В този урок подробно се разглежда процедурата за извършване на аритметични действия в изрази без скоби и със скоби. Учениците имат възможност в хода на изпълнение на задачите да определят дали значението на изразите зависи от реда, в който се извършват аритметичните операции, да открият дали редът на аритметичните операции се различава в изрази без скоби и със скоби, да се упражняват да прилагат наученото правило, за намиране и коригиране на грешки, допуснати при определяне на реда на действията.

В живота ние постоянно извършваме някакво действие: ходим, учим, четем, пишем, броим, усмихваме се, караме се и се сдобряваме. Изпълняваме тези стъпки в различен ред. Понякога могат да се разменят, понякога не. Например, отивайки на училище сутрин, можете първо да правите упражнения, след това да оправите леглото или обратното. Но не можете първо да отидете на училище и тогава да се обличате.

А в математиката необходимо ли е аритметичните действия да се извършват в определен ред?

Да проверим

Нека сравним изразите:
8-3+4 и 8-3+4

Виждаме, че и двата израза са абсолютно еднакви.

Нека изпълним действия в един израз отляво надясно, а в друг от дясно наляво. Числата могат да показват реда, в който се извършват действията (фиг. 1).

Ориз. 1. Процедура

В първия израз първо ще извършим операцията за изваждане и след това ще добавим числото 4 към резултата.

Във втория израз първо намираме стойността на сумата и след това изваждаме резултата 7 от 8.

Виждаме, че стойностите на изразите са различни.

Нека заключим: Редът, в който се извършват аритметичните операции, не може да се променя..

Нека научим правилото за извършване на аритметични операции в изрази без скоби.

Ако изразът без скоби включва само събиране и изваждане или само умножение и деление, тогава действията се извършват в реда, в който са записани.

Да се ​​упражняваме.

Помислете за израза

Този израз има само операции събиране и изваждане. Тези действия се наричат първи стъпки действия.

Извършваме действия отляво надясно по ред (фиг. 2).

Ориз. 2. Процедура

Разгледайте втория израз

В този израз има само операции на умножение и деление - Това са действията от втората стъпка.

Извършваме действия отляво надясно по ред (фиг. 3).

Ориз. 3. Процедура

В какъв ред се извършват аритметичните операции, ако изразът съдържа не само събиране и изваждане, но и умножение и деление?

Ако изразът без скоби включва не само събиране и изваждане, но и умножение и деление, или и двете от тези операции, тогава първо извършете умножение и деление в ред (отляво надясно), а след това събиране и изваждане.

Помислете за израз.

Ние спорим така. Този израз съдържа операциите събиране и изваждане, умножение и деление. Ние действаме според правилото. Първо извършваме по ред (отляво надясно) умножение и деление, а след това събиране и изваждане. Нека изложим процедурата.

Нека изчислим стойността на израза.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

В какъв ред се извършват аритметичните операции, ако изразът съдържа скоби?

Ако изразът съдържа скоби, първо се изчислява стойността на изразите в скобите.

Помислете за израз.

30 + 6 * (13 - 9)

Виждаме, че в този израз има действие в скоби, което означава, че първо ще извършим това действие, след това по ред умножение и събиране. Нека изложим процедурата.

30 + 6 * (13 - 9)

Нека изчислим стойността на израза.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Как трябва да се разсъждава, за да се установи правилно редът на аритметичните операции в числов израз?

Преди да продължите с изчисленията, е необходимо да разгледате израза (разберете дали съдържа скоби, какви действия има) и едва след това изпълнете действията в следния ред:

1. действия, изписани в скоби;

2. умножение и деление;

3. събиране и изваждане.

Диаграмата ще ви помогне да запомните това. просто правило(фиг. 4).

Ориз. 4. Процедура

Да се ​​упражняваме.

Разгледайте изразите, установете реда на операциите и направете изчисленията.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

Нека спазваме правилата. Изразът 43 - (20 - 7) +15 има операции в скоби, както и операции събиране и изваждане. Да определим курса на действие. Първата стъпка е да извършите действието в скоби, а след това в ред отляво надясно, изваждане и събиране.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

Изразът 32 + 9 * (19 - 16) има операции в скоби, както и операции на умножение и събиране. Според правилото първо извършваме действието в скоби, след това умножение (числото 9 се умножава по резултата, получен чрез изваждане) и събиране.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

В израза 2*9-18:3 няма скоби, но има операции умножение, деление и изваждане. Ние действаме според правилото. Първо извършваме умножение и деление отляво надясно, а след това от резултата, получен чрез умножение, изваждаме резултата, получен чрез деление. Тоест първото действие е умножение, второто е деление, а третото е изваждане.

2*9-18:3=18-6=12

Нека разберем дали редът на действията в следните изрази е дефиниран правилно.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

Ние спорим така.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

В този израз няма скоби, което означава, че първо извършваме умножение или деление отляво надясно, след това събиране или изваждане. В този израз първото действие е деление, второто е умножение. Третото действие трябва да бъде събиране, четвъртото - изваждане. Заключение: редът на действията е определен правилно.

Намерете стойността на този израз.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Продължаваме да спорим.

Вторият израз съдържа скоби, което означава, че първо извършваме действието в скоби, след това отляво надясно умножение или деление, събиране или изваждане. Проверяваме: първото действие е в скоби, второто е деление, третото е събиране. Заключение: редът на действията е определен неправилно. Поправете грешките, намерете стойността на израза.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

Този израз също съдържа скоби, което означава, че първо извършваме действието в скоби, след това отляво надясно умножение или деление, събиране или изваждане. Проверяваме: първото действие е в скоби, второто е умножение, третото е изваждане. Заключение: редът на действията е определен неправилно. Поправете грешките, намерете стойността на израза.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Да изпълним задачата.

Нека подредим реда на действията в израза с помощта на изученото правило (фиг. 5).

Ориз. 5. Процедура

Не виждаме числови стойности, така че няма да можем да намерим значението на изразите, но ще се упражняваме да прилагаме наученото правило.

Ние действаме според алгоритъма.

Първият израз има скоби, така че първото действие е в скоби. След това отляво надясно умножение и деление, след това отляво надясно изваждане и събиране.

Вторият израз също съдържа скоби, което означава, че извършваме първото действие в скоби. След това отляво надясно умножение и деление, след това изваждане.

Нека се проверим (фиг. 6).

Ориз. 6. Процедура

Днес в урока се запознахме с правилото за реда на изпълнение на действията в изрази без скоби и със скоби.

Библиография

1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др.Математика: Учебник. 3 клас: в 2 части, част 1. - М .: "Просвещение", 2012 г.
2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др.Математика: Учебник. 3 клас: в 2 части, част 2. - М .: "Просвещение", 2012 г.
3. М.И. Моро. Уроци по математика: Насокиза учителя. 3 клас - М.: Образование, 2012.
4. Нормативен документ. Мониторинг и оценка на резултатите от обучението. - М.: "Просвещение", 2011 г.
5. "Училище на Русия": Програми за начално училище. - М.: "Просвещение", 2011 г.
6. С.И. Волков. Математика: Тестова работа. 3 клас - М.: Образование, 2012.
7. В.Н. Рудницкая. Тестове. - М.: "Изпит", 2012 г.

