Арифметичною прогресієюназивають послідовність чисел (членів прогресії)
У якій кожен наступний член відрізняється від попереднього на постійне доданок, яке ще називають кроком чи різницею прогресії.
Таким чином, задаючи крок прогресії та її перший член можна знайти будь-який її елемент за формулою
Властивості арифметичної прогресії
1) Кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого номера, є середнім арифметичним від попереднього та наступного члена прогресії
Зворотне твердження також є вірним. Якщо середнє арифметичне сусідніх непарних (парних) членів прогресії дорівнює члену, який стоїть між ними, то дана послідовність чисел є арифметичною прогресією. За цим твердженням дуже просто перевірити будь-яку послідовність.
Також за якістю арифметичної прогресії, наведену вище формулу можна узагальнити до наступної
У цьому легко переконатися, якщо розписати доданки праворуч від знака рівності
Її часто застосовують на практиці для спрощення обчислень у завданнях.
2) Сума n перших членів арифметичної прогресії обчислюється за формулою
Запам'ятайте добре формулу суми арифметичної прогресії, вона є незамінною при обчисленнях і досить часто зустрічається в простих життєвих ситуаціях.
3) Якщо потрібно знайти не всю суму, а частину послідовності починаючи з k-го її члена, то Вам знадобиться наступна формула суми
4) Практичний інтерес представляє відшукання суми n членів арифметичної прогресії починаючи з k-го номера. Для цього використовуйте формулу
На цьому теоретичний матеріалзакінчується і переходимо до вирішення поширених на практиці завдань.
Приклад 1. Знайти сороковий член арифметичної прогресії 4; 7;
Рішення:
Згідно з умовою маємо
Визначимо крок прогресії
За відомою формулою знаходимо сороковий член прогресії
Приклад2. Арифметична прогресія задана третім та сьомим її членом. Знайти перший член прогресії та суму десяти.
Рішення:
Розпишемо задані елементи прогресії за формулами
Від другого рівняння віднімемо перше, в результаті знайдемо крок прогресії
Знайдене значення підставляємо в будь-яке рівняння для відшукання першого члена арифметичної прогресії
Обчислюємо суму перших десяти членів прогресії
Не застосовуючи складних обчислень ми знайшли всі шукані величини.
Приклад 3. Арифметичну прогресію задано знаменником та одним із її членів. Знайти перший член прогресії, суму 50 її членів, починаючи з 50 і суму 100 перших.
Рішення:
Запишемо формулу сотого елемента прогресії
і знайдемо перший
На основі першого знаходимо 50 член прогресії
Знаходимо суму частини прогресії
та суму перших 100
Сума прогресії дорівнює 250.
Приклад 4.
Знайти число членів арифметичної прогресії, якщо:
а3-а1 = 8, а2 + а4 = 14, Sn = 111.
Рішення:
Запишемо рівняння через перший член та крок прогресії та визначимо їх
Отримані значення підставляємо у формулу суми для визначення кількості членів у сумі
Виконуємо спрощення
і вирішуємо квадратне рівняння
Зі знайдених двох значень умові задачі підходить лише число 8 . Таким чином, сума перших восьми членів прогресії становить 111.
Приклад 5.
Розв'язати рівняння
1+3+5+...+х=307.
Рішення: Це рівняння є сумою арифметичної прогресії. Випишемо перший її член та знайдемо різницю прогресії
У чому головна сутність формули?
Ця формула дозволяє знайти будь-який ПО ЙОМУ НОМЕРІ " n" .
Зрозуміло, треба знати ще перший член a 1і різниця прогресії d, Так без цих параметрів конкретну прогресію і не запишеш.
Завчити (або зашпаргали) цю формулу мало. Потрібно засвоїти її суть і застосувати формулу в різних завданнях. Та ще й не забути в потрібний момент, так...) Як не забути- я не знаю. А от як згадати,при необхідності - точно підкажу. Тим, хто урок до кінця подужає.)
Отже, розберемося із формулою n-го члена арифметичної прогресії.
Що таке формула взагалі - ми собі уявляємо. Що таке арифметична прогресія, номер члена, різниця прогресії - доступно викладено в попередньому уроці. Загляньте, до речі, як не читали. Там просто все. Залишилося розібратися, що таке n-й член.
