Aritmeetiline progressioon nimeta numbrijada (jada liikmed)
Milles iga järgnev liige erineb eelmisest terastermini võrra, mida nimetatakse ka sammu või edenemise erinevus.
Seega, määrates progressiooni sammu ja selle esimese liikme, saate valemi abil leida selle mis tahes elemendi
Aritmeetilise progressiooni omadused
1) Iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest numbrist, on progressiooni eelmise ja järgmise liikme aritmeetiline keskmine
Ka vastupidine on tõsi. Kui progressiooni paaritute (paaris) liikmete aritmeetiline keskmine on võrdne nende vahel asuva liikmega, siis on see arvujada aritmeetiline progressioon. Selle väite kohaselt on mis tahes järjestust väga lihtne kontrollida.
Ka aritmeetilise progressiooni omaduse järgi saab ülaltoodud valemi üldistada järgmiseks
Seda on lihtne kontrollida, kui kirjutame terminid võrdusmärgist paremale
Praktikas kasutatakse seda sageli ülesannete arvutuste lihtsustamiseks.
2) Aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa arvutatakse valemiga
Pidage hästi meeles aritmeetilise progressiooni summa valem, see on arvutustes asendamatu ja lihtsates elusituatsioonides üsna tavaline.
3) Kui teil on vaja leida mitte kogu summa, vaid osa jadast, mis algab selle k-ndast liikmest, on teile kasulik järgmine summa valem
4) Praktilist huvi pakub leida k-ndast arvust algava aritmeetilise progressiooni n liikme summa. Selleks kasutage valemit
Sellel teoreetiline materjal lõpeb ja liigume edasi levinud praktiliste probleemide lahendamise juurde.
Näide 1. Leidke aritmeetilise progressiooni neljakümnes liige 4;7;...
Lahendus:
Vastavalt seisukorrale on meil
Määratlege edenemise samm
Tuntud valemi järgi leiame progressiooni neljakümnenda liikme
Näide2. Aritmeetilise progressiooni annavad selle kolmas ja seitsmes liige. Leidke progressiooni esimene liige ja kümne summa.
Lahendus:
Kirjutame etteantud progressiooni elemendid valemite järgi
Me lahutame esimese võrrandi teisest võrrandist, mille tulemusena leiame progresseerumisastme
Leitud väärtus asendatakse aritmeetilise progressiooni esimese liikme leidmiseks mis tahes võrrandiga
Arvutage progressiooni esimese kümne liikme summa
Keerulisi arvutusi rakendamata leidsime kõik vajalikud väärtused.
Näide 3. Aritmeetiline progressioon on antud nimetaja ja ühe selle liikmega. Leidke progressiooni esimene liige, selle 50 liikme summa alates 50-st ja esimese 100 summa.
Lahendus:
Kirjutame progressiooni sajanda elemendi valemi
ja leia esimene
Esimese põhjal leiame progressiooni 50. liikme
Progressiooni osa summa leidmine
ja esimese 100 summa
Progressi summa on 250.
Näide 4
Leidke aritmeetilise progressiooni liikmete arv, kui:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Lahendus:
Kirjutame võrrandid esimese liikme ja progressiooniastme järgi ning defineerime need
Asendame saadud väärtused summa valemiga, et määrata summas olevate liikmete arv
Lihtsustuste tegemine
ja lahendage ruutvõrrand
Kahest leitud väärtusest sobib probleemi olukorra jaoks ainult number 8. Seega on progressiooni esimese kaheksa liikme summa 111.
Näide 5
lahendage võrrand
1+3+5+...+x=307.
Lahendus: see võrrand on aritmeetilise progressiooni summa. Kirjutame välja selle esimese liikme ja leiame progressiooni erinevuse
Mis on valemi olemus?
See valem võimaldab teil leida ükskõik milline TEMA NUMBRI JÄRGI" n" .
Loomulikult peate teadma esimest terminit a 1 ja progresseerumise erinevus d, ilma nende parameetriteta ei saa te konkreetset edenemist üles kirjutada.
