Uurige funktsioonilahenduste näiteid. Funktsiooni uurimine diferentsiaalarvutuse meetoditega

Üks neist kriitilised ülesanded diferentsiaalarvutus on areng levinud näited funktsioonide käitumise uuringud.

Kui funktsioon y \u003d f (x) on intervallis pidev ja selle tuletis on intervallis (a, b) positiivne või võrdne 0-ga, siis y \u003d f (x) suureneb võrra (f "(x) 0). Kui funktsioon y \u003d f (x) on lõigul pidev ja selle tuletis on intervallil (a,b) negatiivne või võrdne 0-ga, siis y=f(x) väheneb võrra (f"( x)0)

Intervalle, mille jooksul funktsioon ei vähene ega suurene, nimetatakse funktsiooni monotoonsuse intervallideks. Funktsiooni monotoonsuse olemus saab muutuda ainult nendes definitsioonipiirkonna punktides, kus esimese tuletise märk muutub. Punkte, kus funktsiooni esimene tuletis kaob või katkeb, nimetatakse kriitilisteks punktideks.

Teoreem 1 (1. piisav tingimus ekstreemumi olemasoluks).

Olgu funktsioon y=f(x) defineeritud punktis x 0 ja olla naabrus δ>0 nii, et funktsioon on pidev lõigul , diferentseeruv intervallil (x 0 -δ, x 0)u( x 0 , x 0 + δ) ja selle tuletis säilitab igal nendel intervallidel konstantse märgi. Kui siis x 0 -δ, x 0) ja (x 0, x 0 + δ) tuletise märgid on erinevad, siis x 0 on äärmuspunkt ja kui need ühtivad, siis x 0 ei ole äärmuspunkt . Veelgi enam, kui punkti x0 läbimisel muudab tuletis märgi plussmärgist miinusesse (x 0-st vasakul sooritatakse f "(x)> 0, siis on x 0 maksimumpunkt; kui tuletis muudab märki miinusest plussile (x 0 paremal pool käivitatakse f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkte nimetatakse funktsiooni äärmuspunktideks ning funktsiooni maksimume ja miinimume selle äärmuslikeks väärtusteks.

Teoreem 2 (vajalik kriteerium lokaalseks ekstreemumiks).

Kui funktsioonil y=f(x) on ekstreemum hetkel x=x 0, siis kas f'(x 0)=0 või f'(x 0) ei eksisteeri.
Diferentseeruva funktsiooni äärmuspunktides on selle graafiku puutuja paralleelne Ox-teljega.

Algoritm ekstreemumi funktsiooni uurimiseks:

1) Leia funktsiooni tuletis.
2) Leidke kriitilised punktid, s.t. punktid, kus funktsioon on pidev ja tuletis on null või puudub.
3) Mõelge iga punkti naabrusele ja uurige sellest punktist vasakul ja paremal asuvat tuletise märki.
4) Määrake äärmiste punktide koordinaadid, asendage see kriitiliste punktide väärtus selle funktsiooniga. Kasutades piisavaid ekstreemtingimusi, tehke asjakohased järeldused.

Näide 18. Uurige funktsiooni y=x 3 -9x 2 +24x

Lahendus.
1) y" = 3x2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Võrdsustades tuletise nulliga, leiame x 1 =2, x 2 =4. Sel juhul on tuletis defineeritud kõikjal; seega peale kahe leitud punkti pole muid kriitilisi punkte.
3) Tuletise y märk "=3(x-2)(x-4) muutub sõltuvalt intervallist nagu on näidatud joonisel 1. Punkti x=2 läbimisel muutub tuletis plussmärgist miinusesse, ja punkti x=4 läbimisel - miinusest plussi.
4) Punktis x=2 on funktsiooni maksimaalne y max =20 ja punktis x=4 - minimaalne y min =16.

Teoreem 3. (2. piisav tingimus ekstreemumi olemasoluks).

Olgu f "(x 0) ja f "" (x 0) olemas punktis x 0. Kui f "" (x 0)> 0, siis x 0 on miinimumpunkt ja kui f "" (x 0) )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Segmendil võib funktsioon y \u003d f (x) saavutada väikseima (vähemalt) või suurima (maksimaalselt) väärtuse kas funktsiooni kriitilistes punktides, mis asuvad intervallis (a; b) või otstes segmendist.

