في هذا الدرس ، يتم النظر بالتفصيل في الإجراء الخاص بتنفيذ العمليات الحسابية في التعبيرات بدون أقواس وبها أقواس. يُمنح الطلاب فرصة في سياق إكمال المهام لتحديد ما إذا كان معنى التعبيرات يعتمد على الترتيب الذي يتم تنفيذ العمليات الحسابية به ، لمعرفة ما إذا كان ترتيب العمليات الحسابية يختلف في التعبيرات بدون أقواس ومع أقواس ، لممارسة التطبيق القاعدة المستفادة ، لإيجاد وتصحيح الأخطاء التي حدثت في تحديد ترتيب الإجراءات.

في الحياة ، نؤدي باستمرار نوعًا من الإجراءات: نسير ، ندرس ، نقرأ ، نكتب ، نعد ، نبتسم ، نتشاجر ، ونصنع. نقوم بتنفيذ هذه الخطوات في ترتيب مختلف. في بعض الأحيان يمكن تبديلها ، وأحيانًا لا يمكن ذلك. على سبيل المثال ، عند الذهاب إلى المدرسة في الصباح ، يمكنك أولاً ممارسة التمارين ، ثم ترتيب السرير ، أو العكس. لكن لا يمكنك الذهاب إلى المدرسة أولاً ثم ارتداء الملابس.

وفي الرياضيات ، هل من الضروري إجراء العمليات الحسابية بترتيب معين؟

دعونا تحقق

دعنا نقارن التعبيرات:
8-3 + 4 و8-3 + 4

نرى أن كلا التعبيرين متطابقان تمامًا.

دعونا ننفذ الإجراءات في تعبير واحد من اليسار إلى اليمين ، وفي تعبير آخر من اليمين إلى اليسار. يمكن أن تشير الأرقام إلى الترتيب الذي يتم تنفيذ الإجراءات به (الشكل 1).

أرز. 1. الإجراء

في التعبير الأول ، سنجري أولاً عملية الطرح ، ثم نضيف الرقم 4 إلى النتيجة.

في التعبير الثاني ، نجد أولاً قيمة المجموع ، ثم نطرح النتيجة 7 من 8.

نرى أن قيم التعبيرات مختلفة.

لنستنتج: لا يمكن تغيير الترتيب الذي يتم تنفيذ العمليات الحسابية به..

دعنا نتعلم قاعدة إجراء العمليات الحسابية في التعبيرات بدون أقواس.

إذا كان التعبير بدون أقواس يتضمن الجمع والطرح فقط ، أو الضرب والقسمة فقط ، فسيتم تنفيذ الإجراءات بالترتيب الذي كُتبت به.

لنتمرن.

ضع في اعتبارك التعبير

هذا التعبير له عمليات الجمع والطرح فقط. تسمى هذه الإجراءات إجراءات الخطوة الأولى.

نقوم بتنفيذ الإجراءات من اليسار إلى اليمين بالترتيب (الشكل 2).

أرز. 2. الإجراء

تأمل التعبير الثاني

في هذا التعبير ، لا توجد سوى عمليات الضرب والقسمة - هذه هي إجراءات الخطوة الثانية.

نقوم بتنفيذ الإجراءات من اليسار إلى اليمين بالترتيب (الشكل 3).

أرز. 3. الإجراء

بأي ترتيب يتم تنفيذ العمليات الحسابية إذا كان التعبير لا يحتوي فقط على الجمع والطرح ، ولكن أيضًا على الضرب والقسمة؟

إذا كان التعبير بدون أقواس لا يشمل فقط الجمع والطرح ، ولكن أيضًا الضرب والقسمة ، أو كلتا العمليتين ، فقم أولاً بإجراء الضرب والقسمة بالترتيب (من اليسار إلى اليمين) ، ثم الجمع والطرح.

ضع في اعتبارك تعبيرًا.

نحن نفكر بهذا الشكل. يحتوي هذا التعبير على عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة. نحن نتصرف وفقًا للقاعدة. أولاً ، نقوم بالترتيب (من اليسار إلى اليمين) الضرب والقسمة ، ثم الجمع والطرح. دعونا نضع الإجراء.

دعونا نحسب قيمة التعبير.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

ما هو ترتيب العمليات الحسابية إذا احتوى التعبير على أقواس؟

إذا كان التعبير يحتوي على أقواس ، فسيتم حساب قيمة التعبيرات الموجودة بين الأقواس أولاً.

ضع في اعتبارك تعبيرًا.

30 + 6 * (13 - 9)

نرى أنه يوجد في هذا التعبير إجراء بين قوسين ، مما يعني أننا سنقوم بهذا الإجراء أولاً ، ثم بالترتيب ، الضرب والجمع. دعونا نضع الإجراء.

30 + 6 * (13 - 9)

دعونا نحسب قيمة التعبير.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

كيف ينبغي لأحد الأسباب أن يؤسس بشكل صحيح ترتيب العمليات الحسابية في التعبير العددي؟

قبل متابعة العمليات الحسابية ، من الضروري مراعاة التعبير (اكتشف ما إذا كان يحتوي على أقواس ، وما هي الإجراءات التي يتضمنها) وبعد ذلك فقط نفذ الإجراءات بالترتيب التالي:

1. الإجراءات المكتوبة بين قوسين.

2. الضرب والقسمة.

3. الجمع والطرح.

سيساعدك الرسم التخطيطي على تذكر ذلك. قاعدة بسيطة(الشكل 4).

أرز. 4. الإجراء

لنتمرن.

ضع في اعتبارك التعابير ، وحدد ترتيب العمليات وقم بإجراء الحسابات.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

دعنا نتبع القواعد. للتعبير 43 - (20-7) +15 عمليات بين قوسين وكذلك عمليات الجمع والطرح. دعونا نحدد مسار العمل. الخطوة الأولى هي تنفيذ الإجراء بين قوسين ، ثم بالترتيب من اليسار إلى اليمين ، الطرح والجمع.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

للتعبير 32 + 9 * (19-16) عمليات بين قوسين وكذلك عمليات الضرب والجمع. وفقًا للقاعدة ، نقوم أولاً بتنفيذ الإجراء بين قوسين ، ثم الضرب (يتم ضرب الرقم 9 بالنتيجة التي تم الحصول عليها عن طريق الطرح) والجمع.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

في التعبير 2 * 9-18: 3 لا توجد أقواس ، ولكن توجد عمليات الضرب والقسمة والطرح. نحن نتصرف وفقًا للقاعدة. أولاً ، نقوم بالضرب والقسمة من اليسار إلى اليمين ، ثم من النتيجة التي تم الحصول عليها عن طريق الضرب ، نطرح النتيجة التي تم الحصول عليها عن طريق القسمة. أي أن الإجراء الأول هو الضرب ، والثاني هو القسمة ، والثالث هو الطرح.

2*9-18:3=18-6=12

دعنا نكتشف ما إذا كان ترتيب الإجراءات في التعبيرات التالية محددًا بشكل صحيح.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

نحن نفكر بهذا الشكل.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

لا توجد أقواس في هذا التعبير ، مما يعني أننا نقوم أولاً بالضرب أو القسمة من اليسار إلى اليمين ، ثم الجمع أو الطرح. في هذا التعبير ، الإجراء الأول هو القسمة ، والثاني هو الضرب. يجب أن يكون الإجراء الثالث هو الجمع ، والرابع - الطرح. الخلاصة: تم تحديد ترتيب الإجراءات بشكل صحيح.

أوجد قيمة هذا التعبير.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

نستمر في الجدال.

يحتوي التعبير الثاني على أقواس ، مما يعني أننا نقوم أولاً بتنفيذ الإجراء بين قوسين ، ثم من اليسار إلى اليمين الضرب أو القسمة أو الجمع أو الطرح. نتحقق: الإجراء الأول بين قوسين ، والثاني هو القسمة ، والثالث هو الجمع. الخلاصة: تم تحديد ترتيب الإجراءات بشكل غير صحيح. صحح الأخطاء ، ابحث عن قيمة التعبير.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

يحتوي هذا التعبير أيضًا على أقواس ، مما يعني أننا نقوم أولاً بتنفيذ الإجراء بين قوسين ، ثم من اليسار إلى اليمين الضرب أو القسمة أو الجمع أو الطرح. نتحقق: الإجراء الأول بين قوسين ، والثاني هو الضرب ، والثالث هو الطرح. الخلاصة: تم تحديد ترتيب الإجراءات بشكل غير صحيح. صحح الأخطاء ، ابحث عن قيمة التعبير.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

لنكمل المهمة.

دعنا نرتب ترتيب الإجراءات في التعبير باستخدام القاعدة المدروسة (الشكل 5).

أرز. 5. الإجراء

لا نرى قيمًا عددية ، لذلك لن نتمكن من إيجاد معنى التعبيرات ، لكننا سنتدرب على تطبيق القاعدة التي تم تعلمها.

نحن نتصرف وفقًا للخوارزمية.

يحتوي التعبير الأول على أقواس ، لذا يكون الإجراء الأول بين قوسين. ثم من اليسار إلى اليمين الضرب والقسمة ، ثم من اليسار إلى اليمين الطرح والجمع.

يحتوي التعبير الثاني أيضًا على أقواس ، مما يعني أننا نقوم بتنفيذ الإجراء الأول بين قوسين. بعد ذلك ، من اليسار إلى اليمين ، الضرب والقسمة ، وبعد ذلك - الطرح.

دعونا نتحقق من أنفسنا (الشكل 6).

أرز. 6. الإجراء

اليوم في الدرس تعرفنا على قاعدة ترتيب تنفيذ الإجراءات في عبارات بدون أقواس ومع أقواس.

