Rektangelligning. Rektangel. Formler og egenskaber for et rektangel. Modsatte sider er lige store

Definition.

Rektangel Det er en firkant med to modstående sider lige store og alle fire vinkler ens.

Rektangler adskiller sig kun fra hinanden i forholdet mellem den lange side og den korte side, men alle fire er rigtige, det vil sige 90 grader hver.

Den lange side af et rektangel kaldes rektangel længde, og den korte rektangel bredde.

Siderne af et rektangel er også dets højder.


Grundlæggende egenskaber ved et rektangel

Et rektangel kan være et parallelogram, en firkant eller en rombe.

1. Modsatte sider af et rektangel har samme længde, det vil sige, at de er lige store:

AB=CD, BC=AD

2. Modsatte sider af rektanglet er parallelle:

3. Tilstødende sider af et rektangel er altid vinkelrette:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Alle fire hjørner af rektanglet er lige:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Summen af ​​vinklerne i et rektangel er 360 grader:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Diagonalerne i et rektangel har samme længde:

7. Summen af ​​kvadraterne af diagonalen af ​​et rektangel er lig med summen af ​​kvadraterne på siderne:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. Hver diagonal i et rektangel deler rektanglet i to identiske figurer, nemlig retvinklede trekanter.

9. Rektangelets diagonaler skærer hinanden og er delt i to i skæringspunktet:

AO=BO=CO=DO= d
2

10. Diagonalernes skæringspunkt kaldes rektanglets centrum og er også centrum for den omskrevne cirkel

11. Diagonalen af ​​et rektangel er diameteren af ​​den omskrevne cirkel

12. En cirkel kan altid beskrives omkring et rektangel, da summen af ​​modstående vinkler er 180 grader:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. En cirkel kan ikke indskrives i et rektangel, hvis længde ikke er lig med dens bredde, da summen af ​​modstående sider ikke er lig med hinanden (en cirkel kan kun indskrives i et særligt tilfælde af et rektangel - en firkant).


Sider af et rektangel

Definition.

Rektangel længde kalder længden af ​​det længere par af dets sider. Rektangel bredde benævn længden af ​​det kortere par af dets sider.

Formler til bestemmelse af længderne af siderne i et rektangel

1. Formlen for siden af ​​et rektangel (længden og bredden af ​​rektanglet) i form af diagonalen og den anden side:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. Formlen for siden af ​​et rektangel (længden og bredden af ​​rektanglet) i form af arealet og den anden side:

b = dcosβ
2

Rektangel diagonal

Definition.

Diagonalt rektangel Ethvert segment, der forbinder to hjørner af modsatte hjørner af et rektangel, kaldes.

Formler til bestemmelse af længden af ​​diagonalen af ​​et rektangel

1. Formlen for diagonalen af ​​et rektangel i form af to sider af rektanglet (via Pythagoras sætning):

d = √ a 2 + b 2

2. Formlen for diagonalen af ​​et rektangel i form af areal og enhver side:

4. Formlen for diagonalen af ​​et rektangel i form af radius af den omskrevne cirkel:

d=2R

5. Formlen for diagonalen af ​​et rektangel i form af diameteren af ​​den omskrevne cirkel:

d = D o

6. Formlen for diagonalen af ​​et rektangel i form af sinus af vinklen ved siden af ​​diagonalen og længden af ​​siden modsat denne vinkel:

8. Formlen for diagonalen af ​​et rektangel i form af sinus af en spids vinkel mellem diagonalerne og arealet af rektanglet

d = √2S: sinβ


Omkredsen af ​​et rektangel

Definition.

Omkredsen af ​​et rektangel er summen af ​​længderne af alle sider af rektanglet.

Formler til bestemmelse af længden af ​​omkredsen af ​​et rektangel

1. Formlen for omkredsen af ​​et rektangel i form af to sider af rektanglet:

P = 2a + 2b

P = 2(a+b)

2. Formlen for omkredsen af ​​et rektangel i form af areal og enhver side:

P=2S + 2a 2 = 2S + 2b 2
-enb

3. Formel for omkredsen af ​​et rektangel i form af diagonalen og enhver side:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Formlen for omkredsen af ​​et rektangel i form af radius af den omskrevne cirkel og enhver side:

P = 2(a + √4R 2 - en 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)

5. Formlen for omkredsen af ​​et rektangel i form af diameteren af ​​den omskrevne cirkel og enhver side:

P = 2(a + √D o 2 - en 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)


Rektangel område

Definition.