Прогресію в загальному виглядіможна записати у вигляді ряду чисел:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1- означає перший член арифметичної прогресії, a 3- третій член, a 4- четвертий, і таке інше. Якщо нас цікавить п'ятий член, скажімо, ми працюємо з a 5якщо сто двадцятий - з a 120.
А як позначити у загальному вигляді будь-якийчлен арифметичної прогресії, з будь-якимномером? Дуже просто! Ось так:
a n
Це і є n-й член арифметичної прогресії.Під літерою n ховаються відразу всі номери членів: 1, 2, 3, 4, і таке інше.
І що нам дає такий запис? Подумаєш, замість цифри літеру записали...
Цей запис дає нам потужний інструмент для роботи з арифметичною прогресією. Використовуючи позначення a n, ми можемо швидко знайти будь-якийчлен будь-якийарифметичній прогресії. І ще купу завдань із прогресії вирішити. Самі далі побачите.
У формулі n-го члена арифметичної прогресії:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- Перший член арифметичної прогресії;
n- Номер члена.
Формула пов'язує ключові параметри будь-якої прогресії: a n; a 1; dі n. Навколо цих властивостей і крутяться всі завдання з прогресії.
Формула n-го члена може використовуватись і для запису конкретної прогресії. Наприклад, завдання може бути сказано, що прогресія задана умовою:
a n = 5 + (n-1) ·2.
Таке завдання може і в глухий кут поставити ... Немає ні ряду, ні різниці ... Але, порівнюючи умову з формулою, легко збагнути, що в цій прогресії a 1 =5, а d=2.
А буває ще зліше!) Якщо взяти ту ж умову: a n = 5 + (n-1) · 2,та розкрити дужки та привести подібні? Отримаємо нову формулу:
a n = 3+2n.
Це Тільки не загальна, а для конкретної прогресії. Ось тут таїться підводний камінь. Дехто думає, що перший член - це трійка. Хоча реально перший член – п'ятірка... Трохи нижче ми попрацюємо з такою видозміненою формулою.
У задачах на прогресію зустрічається ще одне позначення - a n+1. Це, як ви здогадалися, "ен плюс перший" член прогресії. Сенс його простий і нешкідливий.) Це член прогресії, номер якого більший за номер n на одиницю. Наприклад, якщо в якомусь завданні ми беремо за a nп'ятий член, то a n+1буде шостим членом. І тому подібне.
Найчастіше позначення a n+1зустрічається у рекурентних формулах. Не лякайтеся цього страшного слова! Це просто спосіб вираження члена арифметичної прогресії через попередній.Допустимо, нам дана арифметична прогресія ось у такому вигляді, за допомогою рекурентної формули:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Четвертий – через третій, п'ятий – через четвертий, тощо. А як порахувати одразу, скажімо двадцятий член, a 20? А ніяк!) Поки 19-й член не дізнаємось, 20-й не порахувати. У цьому є принципова відмінністьрекурентної формули від формули n-го члена Рекурентна працює тільки через попереднійчлен, а формула n-го члена – через першийі дозволяє відразузнаходити будь-який член за номером. Не прораховуючи весь ряд чисел по порядку.
В арифметичній прогресії рекурентну формулу легко перетворити на звичайну. Порахувати пару послідовних членів, розрахувати різницю d,знайти, якщо треба, перший член a 1, записати формулу в звичайному виглядіта й працювати з нею. У ДПА подібні завдання часто зустрічаються.
Застосування формули n-го члена арифметичної прогресії.
Спочатку розглянемо пряме застосування формули. Наприкінці попереднього уроку було завдання:
Дана арифметична прогресія (a n). Знайти a 121 якщо a 1 = 3, а d = 1/6.
Це завдання можна без будь-яких формул вирішити, просто виходячи із сенсу арифметичної прогресії. Додавати, та додавати... Годинник-другий.)
А за формулою рішення займе менше хвилини. Можете засікати час.) Вирішуємо.