Selle valemi meeldejätmisest (või petmisest) ei piisa. On vaja omastada selle olemust ja rakendada valemit erinevates probleemides. Jah, ja ärge unustage õigel ajal, jah ...) Kuidas mitte unustada- Ma ei tea. Aga kuidas meeles pidada Vajadusel annan vihje. Neile, kes saavad õppetunni lõpuni.)
Niisiis, käsitleme aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valemit.
Mis on valem üldiselt – kujutame ette.) Mis on aritmeetiline progressioon, liikmearv, progressioonivahe – on eelmises õppetükis selgelt öeldud. Vaadake, kui te pole seda lugenud. Seal on kõik lihtne. Jääb üle välja mõelda, mida n-s tähtaeg.
progresseerumine sisse üldine vaade saab kirjutada numbrite jadana:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1- tähistab aritmeetilise progressiooni esimest liiget, a 3- kolmas liige a 4- neljas ja nii edasi. Kui meid huvitab viies ametiaeg, siis oletame, et me töötame sellega a 5, kui saja kahekümnendal - alates a 120.
Kuidas üldiselt määratleda ükskõik milline aritmeetilise progressiooni liige, s ükskõik milline number? Väga lihtne! Nagu nii:
a n
Seda see on aritmeetilise progressiooni n-s liige. n-tähe all on korraga peidetud kõik liikmete arvud: 1, 2, 3, 4 jne.
Ja mida selline rekord meile annab? Mõelge vaid, numbri asemel kirjutasid nad üles tähe ...
See tähistus annab meile võimsa tööriista aritmeetilise progressiooniga töötamiseks. Märke kasutamine a n, leiame kiiresti ükskõik milline liige ükskõik milline aritmeetiline progressioon. Ja hunnik ülesandeid, mida tuleb lahendada. Edasi näete.
Aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valemis:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- aritmeetilise progressiooni esimene liige;
n- liikme number.
Valem seob mis tahes edenemise peamised parameetrid: a n; a 1; d ja n. Nende parameetrite ümber keerlevad kõik mõistatused käigupealt.
N-nda termini valemit saab kasutada ka konkreetse progressi kirjutamiseks. Näiteks ülesandes võib öelda, et progressi annab tingimus:
a n = 5 + (n-1) 2.
Selline probleem võib isegi segadusse ajada ... Pole seeriat, pole vahet ... Kuid tingimust valemiga võrreldes on lihtne aru saada, et selles edenemises a 1 \u003d 5 ja d = 2.
Ja see võib olla veelgi vihasem!) Kui võtame sama tingimuse: a n = 5 + (n-1) 2, jah, avage sulud ja andke sarnased? Saame uue valemi:
an = 3 + 2n.
seda Ainult mitte üldiseks, vaid konkreetseks progressiks. Siin peitubki lõks. Mõned inimesed arvavad, et esimene termin on kolm. Kuigi tegelikkuses on esimene liige viis ... Natuke madalamal töötame sellise modifitseeritud valemiga.
Edasiliikumise ülesannetes on veel üks märge - a n+1. Arvasite ära, et see on edenemise "n pluss esimene" liige. Selle tähendus on lihtne ja kahjutu.) See on progressiooni liige, mille arv on arvust n ühe võrra suurem. Näiteks kui mõnes probleemis me võtame a n siis viies ametiaeg a n+1 saab kuuendaks liikmeks. Jne.
Enamasti tähistus a n+1 esineb rekursiivsetes valemites. Ärge kartke seda kohutavat sõna!) See on lihtsalt viis aritmeetilise progressiooni termini väljendamiseks eelmise kaudu. Oletame, et meile antakse sellisel kujul aritmeetiline progressioon, kasutades korduvat valemit:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11
Neljas – läbi kolmanda, viies – läbi neljanda jne. Ja kuidas kohe lugeda, öelge kahekümnes tähtaeg, a 20? Aga mitte mingil juhul!) Kuigi 19. tähtaeg pole teada, ei saa 20. tähtaega kokku lugeda. Selles on põhimõtteline erinevus korduv valem n-nda liikme valemist. Rekursiivne töötab ainult läbi eelmine termin ja n-nda liikme valem - läbi esimene ja lubab kohe leida mõni liige tema numbri järgi. Ei arvestata tervet numbrite rida järjekorras.