1. Festival.1september.ru ().
2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
3. Openclass.ru ().

Домашна работа

1. Определете реда на действията в тези изрази. Намерете значението на изразите.

2. Определете в кой израз се изпълнява този ред от действия:

1. умножение; 2. деление;. 3. допълнение; 4. изваждане; 5. допълнение. Намерете стойността на този израз.

3. Съставете три израза, в които се изпълнява следният ред от действия:

1. умножение; 2. допълнение; 3. изваждане

1. допълнение; 2. изваждане; 3. допълнение

1. умножение; 2. разделяне; 3. допълнение

Намерете значението на тези изрази.

И когато изчислявате стойностите на изразите, действията се извършват в определен ред, с други думи, трябва да спазвате ред на действията.

В тази статия ще разберем кои действия трябва да се извършат първо и кои след тях. Нека започнем с най-простите случаи, когато изразът съдържа само числа или променливи, свързани с плюс, минус, умножение и деление. След това ще обясним какъв ред на изпълнение на действията трябва да се спазва в изразите със скоби. И накрая, разгледайте последователността, в която се изпълняват действията в изрази, съдържащи степени, корени и други функции.

Навигация в страницата.

Първо умножение и деление, след това събиране и изваждане

Училището предоставя следното правило, което определя реда, в който се изпълняват действията в изрази без скоби:

• действията се извършват в ред отляво надясно,
• където първо се извършват умножение и деление, а след това събиране и изваждане.

Посоченото правило се възприема съвсем естествено. Извършването на действия в ред отляво надясно се обяснява с факта, че е обичайно да водим записи отляво надясно. А фактът, че умножението и делението се извършват преди събирането и изваждането, се обяснява със значението, което тези действия носят в себе си.

Нека да разгледаме няколко примера за прилагането на това правило. За примери ще вземем най-простите числови изрази, за да не се разсейвате от изчисления, а да се съсредоточите върху реда, в който се извършват действията.

Пример.

Следвайте стъпки 7−3+6.

Решение.

Оригиналният израз не съдържа скоби, нито умножение и деление. Следователно трябва да извършим всички действия в ред отляво надясно, тоест първо изваждаме 3 от 7, получаваме 4, след което добавяме 6 към получената разлика 4, получаваме 10.

Накратко решението може да се напише по следния начин: 7−3+6=4+6=10 .

Отговор:

7−3+6=10 .

Пример.

Посочете реда, в който се извършват действията в израза 6:2·8:3 .

Решение.

За да отговорим на въпроса за проблема, нека се обърнем към правилото, което показва реда, в който се извършват действията в изрази без скоби. Оригиналният израз съдържа само операциите умножение и деление и според правилото те трябва да се изпълняват в ред отляво надясно.

Отговор:

Първо 6 делено на 2, това частно се умножава по 8, накрая резултатът се дели на 3.

Пример.

Изчислете стойността на израза 17−5·6:3−2+4:2 .

Решение.

Първо, нека определим в какъв ред трябва да се изпълняват действията в оригиналния израз. Съдържа както умножение, така и деление, събиране и изваждане. Първо, отляво надясно, трябва да извършите умножение и деление. Така че умножаваме 5 по 6, получаваме 30, разделяме това число на 3, получаваме 10. Сега разделяме 4 на 2, получаваме 2. Заместваме намерената стойност 10 вместо 5 6:3 в оригиналния израз и стойността 2 вместо 4:2, имаме 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2.

В получения израз няма умножение и деление, така че остава да изпълним останалите действия в ред отляво надясно: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

Отговор:

17−5 6:3−2+4:2=7 .

Първоначално, за да не се обърка редът на извършване на действия при изчисляване на стойността на израз, е удобно да се поставят числа над знаците на действията, съответстващи на реда, в който се извършват. За предишния пример ще изглежда така: .

Същият ред на операциите - първо умножение и деление, след това събиране и изваждане - трябва да се следват при работа с буквени изрази.

Стъпки 1 и 2

В някои учебници по математика аритметичните операции се разделят на операции от първа и втора стъпка. Нека се справим с това.

Определение.

Първи стъпки действиясе наричат ​​събиране и изваждане, а умножение и деление действия от втора стъпка.

В тези термини правилото от предходния параграф, което определя реда, в който се извършват действията, ще бъде написано, както следва: ако изразът не съдържа скоби, тогава в ред отляво надясно, действията от втория етап ( първо се извършват умножение и деление, след това действията от първия етап (събиране и изваждане).

Ред на изпълнение на аритметични операции в изрази със скоби

Изразите често съдържат скоби, за да укажат реда, в който действията трябва да бъдат извършени. В такъв случай правило, което определя реда, в който се изпълняват действията в изрази със скоби, се формулира по следния начин: първо се изпълняват действията в скоби, докато умножението и делението също се извършват в ред отляво надясно, след това събиране и изваждане.

Така че изразите в скоби се считат за компоненти на оригиналния израз и редът на вече известните ни действия се запазва в тях. Разгледайте решенията на примерите за по-голяма яснота.

Пример.

Изпълнете дадените стъпки 5+(7−2 3) (6−4):2 .

Решение.

Изразът съдържа скоби, така че нека първо изпълним операциите в изразите, затворени в тези скоби. Нека започнем с израза 7−2 3 . В него първо трябва да извършите умножението и едва след това изваждането, имаме 7−2 3=7−6=1 . Преминаваме към втория израз в скоби 6−4 . Тук има само едно действие - изваждане, изпълняваме го 6−4=2 .

Заместваме получените стойности в оригиналния израз: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2. В получения израз първо извършваме умножение и деление отляво надясно, след това изваждане, получаваме 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6 . С това всички действия са завършени, придържахме се към следния ред на тяхното изпълнение: 5+(7−2 3) (6−4):2 .

Нека напишем кратко решение: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2=5+1=6.

Отговор:

5+(7−2 3)(6−4):2=6 .

Случва се израз да съдържа скоби в скоби. Не трябва да се страхувате от това, просто трябва последователно да прилагате изразеното правило за извършване на действия в изрази със скоби. Нека покажем примерно решение.

Пример.

Изпълнете действията в израза 4+(3+1+4·(2+3)) .

Решение.

Това е израз със скоби, което означава, че изпълнението на действията трябва да започне с израза в скоби, тоест с 3+1+4 (2+3) . Този израз също съдържа скоби, така че първо трябва да извършите действия в тях. Нека направим това: 2+3=5 . Като заместим намерената стойност, получаваме 3+1+4 5 . В този израз първо извършваме умножение, след това събиране, имаме 3+1+4 5=3+1+20=24 . Първоначалната стойност, след заместването на тази стойност, приема формата 4+24 , и остава само да изпълните действията: 4+24=28 .

Отговор:

4+(3+1+4 (2+3))=28 .

Като цяло, когато в израз присъстват скоби в скоби, често е удобно да започнете с вътрешните скоби и да стигнете до външните.

Например, да кажем, че трябва да извършим операции в израза (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Първо извършваме действия във вътрешни скоби, тъй като 4−6:2=4−3=1 , след което оригиналният израз ще приеме формата (4+(4+1)−1)−1 . Отново изпълняваме действието във вътрешните скоби, тъй като 4+1=5 , тогава стигаме до следния израз (4+5−1)−1 . Отново изпълняваме действията в скоби: 4+5−1=8 , докато стигаме до разликата 8−1 , която е равна на 7 .

В това видео ще анализираме цял набор от линейни уравнения, които се решават с помощта на един и същ алгоритъм - затова се наричат ​​най-простите.

Като начало, нека дефинираме: какво е линейно уравнение и кое от тях трябва да се нарече най-простото?

Линейно уравнение е това, в което има само една променлива и то само на първа степен.

Най-простото уравнение означава конструкцията:

други линейни уравнениясе свеждат до най-простите с помощта на алгоритъма:

1. Отворени скоби, ако има такива;
2. Преместете термини, съдържащи променлива от едната страна на знака за равенство, и термини без променлива от другата;
3. Преместете подобни термини отляво и отдясно на знака за равенство;
4. Разделете полученото уравнение на коефициента на променливата $x$.

Разбира се, този алгоритъм не винаги помага. Факт е, че понякога след всички тези машинации коефициентът на променливата $x$ се оказва равен на нула. В този случай са възможни два варианта:

1. Уравнението изобщо няма решения. Например, когато получите нещо като $0\cdot x=8$, т.е. отляво е нула, а отдясно е различно от нула число. Във видеото по-долу ще разгледаме няколко причини, поради които тази ситуация е възможна.
2. Решението е всички числа. Единственият случай, когато това е възможно, е когато уравнението е сведено до конструкцията $0\cdot x=0$. Съвсем логично е, че каквито и $x$ да заместим, пак ще се получи „нула е равна на нула“, т.е. правилно числово равенство.

А сега нека да видим как всичко работи на примера на реални проблеми.

Примери за решаване на уравнения

Днес се занимаваме с линейни уравнения и то само с най-простите. Най-общо линейно уравнение означава всяко равенство, което съдържа точно една променлива и то само на първа степен.

Такива конструкции се решават приблизително по същия начин:

1. На първо място, трябва да отворите скобите, ако има такива (както в последния ни пример);
2. След това донесете подобни
3. Накрая изолирайте променливата, т.е. всичко, което е свързано с променливата - термините, в които се съдържа - се прехвърля от едната страна, а всичко, което остава без нея, се прехвърля от другата страна.

След това, като правило, трябва да донесете подобни от всяка страна на полученото равенство и след това остава само да се раздели на коефициента при "x" и ще получим окончателния отговор.

На теория това изглежда хубаво и просто, но на практика дори опитни гимназисти могат да направят обидни грешки в доста прости линейни уравнения. Обикновено се допускат грешки или при отваряне на скоби, или при броене на "плюсове" и "минуси".

Освен това се случва линейното уравнение изобщо да няма решения или така че решението да е цялата числова линия, т.е. произволен брой. Ще анализираме тези тънкости в днешния урок. Но ще започнем, както вече разбрахте, с най-простите задачи.

Схема за решаване на прости линейни уравнения

Като начало нека отново напиша цялата схема за решаване на най-простите линейни уравнения:

1. Разгънете скобите, ако има такива.
2. Отделете променливите, т.е. всичко, което съдържа "х" се прехвърля на едната страна, а без "х" - на другата.
3. Представяме подобни условия.
4. Разделяме всичко на коефициента при "х".

Разбира се, тази схема не винаги работи, има някои тънкости и трикове и сега ще се запознаем с тях.

Решаване на реални примери на прости линейни уравнения

Задача №1

В първата стъпка се изисква да отворим скобите. Но те не са в този пример, така че пропускаме този етап. Във втората стъпка трябва да изолираме променливите. Моля, обърнете внимание: говорим само за индивидуални условия. нека напишем:

Даваме подобни термини отляво и отдясно, но това вече е направено тук. Затова преминаваме към четвъртата стъпка: разделяне на коефициент:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Тук получихме отговора.

Задача №2

В този проблем можем да наблюдаваме скобите, така че нека ги разширим:

И отляво, и отдясно виждаме приблизително една и съща конструкция, но нека действаме според алгоритъма, т.е. секвестър променливи:

Ето някои като:

В какви корени работи това? Отговор: за всякакви. Следователно можем да напишем, че $x$ е произволно число.

Задача #3

Третото линейно уравнение вече е по-интересно:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тук има няколко скоби, но те не се умножават по нищо, просто стоят пред тях различни знаци. Нека ги разделим:

Извършваме втората стъпка, която вече ни е известна:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Нека изчислим:

Извършваме последната стъпка - разделяме всичко на коефициента при "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Неща, които трябва да запомните, когато решавате линейни уравнения

Ако пренебрегнем твърде прости задачи, бих искал да кажа следното:

• Както казах по-горе, не всяко линейно уравнение има решение - понякога просто няма корени;
• Дори да има корени, между тях може да влезе нула - в това няма нищо лошо.

Нулата е същото число като останалите, не трябва по някакъв начин да го дискриминирате или да предполагате, че ако получите нула, значи сте направили нещо нередно.

Друга особеност е свързана с разширяването на скобите. Моля, обърнете внимание: когато има „минус“ пред тях, ние го премахваме, но в скоби променяме знаците на противоположност. И тогава можем да го отворим според стандартните алгоритми: ще получим това, което видяхме в изчисленията по-горе.

Разбирайки това прост фактще ви предпази от допускане на глупави и болезнени грешки в гимназията, когато правенето на такива неща се приема за даденост.

Решаване на сложни линейни уравнения

Нека да преминем към по-сложни уравнения. Сега конструкциите ще станат по-сложни и ще се появи квадратична функция при извършване на различни трансформации. Но не трябва да се страхувате от това, защото ако, според намерението на автора, решим линейно уравнение, тогава в процеса на трансформация всички мономи, съдържащи квадратична функция, задължително ще бъдат намалени.

Пример #1

Очевидно първата стъпка е отварянето на скобите. Нека направим това много внимателно:

Сега да вземем поверителността:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Ето някои като:

Очевидно това уравнение няма решения, така че в отговора пишем следното:

\[\varnothing\]

или без корени.