В умовах наведено всі дані для використання формули: a 1 =3, d=1/6.Залишається збагнути, чому одно n.Не питання! Нам треба знайти a 121. Ось і пишемо:
Прошу звернути увагу! Замість індексу nз'явилося конкретне число: 121. Що цілком логічно.) Нас цікавить член арифметичної прогресії номер сто двадцять один.Ось це і буде наше n.Саме це значення n= 121 ми і підставимо далі у формулу, у дужки. Підставляємо всі числа у формулу та вважаємо:
a 121 = 3 + (121-1) · 1/6 = 3 +20 = 23
Ось і всі справи. Так само швидко можна було б знайти і п'ятсот десятий член, і тисяча третій, кожен. Ставимо замість nпотрібний номер в індексі у літери " a"і в дужках, та й рахуємо.
Нагадаю суть: ця формула дозволяє знайти будь-якийчлен арифметичної прогресії ПО ЙОМУ НОМЕРІ " n" .
Вирішимо завдання хитрішим. Нехай нам трапилося таке завдання:
Знайдіть перший член арифметичної прогресії (a n), якщо a 17 = -2; d=-0,5.
Якщо виникли труднощі, підкажу перший крок. Запишіть формулу n члена арифметичної прогресії!Так Так. Руками запишіть, прямо в зошиті:
| a n = a 1 + (n-1)d |
А тепер, дивлячись на літери формули, розуміємо, які дані ми маємо, а чого не вистачає? Є d=-0,5,є сімнадцятий член... Все? Якщо вважаєте, що все, то завдання не вирішите, так...
У нас ще є номер n! за умови a 17 =-2заховані два параметри.Це і значення сімнадцятого члена (-2) та його номер (17). Тобто. n=17.Ця "дрібниця" часто проскакує повз голову, а без неї, (без "дрібниці", а не голови!) завдання не вирішити. Хоча... і без голови теж.
Тепер можна просто тупо підставити наші дані у формулу:
a 17 = a 1 + (17-1) · (-0,5)
Ах да, a 17нам відомо, що це -2. Ну гаразд, підставимо:
-2 = a 1 + (17-1) · (-0,5)
Ось, по суті, все. Залишилося висловити перший член арифметичної прогресії з формули, і порахувати. Вийде відповідь: a 1 = 6.
Такий прийом – запис формули та проста підстановка відомих даних – здорово допомагає у простих завданнях. Ну, треба, звичайно, вміти висловлювати змінну з формули, а що робити! Без цього вміння математику взагалі можна не вивчати.
Ще одне популярне завдання:
Знайдіть різницю арифметичної прогресії (a n), якщо a 1 =2; a 15 = 12.
Що робимо? Ви здивуєтеся, пишемо формулу!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Розуміємо, що нам відомо: a 1 = 2; a 15 = 12; і (спеціально виокремлю!) n=15. Сміливо підставляємо у формулу:
12 = 2 + (15-1) d
Вважаємо арифметику.)
12 = 2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Це правильна відповідь.
Так, завдання на a n , a 1і dвирішували. Залишилося навчитися знаходити:
Число 99 є членом арифметичної прогресії (a n), де a 1 = 12; d=3. Знайти номер члена.
Підставляємо у формулу n-го члена відомі нам величини:
a n = 12 + (n-1) · 3
На перший погляд, тут дві невідомі величини: a n та n.Але a n- це якийсь член прогресії з номером n… І цей член прогресії ми знаємо! Це 99. Ми не знаємо його номер n,так цей номер і потрібно знайти. Підставляємо член прогресії 99 у формулу:
99 = 12 + (n-1) · 3
Виражаємо з формули n, рахуємо. Отримаємо відповідь: n=30.
А тепер завдання на ту саму тему, але більш творче):
Визначте, чи буде число 117 членом арифметичної прогресії (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Знову пишемо формулу. Що, немає жодних параметрів? Гм... А очі нам навіщо дано?) Перший член прогресії бачимо? Бачимо. Це –3,6. Можна сміливо записати: a 1 = -3,6.Різниця dможна з низки визначити? Легко, якщо знаєте, що таке різницю арифметичної прогресії:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Так, найпростіше зробили. Залишилося розібратися з невідомим номером nі незрозумілим числом 117. У попередній задачі хоч було відомо, що дано саме член прогресії. А тут і того не знаємо... Як бути! Ну, як бути, як бути... Включити творчі здібності!)