Rektangel område kaldes det rum, der er afgrænset af rektanglets sider, altså inden for rektanglets omkreds.

Formler til bestemmelse af arealet af et rektangel

1. Formlen for arealet af et rektangel i form af to sider:

S = a b

2. Formlen for arealet af et rektangel gennem omkredsen og enhver side:

5. Formlen for arealet af et rektangel i form af radius af den omskrevne cirkel og enhver side:

S = a √4R 2 - en 2= b √4R 2 - b 2

6. Formlen for arealet af et rektangel i form af diameteren af ​​den omskrevne cirkel og enhver side:

S \u003d a √ D o 2 - en 2= b √ D o 2 - b 2


Cirkel afgrænset omkring et rektangel

Definition.

En cirkel afgrænset omkring et rektangel En cirkel kaldes en cirkel, der går gennem fire hjørner af et rektangel, hvis centrum ligger i skæringspunktet mellem rektanglets diagonaler.

Formler til bestemmelse af radius af en cirkel omkranset omkring et rektangel

1. Formlen for radius af en cirkel omskrevet omkring et rektangel gennem to sider:

Generelt venstre rektangelformel på segmentet som følger (21) :

I denne formel x 0 =a, x n =b, da ethvert integral generelt ser sådan ud: (se formlen 18 ).

h kan beregnes ved hjælp af formlen 19 .

y 0 ,y 1 ,...,y n-1 x 0 , x 1 ,..., x n-1 (x jeg =x i-1 +h).

    Formel af rette rektangler.

Generelt ret rektangel formel på segmentet som følger (22) :

I denne formel x 0 =a, x n =b(se formel for venstre rektangler).

h kan beregnes ved hjælp af samme formel som i formlen for de venstre rektangler.

y 1 ,y 2 ,...,y n er værdierne af den tilsvarende funktion f(x) ved punkterne x 1 , x 2 ,..., x n (x jeg =x i-1 +h).

    Formel mellem rektangel.

Generelt mellem rektangelformel på segmentet som følger (23) :

Hvor x jeg =x i-1 +h.

I denne formel, som i de foregående, kræves h for at gange summen af ​​værdierne af funktionen f (x), men ikke kun ved at erstatte de tilsvarende værdier x 0 ,x 1 ,...,x n-1 ind i funktionen f(x), og tilføjelse til hver af disse værdier h/2(x 0 +h/2, x 1 +h/2,..., x n-1 +h/2) og derefter kun substituere dem i den givne funktion.

h kan beregnes ved hjælp af den samme formel som i formlen for venstre rektangler." [ 6 ]

I praksis implementeres disse metoder som følger:

    Mathcad ;

    Excel .

    Mathcad ;

    Excel .

For at beregne integralet ved hjælp af formlen for gennemsnitlige rektangler i Excel, skal du udføre følgende trin:

    Fortsæt med at arbejde i det samme dokument, som når du beregner integralet ved hjælp af formlerne for venstre og højre rektangler.

    Indtast teksten xi+h/2 i celle E6 og f(xi+h/2) i celle F6.

    Indtast formlen =B7+$B$4/2 i celle E7, kopier denne formel ved at trække til celleområdet E8:E16

    Indtast formlen =ROOT(E7^4-E7^3+8) i celle F7, kopier denne formel ved at trække til celleområdet F8:F16

    Indtast formlen =SUM(F7:F16) i celle F18.

    Indtast formlen =B4*F18 i celle F19.

    Indtast teksten af ​​gennemsnit i celle F20.

Som et resultat får vi følgende:

Svar: Værdien af ​​det givne integral er 13,40797.

Baseret på de opnåede resultater kan vi konkludere, at formlen for de midterste rektangler er den mest nøjagtige end formlerne for højre og venstre rektangler.

