sirge kalde määramine, kui on teada kaks punkti, mida see läbib;
- kahe tasapinna sirge lõikepunkti abstsissi või ordinaadi määramine.
Selles jaotises kirjeldati, mis on punkti abstsiss ja ordinaat. Selles oleme juba käsitlenud mitmeid koordinaattasandiga seotud probleeme. Mida tuleb seda tüüpi ülesannete puhul mõista? Natuke teooriat.
Koordinaattasandil sirgjoone võrrand on järgmine:
kus k – see on sirgjoone kalle.
Järgmine hetk! Sirge kalle on võrdne sirge kalde puutujaga. See on nurk antud sirge ja telje vahelOh.
See on vahemikus 0 kuni 180 kraadi.
See tähendab, et kui me taandame sirgjoone võrrandi vormiks y = kx + b, siis edasi saame alati määrata koefitsiendi k (kaldekordaja).
Samuti, kui saame tingimuse põhjal määrata sirge kalde puutuja, siis leiame seeläbi selle kalde.
Järgmine teoreetiline hetk!Kaht etteantud punkti läbiva sirge võrrand.Valem näeb välja selline:
Vaatleme ülesandeid (sarnaselt avatud ülesannete panga ülesannetega):
Leidke koordinaatidega (–6; 0) ja (0; 6) punkte läbiva sirge kalle.
Selles ülesandes on kõige ratsionaalsem viis selle lahendamiseks leida x-telje ja antud sirge vahelise nurga puutuja. On teada, et see on võrdne nurkkoefitsiendiga. Vaatleme täisnurkset kolmnurka, mille moodustavad sirgjoon ning x- ja y-telg:
Nurga puutuja in täisnurkne kolmnurk on vastasjala ja külgneva jala suhe:
* Mõlemad jalad on võrdsed kuuega (need on nende pikkused).
kindlasti, see ülesanne saab lahendada kahte etteantud punkti läbiva sirge võrrandi leidmise valemi abil. Kuid see on pikem lahendustee.
Vastus: 1
Leidke koordinaatidega (5;0) ja (0;5) punkte läbiva sirge kalle.
Meie punktidel on koordinaadid (5;0) ja (0;5). Tähendab,
Toome valemi vormi y = kx + b
Saime selle nurgakoefitsiendi k = – 1.
Vastus: -1
Otse a läbib punkte koordinaatidega (0;6) ja (8;0). Otse b läbib punkti koordinaatidega (0;10) ja on paralleelne sirgega a b teljega härg.
Selles ülesandes saate leida sirgjoone võrrandi a, määrake selle kalle. Sirgjoon b kalle on sama, kuna need on paralleelsed. Järgmisena leiate sirgjoone võrrandi b. Ja seejärel, asendades selle väärtusega y = 0, leidke abstsiss. AGA!
Sel juhul on kolmnurga sarnasuse omadust lihtsam kasutada.
Antud (paralleelsete) koordinaatide sirgetest moodustatud täisnurksed kolmnurgad on sarnased, mis tähendab, et nende külgede suhted on võrdsed.
Soovitud abstsiss on 40/3.
Vastus: 40/3
Otse a läbib punkte koordinaatidega (0;8) ja (–12;0). Otse b läbib punkti koordinaatidega (0; -12) ja on paralleelne sirgega a. Leidke sirge lõikepunkti abstsiss b teljega härg.
Selle ülesande jaoks on kõige ratsionaalsem viis selle lahendamiseks kasutada kolmnurkade sarnasuse omadust. Aga me lahendame selle teistmoodi.
Me teame punkte, mida joon läbib aga. Võime kirjutada sirge võrrandi. Kaht antud punkti läbiva sirge võrrandi valem on järgmine:
Tingimuse järgi on punktidel koordinaadid (0;8) ja (–12;0). Tähendab,
Tuletame meelde y = kx + b:
Sain selle nurga kätte k = 2/3.
*Nurgakoefitsiendi saab leida nurga puutuja kaudu täisnurkses kolmnurgas jalgadega 8 ja 12.