Aritmeetilises progressioonis saab rekursiivse valemi kergesti muuta tavaliseks. Loendage järjestikuste terminite paar, arvutage erinevus d, leida vajadusel esimene termin a 1, kirjutage valem sisse tavaline vorm ja temaga koos töötama. GIA-s leidub selliseid ülesandeid sageli.
Aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valemi rakendamine.
Kõigepealt vaatame valemi otsest rakendamist. Eelmise tunni lõpus tekkis probleem:
Antud aritmeetiline progressioon (a n). Leidke 121, kui a 1 = 3 ja d = 1/6.
Seda ülesannet saab lahendada ilma valemiteta, lihtsalt aritmeetilise progressiooni tähenduse põhjal. Lisa, jah lisa... Tund või kaks.)
Ja valemi järgi võtab lahendus vähem kui minuti. Saate seda ajastada.) Meie otsustame.
Tingimustes on kõik andmed valemi kasutamiseks: a 1 \u003d 3, d = 1/6. Jääb näha, mis n. Pole probleemi! Me peame leidma a 121. Siin me kirjutame:
Palun pane tähele! Indeksi asemel n ilmus konkreetne arv: 121. Mis on üsna loogiline.) Meid huvitab aritmeetilise progressiooni liige number sada kakskümmend üks. See saab olema meie n. See on see tähendus n= 121 asendame sulgudes oleva valemiga. Asendage valemis kõik numbrid ja arvutage:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3 + 20 = 23
See on kõik. Sama kiiresti võis leida viiesaja kümnenda liikme ja tuhande kolmanda liikme. Panime selle asemele n soovitud number tähe indeksis " a" ja sulgudes ning me kaalume.
Lubage mul teile meelde tuletada olemust: see valem võimaldab teil leida ükskõik milline aritmeetilise progressiooni termin TEMA NUMBRI JÄRGI" n" .
Lahendame probleemi targemalt. Oletame, et meil on järgmine probleem:
Leidke aritmeetilise progressiooni esimene liige (a n), kui a 17 =-2; d = -0,5.
Kui teil on raskusi, soovitan esimest sammu. Pane kirja aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valem! Jah Jah. Kirjutage käsitsi otse oma märkmikusse:
| a n = a 1 + (n-1)d |
Ja nüüd, vaadates valemi tähti, saame aru, millised andmed meil on ja mis puuduvad? Saadaval d = -0,5, on seitsmeteistkümnes liige ... Kõik? Kui arvate, et see on kõik, siis ei saa te probleemi lahendada, jah ...
Meil on ka number n! Seisundis a 17 =-2 peidetud kaks võimalust. See on nii seitsmeteistkümnenda liikme väärtus (-2) kui ka selle arv (17). Need. n = 17. See "pisiasi" libiseb sageli peast mööda ja ilma selleta (ilma "pisikese asjata", mitte peata!) probleemi ei saa lahendada. Kuigi ... ja ka ilma peata.)
Nüüd saame lihtsalt rumalalt oma andmed valemiga asendada:
a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
Oh jah, a 17 me teame, et see on -2. Olgu, paneme selle sisse:
-2 = 1 + (17-1) (-0,5)
See on sisuliselt kõik. Jääb üle väljendada valemist aritmeetilise progressiooni esimene liige ja arvutada. Saate vastuse: a 1 = 6.
Selline tehnika – valemi kirjutamine ja lihtsalt teadaolevate andmete asendamine – aitab palju lihtsate ülesannete puhul. Noh, muutujat peab muidugi oskama valemist väljendada, aga mis teha!? Ilma selle oskuseta ei saa matemaatikat üldse õppida ...
Teine populaarne probleem:
Leia aritmeetilise progressiooni erinevus (a n), kui a 1 =2; a 15 = 12.
Mida me teeme? Sa oled üllatunud, me kirjutame valemi!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Mõelge sellele, mida me teame: a 1 = 2; a 15 = 12; ja (eriline esiletõst!) n = 15. Asendage julgelt valemis:
12=2 + (15-1)d
Teeme aritmeetika.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
See on õige vastus.