Пример #2

Изпълняваме същите стъпки. Първа стъпка:

Нека преместим всичко с променлива наляво, а без нея - надясно:

Ето някои като:

Очевидно това линейно уравнение няма решение, така че го записваме така:

\[\varnothing\],

или без корени.

Нюанси на решението

И двете уравнения са напълно решени. На примера на тези два израза отново се уверихме, че дори в най-простите линейни уравнения всичко може да не е толкова просто: може да има или едно, или нито едно, или безкрайно много. В нашия случай разгледахме две уравнения, и в двете просто няма корени.

Но бих искал да обърна внимание на друг факт: как да работите със скоби и как да ги разширите, ако пред тях има знак минус. Помислете за този израз:

Преди да отворите, трябва да умножите всичко по "x". Моля, обърнете внимание: умножете всеки отделен термин. Вътре има два термина - съответно два термина и се умножава.

И едва след като тези на пръв поглед елементарни, но много важни и опасни трансформации са завършени, може да се отвори скобата от гледна точка на това, че след нея има знак минус. Да, да: едва сега, когато трансформациите са направени, ние си спомняме, че има знак минус пред скобите, което означава, че всичко отдолу просто променя знаците. В същото време самите скоби изчезват и, най-важното, предният „минус“ също изчезва.

Правим същото с второто уравнение:

Неслучайно обръщам внимание на тези дребни, на пръв поглед незначителни факти. Тъй като решаването на уравнения винаги е последователност от елементарни трансформации, където неспособността за ясно и компетентно извършване на прости действия води до факта, че учениците от гимназията идват при мен и се учат да решават такива прости уравнения отново.

Разбира се, ще дойде ден, когато ще усъвършенствате тези умения до автоматизм. Вече не е нужно да извършвате толкова много трансформации всеки път, ще пишете всичко на един ред. Но докато просто учите, трябва да напишете всяко действие отделно.

Решаване на още по-сложни линейни уравнения

Това, което ще решим сега, трудно може да се нарече най-простата задача, но смисълът остава същият.

Задача №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Нека умножим всички елементи от първата част:

Да направим отстъпление:

Ето някои като:

Нека направим последната стъпка:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ето нашия окончателен отговор. И въпреки факта, че в процеса на решаване имахме коефициенти с квадратична функция, обаче, те взаимно се компенсират, което прави уравнението точно линейно, а не квадратно.

Задача №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Нека направим първата стъпка внимателно: умножете всеки елемент в първата скоба по всеки елемент във втората. Общо четири нови члена трябва да бъдат получени след трансформации:

А сега внимателно изпълнете умножението във всеки член:

Нека преместим членовете с "x" наляво, а без - надясно:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Ето подобни термини:

Получихме категоричен отговор.

Нюанси на решението

Най-важната забележка за тези две уравнения е следната: веднага щом започнем да умножаваме скоби, в които има повече от член, това се прави по следното правило: вземаме първия член от първия и умножаваме с всеки елемент от втория; след това вземаме втория елемент от първия и по подобен начин умножаваме с всеки елемент от втория. В резултат на това получаваме четири термина.

На алгебричната сума

С последния пример бих искал да напомня на учениците какво е алгебрична сума. В класическата математика под $1-7$ имаме предвид прост дизайн: Извадете седем от едно. В алгебрата под това разбираме следното: към числото „едно“ добавяме друго число, а именно „минус седем“. Тази алгебрична сума се различава от обичайната аритметична сума.

Веднага щом при извършване на всички трансформации, всяко събиране и умножение започнете да виждате конструкции, подобни на описаните по-горе, просто няма да имате проблеми в алгебрата, когато работите с полиноми и уравнения.

В заключение, нека да разгледаме още няколко примера, които ще бъдат още по-сложни от тези, които току-що разгледахме, и за да ги решим, ще трябва леко да разширим нашия стандартен алгоритъм.

Решаване на уравнения с дроб

За решаването на такива задачи ще трябва да добавим още една стъпка към нашия алгоритъм. Но първо ще напомня нашия алгоритъм:

1. отворени скоби.
2. Отделни променливи.
3. Донесете подобни.
4. Разделете на коефициент.

Уви, този прекрасен алгоритъм, въпреки цялата му ефективност, не е напълно подходящ, когато имаме дроби пред нас. И в това, което ще видим по-долу, имаме дроб отляво и отдясно и в двете уравнения.

Как да работим в този случай? Да, много е просто! За да направите това, трябва да добавите още една стъпка към алгоритъма, която може да се извърши както преди първото действие, така и след него, а именно да се отървете от дроби. Така алгоритъмът ще бъде както следва:

1. Отървете се от дробите.
2. отворени скоби.
3. Отделни променливи.
4. Донесете подобни.
5. Разделете на коефициент.

Какво означава „да се отървем от дробите“? И защо е възможно това да се прави както след, така и преди първата стандартна стъпка? Всъщност в нашия случай всички дроби са числови по отношение на знаменателя, т.е. навсякъде знаменателят е просто число. Следователно, ако умножим и двете части на уравнението по това число, тогава ще се отървем от дроби.

Пример #1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Нека се отървем от дробите в това уравнение:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot четири\]

Моля, обърнете внимание: всичко се умножава по „четири“ веднъж, т.е. това, че имате две скоби, не означава, че трябва да умножите всяка от тях по "четири". нека напишем:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Сега нека го отворим:

Извършваме изолиране на променлива:

Ние извършваме намаляване на подобни условия:

\[-4x=-1\наляво| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Получихме окончателното решение, преминаваме към второто уравнение.

Пример #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Тук извършваме всички същите действия:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Проблема решен.

Това всъщност е всичко, което исках да кажа днес.

Ключови точки

Основните констатации са следните:

• Познаване на алгоритъма за решаване на линейни уравнения.
• Възможност за отваряне на скоби.
• Не се притеснявайте, ако някъде имате квадратични функции, най-вероятно в процеса на по-нататъшни трансформации те ще бъдат намалени.
• Корените в линейните уравнения, дори и най-простите, са три вида: един единствен корен, цялата числова линия е корен, корени изобщо няма.

Надявам се, че този урок ще ви помогне да овладеете проста, но много важна тема за по-нататъшно разбиране на цялата математика. Ако нещо не е ясно, отидете на сайта, решете представените там примери. Очаквайте още много интересни неща!

За решения на линейни уравненияизползвайте две основни правила (свойства).

Имот #1
или
правило за прехвърляне

Когато се прехвърля от една част на уравнението в друга, членът на уравнението променя знака си на противоположния.

Нека разгледаме правилото за прехвърляне с пример. Да предположим, че трябва да решим линейно уравнение.

Спомнете си, че всяко уравнение има лява страна и дясна страна.

Нека преместим числото "3" от лявата страна на уравнението вдясно.

Тъй като числото „3“ имаше знак „+“ от лявата страна на уравнението, това означава, че „3“ ще бъде прехвърлено в дясната страна на уравнението със знака „-“.