Algoritm pideva funktsiooni y=f(x) suurima ja väikseima väärtuse leidmiseks lõigul:

1) Leidke f "(x).
2) Leidke punktid, kus f "(x) = 0 või f" (x) - ei eksisteeri, ja valige nende hulgast need, mis asuvad lõigu sees.
3) Arvutage funktsiooni y \u003d f (x) väärtus lõikes 2 saadud punktides, samuti segmendi otstes ning valige neist suurim ja väikseim: need on vastavalt suurimad ( suurima) ja väikseima (väikseima) funktsiooni väärtused segmendil .

Näide 19. Leia pideva funktsiooni y=x 3 -3x 2 -45+225 suurim väärtus lõigul .

1) Segmendil on y "=3x 2 -6x-45
2) Tuletis y" eksisteerib kõigi x kohta. Leiame punktid, kus y"=0; saame:
3x2 -6x-45 = 0
x 2 -2x-15 = 0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Arvutage funktsiooni väärtus punktides x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Lõigusse kuulub ainult punkt x=5. Funktsiooni suurim leitud väärtustest on 225 ja väikseim arv 50. Nii et max = 225, max = 50 korral.

Kumeruse funktsiooni uurimine

Joonisel on kujutatud kahe funktsiooni graafikud. Esimene neist on pööratud punniga üles, teine ​​- kumerusega alla.

Funktsioon y=f(x) on lõigul pidev ja diferentseeruv intervallis (a;b), seda nimetatakse sellel lõigul kumeraks üles (alla), kui axb korral ei ole selle graafik kõrgem (mitte madalam) kui puutuja mis tahes punktis M 0 (x 0 ;f(x 0)), kus axb.

Teoreem 4. Olgu funktsioonil y=f(x) teine ​​tuletis lõigu mis tahes sisepunktis x ja see on pidev selle lõigu otstes. Siis kui ebavõrdsus f""(x)0 on täidetud intervallil (a;b), siis on funktsioon lõigul allapoole kumer; kui ebavõrdsus f""(x)0 on täidetud intervallil (а;b), siis on funktsioon kumer ülespoole .

Teoreem 5. Kui funktsioonil y \u003d f (x) on intervallil (a; b) teine ​​tuletis ja kui see punkti x 0 läbimisel muudab märki, siis M (x 0 ; f (x 0)) on käändepunkt.

Käändepunktide leidmise reegel:

1) Leidke punktid, kus f""(x) ei eksisteeri või kaob.
2) Uurige märki f""(x) igast esimeses etapis leitud punktist vasakul ja paremal.
3) 4. teoreemi põhjal tee järeldus.

Näide 20. Leia funktsiooni graafiku y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 ekstreemumipunktid ja käändepunktid.

Meil on f"(x)=12x3 -24x2 +12x=12x(x-1) 2. Ilmselgelt on f"(x)=0, kui x 1 =0, x 2 =1. Tuletis muudab punkti x=0 läbimisel märgi miinusest plussiks ja punkti x=1 läbimisel märki ei muuda. See tähendab, et x=0 on miinimumpunkt (y min =12) ja punktis x=1 ekstreemumit pole. Järgmisena leiame . Teine tuletis kaob punktides x 1 =1, x 2 =1/3. Teise tuletise märgid muutuvad järgmiselt: Kiirel (-∞;) on meil f""(x)>0, intervallil (;1) on f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Seetõttu on x= funktsioonigraafiku käändepunkt (üleminek kumerusest alla kumerusele üles) ja x=1 on samuti käänupunkt (üleminek kumerusest üles kumerusele alla). Kui x=, siis y= ; kui, siis x=1, y=13.

Algoritm graafiku asümptoodi leidmiseks

I. Kui y=f(x) kui x → a , siis x=a on vertikaalne asümptoot.
II. Kui y=f(x) kui x → ∞ või x → -∞, siis y=A on horisontaalne asümptoot.
III. Kaldus asümptoodi leidmiseks kasutame järgmist algoritmi:
1) Arvutage. Kui piir on olemas ja on võrdne b-ga, siis y=b on horisontaalne asümptoot; kui , siis minge teise sammu juurde.
2) Arvutage. Kui seda piiri pole, siis asümptooti pole; kui see on olemas ja on võrdne k-ga, siis minge kolmanda sammu juurde.
3) Arvutage. Kui seda piiri pole, siis asümptooti pole; kui see on olemas ja on võrdne b-ga, siis minge neljanda sammu juurde.
4) Kirjutage üles kaldasümptoodi võrrand y=kx+b.