1. Monte Carlo metode

"Hovedidéen med Monte Carlo-metoden er at gentage tilfældige tests mange gange. Et karakteristisk træk ved Monte Carlo-metoden er brugen af ​​tilfældige tal (numeriske værdier af en eller anden tilfældig variabel). Sådanne tal kan opnås vha. generatorer af tilfældige tal. For eksempel har programmeringssproget Turbo Pascal standardfunktion tilfældig, hvis værdier er tilfældige tal ensartet fordelt på intervallet . Det betyder, at hvis du deler det angivne segment op i et vist antal lige store intervaller og beregner værdien af ​​den tilfældige funktion et stort antal gange, så vil der falde omtrent det samme antal tilfældige tal ind i hvert interval. I bassinprogrammeringssproget er en lignende sensor rnd-funktionen. I regneark MS Excel er funktionen RAND returnerer et ensartet fordelt tilfældigt tal større end eller lig med 0 og mindre end 1 (ændres ved genberegning)" [ 7 ].

For at beregne det, skal du bruge formlen () :

Hvor (i=1, 2, …, n) er tilfældige tal, der ligger i intervallet .

For at opnå sådanne tal baseret på en sekvens af tilfældige tal x i ensartet fordelt i intervallet , er det nok at udføre transformationen x i =a+(b-a)x i .

I praksis implementeres denne metode som følger:

For at beregne integralet ved Monte Carlo-metoden i Excel, skal du udføre følgende trin:

    Indtast teksten n= i celle B1.

    Indtast teksten a= i celle B2.

    Indtast teksten b= i celle B3.

Indtast tallet 10 i celle C1.

    Indtast tallet 0 i celle C2.

    Indtast tallet 3.2 i celle C3.

    Indtast I i celle A5, i B5 - xi, i C5 - f (xi).

    Celler A6:A15 fyldes med tallene 1,2,3, ..., 10 - da n=10.

    Indtast formlen =RAND()*3.2 i celle B6 (tal genereres i området fra 0 til 3.2), kopier denne formel ved at trække ind i celleområdet B7:B15.

    Indtast formlen =ROOT(B6^4-B6^3+8) i celle C6, kopier denne formel ved at trække den ind i celleområdet C7:C15.

    Indtast teksten "sum" i celle B16, "(b-a)/n" i B17 og "I=" i B18.

    Indtast formlen =SUM(C6:C15) i celle C16.

    Indtast formlen =(C3-C2)/C1 i celle C17.

    Indtast formlen =C16*C17 i celle C18.

Som et resultat får vi:

Svar: værdien af ​​det givne integral er 13,12416.

Et af de grundlæggende begreber i matematik er omkredsen af ​​et rektangel. Der er mange problemer om dette emne, hvis løsning ikke kan undvære perimeterformlen og færdighederne til at beregne den.

Basale koncepter

Et rektangel er en firkant, hvor alle vinkler er rette og modsatte sider er parvis lige store og parallelle. I vores liv er mange figurer i form af et rektangel, for eksempel overfladen af ​​et bord, en notesbog og så videre.

Overvej et eksempel: der skal placeres et hegn langs jordens grænser. For at finde ud af længden af ​​hver side, skal du måle dem.

Ris. 1. Landgrund i form af et rektangel.

Jordplottet har sider med en længde på 2 m, 4 m, 2 m, 4 m. Derfor skal du for at finde ud af den samlede længde af hegnet tilføje længderne af alle sider:

2+2+4+4= 2 2+4 2 =(2+4) 2 =12 m.

Det er denne værdi, der generelt kaldes perimeteren. For at finde omkredsen skal du tilføje alle siderne af figuren. Bogstavet P bruges til at angive omkredsen.

For at beregne omkredsen af ​​en rektangulær figur, behøver du ikke at opdele den i rektangler, du skal kun måle alle sider af denne figur med en lineal (målebånd) og finde deres sum.

Omkredsen af ​​et rektangel måles i mm, cm, m, km og så videre. Om nødvendigt konverteres dataene i opgaven til samme målesystem.

Omkredsen af ​​et rektangel måles i forskellige enheder: mm, cm, m, km og så videre. Om nødvendigt konverteres dataene i opgaven til ét målesystem.

Formel omkreds

Hvis vi tager højde for det faktum, at modsatte sider af et rektangel er ens, så kan vi udlede formlen for omkredsen af ​​et rektangel:

$P = (a+b) * 2$, hvor a, b er siderne af figuren.

Ris. 2. Rektangel, med modsatte sider markeret.

Der er en anden måde at finde omkredsen på. Hvis opgaven kun er givet den ene side og arealet af figuren, kan du bruge til at udtrykke den anden side gennem området. Så vil formlen se sådan ud:

$P = ((2S + 2a2)\over(a))$, hvor S er arealet af rektanglet.

