Представляет собой геометрическое тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями и цилиндрической поверхностью.
Цилиндр состоит из боковой поверхности и двух оснований. Формула площади поверхности цилиндра включает в себя отдельный расчет площади оснований и боковой поверхности. Так как основания в цилиндре равны, то полная его площадь будет рассчитываться по формуле:
Пример расчета площади цилиндра мы рассмотрим после того, как узнаем все необходимые формулы. Для начала нам понадобится формула площади основания цилиндра. Так как основанием цилиндра является круг, то нам потребуется применить : 
Мы помним, что в этих расчетах используется постоянное число Π = 3,1415926, которое рассчитано как соотношение длины окружности к ее диаметру. Это число является математической константой. Пример расчета площади основания цилиндра мы также рассмотрим чуть позже.
Площадь боковой поверхности цилиндра
Формула площади боковой поверхности цилиндра представляет собой произведение длины основания на его высоту:
А теперь рассмотрим задачу, в которой нам потребуется рассчитать полную площадь цилиндра. В заданной фигуре высота h
= 4 см, r
= 2 см. Найдем полную площадь цилиндра.
Для начала рассчитаем площадь оснований:
Теперь рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности цилиндра. В развернутом виде она представляет прямоугольник. Его площадь рассчитывается по приведенной выше формуле. Подставим в нее все данные:
Полная площадь круга представляет собой сумму двойной площади основания и боковой:
Таким образом, используя формулы площади оснований и боковой поверхности фигуры, мы смогли найти полную площадь поверхности цилиндра.
Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, в котором стороны равны высоте и диаметру цилиндра.
Формула площади осевого сечения цилиндра выводится из формулы расчета :
Найдите площадь осевого сечения, перпендикулярного основаниям цилиндра. Одна из сторон этого прямоугольника равна высоте цилиндра, вторая - диаметру окружности основания. Соответственно, площадь сечения в этом случае будет равна произведению сторон прямоугольника. S=2R*h, где S - площадь сечения, R – радиус окружности основания, заданный условиями задачи, а h - высота цилиндра, также заданная условиями задачи.
Если сечение перпендикулярно основаниям, но при этом не проходит через ось вращения, прямоугольника не будет равняться диаметру окружности. Ее нужно вычислить. Для этого в задачи должно быть сказано, на каком расстоянии от оси вращения проходит плоскость сечения. Для удобства вычислений постройте окружность основания цилиндра, проведите радиус и отложите на нем расстояние, на котором от центра окружности находится сечение. От этой точки проведите к перпендикуляры до их пересечения с окружностью. Соедините точки пересечения с центром. Вам нужно найти хорды. Найдите размер половины хорды по теореме Пифагора. Он будет равняться квадратному корню из разности квадратов радиуса окружности от центра до линии сечения. a2=R2-b2. Вся хорда будет, соответственно, равна 2а. Вычислите площадь сечения, которая равна произведению сторон прямоугольника, то есть S=2a*h.
Цилиндр можно рассечь , не проходящей через плоскости основания. Если поперечное сечение проходит перпендикулярно оси вращения, то оно будет представлять собой круг. Площадь его в этом случае равна площади оснований, то есть вычисляется по формуле S=πR2.
Чтобы точнее представить себе сечение, сделайте чертеж и дополнительные построения к нему.
Источники:
- сечение цилиндра площадь
Линия пересечения поверхности с плоскостью принадлежит одновременно поверхности и секущей плоскости. Линия пересечения цилиндрической поверхности секущей плоскостью, параллельной прямой образующей – прямая линия. Если секущая плоскость перпендикулярна к оси поверхности вращения – в сечении будет окружность. В общем случае линия пересечения цилиндрической поверхности с секущей плоскостью – кривая линия.
Вам понадобится
- Карандаш, линейка, треугольник, лекала, циркуль, измеритель.
Инструкция
На фронтальной плоскости проекций П₂ линия сечения совпадает с проекцией секущей плоскости Σ₂ в виде прямой.
Обозначьте точки пересечения образующих цилиндра с проекцией Σ₂ 1₂, 2₂ и т.д. до точек 10₂ и 11₂.
На плоскости П₁ – это окружность. Отмеченные на плоскости сечения Σ₂ точки 1₂ , 2₂ и т.д. с помощью линии проекционной связи спроектируются на очерке этой окружности. Обозначьте их горизонтальные проекции симметрично относительно горизонтальной оси окружности.