فهرس

1. م. مورو ، م. بانتوفا وآخرون الرياضيات: كتاب مدرسي. الصف 3: في جزأين ، الجزء 1. - م: "التنوير" ، 2012.
2. م. مورو ، م. بانتوفا وآخرون الرياضيات: كتاب مدرسي. الصف 3: في جزأين ، الجزء 2. - م: "التنوير" ، 2012.
3. م. مورو. دروس الرياضيات: القواعد الارشاديةللمعلم. الصف 3 - م: التعليم ، 2012.
4. وثيقة تنظيمية. مراقبة وتقييم نتائج التعلم. - م: التنوير 2011.
5. "مدرسة روسيا": برامج للمدارس الابتدائية. - م: التنوير 2011.
6. S.I. فولكوف. الرياضيات: اختبار العمل. الصف 3 - م: التعليم ، 2012.
7. في. رودنيتسكايا. الاختبارات. - م: "امتحان" 2012.

1. Festival.1september.ru ().
2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
3. Openclass.ru ().

واجب منزلي

1. تحديد ترتيب الإجراءات في هذه التعبيرات. أوجد معنى التعبيرات.

2. تحديد التعبير الذي يتم تنفيذ ترتيب الإجراءات هذا فيه:

1. الضرب. 2. الانقسام ؛. 3. إضافة ؛ 4. الطرح. 5. الإضافة. أوجد قيمة هذا التعبير.

3. قم بتكوين ثلاثة عبارات يتم من خلالها تنفيذ ترتيب الإجراءات التالي:

1. الضرب. 2. إضافة ؛ 3. الطرح

1. إضافة ؛ 2. الطرح. 3. الإضافة

1. الضرب. 2. الانقسام. 3. الإضافة

ابحث عن معنى هذه التعبيرات.

وعند حساب قيم التعبيرات ، يتم تنفيذ الإجراءات بترتيب معين ، بمعنى آخر ، يجب أن تراعي ترتيب الإجراءات.

في هذه المقالة ، سنكتشف الإجراءات التي يجب تنفيذها أولاً وأيها بعدها. لنبدأ بأبسط الحالات ، عندما يحتوي التعبير فقط على أرقام أو متغيرات مرتبطة بعلامة الجمع والطرح والضرب والقسمة. بعد ذلك ، سنشرح ترتيب تنفيذ الإجراءات الذي يجب اتباعه في التعبيرات ذات الأقواس. أخيرًا ، ضع في اعتبارك التسلسل الذي يتم فيه تنفيذ الإجراءات في التعبيرات التي تحتوي على قوى وجذور ووظائف أخرى.

التنقل في الصفحة.

أول عملية الضرب والقسمة ثم الجمع والطرح

توفر المدرسة ما يلي قاعدة تحدد الترتيب الذي يتم تنفيذ الإجراءات به في تعبيرات بدون أقواس:

• يتم تنفيذ الإجراءات بالترتيب من اليسار إلى اليمين ،
• حيث يتم الضرب والقسمة أولاً ثم الجمع والطرح.

يُنظر إلى القاعدة المنصوص عليها بشكل طبيعي. يتم تفسير تنفيذ الإجراءات بالترتيب من اليسار إلى اليمين من خلال حقيقة أنه من المعتاد بالنسبة لنا الاحتفاظ بالسجلات من اليسار إلى اليمين. وحقيقة أن الضرب والقسمة يتم إجراؤه قبل الجمع والطرح يفسر بالمعنى الذي تحمله هذه الإجراءات في حد ذاتها.

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة لتطبيق هذه القاعدة. على سبيل المثال ، سنأخذ الأبسط تعابير رقمية، حتى لا يتم تشتيت انتباهك بالحسابات ، ولكن للتركيز على الترتيب الذي يتم تنفيذ الإجراءات به.

مثال.

اتبع الخطوات 7−3 + 6.

المحلول.

لا يحتوي التعبير الأصلي على أقواس ، ولا يحتوي على عمليات الضرب والقسمة. لذلك ، يجب علينا تنفيذ جميع الإجراءات بالترتيب من اليسار إلى اليمين ، أي ، أولاً نطرح 3 من 7 ، نحصل على 4 ، وبعد ذلك نضيف 6 إلى الفرق الناتج 4 ، نحصل على 10.

باختصار ، يمكن كتابة الحل على النحو التالي: 7−3 + 6 = 4 + 6 = 10.

إجابه:

7−3+6=10 .

مثال.

حدد الترتيب الذي يتم تنفيذ الإجراءات به في التعبير 6: 2 · 8: 3.

المحلول.

للإجابة على سؤال المشكلة ، دعنا ننتقل إلى القاعدة التي تشير إلى الترتيب الذي يتم به تنفيذ الإجراءات في التعبيرات بدون أقواس. يحتوي التعبير الأصلي فقط على عمليات الضرب والقسمة ، ووفقًا للقاعدة ، يجب إجراؤها بالترتيب من اليسار إلى اليمين.

إجابه:

في البدايه 6 مقسومًا على 2 ، حاصل ضرب هذا الناتج في 8 ، أخيرًا ، يتم قسمة الناتج على 3.

مثال.

احسب قيمة التعبير 17−5 · 6: 3−2 + 4: 2.

المحلول.

أولاً ، دعنا نحدد في أي ترتيب يجب تنفيذ الإجراءات في التعبير الأصلي. ويشمل كلا من الضرب والقسمة والجمع والطرح. أولاً ، من اليسار إلى اليمين ، تحتاج إلى إجراء الضرب والقسمة. نضرب 5 في 6 ، نحصل على 30 ، نقسم هذا الرقم على 3 ، نحصل على 10. الآن نقسم 4 على 2 ، نحصل على 2. نعوض بالقيمة التي تم العثور عليها 10 بدلاً من 5 6: 3 في التعبير الأصلي ، والقيمة 2 بدلاً من 4: 2 ، لدينا 17−5 6: 3−2 + 4: 2 = 17−10−2 + 2.

لا يوجد عمليات الضرب والقسمة في التعبير الناتج ، لذلك يبقى تنفيذ الإجراءات المتبقية بالترتيب من اليسار إلى اليمين: 17−10−2 + 2 = 7−2 + 2 = 5 + 2 = 7.

إجابه:

17−5 6: 3−2 + 4: 2 = 7.

في البداية ، من أجل عدم الخلط بين ترتيب تنفيذ الإجراءات عند حساب قيمة التعبير ، من الملائم وضع الأرقام فوق علامات الإجراءات المقابلة لترتيب تنفيذها. بالنسبة للمثال السابق ، سيبدو كالتالي:.

يجب اتباع نفس ترتيب العمليات - الضرب والقسمة أولاً ، ثم الجمع والطرح - عند التعامل مع التعبيرات الحرفية.

الخطوتين 1 و 2

في بعض الكتب المدرسية عن الرياضيات ، هناك تقسيم للعمليات الحسابية إلى عمليات للخطوتين الأولى والثانية. دعونا نتعامل مع هذا.

تعريف.

إجراءات الخطوة الأولىيسمى الجمع والطرح ، ويطلق على الضرب والقسمة إجراءات الخطوة الثانية.

في هذه المصطلحات ، ستتم كتابة القاعدة من الفقرة السابقة ، والتي تحدد الترتيب الذي يتم تنفيذ الإجراءات به ، على النحو التالي: إذا كان التعبير لا يحتوي على أقواس ، ثم بالترتيب من اليسار إلى اليمين ، إجراءات المرحلة الثانية ( الضرب والقسمة) أولاً ، ثم إجراءات المرحلة الأولى (الجمع والطرح).

ترتيب تنفيذ العمليات الحسابية في التعبيرات ذات الأقواس

غالبًا ما تحتوي التعبيرات على أقواس للإشارة إلى الترتيب الذي سيتم تنفيذ الإجراءات به. في هذه الحالة قاعدة تحدد الترتيب الذي يتم به تنفيذ الإجراءات في التعبيرات ذات الأقواس، تتم صياغتها على النحو التالي: أولاً ، يتم تنفيذ الإجراءات بين قوسين ، بينما يتم أيضًا تنفيذ الضرب والقسمة بالترتيب من اليسار إلى اليمين ، ثم الجمع والطرح.

لذلك ، تعتبر التعبيرات الموجودة بين قوسين مكونات للتعبير الأصلي ، ويتم الاحتفاظ بترتيب الإجراءات المعروف لنا بالفعل فيها. ضع في اعتبارك حلول الأمثلة لمزيد من الوضوح.

مثال.

نفذ الخطوات الموضحة 5+ (7−2 3) (6−4): 2.

المحلول.

يحتوي التعبير على أقواس ، لذلك دعونا أولاً نجري العمليات في التعبيرات المضمنة بين هذه الأقواس. لنبدأ بالتعبير 7−2 3. في ذلك ، يجب عليك أولاً إجراء عملية الضرب ، وبعد ذلك فقط يكون لدينا 7−2 3 = 7−6 = 1. نمرر إلى التعبير الثاني بين قوسين 6−4. لا يوجد سوى إجراء واحد هنا - الطرح ، نقوم به 6−4 = 2.

نستبدل القيم التي تم الحصول عليها في التعبير الأصلي: 5+ (7−2 3) (6−4): 2 = 5 + 1 2: 2. في التعبير الناتج ، نقوم أولاً بالضرب والقسمة من اليسار إلى اليمين ، ثم الطرح ، نحصل على 5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6. في هذا الصدد ، تم الانتهاء من جميع الإجراءات ، والتزمنا بالترتيب التالي لتنفيذها: 5+ (7−2 3) (6−4): 2.

لنكتب حلًا قصيرًا: 5+ (7−2 3) (6−4): 2 = 5 + 1 2: 2 = 5 + 1 = 6.

إجابه:

5+ (7−2 3) (6−4): 2 = 6.

يحدث أن يحتوي التعبير على أقواس داخل أقواس. يجب ألا تخاف من ذلك ، فأنت تحتاج فقط إلى تطبيق القاعدة الصوتية باستمرار لتنفيذ الإجراءات في التعبيرات ذات الأقواس. دعنا نعرض مثالاً للحل.

مثال.

نفذ الإجراءات في التعبير 4+ (3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3)).