Teame, et paralleelsete joonte kalded on võrdsed. Seega on punkti (0;-12) läbiva sirge võrrandil järgmine kuju:
Leia väärtus b saame asendada abstsissi ja ordineerida võrrandisse:
Nii et rida näeb välja selline:
Nüüd, et leida joone ja x-telje lõikepunkti soovitud abstsiss, peate asendama y \u003d 0:
Vastus: 18
Leia telje lõikepunkti ordinaat oi ja punkti B(10;12) läbiv sirgjoon ning alguspunkti ja punkti A(10;24) läbiv paralleeljoon.
Leiame koordinaatidega (0;0) ja (10;24) punkte läbiva sirge võrrandi.
Kaht antud punkti läbiva sirge võrrandi valem on järgmine:
Meie punktidel on koordinaadid (0;0) ja (10;24). Tähendab,
Tuletame meelde y = kx + b
Paralleelsete joonte kalded on võrdsed. Seega on punkti B (10; 12) läbiva sirge võrrandil järgmine kuju:
Tähendus b leiame, asendades punkti B (10; 12) koordinaadid selles võrrandis:
Saime sirgjoone võrrandi:
Selle sirge ja telje lõikepunkti ordinaat leidmiseks OU tuleb leitud võrrandisse asendada X= 0:
* Lihtsaim lahendus. Paralleeltõlke abil nihutame seda joont mööda telge allapoole OU punktini (10;12). Nihe toimub 12 ühiku võrra, see tähendab, et punkt A(10;24) "läbi" punkti B(10;12) ja punkt O(0;0) "läbi" punkti (0;–12). Nii et saadud joon lõikub teljega OU punktis (0;–12).
Soovitud ordinaat on -12.
Vastus: -12
Leidke võrrandiga antud sirge lõikepunkti ordinaat
3x + 2a = 6, teljega Oy.
Antud sirge ja telje lõikepunkti koordinaat OU on kujul (0; juures). Asendage võrrandis abstsiss X= 0 ja leidke ordinaat:
Sirge ja telje lõikepunkti ordinaat OU võrdub 3.
* Süsteem on lahendamisel:
Vastus: 3
Leidke võrranditega antud sirgete lõikepunkti ordinaat
3x + 2a = 6 Ja y = - x.
Kui on antud kaks sirget ja küsimus on nende sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmises, on nende võrrandite süsteem lahendatud:
Esimeses võrrandis asendame - X selle asemel juures:
Ordinaat on miinus kuus.
Vastus: – 6
Leidke koordinaatidega (–2; 0) ja (0; 2) punkte läbiva sirge kalle.
Leidke koordinaatidega (2;0) ja (0;2) punkte läbiva sirge kalle.
Sirge a läbib punkte koordinaatidega (0;4) ja (6;0). Sirg b läbib punkti koordinaatidega (0;8) ja on paralleelne sirgega a. Leidke sirge b ja x-telje lõikepunkti abstsiss.
Leia y-telje ja punkti B (6;4) läbiva sirge ning alguspunkti ja punkti A läbiva paralleelsirge (6;8) lõikepunkti ordinaat.
1. On vaja selgelt mõista, et sirge kalle on võrdne sirge kalde puutujaga. See aitab teil lahendada paljusid seda tüüpi probleeme.
2. Tuleb mõista kahte etteantud punkti läbiva sirge leidmise valemit. Selle abil saate alati leida sirge võrrandi, kui on antud selle kahe punkti koordinaadid.
3. Pidage meeles, et paralleelsete joonte kalded on võrdsed.
4. Nagu aru saate, on mõnes ülesandes mugav kasutada kolmnurkade sarnasuse märki. Probleemid lahendatakse praktiliselt suuliselt.
5. Graafiliselt saab lahendada ülesandeid, milles on antud kaks sirget ja milleks on vaja leida nende lõikepunkti abstsiss või ordinaat. See tähendab, et ehitage need koordinaattasandile (lahtris olevale lehele) ja määrake ristumispunkt visuaalselt. *Kuid see meetod ei ole alati rakendatav.
6. Ja viimane. Kui on antud sirge ja selle lõikumispunktide koordinaadid koordinaatide telgedega, siis on selliste ülesannete puhul mugav nurgakoefitsienti leida, leides moodustatud täisnurksest kolmnurgast nurga puutuja. Allpool on skemaatiliselt näidatud, kuidas seda kolmnurka tasapinnal erinevate joonte paigutuste korral "näha".
