المسافة بين نقطتين معطاة بإحداثياتهما. المسافة بين نقطتين على متن الطائرة

المسافة بين نقطتين على متن الطائرة.
نظم الإحداثيات

تتميز كل نقطة أ من المستوي بإحداثياتها (س ، ص). تتطابق مع إحداثيات المتجه 0A ، الخارجة من النقطة 0 - الأصل.

لنفترض أن A و B نقطتان تعسفيتان للطائرة ذات إحداثيات (x 1 y 1) و (x 2، y 2) على التوالي.

ثم من الواضح أن المتجه AB له الإحداثيات (س 2 - س 1 ، ص 2 - ص 1). من المعروف أن مربع طول المتجه يساوي المجموعمربعات إحداثياتها. لذلك ، المسافة d بين النقطتين A و B ، أو ما هو نفسه ، طول المتجه AB ، يتم تحديدها من الشرط

د 2 \ u003d (س 2 - س 1) 2 + (ص 2 - ص 1) 2.

د \ u003d \ / (س 2 - س 1) 2 + (ص 2 - ص 1) 2

تسمح لك الصيغة الناتجة بإيجاد المسافة بين أي نقطتين على المستوى ، إذا كانت إحداثيات هذه النقاط معروفة فقط

في كل مرة ، عند الحديث عن إحداثيات نقطة واحدة أو أخرى على المستوى ، فإننا نفكر في نظام إحداثيات محدد جيدًا x0y. بشكل عام ، يمكن اختيار نظام الإحداثيات على المستوى بطرق مختلفة. لذلك ، بدلاً من نظام الإحداثيات x0y ، يمكننا اعتبار نظام إحداثيات x "0y" ، والذي يتم الحصول عليه من خلال تدوير محاور الإحداثيات القديمة حول نقطة البداية 0 عكس عقارب الساعهالسهام في الزاوية α .

إذا كانت نقطة ما من المستوي في نظام الإحداثيات x0y بها إحداثيات (x ، y) ، فعندئذٍ في نظام جديدالإحداثيات س "0 ص" سيكون لها إحداثيات أخرى (س "، ص").

كمثال ، ضع في اعتبارك النقطة M ، الواقعة على المحور 0x "والمتباعدة من النقطة 0 على مسافة تساوي 1.

من الواضح أن إحداثيات هذه النقطة في نظام الإحداثيات x0y (cos α ، خطيئة α ) ، والإحداثيات في نظام الإحداثيات x "0y" هي (1،0).

تعتمد إحداثيات أي نقطتين في المستوى A و B على كيفية ضبط نظام الإحداثيات في هذا المستوى. لكن المسافة بين هذه النقاط لا تعتمد على كيفية تحديد نظام الإحداثيات. سوف نستفيد بشكل أساسي من هذا الظرف المهم في القسم التالي.

تمارين

1. ابحث عن المسافات بين نقاط المستوى ذات الإحداثيات:

1) (3.5) و (3.4) ؛ 3) (0.5) و (5 ، 0) ؛ 5) (-3.4) و (9 ، -17) ؛

2) (2 ، 1) و (- 5 ، 1) ؛ 4) (0.7) و (3.3) ؛ 6) (8 ، 21) و (1 ، -3).

ثانيًا. أوجد محيط المثلث الذي تُعطى أضلاعه بالمعادلات:

س + ص - 1 = 0 ، 2 س - ص - 2 = 0 وص = 1.

ثالثا. في نظام الإحداثيات x0y ، يكون للنقطتين M و N إحداثيات (1 ، 0) و (0،1) ، على التوالي. ابحث عن إحداثيات هذه النقاط في نظام الإحداثيات الجديد ، والذي يتم الحصول عليه أيضًا من خلال تدوير المحاور القديمة حول نقطة البداية بزاوية 30 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة.

رابعا. في نظام الإحداثيات x0y ، يكون للنقطتين M و N إحداثيات (2 ، 0) و (\ / 3/2 ، - 1/2) على التوالي. ابحث عن إحداثيات هذه النقاط في نظام الإحداثيات الجديد ، والتي يتم الحصول عليها من خلال تدوير المحاور القديمة حول نقطة البداية بزاوية 30 درجة في اتجاه عقارب الساعة.

غالبًا ما يكون حل المشكلات في الرياضيات للطلاب مصحوبًا بالعديد من الصعوبات. لمساعدة الطالب على التغلب على هذه الصعوبات ، وكذلك لتعليمه كيفية تطبيق معرفته النظرية في حل مشاكل معينة في جميع أقسام مقرر موضوع "الرياضيات" هو الغرض الأساسي من موقعنا.

عند البدء في حل المشكلات المتعلقة بالموضوع ، يجب أن يكون الطلاب قادرين على بناء نقطة على مستوى وفقًا لإحداثياتها ، وكذلك العثور على إحداثيات نقطة معينة.