Näide 21: leidke funktsioonile asümptoot

1)
2)
3)
4) Kald-asümptoodi võrrandil on vorm

Funktsiooni uurimise skeem ja selle graafiku konstrueerimine

I. Leia funktsiooni domeen.
II. Leia funktsiooni graafiku lõikepunktid koordinaattelgedega.
III. Otsige asümptoote.
IV. Otsige üles võimaliku äärmuse punktid.
V. Otsige üles kriitilised punktid.
VI. Uurige abijoonise abil esimese ja teise tuletise märki. Määrata funktsiooni suurenemise ja kahanemise alad, leida graafiku kumeruse suund, ekstreemumipunktid ja käändepunktid.
VII. Koostage graafik, võttes arvesse lõigetes 1–6 läbi viidud uuringut.

Näide 22: Joonistage funktsioonigraafik vastavalt ülaltoodud skeemile

Lahendus.
I. Funktsiooni domeeniks on kõigi reaalarvude hulk, välja arvatud x=1.
II. Kuna võrrandil x 2 +1=0 pole reaaljuuri, siis funktsiooni graafikul ei ole lõikepunkte Ox teljega, vaid lõikub Oy teljega punktis (0; -1).
III. Täpsustame asümptootide olemasolu küsimust. Uurime funktsiooni käitumist katkestuspunkti x=1 läheduses. Kuna y → ∞ x → -∞, y → +∞ x → 1+ korral, siis sirge x=1 on funktsiooni graafiku vertikaalne asümptoot.
Kui x → +∞(x → -∞), siis y → +∞(y → -∞); seetõttu ei ole graafikul horisontaalset asümptooti. Edasi piiride olemasolust

Lahendades võrrandi x 2 -2x-1=0, saame võimaliku ekstreemumi kaks punkti:
x 1 =1-√2 ja x 2 =1+√2

V. Kriitiliste punktide leidmiseks arvutame teise tuletise:

Kuna f""(x) ei kao, pole kriitilisi punkte.
VI. Uurime esimese ja teise tuletise märki. Arvessevõetavad võimalikud ekstreemumipunktid: x 1 =1-√2 ja x 2 =1+√2, jagage funktsiooni olemasolu ala intervallideks (-∞;1-√2),(1-√2) ;1+√2) ja (1+√2;+∞).

Kõigis neis intervallides säilitab tuletis oma märgi: esimeses - pluss, teises - miinus, kolmandas - pluss. Esimese tuletise märkide jada kirjutatakse järgmiselt: +, -, +.
Saame, et funktsioon peal (-∞;1-√2) suureneb, (1-√2;1+√2) korral väheneb ja (1+√2;+∞) korral taas suureneb. Äärmuspunktid: maksimum x=1-√2 juures, pealegi f(1-√2)=2-2√2 minimaalne x=1+√2, pealegi f(1+√2)=2+2√2. Sisse (-∞;1) on graafik ülespoole kumer ja peal (1;+∞) - allapoole.
VII Teeme saadud väärtustest tabeli

VIII Saadud andmete põhjal koostame funktsiooni graafiku eskiisi

Täna kutsume teid koos meiega funktsioonigraafikut uurima ja joonistama. Pärast selle artikli hoolikat uurimist ei pea te seda tüüpi ülesande täitmiseks pikka aega higistama. Funktsiooni graafiku uurimine ja koostamine pole lihtne, töö on mahukas, nõudes maksimaalset tähelepanu ja arvutuste täpsust. Materjali tajumise hõlbustamiseks uurime järk-järgult sama funktsiooni, selgitame kõiki oma tegevusi ja arvutusi. Tere tulemast matemaatika hämmastavasse ja põnevasse maailma! Mine!