Ми припустимо,що 117 - це все-таки член нашої прогресії. З невідомим номером n. І, як у попередньому завданні, спробуємо знайти цей номер. Тобто. пишемо формулу (так-так!) і підставляємо наші числа:
117 = -3,6 + (n-1) · 1,2
Знову висловлюємо з формулиn, рахуємо та отримуємо:
Опаньки! Номер вийшов дробовий!Сто один із половиною. А дробових номерів у прогресіях не буває.Який висновок зробимо? Так! Число 117 не єчленом нашої прогресії. Воно знаходиться десь між сто першим та сто другим членом. Якби номер вийшов натуральним, тобто. позитивним цілим, число було б членом прогресії зі знайденим номером. А в нашому випадку відповідь завдання буде: ні.
Завдання на основі реального варіантаГІА:
Арифметична прогресія задана умовою:
a n = -4 + 6,8 n
Знайти перший та десятий члени прогресії.
Тут прогресія задана не зовсім звичним чином. Формула якась... Буває.) Проте, ця формула (як я писав вище) - теж формула n-го члена арифметичної прогресії!Вона також дозволяє знайти будь-який член прогресії за його номером.
Шукаємо перший член. Той, хто думає. що перший член – мінус чотири, фатально помиляється!) Тому, що формула в задачі – видозмінена. Перший член арифметичної прогресії у ній захований.Нічого, зараз знайдемо.)
Так само, як і в попередніх завданнях, підставляємо n=1в цю формулу:
a 1 = -4 + 6,8 · 1 = 2,8
Ось! Перший член 2,8, а чи не -4!
Аналогічно шукаємо десятий член:
a 10 = -4 + 6,8 · 10 = 64
Ось і всі справи.
А тепер тим, хто дочитав до цих рядків, - обіцяний бонус.)
Припустимо, у складній бойовій обстановці ГІА або ЄДІ, ви призабули корисну формулу n-го члена арифметичної прогресії. Щось пригадується, але невпевнено якось... Чи то nтам, чи n+1, чи n-1...Як бути!?
Спокій! Цю формулу легко вивести. Не дуже строго, але для впевненості та правильного рішенняточно вистачить!) Для висновку досить пам'ятати елементарний сенс арифметичної прогресії та мати пару-трійку хвилин часу. Потрібно просто намалювати картинку. Для наочності.
Малюємо числову вісь та відзначаємо на ній перший. другий, третій тощо. члени. І відзначаємо різницю dміж членами. Ось так:
Дивимося на картинку і розуміємо: чому дорівнює другий член? Другий одне d:
a 2 =a 1 + 1 ·d
Чому дорівнює третій член? Третійчлен дорівнює перший член плюс два d.
a 3 =a 1 + 2 ·d
Уловлюєте? Я не дарма деякі слова виділяю жирним шрифтом. Ну гаразд, ще один крок).
Чому дорівнює четвертий член? Четвертийчлен дорівнює перший член плюс три d.
a 4 =a 1 + 3 ·d
Час зрозуміти, що кількість проміжків, тобто. d, завжди один менше, ніж номер шуканого члена n. Тобто, до номера n, кількість проміжківбуде n-1.Отже, формула буде (без варіантів!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Взагалі, наочні картинки дуже допомагають вирішувати багато завдань у математиці. Не нехтуйте картинками. Але якщо вже картинку намалювати важко, то... тільки формула!) Крім того, формула n-го члена дозволяє підключити до розв'язання весь потужний арсенал математики – рівняння, нерівності, системи тощо. Картинку в рівняння не вставиш...
Завдання для самостійного вирішення.
Для розминки:
1. В арифметичній прогресії (a n) a 2 = 3; a 5 =5,1. Знайти 3 .
Підказка: за картинкою завдання вирішується секунд за 20... За формулою – складніше виходить. Але для освоєння формули - корисніше.) У Розділі 555 це завдання вирішено і за картинкою, і за формулою. Відчуйте різницю!)
А це вже не розминка.)
2. В арифметичній прогресії (a n) a 85 = 19,1; a 236 = 49, 3. Знайти a 3 .