يتم حساب المسافة بين نقطتين مأخوذتين على المستوى A (x A ؛ y A) و B (x B ؛ y B) بواسطة الصيغة د \ u003d √ ((س أ - س ب) 2 + (ص أ - ص ب) 2)، حيث d هو طول المقطع الذي يربط هذه النقاط على المستوى.

إذا تزامن أحد طرفي المقطع مع الأصل ، والآخر له إحداثيات M (x M ؛ y M) ، فإن صيغة حساب d ستأخذ الصيغة OM = √ (x M 2 + y M 2).

1. حساب المسافة بين نقطتين بإحداثيات هذه النقاط

مثال 1.

أوجد طول القطعة التي تربط النقطتين A (2 ؛ -5) و B (-4 ؛ 3) على مستوى الإحداثيات (الشكل 1).

المحلول.

شرط المشكلة معطى: x A = 2؛ س ب \ u003d -4 ؛ y A = -5 و y B = 3. أوجد d.

بتطبيق الصيغة d \ u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) ، نحصل على:

د \ u003d AB \ u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \ u003d 10.

2. حساب إحداثيات نقطة تكون على مسافة متساوية من ثلاث نقاط معينة

مثال 2

أوجد إحداثيات النقطة O 1 ، التي تقع على مسافة متساوية من النقاط الثلاث A (7 ؛ -1) و B (-2 ؛ 2) و C (-1 ؛ -5).

المحلول.

من صياغة حالة المشكلة ، يتبع ذلك O 1 A \ u003d O 1 B \ u003d O 1 C. دع النقطة المرغوبة O 1 لها إحداثيات (أ ؛ ب). وفقًا للصيغة d \ u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) نجد:

O 1 A \ u003d √ ((أ - 7) 2 + (ب + 1) 2) ؛

O 1 V \ u003d √ ((أ + 2) 2 + (ب - 2) 2) ؛

O 1 C \ u003d √ ((أ + 1) 2 + (ب + 5) 2).

نؤلف نظامًا من معادلتين:

(√ ((أ - 7) 2 + (ب + 1) 2) = √ ((أ + 2) 2 + (ب - 2) 2) ،
(√ ((أ - 7) 2 + (ب + 1) 2) = √ ((أ + 1) 2 + (ب + 5) 2).

بعد تربيع الجانبين الأيمن والأيسر من المعادلات نكتب:

((أ - 7) 2 + (ب + 1) 2 \ u003d (أ + 2) 2 + (ب - 2) 2 ،
((أ - 7) 2 + (ب + 1) 2 = (أ + 1) 2 + (ب + 5) 2.

التبسيط نكتب

(-3 أ + ب + 7 = 0 ،
(-2 أ - ب + 3 = 0.

بعد حل النظام ، نحصل على: أ = 2 ؛ ب = -1.

النقطة O 1 (2 ؛ -1) هي على مسافة متساوية من النقاط الثلاث الواردة في الحالة التي لا تقع على خط مستقيم واحد. هذه النقطة هي مركز دائرة تمر بثلاثة نقاط معينة (الصورة 2).

3. حساب الحد الفاصل (الإحداثي) لنقطة تقع على المحور (الإحداثي) وتكون على مسافة معينة من هذه النقطة

مثال 3

المسافة من النقطة B (-5 ؛ 6) إلى النقطة A الواقعة على المحور x هي 10. أوجد النقطة A.

المحلول.

ينتج عن صياغة حالة المشكلة أن إحداثي النقطة A هو صفر و AB = 10.

للدلالة على حدود النقطة من النقطة أ إلى أ ، نكتب أ (أ ؛ 0).

AB = √ ((أ + 5) 2 + (0-6) 2) \ u003d √ ((أ + 5) 2 + 36).

نحصل على المعادلة √ ((أ + 5) 2 + 36) = 10. تبسيطها ، لدينا

أ 2 + 10 أ - 39 = 0.

جذور هذه المعادلة أ 1 = -13 ؛ و 2 = 3.

نحصل على نقطتين A 1 (-13 ؛ 0) و A 2 (3 ؛ 0).

فحص:

أ 1 ب \ u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0-6) 2) \ u003d 10.

أ 2 ب \ u003d √ ((3 + 5) 2 + (0-6) 2) \ u003d 10.

كلا النقاط التي تم الحصول عليها تتناسب مع حالة المشكلة (تين. 3).

4. حساب الحد الفاصل (الإحداثي) لنقطة تقع على المحور السيني (الإحداثي) وعلى نفس المسافة من نقطتين معينتين

مثال 4

ابحث عن نقطة على محور Oy على نفس المسافة من النقطتين A (6 ؛ 12) و B (-8 ؛ 10).

المحلول.