>> Joone kaldenurk 0 kuni 90 kraadi<<
>> Sirge nurk 90 kuni 180 kraadi<<
See on kõik. Edu sulle!
Lugupidamisega Aleksander.
P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.
Tasapinna sirge võrrandi teema jätk põhineb sirge uurimisel algebra tundidest. See artikkel annab üldistatud teavet kaldega sirge võrrandi teema kohta. Mõelge definitsioonidele, hankige võrrand ise, paljastage seos teist tüüpi võrranditega. Kõike arutatakse probleemide lahendamise näidete varal.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Enne sellise võrrandi kirjutamist on vaja määratleda sirge kaldenurk nende kaldega O x telje suhtes. Oletame, et tasapinnal on antud Descartes'i koordinaatsüsteem O x.
Definitsioon 1
sirge kaldenurk telje O x suhtes, asub tasapinnal Descartes'i koordinaatsüsteemis O x y, see on nurk, mida mõõdetakse positiivsest suunast O x sirgjoonele vastupäeva.
Kui joon on Oxiga paralleelne või selles esineb kokkulangevus, on kaldenurk 0. Seejärel määratletakse antud sirge kaldenurk α intervallil [ 0 , π) .
Definitsioon 2
Sirge kalle on antud sirge kalde puutuja.
Standardtähistus on k. Definitsioonist saame, et k = t g α . Kui joon on Oxiga paralleelne, siis väidetavalt ei eksisteeri kallet, sest see läheb lõpmatuseni.
Funktsiooni graafiku suurenemisel on kalle positiivne ja vastupidi. Joonisel on näidatud erinevad variatsioonid õige nurga asukohast koordinaatsüsteemi suhtes koos koefitsiendi väärtusega.
Selle nurga leidmiseks on vaja rakendada kaldeteguri määratlust ja arvutada tasapinna kaldenurga puutuja.
Lahendus
Tingimusest saame, et α = 120 °. Definitsiooni järgi peate arvutama kalle. Leiame selle valemist k = t g α = 120 = - 3 .
Vastus: k = -3 .
Kui nurgakoefitsient on teada, kuid on vaja leida kaldenurk x-telje suhtes, siis tuleks arvestada nurkkoefitsiendi väärtust. Kui k > 0, siis on täisnurk teravnurk ja leitakse valemiga α = a r c t g k. Kui k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .
Näide 2
Määrake antud sirge kaldenurk O x kaldenurgaga 3.
Lahendus
Tingimusest saame, et kalle on positiivne, mis tähendab, et kaldenurk O x suhtes on väiksem kui 90 kraadi. Arvutused tehakse valemi α = a r c t g k = a r c t g 3 järgi.
Vastus: α = a r c t g 3 .
Näide 3
Leidke sirge kaldenurk O x telje suhtes, kui kalle = - 1 3 .
Lahendus
Kui võtta kalde tähiseks täht k, siis α on antud sirge kaldenurk positiivses suunas O x. Seega k = -1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:
α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6 .
Vastus: 5 pi 6 .
Võrrandit kujul y \u003d k x + b, kus k on kalle ja b on mingi reaalarv, nimetatakse kaldega sirge võrrandiks. Võrrand on tüüpiline igale sirgele, mis ei ole paralleelne O y teljega.
Kui vaadelda üksikasjalikult sirgjoont tasapinnal fikseeritud koordinaatsüsteemis, mis on antud kaldega võrrandiga, mis näeb välja nagu y = k · x + b . Sel juhul tähendab see, et joone mis tahes punkti koordinaadid vastavad võrrandile. Kui asendame punkti M koordinaadid M 1 (x 1, y 1) võrrandiga y \u003d kx + b, siis sel juhul läbib joon seda punkti, vastasel juhul ei kuulu punkt punkti rida.
Näide 4
Antud sirge kaldega y = 1 3 x - 1 . Arvuta, kas punktid M 1 (3 , 0) ja M 2 (2 , - 2) kuuluvad antud sirgele.