Niisiis, ülesanded a n, a 1 ja d otsustanud. Jääb üle õppida, kuidas numbrit leida:
Arv 99 on aritmeetilise progressiooni liige (a n), kus a 1 =12; d=3. Leidke selle liikme number.
Asendame teadaolevad kogused n-nda liikme valemiga:
a n = 12 + (n-1) 3
Esmapilgul on siin kaks tundmatut kogust: a n ja n. Aga a n on mingi arvuga progressiooni liige n... Ja see progressiooni liige, mida me teame! See on 99. Me ei tea tema numbrit. n, nii et see number tuleb ka üles leida. Asendage progressiooniliige 99 valemiga:
99 = 12 + (n-1) 3
Väljendame valemist n, arvame. Saame vastuse: n = 30.
Ja nüüd probleem samal teemal, kuid loomingulisem):
Määrake, kas arv 117 on aritmeetilise progressiooni liige (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Kirjutame valemi uuesti. Mis, valikuvõimalusi pole? Hm... Miks me vajame silmi?) Kas me näeme progressi esimest liiget? Me näeme. See on -3,6. Võite julgelt kirjutada: a 1 \u003d -3,6. Erinevus d saab määrata seeriast? See on lihtne, kui teate, mis vahe on aritmeetilisel progressioonil:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Jah, me tegime kõige lihtsamat asja. Jääb üle tegeleda tundmatu numbriga n ja arusaamatu arv 117. Eelmises ülesandes oli vähemalt teada, et see oli progressiooni täht. Aga siin me isegi ei tea, et ... Kuidas olla!? Noh, kuidas olla, kuidas olla... Lülitage sisse Loomingulised oskused!)
Meie oletada et 117 on lõppude lõpuks meie progressi liige. Tundmatu numbriga n. Ja nagu eelmises ülesandes, proovime seda numbrit leida. Need. kirjutame valemi (jah-jah!)) ja asendame oma numbrid:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Jällegi väljendame valemistn, loeme ja saame:
Oih! Number selgus murdosa! Sada üks ja pool. Ja murdarvud progressioonides ei saa olla. Millise järelduse me teeme? Jah! Number 117 ei ole meie progressi liige. See on kuskil 101. ja 102. liikme vahel. Kui number osutus loomulikuks, s.t. positiivne täisarv, siis oleks arv leitud arvuga progressiooni liige. Ja meie puhul on vastus probleemile järgmine: ei.
Ülesandepõhine päris versioon GIA:
Aritmeetilise progressiooni annab tingimus:
a n \u003d -4 + 6,8n
Leidke progressiooni esimene ja kümnes liige.
Siin on edenemine seatud ebatavaliselt. Mingi valem ... Juhtub.) Kuid see valem (nagu ma eespool kirjutasin) - ka aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valem! Ta lubab ka leidke progressiooni mõni liige selle numbri järgi.
Otsime esimest liiget. See, kes mõtleb. et esimene liige on miinus neli, on saatuslikult ekslik!) Kuna ülesande valemit on muudetud. Aritmeetilise progressiooni esimene liige selles peidetud. Ei midagi, me leiame selle kohe.)
Nii nagu eelmistes ülesannetes, asendame n = 1 sisse see valem:
a 1 \u003d -4 + 6,8 1 = 2,8
Siin! Esimene liige on 2,8, mitte -4!
Samamoodi otsime kümnendat terminit:
a 10 \u003d -4 + 6,8 10 = 64
See on kõik.
Ja nüüd neile, kes on neid ridu lugenud, lubatud boonus.)
Oletame, et keerulises lahinguolukorras unustasite GIA või ühtse riigieksami kasulik valem aritmeetilise progressiooni n-s liige. Midagi tuleb meelde, aga kuidagi ebakindlalt... Kas n seal või n+1 või n-1... Kuidas olla!?