دع إحداثيات النقطة التي تتطلبها حالة المشكلة ، الواقعة على محور Oy ، تكون O 1 (0 ؛ ب) (عند النقطة الواقعة على محور Oy ، فإن الإحداثي يساوي صفرًا). ويترتب على الشرط أن O 1 A \ u003d O 1 V.

وفقًا للصيغة d \ u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) نجد:

O 1 A \ u003d √ ((0-6) 2 + (b - 12) 2) \ u003d √ (36 + (b - 12) 2) ؛

O 1 V \ u003d √ ((أ + 8) 2 + (ب - 10) 2) \ u003d √ (64 + (ب - 10) 2).

لدينا المعادلة √ (36 + (ب - 12) 2) = √ (64 + (ب - 10) 2) أو 36 + (ب - 12) 2 = 64 + (ب - 10) 2.

بعد التبسيط ، نحصل على: ب - 4 = 0 ، ب = 4.

مطلوب حسب حالة نقطة المشكلة O 1 (0 ؛ 4) (الشكل 4).

5. حساب إحداثيات نقطة على نفس المسافة من محاور الإحداثيات وبعض النقاط المعطاة

مثال 5

ابحث عن النقطة M الموجودة على مستوى الإحداثيات على نفس المسافة من محاور الإحداثيات ومن النقطة A (-2 ؛ 1).

المحلول.

تقع النقطة المطلوبة M ، مثل النقطة A (-2 ؛ 1) ، في ركن الإحداثيات الثاني ، لأنها على مسافة متساوية من النقاط A و P 1 و P 2 (الشكل 5). مسافات النقطة M من محاور الإحداثيات هي نفسها ، لذلك ستكون إحداثياتها (-a ؛ أ) ، حيث أ> 0.

ويترتب على ظروف المشكلة أن MA = MP 1 = MP 2، MP 1 = a؛ MP 2 = | -a | ،

أولئك. | -a | = أ.

وفقًا للصيغة d \ u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) نجد:

MA \ u003d √ ((-a + 2) 2 + (أ - 1) 2).

لنصنع معادلة:

√ ((-a + 2) 2 + (أ - 1) 2) = أ.

بعد التربيع والتبسيط ، لدينا: أ 2 - 6 أ + 5 = 0. نحل المعادلة ، نجد 1 = 1 ؛ و 2 = 5.

نحصل على نقطتين M 1 (-1 ؛ 1) و M 2 (-5 ؛ 5) ، مما يرضي حالة المشكلة.

6. حساب إحداثيات نقطة على نفس المسافة المحددة من محور (إحداثيات) ومن هذه النقطة

مثال 6

أوجد نقطة M بحيث تكون المسافة من المحور y والنقطة A (8 ؛ 6) مساوية لـ 5.

المحلول.

ويترتب على حالة المشكلة أن MA = 5 وقيمة الإحداثي للنقطة M تساوي 5. دع إحداثي النقطة M يساوي b ، ثم M (5 ؛ ب) (الشكل 6).

وفقًا للصيغة d \ u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) لدينا:

MA \ u003d √ ((5-8) 2 + (ب - 6) 2).

لنصنع معادلة:

√ ((5 - 8) 2 + (ب - 6) 2) = 5. وبتبسيطها نحصل على: ب 2 - 12 ب + 20 = 0. جذور هذه المعادلة هي ب 1 = 2 ؛ ب 2 \ u003d 10. لذلك ، هناك نقطتان تفيان بشرط المشكلة: م 1 (5 ؛ 2) وم 2 (5 ؛ 10).

من المعروف أن العديد من الطلاب ، عند حل المشكلات بأنفسهم ، يحتاجون إلى استشارات مستمرة حول التقنيات والأساليب لحلها. في كثير من الأحيان ، لا يستطيع الطالب إيجاد طريقة لحل مشكلة دون مساعدة المعلم. يمكن للطالب الحصول على النصائح اللازمة لحل المشكلات على موقعنا.

هل لديك اسئلة؟ ألست متأكدًا من كيفية إيجاد المسافة بين نقطتين على المستوى؟
للحصول على مساعدة من مدرس -.
الدرس الأول مجاني!

blog.site ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، مطلوب رابط للمصدر.

في هذه المقالة ، سننظر في طرق لتحديد المسافة من نقطة إلى نقطة نظريًا وعلى مثال مهام محددة. لنبدأ ببعض التعاريف.

Yandex.RTB R-A-339285-1 التعريف 1

المسافة بين النقاط- هذا هو طول الجزء الذي يربط بينهما ، في المقياس الحالي. من الضروري ضبط المقياس من أجل الحصول على وحدة طول للقياس. لذلك ، يتم حل مشكلة إيجاد المسافة بين النقاط باستخدام إحداثياتها على خط الإحداثيات ، في مستوى الإحداثيات أو الفضاء ثلاثي الأبعاد.