Lahendus
Antud võrrandisse on vaja asendada punkti M 1 (3, 0) koordinaadid, siis saame 0 = 1 3 3 - 1 ⇔ 0 = 0 . Võrdsus on tõsi, nii et punkt kuulub reale.
Kui asendada punkti M 2 koordinaadid (2, - 2), siis saame vale võrdsuse kujul - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 . Võime järeldada, et punkt M 2 ei kuulu sirgele.
Vastus: M 1 kuulub reale, aga M 2 mitte.
On teada, et sirgjoon on defineeritud võrrandiga y = k · x + b, mis läbib M 1 (0, b) , asendamine andis võrdsuse kujul b = k · 0 + b ⇔ b = b . Sellest võime järeldada, et tasapinna kaldega y = k · x + b sirge võrrand defineerib sirge, mis läbib punkti 0, b. See moodustab O x telje positiivse suunaga nurga α, kus k = t g α .
Vaatleme näiteks sirgjoont, mis on määratletud kalde abil, mis on antud kujul y = 3 · x - 1 . Saame, et sirge läbib punkti koordinaadiga 0, - 1 kaldega α = a r c t g 3 = π 3 radiaani piki O x telje positiivset suunda. Sellest on näha, et koefitsient on 3.
Antud punkti läbiva kaldega sirge võrrand
Vaja on lahendada ülesanne, kus on vaja saada punkti M 1 (x 1, y 1) läbiva etteantud kaldega sirge võrrand.
Võrdsust y 1 = k · x + b võib lugeda kehtivaks, kuna sirge läbib punkti M 1 (x 1 , y 1) . Arvu b eemaldamiseks on vaja vasakult ja paremalt poolt lahutada võrrand kaldekoefitsiendiga. Sellest järeldub, et y - y 1 = k · (x - x 1) . Seda võrdsust nimetatakse antud kaldega k sirge võrrandiks, mis läbib punkti M 1 (x 1, y 1) koordinaate.
Näide 5
Koostage võrrand sirgjoonest, mis läbib punkti M 1 koordinaatidega (4, - 1), mille kalle on - 2.
Lahendus
Tingimuse järgi on meil x 1 \u003d 4, y 1 \u003d - 1, k = 2. Siit edasi kirjutatakse sirgjoone võrrand järgmiselt: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7.
Vastus: y = -2 x + 7.
Näide 6
Kirjutage punkti M 1 läbiva kaldega sirge võrrand koordinaatidega (3, 5), mis on paralleelsed sirgega y \u003d 2 x - 2.
Lahendus
Tingimuse kohaselt on paralleelsetel joontel kattuvad kaldenurgad, seega on kalde koefitsiendid võrdsed. Selle võrrandi kalde leidmiseks peate meeles pidama selle põhivalemit y \u003d 2 x - 2, mis tähendab, et k \u003d 2. Koostame kaldekoefitsiendiga võrrandi ja saame:
y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1
Vastus: y = 2 x - 1 .
Üleminek kaldega sirge võrrandilt teist tüüpi sirgjoone võrranditele ja vastupidi
Sellist võrrandit ei saa ülesannete lahendamisel alati kasutada, kuna sellel pole eriti mugav tähistus. Selleks tuleb see esitada erineval kujul. Näiteks võrrand kujul y = k · x + b ei võimalda kirja panna sirge suunavektori koordinaate ega normaalvektori koordinaate. Selleks peate õppima, kuidas kujutada erinevat tüüpi võrrandeid.
Me saame kanooniline võrrand sirge tasapinnal, kasutades kaldega sirge võrrandit. Saame x - x 1 a x = y - y 1 a y . Mõiste b on vaja üle kanda vasak pool ja jagage saadud võrratuse avaldisega. Siis saame võrrandi kujul y = k x + b ⇔ y - b = k x ⇔ k x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k .
Sirge võrrandist kaldega on saanud antud sirge kanooniline võrrand.
Näide 7
Viige sirge võrrand kaldega y = - 3 x + 12 kanoonilisele kujule.
Lahendus
Arvutame ja esitame sirgjoone kanoonilise võrrandi kujul. Saame vormi võrrandi:
y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3
Vastus: x 1 = y - 12 - 3.
Sirge üldvõrrandit on kõige lihtsam saada väärtusest y = k x + b, kuid selleks on vaja teisendusi: y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0. Tehakse üleminek sirgjoone üldvõrrandilt teist tüüpi võrranditele.