Rahune! Seda valemit on lihtne tuletada. Mitte väga range, kuid et olla kindel ja õige otsus sellest piisab!) Kokkuvõtteks piisab, kui meeles pidada aritmeetilise progressiooni elementaarset tähendust ja varuda paar minutit aega. Peate lihtsalt pildi joonistama. Selguse huvides.
Joonistame numbritelje ja märgime sellele esimese. teine, kolmas jne. liikmed. Ja pange tähele erinevust d liikmete vahel. Nagu nii:
Vaatame pilti ja mõtleme: millega võrdub teine liige? Teiseks üks d:
a 2 =a 1 + 1 d
Mis on kolmas termin? Kolmandaks tähtaeg võrdub esimese terminiga pluss kaks d.
a 3 =a 1 + 2 d
Kas saad aru? Ma ei tõsta asjata mõnda sõna esile paksus kirjas. Olgu, veel üks samm.)
Mis on neljas termin? Neljandaks tähtaeg võrdub esimese terminiga pluss kolm d.
a 4 =a 1 + 3 d
On aeg mõista, et lünkade arv, s.o. d, alati ühe võrra vähem kui otsitava liikme arv n. St kuni numbrini n, tühimike arv saab n-1. Niisiis, valem on (pole valikuid!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Üldiselt on visuaalsetest piltidest palju abi paljude matemaatikaülesannete lahendamisel. Ärge jätke pilte tähelepanuta. Kui aga pilti on raske joonistada, siis ... ainult valem!) Lisaks võimaldab n-nda liikme valem ühendada lahendusega kogu võimsa matemaatika arsenali - võrrandid, võrratused, süsteemid jne. Sa ei saa võrrandisse pilti panna...
Ülesanded iseseisvaks otsustamiseks.
Soojenduseks:
1. Aritmeetilises progressioonis (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5,1. Leia 3.
Vihje: pildi järgi on probleem lahendatud 20 sekundiga ... Valemi järgi selgub keerulisem. Kuid valemi valdamiseks on see kasulikum.) Paragrahvis 555 on see probleem lahendatud nii pildi kui ka valemi abil. Tunneta erinevust!)
Ja see pole enam soojendus.)
2. Aritmeetilises progressioonis (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Leidke 3 .
Mis, vastumeelsus pilti teha?) Ikka! See on valemis parem, jah ...
3. Aritmeetilise progressiooni annab tingimus:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Leidke selle progressiooni saja kahekümne viies liige.
Selles ülesandes antakse progresseerumine korduval viisil. Kuid kuni saja kahekümne viienda ametikohani lugedes... Igaüks ei suuda sellist vägitegu teha.) Aga n-nda liikme valem on igaühe võimuses!
4. Antud aritmeetiline progressioon (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Leidke progresseerumise väikseima positiivse liikme arv.
5. Leia ülesande 4 tingimuse järgi progressi väikseimate positiivsete ja suurimate negatiivsete liikmete summa.
6. Kasvava aritmeetilise progressiooni viienda ja kaheteistkümnenda liikme korrutis on -2,5 ning kolmanda ja üheteistkümnenda liikme summa on null. Leidke 14.
Pole just kõige lihtsam ülesanne, jah...) Siin meetod "sõrmedel" ei tööta. Peate kirjutama valemeid ja lahendama võrrandeid.
Vastused (segaduses):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Juhtus? See on tore!)
Kas kõik ei õnnestu? Tuleb ette. Muide, viimases ülesandes on üks peen punkt. Probleemi lugemisel on vaja olla tähelepanelik. Ja loogika.
Kõigi nende probleemide lahendust käsitletakse üksikasjalikult jaotises 555. Neljanda jaoks on fantaasia element, kuuenda jaoks peen hetk ja üldised lähenemisviisid mis tahes ülesannete lahendamiseks n-nda liikme valemil - kõik on maalitud. Ma soovitan.
Kui teile meeldib see sait...
Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)
Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine – huviga!)
saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.