البيانات الأولية: خط الإحداثيات O x والنقطة العشوائية A الملقاة عليه. رقم حقيقي واحد متأصل في أي نقطة من الخط: اجعل هذا رقمًا معينًا للنقطة A xAإنه تنسيق النقطة أ.

بشكل عام ، يمكننا القول أن تقدير طول جزء معين يحدث بالمقارنة مع المقطع كوحدة طول على مقياس معين.

إذا كانت النقطة A تقابل عددًا حقيقيًا صحيحًا ، بعد أن وضعت جانبًا على التوالي من النقطة O إلى نقطة على طول الخط المستقيم O A - وحدات الطول ، يمكننا تحديد طول المقطع O A بالعدد الإجمالي لقطاعات الوحدة المعلقة.

على سبيل المثال ، النقطة A تقابل الرقم 3 - للوصول إليها من النقطة O ، سيكون من الضروري تخصيص ثلاثة أجزاء من الوحدات. إذا كان إحداثي النقطة A يساوي - 4 ، فسيتم رسم المقاطع الفردية بطريقة مماثلة ، ولكن في اتجاه سلبي مختلف. وبالتالي ، في الحالة الأولى ، تكون المسافة O A هي 3 ؛ في الحالة الثانية ، O A = 4.

إذا كانت النقطة A لها إحداثي رقم منطقي، ثم من الأصل (النقطة O) نضع جانباً عددًا صحيحًا من أجزاء الوحدة ، ثم الجزء الضروري منها. لكن هندسيًا ليس من الممكن دائمًا إجراء قياس. على سبيل المثال ، يبدو أنه من الصعب تنحية الكسر الإحداثي المباشر جانبًا 4111.

بالطريقة المذكورة أعلاه ، من المستحيل تمامًا تأجيل رقم غير منطقي على خط مستقيم. على سبيل المثال ، عندما يكون إحداثي النقطة A هو 11. في هذه الحالة ، من الممكن اللجوء إلى التجريد: إذا كان الإحداثي المحدد للنقطة A أكبر من الصفر ، فعندئذٍ O A \ u003d x A (يتم أخذ الرقم على أنه مسافة) ؛ إذا كان الإحداثي أقل من صفر ، فإن O A = - x A. بشكل عام ، هذه العبارات صحيحة لأي رقم حقيقي x A.

التلخيص: المسافة من الأصل إلى النقطة ، والتي تتوافق مع رقم حقيقي على خط الإحداثيات ، تساوي:

• 0 إذا كانت النقطة هي نفس الأصل ؛

• x A إذا x A> 0 ؛

• - س أ إذا س أ< 0 .

في هذه الحالة ، من الواضح أن طول المقطع نفسه لا يمكن أن يكون سالبًا ، لذلك ، باستخدام علامة المقياس ، نكتب المسافة من النقطة O إلى النقطة A مع الإحداثي x أ: O A = x A

البيان الصحيح هو: المسافة من نقطة إلى أخرى ستكون مساوية لمقياس الفرق في الإحداثيات.أولئك. للنقطتين A و B الواقعة على نفس خط الإحداثيات في أي مكان ولها إحداثيات على التوالي x أو س ب: أ ب = س ب - س أ.

البيانات الأولية: النقطتان A و B الواقعة على مستوى في نظام إحداثيات مستطيل O x y بإحداثيات معطاة: A (x A، y A) و B (x B، y B).

لنرسم عموديًا على محوري الإحداثيات O x و O y من خلال النقطتين A و B ونحصل على نقاط الإسقاط نتيجة لذلك: A x ، A y ، B x ، B y. بناءً على موقع النقطتين A و B ، فإن الخيارات التالية ممكنة بشكل أكبر:

إذا تزامنت النقطتان A و B ، فإن المسافة بينهما تساوي صفرًا ؛

إذا كانت النقطتان A و B تقعان على خط مستقيم عمودي على المحور O x (محور الإحداثي السيني) ، فإن النقطتين تتطابقان ، و | أ ب | = | أ ذ ب ص | . بما أن المسافة بين النقطتين تساوي مقياس الاختلاف بين إحداثياتهما ، إذن ، A y B y = y B - y A ، وبالتالي ، A B = A y B y = y B - y A.

