Definitsioon.
Ristkülik See on nelinurk, mille kaks vastaskülge on võrdsed ja kõik neli nurka on võrdsed.Ristkülikud erinevad üksteisest ainult pika ja lühikese külje suhte poolest, kuid kõik neli nurka on õiged, st igaüks 90 kraadi.
Ristküliku pikka külge nimetatakse ristküliku pikkus ja lühike ristküliku laius.
Ristküliku küljed on ka selle kõrgused.
Ristküliku põhiomadused
Ristkülik võib olla rööpkülik, ruut või romb.
1. Ristküliku vastasküljed on ühepikkused, st võrdsed:
AB = CD, BC = AD
2. Ristküliku vastasküljed on paralleelsed:
3. Ristküliku külgnevad küljed on alati risti:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. Ristküliku kõik neli nurka on sirged:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Ristküliku nurkade summa on 360 kraadi:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Ristküliku diagonaalid on ühepikkused:
7. Ristküliku diagonaali ruutude summa võrdub külgede ruutude summaga:
2d2 = 2a2 + 2b2
8. Iga ristküliku diagonaal jagab ristküliku kaheks identseks kujundiks, nimelt täisnurkseks kolmnurgaks.
9. Ristküliku diagonaalid lõikuvad ja jagatakse lõikepunktis pooleks:
| AO=BO=CO=DO= | d | ||
| 2 |
10. Diagonaalide lõikepunkti nimetatakse ristküliku keskpunktiks ja see on ka piiritletud ringi keskpunkt
11. Ristküliku diagonaal on piiritletud ringi läbimõõt
12. Ringi saab alati kirjeldada ümber ristküliku, kuna vastasnurkade summa on 180 kraadi:
∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°
13. Ringi ei saa kirjutada ristkülikusse, mille pikkus ei ole võrdne selle laiusega, kuna vastaskülgede summad ei ole üksteisega võrdsed (ringi saab kirjutada ainult ristküliku erijuhul - ruudul).
Ristküliku küljed
Definitsioon.
Ristküliku pikkus nimetage selle külgede pikema paari pikkust. Ristküliku laius nimeta selle külgede lühema paari pikkus.Valemid ristküliku külgede pikkuste määramiseks
1. Ristküliku külje (ristküliku pikkus ja laius) diagonaali ja teise külje valem:
a = √ d 2 - b 2
b = √ d 2 - a 2
2. Ristküliku külje (ristküliku pikkus ja laius) pindala ja teise külje valem:
| b = dcos | β |
| 2 |
Ristkülik diagonaal
Definitsioon.
Diagonaalne ristkülik Nimetatakse mis tahes lõiku, mis ühendab ristküliku kahte vastasnurkade tippu.Valemid ristküliku diagonaali pikkuse määramiseks
1. Ristküliku diagonaali valem ristküliku kahe külje järgi (Pythagorase teoreemi kaudu):
d = √ a 2 + b 2
2. Ristküliku pindala ja mis tahes külje diagonaali valem:
4. Ristküliku diagonaali valem piiritletud ringi raadiuse järgi:
d=2R
5. Ristküliku diagonaali valem piiritletud ringi läbimõõdu järgi:
d = D o
6. Ristküliku diagonaali valem diagonaaliga külgneva nurga siinuse ja selle nurga vastaskülje pikkuse järgi:
8. Ristküliku diagonaali valem diagonaalide ja ristküliku pindala vahelise teravnurga siinuse järgi
d = √2S: sinβ
Ristküliku ümbermõõt
Definitsioon.