المحلول.

هذا تعبير ذو أقواس ، مما يعني أن تنفيذ الإجراءات يجب أن يبدأ بالتعبير الموجود بين قوسين ، أي 3 + 1 + 4 (2 + 3). يحتوي هذا التعبير أيضًا على أقواس ، لذلك يجب عليك أولاً تنفيذ الإجراءات فيها. لنفعل هذا: 2 + 3 = 5. بالتعويض عن القيمة التي تم العثور عليها ، نحصل على 3 + 1 + 4 5. في هذا التعبير ، نقوم أولاً بالضرب ، ثم الجمع ، لدينا 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. القيمة الأولية ، بعد استبدال هذه القيمة ، تأخذ الشكل 4 + 24 ، ويبقى فقط لإكمال الإجراءات: 4 + 24 = 28.

إجابه:

4+ (3 + 1 + 4 (2 + 3)) = 28.

بشكل عام ، عندما تكون الأقواس الموجودة بين الأقواس موجودة في تعبير ما ، فمن الملائم غالبًا البدء بالأقواس الداخلية والعمل في طريقك إلى الخارج.

على سبيل المثال ، لنفترض أننا بحاجة إلى إجراء عمليات في التعبير (4+ (4+ (4+ (4−6: 2)) - 1) −1. أولاً ، نقوم بتنفيذ الإجراءات بين قوسين داخليين ، حيث أن 4−6: 2 = 4−3 = 1 ، ثم بعد ذلك سيأخذ التعبير الأصلي الشكل (4+ (4 + 1) −1) −1. مرة أخرى ، نقوم بتنفيذ الإجراء في الأقواس الداخلية ، نظرًا لأن 4 + 1 = 5 ، ثم نصل إلى التعبير التالي (4 + 5−1) −1. مرة أخرى ، نقوم بتنفيذ الإجراءات بين قوسين: 4 + 5−1 = 8 ، بينما نصل إلى الفرق 8−1 ، وهو ما يساوي 7.

في هذا الفيديو ، سنحلل مجموعة كاملة من المعادلات الخطية التي تم حلها باستخدام نفس الخوارزمية - ولهذا السبب يطلق عليها الأبسط.

بادئ ذي بدء ، دعنا نحدد: ما هي المعادلة الخطية وأي منها يجب أن يسمى الأبسط؟

المعادلة الخطية هي المعادلة التي يوجد فيها متغير واحد فقط ، وفي الدرجة الأولى فقط.

أبسط معادلة تعني البناء:

آخر المعادلات الخطيةيتم تقليلها إلى أبسط استخدام الخوارزمية:

1. الأقواس المفتوحة ، إن وجدت ؛
2. انقل المصطلحات التي تحتوي على متغير إلى جانب واحد من علامة التساوي ، والمصطلحات التي لا تحتوي على متغير إلى الجانب الآخر ؛
3. أحضر الشروط المتشابهة إلى يسار ويمين علامة التساوي ؛
4. اقسم المعادلة الناتجة على معامل المتغير $ x $.

بالطبع ، هذه الخوارزمية لا تساعد دائمًا. الحقيقة هي أنه في بعض الأحيان ، بعد كل هذه المكائد ، يتضح أن معامل المتغير $ x $ يساوي صفرًا. في هذه الحالة ، هناك خياران ممكنان:

1. المعادلة ليس لها حلول على الإطلاق. على سبيل المثال ، عندما تحصل على شيء مثل $ 0 \ cdot x = 8 $ ، أي على اليسار صفر ، وعلى اليمين رقم غير صفري. في الفيديو أدناه ، سنلقي نظرة على عدة أسباب تجعل هذا الموقف ممكنًا.
2. الحل هو كل الأرقام. الحالة الوحيدة التي يكون فيها ذلك ممكنًا هي عندما يتم تقليل المعادلة إلى البناء $ 0 \ cdot x = 0 $. من المنطقي تمامًا أنه بغض النظر عن قيمة $ x $ التي نعوضها ، ستظل النتيجة "صفر يساوي صفرًا" ، أي المساواة العددية الصحيحة.

والآن دعونا نرى كيف يعمل كل شيء على مثال المشاكل الحقيقية.

أمثلة على حل المعادلات

اليوم نتعامل مع المعادلات الخطية ، وأبسطها فقط. بشكل عام ، المعادلة الخطية تعني أي مساواة تحتوي على متغير واحد بالضبط ، وتنتقل فقط إلى الدرجة الأولى.

يتم حل هذه الإنشاءات بنفس الطريقة تقريبًا:

1. بادئ ذي بدء ، تحتاج إلى فتح الأقواس ، إن وجدت (كما في مثالنا الأخير) ؛
2. ثم أحضر ما شابه
3. أخيرًا ، قم بعزل المتغير ، أي كل ما يرتبط بالمتغير - المصطلحات التي يحتوي عليها - ينتقل إلى جانب ، وكل ما يبقى بدونه ينتقل إلى الجانب الآخر.

بعد ذلك ، كقاعدة عامة ، تحتاج إلى إحضار متماثل في كل جانب من جوانب المساواة الناتجة ، وبعد ذلك يبقى فقط القسمة على المعامل عند "x" ، وسوف نحصل على الإجابة النهائية.

من الناحية النظرية ، يبدو هذا لطيفًا وبسيطًا ، ولكن من الناحية العملية ، يمكن حتى لطلاب المدارس الثانوية ذوي الخبرة ارتكاب أخطاء هجومية في معادلات خطية بسيطة إلى حد ما. عادة ، يتم ارتكاب الأخطاء إما عند فتح الأقواس ، أو عند حساب "الإيجابيات" و "السلبيات".

بالإضافة إلى ذلك ، يحدث أن المعادلة الخطية ليس لها حلول على الإطلاق ، أو أن الحل هو خط الأعداد بالكامل ، أي أي رقم. سنقوم بتحليل هذه التفاصيل الدقيقة في درس اليوم. لكننا سنبدأ ، كما فهمت بالفعل ، بأبسط المهام.

مخطط لحل المعادلات الخطية البسيطة

بادئ ذي بدء ، اسمحوا لي مرة أخرى أن أكتب المخطط بأكمله لحل أبسط المعادلات الخطية:

1. قم بتوسيع الأقواس ، إن وجدت.
2. المتغيرات المنعزلة ، أي يتم نقل كل ما يحتوي على "x" إلى جانب ، وبدون "x" - إلى الجانب الآخر.
3. نقدم شروط مماثلة.
4. نقسم كل شيء على المعامل عند "x".

بالطبع ، لا يعمل هذا المخطط دائمًا ، فهو يحتوي على بعض التفاصيل الدقيقة والحيل ، والآن سنتعرف عليهم.

حل أمثلة حقيقية لمعادلات خطية بسيطة

مهمة 1

في الخطوة الأولى ، نحن مطالبون بفتح الأقواس. لكنهم ليسوا في هذا المثال ، لذلك نتخطى هذه المرحلة. في الخطوة الثانية ، علينا عزل المتغيرات. يرجى ملاحظة ما يلي: نحن نتحدث فقط عن المصطلحات الفردية. دعنا نكتب:

نعطي مصطلحات متشابهة على اليسار واليمين ، ولكن تم القيام بذلك بالفعل هنا. لذلك ننتقل إلى الخطوة الرابعة: قسمة عامل:

\ [\ frac (6x) (6) = - \ frac (72) (6) \]

هنا حصلنا على الجواب.

المهمة رقم 2

في هذه المهمة ، يمكننا ملاحظة الأقواس ، لذلك دعونا نوسعها:

سواء على اليسار أو اليمين ، نرى نفس البناء تقريبًا ، لكن دعنا نتصرف وفقًا للخوارزمية ، أي متغيرات العزل:

فيما يلي بعض مثل:

في أي جذور يعمل هذا؟ الجواب: لأي. لذلك ، يمكننا كتابة أن $ x $ هو أي رقم.

المهمة رقم 3

المعادلة الخطية الثالثة هي بالفعل أكثر إثارة للاهتمام:

\ [\ يسار (6-x \ يمين) + \ يسار (12 + x \ يمين) - \ يسار (3-2x \ يمين) = 15 \]

يوجد عدد قليل من الأقواس هنا ، لكنها ليست مضروبة بأي شيء ، فهي تقف أمامها فقط علامات مختلفة. دعنا نقسمهم:

نقوم بالخطوة الثانية التي نعرفها بالفعل:

\ [- س + س + 2 س = 15-6-12 + 3 \]

دعنا نحسب:

نقوم بالخطوة الأخيرة - نقسم كل شيء على المعامل عند "x":

\ [\ frac (2x) (x) = \ frac (0) (2) \]

أشياء يجب تذكرها عند حل المعادلات الخطية

إذا تجاهلنا المهام البسيطة جدًا ، فأود أن أقول ما يلي:

• كما قلت أعلاه ، ليس لكل معادلة خطية حل - في بعض الأحيان ببساطة لا توجد جذور ؛
• حتى لو كانت هناك جذور ، فإن الصفر يمكن أن يدخل بينها - فلا حرج في ذلك.

الصفر هو نفس رقم البقية ، لا يجب أن تميزه بطريقة أو بأخرى أو تفترض أنه إذا حصلت على صفر ، فهذا يعني أنك فعلت شيئًا خاطئًا.

ميزة أخرى تتعلق بتوسيع الأقواس. يرجى ملاحظة: عندما يكون هناك "ناقص" أمامهم ، نقوم بإزالته ، ولكن بين قوسين نغير العلامات إلى عكس. وبعد ذلك يمكننا فتحه وفقًا للخوارزميات القياسية: سنحصل على ما رأيناه في الحسابات أعلاه.

فهم هذا حقيقة بسيطةسوف يمنعك من ارتكاب أخطاء غبية ومؤلمة في المدرسة الثانوية عندما يكون القيام بمثل هذه الأشياء أمرًا مفروغًا منه.