Що, не хочеться малюнок малювати?) Ще б пак! Краще за формулою, так...
3. Арифметична прогресія задана умовою:a 1 =-5,5; an+1 = an+0,5. Знайдіть сто двадцять п'ятий член цієї прогресії.
У цьому вся заданні прогресія задана рекурентним способом. Але рахувати до сто двадцять п'ятого члена... Не всім такий подвиг під силу. Зате формула n-го члена під силу кожному!
4. Дана арифметична прогресія (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Знайти номер найменшого позитивного члена прогресії.
5. За умовою завдання 4 знайти суму найменшого позитивного та найбільшого негативного членів прогресії.
6. Добуток п'ятого та дванадцятого членів зростаючої арифметичної прогресії дорівнює -2,5, а сума третього та одинадцятого членів дорівнює нулю. Знайти a 14 .
Не найпростіше завдання, так ...) Тут спосіб "на пальцях" не прокотить. Прийде формули писати і рівняння розв'язувати.
Відповіді (безладно):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Вийшло? Це приємно!)
Чи не все виходить? Буває. До речі, останнє завдання має один тонкий момент. Уважність під час читання завдання буде потрібна. І логіка.
Розв'язання всіх цих завдань докладно розібрано в Розділі 555. І елемент фантазії для четвертої, і тонкий момент для шостої, і загальні підходина вирішення будь-яких завдань на формулу n-го члена - все розписано. Рекомендую.
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
Арифметична та геометрична прогресії
Теоретичні відомості
Теоретичні відомості
Арифметична прогресія |
Геометрична прогресія |
|
Визначення |
Арифметичною прогресією a nназивається послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, складеному з одним і тим самим числом d (d- Різниця прогресій) |
Геометричною прогресією b nназивається послідовність відмінних від нуля чисел, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне і те ж число q (q- знаменник прогресії) |
Рекурентна формула |
Для будь-якого натурального n |
Для будь-якого натурального n |
Формула n-ого члена |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Характеристична властивість |  |
|
| Сума n-перших членів |  |
 |
Приклади завдань із коментарями
Завдання 1
В арифметичній прогресії ( a n) a 1 = -6, a 2
За формулою n-ого члена:
a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d
За умовою:
a 1= -6, отже a 22= -6 + 21 d.
Необхідно знайти різницю прогресій:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Відповідь: a 22 = -48.
Завдання 2
Знайдіть п'ятий член геометричної прогресії: -3; 6;....
1-й спосіб (за допомогою формули n-члена)
За формулою n-ого члена геометричної прогресії:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Так як b 1 = -3,
2-й спосіб (за допомогою рекурентної формули)
Оскільки знаменник прогресії дорівнює -2 (q = -2), то:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Відповідь: b 5 = -48.
Завдання 3
В арифметичній прогресії ( a n ) a 74 = 34; a 76= 156. Знайдіть сімдесят п'ятий член цієї прогресії.
Для арифметичної прогресії характеристична властивість має вигляд 
.
З цього випливає:
.
Підставимо дані у формулу:
Відповідь: 95.
Завдання 4
В арифметичній прогресії ( a n ) a n= 3n - 4. Знайдіть суму сімнадцяти перших членів.
Для знаходження суми n-перших членів арифметичної прогресії використовують дві формули:
.
Яку з них у даному випадкузручніше застосовувати?
За умовою відома формула n-ого члена вихідної прогресії ( a n) a n= 3n - 4. Можна знайти відразу і a 1, і a 16без знаходження d. Тому скористаємося першою формулою.
Відповідь: 368.
Завдання 5
В арифметичній прогресії( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Знайдіть двадцять другий член прогресії.
За формулою n-ого члена:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.
За умовою, якщо a 1= -6, то a 22= -6 + 21d. Необхідно знайти різницю прогресій:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Відповідь: a 22 = -48.
Завдання 6
Записано кілька послідовних членів геометричної прогресії:
Знайдіть член прогресії, позначений літерою x.
За рішенням скористаємося формулою n-го члена b n = b 1 ∙ q n - 1для геометричних прогресій Перший член прогресії. Щоб знайти знаменник прогресії q необхідно взяти будь-який з цих членів прогресії та розділити на попередній. У нашому прикладі можна взяти та розділити на. Отримаємо, що q = 3. Замість n формулу підставимо 3, оскільки необхідно знайти третій член, заданої геометричної прогресії.