Domeen

Funktsiooni uurimiseks ja joonistamiseks peate teadma mõnda määratlust. Funktsioon on matemaatika üks põhi(põhi)mõisteid. See peegeldab sõltuvust mitme muutuja vahel (kaks, kolm või enam) koos muutustega. Funktsioon näitab ka hulkade sõltuvust.

Kujutage ette, et meil on kaks muutujat, millel on teatud muutuste vahemik. Niisiis, y on x-i funktsioon, eeldusel, et teise muutuja iga väärtus vastab teise muutuja ühele väärtusele. Sel juhul on muutuja y sõltuv ja seda nimetatakse funktsiooniks. Tavapäraselt öeldakse, et muutujad x ja y on in Selle sõltuvuse suurema selguse huvides koostatakse funktsiooni graafik. Mis on funktsioonigraafik? See on punktide kogum koordinaattasandil, kus iga x väärtus vastab ühele y väärtusele. Graafikud võivad olla erinevad – sirgjoon, hüperbool, parabool, sinusoid ja nii edasi.

Funktsioonigraafikut ei saa ilma uurimiseta joonistada. Täna õpime tegema uurimistööd ja joonistama funktsioonigraafikut. Õppetöö käigus on väga oluline teha märkmeid. Nii on ülesandega palju lihtsam toime tulla. Kõige mugavam õppekava:

1. Domeen.
2. Järjepidevus.
3. Paaris või paaritu.
4. Perioodilisus.
5. Asümptoodid.
6. Nullid.
7. Püsivus.
8. Tõusev ja laskuv.
9. Äärmused.
10. Kumerus ja nõgusus.

Alustame esimesest punktist. Leiame määratluse domeeni, st millistel intervallidel meie funktsioon eksisteerib: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). Meie puhul on funktsioon olemas mis tahes x väärtuste jaoks, see tähendab, et määratluspiirkond on R. Selle saab kirjutada kui xОR.

Järjepidevus

Nüüd uurime katkestusfunktsiooni. Matemaatikas ilmus mõiste "järjepidevus" liikumisseaduste uurimise tulemusena. Mis on lõpmatu? Ruum, aeg, mõned sõltuvused (näiteks muutujate S ja t sõltuvus liikumisülesannetes), kuumutatava objekti temperatuur (vesi, pann, termomeeter jne), pidev joon (st üks mida saab joonistada ilma seda pliiatsilt maha võtmata).

Graafi peetakse pidevaks, kui see mingil hetkel ei katke. Sellise graafiku üks ilmsemaid näiteid on siinuslaine, mida näete selle jaotise pildil. Funktsioon on pidev teatud punktis x0, kui on täidetud mitu tingimust:

• funktsioon on defineeritud antud punktis;
• punkti parem- ja vasakpoolne piir on võrdsed;
• piirväärtus on võrdne funktsiooni väärtusega punktis x0.

Kui vähemalt üks tingimus ei ole täidetud, öeldakse, et funktsioon katkeb. Ja punkte, kus funktsioon katkeb, nimetatakse murdepunktideks. Näide funktsioonist, mis graafiliselt kuvamisel "katki läheb", on: y=(x+4)/(x-3). Pealegi ei eksisteeri y punktis x = 3 (kuna nulliga jagada on võimatu).

Uuritavas funktsioonis (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) osutus kõik lihtsaks, kuna graafik on pidev.

Isegi veider

Nüüd uurige pariteedi funktsiooni. Alustame väikese teooriaga. Paarisfunktsioon on funktsioon, mis rahuldab tingimuse f (-x) = f (x) muutuja x mis tahes väärtuse korral (väärtuste vahemikust). Näited on järgmised:

• moodul x (graafik näeb välja nagu jackdaw, graafiku esimese ja teise veerandi poolitaja);
• x ruudus (parabool);
• koosinus x (koosinuslaine).

Pange tähele, et kõik need graafikud on y-telje suhtes sümmeetrilised.

Mida siis nimetatakse paarituks funktsiooniks? Need on funktsioonid, mis vastavad tingimusele: f (-x) \u003d - f (x) muutuja x mis tahes väärtuse jaoks. Näited:

• hüperbool;
• kuupparabool;
• sinusoid;
• puutuja ja nii edasi.

Pange tähele, et need funktsioonid on sümmeetrilised punkti (0:0), st lähtepunkti suhtes. Artikli selles osas öeldu põhjal peab paaris- ja paaritul funktsioonil olema omadus: x kuulub definitsioonikomplekti ja ka -x.