Получената числена стойност " x \u003d 2 " се нарича корен на уравнението.

Не забравяйте да запишете отговора след решаването на всяко уравнение.

Нека разгледаме друго уравнение.

Съгласно правилото за прехвърляне, ще прехвърлим "4x" от лявата страна на уравнението в дясната страна, променяйки знака на противоположния.

Въпреки че няма знак преди "4x", разбираме, че има знак "+" преди "4x".

Сега даваме подобни и решаваме уравнението докрай.

Имот №2
или
правило за разделяне

Във всяко уравнение можете да разделите лявата и дясната страна на едно и също число.

Но не можете да се разделите с неизвестното!

Нека да разгледаме пример как да използваме правилото за деление при решаване на линейни уравнения.

Числото "4", което стои на "х", се нарича числов коефициент на неизвестното.

Между числовия коефициент и неизвестното винаги е действието умножение.

За да решите уравнението, е необходимо да се уверите, че при "x" има коефициент "1".

Нека си зададем въпроса: "На какво трябва да разделите" 4 "
получи "1"?. Отговорът е очевиден, трябва да разделите на "4".

Използвайте правилото за разделяне и разделете лявата и дясната страна на уравнението на "4". Не забравяйте, че трябва да разделите лявата и дясната част.

Използваме съкращаването на дробите и решаваме линейното уравнение докрай.

Как да решим уравнение, ако "x" е отрицателно

Често в уравненията има ситуация, когато има отрицателен коефициент при „x“. Както в уравнението по-долу.

За да решим такова уравнение, ние отново си задаваме въпроса: „На какво трябва да разделите „-2“, за да получите „1“?“. Разделете на "-2".

Линейни уравнения. Първо ниво.

Искате ли да изпробвате силата си и да разберете колко сте готови за Единния държавен изпит или OGE?

1. Линейно уравнение

Това е алгебрично уравнение, в което общата степен на съставните му полиноми е равна.

2. Линейно уравнение с една променливаизглежда като:

Къде и какви са числата;

3. Линейно уравнение с две променливиизглежда като:

Къде и какви са числата.

4. Трансформации на идентичността

За да се определи дали уравнението е линейно или не, е необходимо да се направят идентични трансформации:

движете се наляво/надясно като термини, като не забравяте да смените знака;

умножете/разделете двете страни на уравнението с едно и също число.

Какво представляват "линейните уравнения"

или устно - трима приятели получиха ябълки на всеки, въз основа на факта, че Вася имаше общо ябълки.

И сега сте решили линейно уравнение
Сега нека дадем математическа дефиниция на този термин.

Линейно уравнение – е алгебрично уравнение, чиято обща степен на съставните му полиноми е. Изглежда така:

Къде и са произволни числа и

За нашия случай с Вася и ябълки ще напишем:

- „ако Вася даде на тримата приятели еднакъв брой ябълки, няма да му останат ябълки“

„Скрити“ линейни уравнения или значението на тъждествените трансформации

Въпреки факта, че на пръв поглед всичко е изключително просто, когато решавате уравнения, трябва да внимавате, тъй като линейните уравнения се наричат ​​не само уравнения на формата, но и всички уравнения, които се свеждат до тази форма чрез трансформации и опростявания. Например:

Виждаме, че е отдясно, което на теория вече показва, че уравнението не е линейно. Освен това, ако отворим скобите, ще получим още два термина, в които ще бъде, но не правете прибързани заключения! Преди да се прецени дали уравнението е линейно, е необходимо да се направят всички трансформации и по този начин да се опрости оригиналният пример. В този случай трансформациите могат да променят външния вид, но не и самата същност на уравнението.

С други думи, тези трансформации трябва да бъдат идентиченили еквивалентен. Има само две такива трансформации, но те играят много, МНОГО важна роля при решаването на проблеми. Нека разгледаме и двете трансформации на конкретни примери.

Преместване наляво-надясно.

Да кажем, че трябва да решим следното уравнение:

Също така в начално училищеказаха ни: "с Х - наляво, без Х - надясно." Кой израз с x е отдясно? Добре, не как не. И това е важно, защото ако това е погрешно разбрано, изглежда прост въпрос, дава неверен отговор. И какъв е изразът с х отляво? Правилно, .

Сега, след като се справихме с това, прехвърляме всички членове с неизвестни отляво и всичко, което е известно, отдясно, като помним, че ако няма знак пред числото, например, тогава числото е положително, т.е. е, то се предшества от знака " ".

Преместен? Какво получи?

Всичко, което остава да се направи, е да се въведат подобни условия. Ние представяме:

И така, ние успешно анализирахме първата идентична трансформация, въпреки че съм сигурен, че вече сте я знаели и сте я използвали активно без мен. Основното нещо - не забравяйте за знаците за числа и ги променяйте на обратното, когато прехвърляте през знака за равенство!

Умножение-деление.

Нека започнем веднага с пример

Гледаме и си мислим: какво не ни харесва в този пример? Непознатото е всичко в една част, познатото в друга, но нещо ни спира... И това е нещо - четворка, защото ако я нямаше всичко щеше да е перфектно - Х е равно на числото- точно както го искаме!

Как можете да се отървете от него? Не можем да прехвърлим надясно, защото тогава трябва да прехвърлим целия множител (не можем да го вземем и да го откъснем от него), а прехвърлянето на целия множител също няма смисъл ...

Време е да си спомним за разделението, във връзка с което ще разделим всичко само на! Всички - това означава и лявата, и дясната страна. Така и само така! какво получаваме

Нека сега да разгледаме друг пример:

Познайте какво да направите в този случай? Точно така, умножете лявата и дясната страна по! Какъв отговор получи? Правилно. .

Със сигурност вече знаете всичко за тъждествените трансформации. Помислете, че току-що опреснихме това знание в паметта ви и е време за нещо повече - Например, да решим нашия голям пример:

Както казахме по-рано, гледайки го, не можете да кажете, че това уравнение е линейно, но трябва да отворим скобите и да извършим идентични трансформации. Така че да започваме!

Като начало си спомняме формулите за съкратено умножение, по-специално квадрата на сумата и квадрата на разликата. Ако не си спомняте какво е и как се разширяват скобите, силно препоръчвам да прочетете темата „Формули за намалено умножение“, тъй като тези умения ще ви бъдат полезни, когато решавате почти всички примери, намерени на изпита.
Разкрито? Сравнете:

Сега е време да въведем подобни условия. Помниш ли как сме в едно и също начално училищеказаха ли "не слагаме мухи с котлети"? Тук ви напомням за това. Добавяме всичко поотделно - фактори, които имат, фактори, които имат, и други фактори, които нямат неизвестни. Докато въвеждате подобни термини, преместете всички неизвестни наляво и всичко, което е известно, надясно. Какво получи?

Както можете да видите, х-квадратът е изчезнал и виждаме напълно обикновен линейно уравнение. Остава само да се намери!

И накрая ще кажа още нещо много важно нещоотносно тъждествените преобразувания - тъждествените преобразувания са приложими не само за линейни уравнения, но и за квадратни, дробно-рационални и др. Просто трябва да запомните, че когато прехвърляме фактори през знака за равенство, ние променяме знака на противоположния, а когато разделяме или умножаваме с някакво число, умножаваме / разделяме двете страни на уравнението с едно и също число.

Какво още взехте от този пример? Че гледайки едно уравнение, не винаги е възможно директно и точно да се определи дали е линейно или не. Първо трябва напълно да опростите израза и едва тогава да прецените какъв е той.

Линейни уравнения. Примери.

Ето още няколко примера, които можете да практикувате сами - определете дали уравнението е линейно и ако е така, намерете неговите корени:

Отговори:

1. Е.

2. Не е.

Нека отворим скобите и дадем подобни условия:

Нека направим идентична трансформация - разделяме лявата и дясната част на:

Виждаме, че уравнението не е линейно, така че няма нужда да търсим неговите корени.

3. Е.

Нека направим идентична трансформация - умножете лявата и дясната част по, за да се отървете от знаменателя.

Помислете защо е толкова важно да? Ако знаете отговора на този въпрос, пристъпваме към по-нататъшното решение на уравнението, ако не, не забравяйте да разгледате темата "ODZ", за да не правите грешки в повече трудни примери. Между другото, както можете да видите, ситуация, в която е невъзможно. Защо?
Така че нека да продължим и да пренаредим уравнението:

Ако сте се справили с всичко без затруднения, нека поговорим за линейни уравнения с две променливи.

Линейни уравнения с две променливи

Сега нека преминем към едно малко по-сложно - линейни уравнения с две променливи.

Линейни уравненияс две променливи изглежда така:

Къде и са произволни числа и.

Както можете да видите, единствената разлика е, че към уравнението се добавя още една променлива. И така всичко е същото - няма х на квадрат, няма деление на променлива и т.н. и т.н.

Какво ще ви даде житейски пример. Да вземем същия Вася. Да предположим, че той реши, че ще даде на всеки от своите 3 приятели еднакъв брой ябълки и ще запази ябълките за себе си. Колко ябълки трябва да купи Вася, ако даде на всеки приятел ябълка? Какво относно? Ами ако до?

Зависимостта на броя ябълки, които всеки ще получи от общия брой ябълки, които трябва да бъдат закупени, ще се изрази с уравнението:

• - броят на ябълките, които човек ще получи (, или, или);
• - броят на ябълките, които Вася ще вземе за себе си;
• - колко ябълки трябва да купи Вася, като се вземе предвид броят на ябълките на човек.

Решавайки този проблем, получаваме, че ако Вася даде на един приятел ябълка, тогава той трябва да купи парчета, ако даде ябълки и т.н.

И най-общо казано. Имаме две променливи. Защо не начертаете тази зависимост на графика? Изграждаме и маркираме стойността на нашите, тоест точки, с координати и!

Както можете да видите, и зависи един от друг линейно, откъдето идва и името на уравненията - " линеен».

Абстрахираме се от ябълките и разглеждаме графично различни уравнения. Разгледайте внимателно двете построени графики - права линия и парабола, зададени от произволни функции:

Намерете и отбележете съответните точки на двете фигури.
Какво получи?

Можете да видите това на графиката на първата функция самотговаря един, т.е. и линейно зависят един от друг, което не може да се каже за втората функция. Разбира се, можете да възразите, че на втората графика x също съответства на - , но това е само една точка, тоест специален случай, тъй като все още можете да намерите такава, която съответства на повече от една. А построената графика по никакъв начин не прилича на права, а е парабола.

Повтарям още веднъж: графиката на линейно уравнение трябва да е ПРАВА линия.

С факта, че уравнението няма да бъде линейно, ако отидем до някаква степен - това е разбираемо на примера на парабола, въпреки че за себе си можете да изградите още няколко прости графики, например или. Но ви уверявам - никой от тях няма да бъде ПРАВА ЛИНИЯ.

Не се доверявай? Изградете и след това сравнете с това, което имам:

А какво се случва, ако разделим нещо например на някакво число? Ще има ли линейна зависимост и? Няма да спорим, а ще градим! Например, нека начертаем графика на функция.

Някак си не изглежда като построена права линия ... съответно уравнението не е линейно.
Нека да обобщим:

1. Линейно уравнение −е алгебрично уравнение, в което общата степен на съставните му полиноми е равна.
2. Линейно уравнениес една променлива изглежда така:
   , където и са произволни числа;
   Линейно уравнениес две променливи:
   , където и са произволни числа.
3. Не винаги е възможно веднага да се определи дали дадено уравнение е линейно или не. Понякога, за да разберете това, е необходимо да извършите идентични трансформации, да преместите подобни термини наляво / надясно, като не забравяте да промените знака или да умножите / разделите двете части на уравнението с едно и също число.

Коментари

Разпространението на материали без одобрение е разрешено, ако има dofollow връзка към страницата източник.

Политика за поверителност

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

4. Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

5. Събрани от нас лична информацияни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални предложения, промоции и други събития и предстоящи събития.
6. От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
7. Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
8. Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

9. При необходимост – по закон, по съдебен ред, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други цели от обществен интерес.
10. В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Благодаря ви за съобщението!

Вашият коментар е приет, след модериране ще бъде публикуван на тази страница.

Искате ли да знаете какво се крие под кройката и да получите ексклузивни материали за подготовката за OGE и USE? Оставете имейл

Уравнение е уравнение, съдържащо буквата, чийто знак трябва да се намери. Решението на уравнение е набор от буквени стойности, който превръща уравнението в истинско равенство:

Спомнете си това, за да разрешите уравнениее необходимо членовете с неизвестното да се прехвърлят към едната част на равенството, а числовите членове към другата, да се приведат подобни и да се получи следното равенство:

От последното равенство определяме неизвестното по правилото: „един от множителите е равен на частното, разделено на втория множител“.

защото рационални числа a и b могат да имат еднакви и различни знаци, тогава знакът на неизвестното се определя от правилата за деление на рационални числа.

Процедурата за решаване на линейни уравнения

Линейното уравнение трябва да бъде опростено чрез отваряне на скобите и извършване на действията от втория етап (умножение и деление).

Преместете неизвестните от едната страна на знака за равенство, а числата от другата страна на знака за равенство, получавайки идентичност на даденото равенство,

Донесете like отляво и отдясно на знака за равенство, за да получите равенство на формата брадва = b.

Изчислете корена на уравнението (намерете неизвестното хот равенството х = b : а),

Тествайте, като заместите неизвестното в даденото уравнение.

Ако получим идентичност в численото равенство, тогава уравнението е решено правилно.

Частни случаи на решаване на уравнения

1. Ако уравнениетое дадено от произведение, равно на 0, тогава, за да го решим, използваме свойството на умножението: "произведението е равно на нула, ако един от факторите или двата фактора са равни на нула."

27 (х - 3) = 0
27 не е равно на 0, така че х - 3 = 0

Вторият пример има две решения на уравнението, тъй като
Това е уравнение от втора степен:

Ако коефициентите на уравнението са обикновени дроби, първото нещо, което трябва да направите, е да се отървете от знаменателите. За това:

намирам общ знаменател;

Определете допълнителни фактори за всеки член на уравнението;

Умножете числителите на дроби и цели числа с допълнителни множители и запишете всички членове на уравнението без знаменатели (общият знаменател може да бъде изхвърлен);

Преместете членовете с неизвестни в едната част на уравнението, а числовите членове в другата от знака за равенство, като получите еквивалентно равенство;

Доведете подобни членове;

Основни свойства на уравненията

Във всяка част от уравнението можете да въведете подобни термини или да отворите скобата.

Всеки член на уравнението може да бъде прехвърлен от една част на уравнението в друга чрез промяна на знака му на противоположния.

И двете страни на уравнението могат да бъдат умножени (разделени) по едно и също число, с изключение на 0.

В примера по-горе всички негови свойства са използвани за решаване на уравнението.

Линейни уравнения. Решение на линейни уравнения. Правилото за прехвърляне на термина.

Правилото за прехвърляне на термина.

При решаване и преобразуване на уравнения често става необходимо членът да се прехвърли към другата страна на уравнението. Имайте предвид, че терминът може да има както знак плюс, така и знак минус. Според правилото, когато прехвърляте термина в друга част от уравнението, трябва да промените знака на противоположния. Освен това правилото работи и за неравенства.

Примерисрочен трансфер:

Първо прехвърлете 5x

Обърнете внимание, че знакът "+" е променен на "-", а знакът "-" на "+". В този случай няма значение дали прехвърленият член е число или променлива, или израз.

Прехвърляме 1-ви срок на правилната странауравнения. Получаваме:

Обърнете внимание, че в нашия пример терминът е изразът (−3x 2 (2+7x)). Следователно не може да се прехвърля отделно. (−3x2)и (2+7x), тъй като това са компоненти на термина. Затова не понасят (−3x2 ⋅ 2) и (7x). Ние обаче модем отваряме скобите и получаваме 2 члена: (−3x-⋅ 2) и (–3×2⋅ 7x). Тези 2 термина могат да се носят отделно един от друг.

Неравенствата се преобразуват по същия начин:

Събираме всяко число от едната страна. Получаваме:

Вторите части на уравнението по дефиниция са еднакви, така че можем да извадим едни и същи изрази от двете части на уравнението и равенството ще остане вярно. Трябва да извадите израза, който в крайна сметка трябва да бъде преместен от другата страна. След това от едната страна на знака „=“ ще бъде намален с това, което е било. И от другата страна на равенството, изразът, който извадихме, ще се появи със знак „-“.

Това правило често се използва за решаване на линейни уравнения. Други методи се използват за решаване на системи от линейни уравнения.

Основи на алгебрата / Правило за пренос на термина

Нека преместим първия член от дясната страна на уравнението. Получаваме:

Нека преместим всички числа в една посока. В резултат на това имаме:

Примери, илюстриращи доказателството Редактиране

За редактиране на уравнения

Да кажем, че искаме да преместим всички x от лявата страна на уравнението в дясната страна. Извадете от двете части 5 x

Сега трябва да проверим дали лявата и дясната страна на уравнението са еднакви. Нека заменим неизвестната променлива с получения резултат:

Сега можем да добавим подобни термини:

Да преместим първите 5 хот лявата страна на уравнението вдясно:

Сега нека преместим числото (−6) от дясната страна наляво:

Обърнете внимание, че знакът плюс се е променил на минус, а знакът минус е променен на плюс. Освен това няма значение дали прехвърленият термин е число, променлива или цял израз.

Двете страни на уравнението по дефиниция са равни, така че можете да извадите един и същ израз от двете страни на уравнението и уравнението остава вярно. От едната страна на знака за равенство ще се свие с това, което е било. От другата страна на уравнението изразът, който извадихме, ще се появи със знак минус.

Правилото за уравненията е доказано.

За неравенства Редактиране

Следователно 4 е коренът на уравнението 5x+2=7x-6. Тъй като за него тъждеството е доказано, то и за неравенствата по дефиниция.

Решаване на уравнения, правило за прехвърляне на членове

Целта на урока

Образователни цели на урока:

— Да умеят да прилагат правилото за пренос на членове при решаване на уравнения;

Развиващи задачи на урока:

- развиват се самостоятелна дейностстуденти;

- развиват речта (дават пълни отговори на компетентен, математически език);

Образователни задачи на урока:

- възпитават способността правилно да правят бележки в тетрадки и на дъската;

?Оборудване:

11. Мултимедия
12. интерактивна дъска

Вижте съдържанието на документа
"урок Решаване на уравнения 6 клетки"

УРОК ПО МАТЕМАТИКА 6 КЛАС

Учител: Тимофеева М. А.

Целта на урока: изучаване на правилото за прехвърляне на членове от една част на уравнението в друга.

Образователни цели на урока:

Да умее да прилага правилото за пренос на членове при решаване на уравнения;

Развиващи задачи на урока:

да развива самостоятелната дейност на учениците;

развиват речта (дават пълни отговори на компетентен, математически език);

Образователни задачи на урока:

да култивира способността правилно да прави бележки в тетрадки и на дъската;

Основните етапи на урока

1. Организиращ момент, съобщаване на целта на урока и формата на работа

„Ако искаш да се научиш да плуваш,

тогава смело влезте във водата,

Ако искате да научите как да решавате уравнения,

2. Днес започваме да изучаваме темата: "Решаване на уравнения" (Слайд 1)

Но вече научихте как да решавате уравнения! Тогава какво ще учим?

— Нови начини за решаване на уравнения.

3. Да повторим преминатия материал (Устна работа) (Слайд 2)

3). 7m + 8n - 5m - 3n

четири). – 6а + 12б – 5а – 12б

5). 9x - 0,6y - 14x + 1,2y

Уравнението дойде
донесе много тайни

Какви изрази са уравнения?(Слайд 3)

4. Какво се нарича уравнение?

Уравнението е равенство, съдържащо неизвестно число. (Слайд 4)

Какво означава да решиш уравнение?

реши уравнениетоозначава да намериш корените му или да докажеш, че те не съществуват.

Да решаваме устно уравнения. (Слайд 5)

Какво правило използваме при решаване?

— Намиране на неизвестния фактор.

Нека напишем няколко уравнения в тетрадка и ги решим, като използваме правилата за намиране на неизвестен член и намалено: (Слайд 7)

Как да решим такова уравнение?

x + 5 = - 2x - 7 (Слайд 8)

Не можем да опростяваме, тъй като има подобни термини различни частиуравнения, следователно е необходимо да ги прехвърлите.

Горят фантастични цветове
И без значение колко мъдра е главата
Още ли вярваш в приказките?
Историята винаги е вярна.

Имало едно време двама крале: черен и бял. Черният крал живееше в Черното царство на десния бряг на реката, а Белият крал живееше в Бялото царство на левия бряг. Много бурна и опасна река течеше между кралствата. Беше невъзможно да се премине тази река нито с плуване, нито с лодка. Имахме нужда от мост! Изграждането на моста отне много време и сега най-накрая мостът беше построен. Всички трябва да се радват и да общуват помежду си, но проблемът е: Белият крал не харесваше черното, всички жители на неговото царство носеха светли дрехи, а Черният крал не харесваше бял цвяти жителите на неговото царство носеха дрехи в тъмен цвят. Ако някой от Черното кралство се премести в Бялото кралство, той веднага изпадна в немилост пред Белия крал, а ако някой от Бялото кралство се премести в Черното кралство, той изпадна в немилост пред Черния крал. Жителите на кралствата трябваше да измислят нещо, за да не ядосат царете си. Какво мислите, че са измислили?

Уравнения

Как се решават уравнения?

В този раздел ще си припомним (или ще изучим - както кой иска) най-елементарните уравнения. И така, какво е уравнение? говорене човешки език, това е някакъв вид математически израз, където има знак за равенство и неизвестно. Което обикновено се обозначава с буквата "Х". реши уравнениетое да намерите такива x-стойности, които при заместване в оригиналенизраз, ще ни даде правилната идентичност. Позволете ми да ви напомня, че идентичността е израз, който не предизвиква съмнения дори за човек, който абсолютно не е обременен с математически знания. Като 2=2, 0=0, ab=ab и т.н. И така, как решавате уравнения?Нека да го разберем.

Има всякакви уравнения (изненадах се, нали?). Но цялото им безкрайно разнообразие може да бъде разделено само на четири вида.

4. друго.)

Всичко останало, разбира се, най-вече, да ...) Това включва кубични, експоненциални, логаритмични, тригонометрични и всякакви други. Ще работим в тясно сътрудничество с тях в съответните раздели.

Веднага трябва да кажа, че понякога уравненията на първите три типа са толкова навити, че не ги разпознавате ... Нищо. Ще се научим как да ги развиваме.

И защо имаме нужда от тези четири вида? И тогава какво линейни уравнениярешен по един начин квадратдруги дробно рационално - третото,а Почивкаизобщо не е решен! Е, не че те изобщо не решават, напразно обидих математиката.) Просто те имат свои собствени специални техники и методи.

Но за всеки (повтарям - за всякакви!) уравнения е надеждна и безпроблемна основа за решаване. Работи навсякъде и винаги. Тази база - Звучи страшно, но работата е много проста. И много (много!)важно.

Всъщност решението на уравнението се състои от същите тези трансформации. На 99%. Отговор на въпроса: " Как се решават уравнения?" лъжи, точно в тези трансформации. Ясен ли е намекът?)

Тъждествени трансформации на уравнения.

AT всякакви уравненияза да се намери неизвестното, е необходимо да се трансформира и опрости оригиналният пример. Освен това, така че при смяна външен вид същността на уравнението не се е променила.Такива трансформации се наричат идентиченили еквивалентно.

Имайте предвид, че тези трансформации са само за уравненията.В математиката все още има идентични трансформации изрази.Това е друга тема.

Сега ще повторим всички-всички-всички основни идентични трансформации на уравнения.

Основни, защото могат да се прилагат към всякаквиуравнения - линейни, квадратни, дробни, тригонометрични, експоненциални, логаритмични и др. и т.н.

Първо идентично преобразуване: двете страни на всяко уравнение могат да бъдат добавени (извадени) всякакви(но същото!) число или израз (включително израз с неизвестно!). Същността на уравнението не се променя.

Между другото, постоянно си използвал тази трансформация, само си мислел, че прехвърляш някои членове от една част на уравнението в друга с промяна на знака. Тип:

Материята е позната, местим двойката надясно и получаваме:



Всъщност вие отнетот двете страни на уравнението двойка. Резултатът е същият:

х+2 - 2 = 3 - 2

Прехвърлянето на термини ляво-дясно с промяна на знака е просто съкратена версия на първото трансформация на идентичността. И защо се нуждаем от толкова дълбоки познания? - ти питаш. Нищо в уравненията. Мръдни, за бога. Само не забравяйте да смените знака. Но при неравенствата навикът за пренасяне може да доведе до задънена улица....

Втора трансформация на идентичността: и двете страни на уравнението могат да бъдат умножени (разделени) по едно и също ненулевчисло или израз. Тук вече се появява разбираемо ограничение: глупаво е да се умножава по нула и изобщо е невъзможно да се дели. Това е трансформацията, която използвате, когато решите нещо готино

разбираемо, х= 2. Но как го намерихте? Избор? Или просто свети? За да не вдигате и чакате прозрение, трябва да разберете, че сте справедливи разделете двете страни на уравнениетос 5. При разделяне на лявата страна (5x), петицата беше намалена, оставяйки чисто X. Което ни трябваше. И когато разделихме дясната страна на (10) на пет, се оказа, разбира се, двойка.

Това е всичко.

Смешно е, но тези две (само две!) еднакви трансформации са в основата на решението всички уравнения на математиката.Как! Има смисъл да разгледаме примери за това какво и как, нали?)

Примери за тъждествени преобразувания на уравнения. Основни проблеми.

Да започнем с първиидентична трансформация. Преместване наляво-надясно.

Пример за най-малките.)

Да кажем, че трябва да решим следното уравнение:

3-2x=5-3x

Да си спомним заклинанието: "с Х - наляво, без Х - надясно!"Това заклинание е инструкция за прилагане на първата трансформация на идентичността.) Какъв израз с x имаме отдясно? 3x? Отговорът е грешен! От дясната ни страна - 3x! Минустри х! Следователно, когато се премести наляво, знакът ще се промени на плюс. Вземете:

3-2x+3x=5

И така, X бяха събрани. Нека направим числата. Три отляво. Какъв знак? Отговорът "с нито една" не се приема!) Пред тройката наистина нищо не е нарисувано. И това означава, че пред тройката е плюс.Така че математиците се съгласиха. Нищо не е написано, значи плюс.Следователно тройката ще бъде прехвърлена от дясната страна с минус.Получаваме:

-2x+3x=5-3

Остават празни места. Отляво - дайте подобни, отдясно - пребройте. Отговорът е веднага:

В този пример беше достатъчна една идентична трансформация. Второто не беше необходимо. Ми добре.)

Пример за старейшините.)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.