Підставивши знайдені значення формулу, отримаємо:
.
Відповідь: .
Завдання 7
З арифметичних прогресій, заданих формулою n-го члена, виберіть ту, для якої виконується умова a 27 > 9:
Оскільки задана умова повинна виконуватися для 27 члена прогресії, підставимо 27 замість n в кожну з чотирьох прогресій. У 4-й прогресії отримаємо:
.
Відповідь: 4.
Завдання 8
В арифметичній прогресії a 1= 3, d = -1,5. Вкажіть найбільше значення n , для якого виконується нерівність a n > -6.
У математиці будь-яка організована будь-яким способом сукупність чисел, які йдуть один за одним, називається послідовністю. З усіх існуючих послідовностей чисел виділяють два цікаві випадки: прогресії алгебраїчну та геометричну.
Що таке арифметична прогресія?
Відразу слід сказати, що прогрес алгебри часто називають арифметичною, оскільки її властивості вивчає галузь математики - арифметика.
Ця прогресія є такою послідовністю чисел, в якій кожен наступний її член відрізняється від попереднього на деяке постійне число. Воно називається різницею алгебраїчної прогресії. Для певності позначимо його латинською літерою d.
Прикладом такої послідовності може бути така: 3, 5, 7, 9, 11 ..., тут видно, що число 5 більше числа 3 на 2, 7 більше 5 також на 2, і так далі. Таким чином, у наведеному прикладі d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.
Які бувають арифметичні прогресії?
Характер цих упорядкованих послідовностей чисел багато чому визначається знаком числа d. Вирізняють такі види алгебраїчних прогресій:
- зростаюча, коли d позитивне (d>0);
- постійна, коли d = 0;
- спадна, коли d негативне (d<0).
У прикладі, який наведено в попередньому пункті, показано зростання прогресії. Прикладом спадної є наступна послідовність чисел: 10, 5, 0, -5, -10, -15 ... Постійна прогресія, як випливає з її визначення, є сукупністю однакових чисел.
n-й член прогресії
Завдяки тому, що кожне наступне число в прогресії, що розглядається, відрізняється на константу d від попереднього, можна легко визначити n-й її член. І тому потрібно знати як d, а й a 1 - перший член прогресії. Застосовуючи рекурсивний підхід, можна отримати формулу прогресу алгебри для знаходження n-го члена. Вона має вигляд: a n = a 1 + (n-1) * d. Ця формула досить проста, і зрозуміти її можна на інтуїтивному рівні.
Також не становить жодної складності її використання. Наприклад, у прогресії, яка наведена вище (d=2, a 1 =3), визначимо 35-й її член. Відповідно до формули, він дорівнює: a 35 = 3 + (35-1)*2 = 71.
Формула для суми
Коли дана деяка арифметична прогресія, то сума її перших n членів є завданням, що часто виникає, поряд з визначенням значення n-го члена. Формула суми алгебраїчної прогресії записується в наступному вигляді: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2, тут значок ∑ n 1 говорить про те, що підсумовуються з 1 по n-й член.
Наведений вираз можна отримати, вдаючись до властивостей тієї ж рекурсії, проте існує легший спосіб доказу його справедливості. Запишемо перші 2 та останні 2 члени цієї суми, висловивши їх у числах a 1 , a n і d, і отримаємо: a 1 , a 1 +d,...,a n -d, a n . Тепер зауважимо, що якщо скласти перший член з останнім, то він точно дорівнює сумі другого і передостаннього члена, тобто a 1 +a n . Аналогічним способом можна показати, що цю ж суму можна отримати, якщо скласти третій та передпередостанній члени, тощо. У разі парної кількості чисел у послідовності отримуємо n/2 сум, кожна з яких дорівнює a 1 +a n . Тобто отримуємо наведену вище формулу алгебраїчної прогресії для суми: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.
Для непарної кількості членів n виходить аналогічна формула, якщо слідувати описаним міркуванням. Тільки потрібно не забути додати доданок, що залишився, який знаходиться в центрі прогресії.