Uurime pariteedi funktsiooni. Näeme, et ta ei vasta ühelegi kirjeldusele. Seetõttu pole meie funktsioon paaris ega paaritu.

Asümptoodid

Alustame määratlusega. Asümptoot on kõver, mis on graafikule võimalikult lähedal, see tähendab, et kaugus mingist punktist kipub olema null. Asümptoote on kolme tüüpi:

• vertikaalne, st paralleelne y-teljega;
• horisontaalne, st paralleelne x-teljega;
• kaldus.

Esimese tüübi puhul tuleks neid ridu otsida mõnes punktis:

• lõhe;
• domeeni otsad.

Meie puhul on funktsioon pidev ja definitsioonipiirkond on R. Seetõttu pole vertikaalseid asümptoote.

Funktsiooni graafikul on horisontaalne asümptoot, mis vastab järgmisele nõudele: kui x kaldub lõpmatusse või miinus lõpmatusse ja piirväärtus on võrdne teatud arvuga (näiteks a). Sel juhul on y=a horisontaalne asümptoot. Uuritavas funktsioonis pole horisontaalseid asümptoote.

Kaldus asümptoot eksisteerib ainult siis, kui on täidetud kaks tingimust:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Siis saab selle leida valemiga: y=kx+b. Jällegi, meie puhul ei ole kaldu asümptoote.

Funktsiooni nullid

Järgmine samm on funktsiooni graafiku uurimine nullide jaoks. Samuti on väga oluline märkida, et funktsiooni nullpunktide leidmisega seotud ülesanne ei esine mitte ainult funktsiooni graafiku uurimisel ja joonistamisel, vaid ka iseseisva ülesandena ja võrratuste lahendamise viisina. Võimalik, et peate leidma graafikult funktsiooni nullid või kasutama matemaatilist tähistust.

Nende väärtuste leidmine aitab teil funktsiooni täpsemalt joonistada. Lihtsamalt öeldes on funktsiooni null muutuja x väärtus, mille juures y \u003d 0. Kui otsite graafikult funktsiooni nullpunkte, siis peaksite pöörama tähelepanu punktidele, kus graafik lõikub x-teljega.

Funktsiooni nullpunktide leidmiseks tuleb lahendada järgmine võrrand: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Pärast vajalike arvutuste tegemist saame järgmise vastuse:

märgi püsivus

Funktsiooni (graafika) uurimise ja konstrueerimise järgmine etapp on märgi püsivuse intervallide leidmine. See tähendab, et peame määrama, millistel intervallidel saab funktsioon positiivse väärtuse ja millistel negatiivse väärtuse. Eelmises jaotises leitud funktsioonide nullid aitavad meil seda teha. Seega peame ehitama sirge (graafikust eraldi) ja jaotama funktsiooni nullid mööda seda õiges järjekorras väikseimast suurimani. Nüüd peate kindlaks määrama, millisel saadud intervallidest on märk "+" ja millisel "-".

Meie puhul võtab funktsioon intervallidel positiivse väärtuse:

• 1 kuni 4;
• 9-st lõpmatuseni.

Negatiivne tähendus:

• miinus lõpmatusest 1-ni;
• 4-st 9-ni.

Seda on üsna lihtne kindlaks teha. Asendage funktsiooni suvaline arv intervallist ja vaadake, milline on vastuse märk (miinus või pluss).

Kasvav ja kahanev funktsioon

Funktsiooni uurimiseks ja koostamiseks peame välja selgitama, kus graafik kasvab (Oy-l ülespoole) ja kuhu langeb (y-teljel allapoole roomab).

Funktsioon suureneb ainult siis, kui muutuja x suurem väärtus vastab y suuremale väärtusele. See tähendab, et x2 on suurem kui x1 ja f(x2) on suurem kui f(x1). Ja me täheldame kahanevas funktsioonis täiesti vastupidist nähtust (mida rohkem x, seda vähem y). Suurenemise ja vähenemise intervallide määramiseks peate leidma järgmise:

• ulatus (see on meil juba olemas);
• tuletis (meie puhul: 1/3(3x^2-28x+49);
• lahendage võrrand 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Pärast arvutusi saame tulemuse:

Saame: funktsioon suureneb intervallidel miinus lõpmatusest 7/3-ni ja 7-lt lõpmatuseni ning väheneb vahemikus 7/3 kuni 7.