إذا كانت النقطتان A و B تقعان على خط مستقيم عمودي على المحور O y (المحور y) - بالقياس مع الفقرة السابقة: A B = A x B x = x B - x A

إذا كانت النقطتان A و B لا تقعان على خط مستقيم عمودي على أحد محوري الإحداثيات ، فإننا نحسب المسافة بينهما من خلال اشتقاق صيغة الحساب:

نلاحظ أن المثلث ب ج قائم الزاوية بالتركيب. في هذه الحالة ، أ ج = أ س ب س ، ب ج = أ ص ب ص. باستخدام نظرية فيثاغورس ، نؤلف المساواة: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 ، ثم نحولها: A B = A x B x 2 + A y B ص 2 = س ب - س أ 2 + ص ب - ص أ 2 = (س ب - س أ) 2 + (ص ب - ص أ) 2

دعنا نشكل استنتاجًا من النتيجة التي تم الحصول عليها: يتم تحديد المسافة من النقطة A إلى النقطة B على المستوى عن طريق الحساب باستخدام الصيغة باستخدام إحداثيات هذه النقاط

أ ب = (س ب - س أ) 2 + (ص ب - ص أ) 2

تؤكد الصيغة الناتجة أيضًا العبارات التي تم تكوينها مسبقًا لحالات مصادفة النقاط أو المواقف عندما تقع النقاط على خطوط مستقيمة متعامدة مع المحاور. لذلك ، في حالة تطابق النقطتين A و B ، ستكون المساواة صحيحة: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

للموقف الذي تقع فيه النقطتان A و B على خط مستقيم عمودي على المحور x:

أ ب = (س ب - س أ) 2 + (ص ب - ص أ) 2 = 0 2 + (ص ب - ص أ) 2 = ص ب - ص أ

بالنسبة للحالة التي تقع فيها النقطتان A و B على خط مستقيم عمودي على المحور y:

أ ب = (س ب - س أ) 2 + (ص ب - ص أ) 2 = (س ب - س أ) 2 + 0 2 = س ب - س أ

البيانات الأولية: نظام الإحداثيات المستطيل O x y z مع وجود نقاط عشوائية ملقاة عليه بإحداثيات معينة A (x A ، y A ، z A) و B (x B ، y B ، z B). من الضروري تحديد المسافة بين هذه النقاط.

ضع في اعتبارك الحالة العامة عندما لا تقع النقطتان A و B في مستوى موازٍ لأحد مستويات الإحداثيات. ارسم من خلال النقطتين A و B عموديًا على محاور الإحداثيات ، واحصل على نقاط الإسقاط المقابلة: A x ، A y ، A z ، B x ، B y ، B z

المسافة بين النقطتين A و B هي قطري الصندوق الناتج. بناءً على قياس هذا المربع: A x B x و A y B y و A z B z

من مجرى الهندسة ، من المعروف أن مربع قطري خط متوازي يساوي مجموع مربعات أبعاده. بناءً على هذا البيان ، نحصل على المساواة: A B 2 \ u003d A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

باستخدام الاستنتاجات التي تم الحصول عليها سابقًا ، نكتب ما يلي:

أ س ب س = س ب - س أ ، أ ص ب ص = ص ب - ص أ ، أ ض ب ع = ع ب - ض أ

دعنا نحول التعبير:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

نهائي صيغة لتحديد المسافة بين النقاط في الفضاءسيبدو هكذا:

أ ب = س ب - س أ 2 + ص ب - ص أ 2 + (ض ب - ض أ) 2

الصيغة الناتجة صالحة أيضًا للحالات التي:

مباراة النقاط

تقع على نفس محور الإحداثيات أو على خط مستقيم موازٍ لأحد محاور الإحداثيات.

أمثلة على حل مسائل لإيجاد المسافة بين النقاط

مثال 1

البيانات الأولية: خط إحداثيات ونقاط ملقاة عليه بإحداثيات معينة A (1-2) و B (11 + 2). من الضروري إيجاد المسافة من النقطة المرجعية O إلى النقطة A وبين النقطتين A و B.

المحلول

1. المسافة من النقطة المرجعية إلى النقطة تساوي الوحدة النمطية لإحداثيات هذه النقطة ، على التوالي O A \ u003d 1-2 \ u003d 2-1
2. تُعرَّف المسافة بين النقطتين A و B على أنها معامل الاختلاف بين إحداثيات هاتين النقطتين: أ ب = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

الجواب: س أ = ٢ - ١ ، أ ب = ١٠ + ٢ ٢

مثال 2

البيانات الأولية: بإعطاء نظام إحداثيات مستطيل ونقطتين ملقاة عليه A (1 ، - 1) و B (λ + 1 ، 3). λ هو عدد حقيقي. من الضروري إيجاد جميع قيم هذا الرقم والتي ستكون المسافة أ ب فيها مساوية لـ 5.

المحلول

لإيجاد المسافة بين النقطتين A و B ، يجب عليك استخدام الصيغة A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

باستبدال القيم الحقيقية للإحداثيات ، نحصل على: A B = (λ + 1-1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

وأيضًا نستخدم الشرط الموجود وهو A B = 5 ثم المساواة ستكون صحيحة:

λ 2 + 16 = 5 2 + 16 = 25 = ± 3

الجواب: أ ب \ u003d 5 إذا λ \ u003d ± 3.