Покажемо, як користуватися наведеною формулою на прикладі простої прогресії, яка була введена вище (3, 5, 7, 9, 11…). Наприклад, необхідно визначити суму перших 15 її членів. Спочатку визначимо a 15 . Скориставшись формулою для n-го члена (див. попередній пункт), отримуємо: a 15 = a 1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. Тепер можна застосувати формулу суми прогресу алгебри: ∑ 15 1 = 15 * (3 +31) / 2 = 255.
Цікаво навести цікавий історичний факт. Формулу для суми арифметичної прогресії вперше отримав Карл Гаус (знаменитий німецький математик XVIII століття). Коли йому було всього 10 років, то вчитель поставив завдання, знайти суму чисел від 1 до 100. Кажуть, що маленький Гаус вирішив це завдання за кілька секунд, помітивши, що попарно підсумовуючи числа з початку та кінця послідовності, завжди можна отримати 101, а оскільки таких сум 50, він швидко видав відповідь: 50*101 = 5050.
Приклад розв'язання задачі
Як завершення теми алгебраїчної прогресії наведемо приклад вирішення ще одного цікавого завдання, закріпивши тим самим розуміння теми, що розглядається. Нехай дана деяка прогресія, на яку відома різниця d = -3, і навіть її 35-й член a 35 = -114. Необхідно знайти 7-й член прогресії a7.
Як очевидно з умови завдання, значення a 1 є невідомим, тому безпосередньо формулою для n-го члена скористатися не вдасться. Також є незручним метод рекурсії, який вручну важко продати, і велика можливість припуститися помилки. Надійдемо так: випишемо формули для a 7 і a 35 , маємо: a 7 = a 1 + 6*d і a 35 = a 1 + 34*d. Віднімемо з першого виразу друге, отримаємо: a 7 - a 35 = a 1 + 6 * d - a 1 - 34 * d. Звідки слідує: a 7 = a 35 - 28*d. Залишилося підставити відомі дані з умови завдання та записати відповідь: a 7 = -114 - 28 * (-3) = -30.
Геометрична прогресія
Щоб розкрити тему статті повніше, наведемо короткий опис ще одного виду прогресії – геометричної. У математиці під цією назвою розуміють послідовність чисел, у якій кожен наступний член відрізняється від попереднього на певний множник. Позначимо цей множник літерою r. Він називається знаменником розглянутого виду прогресії. Прикладом цієї послідовності чисел може бути така: 1, 5, 25, 125, ...
Як видно з наведеного визначення, алгебраїчна та геометрична прогресії схожі за своєю ідеєю. Відмінність між ними полягає в тому, що перша змінюється повільніше, ніж друга.
Геометрична прогресія також може бути зростаючою, постійною та спадною. Її тип залежить від значення знаменника r: якщо r>1, має місце зростаюча прогресія, якщо r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.
Формули геометричної прогресії
Як і у випадку алгебраїчної, формули геометричної прогресії зводяться до визначення її n-го члена та суми n доданків. Нижче наведено ці вирази:
- a n = a 1 *r (n-1) - ця формула випливає із визначення геометричної прогресії.
- ∑ n 1 = a 1 *(r n -1)/(r-1). Важливо, якщо r = 1, то наведена формула дає невизначеність, тому користуватися не можна. І тут сума n членів дорівнюватиме простому твору a 1 *n.
Наприклад, знайдемо суму всього 10 членів послідовності 1, 5, 25, 125 ... Знаючи, що a 1 = 1 і r = 5, отримуємо: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1)/4 = 2441406. Отримане значення є наочним прикладом того, наскільки швидко зростає геометрична прогресія.
Мабуть, першою згадкою про цю прогресію в історії є легенда з шахівницею, коли один одного султана, навчивши його грі в шахи, попросив за свою послугу зерно. Причому кількість зерна мала бути такою: на першу клітину шахівниці необхідно покласти одне зерно, на другу вдвічі більше, ніж на першу, на третю вдвічі більше, ніж на другу і так далі. Султан охоче погодився виконати це прохання, але він не знав, що йому доведеться спустошити всі засіки своєї країни, щоб стримати це слово.
Завантаження...