Äärmused

Uuritav funktsioon y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) on pidev ja eksisteerib muutuja x mis tahes väärtuste korral. Ekstreemumipunkt näitab selle funktsiooni maksimumi ja miinimumi. Meie puhul neid pole, mis lihtsustab oluliselt ehitusülesannet. Vastasel juhul leitakse need ka tuletisfunktsiooni kasutades. Pärast leidmist ärge unustage neid diagrammile märkida.

Kumerus ja nõgusus

Jätkame funktsiooni y(x) uurimist. Nüüd peame kontrollima selle kumerust ja nõgusust. Nende mõistete määratlusi on üsna raske tajuda, parem on kõike näidete abil analüüsida. Testi jaoks: funktsioon on kumer, kui see on mittekahanev funktsioon. Nõus, see on arusaamatu!

Peame leidma teist järku funktsiooni tuletise. Saame: y=1/3(6x-28). Nüüd võrdsustame parema külje nulliga ja lahendame võrrandi. Vastus: x=14/3. Oleme leidnud käändepunkti ehk koha, kus graafik muutub kumerast nõgusaks või vastupidi. Intervallil miinus lõpmatus kuni 14/3 on funktsioon kumer ja 14/3 kuni plusslõpmatus on nõgus. Väga oluline on ka tähele panna, et graafikul olev käändepunkt oleks sile ja pehme, teravaid nurki ei tohiks olla.

Lisapunktide määratlus

Meie ülesandeks on funktsioonigraafiku uurimine ja joonistamine. Oleme uuringu lõpetanud, funktsiooni joonistamine pole praegu keeruline. Koordinaattasandil kõvera või sirge täpsemaks ja detailsemaks reprodutseerimiseks võite leida mitmeid abipunkte. Neid on üsna lihtne arvutada. Näiteks võtame x=3, lahendame saadud võrrandi ja leiame y=4. Või x=5 ja y=-5 ja nii edasi. Saate võtta nii palju lisapunkte, kui vajate ehitamiseks. Neid leitakse vähemalt 3-5.

Joonistamine

Meil oli vaja uurida funktsiooni (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Kõik arvutuste käigus vajalikud märgid tehti koordinaattasandile. Jääb vaid koostada graafik ehk ühendada kõik punktid omavahel. Punktide ühendamine on sujuv ja täpne, see on oskuste küsimus - veidi harjutamist ja ajakava saab täiuslik.

Juhend

Leidke funktsiooni ulatus. Näiteks funktsioon sin(x) on defineeritud kogu intervallil vahemikus -∞ kuni +∞ ja funktsioon 1/x on defineeritud vahemikus -∞ kuni +∞, välja arvatud punkt x = 0.

Määratle järjepidevuse alad ja katkestuspunktid. Tavaliselt on funktsioon pidev samas domeenis, kus see on määratletud. Katkestuste tuvastamiseks peate arvutama, millal argument läheneb definitsioonipiirkonna isoleeritud punktidele. Näiteks funktsioon 1/x kaldub lõpmatusse, kui x→0+ ja miinuslõpmatusse, kui x→0-. See tähendab, et punktis x = 0 on sellel teist tüüpi katkestus.
Kui katkestuspunkti piirid on piiratud, kuid mitte võrdsed, siis on tegemist esimest tüüpi katkestusega. Kui need on võrdsed, loetakse funktsioon pidevaks, kuigi seda ei määratleta isoleeritud punktis.

Leidke vertikaalsed asümptoodid, kui neid on. Siin aitavad teid eelmise etapi arvutused, kuna vertikaalne asümptoot on peaaegu alati teist tüüpi katkestuspunktis. Kuid mõnikord ei jäeta määratluspiirkonnast välja üksikud punktid, vaid terved punktide intervallid ja siis võivad vertikaalsed asümptoodid paikneda nende intervallide servades.

Kontrollige, kas funktsioonil on eriomadused: paaris, paaritu ja perioodiline.
Funktsioon on isegi siis, kui mis tahes x puhul domeenis f(x) = f(-x). Näiteks cos(x) ja x^2 on paarisfunktsioonid.