مثال 3

البيانات الأولية: مساحة ثلاثية الأبعاد في نظام إحداثيات مستطيل O x y z والنقاط A (1 ، 2 ، 3) و B - 7 ، - 2 ، 4 موجودة فيه.

المحلول

لحل المسألة ، نستخدم الصيغة A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

باستبدال القيم الحقيقية ، نحصل على: أ ب = (- 7-1) 2 + (- 2-2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

الجواب: | أ ب | = 9

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

أسئلة نظرية

الهندسة التحليلية على متن الطائرة

1. طريقة التنسيق: خط الأعداد ، الإحداثيات على الخط ؛ نظام الإحداثيات المستطيل (الديكارتي) على المستوى ؛ الإحداثيات القطبية.

لنلقِ نظرة على الخط المستقيم. دعنا نختار اتجاهًا عليه (ثم سيصبح محورًا) ونقطة ما 0 (الأصل). يسمى الخط المستقيم مع الاتجاه والأصل المختارين تنسيق الخط(في هذه الحالة ، نفترض أنه تم تحديد وحدة القياس).

يترك مهي نقطة عشوائية على خط الإحداثيات. دعونا نضع وفقا لهذه النقطة معدد حقيقي x، يساوي القيمة OMمقطع : س = أوم.رقم xيسمى إحداثيات النقطة م.

وبالتالي ، فإن كل نقطة من خط الإحداثيات تتوافق مع رقم حقيقي معين - إحداثياته. العكس صحيح أيضًا ، فكل رقم حقيقي x يتوافق مع نقطة ما على خط الإحداثيات ، أي هذه النقطة م، الذي إحداثياته ​​هو x. هذه المراسلات تسمى متبادل لا لبس فيه.

لذلك ، يمكن تمثيل الأرقام الحقيقية بنقاط خط الإحداثيات ، أي يعمل خط الإحداثيات كصورة لمجموعة جميع الأرقام الحقيقية. لذلك ، يتم استدعاء مجموعة جميع الأعداد الحقيقية رقم الخط، وأي رقم هو نقطة على هذا الخط. بالقرب من نقطة على خط الأعداد ، غالبًا ما يشار إلى رقم - تنسيقه.

نظام إحداثيات مستطيل (أو ديكارت) على مستوى.

محورين متعامدين بشكل متبادل حول xو حول ذنأخذ بداية مشتركة اونفس وحدة القياس ، الشكل نظام إحداثيات مستطيل (أو ديكارت) على المستوى.

محور أوهيسمى المحور السيني ، المحور OY- المحور الصادي. نقطة ايسمى تقاطع المحاور الأصل. المستوى الذي توجد فيه المحاور أوهو OY، يسمى المستوى الإحداثي ويشار إليه أوه xy.

لذلك ، يُنشئ نظام إحداثيات مستطيل على مستوى تطابق واحد لواحد بين مجموعة جميع نقاط المستوى ومجموعة أزواج الأرقام ، مما يجعل من الممكن تطبيق الطرق الجبرية عند حل المشكلات الهندسية. محاور الإحداثيات تقسم الطائرة إلى 4 أجزاء ، ويطلق عليها أرباع, ميدانأو تنسيق الزوايا.

الإحداثيات القطبية.

يتكون نظام الإحداثيات القطبية من نقطة ما ااتصل عمودوالشعاع الخارج منه عمر الفاروقاتصل المحور القطبي.بالإضافة إلى ذلك ، يتم تعيين وحدة القياس لقياس أطوال المقاطع. دع نظام الإحداثيات القطبية يتم إعطاؤه والسماح به مهي نقطة اعتباطية في الطائرة. للدلالة به ص- مسافة النقطة ممن وجهة ا، ومن خلال φ - الزاوية التي يدور بها الشعاع عكس اتجاه عقارب الساعة المحور القطبي ليتطابق مع الشعاع OM.

الإحداثيات القطبيةنقاط ماتصل بالأرقام صو φ . رقم صيعتبر الإحداثي الأول والمسمى نصف القطر القطبي، رقم φ - يسمى الإحداثي الثاني الزاوية القطبية.

نقطة ممع الإحداثيات القطبية صو φ تم تعيينها على النحو التالي: М (؛ φ).لنقم بإنشاء اتصال بين الإحداثيات القطبية لنقطة وإحداثياتها المستطيلة.
في هذه الحالة ، سنفترض أن أصل نظام إحداثيات المستطيل يقع في القطب ، وأن المحور شبه الموجب للإحداثيات يتزامن مع المحور القطبي.

دع النقطة م لها إحداثيات مستطيلة Xو صوالإحداثيات القطبية صو φ .

(1)

دليل - إثبات.

تسقط من النقاط م 1و م 2عمودي م 1 فولتو م 1 أ ،. لان (× 2 ؛ ص 2). من الناحية النظرية ، إذا م 1 (× 1)و م 2 (× 2)هي أي نقطتين و α هي المسافة بينهما إذن α = ‌‌‌‍‌‌ | x 2 - x 1 | .