Ristküliku ümbermõõt on ristküliku kõigi külgede pikkuste summa.Valemid ristküliku perimeetri pikkuse määramiseks
1. Ristküliku ümbermõõdu valem ristküliku kahe külje järgi:
P = 2a + 2b
P = 2(a+b)
2. Ristküliku ümbermõõdu valem pindala ja mis tahes külje järgi:
| P= | 2S + 2a 2 | = | 2S + 2b 2 |
| a | b |
3. Ristküliku ümbermõõdu valem diagonaali ja mis tahes külje järgi:
P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)
4. Ristküliku ümbermõõdu valem piiritletud ringi ja mis tahes külje raadiuse järgi:
P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)
5. Ristküliku ümbermõõdu valem piiritletud ringi ja mis tahes külje läbimõõdu järgi:
P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)
Ristküliku ala
Definitsioon.
Ristküliku ala nimetatakse ruumiks, mis on piiratud ristküliku külgedega, see tähendab ristküliku perimeetri piires.Valemid ristküliku pindala määramiseks
1. Ristküliku kahe külje pindala valem:
S = a b
2. Perimeetrit ja mis tahes külge läbiva ristküliku pindala valem:
5. Ristküliku pindala valem piiritletud ringi ja mis tahes külje raadiuse järgi:
S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2
6. Ristküliku pindala valem piiritletud ringi ja mis tahes külje läbimõõdu järgi:
S \u003d a √ D o 2 - a 2= b √ D o 2 - b 2
Ring, mis on ümbritsetud ristküliku ümber
Definitsioon.
Ring, mis on ümbritsetud ristküliku ümber Ringjooneks nimetatakse ringjoont, mis läbib neli ristküliku tippu, mille keskpunkt asub ristküliku diagonaalide ristumiskohas.Valemid ristküliku ümber piiratud ringjoone raadiuse määramiseks
1. Ristküliku ümber kahe küljega ümbritsetud ringi raadiuse valem:
Üldiselt vasakpoolse ristküliku valem segmendil järgnevalt (21) :
Selles valemis x 0 =a, x n =b, kuna iga integraal näeb üldiselt välja selline: (vt valemit 18 ).
h saab arvutada valemi abil 19 .
y 0 ,y 1 ,...,y n-1 x 0 , x 1 ,..., x n-1 (x i =x i-1 +h).
Täisnurksete ristkülikute valem.
Üldiselt parempoolse ristküliku valem segmendil järgnevalt (22) :
Selles valemis x 0 =a, x n =b(vt vasakpoolsete ristkülikute valemit).
h saab arvutada sama valemiga nagu vasakpoolsete ristkülikute valemis.
y 1 ,y 2 ,...,y n on vastava funktsiooni f(x) väärtused punktides x 1 , x 2 ,..., x n (x i =x i-1 +h).
Keskmise ristküliku valem.
Üldiselt keskmise ristküliku valem segmendil järgnevalt (23) :
Kus x i =x i-1 +h.
Selles valemis, nagu ka eelmistes, on h vaja funktsiooni f (x) väärtuste summa korrutamiseks, kuid mitte ainult vastavate väärtuste asendamisega. x 0 ,x 1 ,...,x n-1 funktsiooni f(x) ja lisades igale väärtusele h/2(x 0 +h/2, x 1 +h/2,..., x n-1 +h/2) ja siis ainult asendades need antud funktsiooniga.
h saab arvutada sama valemiga nagu vasakpoolsete ristkülikute valemis." [ 6 ]
Praktikas rakendatakse neid meetodeid järgmiselt:
Mathcad ;
excel .
Mathcad ;
excel .
Integraali arvutamiseks Exceli keskmiste ristkülikute valemi abil peate tegema järgmised toimingud:
Jätkake tööd samas dokumendis nagu integraali arvutamisel vasaku ja parempoolse ristküliku valemite abil.
Sisestage lahtrisse E6 tekst xi+h/2 ja lahtrisse F6 f(xi+h/2).
Sisestage lahtrisse E7 valem =B7+$B$4/2, kopeerige see valem, lohistades lahtrite vahemikku E8:E16
Sisestage lahtrisse F7 valem =ROOT(E7^4-E7^3+8), kopeerige see valem, tõmmates lahtrite vahemikku F8:F16
Sisestage lahtrisse F18 valem =SUM(F7:F16).