حل المعادلات الخطية المعقدة

دعنا ننتقل إلى معادلات أكثر تعقيدًا. الآن ستصبح الإنشاءات أكثر تعقيدًا وستظهر وظيفة تربيعية عند إجراء تحويلات مختلفة. ومع ذلك ، يجب ألا تخاف من هذا ، لأنه إذا قمنا ، وفقًا لقصد المؤلف ، بحل معادلة خطية ، فعندئذٍ في عملية التحويل ، سيتم بالضرورة تقليل جميع المونوميرات التي تحتوي على دالة تربيعية.

مثال 1

من الواضح أن الخطوة الأولى هي فتح الأقواس. لنفعل ذلك بحذر شديد:

لنأخذ الآن الخصوصية:

\ [- س + 6 ((س) ^ (2)) - 6 ((س) ^ (2)) + س = -12 \]

فيما يلي بعض مثل:

من الواضح أن هذه المعادلة ليس لها حلول ، لذلك نكتب في الإجابة على النحو التالي:

\[\تشكيلة \]

أو لا جذور.

المثال رقم 2

نقوم بنفس الخطوات. الخطوة الأولى:

لننقل كل شيء باستخدام متغير إلى اليسار ، وبدونه - إلى اليمين:

فيما يلي بعض مثل:

من الواضح أن هذه المعادلة الخطية ليس لها حل ، لذلك نكتبها على النحو التالي:

\ [\ varnothing \] ،

أو لا جذور.

الفروق الدقيقة في الحل

تم حل المعادلتين بالكامل. في مثال هذين التعبيرين ، تأكدنا مرة أخرى أنه حتى في أبسط المعادلات الخطية ، لا يمكن أن يكون كل شيء بهذه البساطة: يمكن أن يكون هناك واحد ، أو لا شيء ، أو عدد لا نهائي. في حالتنا هذه ، درسنا معادلتين ، في كلتا الحالتين ببساطة لا توجد جذور.

لكني أود أن ألفت انتباهك إلى حقيقة أخرى: كيفية التعامل مع الأقواس وكيفية فتحها إذا كانت أمامها علامة ناقص. ضع في اعتبارك هذا التعبير:

قبل الفتح ، تحتاج إلى ضرب كل شيء في "x". يرجى ملاحظة: الضرب كل مصطلح على حدة. يوجد في الداخل حدان - على التوالي ، حدين ومضروب.

وفقط بعد اكتمال هذه التحولات التي تبدو أولية ، ولكنها مهمة جدًا وخطيرة ، يمكن فتح القوس من وجهة نظر أن هناك علامة ناقص بعده. نعم ، نعم: الآن فقط ، عندما تتم التحولات ، نتذكر أن هناك علامة ناقص أمام الأقواس ، مما يعني أن كل شيء في الأسفل يغير العلامات فقط. في الوقت نفسه ، تختفي الأقواس نفسها ، والأهم من ذلك ، تختفي أيضًا علامة "ناقص" الأمامية.

نفعل الشيء نفسه مع المعادلة الثانية:

ليس من قبيل المصادفة أن أنتبه لهذه الحقائق الصغيرة التي تبدو غير مهمة. لأن حل المعادلات هو دائمًا سلسلة من التحولات الأولية ، حيث يؤدي عدم القدرة على أداء إجراءات بسيطة بوضوح وكفاءة إلى حقيقة أن طلاب المدارس الثانوية يأتون إلي ويتعلمون حل مثل هذه المعادلات البسيطة مرة أخرى.

بالطبع ، سيأتي اليوم الذي ستصقل فيه هذه المهارات إلى الأتمتة. لم تعد مضطرًا لإجراء العديد من التحولات في كل مرة ، بل ستكتب كل شيء في سطر واحد. لكن بينما تتعلم فقط ، تحتاج إلى كتابة كل إجراء على حدة.

حل المعادلات الخطية الأكثر تعقيدًا

ما سنحله الآن بالكاد يمكن أن يسمى أبسط مهمة ، لكن المعنى يظل كما هو.

مهمة 1

\ [\ يسار (7x + 1 \ يمين) \ يسار (3x-1 \ يمين) -21 ((x) ^ (2)) = 3 \]

لنضرب كل العناصر في الجزء الأول:

لنقم بالتراجع:

فيما يلي بعض مثل:

لنقم بالخطوة الأخيرة:

\ [\ frac (-4x) (4) = \ frac (4) (- 4) \]

ها هي إجابتنا النهائية. وعلى الرغم من حقيقة أنه في عملية الحل كان لدينا معاملات ذات دالة تربيعية ، إلا أنها تبادلت بشكل متبادل ، مما يجعل المعادلة خطية تمامًا وليست مربعة.

المهمة رقم 2

\ [\ يسار (1-4x \ يمين) \ يسار (1-3x \ يمين) = 6x \ يسار (2x-1 \ يمين) \]

لنقم بالخطوة الأولى بعناية: اضرب كل عنصر في القوس الأول في كل عنصر في الثاني. في المجموع ، يجب الحصول على أربعة شروط جديدة بعد التحولات:

والآن قم بإجراء الضرب بعناية في كل حد:

لننقل المصطلحات مع "x" إلى اليسار ، وبدون - إلى اليمين:

\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x = -1 \]

فيما يلي مصطلحات متشابهة:

لقد تلقينا إجابة نهائية.

الفروق الدقيقة في الحل

إن أهم ملاحظة حول هاتين المعادلتين هي: بمجرد أن نبدأ في ضرب الأقواس التي يوجد فيها أكثر من حد ، يتم ذلك وفقًا للقاعدة التالية: نأخذ المصطلح الأول من الأول ونضرب مع كل عنصر من الثاني ثم نأخذ العنصر الثاني من الأول ونضرب بالمثل مع كل عنصر من العنصر الثاني. نتيجة لذلك ، نحصل على أربعة حدود.

على المجموع الجبري

مع المثال الأخير ، أود أن أذكر الطلاب ما هو المجموع الجبري. في الرياضيات الكلاسيكية ، نعني بـ1-7 دولارات تصميم بسيط: اطرح سبعة من واحد. في الجبر ، نعني بهذا ما يلي: إلى الرقم "واحد" نضيف عددًا آخر ، وهو "ناقص سبعة". يختلف هذا المجموع الجبري عن المجموع الحسابي المعتاد.

بمجرد إجراء جميع التحويلات ، كل إضافة وضرب ، تبدأ في رؤية تراكيب مشابهة لتلك الموصوفة أعلاه ، لن تواجه أي مشاكل في الجبر عند العمل مع كثيرات الحدود والمعادلات.

في الختام ، دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة الأخرى التي ستكون أكثر تعقيدًا من تلك التي نظرنا إليها للتو ، ومن أجل حلها ، سيتعين علينا توسيع الخوارزمية القياسية لدينا بشكل طفيف.

حل المعادلات بكسر

لحل مثل هذه المهام ، يجب إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية الخاصة بنا. لكن أولاً ، سوف أذكر الخوارزمية الخاصة بنا:

1. فتح بين قوسين.
2. متغيرات منفصلة.
3. إحضار ما شابه ذلك.
4. قسّم على عامل.

للأسف ، هذه الخوارزمية الرائعة ، بكل كفاءتها ، ليست مناسبة تمامًا عندما يكون لدينا كسور أمامنا. وفي ما سنراه أدناه ، لدينا كسر في المعادلتين الأيسر والأيمن.

كيف تعمل في هذه الحالة؟ نعم ، الأمر بسيط للغاية! للقيام بذلك ، تحتاج إلى إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية ، والتي يمكن إجراؤها قبل الإجراء الأول وبعده ، أي التخلص من الكسور. وبالتالي ، ستكون الخوارزمية على النحو التالي:

1. تخلص من الكسور.
2. فتح بين قوسين.
3. متغيرات منفصلة.
4. إحضار ما شابه ذلك.
5. قسّم على عامل.

ماذا يعني "التخلص من الكسور"؟ ولماذا من الممكن القيام بذلك بعد الخطوة القياسية الأولى وقبلها؟ في الواقع ، في حالتنا جميع الكسور عددية من حيث المقام ، أي في كل مكان يكون المقام مجرد رقم. لذلك ، إذا ضربنا كلا طرفي المعادلة في هذا العدد ، فسنخلص من الكسور.

مثال 1

\ [\ frac (\ left (2x + 1 \ right) \ left (2x-3 \ right)) (4) = ((x) ^ (2)) - 1 \]

دعنا نتخلص من الكسور في هذه المعادلة:

\ [\ frac (\ left (2x + 1 \ right) \ left (2x-3 \ right) \ cdot 4) (4) = \ left (((x) ^ (2)) - 1 \ right) \ cdot 4 \]

يرجى ملاحظة: كل شيء مضروب في "أربعة" مرة واحدة ، أي فقط لأن لديك قوسين لا يعني أنه عليك ضرب كل منهما في "أربعة". دعنا نكتب:

\ [\ يسار (2x + 1 \ يمين) \ يسار (2x-3 \ يمين) = \ يسار (((x) ^ (2)) - 1 \ يمين) \ cdot 4 \]

لنفتحه الآن:

نقوم بعزل المتغير:

نقوم بتقليل المصطلحات المماثلة:

\ [- 4x = -1 \ يسار | : \ يسار (-4 \ يمين) \ يمين. \]

\ [\ frac (-4x) (- 4) = \ frac (-1) (- 4) \]

لقد تلقينا الحل النهائي ، ننتقل إلى المعادلة الثانية.

المثال رقم 2

\ [\ frac (\ left (1-x \ right) \ left (1 + 5x \ right)) (5) + ((x) ^ (2)) = 1 \]

هنا نقوم بنفس الإجراءات:

\ [\ frac (\ left (1-x \ right) \ left (1 + 5x \ right) \ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \ cdot 5 = 5 \]

\ [\ frac (4x) (4) = \ frac (4) (4) \]

تم حل المشكلة.

هذا ، في الواقع ، هو كل ما أردت أن أقوله اليوم.