Таким образом, проекции искомого сечения определены: на плоскости П₂ – прямая (точки 1₂, 2₂…10₂); на плоскости П₁ – окружность (точки 1₁, 2₁…10₁).
По двум постройте натуральную величину сечения данного цилиндра фронтально-проектирующей плоскостью Σ. Для этого используйте способ проекций.
Проведите плоскость П₄ параллельно проекции плоскости Σ₂. На этой новой оси x₂₄ отметьте точку 1₀. Расстояния между точками 1₂ – 2₂, 2₂ – 4₂ и т.д. с фронтальной проекции сечения отложите на оси x₂₄, проведите тонкие линии проекционной связи перпендикулярно оси x₂₄.
В данном способе плоскостью П₄ заменяется плоскость П₁, поэтому с горизонтальной проекции размеры от оси до точек перенесите на ось плоскости П₄.
Например, на П₁ для точек 2 и 3 это будет расстояние от 2₁ и 3₁ до оси(точка А) и т.д.
Отложив с горизонтальной проекции указанные расстояния, получите точки 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. Затем для большей точности построения, определяются остальные, промежуточные, точки.
Соединив лекальной кривой все точки, получите искомую натуральную величину сечения цилиндра фронтально-проектирующей плоскостью.
Источники:
- как заменить плоскость
Совет 3: Как найти площадь осевого сечения усеченного конуса
Чтобы решить данную задачу, необходимо вспомнить, что такое усеченный конус и какими свойствами он обладает. Обязательно сделайте чертеж. Это позволит определить, какую геометрическую фигуру представляет собой сечение . Вполне возможно, что после этого решение задачи уже не будет представлять для вас сложности.
Инструкция
Круглый конус – тело, полученное путем вращения треугольника вокруг одного из его катетов. Прямые, исходящие из вершины конуса и пересекающие его основание, называются образующими. Если все образующие равны, то конус является прямым. В основании круглого конуса лежит круг. Перпендикуляр, опущенный на основание из вершины, является высотой конуса . У круглого прямого конуса высота совпадает с его осью. Ось – это прямая, соединяющая с центром основания. Если горизонтальная секущая плоскость кругового конуса , то его верхнее основание представляет собой круг.
Поскольку в условии задачи не оговорено, именно конус дается в данном случае, можно сделать вывод, что это прямой усеченный конус, горизонтальное сечение которого параллельно основанию. Его осевое сечение, т.е. вертикальная плоскость, которая через ось круглого конуса , представляет собой равнобочную трапецию. Все осевые сечения круглого прямого конуса равны между собой. Следовательно, чтобы найти площадь осевого сечения , требуется найти площадь трапеции, основаниями которой диаметры оснований усеченного конуса , а боковые стороны – его образующие. Высота усеченного конуса является одновременно высотой трапеции.
Площадь трапеции определяется по формуле:S = ½(a+b) h, где S – площадь трапеции;a – величина нижнего основания трапеции;b – величина ее верхнего основания;h – высота трапеции.
Поскольку в условии не оговорено, какие именно даны, можно , что диаметры обеих оснований усеченного конуса известны: AD = d1 – диаметр нижнего основания усеченного конуса ;BC = d2 – диаметр его верхнего основания; EH = h1 – высота конуса .Таким образом, площадь осевого сечения усеченного конуса определяется: S1 = ½ (d1+d2) h1
Источники:
- площадь усеченного конуса
Цилиндр является пространственной фигурой и состоит из двух равных оснований, которые представляют собой круги и боковой поверхности, соединяющей линии, ограничивающие основания. Чтобы вычислить площадь цилиндра , найдите площади всех его поверхностей и сложите их.
Цилиндр представляет собой геометрическое тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями и цилиндрической поверхностью. В статье поговорим о том, как найти площадь цилиндра и, применив формулу, решим для примера несколько задач.
У цилиндра есть три поверхности: вершина, основание, и боковая поверхность.
Вершина и основание цилиндра являются окружностями, их легко определить.
Известно, что площадь окружности равна πr 2 . Поэтому, формула площади двух окружностей (вершины и основания цилиндра) будет иметь вид πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .
Третья, боковая поверхность цилиндра, является изогнутой стенкой цилиндра. Для того чтобы лучше представить эту поверхность попробуем преобразовать её, чтобы получить узнаваемую форму. Представьте себе, что цилиндр, это обычная консервная банка, у которой нет верхней крышки и дна. Сделаем вертикальный надрез на боковой стенке от вершины до основания банки (Шаг 1 на рисунке) и попробуем максимально раскрыть (выпрямить) полученную фигуру (Шаг 2).