Aritmeetilised ja geomeetrilised progressioonid
Teoreetiline teave
Teoreetiline teave
Aritmeetiline progressioon |
Geomeetriline progressioon |
|
Definitsioon |
Aritmeetiline progressioon a n kutsutakse jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelmise liikmega, mis on liidetud sama numbriga d (d- progresseerumise erinevus) |
geomeetriline progressioon b n kutsutakse nullist erineva arvu jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelmise liikmega, mis on korrutatud sama arvuga q (q- progresseerumise nimetaja) |
Korduv valem |
Igasuguse loomuliku jaoks n |
Igasuguse loomuliku jaoks n |
n-nda termini valem |
a n = a 1 + d (n - 1) |
b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| iseloomulik omadus |  |
|
| Esimese n liikme summa |  |
 |
Ülesannete näited koos kommentaaridega
1. harjutus
Aritmeetilises progressioonis ( a n) a 1 = -6, a 2
Vastavalt n-nda liikme valemile:
a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 p
Tingimuse järgi:
a 1= -6, nii a 22= -6 + 21p.
On vaja leida progressioonide erinevus:
d= a 2- a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Vastus: a 22 = -48.
2. ülesanne
Leidke geomeetrilise progressiooni viies liige: -3; 6;...
1. viis (kasutades n-liikmelist valemit)
Geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemi järgi:
b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Sest b 1 = -3,
2. viis (kasutades rekursiivset valemit)
Kuna progressiooni nimetaja on -2 (q = -2), siis:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Vastus: b 5 = -48.
3. ülesanne
Aritmeetilises progressioonis ( a n) a 74 = 34; a 76= 156. Leidke selle progressiooni seitsmekümne viies liige.
Aritmeetilise progressiooni korral on iseloomulikul omadusel vorm 
.
Seetõttu:
.
Asendage andmed valemis:
Vastus: 95.
4. ülesanne
Aritmeetilises progressioonis ( a n ) a n= 3n - 4. Leidke esimese seitsmeteistkümne liikme summa.
Aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa leidmiseks kasutatakse kahte valemit:
.
Kumb sees sel juhul mugavam kasutada?
Tingimuse järgi on algse progressiooni n-nda liikme valem teada ( a n) a n= 3n - 4. Leitakse kohe ja a 1, ja a 16 leidmata d . Seetõttu kasutame esimest valemit.
Vastus: 368.
5. ülesanne
Aritmeetilises progressioonis a n) a 1 = -6; a 2= -8. Leidke progressiooni kahekümne teine liige.
Vastavalt n-nda liikme valemile:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21 p.
Tingimusel, kui a 1= -6, siis a 22= -6 + 21p. On vaja leida progressioonide erinevus:
d= a 2- a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Vastus: a 22 = -48.
6. ülesanne
Registreeritakse mitu järjestikust geomeetrilise progressiooni liiget:
Leidke progressiooni liige, mida tähistatakse tähega x .
Lahendamisel kasutame n-nda liikme valemit b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 geomeetriliste progressioonide jaoks. Progressi esimene liige. Progressiooni q nimetaja leidmiseks tuleb võtta mõni neist progressiooniliikmetest ja jagada eelmisega. Meie näites saate võtta ja jagada. Saame, et q \u003d 3. n asemel asendame valemis 3, kuna on vaja leida antud geomeetrilise progressiooni kolmas liige.
Asendades leitud väärtused valemisse, saame:
.
Vastus:.
Ülesanne 7
Valige n-nda liikme valemiga antud aritmeetiliste progressioonide hulgast see, mille tingimus on täidetud a 27 > 9:
Kuna määratud tingimus peab olema täidetud progressiooni 27. liikme jaoks, asendame igas neljas progressioonis n asemel 27. 4. järgus saame:
.
Vastus: 4.
Ülesanne 8
Aritmeetilises progressioonis a 1= 3, d = -1,5. Täpsustage kõrgeim väärtus n , mille puhul ebavõrdsus a n > -6.
Matemaatikas nimetatakse jadaks mis tahes viisil organiseeritud arvude kogumit, mis järgneb üksteisele. Kõigist olemasolevatest arvujadadest eristatakse kahte huvitavat juhtumit: algebraline ja geomeetriline progressioon.
Mis on aritmeetiline progressioon?