النقاط الرئيسية

النتائج الرئيسية هي كما يلي:

• تعرف على الخوارزمية لحل المعادلات الخطية.
• القدرة على فتح الأقواس.
• لا تقلق إذا كان لديك وظائف تربيعية في مكان ما ، على الأرجح ، في عملية المزيد من التحولات ، سيتم تقليلها.
• تتكون جذور المعادلات الخطية ، حتى أبسطها ، من ثلاثة أنواع: جذر واحد ، خط الأعداد بالكامل جذر ، لا توجد جذور على الإطلاق.

آمل أن يساعدك هذا الدرس في إتقان موضوع بسيط ولكنه مهم جدًا لفهم الرياضيات بشكل أكبر. إذا كان هناك شيء غير واضح ، فانتقل إلى الموقع ، وحل الأمثلة المقدمة هناك. ترقبوا ، هناك العديد من الأشياء المثيرة للاهتمام في انتظاركم!

بالنسبة حلول المعادلات الخطيةاستخدم قاعدتين أساسيتين (خصائص).

خاصية # 1
أو
حكم النقل

عند النقل من جزء من المعادلة إلى جزء آخر ، يغير مصطلح المعادلة علامتها إلى العكس.

لنلقِ نظرة على قاعدة النقل بمثال. افترض أننا بحاجة إلى حل معادلة خطية.

تذكر أن أي معادلة لها جانب أيسر وجانب أيمن.

دعنا ننقل الرقم "3" من الجانب الأيسر للمعادلة إلى اليمين.

نظرًا لأن الرقم "3" يحتوي على علامة "+" على الجانب الأيسر من المعادلة ، فهذا يعني أنه سيتم نقل "3" إلى الجانب الأيمن من المعادلة بعلامة "-".

تسمى القيمة العددية الناتجة "س \ u003d 2" جذر المعادلة.

لا تنس كتابة الإجابة بعد حل أي معادلة.

لنفكر في معادلة أخرى.

وفقًا لقاعدة النقل ، سننقل "4x" من الجانب الأيسر للمعادلة إلى الجانب الأيمن ، مع تغيير الإشارة إلى العكس.

بالرغم من عدم وجود علامة قبل "4x" ، فإننا نتفهم أن هناك علامة "+" قبل "4x".

نعطي الآن المعادلات المتشابهة ونحل المعادلة حتى النهاية.

الخاصية # 2
أو
حكم الانقسام

في أي معادلة ، يمكنك قسمة الضلع الأيمن والأيسر على نفس العدد.

لكن لا يمكنك القسمة على المجهول!

لنلق نظرة على مثال عن كيفية استخدام قاعدة القسمة عند حل المعادلات الخطية.

الرقم "4" الذي يقف عند "x" يسمى المعامل العددي للمجهول.

بين المعامل العددي والمجهول هو دائمًا فعل الضرب.

لحل المعادلة ، من الضروري التأكد من وجود معامل "1" عند "x".

دعنا نسأل أنفسنا السؤال: "ماذا تريد أن تقسم" 4 "على
الحصول على "1" ؟. الجواب واضح ، عليك أن تقسم على "4".

استخدم قاعدة القسمة وقسم الجانبين الأيمن والأيسر للمعادلة على "4". لا تنس أنك بحاجة إلى تقسيم كلا الجزأين الأيمن والأيسر.

نستخدم اختزال الكسور ونحل المعادلة الخطية حتى النهاية.

كيفية حل معادلة إذا كانت قيمة "x" سالبة

غالبًا ما يكون هناك موقف في المعادلات عندما يكون هناك معامل سلبي عند "x". كما في المعادلة أدناه.

لحل مثل هذه المعادلة ، نسأل أنفسنا مرة أخرى السؤال: "ما الذي تحتاجه لتقسيم" -2 "للحصول على" 1 "؟" اقسم على "-2".

المعادلات الخطية. مستوى اول.

هل تريد اختبار قوتك ومعرفة نتيجة مدى استعدادك لامتحان الدولة الموحد أو OGE؟

1. المعادلة الخطية

هذه معادلة جبرية تتساوى فيها الدرجة الكلية لكثيرات الحدود المكونة لها.

2. معادلة خطية بمتغير واحديشبه:

أين وأية أرقام ؛

3. معادلة خطية بمتغيرينيشبه:

أين ، وأية أرقام.

4. تحولات الهوية

لتحديد ما إذا كانت المعادلة خطية أم لا ، من الضروري إجراء تحويلات متطابقة:

تحرك يسارًا / يمينًا مثل المصطلحات ، دون أن تنسى تغيير العلامة ؛

اضرب / اقسم طرفي المعادلة على نفس الرقم.

ما هي "المعادلات الخطية"

أو لفظيًا - تم إعطاء ثلاثة أصدقاء تفاح لكل منهم ، بناءً على حقيقة أن Vasya كان يحتوي على تفاح في المجموع.

والآن قررت معادلة خط مستقيم
الآن دعونا نعطي هذا المصطلح تعريفًا رياضيًا.

معادلة خط مستقيم – هي معادلة جبرية تكون الدرجة الكلية لكثيرات الحدود المكونة لها هي. تبدو هكذا:

أين وأين توجد أي أرقام و

بالنسبة لحالتنا مع Vasya and apples ، سنكتب:

- "إذا أعطى Vasya جميع أصدقائه الثلاثة نفس عدد التفاحات ، فلن يتبقى له أي تفاح"

المعادلات الخطية "المخفية" ، أو أهمية التحولات المتطابقة

على الرغم من حقيقة أن كل شيء للوهلة الأولى بسيط للغاية ، عند حل المعادلات ، يجب أن تكون حذرًا ، لأن المعادلات الخطية لا تسمى فقط معادلات النموذج ، ولكن أيضًا أي معادلات يتم اختزالها إلى هذا النموذج عن طريق عمليات التحويل والتبسيط. علي سبيل المثال:

نرى أنه على اليمين ، مما يشير ، من الناحية النظرية ، بالفعل إلى أن المعادلة ليست خطية. علاوة على ذلك ، إذا فتحنا الأقواس ، فسنحصل على حدين آخرين يكون فيهما ، لكن لا تقفز إلى الاستنتاجات! قبل الحكم على ما إذا كانت المعادلة خطية ، من الضروري إجراء جميع التحولات وبالتالي تبسيط المثال الأصلي. في هذه الحالة ، يمكن أن تغير التحولات المظهر ، ولكن ليس جوهر المعادلة.

بعبارة أخرى ، يجب أن تكون هذه التحولات تطابقأو ما يعادل. لا يوجد سوى تحولين من هذا القبيل ، لكنهما يلعبان دورًا مهمًا جدًا جدًا في حل المشكلات. دعونا نفكر في كلا التحولين على أمثلة ملموسة.

تحرك من اليسار إلى اليمين.

لنفترض أننا بحاجة إلى حل المعادلة التالية:

ايضا في مدرسة إبتدائيةقيل لنا: "مع X - إلى اليسار ، بدون X - إلى اليمين." ما هو التعبير مع x على اليمين؟ صحيح ، لا كيف لا. وهذا مهم ، لأنه إذا أسيء فهمه ، فسيبدو سؤال بسيطيعطي إجابة غير صحيحة. وما هو التعبير الذي يحتوي على x على اليسار؟ حق، .

الآن بعد أن تعاملنا مع هذا ، ننقل كل المصطلحات ذات المجهول إلى اليسار ، وكل ما هو معروف إلى اليمين ، مع تذكر أنه إذا لم يكن هناك علامة أمام الرقم ، على سبيل المثال ، فإن الرقم يكون موجبًا ، أي ، مسبوقة بعلامة "".

انتقل؟ على ماذا حصلت؟

كل ما تبقى القيام به هو جلب شروط مماثلة. نقدم:

لذلك ، قمنا بتحليل أول تحول مماثل بنجاح ، على الرغم من أنني متأكد من أنك تعرفه بالفعل واستخدمته بنشاط بدوني. الشيء الرئيسي - لا تنس علامات الأرقام وقم بتغييرها إلى العكس عند النقل من خلال علامة التساوي!

الضرب والقسمة.

لنبدأ على الفور بمثال

ننظر ونفكر: ما الذي لا نحبه في هذا المثال؟ المجهول موجود في جزء واحد ، والمعروف في جزء آخر ، لكن شيئًا ما يوقفنا ... وهذا شيء - أربعة ، لأنه إذا لم يكن موجودًا ، فسيكون كل شيء مثاليًا - x يساوي الرقم- فقط بالطريقة التي نريدها!

كيف يمكنك التخلص منه؟ لا يمكننا التحويل إلى اليمين ، لأننا نحتاج بعد ذلك إلى نقل المضاعف بأكمله (لا يمكننا أخذه وتمزيقه بعيدًا عنه) ، كما أن نقل المضاعف بأكمله لا معنى له ...

حان الوقت لتذكر الانقسام ، الذي سنقسم كل شيء فيما يتعلق به! الكل - هذا يعني كلا الجانبين الأيسر والأيمن. هكذا وفقط! ماذا نحصل؟

دعنا الآن نلقي نظرة على مثال آخر:

خمن ماذا تفعل في هذه الحالة؟ هذا صحيح ، اضرب الجانبين الأيمن والأيسر في! ما الجواب الذي حصلت عليه؟ حق. .

من المؤكد أنك تعرف بالفعل كل شيء عن التحولات المتطابقة. ضع في اعتبارك أننا قمنا للتو بتحديث هذه المعرفة في ذاكرتك وحان الوقت لشيء أكثر - على سبيل المثال ، لحل مثالنا الكبير:

كما قلنا سابقًا ، بالنظر إليها ، لا يمكنك القول أن هذه المعادلة خطية ، لكننا نحتاج إلى فتح الأقواس وإجراء تحويلات متطابقة. لذلك دعونا نبدأ!