Sisestage lahtrisse F19 valem =B4*F18.
Sisestage keskmiste tekst lahtrisse F20.
Selle tulemusena saame järgmise:
Vastus: antud integraali väärtus on 13,40797.
Saadud tulemuste põhjal võime järeldada, et keskmiste ristkülikute valem on kõige täpsem parem- ja vasakpoolsete ristkülikute valemitest.
1. Monte Carlo meetod
"Monte Carlo meetodi põhiidee on korrata juhuslikke teste mitu korda. Monte Carlo meetodi iseloomulikuks tunnuseks on juhuslike arvude (mõne juhusliku suuruse arvväärtuste) kasutamine. Selliseid numbreid saab hankida kasutades juhuslike arvude generaatorid Näiteks Turbo Pascal programmeerimiskeel on standardfunktsiooniga juhuslik, mille väärtused on intervallile ühtlaselt jaotatud juhuslikud arvud . See tähendab, et kui jagate määratud segmendi teatud arvuks võrdseteks intervallideks ja arvutate juhusliku funktsiooni väärtuse mitu korda, siis igasse intervalli langeb ligikaudu sama arv juhuslikke arve. Bassin programmeerimiskeeles on sarnane andur rnd-funktsioon. Arvutustabeli MS Excelis funktsioon RAND tagastab ühtlaselt jaotatud juhusliku arvu, mis on suurem või võrdne 0 ja väiksem kui 1 (muutub ümberarvutamisel)" [ 7 ].
Selle arvutamiseks peate kasutama valemit () :
Kus (i=1, 2, …, n) on intervallis olevad juhuslikud arvud .
Selliste arvude saamiseks intervallis ühtlaselt jaotatud juhuslike arvude jada x i põhjal piisab teisenduse x i =a+(b-a)x i sooritamisest.
Praktikas rakendatakse seda meetodit järgmiselt:
Integraali arvutamiseks Excelis Monte Carlo meetodil peate tegema järgmised toimingud:
Lahtrisse B1 sisestage tekst n=.
Lahtrisse B2 sisestage tekst a=.
Lahtrisse B3 sisestage tekst b=.
Sisestage lahtrisse C1 number 10.
Sisestage lahtrisse C2 number 0.
Lahtrisse C3 sisestage number 3.2.
Lahtrisse A5 sisestage I, lahtrisse B5 - xi, lahtrisse C5 - f (xi).
Lahtrid A6:A15 täidetakse numbritega 1,2,3, ..., 10 – kuna n=10.
Sisestage lahtrisse B6 valem =RAND()*3.2 (arvud genereeritakse vahemikus 0 kuni 3.2), kopeerige see valem, tõmmates lahtrite vahemikku B7:B15.
Sisestage valem =ROOT(B6^4-B6^3+8) lahtrisse C6, kopeerige see valem, lohistades selle lahtrite vahemikku C7:C15.
Sisestage lahtrisse B16 tekst "summa", B17-sse "(b-a)/n" ja B18-sse "I=".
Sisestage lahtrisse C16 valem =SUM(C6:C15).
Sisestage lahtrisse C17 valem =(C3-C2)/C1.
Sisestage lahtrisse C18 valem =C16*C17.
Selle tulemusena saame:
Vastus: antud integraali väärtus on 13,12416.
Üks matemaatika põhimõisteid on ristküliku ümbermõõt. Sellel teemal on palju probleeme, mille lahendamine ei saa läbi ilma perimeetri valemita ja selle arvutamise oskusteta.
Põhimõisted
Ristkülik on nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad ja vastasküljed on paarikaupa võrdsed ja paralleelsed. Meie elus on paljud figuurid ristküliku kujulised, näiteks laua, märkmiku pind jne.
Kaaluge näidet: piki maa-ala piire tuleb rajada tara. Iga külje pikkuse väljaselgitamiseks peate need mõõtma.
Riis. 1. Ristkülikukujuline krunt.
Maatükil on küljed pikkusega 2 m, 4 m, 2 m, 4 m. Seetõttu tuleb aia kogupikkuse väljaselgitamiseks liita kõikide külgede pikkused:
2+2+4+4= 2 2+4 2 =(2+4) 2 =12 m.
Seda väärtust nimetatakse üldiselt perimeetriks. Seega tuleb perimeetri leidmiseks lisada kõik joonise küljed. Perimeetri tähistamiseks kasutatakse tähte P.
Ristkülikukujulise kujundi ümbermõõdu arvutamiseks ei pea te seda ristkülikuteks jagama, peate mõõtma joonlauaga (mõõdulint) ainult selle kujundi kõiki külgi ja leidma nende summa.
Ristküliku ümbermõõtu mõõdetakse mm, cm, m, km jne. Vajadusel teisendatakse ülesandes olevad andmed samasse mõõtmissüsteemi.
Ristküliku ümbermõõtu mõõdetakse erinevates ühikutes: mm, cm, m, km jne. Vajadusel teisendatakse ülesandes olevad andmed üheks mõõtmissüsteemiks.
Kuju perimeetri valem
Kui võtta arvesse asjaolu, et ristküliku vastasküljed on võrdsed, saame tuletada ristküliku ümbermõõdu valemi:
$P = (a+b) * 2$, kus a, b on joonise küljed.
Riis. 2. Ristkülik, mille vastasküljed on märgitud.
Perimeetri leidmiseks on veel üks viis. Kui ülesandele on antud ainult üks joonise külg ja pindala, saate kasutada teise külje väljendamiseks ala kaudu. Siis näeb valem välja selline:
$P = ((2S + 2a2)\over(a))$, kus S on ristküliku pindala.
Riis. 3. Ristkülik külgedega a, b.
Harjutus : Arvutage ristküliku ümbermõõt, kui selle küljed on 4 cm ja 6 cm.
Lahendus:
Kasutame valemit $P = (a+b)*2$
$P = (4+6)*2=20 cm$
Seega on joonise ümbermõõt $P = 20 cm$.
Kuna ümbermõõt on kujundi kõigi külgede summa, on poolperimeeter ainult ühe pikkuse ja laiuse summa. Perimeetri saamiseks korrutage poolperimeeter 2-ga.
Pindala ja ümbermõõt on mis tahes kujundi mõõtmise kaks põhimõistet. Neid ei tohiks segi ajada, kuigi nad on omavahel seotud. Kui suurendate või vähendate pindala, suureneb või väheneb vastavalt selle ümbermõõt.
Mida me õppisime?
Oleme õppinud, kuidas leida ristküliku ümbermõõt. Ja tutvus ka selle arvutamise valemiga. Selle teemaga võib kokku puutuda mitte ainult matemaatikaülesannete lahendamisel, vaid ka päriselus.
Teemaviktoriin
Artikli hinnang
Keskmine hinne: 4.5. Kokku saadud hinnanguid: 365.
Ristkülik on nelinurk, mille iga nurk on täisnurk.
Tõestus
Omadust seletatakse rööpküliku tunnuse 3 toimega (st \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )
2. Vastasküljed on võrdsed.
AB = CD,\enspace BC = AD
3. Vastasküljed on paralleelsed.
AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD
4. Külgnevad küljed on üksteisega risti.
AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\entühik CD \perp AD,\enspace AD \perp AB
5. Ristküliku diagonaalid on võrdsed.
AC=BD
Tõestus
Vastavalt vara 1 ristkülik on rööpkülik, mis tähendab AB = CD.
Seetõttu \kolmnurk ABD = \kolmnurk DCA piki kahte jalga (AB = CD ja AD - liigend).
Kui mõlemad figuurid - ABC ja DCA on identsed, siis on ka nende hüpotenuusid BD ja AC identsed.
Seega AC = BD.
Ainult kõigist kujunditest koosneval ristkülikul (ainult rööpkülikutest!) on võrdsed diagonaalid.
Tõestame ka seda.
ABCD on rööpkülik \Paremnool AB = CD , AC = BD tingimuse järgi. \Paremnool \kolmnurk ABD = \kolmnurk DCA juba kolmest küljest.
Selgub, et \nurk A = \nurk D (nagu rööpküliku nurgad). Ja \nurk A = \nurk C, \nurk B = \nurk D.
Me järeldame seda \nurk A = \nurk B = \nurk C = \nurk D. Kõik need on 90^(\circ) . Kokku on 360^(\circ) .
Tõestatud!
6. Diagonaali ruut võrdub selle kahe külgneva külje ruutude summaga.
See omadus kehtib Pythagorase teoreemi alusel.
AC^2=AD^2+CD^2
7. Diagonaal jagab ristküliku kaheks identseks täisnurkseks kolmnurgaks.
\kolmnurk ABC = \kolmnurk ACD, \enspace \kolmnurk ABD = \kolmnurk BCD
8. Diagonaalide lõikepunkt poolitab need.
AO=BO=CO=DO
.png)
9. Diagonaalide lõikepunktiks on ristküliku ja piiritletud ringi keskpunkt.
10. Kõikide nurkade summa on 360 kraadi.
\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^(\circ)
11. Ristküliku kõik nurgad on õiged.
\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^(\circ)
12. Ristkülikut ümbritseva ringjoone läbimõõt on võrdne ristküliku diagonaaliga.
13. Ringi saab alati kirjeldada ristküliku ümber.
See omadus kehtib, kuna ristküliku vastasnurkade summa on 180^(\circ)
\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)
14. Ristkülik võib sisaldada sissekirjutatud ringi ja ainult ühte, kui sellel on ühesugused küljepikkused (see on ruut).
Valemi ülejäänud liikme hinnang:
, 
või 
.
Teenindusülesanne. Teenus on mõeldud kindla integraali online-arvutamiseks ristkülikute valemi abil.
Juhend. Sisestage integrand f(x) ja klõpsake nuppu Lahenda. Saadud lahendus salvestatakse Wordi faili. Excelis luuakse ka lahendusmall. Allpool on videojuhend.
Funktsioonide sisestamise reeglid
Näited≡ x^2/(1+x)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3) See on lihtsaim kvadratuurivalem integraali arvutamiseks, mis kasutab funktsiooni ühte väärtust
(1)
kus; h = x 1 - x 0.
Valem (1) on ristkülikute keskne valem. Arvutame ülejäänud osa. Laiendame funktsiooni y=f(x) punktis ε 0 Taylori seeriaks:
(2)
kus ε1; x∈. Integreerime (2):
(3)
Teises liikmes on integrand paaritu ja integratsiooni piirid on punkti ε 0 suhtes sümmeetrilised. Seetõttu on teine integraal võrdne nulliga. Seega tuleneb (3)-st 
.
Kuna integrandi teine tegur märki ei muuda, saame keskmise väärtuse teoreemi abil 
, kus. Pärast integreerimist saame 
. (4)
Võrreldes trapetsivalemi ülejäänud liikmega, näeme, et ristkülikuvalemi viga on kaks korda väiksem kui trapetsi valemi viga. See tulemus on tõene, kui ristkülikute valemis võtame funktsiooni väärtuse keskpunktis.
Saame ristkülikute valemi ja intervalli ülejäänud liikme. Olgu antud ruudustik x i =a+ih, i=0,1,...,n, h=x i+1 -x i. Vaatleme võrku ε i =ε 0 +ih, i=1,2,..,n, ε 0 =a-h/2. Siis 
. (5)
Järelejäänud tähtaeg 
.
Geomeetriliselt saab ristkülikute valemit esitada järgmise joonisega: 
Kui funktsioon f (x) on antud tabelis, siis kasutatakse kas ristkülikute vasakpoolset valemit (ühtse ruudustiku jaoks) 
või ristkülikute parempoolne valem
.
Nende valemite viga hinnatakse esimese tuletise kaudu. Intervalli puhul on viga
; .
Pärast integreerimist saame .
Näide. Arvutage integraal väärtusele n=5:
a) trapetsi valemi järgi;
b) ristkülikute valemi järgi;
c) Simpsoni valemi järgi;
d) Gaussi valemi järgi;
e) Tšebõševi valemi järgi.
Arvutage viga.
Lahendus. 5 integreerimissõlme puhul on ruudustiku samm 0,125.
Lahendamisel kasutame funktsiooni väärtuste tabelit. Siin f(x)=1/x.
| x | f(x) | ||
| x0 | 0.5 | y0 | 2 |
| x1 | 0.625 | y1 | 1.6 |
| x2 | 0.750 | y2 | 1.33 |
| x3 | 0.875 | y3 | 1.14 |
| x4 | 1.0 | y4 | 1 |
I = h/2×;
I = (0,125/2) × = 0.696;
R = [-(b-a)/12] × h × y¢¢ (x);
f¢¢(x)=2/(x3).
Funktsiooni teise tuletise maksimaalne väärtus intervallil on 16: max (f¢¢(x)), xн=2/(0,5 3)=16, seega
R = [-(1-0,5)/12] × 0,125 × 16 = - 0.0833;
b) ristkülikute valem:
vasakpoolse valemi jaoks I=h×(y0+y1+y2+y3);
I=0,125×(2+1,6+1,33+1,14)= 0.759;
R = [(b-a)/6] × h 2 × y¢¢ (x);
R = [(1-0,5)/6] × 0,125 2 × 16 = 0.02;
c) Simpsoni valem:
I=(2h/6)×(y0+y4+4×(y1+y3)+2×y2);
I=(2×0,125)/6×(2+1+4×(1,6+1,14)+2×1,33)= 0.693;
R = [-(b-a)/180] × h 4 × y (4) (x);
f(4)(x)=24/(x5)=768;
R = [-(1-0,5)/180] × (0,125) 4 × 768 = - 5.2 e-4;
d) Gaussi valem:
I = (b-a)/2×;
x i =(b+a)/2+t i (b-a)/2
(A i , t i - tabeliväärtused).
| t (n = 5) | A (n=5) | ||||||
| x1 | 0.9765 | y1 | 1.02 | t1 | 0.90617985 | A 1 | 0.23692688 |
| x2 | 0.8846 | y2 | 1.13 | t2 | 0.53846931 | A2 | 0.47862868 |
| x3 | 0.75 | y3 | 1.33 | t3 | 0 | A 3 | 0.56888889 |
| x4 | 0.61 | y4 | 1.625 | t4 | -0.53846931 | A4 | 0.47862868 |
| x5 | 0.52 | y5 | 1.91 | t5 | -0.90617985 | A5 | 0.23692688 |
e) Tšebõševi valem:
I=[(b-a)/n] ×S f(x i), i=1..n,
x i =(b+a)/2+[ t i (b-a)]/2 - integreerimisintervalli vajalik vähendamine intervallile [-1;1].
Kui n=5
| t1 | 0.832498 |
| t2 | 0.374541 |
| t3 | 0 |
| t4 | -0.374541 |
| t5 | -0.832498 |
| x1 | 0,958 | f(x1) | 1,043 |
| x2 | 0,844 | f(x2) | 1,185 |
| x3 | 0,75 | f(x3) | 1,333 |
| x4 | 0,656 | f(x4) | 1,524 |
| x5 | 0,542 | f(x5) | 1,845 |
I=(1-0,5)/5×6,927=0,6927.
Laadimine...