غالبًا ما يكون حل المشكلات في الرياضيات للطلاب مصحوبًا بالعديد من الصعوبات. لمساعدة الطالب على التغلب على هذه الصعوبات ، وكذلك لتعليمه كيفية تطبيق معرفته النظرية في حل مشاكل معينة في جميع أقسام مقرر موضوع "الرياضيات" هو الغرض الأساسي من موقعنا.

عند البدء في حل المشكلات المتعلقة بالموضوع ، يجب أن يكون الطلاب قادرين على بناء نقطة على مستوى وفقًا لإحداثياتها ، وكذلك العثور على إحداثيات نقطة معينة.

يتم حساب المسافة بين نقطتين مأخوذتين على المستوى A (x A ؛ y A) و B (x B ؛ y B) بواسطة الصيغة د \ u003d √ ((س أ - س ب) 2 + (ص أ - ص ب) 2)، حيث d هو طول المقطع الذي يربط هذه النقاط على المستوى.

إذا تزامن أحد طرفي المقطع مع الأصل ، والآخر له إحداثيات M (x M ؛ y M) ، فإن صيغة حساب d ستأخذ الصيغة OM = √ (x M 2 + y M 2).

1. حساب المسافة بين نقطتين بإحداثيات هذه النقاط

مثال 1.

أوجد طول القطعة التي تربط النقطتين A (2 ؛ -5) و B (-4 ؛ 3) على مستوى الإحداثيات (الشكل 1).

المحلول.

شرط المشكلة معطى: x A = 2؛ س ب \ u003d -4 ؛ y A = -5 و y B = 3. أوجد d.

بتطبيق الصيغة d \ u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) ، نحصل على:

د \ u003d AB \ u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \ u003d 10.

2. حساب إحداثيات نقطة تكون على مسافة متساوية من ثلاث نقاط معينة

مثال 2

أوجد إحداثيات النقطة O 1 ، التي تقع على مسافة متساوية من النقاط الثلاث A (7 ؛ -1) و B (-2 ؛ 2) و C (-1 ؛ -5).

المحلول.

من صياغة حالة المشكلة ، يتبع ذلك O 1 A \ u003d O 1 B \ u003d O 1 C. دع النقطة المرغوبة O 1 لها إحداثيات (أ ؛ ب). وفقًا للصيغة d \ u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) نجد:

O 1 A \ u003d √ ((أ - 7) 2 + (ب + 1) 2) ؛

O 1 V \ u003d √ ((أ + 2) 2 + (ب - 2) 2) ؛

O 1 C \ u003d √ ((أ + 1) 2 + (ب + 5) 2).

نؤلف نظامًا من معادلتين:

(√ ((أ - 7) 2 + (ب + 1) 2) = √ ((أ + 2) 2 + (ب - 2) 2) ،
(√ ((أ - 7) 2 + (ب + 1) 2) = √ ((أ + 1) 2 + (ب + 5) 2).

بعد تربيع الجانبين الأيمن والأيسر من المعادلات نكتب:

((أ - 7) 2 + (ب + 1) 2 \ u003d (أ + 2) 2 + (ب - 2) 2 ،
((أ - 7) 2 + (ب + 1) 2 = (أ + 1) 2 + (ب + 5) 2.

التبسيط نكتب

(-3 أ + ب + 7 = 0 ،
(-2 أ - ب + 3 = 0.

بعد حل النظام ، نحصل على: أ = 2 ؛ ب = -1.

النقطة O 1 (2 ؛ -1) هي على مسافة متساوية من النقاط الثلاث الواردة في الحالة التي لا تقع على خط مستقيم واحد. هذه النقطة هي مركز دائرة تمر عبر ثلاث نقاط معينة. (الصورة 2).

3. حساب الحد الفاصل (الإحداثي) لنقطة تقع على المحور (الإحداثي) وتكون على مسافة معينة من هذه النقطة

مثال 3

المسافة من النقطة B (-5 ؛ 6) إلى النقطة A الواقعة على المحور x هي 10. أوجد النقطة A.

المحلول.

ينتج عن صياغة حالة المشكلة أن إحداثي النقطة A هو صفر و AB = 10.

للدلالة على حدود النقطة من النقطة أ إلى أ ، نكتب أ (أ ؛ 0).

AB = √ ((أ + 5) 2 + (0-6) 2) \ u003d √ ((أ + 5) 2 + 36).

نحصل على المعادلة √ ((أ + 5) 2 + 36) = 10. تبسيطها ، لدينا

أ 2 + 10 أ - 39 = 0.

جذور هذه المعادلة أ 1 = -13 ؛ و 2 = 3.

نحصل على نقطتين A 1 (-13 ؛ 0) و A 2 (3 ؛ 0).