بادئ ذي بدء ، نتذكر معادلات الضرب المختصر ، على وجه الخصوص ، مربع المجموع ومربع الفرق. إذا كنت لا تتذكر ما هي وكيف يتم فتح الأقواس ، فإنني أوصي بشدة بقراءة موضوع "صيغ الضرب المخفضة" ، حيث ستكون هذه المهارات مفيدة لك عند حل جميع الأمثلة الموجودة في الامتحان تقريبًا.
أظهرت؟ قارن:

حان الوقت الآن لوضع شروط متشابهة. هل تتذكر كيف نحن في نفس الشيء مدرسة إبتدائيةهل قالوا "لا نضع الذباب مع شرحات"؟ أنا هنا أذكرك بهذا. نضيف كل شيء بشكل منفصل - العوامل التي لها ، والعوامل التي لديها ، والعوامل الأخرى التي ليس لها مجاهيل. عند إحضار المصطلحات المتشابهة ، انقل كل المجهول إلى اليسار ، وكل ما هو معروف إلى اليمين. على ماذا حصلت؟

كما ترون ، اختفى x-square ، ونرى شيئًا عاديًا تمامًا معادلة خط مستقيم. يبقى فقط لتجد!

وأخيرًا ، سأقول واحدة أخرى شيء مهمحول التحولات المتطابقة - التحولات المتطابقة قابلة للتطبيق ليس فقط على المعادلات الخطية ، ولكن أيضًا للمربع ، والكسور المنطقية وغيرها. عليك فقط أن تتذكر أنه عند نقل العوامل من خلال علامة التساوي ، فإننا نغير الإشارة إلى العكس ، وعند القسمة أو الضرب في عدد ما ، نضرب / نقسم طرفي المعادلة على نفس الرقم.

ما الذي أخذته أيضًا من هذا المثال؟ بالنظر إلى المعادلة ، ليس من الممكن دائمًا تحديد ما إذا كانت خطية أم لا بشكل مباشر ودقيق. يجب عليك أولاً تبسيط التعبير تمامًا ، وبعد ذلك فقط الحكم على ماهيته.

المعادلات الخطية. أمثلة.

إليك بعض الأمثلة الأخرى التي يمكنك ممارستها بمفردك - حدد ما إذا كانت المعادلة خطية وإذا كان الأمر كذلك ، فابحث عن جذورها:

الإجابات:

1. هو.

2. ليس.

لنفتح الأقواس ونعطي مصطلحات متشابهة:

لنقم بتحويل مماثل - نقسم الجزأين الأيمن والأيسر إلى:

نرى أن المعادلة ليست خطية ، فلا داعي للبحث عن جذورها.

3. هو.

لنقم بتحويل مماثل - اضرب الجزأين الأيمن والأيسر في للتخلص من المقام.

فكر لماذا هو مهم جدا؟ إذا كنت تعرف إجابة هذا السؤال ، فإننا ننتقل إلى الحل الإضافي للمعادلة ، وإذا لم يكن الأمر كذلك ، فتأكد من النظر في موضوع "ODZ" حتى لا ترتكب أخطاء في المزيد أمثلة صعبة. بالمناسبة ، كما ترون ، حالة يكون فيها من المستحيل. لماذا ا؟
فلنقم بإعادة ترتيب المعادلة:

إذا تعاملت مع كل شيء دون صعوبة ، فلنتحدث عن المعادلات الخطية بمتغيرين.

معادلات خطية ذات متغيرين

الآن دعنا ننتقل إلى واحدة أكثر تعقيدًا قليلاً - المعادلات الخطية ذات المتغيرين.

المعادلات الخطيةمع متغيرين تبدو كما يلي:

أين ، وهل توجد أية أرقام و.

كما ترى ، الاختلاف الوحيد هو أنه تمت إضافة متغير آخر إلى المعادلة. وهكذا فإن كل شيء هو نفسه - لا يوجد س تربيع ، ولا قسمة على متغير ، إلخ. إلخ.

ما من شأنه أن يعطيك مثالا على الحياة. لنأخذ نفس فاسيا. افترض أنه قرر أنه سيمنح كل من أصدقائه الثلاثة نفس عدد التفاحات ، واحتفظ بالتفاح لنفسه. كم عدد التفاح الذي يحتاج فاسيا لشرائه إذا أعطى كل صديق تفاحة؟ ماذا عن؟ ماذا لو؟

سيتم التعبير عن اعتماد عدد التفاحات التي سيحصل عليها كل شخص على إجمالي عدد التفاح الذي يجب شراؤه بواسطة المعادلة:

• - عدد التفاحات التي سيحصل عليها الشخص (أو ، أو) ؛
• - عدد التفاحات التي سيأخذها فاسيا لنفسه ؛
• - كم عدد التفاح الذي يحتاج Vasya إلى شرائه ، مع مراعاة عدد التفاح لكل شخص.

لحل هذه المشكلة ، نحصل على أنه إذا أعطى Vasya صديقًا تفاحة ، فعليه شراء قطع ، إذا أعطى تفاحة ، إلخ.

وبشكل عام. لدينا متغيرين. لماذا لا نرسم هذا الاعتماد على الرسم البياني؟ نحن نبني ونحدد قيمتنا ، أي النقاط والإحداثيات و!

كما ترون ، وتعتمد على بعضها البعض خطيا، ومن هنا جاء اسم المعادلات - " خطي».

نحن نستخلص من التفاح وننظر في معادلات مختلفة بيانيًا. انظر بعناية إلى الرسمين البيانيين اللذين تم إنشاؤهما - خط مستقيم وقطعة مكافئة ، معطاة من خلال وظائف عشوائية:

ابحث عن النقاط المقابلة في كلا الشكلين وقم بتمييزها.
على ماذا حصلت؟

يمكنك أن ترى ذلك على الرسم البياني للدالة الأولى وحدهيتوافق واحد، أي ، وتعتمد خطيًا على بعضها البعض ، وهو ما لا يمكن قوله عن الوظيفة الثانية. بالطبع ، يمكنك الاعتراض على أن x في الرسم البياني الثاني يتوافق أيضًا مع - ولكن هذه نقطة واحدة فقط ، أي حالة خاصة ، حيث لا يزال بإمكانك العثور على واحدة تتوافق مع أكثر من واحدة. ولا يشبه الرسم البياني المركب خطًا بأي شكل من الأشكال ، ولكنه عبارة عن قطع مكافئ.

أكرر مرة أخرى: يجب أن يكون الرسم البياني للمعادلة الخطية خطًا مستقيمًا.

مع حقيقة أن المعادلة لن تكون خطية إذا ذهبنا إلى أي حد - هذا أمر مفهوم باستخدام مثال القطع المكافئ ، على الرغم من أنه يمكنك إنشاء بعض الرسوم البيانية البسيطة بنفسك ، على سبيل المثال أو. لكنني أؤكد لكم - لن يكون أي منهم خطًا مستقيمًا.

لا تثق؟ قم بالبناء ثم المقارنة مع ما حصلت عليه:

وماذا يحدث إذا قسمنا شيئًا ما ، على سبيل المثال ، على رقم ما؟ هل سيكون هناك اعتماد خطي و؟ لن نجادل ، لكننا سنبني! على سبيل المثال ، دعنا نرسم رسمًا بيانيًا للوظيفة.

بطريقة ما لا يبدو كخط مستقيم مبني ... وبالتالي ، فإن المعادلة ليست خطية.
دعونا نلخص:

1. معادلة خطية -هي معادلة جبرية تتساوى فيها الدرجة الكلية لكثيرات الحدود المكونة لها.
2. معادلة خط مستقيممع متغير واحد يبدو كما يلي:
   وأين وأية أرقام ؛
   معادلة خط مستقيمبمتغيرين:
   وأين وأية أرقام.
3. ليس من الممكن دائمًا تحديد ما إذا كانت المعادلة خطية أم لا على الفور. في بعض الأحيان ، لفهم هذا ، من الضروري إجراء تحويلات متطابقة ، ونقل مصطلحات مماثلة إلى اليسار / اليمين ، وعدم نسيان تغيير العلامة ، أو ضرب / قسمة كلا الجزأين من المعادلة على نفس الرقم.

تعليقات

يُسمح بتوزيع المواد دون موافقة إذا كان هناك رابط dofollow يؤدي إلى صفحة المصدر.

سياسة خاصة

خصوصيتك مهمة بالنسبة لنا. لهذا السبب ، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى قراءة سياسة الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كان لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

4. عندما تقدم طلبًا على الموقع ، فقد نجمع معلومات مختلفة ، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوانك بريد الالكترونيإلخ.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

5. تم جمعها بواسطتنا معلومات شخصيةيتيح لنا الاتصال بك وإبلاغك بذلك عروض فريدةوالعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
6. من وقت لآخر ، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إخطارات واتصالات مهمة.
7. يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية للأغراض الداخلية ، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المتنوعة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
8. إذا دخلت في سحب على جائزة أو مسابقة أو حافز مماثل ، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة هذه البرامج.

الإفصاح للغير

نحن لا نكشف عن المعلومات التي نتلقاها منك لأطراف ثالثة.

9. إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون والنظام القضائي و / أو الإجراءات القانونية و / أو بناءً على طلبات عامة أو طلبات من وكالات الحكومةعلى أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. قد نكشف أيضًا عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأمن أو إنفاذ القانون أو لأسباب أخرى تتعلق بالمصلحة العامة.
10. في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع ، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الجهة الأخرى التي تخلف الطرف الثالث.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام ، وكذلك من الوصول غير المصرح به والكشف والتعديل والتدمير.

الحفاظ على خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة ، فإننا ننقل ممارسات الخصوصية والأمان لموظفينا ونطبق ممارسات الخصوصية بصرامة.

شكرا على الرسالة!

تم قبول تعليقك ، وبعد تعديله سيتم نشره على هذه الصفحة.