Näide 8
Antakse sirge võrrand kujul y = 1 7 x - 2. Uurige, kas vektor koordinaatidega a → = (- 1 , 7) on tavaline sirge vektor?
Lahendus
Selle lahendamiseks on vaja lülituda selle võrrandi teisele vormile, selleks kirjutame:
y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0
Muutujate ees olevad koefitsiendid on sirge normaalvektori koordinaadid. Kirjutame selle nii n → = 1 7 , - 1 , järelikult 1 7 x - y - 2 = 0 . On selge, et vektor a → = (- 1 , 7) on kollineaarne vektoriga n → = 1 7 , - 1 , kuna meil on õiglane seos a → = - 7 · n → . Sellest järeldub , et algvektor a → = - 1 , 7 on sirge 1 7 x - y - 2 = 0 normaalvektor , mis tähendab , et seda peetakse sirge y = 1 7 x - 2 normaalvektoriks .
Vastus: Kas an
Lahendame probleemi sellele pöördvõrdeliselt.
Vaja kolida üldine vaade võrrand A x + B y + C = 0, kus B ≠ 0, kaldevõrrandile. Selleks lahendame y võrrandi. Saame A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .
Tulemuseks on võrrand, mille kalle on võrdne - A B .
Näide 9
Antud on sirge võrrand kujul 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Hankige etteantud sirge võrrand kaldega.
Lahendus
Tingimuse põhjal on vaja lahendada y, siis saame võrrandi kujul:
2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .
Vastus: y = 1 6 x + 1 4 .
Sarnaselt lahendatakse võrrand kujul x a + y b \u003d 1, mida nimetatakse lõikude sirgjoone võrrandiks või kanooniliseks vormiks x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y. See on vaja lahendada y suhtes, alles siis saame kaldega võrrandi:
x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a x + b .
Kanoonilise võrrandi saab taandada kaldega vormiks. Selle jaoks:
x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) = ax (y - y 1) ⇔ ⇔ ax y = ay x - ay x 1 + ax y 1 ⇔ y = ayax x - ayax x 1 + y 1
Näide 10
Seal on sirge, mis on antud võrrandiga x 2 + y - 3 = 1 . Viige kaldega võrrandi kuju.
Lahendus.
Tingimusest lähtuvalt on vaja teisendada, siis saame võrrandi kujul _valem_. Nõutava kaldevõrrandi saamiseks tuleks võrrandi mõlemad pooled korrutada -3-ga. Muutmisel saame:
y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 y - 3 = - 3 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .
Vastus: y = 3 2 x - 3 .
Näide 11
Vormi x - 2 2 \u003d y + 1 5 sirgjoonvõrrand viiakse kaldega vormile.
Lahendus
Proportsioonina on vaja arvutada avaldis x - 2 2 = y + 1 5. Saame, et 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Nüüd peate selle täielikult lubama selleks:
5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x
Vastus: y = 5 2 x - 6 .
Selliste ülesannete lahendamiseks tuleks sirgjoone parameetrilised võrrandid kujul x \u003d x 1 + ax λ y \u003d y 1 + ay λ taandada sirge kanooniliseks võrrandiks, alles pärast seda saate jätkata võrrand kaldega.
Näide 12
Leidke sirge kalle, kui see on antud parameetriliste võrranditega x = λ y = - 1 + 2 · λ .
Lahendus
Peate üle minema parameetrilisest vaatest kaldele. Selleks leiame antud parameetrilisest võrrandist kanoonilise võrrandi:
x = λ y = - 1 + 2 λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .
Nüüd on vaja lahendada see võrdus y suhtes, et saada kaldega sirge võrrand. Selleks kirjutame järgmiselt:
x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1
Sellest järeldub, et sirge kalle on võrdne 2-ga. See on kirjutatud kujul k = 2 .
Vastus: k = 2.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
See matemaatikaprogramm leiab funktsiooni \(f(x) \) graafiku puutuja võrrandi kasutaja määratud punktis \(a \).
Programm mitte ainult ei kuva puutuja võrrandit, vaid kuvab ka probleemi lahendamise protsessi.