Peab kohe ütlema, et algebralist progressiooni nimetatakse sageli aritmeetikaks, kuna selle omadusi uurib matemaatika haru - aritmeetika.
See progressioon on arvude jada, milles iga järgmine liige erineb eelmisest mingi konstantse arvu võrra. Seda nimetatakse algebralise progressiooni erinevuseks. Kindluse mõttes tähistame seda ladina tähega d.
Sellise jada näide võib olla järgmine: 3, 5, 7, 9, 11 ..., siin on näha, et number 5 rohkem numbrit 3 korda 2, 7 rohkem kui 5, samuti korda 2 jne. Nii et näidatud näites on d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.
Mis on aritmeetilised progressioonid?
Nende järjestatud arvujadade olemuse määrab suuresti arvu d märk. Algebralisi progressioone on järgmist tüüpi:
- suureneb, kui d on positiivne (d>0);
- konstantne, kui d = 0;
- väheneb, kui d on negatiivne (d<0).
Eelmises lõigus toodud näide näitab kasvavat arengut. Väheneva jada näide on järgmine numbrijada: 10, 5, 0, -5, -10, -15 ... Konstantne progressioon, nagu selle definitsioonist tuleneb, on identsete arvude kogum.
progressi n-s liige
Kuna vaadeldavas progressi iga järgnev arv erineb eelmisest konstandi d võrra, on selle n-ndat liiget lihtne määrata. Selleks peate teadma mitte ainult d, vaid ka 1 - progressiooni esimest liiget. Rekursiivset lähenemist kasutades saab n-nda liikme leidmiseks saada algebralise progressioonivalemi. See näeb välja selline: a n = a 1 + (n-1)*d. See valem on üsna lihtne ja saate sellest intuitiivsel tasandil aru.
Samuti pole selle kasutamine keeruline. Näiteks ülaltoodud progressioonis (d=2, a 1 =3) määratleme selle 35. liikme. Vastavalt valemile on see võrdne: a 35 = 3 + (35-1) * 2 = 71.
Summa valem
Kui antakse aritmeetiline progressioon, on selle esimese n liikme summa koos n-nda liikme väärtuse määramisega sageli esinev probleem. Algebralise progressiooni summa valem on kirjutatud järgmiselt: ∑ n 1 \u003d n * (a 1 + a n) / 2, siin näitab ikoon ∑ n 1, et 1. kuni n. liige on liidetud.
Ülaltoodud avaldise saab saada sama rekursiooni omadusi kasutades, kuid selle kehtivuse tõestamiseks on lihtsam viis. Paneme kirja selle summa esimesed 2 ja 2 viimast liiget, väljendades neid arvudes a 1 , a n ja d ning saame: a 1 , a 1 +d,...,a n -d, a n . Pange tähele, et kui lisate esimese liikme viimasele, on see täpselt võrdne teise ja eelviimase liikme summaga, see tähendab a 1 + a n. Sarnaselt saab näidata, et sama summa võib saada ka kolmanda ja eelviimase liikme liitmisel jne. Jadas oleva arvupaari korral saame n/2 summat, millest igaüks on võrdne a 1 +a n . See tähendab, et saame ülaltoodud valemi algebralise progressiooni jaoks summa jaoks: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.
Paarimata liikmete arvu n korral saadakse sarnane valem, kui järgida ülaltoodud arutluskäiku. Ärge unustage lisada järelejäänud terminit, mis on edenemise keskel.
Näitame ülaltoodud valemi kasutamist ülaltoodud lihtsa progressi näitel (3, 5, 7, 9, 11 ...). Näiteks peate määrama selle 15 esimese tingimuse summa. Esiteks määratleme 15 . Kasutades n-nda liikme valemit (vt eelmist lõiku), saame: a 15 \u003d a 1 + (n-1) * d \u003d 3 + (15-1) * 2 \u003d 31. Nüüd saate taotleda algebralise progressiooni summa valem: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.