هل تريد معرفة ما هو مخفي تحت القطع والحصول على مواد حصرية عند التحضير لـ OGE والاستخدام؟ اترك بريدًا إلكترونيًا

المعادلة هي معادلة تحتوي على الحرف المطلوب إيجاد علامته. حل المعادلة هو مجموعة قيم الحروف التي تحول المعادلة إلى مساواة حقيقية:

أذكر ذلك من أجل حلها معادلةمن الضروري نقل المصطلحات ذات المجهول إلى جزء واحد من المساواة ، والمصطلحات العددية إلى الجزء الآخر ، وإحضار المصطلحات المماثلة والحصول على المساواة التالية:

من المساواة الأخيرة نحدد المجهول بالقاعدة: "أحد العوامل يساوي حاصل القسمة على العامل الثاني".

لأن أرقام نسبيةأ و ب يمكن أن يكون لهما نفس الشيء و علامات مختلفة، ثم يتم تحديد علامة المجهول من خلال قواعد قسمة الأرقام المنطقية.

طريقة حل المعادلات الخطية

يجب تبسيط المعادلة الخطية بفتح الأقواس وتنفيذ إجراءات المرحلة الثانية (الضرب والقسمة).

انقل المجهول إلى جانب واحد من علامة التساوي ، والأرقام إلى الجانب الآخر من علامة التساوي ، لتصبح متطابقة مع المساواة المعطاة ،

قم بإحضار مثل إلى اليسار وإلى اليمين من علامة المساواة ، للحصول على المساواة في الشكل فأس = ب.

احسب جذر المعادلة (أوجد المجهول Xمن المساواة x = ب : أ),

اختبر بالتعويض عن المجهول في المعادلة الآتية.

إذا حصلنا على هوية في المساواة العددية ، فسيتم حل المعادلة بشكل صحيح.

حالات خاصة لحل المعادلات

1. إذا المعادلةتُعطى بواسطة منتج يساوي 0 ، ثم لحلها نستخدم خاصية الضرب: "المنتج يساوي صفرًا إذا كان أحد العاملين أو كلا العاملين يساوي صفرًا".

27 (x - 3) = 0
27 لا يساوي 0 ، إذن x - 3 = 0

المثال الثاني له حلان للمعادلة منذ ذلك الحين
هذه معادلة من الدرجة الثانية:

إذا كانت معاملات المعادلة الكسور العادية، أول شيء يجب فعله هو التخلص من القواسم. لهذا:

لايجاد القاسم المشترك;

تحديد عوامل إضافية لكل مصطلح من المعادلة ؛

اضرب بسط الكسور والأعداد الصحيحة في عوامل إضافية واكتب كل مصطلحات المعادلة بدون قواسم (يمكن تجاهل المقام المشترك) ؛

انقل المصطلحات ذات المجهول إلى جزء واحد من المعادلة ، والمصطلحات العددية إلى الجزء الآخر من علامة التساوي ، للحصول على مساواة مكافئة ؛

إحضار أعضاء مثل ؛

الخصائص الأساسية للمعادلات

في أي جزء من المعادلة ، يمكنك إحضار مصطلحات متشابهة أو فتح القوس.

يمكن نقل أي مصطلح في المعادلة من جزء من المعادلة إلى جزء آخر عن طريق تغيير علامته إلى العكس.

يمكن ضرب (قسمة) طرفي المعادلة على نفس الرقم باستثناء 0.

في المثال أعلاه ، تم استخدام جميع خصائصه لحل المعادلة.

المعادلات الخطية. حل المعادلات الخطية. مصطلح نقل القاعدة.

مصطلح نقل القاعدة.

عند حل المعادلات وتحويلها ، غالبًا ما يكون من الضروري نقل المصطلح إلى الجانب الآخر من المعادلة. لاحظ أن المصطلح يمكن أن يحتوي على كل من علامة الجمع وعلامة الطرح. وفقًا للقاعدة ، عند نقل المصطلح إلى جزء آخر من المعادلة ، تحتاج إلى تغيير الإشارة إلى العكس. بالإضافة إلى ذلك ، تعمل القاعدة أيضًا على عدم المساواة.

أمثلةنقل مصطلح:

التحويل أولا 5x

لاحظ أن علامة "+" قد تغيرت إلى "-" وأن علامة "-" قد تغيرت إلى "+". في هذه الحالة ، لا يهم ما إذا كان المصطلح المحوّل رقمًا أم متغيرًا أم تعبيرًا.

ننقل الفترة الأولى إلى الجانب الأيمنالمعادلات. نحن نحصل:

لاحظ أن المصطلح في مثالنا هو التعبير (−3x 2 (2 + 7x)). لذلك ، لا يمكن نقلها بشكل منفصل. (−3x2)و (2 + 7x)، لأن هذه هي مكونات المصطلح. هذا هو السبب في أنهم لا يتسامحون (−3x2 ⋅ 2) و (7 أضعاف). ومع ذلك ، فإننا نفتح الأقواس ونحصل على فصلين: (−3x-⋅ 2) و (−3 × 2⋅ 7x). يمكن حمل هذين المصطلحين بشكل منفصل عن بعضهما البعض.

يتم تحويل التفاوتات بنفس الطريقة:

نجمع كل رقم على جانب واحد. نحن نحصل:

الأجزاء الثانية من المعادلة بحكم التعريف هي نفسها ، لذلك يمكننا طرح نفس التعبيرات من كلا الجزأين من المعادلة ، وستظل المساواة صحيحة. تحتاج إلى طرح التعبير الذي يحتاج في النهاية إلى نقله إلى الجانب الآخر. ثم على جانب واحد من علامة "=" سيتم تصغيرها بما كانت عليه. وعلى الجانب الآخر من المساواة ، سيظهر التعبير الذي طرحناه بعلامة "-".

غالبًا ما تستخدم هذه القاعدة لحل المعادلات الخطية. يتم استخدام طرق أخرى لحل أنظمة المعادلات الخطية.

اساسيات الجبر / حكم نقل المصطلح

دعنا ننتقل المصطلح الأول إلى الجانب الأيمن من المعادلة. نحن نحصل:

لنحرك كل الأرقام في اتجاه واحد. نتيجة لذلك ، لدينا:

أمثلة توضح الدليل تحرير

لتحرير المعادلات

لنفترض أننا نريد نقل كل x من الجانب الأيسر للمعادلة إلى الطرف الأيمن. اطرح من كلا الجزأين 5 x

نحتاج الآن إلى التحقق مما إذا كان الجانبان الأيسر والأيمن للمعادلة متماثلين. دعنا نستبدل المتغير المجهول بالنتيجة الناتجة:

الآن يمكننا إضافة مثل هذه الشروط:

دعنا ننتقل أول 5 xمن الجانب الأيسر للمعادلة إلى اليمين:

الآن دعنا ننقل الرقم (−6) من الجانب الأيمن إلى اليسار:

لاحظ أن علامة الجمع قد تغيرت إلى علامة ناقص ، وأن علامة الطرح قد تغيرت إلى علامة زائد. علاوة على ذلك ، لا يهم ما إذا كان المصطلح المحول رقمًا أم متغيرًا أم تعبيرًا كاملاً.

طرفا المعادلة ، بحكم التعريف ، متساويان ، لذا يمكنك طرح نفس التعبير من كلا طرفي المعادلة وتظل المعادلة صحيحة. على جانب واحد من علامة المساواة ، سوف تتعاقد مع ما كانت عليه. على الجانب الآخر من المعادلة ، سيظهر التعبير الذي طرحناه بعلامة ناقص.

تم إثبات قاعدة المعادلات.

لعدم المساواة تحرير

إذن ، 4 هو جذر المعادلة 5x + 2 = 7x-6. منذ أن تم إثبات الهوية من أجلها ، كذلك بالنسبة لعدم المساواة أيضًا بحكم التعريف.

حل المعادلات ، قاعدة نقل المصطلحات

الغرض من الدرس

المهام التعليمية للدرس:

- أن تكون قادرًا على تطبيق قاعدة نقل المصطلحات عند حل المعادلات ؛

تطوير مهام الدرس:

- طور نشاط مستقلالطلاب؛

- تطوير الكلام (إعطاء إجابات كاملة بلغة رياضية مختصة) ؛

المهام التعليمية للدرس:

- تثقيف القدرة على تدوين الملاحظات بشكل صحيح في دفاتر الملاحظات وعلى السبورة ؛

؟ادوات:

11. الوسائط المتعددة
12. ألواح الكتابة التفاعلية

عرض محتوى الوثيقة
"درس حل المعادلات 6 خلايا"

درس الرياضيات 6 الصف

المعلم: Timofeeva M. A.

الغرض من الدرس: دراسة قاعدة نقل المصطلحات من جزء من المعادلة إلى جزء آخر.

المهام التعليمية للدرس:

تكون قادرًا على تطبيق قاعدة نقل المصطلحات عند حل المعادلات ؛

تطوير مهام الدرس:

لتطوير النشاط المستقل للطلاب ؛

تطوير الكلام (إعطاء إجابات كاملة بلغة رياضية مختصة) ؛

المهام التعليمية للدرس:

لتنمية القدرة على تدوين الملاحظات بشكل صحيح في دفاتر الملاحظات وعلى السبورة ؛

المراحل الرئيسية للدرس

1. تنظيم لحظة ، توصيل الغرض من الدرس وشكل العمل

"إذا كنت تريد أن تتعلم السباحة ،

ثم أدخل الماء بجرأة ،

إذا كنت تريد معرفة كيفية حل المعادلات ،

2. نبدأ اليوم في دراسة موضوع: "حل المعادلات" (الشريحة 1)

لكنك تعلمت بالفعل كيفية حل المعادلات! ثم ماذا سوف ندرس؟

- طرق جديدة لحل المعادلات.