See veebikalkulaator võib olla kasulik keskkooliõpilastele üldhariduskoolid ettevalmistamisel kontrolli töö ja eksamid, enne eksamit teadmiste kontrollimisel vanemad kontrollivad paljude matemaatika ja algebra ülesannete lahendamist. Või äkki on juhendaja palkamine või uute õpikute ostmine liiga kallis? Või soovite lihtsalt selle võimalikult kiiresti valmis saada? kodutöö matemaatika või algebra? Sel juhul saate kasutada ka meie programme koos üksikasjaliku lahendusega.
Nii saate läbi viia enda ja/või nooremate vendade või õdede koolitusi, samal ajal tõstetakse lahendatavate ülesannete valdkonna haridustaset.
Kui teil on vaja leida funktsiooni tuletis, siis selleks on meil ülesanne Leia tuletis.
Kui te pole funktsioonide tutvustamise reeglitega kursis, soovitame teil nendega tutvuda.
Sisestage funktsiooniavaldis \(f(x)\) ja arv \(a\) Leidke puutuja võrrand Leiti, et mõnda selle ülesande lahendamiseks vajalikku skripti ei laaditud ja programm ei pruugi töötada.
Teil võib olla AdBlock lubatud.
Sel juhul keelake see ja värskendage lehte.
Lahenduse ilmumiseks peab JavaScript olema lubatud.
Siin on juhised JavaScripti lubamiseks brauseris.
Sest Inimesi, kes soovivad probleemi lahendada, on palju, teie taotlus on järjekorras.
Mõne sekundi pärast kuvatakse allpool lahendus.
Palun oota sek...
Kui sa märkasid lahenduses viga, siis saad sellest kirjutada Tagasisidevormi .
Ära unusta märkige, milline ülesanne otsustad mida sisestage väljadele.
Meie mängud, mõistatused, emulaatorid:
Natuke teooriat.
Sirge kalle
Tuletame meelde, et lineaarfunktsiooni \(y=kx+b\) graafik on sirgjoon. Kutsutakse numbrit \(k=tg \alpha \). sirgjoone kalle, ja nurk \(\alpha \) on nurk selle sirge ja härja telje vahel
Kui \(k>0\), siis \(0 Kui \(kfunktsiooni graafiku puutuja võrrand
Kui punkt M (a; f (a)) kuulub funktsiooni y \u003d f (x) graafikusse ja kui selles punktis saab funktsiooni graafikule tõmmata puutuja, mis ei ole risti abstsissteljega , siis tuletise geomeetrilisest tähendusest järeldub, et puutuja kalle on võrdne f "(a). Järgmisena töötame välja algoritmi mis tahes funktsiooni graafiku puutuja võrrandi koostamiseks.
Olgu selle funktsiooni graafikul antud funktsioon y \u003d f (x) ja punkt M (a; f (a)); olgu teada, et f "(a) on olemas. Koostame antud funktsiooni graafiku puutuja võrrandi antud punkt. See võrrand, nagu iga sirge võrrand, mis ei ole y-teljega paralleelne, on kujul y = kx + b, seega on probleemiks koefitsientide k ja b väärtuste leidmine.
Kaldega k on kõik selge: on teada, et k \u003d f "(a). B väärtuse arvutamiseks kasutame asjaolu, et soovitud sirge läbib punkti M (a; f (a)) See tähendab, et kui asendame punkti M koordinaadid sirge võrrandiga, saame õige võrrandi: \ (f (a) \u003d ka + b \), st \ (b \u003d f (a) ) - ka \).
Jääb üle asendada koefitsientide k ja b leitud väärtused sirgjoone võrrandiga:
Saime kätte funktsiooni graafiku puutuja võrrand\(y = f(x) \) punktis \(x=a \).
Funktsiooni \(y=f(x)\) graafiku puutuja võrrandi leidmise algoritm
1. Määrake puutepunkti abstsiss tähega \ (a \)
2. Arvutage \(f(a) \)
3. Leidke \(f"(x) \) ja arvutage \(f"(a) \)
4. Asendage leitud arvud \ (a, f (a), f "(a) \) valemiga \ (y \u003d f (a) + f "(a) (x-a) \)
Laadimine...