Ris. 3. Rektangel med siderne a, b.

Dyrke motion : Beregn omkredsen af ​​et rektangel, hvis dets sider er 4 cm og 6 cm.

Løsning:

Vi bruger formlen $P = (a+b)*2$

$P = (4+6)*2=20 cm$

Således er omkredsen af ​​figuren $P = 20 cm$.

Da omkredsen er summen af ​​alle siderne af en figur, er halvperimeteren summen af ​​kun én længde og bredde. Multiplicer semi-perimeteren med 2 for at få omkredsen.

Areal og omkreds er de to grundlæggende begreber til måling af enhver figur. De bør ikke forveksles, selvom de er beslægtede. Hvis du øger eller formindsker området, vil dens omkreds følgelig stige eller falde.

Hvad har vi lært?

Vi har lært, hvordan man finder omkredsen af ​​et rektangel. Og stiftede også bekendtskab med formlen for dens beregning. Dette emne kan ikke kun stødes på, når man løser matematiske problemer, men også i det virkelige liv.

Emne quiz

Artiklens vurdering

Gennemsnitlig vurdering: 4.5. Samlede vurderinger modtaget: 365.

Rektangel er en firkant, hvor hvert hjørne er en ret vinkel.

Bevis

Egenskaben forklares ved handlingen af ​​træk 3 i parallelogrammet (dvs. \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. Modsatte sider er lige store.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. Modsatte sider er parallelle.

AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD

4. Tilstødende sider er vinkelrette på hinanden.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB

5. Diagonalerne i rektanglet er lige store.

AC=BD

Bevis

Ifølge ejendom 1 rektanglet er et parallelogram, hvilket betyder AB = CD.

Derfor er \trekant ABD = \trekant DCA langs to ben (AB = CD og AD - led).

Hvis begge tal - ABC og DCA er identiske, så er deres hypotenuser BD og AC også identiske.

Så AC = BD.

Kun et rektangel af alle figurer (kun fra parallelogrammer!) Har lige store diagonaler.

Lad os også bevise dette.

ABCD er et parallelogram \Højrepil AB = CD , AC = BD efter betingelse. \Højrepil \trekant ABD = \trekant DCA allerede på tre sider.

Det viser sig, at \vinkel A = \vinkel D (som hjørnerne af et parallelogram). Og \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Det udleder vi \angle A = \angle B = \angle C = \angle D. De er alle 90^(\circ) . Det samlede beløb er 360^(\circ) .

Bevist!

6. Diagonalens kvadrat er lig med summen af ​​kvadraterne på dens to tilstødende sider.

Denne egenskab er gyldig i kraft af Pythagoras sætning.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Diagonalen deler rektanglet i to ens retvinklede trekanter.

\trekant ABC = \trekant ACD, \enspace \trekant ABD = \trekant BCD

8. Diagonalernes skæringspunkt halverer dem.

AO=BO=CO=DO

9. Skæringspunktet for diagonalerne er midten af ​​rektanglet og den omskrevne cirkel.

10. Summen af ​​alle vinkler er 360 grader.

\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^(\circ)

11. Alle hjørner af rektanglet er rigtige.

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^(\circ)

12. Diameteren af ​​den omskrevne cirkel omkring rektanglet er lig med diagonalen af ​​rektanglet.

13. En cirkel kan altid beskrives omkring et rektangel.

Denne egenskab er gyldig på grund af det faktum, at summen af ​​de modstående hjørner af et rektangel er 180^(\circ)

\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)

14. Et rektangel kan indeholde en indskrevet cirkel og kun én, hvis den har samme sidelængde (det er en firkant).


Estimering af den resterende del af formlen: , eller .

Serviceopgave. Tjenesten er beregnet til online beregning af et bestemt integral ved hjælp af formlen for rektangler.

Instruktion. Indtast integranden f(x), klik på Løs. Den resulterende løsning gemmes i en Word-fil. Der oprettes også en løsningsskabelon i Excel. Nedenfor er en videoinstruktion.