3. دعونا نكرر المادة التي تمت تغطيتها (عمل شفوي) (الشريحة 2)

3). 7 م + 8 ن - 5 م - 3 ن

4). - 6 أ + 12 ب - 5 أ - 12 ب

خمسة). 9x - 0.6y - 14x + 1.2y

لقد حان المعادلة
جلبت الكثير من الأسرار

ما هي التعبيرات المعادلات؟(الشريحة 3)

4. ما يسمى المعادلة؟

المعادلة هي مساواة تحتوي على رقم غير معروف. (الشريحة 4)

ماذا يعني حل المعادلة؟

حل المعادلةيعني العثور على جذورها أو إثبات عدم وجودها.

دعونا نحل المعادلات شفويا. (الشريحة 5)

ما هي القاعدة التي نستخدمها عند الحل؟

- إيجاد العامل المجهول.

دعنا نكتب عدة معادلات في دفتر ملاحظات ونحلها باستخدام القواعد لإيجاد مصطلح غير معروف ومصطلح مختزل: (الشريحة 7)

كيف تحل مثل هذه المعادلة؟

x + 5 = - 2x - 7 (الشريحة 8)

لا يمكننا التبسيط ، حيث توجد مصطلحات متشابهة في اجزاء مختلفةالمعادلات ، لذلك ، من الضروري نقلها.

ألوان رائعة تحترق
وبغض النظر عن مدى حكمة الرأس
هل مازلت تؤمن بالحكايات الخرافية؟
القصة دائما على حق.

ذات مرة ، كان هناك ملكان: أسود وأبيض. عاش الملك الأسود في المملكة السوداء على الضفة اليمنى للنهر ، وعاش الملك الأبيض في المملكة البيضاء على الضفة اليسرى. نهر شديد الاضطراب وخطير يتدفق بين الممالك. كان من المستحيل عبور هذا النهر إما بالسباحة أو بالقوارب. كنا بحاجة إلى جسر! استغرق بناء الجسر وقتًا طويلاً جدًا ، والآن ، أخيرًا ، تم بناء الجسر. يجب أن يفرح الجميع ويتواصلوا مع بعضهم البعض ، لكن المشكلة هي: الملك الأبيض لم يحب الأسود ، وارتدى جميع سكان مملكته ملابس خفيفة ، ولم يعجب الملك الأسود لون أبيضوكان سكان مملكته يرتدون أردية داكنة اللون. إذا انتقل شخص ما من المملكة السوداء إلى المملكة البيضاء ، فحينئذٍ فقد حظه على الفور مع الملك الأبيض ، وإذا انتقل شخص من المملكة البيضاء إلى المملكة السوداء ، فإنه لا يحظى بالرضا مع الملك الأسود. كان على سكان الممالك أن يبتكروا شيئًا حتى لا يغضب ملوكهم. ما رأيك أنهم توصلوا إليه؟

المعادلات

كيف تحل المعادلات؟

في هذا القسم ، سوف نتذكر (أو ندرس - كما يحب أي شخص) أكثر المعادلات الأولية. إذن ما هي المعادلة؟ تتحدث لغة بشرية، هذا نوع من التعبير الرياضي ، حيث توجد علامة يساوي ومجهول. الذي عادة ما يشار إليه بالحرف "X". حل المعادلةهو إيجاد قيم x التي عند الاستبدال بها أصليالتعبير ، سيعطينا الهوية الصحيحة. دعني أذكرك أن الهوية تعبير لا يثير الشكوك حتى بالنسبة لشخص غير مثقل بالمعرفة الرياضية. مثل 2 = 2 ، 0 = 0 ، أب = أب ، إلخ. إذن كيف تحل المعادلات؟دعونا نفهم ذلك.

هناك كل أنواع المعادلات (لقد فوجئت ، أليس كذلك؟). لكن كل تنوعها اللامتناهي يمكن تقسيمه إلى أربعة أنواع فقط.

4. آخر.)

كل ما تبقى ، بالطبع ، الأهم من ذلك كله ، نعم ...) وهذا يشمل التكعيبي ، والأسي ، واللوغاريتمي ، والمثلثي ، وجميع أنواع أخرى. سنعمل عن كثب معهم في الأقسام ذات الصلة.

يجب أن أقول على الفور أنه في بعض الأحيان تكون معادلات الأنواع الثلاثة الأولى محطمة للغاية بحيث لا يمكنك التعرف عليها ... لا شيء. سوف نتعلم كيف نريحهم.

ولماذا نحتاج إلى هذه الأنواع الأربعة؟ ثم ماذا المعادلات الخطيةبطريقة واحدة ميدانالآخرين عقلاني كسري - الثالث ،لكن راحةلم تحل على الإطلاق! حسنًا ، ليس الأمر أنهم لم يقرروا على الإطلاق ، لقد أساءت للرياضيات عبثًا.) إنه فقط لأن لديهم تقنياتهم وأساليبهم الخاصة.

لكن لأي (أكرر - ل أي!) المعادلات هي أساس موثوق وخالي من المشاكل لحلها. يعمل في كل مكان ودائما. هذه القاعدة - تبدو مخيفة ، لكن الشيء بسيط للغاية. وجدا (جدا!)الأهمية.

في الواقع ، يتكون حل المعادلة من نفس هذه التحولات. بنسبة 99٪. أجب على السؤال: " كيف تحل المعادلات؟"الأكاذيب ، فقط في هذه التحولات. هل التلميح واضح؟)

تحويلات الهوية من المعادلات.

في أي معادلاتللعثور على المجهول ، من الضروري تحويل وتبسيط المثال الأصلي. علاوة على ذلك ، بحيث عند التغيير مظهر خارجي جوهر المعادلة لم يتغير.تسمى هذه التحولات تطابقأو ما يعادلها.

لاحظ أن هذه التحولات فقط للمعادلات.في الرياضيات ، لا تزال هناك تحولات متطابقة التعبيرات.هذا موضوع آخر.

الآن سنكرر كل شيء أساسي تحولات متطابقة من المعادلات.

أساسي لأنه يمكن تطبيقها على أيالمعادلات - الخطية ، التربيعية ، الكسرية ، المثلثية ، الأسية ، اللوغاريتمية ، إلخ. إلخ.

أول تحول متطابق: يمكن إضافة طرفي أي معادلة (مطروح) أي(لكن نفس الشيء!) رقم أو تعبير (بما في ذلك تعبير مجهول!). جوهر المعادلة لا يتغير.

بالمناسبة ، لقد استخدمت هذا التحول باستمرار ، كنت تعتقد فقط أنك تنقل بعض المصطلحات من جزء من المعادلة إلى جزء آخر مع تغيير علامة. اكتب:

الأمر مألوف ، ننقل الشيطان إلى اليمين ، ونحصل على:



في الواقع أنت تم استبعاده او تم اخذهمن كلا طرفي المعادلة. النتيجة هي نفسها:

x + 2 - 2 = 3 - 2

إن نقل المصطلحات إلى اليسار واليمين مع تغيير العلامة هو ببساطة نسخة مختصرة من الأولى تحويل الهوية. ولماذا نحتاج إلى مثل هذه المعرفة العميقة؟ - أنت تسأل. لا شيء في المعادلات. حركها في سبيل الله. فقط لا تنسى تغيير اللافتة. لكن في حالات عدم المساواة ، يمكن أن تؤدي عادة التحويل إلى طريق مسدود ....

التحول الثاني للهوية: يمكن ضرب (قسمة) كلا طرفي المعادلة في نفس الشيء غير صفريةرقم أو تعبير. يظهر هنا قيد مفهوم: من الغباء الضرب في الصفر ، لكن من المستحيل القسمة على الإطلاق. هذا هو التحول الذي تستخدمه عندما تقرر شيئًا رائعًا مثل

بشكل مفهوم ، X= 2. لكن كيف وجدتها؟ اختيار؟ أو أضاءت للتو؟ لكي لا تلتقط البصيرة وتنتظرها ، عليك أن تفهم أنك فقط اقسم طرفي المعادلةبمقدار 5. عند قسمة الجانب الأيسر (5x) ، تم تقليل الخمسة ، تاركًا X نقية. وهو ما نحتاجه. وعند قسمة الجانب الأيمن من (10) على خمسة ، اتضح ، بالطبع ، أنه شيطان.

هذا كل شئ.

إنه أمر مضحك ، لكن هذين التحولين المتطابقين (اثنان فقط!) يكمن وراء الحل كل معادلات الرياضيات.كيف! من المنطقي أن ننظر إلى أمثلة على ماذا وكيف ، أليس كذلك؟)

أمثلة على تحويلات متطابقة من المعادلات. المشاكل الرئيسية.

دعنا نبدء ب أولتحول متطابق. تحرك من اليسار إلى اليمين.

مثال للصغار.)

لنفترض أننا بحاجة إلى حل المعادلة التالية:

3-2x = 5-3x

دعونا نتذكر التعويذة: "مع X - إلى اليسار ، بدون X - إلى اليمين!"هذه التعويذة هي تعليمات لتطبيق أول تحول في الهوية.) ما هو التعبير مع x الذي لدينا على اليمين؟ 3x؟ الجواب خاطئ! على يميننا - 3x! ناقصثلاثة x! لذلك ، عند التحول إلى اليسار ، ستتغير العلامة إلى زائد. احصل على:

3-2 س + 3 س = 5

لذلك ، تم وضع علامات X معًا. لنقم بالأعداد. ثلاثة على اليسار. ما علامة؟ الجواب "بلا" غير مقبول!) أمام الثلاثية ، في الواقع ، لا شيء مرسوم. وهذا يعني أن أمام الثلاثي هو زائد.لذلك وافق علماء الرياضيات. لا شيء مكتوب ، لذلك زائد.لذلك ، سيتم نقل الثلاثي إلى الجانب الأيمن مع ناقص.نحن نحصل:

-2 س + 3 س = 5-3

هناك مساحات فارغة متبقية. على اليسار - أعط متشابهة ، على اليمين - عد. الجواب فوري:

في هذا المثال ، كان التحويل المماثل واحدًا كافيًا. لم تكن هناك حاجة الثانية. حسنًا ، حسنًا.)

مثال للشيوخ.)

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.