فحص:

أ 1 ب \ u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0-6) 2) \ u003d 10.

أ 2 ب \ u003d √ ((3 + 5) 2 + (0-6) 2) \ u003d 10.

كلا النقاط التي تم الحصول عليها تتناسب مع حالة المشكلة (تين. 3).

4. حساب الحد الفاصل (الإحداثي) لنقطة تقع على المحور السيني (الإحداثي) وعلى نفس المسافة من نقطتين معينتين

مثال 4

ابحث عن نقطة على محور Oy على نفس المسافة من النقطتين A (6 ؛ 12) و B (-8 ؛ 10).

المحلول.

دع إحداثيات النقطة التي تتطلبها حالة المشكلة ، الواقعة على محور Oy ، تكون O 1 (0 ؛ ب) (عند النقطة الواقعة على محور Oy ، فإن الإحداثي يساوي صفرًا). ويترتب على الشرط أن O 1 A \ u003d O 1 V.

وفقًا للصيغة d \ u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) نجد:

O 1 A \ u003d √ ((0-6) 2 + (b - 12) 2) \ u003d √ (36 + (b - 12) 2) ؛

O 1 V \ u003d √ ((أ + 8) 2 + (ب - 10) 2) \ u003d √ (64 + (ب - 10) 2).

لدينا المعادلة √ (36 + (ب - 12) 2) = √ (64 + (ب - 10) 2) أو 36 + (ب - 12) 2 = 64 + (ب - 10) 2.

بعد التبسيط ، نحصل على: ب - 4 = 0 ، ب = 4.

مطلوب حسب حالة نقطة المشكلة O 1 (0 ؛ 4) (الشكل 4).

5. حساب إحداثيات نقطة على نفس المسافة من محاور الإحداثيات وبعض النقاط المعطاة

مثال 5

ابحث عن النقطة M الموجودة على مستوى الإحداثيات على نفس المسافة من محاور الإحداثيات ومن النقطة A (-2 ؛ 1).

المحلول.

تقع النقطة المطلوبة M ، مثل النقطة A (-2 ؛ 1) ، في ركن الإحداثيات الثاني ، لأنها على مسافة متساوية من النقاط A و P 1 و P 2 (الشكل 5). مسافات النقطة M من محاور الإحداثيات هي نفسها ، لذلك ستكون إحداثياتها (-a ؛ أ) ، حيث أ> 0.

ويترتب على ظروف المشكلة أن MA = MP 1 = MP 2، MP 1 = a؛ MP 2 = | -a | ،

أولئك. | -a | = أ.

وفقًا للصيغة d \ u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) نجد:

MA \ u003d √ ((-a + 2) 2 + (أ - 1) 2).

لنصنع معادلة:

√ ((-a + 2) 2 + (أ - 1) 2) = أ.

بعد التربيع والتبسيط ، لدينا: أ 2 - 6 أ + 5 = 0. نحل المعادلة ، نجد 1 = 1 ؛ و 2 = 5.

نحصل على نقطتين M 1 (-1 ؛ 1) و M 2 (-5 ؛ 5) ، مما يرضي حالة المشكلة.

6. حساب إحداثيات نقطة على نفس المسافة المحددة من محور (إحداثيات) ومن هذه النقطة

مثال 6

أوجد نقطة M بحيث تكون المسافة من المحور y والنقطة A (8 ؛ 6) مساوية لـ 5.

المحلول.

ويترتب على حالة المشكلة أن MA = 5 وقيمة الإحداثي للنقطة M تساوي 5. دع إحداثي النقطة M يساوي b ، ثم M (5 ؛ ب) (الشكل 6).

وفقًا للصيغة d \ u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) لدينا:

MA \ u003d √ ((5-8) 2 + (ب - 6) 2).

لنصنع معادلة:

√ ((5 - 8) 2 + (ب - 6) 2) = 5. وبتبسيطها نحصل على: ب 2 - 12 ب + 20 = 0. جذور هذه المعادلة هي ب 1 = 2 ؛ ب 2 \ u003d 10. لذلك ، هناك نقطتان تفيان بشرط المشكلة: م 1 (5 ؛ 2) وم 2 (5 ؛ 10).

من المعروف أن العديد من الطلاب ، عند حل المشكلات بأنفسهم ، يحتاجون إلى استشارات مستمرة حول التقنيات والأساليب لحلها. في كثير من الأحيان ، لا يستطيع الطالب إيجاد طريقة لحل مشكلة دون مساعدة المعلم. يمكن للطالب الحصول على النصائح اللازمة لحل المشكلات على موقعنا.

هل لديك اسئلة؟ ألست متأكدًا من كيفية إيجاد المسافة بين نقطتين على المستوى؟
للحصول على مساعدة مدرس - سجل.
الدرس الأول مجاني!

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.