Regler for funktionsindtastning

Eksempler
≡ x^2/(1+x)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3) Dette er den enkleste kvadraturformel til at beregne integralet, som bruger en værdi af funktionen
(1)
hvor ; h=x1-x0.
Formel (1) er den centrale formel for rektangler. Lad os beregne resten. Lad os udvide funktionen y=f(x) i punktet ε 0 til en Taylor-serie:
(2)
hvor ε1; x∈. Vi integrerer (2):
(3)

I det andet led er integranden ulige, og integrationsgrænserne er symmetriske i forhold til punktet ε 0 . Derfor er det andet integral lig nul. Af (3) følger således .
Da den anden faktor i integranden ikke ændrer fortegn, får vi ved middelværdisætningen , hvor . Efter integration får vi . (4)
Sammenligner vi med resten af ​​trapezformlen, ser vi, at fejlen i rektangelformlen er to gange mindre end fejlen i trapezformlen. Dette resultat er sandt, hvis vi i formlen for rektangler tager værdien af ​​funktionen i midtpunktet.
Vi får formlen for rektangler og resten af ​​led for intervallet. Lad gitteret x i =a+ih, i=0,1,...,n, h=x i+1 -x i være givet. Betragt gitteret ε i =ε 0 +ih, i=1,2,..,n, ε 0 =a-h/2. Derefter . (5)
Resterende sigt .
Geometrisk kan formlen for rektangler repræsenteres af følgende figur:

Hvis funktionen f (x) er givet i en tabel, bruges enten den venstre formel for rektangler (til et ensartet gitter)

eller formelen til højre for rektangler

.
Fejlen i disse formler estimeres gennem den første afledede. For intervallet er fejlen

; .
Efter integration får vi .

Eksempel. Beregn integralet for n=5:
a) ifølge trapezformlen;
b) ifølge formlen for rektangler;
c) ifølge Simpson-formlen;
d) ifølge Gauss-formlen;
e) ifølge Chebyshev-formlen.
Beregn fejlen.
Løsning. For 5 integrationsknuder vil gittertrinnet være 0,125.
Når vi løser, vil vi bruge tabellen over funktionsværdier. Her f(x)=1/x.

x f(x)
x00.5 y02
x10.625 y11.6
x20.750 y21.33
x30.875 y31.14
x41.0 y41
a) trapezformel:
I=h/2x;
I=(0,125/2)×= 0.696;
R= [-(b-a)/12]×h×y¢¢(x);
f¢¢(x)=2/(x3).
Den maksimale værdi af den anden afledede af funktionen på intervallet er 16: max (f¢¢(x)), xн=2/(0,5 3)=16, derfor
R=[-(1-0,5)/12]×0,125×16=- 0.0833;
b) formel for rektangler:
for den venstre formel I=h×(y0+y1+y2+y3);
I=0,125×(2+1,6+1,33+1,14)= 0.759;
R=[(b-a)/6]xh 2xy¢¢(x);
R=[(1-0,5)/6]×0,125 2×16= 0.02;
c) Simpsons formel:
I=(2h/6)x(y0+y4+4x(yl+y3)+2xy2);
I=(2×0,125)/6×(2+1+4×(1,6+1,14)+2×1,33)= 0.693;
R=[-(b-a)/180]xh 4xy (4) (x);
f(4)(x)=24/(x5)=768;
R=[-(1-0,5)/180]×(0,125) 4×768 = - 5.2 e-4;
d) Gauss formel:
I=(b-a)/2x;
xi =(b+a)/2+ti(b-a)/2
(A i, t i - tabelværdier).
t (n=5)A (n=5)
x10.9765 y11.02 t10.90617985 A 10.23692688
x20.8846 y21.13 t20.53846931 A20.47862868
x30.75 y31.33 t30 A 30.56888889
x40.61 y41.625 t4-0.53846931 A40.47862868
x50.52 y51.91 t5-0.90617985 A50.23692688
I=(1-0,5)/2×(0,2416+0,5408+0,7566+0,7777+0,4525)= 0.6923;
e) Chebyshev formel:
I=[(b-a)/n] ×S f(x i), i=1..n,
x i =(b+a)/2+[ t i (b-a)]/2 - nødvendig reduktion af integrationsintervallet til intervallet [-1;1].
For n=5
t10.832498
t20.374541
t30
t4-0.374541
t5-0.832498
Lad os finde x-værdier og funktionsværdier på disse punkter:
x10,958 f(x1)1,043
x20,844 f(x2)1,185
x30,75 f(x3)1,333
x40,656 f(x4)1,524
x50,542 f(x5)1,845
Summen af ​​funktionsværdierne er 6,927.
I=(1-0,5)/5x6,927=0,6927.
Indlæser...
Top