Perioodilisus on omadus, mis ütleb, et on olemas teatud arv T, mida nimetatakse perioodiks ja mis iga x korral f(x) = f(x + T). Näiteks kõik trigonomeetrilised põhifunktsioonid (siinus, koosinus, puutuja) on perioodilised.

Otsige punkte. Selleks arvutage antud funktsiooni tuletis ja leidke need x väärtused, kus see kaob. Näiteks funktsioonil f(x) = x^3 + 9x^2 -15 on tuletis g(x) = 3x^2 + 18x, mis kaob, kui x = 0 ja x = -6.

Et määrata, millised ekstreemumipunktid on maksimumid ja millised miinimumid, jälgi tuletise märkide muutust leitud nullides. g(x) muudab märgi plussist x = -6 ja tagasi miinusest plussiks, kui x = 0. Seetõttu on funktsioonil f(x) miinimum esimeses punktis ja miinimum teises punktis.

Seega olete leidnud ka monotoonsuse alad: f(x) suureneb monotoonselt intervallil -∞;-6, väheneb monotoonselt -6;0 ja suureneb uuesti 0;+∞.

Leidke teine ​​tuletis. Selle juured näitavad, kus antud funktsiooni graafik on kumer ja kus nõgus. Näiteks funktsiooni f(x) teine ​​tuletis on h(x) = 6x + 18. See kaob juures x = -3, muutes oma märgi miinusest plussiks. Seetõttu on graafik f (x) enne seda punkti kumer, pärast seda - nõgus ja see punkt ise on käändepunkt.

Funktsioonil võib olla muid asümptoote, välja arvatud vertikaalsed, kuid ainult siis, kui selle määratluspiirkond sisaldab . Nende leidmiseks arvutage f(x) piir, kui x→∞ või x→-∞. Kui see on lõplik, siis olete leidnud horisontaalse asümptoodi.

Kaldus asümptoot on sirgjoon kujul kx + b. K leidmiseks arvutage f(x)/x piir x→∞. Et leida b - piir (f(x) – kx) sama x→∞.

Joonistage funktsioon arvutatud andmetele. Märgistage asümptoosid, kui neid on. Märkige äärmuspunktid ja nendes funktsiooni väärtused. Graafiku suurema täpsuse huvides arvutage funktsiooni väärtused veel mitmes vahepunktis. Uurimine lõpetatud.

Võrdluspunktid funktsioonide uurimisel ja nende graafikute koostamisel on iseloomulikud punktid - katkestuspunktid, ekstreemum, kääne, lõikepunktid koordinaatide telgedega. Diferentsiaalarvutuse abil on võimalik kindlaks teha funktsioonide muutumise iseloomulikud tunnused: suurenemine ja vähenemine, maksimumid ja miinimumid, graafiku kumeruse ja nõgususe suund, asümptootide olemasolu.

Funktsioonigraafiku eskiisi saab (ja tuleb) visandada peale asümptootide ja ekstreemumipunktide leidmist ning funktsiooni uuringu koondtabelit on mugav täita uuringu käigus.

Tavaliselt kasutatakse funktsiooni uurimisel järgmist skeemi.

1.Leidke funktsiooni domeen, pidevuse intervallid ja katkestuspunktid.

2.Uurige funktsiooni paaris või paaritu suhtes (graafiku telg- või kesksümmeetria.

3.Leidke asümptoote (vertikaalsed, horisontaalsed või kaldu).

4.Leia ja uuri funktsiooni suurenemise ja kahanemise intervalle, selle äärmuspunkte.

5.Leia kõvera kumeruse ja nõgususe intervallid, selle käänupunktid.

6.Leidke kõvera lõikepunktid koordinaattelgedega, kui need on olemas.

7.Koostage uuringu koondtabel.

8.Koostage graafik, võttes arvesse funktsiooni uuringut, mis on läbi viidud vastavalt ülaltoodud punktidele.

Näide. Uurige funktsiooni

ja joonistada seda.

7. Teeme funktsiooni uurimise koondtabeli, kuhu sisestame kõik iseloomulikud punktid ja nendevahelised intervallid. Arvestades funktsiooni paarsust, saame järgmise tabeli: