Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid. Me väljendame trigonomeetriliste pöördfunktsioonide kaudu

Antud on trigonomeetriliste pöördfunktsioonide definitsioonid ja nende graafikud. Nagu ka pöördtrigonomeetriliste funktsioonide valemid, summade ja erinevuste valemid.

Trigonomeetriliste pöördfunktsioonide definitsioon

Kuna trigonomeetrilised funktsioonid on perioodilised, ei ole nende pöördfunktsioonid ühe väärtusega. Niisiis, võrrand y = sin x, antud , on lõpmatult palju juuri. Tõepoolest, siinuse perioodilisuse tõttu, kui x on selline juur, siis x + 2n(kus n on täisarv) on ka võrrandi juur. Sellel viisil, pöördtrigonomeetrilised funktsioonid on mitme väärtusega. Nendega töötamise hõlbustamiseks tutvustatakse nende põhiväärtuste kontseptsiooni. Vaatleme näiteks siinust: y = sin x. Kui piirame argumendi x intervalliga , siis sellel funktsioon y = sin x suureneb monotoonselt. Seetõttu on sellel ühe väärtusega pöördfunktsioon, mida nimetatakse arsiinusteks: x = arcsin y.

Kui pole teisiti öeldud, tähistavad pöördtrigonomeetrilised funktsioonid nende põhiväärtusi, mis on määratletud järgmiste definitsioonidega.

Arcsine ( y= arcsin x) on siinuse pöördfunktsioon ( x= patune

Kaarkoosinus ( y= arccos x) on koosinuse pöördfunktsioon ( x= cos y), millel on määratluspiirkond ja väärtuste kogum.

Arktangent ( y= arctg x) on puutuja pöördfunktsioon ( x= tg y), millel on määratluspiirkond ja väärtuste kogum.

kaare puutuja ( y= arcctg x) on kotangensi pöördfunktsioon ( x= ctg y), millel on määratluspiirkond ja väärtuste kogum.

Pöördtrigonomeetriliste funktsioonide graafikud

Trigonomeetriliste pöördfunktsioonide graafikud saadakse trigonomeetriliste funktsioonide graafikutest peegelpeegelduse teel sirge y = x suhtes. Vaata jaotisi Siinus, koosinus, Tangent, kotangent.

y= arcsin x

y= arccos x

y= arctg x

y= arcctg x

Põhivalemid

Siin tuleks erilist tähelepanu pöörata intervallidele, mille kohta valemid kehtivad.

arcsin(sin x) = x juures
sin(artsin x) = x
arccos(cos x) = x juures
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = x juures
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x juures
ctg(arctg x) = x

Trigonomeetriliste pöördfunktsioonide valemid

Summa ja vahe valemid

või juures

juures ja

juures ja

juures

juures

Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid on matemaatilised funktsioonid, mis on trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid.

Funktsioon y=arcsin(x)

Arvu α arcsinus on selline arv α vahemikust [-π/2; π/2], mille siinus on võrdne α-ga.
Funktsioonigraafik
Funktsioon y \u003d sin⁡ (x) intervallil [-π / 2; π / 2] on rangelt kasvav ja pidev; seetõttu on sellel pöördfunktsioon, mis on rangelt kasvav ja pidev.
Funktsiooni y= sin⁡(x) pöördfunktsiooni, kus x ∈[-π/2;π/2], nimetatakse arsiiniks ja tähistatakse y=arcsin(x), kus x∈[-1;1 ].
Niisiis, vastavalt definitsioonile pöördfunktsioon, arsiini määratluspiirkond on segment [-1;1] ja väärtuste kogum segment [-π/2;π/2].
Pange tähele, et funktsiooni y=arcsin(x), kus x ∈[-1;1], graafik on sümmeetriline funktsiooni y= sin(⁡x) graafiku suhtes, kus x∈[-π/2;π /2] koordinaatnurkade esimese ja kolmanda veerandi poolitaja suhtes.

Funktsiooni y=arcsin(x) ulatus.

Näide number 1.

Kas leida arcsin(1/2)?

Kuna funktsiooni arcsin(x) vahemik kuulub intervalli [-π/2;π/2], siis sobib ainult väärtus π/6 Seetõttu arcsin(1/2) = π/6.
Vastus: π/6

Näide nr 2.
Kas leida arcsin(-(√3)/2)?

Kuna vahemik arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2], siis sobib ainult väärtus -π/3. Seetõttu arcsin(-(√3)/2) =- π/3.

Funktsioon y=arccos(x)

Arvu α arkosinus on arv α intervallist, mille koosinus on võrdne α-ga.

Funktsioonigraafik

Funktsioon y= cos(⁡x) intervallil on rangelt kahanev ja pidev; seetõttu on sellel pöördfunktsioon, mis on rangelt kahanev ja pidev.
Funktsiooni y= cos⁡x, kus x ∈, pöördfunktsioon kutsutakse välja kaarkoosinus ja tähistatakse y=arccos(x), kus x ∈[-1;1].
Seega on pöördfunktsiooni definitsiooni kohaselt arkosiini määratluspiirkond segment [-1; 1] ja väärtuste kogum on segment.
Pange tähele, et funktsiooni y=arccos(x) graafik, kus x ∈[-1;1] on sümmeetriline funktsiooni y= cos(⁡x) graafiku suhtes, kus x ∈, funktsiooni poolitaja suhtes. esimese ja kolmanda kvadrandi koordinaatnurgad.

Funktsiooni y=arccos(x) ulatus.

Näide nr 3.

Kas leida arccos(1/2)?

Kuna arccos(x) vahemik on x∈, siis sobib ainult väärtus π/3, mistõttu arccos(1/2) =π/3.
Näide number 4.
Kas leida arccos(-(√2)/2)?

Kuna funktsiooni arccos(x) vahemik kuulub intervalli , siis sobib ainult väärtus 3π/4. Seetõttu arccos(-(√2)/2) =3π/4.

Vastus: 3π/4

Funktsioon y=arctg(x)

Arvu α kaartangens on selline arv α vahemikust [-π/2; π/2], mille puutuja on võrdne α-ga.

Funktsioonigraafik

Tangensfunktsioon on pidev ja rangelt kasvav intervallil (-π/2; π/2); seetõttu on sellel pöördfunktsioon, mis on pidev ja rangelt kasvav.
Funktsiooni y= tg⁡(x) pöördfunktsioon, kus x∈(-π/2;π/2); nimetatakse arktangensiks ja tähistatakse y=arctg(x), kus x∈R.
Niisiis, vastavalt pöördfunktsiooni definitsioonile on arktangensi määratluspiirkond intervall (-∞;+∞) ja väärtuste kogum on intervall
(-π/2; π/2).
Pange tähele, et funktsiooni y=arctg(x) graafik, kus x∈R, on sümmeetriline funktsiooni y=tg⁡x graafiku suhtes, kus x ∈ (-π/2;π/2) esimese ja kolmanda veerandi koordinaatnurkade poolitaja.

Funktsiooni y=arctg(x) ulatus.

Näide nr 5?

Otsige üles arctg((√3)/3).

Kuna arctan(x) x ∈(-π/2;π/2), sobib ainult väärtus π/6, mistõttu arctg((√3)/3) =π/6.
Näide number 6.
Kas leida arctg(-1)?

Kuna vahemik arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), sobib ainult väärtus -π/4. Seetõttu arctg(-1) = - π/4.

Funktsioon y=arctg(x)

Arvu α kaartangens on selline arv α vahemikust (0; π), mille kotangens on võrdne α-ga.

Funktsioonigraafik

Intervallil (0;π) väheneb kotangensfunktsioon rangelt; pealegi on see pidev selle intervalli igas punktis; seetõttu on sellel funktsioonil intervallil (0;π) pöördfunktsioon, mis on rangelt kahanev ja pidev.
Funktsiooni y=ctg(x) pöördfunktsiooni, kus x ∈(0;π), nimetatakse kaare kotangensiks ja seda tähistatakse y=arcctg(x), kus x∈R.
Niisiis, vastavalt pöördfunktsiooni definitsioonile on pöördtangensi määratluspiirkond R väärtused – intervall (0; π). Funktsiooni y=arcctg(x) graafik, kus x∈R on sümmeetriline funktsiooni y=ctg(x) x∈(0; π) graafiku suhtes, kus esimese ja kolmanda veerandi koordinaatnurkade poolitaja suhtes.

Funktsiooni y=arcctg(x) ulatus.

Näide number 7.
Kas leida arcctg((√3)/3)?

Kuna arcctg(x) x ∈(0;π) on vahemik, sobib ainult väärtus π/3, mistõttu arccos((√3)/3) =π/3.

Näide number 8.
Kas leida arcctg(-(√3)/3)?

Kuna arcctg(x) x∈(0;π) on vahemik, sobib ainult väärtus 2π/3, mistõttu arccos(-(√3)/3) =2π/3.

Toimetajad: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid on lai rakendus matemaatilises analüüsis. Enamiku keskkooliõpilaste jaoks põhjustavad seda tüüpi funktsioonidega seotud ülesanded aga olulisi raskusi. Seda eelkõige seetõttu, et paljudes õpikutes ja õppevahendid sedalaadi probleemidele on liiga vähe tähelepanu pööratud. Ja kui õpilased saavad kuidagi hakkama trigonomeetriliste pöördfunktsioonide väärtuste arvutamise ülesannetega, siis selliseid funktsioone sisaldavad võrrandid ja võrratused ajavad lapsi enamasti segadusse. Tegelikult pole see üllatav, sest praktiliselt ükski õpik ei selgita isegi kõige lihtsamate võrrandite ja pöördtrigonomeetrilisi funktsioone sisaldavate võrratuste lahendamise meetodit.

Vaatleme mitut võrrandit ja võrratust, mis sisaldavad pöördtrigonomeetrilisi funktsioone ning lahendame need üksikasjaliku selgitusega.

Näide 1

Lahendage võrrand: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

Lahendus.

Avaldame võrrandist pöördvõrdelise trigonomeetrilise funktsiooni, saame:

arccos (2x + 3) = 5π/6. Nüüd kasutame arkosiini määratlust.

Teatud arvu a arkososinus, mis kuulub lõigusse vahemikus -1 kuni 1, on lõigu 0 kuni π suhtes selline nurk y, et tema koosinus ja on võrdne arvuga x. Seetõttu võib selle kirjutada nii:

2x + 3 = cos 5π/6.

Kirjutame saadud võrrandi parempoolse külje vastavalt redutseerimisvalemile:

2x + 3 = cos(π - π/6).

2x + 3 = -cos π/6;

2x + 3 = -√3/2;

2x = -3 - √3/2.

Toome parema poole ühise nimetaja juurde.

2x = -(6 + √3) / 2;

x = -(6 + √3) / 4.

Vastus: -(6 + √3) / 4 .

Näide 2

Lahendage võrrand: cos (arccos (4x - 9)) = x 2 - 5x + 5.

Lahendus.

Kuna cos (arcсos x) = x, mille x kuulub [-1; 1], siis on see võrrand samaväärne süsteemiga:

(4x - 9 = x 2 - 5x + 5,
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.

Lahendame süsteemis sisalduva võrrandi.

4x - 9 = x 2 - 5x + 5.

See on ruudukujuline, nii et me saame selle

x 2 - 9x + 14 \u003d 0;

D \u003d 81 - 4 14 \u003d 25;

x 1 \u003d (9 + 5) / 2 = 7;

x 2 \u003d (9–5) / 2 = 2.

Lahendame süsteemis sisalduva topeltvõrratuse.

1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. Lisage kõikidele osadele 9, saame:

8 ≤ 4x ≤ 10. Jagage iga arv 4-ga, saame:

2 ≤ x ≤ 2,5.

Nüüd ühendame vastused. On lihtne näha, et juur x = 7 ei rahulda ebavõrdsuse vastust. Seetõttu on võrrandi ainus lahendus x = 2.

Vastus: 2.

Näide 3

Lahenda võrrand: tg (arctg (0,5 - x)) = x 2 - 4x + 2,5.

Lahendus.

Kuna tg (arctg x) = x kõigi reaalarvude puhul, on see võrrand võrdne võrrandiga:

0,5 - x \u003d x 2 - 4x + 2,5.

Lahendame saadud ruutvõrrand kasutades diskriminanti, olles eelnevalt viinud selle standardvormi.

x 2 - 3x + 2 = 0;

D \u003d 9 - 4 2 \u003d 1;

x 1 \u003d (3 + 1) / 2 = 2;

x 2 \u003d (3 - 1) / 2 = 1.

Vastus: 1; 2.

Näide 4

Lahendage võrrand: arcctg (2x - 1) = arcctg (x 2 /2 + x/2).

Lahendus.

Kuna arcctg f(x) = arcctg g(x) siis ja ainult siis, kui f(x) = g(x), siis

2x - 1 \u003d x 2/2 + x / 2. Lahendame saadud ruutvõrrandi:

4x - 2 \u003d x 2 + x;

x 2 - 3x + 2 = 0.

Vieta teoreemi järgi saame selle

x=1 või x=2.

Vastus: 1; 2.

Näide 5

Lahendage võrrand: arcsin (2x - 15) = arcsin (x 2 - 6x - 8).

Lahendus.

Kuna võrrand kujul arcsin f(x) = arcsin g(x) on samaväärne süsteemiga

(f(x) = g(x),
(f(x) € [-1; 1],

siis on algne võrrand samaväärne süsteemiga:

(2x - 15 = x 2 - 6x + 8,
(-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1.

Lahendame saadud süsteemi:

(x 2 - 8x + 7 \u003d 0,
(14 ≤ 2x ≤ 16.

Esimesest võrrandist saame Vieta teoreemi järgi, et x = 1 või x = 7. Lahendades süsteemi teise võrratuse saame, et 7 ≤ x ≤ 8. Seetõttu sobib ainult juur x = 7 lõplik vastus.

Vastus: 7.

Näide 6

Lahendage võrrand: (kaared x) 2 - 6 kaared x + 8 = 0.

Lahendus.

Olgu arccos x = t, siis t kuulub segmenti ja võrrand saab:

t 2 - 6t + 8 = 0. Saadud ruutvõrrandi lahendame Vieta teoreemi abil, saame, et t = 2 või t = 4.

Kuna t = 4 ei kuulu segmenti , saame, et t = 2, s.o. arccos x \u003d 2, mis tähendab x \u003d cos 2.

Vastus: cos 2.

Näide 7

Lahendage võrrand: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2 /36.

Lahendus.

Kasutame võrdsust arcsin x + arccos x = π/2 ja kirjutame võrrandi järgmiselt

(artsin x) 2 + (π/2 - arcsin x) 2 = 5π 2 /36.

Olgu arcsin x = t, siis t kuulub intervalli [-π/2; π/2] ja võrrand muutub:

t 2 + (π / 2 - t) 2 \u003d 5π 2 / 36.

Lahendame saadud võrrandi:

t2 + π2/4 – πt + t2 = 5π2/36;

2t 2 – πt + 9π 2 /36 – 5π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + 4π 2 /36 = 0;

2t 2 - πt + π 2 / 9 = 0. Korrutage iga liige 9-ga, et vabaneda võrrandis murdosadest, saame:

18t 2 – 9πt + π 2 \u003d 0.

Leidke diskriminant ja lahendage saadud võrrand:

D \u003d (-9π) 2–4 18 π 2 = 9π 2.

t = (9π - 3π) / 2 18 või t = (9π + 3π) / 2 18;

t = 6π/36 või t = 12π/36.

Pärast vähendamist on meil:

t = π/6 või t = π/3. Siis

arcsin x = π/6 või arcsin x = π/3.

Seega x = sin π/6 või x = sin π/3. See tähendab, et x = 1/2 või x = √3/2.

Vastus: 1/2; √3/2.

Näide 8

Leidke avaldise 5nx 0 väärtus, kus n on juurte arv ja x 0 on võrrandi 2 negatiivne juur arcsin x = - π - (x + 1) 2.

Lahendus.

Kuna -π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2, siis -π ≤ 2 arcsin x ≤ π. Lisaks (x + 1) 2 ≥ 0 kõigi reaalsete x-ide korral,
siis -(x + 1) 2 ≤ 0 ja -π – (x + 1) 2 ≤ -π.

Seega võib võrrandil olla lahend, kui selle mõlemad osad on samaaegselt võrdsed –π-ga, s.o. võrrand on samaväärne süsteemiga:

(2 arcsin x = -π,
(-π - (x + 1) 2 = -π.

Lahendame saadud võrrandisüsteemi:

(artsin x = -π/2,
((x + 1) 2 = 0.

Teisest võrrandist saame vastavalt, et x \u003d -1, n \u003d 1, siis 5nx 0 \u003d 5 1 (-1) \u003d -5.

Vastus: -5.

Nagu praktika näitab, on võime lahendada võrrandeid pöördtrigonomeetriliste funktsioonidega vajalik tingimus edukas tarne eksamid. Seetõttu on selliste probleemide lahendamise koolitus lihtsalt vajalik ja eksamiks valmistumisel kohustuslik.

Kas teil on küsimusi? Kas te ei tea, kuidas võrrandeid lahendada?
Juhendajalt abi saamiseks -.
Esimene tund on tasuta!

blog.site, materjali täieliku või osalise kopeerimisega on nõutav link allikale.

Tunnid 32-33. Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid

09.07.2015 5917 0

Sihtmärk: vaatleme pöördtrigonomeetrilisi funktsioone, nende kasutamist trigonomeetriliste võrrandite lahenduste kirjutamisel.

I. Tundide teema ja eesmärkide edastamine

II. Uue materjali õppimine

1. Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid

Alustame seda teemat järgmise näitega.

Näide 1

Lahendame võrrandi: a) sin x = 1/2; b) sin x \u003d a.

a) Jäta ordinaatteljel kõrvale väärtus 1/2 ja joonista nurgad x 1 ja x2, mille jaoks sin x = 1/2. Sel juhul x1 + x2 = π, kust x2 = π – x 1 . Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabeli järgi leiame väärtuse x1 = π/6, siisArvestame siinusfunktsiooni perioodilisusega ja kirjutame üles selle võrrandi lahendid:kus k ∈ Z .

b) On ilmne, et võrrandi lahendamise algoritm patt x = a on sama, mis eelmises lõigus. Muidugi joonistatakse nüüd a väärtus piki y-telge. On vaja kuidagi määrata nurk x1. Leppisime kokku, et tähistame sellist nurka sümboliga kaar patt a. Siis saab selle võrrandi lahendid kirjutada järgmiseltNeed kaks valemit saab ühendada üheks: kus

Sarnaselt tutvustatakse ka teisi pöördtrigonomeetrilisi funktsioone.

Väga sageli on vaja nurga väärtus määrata teadaolev väärtus selle trigonomeetriline funktsioon. Selline probleem on mitme väärtusega – on lõpmatu arv nurki, mille trigonomeetrilised funktsioonid on võrdsed sama väärtusega. Seetõttu võetakse trigonomeetriliste funktsioonide monotoonsuse põhjal kasutusele järgmised trigonomeetrilised pöördfunktsioonid, et määrata nurgad üheselt.

Arsinus a (arcsin , mille siinus on võrdne a-ga, s.o.

Arvu kaarekoosinus a(arccos a) - selline nurk a intervallist, mille koosinus on võrdne a-ga, s.t.

Arvu kaare puutuja a(arctg a) - selline nurk a intervallistmille puutuja on a, s.t.tg a = a.

Arvu kaare puutuja a(arctg a) - selline nurk a intervallist (0; π), mille kotangens on võrdne a-ga, s.o. ctg a = a.

Näide 2

Leiame:

Arvestades trigonomeetriliste pöördfunktsioonide määratlusi, saame:

Näide 3

Arvuta

Olgu nurk a = arcsin 3/5, siis definitsiooni järgi sin a = 3/5 ja . Seetõttu peame leidma cos a. Kasutades põhilist trigonomeetrilist identiteeti, saame:Arvesse võetakse, et cos a ≥ 0.