Huvitav on tsiteerida huvitavat ajaloolist fakti. Aritmeetilise progressiooni summa valemi sai esmakordselt Karl Gauss (18. sajandi kuulus saksa matemaatik). Kui ta oli kõigest 10-aastane, seadis õpetaja ülesandeks leida arvude summa vahemikus 1 kuni 100. Väidetavalt lahendas väike Gauss selle ülesande mõne sekundiga, märkides, et numbripaaride liitmine algusest ja lõpust jada, saate alati 101 ja kuna selliseid summasid on 50, andis ta kiiresti vastuse: 50 * 101 = 5050.
Probleemilahenduse näide
Algebralise progressiooni teema lõpetuseks toome näite veel ühe kurioosse ülesande lahendamisest, kindlustades seeläbi arusaama käsitletavast teemast. Olgu antud mingi progressioon, mille erinevus d = -3 on teada, samuti selle 35. liige a 35 = -114. Vaja on leida progressiooni 7. liige a 7 .
Nagu ülesande tingimusest näha, on a 1 väärtus teadmata, mistõttu ei saa n-nda liikme valemit otse kasutada. Samuti on ebamugav rekursioonimeetod, mida on raske käsitsi realiseerida ning eksimise tõenäosus on suur. Toimime järgmiselt: kirjutame välja valemid a 7 ja a 35 jaoks, meil on: a 7 \u003d a 1 + 6 * d ja a 35 \u003d a 1 + 34 * d. Lahutage esimesest avaldisest teine avaldis, saame: a 7 - a 35 \u003d a 1 + 6 * d - a 1 - 34 * d. Kust see tuleneb: a 7 \u003d a 35–28 * d. Jääb üle asendada teadaolevad andmed probleemi olukorrast ja vastus üles kirjutada: a 7 \u003d -114 - 28 * (-3) \u003d -30.
Geomeetriline progressioon
Artikli teema täielikumaks paljastamiseks kirjeldame lühidalt teist tüüpi progressiooni - geomeetrilist. Matemaatikas mõistetakse seda nimetust kui arvujada, milles iga järgnev termin erineb eelmisest teatud teguri võrra. Seda tegurit tähistame tähega r. Seda nimetatakse vaadeldava progressiooni tüübi nimetajaks. Selle numbrijada näide oleks: 1, 5, 25, 125, ...
Nagu ülaltoodud definitsioonist näha, on algebraline ja geomeetriline progressioon oma idee poolest sarnased. Nende erinevus seisneb selles, et esimene muutub aeglasemalt kui teine.
Geomeetriline progressioon võib olla ka kasvav, konstantne ja kahanev. Selle tüüp sõltub nimetaja r väärtusest: kui r>1, siis on progresseerumine kasvav, kui r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.
Geomeetrilise progressiooni valemid
Nagu algebralise puhul, taandatakse geomeetrilise progressiooni valemid selle n-nda liikme määratlusele ja n liikme summale. Allpool on need väljendid:
- a n = a 1 * r (n-1) – see valem tuleneb geomeetrilise progressiooni definitsioonist.
- ∑ n 1 \u003d a 1 * (r n -1) / (r-1). Oluline on märkida, et kui r = 1, siis ülaltoodud valem annab määramatuse, mistõttu seda ei saa kasutada. Sel juhul on n liikme summa võrdne lihtkorrutisega a 1 *n.
Näiteks leiame jada 1, 5, 25, 125, ... ainult 10 liikme summa. Teades, et a 1 = 1 ja r = 5, saame: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1 )/4 = 2441406. Saadud väärtus on selge näide sellest, kui kiiresti geomeetriline progressioon kasvab.
Võib-olla on ajaloos esimene mainitud selle arengu kohta legend malelauaga, kui ühe sultani sõber, õpetanud teda malet mängima, küsis teenistuse eest vilja. Veelgi enam, tera kogus oleks pidanud olema järgmine: malelaua esimesse lahtrisse on vaja panna üks tera, teisele kaks korda rohkem kui esimesele, kolmandale 2 korda rohkem kui teisele ja nii edasi. Sultan nõustus selle palvega meelsasti, kuid ta ei teadnud, et peab sõna pidamiseks tühjendama kõik oma riigi prügikastid.
Laadimine...