После полного раскрытия полученной банки мы увидим уже знакомую фигуру (Шаг 3), это прямоугольник. Площадь прямоугольника вычислить легко. Но перед этим вернемся на мгновение к первоначальному цилиндру. Вершина исходного цилиндра является окружностью, а мы знаем, что длина окружности вычисляется по формуле: L = 2πr. На рисунке она отмечена красным цветом.
Когда боковая стенка цилиндра полностью раскрыта, мы видим, что длина окружности становится длиной полученного прямоугольника. Сторонами этого прямоугольника будут длина окружности(L = 2πr) и высота цилиндра(h). Площадь прямоугольника равна произведению его сторон – S = длина х ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В результате мы получили формулу для расчета площади боковой поверхности цилиндра.
Формула площади боковой поверхности цилиндра
S бок. = 2πrh
Площадь полной поверхности цилиндра
Наконец, если мы сложим площадь всех трёх поверхностей, мы получим формулу площади полной поверхности цилиндра. Площади поверхности цилиндра равна площадь вершины цилиндра + площадь основания цилиндра + площадь боковой поверхности цилиндра или S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Иногда это выражение записывается идентичной формулой 2πr (r + h).
Формула площади полной поверхности цилиндра
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – радиус цилиндра, h – высота цилиндра
Примеры расчета площади поверхности цилиндра
Для понимания приведенных формул попробуем посчитать площадь поверхности цилиндра на примерах.
1. Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Определите площадь боковой поверхности цилиндра.
Площадь полной поверхности рассчитывается по формуле: S бок. = 2πrh
S бок. = 2 * 3,14 * 2 * 3
S бок. = 6,28 * 6
S бок. = 37,68
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 37,68.
2. Как найти площадь поверхности цилиндра, если высота равна 4, а радиус 6?
Площадь полной поверхности рассчитывается по формуле: S = 2πr 2 + 2πrh
S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4
S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24
Формула радиуса цилиндра:
где V - объем цилиндра, h - высота
Цилиндр - геометрическое тело, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны. Также, цилиндр представляет собой тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее. Эта поверхность образуется при движении прямой параллельно самой себе. При этом выделенная точка прямой перемещается вдоль определенной плоской кривой (направляющая). Данная прямая называется образующей цилиндрической поверхности.
Формула радиуса цилиндра:
где Sb - площадь боковой поверхности, h - высота
Цилиндр - геометрическое тело, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны. Также, цилиндр представляет собой тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее. Эта поверхность образуется при движении прямой параллельно самой себе. При этом выделенная точка прямой перемещается вдоль определенной плоской кривой (направляющая). Данная прямая называется образующей цилиндрической поверхности.
Формула радиуса цилиндра:
где S - площадь полной поверхности, h - высота
Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади прямоугольника, основание которого равно 2πr , а высота равна высоте цилиндра h , т. е. 2πrh .
Полная поверхность цилиндра составит: 2πr 2 + 2πrh = 2πr (r + h ).
За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь развертки его боковой поверхности.
Поэтому площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра равна площади соответствующего прямоугольника (рис.) и вычисляется по формуле
S б.ц. = 2πRH, (1)
Если к площади боковой поверхности цилиндра прибавить площади двух его оснований, то получим площадь полной поверхности цилиндра
S полн. =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).
Объем прямого цилиндра
Теорема. Объем прямого цилиндра равен произведению площади его основания на высоту , т. е.где Q - площадь основания, а Н - высота цилиндра.
Так как площадь основания цилиндра равна Q, то существуют последовательности описанных и вписанных многоугольников с площадями Q n и Q’ n таких, что
\(\lim_{n \rightarrow \infty}\) Q n = \(\lim_{n \rightarrow \infty}\) Q’ n = Q.
Построим последовательности призм, основаниями которых являются рассмотренные выше описанные и вписанные многоугольники, а боковые ребра параллельны образующей данного цилиндра и имеют длину H. Эти призмы являются описанными и вписанными для данного цилиндра. Их объемы находятся по формулам
V n = Q n H и V’ n = Q’ n H.
Следовательно,
V= \(\lim_{n \rightarrow \infty}\) Q n H = \(\lim_{n \rightarrow \infty}\) Q’ n H = QH.
Следствие.
Объем прямого кругового цилиндра вычисляется по формуле
V = π R 2 H
где R - радиус основания, а H - высота цилиндра.
Так как основание кругового цилиндра есть круг радиуса R, то Q = π R 2 , и поэтому
Загрузка...