Funktsiooni omadused	Funktsioon
Funktsiooni omadused	y = arcsin x	y = arccos x	y = arctg x	y = arcctg x
Domeen	x ∈ [-1; üks]	x ∈ [-1; üks]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
Väärtuste vahemik	y ∈ [-π/2 ; π/2]	y ∈	y ∈ (-π/2 ; π /2 )	y ∈ (0; π)
Pariteet	kummaline	Ei paaris ega veider	kummaline	Ei paaris ega veider
Funktsiooni nullid (y = 0)	Kui x = 0	Kui x = 1	Kui x = 0	y ≠ 0
Püsivuse intervallid	y > 0 x ∈ (0; 1], juures< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 x ∈ [-1; üks)	y > 0, kui x ∈ (0; +∞), juures< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 x ∈ korral (-∞; +∞)
Monotoonne	Kasvav	Väheneb	Kasvav	Väheneb
Seos trigonomeetrilise funktsiooniga	sin y \u003d x	cos y = x	tg y = x	ctg y=x
Ajakava

Võtame teise seeria tüüpilised näited seotud trigonomeetriliste pöördfunktsioonide definitsioonide ja põhiomadustega.

Näide 4

Leidke funktsiooni domeen

Funktsiooni y defineerimiseks on vajalik, et ebavõrdsusmis on samaväärne ebavõrdsuse süsteemigaEsimese võrratuse lahendus on intervall x∈ (-∞; +∞), teine - See lõhe ja see on ebavõrdsuse süsteemi lahendus ja seega ka funktsiooni valdkond

Näide 5

Leidke funktsiooni muutumisala

Mõelge funktsiooni käitumisele z \u003d 2x - x2 (vt joonist).

On näha, et z ∈ (-∞; 1]. Arvestades, et argument z pöördtangensi funktsioon varieerub määratud piirides, tabelis olevatest andmetest saame selleSeega muutuste piirkond

Näide 6

Tõestame, et funktsioon y = arctg x paaritu. LaseSeejärel tg a \u003d -x või x \u003d - tg a \u003d tg (- a) ja Seetõttu - a \u003d arctg x või a \u003d - arctg X. Seega näeme sedast y(x) on paaritu funktsioon.

Näide 7

Me väljendame trigonomeetriliste pöördfunktsioonide kaudu

Lase See on ilmne Siis sellest ajast

Tutvustame nurga Sest siis

Sarnaselt seega ja

Niisiis,

Näide 8

Koostame funktsiooni y \u003d graafiku cos (arcsin x).

Seejärel tähistage \u003d arcsin x Arvestame, et x \u003d sin a ja y \u003d cos a, st x 2 + y2 = 1 ja piirangud x (x∈ [-üks; 1]) ja y (y ≥ 0). Siis funktsiooni y = graafik cos (arcsin x) on poolring.

Näide 9

Koostame funktsiooni y \u003d graafiku arccos (cosx).

Kuna funktsioon cos x muutub lõigul [-1; 1], siis funktsioon y on defineeritud kogu reaalteljel ja muutub intervallil . Peame meeles, et y = arccos (cosx) \u003d x segmendil; funktsioon y on paaris ja perioodiline perioodiga 2π. Arvestades, et funktsioonil on need omadused cos x , Nüüd on seda lihtne joonistada.

Märgime mõned kasulikud võrdsused:

Näide 10

Leia väikseim ja suurim väärtus funktsioonid Tähistage siis Hankige funktsioon Sellel funktsioonil on punktis miinimum z = π/4 ja see on võrdne Funktsiooni maksimaalne väärtus saavutatakse punktis z = -π/2 ja see on võrdne Seega ja

Näide 11

Lahendame võrrandi

Me arvestame sellega Siis näeb võrrand välja selline:või kus Kaartangensi definitsiooni järgi saame:

2. Lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamine

Sarnaselt näitega 1 saate lahendusi ka kõige lihtsamatele trigonomeetrilistele võrranditele.

Võrrand	Lahendus


tgx = a
ctg x = a

Näide 12

Lahendame võrrandi

Kuna siinusfunktsioon on paaritu, kirjutame võrrandi kujuleSelle võrrandi lahendused:kust me leiame

Näide 13

Lahendame võrrandi

Ülaltoodud valemi järgi kirjutame võrrandi lahendid:ja leida

Arvesta, et erijuhtudel (a = 0; ±1) võrrandite lahendamisel sin x = a ja cos x \u003d, kuid lihtsam ja mugavam on kasutada mitte üldvalemeid, vaid kirjutada lahendused ühikringi alusel:

võrrandi sin x = 1 lahendus

võrrandi sin x \u003d 0 lahendused x \u003d π k;

võrrandi sin x = -1 lahendus